Разработка и исследование метода прогнозирования сложных процессов на основе комбинированных рядов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Кольвах, Денис Владимирович

• Кольвах, Денис Владимирович
• кандидат технических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат технических наук Кольвах, Денис Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ.

1.1. Основные определения.

1.2. Классификация процессов.

1.3. Основные методы прогнозирования.

1.3.1. Регрессионный анализ.

1.3.2. Нейронные сети.

1.3.3. Спектральные методы.

1.3.4. Корреляционные методы.

1.3.5. Функциональные ряды.

1.3.6. Методы на основе моделей процессов.

1.3.7. Дифференциалы стохастических процессов.

1.3.8. Физические модели.

1.3.9. Стохастические рекурсивные последовательности.

1.4. Сущность предлагаемого метода.

1.5. Цель и задачи исследования.

1.6. Выводы по главе 1.

ГЛАВА 2. ПОЛУЧЕНИЕ ЭКСТРАПОЛИРУЮЩИХ РЯДОВ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ПРОЦЕССОВ.

2.1. Выбор экстраполирующего ряда.

2.2. Основные соотношения.

2.3. Нелинейные и параметрические процессы.

2.4. Точность результатов прогнозирования.

2.5. Влияние усреднения исходных точек на точность прогнозирования.

2.6. Выводы по главе 2.

ГЛАВА 3. ПОЛУЧЕНИЕ ЭКСТРАПОЛИРУЮЩИХ РЯДОВ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ.

3.1. Временные погрешности задания исходных точек.

3.2. Амплитудные погрешности задания исходных точек.

3.3. Методика прогнозирования процессов с шумами.

3.4. Особенности прогнозирования стационарных процессов.

3.5. Особенности прогнозирования революционных процессов.

3.6. Дополнительные приложения метода.

3.7. Выводы по главе 3.

ГЛАВА 4. ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА.

4.1. Классификация процессов на основе корней характеристического уравнения.

4.2. Методика прогнозирования сложных процессов.

4.3. Прогнозирование активности солнца.

4.4. Прогнозирование среднегодовой и среднемесячной температуры.

4.5. Прогнозирование годовых и месячных осадков.

4.6. Прогнозирование годового стока рек.

4.7. Прогнозирование траекторий летающих объектов.

4.8. Прогнозирование разряда гальванического элемента.

4.9. Прогнозирование термо-э.д

4.10. Прогнозирование коэффициента линейного расширения.

4.11. Причины ухудшения точности прогнозирования.

4.12. Выводы по главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка и исследование метода прогнозирования сложных процессов на основе комбинированных рядов»

Развитие науки и техники определяет необходимость глубокого изучения характера поведения различных объектов и систем, определения тенденций их развития и возможных вариантов их состояния в будущем. Как правило, мы не имеем точного представления о характере и взаимодействии явлений, проходящих в рассматриваемой системе, и можем наблюдать лишь результат их совместного влияния на интересующий нас выходной процесс. Таким образом, исследователь вынужден рассматривать систему как "черный ящик", и не имеет возможности построить достаточно точную ее модель. Информация о текущем поведении системы ограничивается регистрацией отдельных групп ее выходных параметров. В процессе наблюдения накапливается некоторое количество данных. Эти данные можно использовать для прогноза параметров системы в будущем.

В данной работе рассматривается метод прогнозирования детерминированных и случайных процессов с помощью обобщенных степенных и показательных рядов, являющихся решениями линейных разностных уравнений. Коэффициенты этих уравнений получаются с помощью определенного количества равноотстоящих точек процесса.

Прогнозирование нелинейных, параметрических и случайных процессов осуществляется теми же методами с дополнительной обработкой полученного ряда. Она сводится к отбрасыванию несущественных компонент ряда и последующей его оптимизации по критерию минимального отклонения от исходных точек при одновременном ограничении степени нарастания оставшихся компонент в зоне прогноза.

Работа состоит из четырех глав и приложения.

В главе 1 производится краткий обзор существующих методов прогнозирования. Дается классификация процессов с кратким анализом их особенностей. На основе этой классификации выбирается путь решения задачи прогнозирования сложных процессов и ограничивается область применения разработанного метода. Производится постановка задачи.

В главе 2 излагается разработанный математический аппарат для получения экстраполирующих рядов детерминированных процессов по их равноотстоящим точкам. Рассматриваются способы приближенного построения рядов для нелинейных и параметрических процессов. Производится оценка точности прогнозирования и рассматривается влияние метода усреднения исходных точек на получаемый результат.

В главе 3 излагается разработанная методика прогнозирования процессов со случайными погрешностями исходных точек. Рассматриваются временные и амплитудные погрешности и их влияние на точность результата. Излагаются особенности прогнозирования стационарных и нестационарных процессов. На этой основе решается проблема прогнозирования революционных процессов.

В главе 4 Производится сравнение разработанного метода с общеизвестным методом МГУА (метод группового учета аргументов), разработанным Ивахненко А.Г. на примере прогнозирования среднегодового стока воды р. Днепр. Рассматриваются примеры прогнозирования активности солнца, погодных явлений, траекторий баллистических тел и процесса разряда гальванического элемента.

В приложении содержится текст универсальной рабочей программы для прогнозирования различных процессов. Приведено краткое описание программы.

Цель работы. Разработка и практическая реализация эффективного метода прогнозирования и реконструкции сложных процессов детерминированного и случайного характера. Метод ориентирован на применение в различных отраслях науки и техники.

Методы исследований. При выполнении работы использован комплекс математических методов, включающий теорию разностных уравнений, теорию случайных процессов, теорию оптимизации и планирования эксперимента, математическую статистику, матричный анализ и теорию функций комплексного переменного.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Показано, что процессы любого типа могут быть точно аппроксимированы рядом, состоящим из степенных и показательных функций.

2. Аппроксимирующий ряд является решением линейного однородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами, полученного по дискретным равноотстоящим точкам процесса.

3. Прогнозирование и реконструкция линейных и нелинейных процессов, имеющих детерминированную и случайную составляющие, возможны путем экстраполяции предварительно оптимизированного аппроксимирующего ряда.

4. Получены аналитические выражения для компонент аппроксимирующего ряда из условий минимизации его линейного или среднеквадратического отклонения от исходных точек.

5. Получены аналитические выражения для расчета влияния малых погрешностей исходных точек на точность прогнозирования.

6. Разработана расширенная классификация процессов на основе модулей и кратностей корней их характеристических уравнений.

7. Разработаны методы обработки первичного ряда, позволяющие уменьшить влияние случайных факторов на точность прогнозирования.

Практическая ценность работы:

1. Разработан и практически исследован ряд численных алгоритмов и методик реализации отдельных этапов прогнозирования.

2. Разработана универсальная программа прогнозирования и реконструкции различных природных и техногенных процессов.

3. Проведено прогнозирование ряда сложных процессов, имеющих важное практическое значение.

Обоснованность и достоверность научных положений и выводов подтверждается:

• соответствием результатов теоретических выводов и их экспериментальных проверок на многочисленных примерах;

• эффективностью созданной универсальной программы и хорошими результатами прогнозирования сложных процессов.

На защиту выносятся:

1. Разработанные аналитические соотношения для получения экстраполирующего ряда по дискретным равноотстоящим точкам процесса;

2. Разработанные аналитические соотношения для учета влияния погрешностей отдельных точек на точность прогнозирования;

3. Разработанные методики получения экстраполирующих рядов для нелинейных и параметрических процессов;

4. Разработанные методики прогнозирования процессов при наличии революционных воздействий и погрешностей исходных точек.

Реализация результатов работы:

1. Результаты работы используются в деятельности Республиканского гидрометеоцентра РСО-А при составлении различных долговременных прогнозов.

2. Результаты работы приняты к применению при создании новых систем управления производственными процессами НПК Югцветметавтоматика.

3. Программные средства и основные теоретические положения работы используются в СКГМИ(ГТУ) в учебном процессе при подготовке студентов по курсам "Методы анализа и расчета электронных схем" и "Преобразовательная техника".

Апробация работы. Основные результаты работы систематически докладывались на научных конференциях СКГМИ(ГТУ) и семинарах кафедры ИС в период с 2000 по 2004 г.

Публикации. Основное содержание работы опубликовано в шести печатных работах.

Настоящая работа является результатом исследований, выполненных на кафедре информационных систем в экономике Северо-Кавказского горнометаллургического института (государственного технологического университета).

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Кольвах, Денис Владимирович

4.12. Выводы по главе 4

1. Полученные формулы для определение коэффициентов а, , основанные на минимизации среднеквадратической ошибки, позволяют находить эти коэффициенты для первичного и усеченного ряда.

2. Предложенная классификация процессов на основе модулей и кратностей корней характеристического уравнения определяет не только стационарные и нестационарные процессы, но и некоторые дополнительные их типы.

3. Разработанная методика прогнозирования сложных процессов обеспечивает получение хорошего результата при высоком уровне шумов и неконтролируемых воздействий.

4. Примеры прогнозирования различных процессов подтверждают эффективность разработанного метода.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные и практические результаты работы сводятся к следующему:

1. Показано, что процессы любого типа могут быть аппроксимированы с предельно высокой точностью единственным рядом наименьшей длины, состоящим из степенных и показательных функций. Этот ряд является решением линейного однородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами, полученного по дискретным равноотстоящим точкам процесса.

2. Прогнозирование и реконструкция сложных процессов, имеющих детерминированную и случайную составляющие, возможны путем экстраполяции ряда, предварительно оптимизированного по разработанным критериям выбора типа процесса.

3. Получены формулы для определения компонент аппроксимирующего ряда из условий минимизации его линейного или среднеквадратического отклонения от исходных точек.

4. Получены формулы для расчета влияния малых погрешностей исходных точек на точность прогнозирования. Показано, что случайные погрешности отдельных точек могут взаимно компенсироваться при рациональном выборе количества этих точек.

5. Разработаны методы преобразования первичного ряда, позволяющие уменьшить влияние случайных факторов на точность прогнозирования. Методы основаны на ограничении резко нарастающих и спадающих компонент, усечении длины ряда и его оптимизации по критерию минимального среднеквадратического отклонения от исходных точек.

6. Разработан и практически исследован алгоритм решения алгебраических уравнений высокого порядка и алгоритм оптимизации компонент ряда по различным критериям поиска минимума отклонений ряда от всех исходных точек.

7. Разработана расширенная классификация процессов на основе модулей и кратностей корней характеристических уравнений.

8. Разработана общая методика прогнозирования сложных процессов на основе поэтапного преобразования первичного ряда с целью уменьшения влияния погрешностей исходных точек и случайных возмущающих факторов. 9. Разработана универсальная программа прогнозирования и реконструкции различных природных и техногенных процессов детерминированного и случайного характера.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Кольвах, Денис Владимирович, 2004 год

1. Алексеев О.Г. Комплексное применение методов дискретной оптимизации. - М.: "Наука", 1987 - 248с.

2. Аоки М. Введение в методы оптимизации. / Пер. с англ. М.: "Наука", 1977. - 344 с.

3. Астафьева Н.М. Вэйвлет-анализ: основы теории и примеры применения. // Успехи физических наук. 1998, Т.166. - №11, - с. 1145-1170.

4. Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ: подход с использованием ЭВМ. / Пер. с англ. М.: "Мир", 1982. - 488 с.

5. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: "Наука", 1965. - 325 с.

6. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: "Физматгиз", 1961.

7. Белоцерковский A.C. Метод ускоренного определения переходных процессов в многопериодных электронных схемах. // В журн. "Известия ВУЗов: Радиоэлектроника", 1989, №7, - с. 90-92.

8. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. / Пер. с англ. -М.: "Мир", 1974.

9. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. / Пер. с англ. М.: "Мир", 1989. - 540 е., ил.

10. Бендат Дж., Пирсол А., Применение корелляционного и спектрального анализа. / Пер. с англ. М.: "Мир", 1983. - 312 е., ил.

11. Бесстужев-Лада И.В. Прогнозирование в Советском Союзе. // "Курьер ЮНЕСКО", 1971, №4, - с. 22-28.

12. Бокс Д., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М., "Мир", 1974. - 406 с.

13. Болтянский В.Г. Математичекие методы оптимального управления. М.: "Наука", 1968. - 408с., ил.

14. Брайтер Г.В., Пановский Г.А. Статистические методы в метерологии. Л.: "Госметеоиздат", 1967. - 242 с.

15. Бухалев В.А. Распознование, оценивание и управление в системах со случайной скачкообразной структурой. М.: "Наука", Физматлит. - Серия "Теоретическиеосновы технической кибернетики" 1996. 288 с.

16. Вейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: "Наука", 1966. -295 с.

17. Виноград С., Коуэн Дж.Д. Надежные вычисления при наличии шумов. / Пер. с англ. Е.А. Бочек и В.Г. Чернова. / Под ред. A.B. Шилейко. М.: "Наука", 1968. -112 е., черт.

18. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: "Наука", 1984.

19. Вопросы статистической теории распознования. / Под. ред. Б.В. Барского. М.: "Сов. радио", 1967. - 400 е., ил.

20. Воробьев H.H. Теория рядов. 6-е изд. - СПб.: Изд-во "Лань", 2002. - 408 с.

21. Гаврилов H.H. Методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. -• М.: "Наука", 1973.-312 с.4. 22. Галушкин А.И. Теория нейронных сетей. 2-е изд., доп. - М.: "Радиотехника",2003.- 256 с.

22. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: "Наука", 1967. - 576 с.

23. Голованов JI.B., Саркисян С.А. Прогнозирование развития больших систем. М.: "Статистика", 1975.- 192 с.

24. Головко В.А. Нейрокомпьютерные сети: обучение, организация, применение. Монография. М.: "ИПРЖР", 2001. - 255 е., ил.

25. Горбатов В.А. и др. Логическое управление распределенными системами. М.: ^ "Энергоатомиздат", 1991. - 286 с.

26. Горбатов В.А. Теория частично упорядоченных систем. М.: "Советское радио", 1979. - 352с.

27. Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. М: "Наука", 1999. - 174с.

28. Горбатов В.А. Характеризационное управление при оптимизации систем. // Сб. «Оптимизация дискретных систем управления», Москва, 1979.

29. Горбачевский С.К., Жук С.Я. Модифицированный алгоритм рекуррентно -поискового оценивания. // В журн. "Известия ВУЗов: Радиоэлектроника", №2, -1993,-с. 60-64.

30. Горский В.Г., Адлер Ю.П. и др. Планирование промышленных экспериментов. -М.: "Металлургия", 1978. 112 с.

31. Гроппен В.О. Принципы оптимизации комбинаторных процедур. Изд. РГУ,1988. 200 с.

32. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: "Физматгиз", 1977. - 224 с.

33. Демирчан К.С. и др. Проблемы численного моделирования процессов в электрических цепях. // Известия АН СССР: "Энергетика и транспорт", №2, -1982.

34. Дик В.В. Методология формирования решений в экономических системах. М.: "Экономика", 2002. - 300 с.

35. Добров Г.М. Прогнозирование науки и техники. М.: "Наука", 1969. - 208 с.

36. Дубров A.M. и др. Многомерные статические методы. М.: "Финансы и статистика", 2000. - 352 с.

37. Зангвилл У.И. Нелинейное прогнозирование. М.: "Советское радио", 1973.

38. Заяц В.М. Ускоренный поиск установившихся режимов ВЧ автогенераторах с длительными переходными процессами. // Известия ВУЗов: "Радиоэлектроника", №3,- 1993, -с. 26-32.

39. Ивахненко А.Г. Долгосрочное прогнозирование и управление сложными системами. Киев: "Техника", 1975. - 312 с.

40. Ито К. Вероятностные процессы. Вып. 2. / Пер. с японского А.Д. Вензеля. / Под ред. Е.Б. Дынкина. - М.: Изд. "Иностранная лит-ра", 1963. - 136 с.

41. Казаков И.Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний. М.: "Наука", "Физматгиз", 1975. - 432 с.

42. Казаков И.Е. Статическая динамика нелинейных автоматических систем. М.: "Физматгиз", 1962.

43. Каспин В.И., Лисичкин В.А. Понятийный аппарат прогностики. // В сб. "Соревнование двух систем". М.: "Наука", 1971. - 566 с.

44. Кацнельсон JI.3. Эрмуша А.Е. Эффективный адаптивный алгоритм оптимизации для нелинейных задач метода наименьших квадратов. // Известия ВУЗов: "Радиоэлектроника", №6, - 1989, - с. 84-87.

45. Кини Р., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. М.: "Радио и связь", 1981, 559с.

46. Колмогоров А.Н. Аналитические методы в теории вероятности. // "Успехи математических наук", вып. 5, - 1938.

47. Колмогоров А.Н. Интерполирование и экстраполирование стационарныхслучайных последовательностей. // Изв. АН СССР, сер. матем., т.5, - №1, - 1941, -с. 5-16.

48. Труды СКГТУ". Владикавказ, изд. "Терек", - вып. 9, - 2002, - с. 205-212.

49. Кольвах Д.В., Кольвах В.Ф. Прогнозирование процессов в сложных системах с помощью комбинированных рядов. // В сб. РАН "Труды молодых ученых", -Владикавказ, изд. "Терек", №1, - 2003, - с. 33-39.

50. Кольвах Д.В., Кольвах В.Ф. Влияние погрешностей исходных точек на точность прогнозирования. //В сб. РАН "Труды молодых ученых", № 2, - 2003 г. - с.31-35.

51. Кольвах В.Ф., Кольвах Д.В. Эффективный алгоритм обращения матрицы ф, Вандермонда. // В сб. РАН "Труды молодых ученых", Владикавказ, изд. "Терек",- №4, 2003. - с. 17-20.

52. Кольвах В.Ф., Кольвах Д.В. Прогнозирование стационарных процессов с помощью тригонометрических рядов с некратными частотами. // В сб. РАН "Труды молодых ученых", Владикавказ, изд. "Терек", - №5, - 2004.

53. Корецкий C.JL, Лерман Л.Б., Роскач О.С. Использование динамического факторного анализа в прогнозировании развития стохастических и детерминированных систем. Киев: "КДЕУ", - вып. 59, - 1966.

54. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и т инженеров. / Пер. с англ. М.: "Наука", 1976. - 304 с.

55. Котюк А.Ф. и др. Методы и аппаратура для анализа характеристик случайных процессов. М.: "Энергия", 1967. - 240 с.

56. Кофман А.В. Введение в прикладную комбинаторику. / Пер. с англ. М.: "Наука",1975. 479 с.

57. Красовский A.A. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными процессами. М.: "Наука", 1977.

58. Куликов Н.К. Многофакторное прогнозирование на основе функций с гибкой структурой. // В кн. "Основные проблемы и задачи научного прогнозирования". -М.: 1972. 151 с.

59. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: "Наука", 1971. - 432 с.

60. Кучерявый Е.А., Яновский Г.Г. Метод прогнозирования мультимедийного траффика в сетях ATM. // Тезисы конференции "Информационные сети и системы". М.: 1999, - с. 9.

61. Ланкастер П. Теория матриц. / Пер. с англ. М.: "Наука", 1982. - 272 с.

62. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. М.: 1966. - 176 с.

63. Лисичкин В.А. Прогнозирование в науке и технике. М.: 1968. - 107 с.

64. Лисичкин В.А. Теория и практика прогностики. М.: "Наука", 1972. - 224 с.

65. Майника Э. Алгоритмы оптимизации на сетях и графах. М.: "Мир", 1981. - 167с

66. Марпл-мл., С.Л., Цифровой спектральный анализ и его приложения. / Пер. с англ. М.: "Мир", 1990.-584 е., ил.

67. Марчук Г.И. Введение в методы вычислительноу математики. Новосибирск, изд. НГУ, 1971.-471 с.

68. Метеорологические исследования. // Сб. статей, №13, - 1968.

69. Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа. М.: "Наука", 1981. -488с.

70. Молер К., Форсайт Д. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.: "Мир", 1969. - 167 с.

71. Мясников В.Н. Рекуррентный метод анализа электронных схем. // Известия ВУЗов: "Радиоэлектроника", №6, - 1989, - с. 95-98.

72. Налимов В.В. Теория эксперимента. М.: "Наука", 1971. - 207 с.

73. Норенков И.П. Комбинированные методы моделирования и анализа в системах автоатизированного проектирования. "Приборостроение", - №9, - 1983, - с. 77-82.

74. Осуга С. Обработка знаний. М.: "Мир", 1989. - 200с

75. Песаран М., Слейтер Л. Динамическая регрессия: Теория и алгоритмы. / Пер. с англ. М.: "Финансы и статистика", 1984. - 301 с.

76. Прудников А.П. и др. Интегралы и ряды, специальные функции. М.: "Наука", 1983.-750 с.

77. Пугачев B.C. Введение в теорию вероятностей. М.: "Наука", 1968. - 367с.

78. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам 4¡> автоматического управления, 3-е изд. М.: "Физматгиз", 1962. - 883 с.

79. Пугачев B.C. Теория случайных функций. М: "Физматгиз", 1960. - 884 с.

80. Расчет систем управления на ЦВМ: Спектральный и интерполяционный методы. / Солодовников В.В., Семенов В.В., Пешель М., Недо Д. / Под ред. В.В. Солодовникова, М Пешеля. М.: "Машиностроение", 1979. - 664 е., ил.

81. Розов А.К. Нелинейная фильтрация сигналов, 2-е изд., перераб. и доп. Спб.: "Политехника", 2002. - 372 е., ил.• 86. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. ф, Примеры. 2-е изд., испр. М.: "Физматлит", 2002. - 320 с.

82. Самообучающиеся системы распознавания и автоматического управления. Киев: "Техника", 1969. - 392 с.

83. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в системах со многими критериями. М.: "Наука", 1981. - 147 с.

84. Солодовников A.C. Математика в экономике. / Части 1,2, 2-е изд. М.: "Финансы и кредит", 2003. - 384 с.

85. Справочник по теории автоматического управления / Под. ред. A.A. Красовского. Ф М.: "Наука". Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 712 с.

86. Статистические методы для ЭВМ. / Под. ред. К. Энслейна, Э. Релстона, Г.С. Уилфа. М.: "Наука", 1986.

87. Стратанович PJL Избранные вопросы теории флуктуации в радиотехнике. "Сов. радио", 1961.-311 с.

88. Теория прогнозирования и принятия решений. / Под ред. Саркисяна С.А. М.: "Высшая школа", 1977. - 351 с.

89. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: "Наука", 1974. - 224 с.

90. Турецкий А.Х. Теория интерполирования в задачах. Минск: "Высшая школа",1968. 320 с.

91. Уайлд Д.Дж. Методы поиска экстремума. М.: "Наука", 1967.

92. Уолш Дж.Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями вкомплексной области. М.: изд. "Иностранной лит-ры", 1961. - 508 с.

93. Хорн. Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. / Пер. с англ. М.: "Мир", 1989.

94. Цурков В.И. Декомпозиция в задачах большой размерности. М.: "Наука", 1981. -350 с.

95. Цыпкин Я.3. Теория линейных импульсных систем. М.: "Физматгиз", 1963. -968 с.

96. Чижевский A.JI. Земное эхо солнечных бурь. М.: "Мысль", 1976. - 367 с.

97. Чуев Ю.В., Михайлов Ю.Б. и др. Прогнозирование количественных характеристик процессов. М.: "Советское радио", 1975.

98. Чуй Ч. Введение в вэйвлеты. / Пер. с англ. М.: Мир, 2001. - 412 е., ил.

99. Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики, 2-е изд., испр. -М.: Физматлит, 2003. 296 с.

100. Шастова Г.А., Коекин А.И. Выбор и оптимизация структуры информационных систем. М.: "Советское радио", 1975. - 200с.

101. Шиголев Б.М. Математическая обработка наблюдений. М.: "Физматгиз", 1962. - 344 с.

102. Шмелев А.Б. Основы марковской теории нелинейной обработки случайных полей. М.: Изд-во МФТИ, 1998. - 208 с.

103. Ширяев А.Н. Некоторые новые результаты в теории управляемых случайных процессов. // Trans. Fourth. Prague Conference on Inform. Theory, Statistical Decision Functions, Random Processes. Prague, 1967. - p. 131-203.

104. Шурыгин A.M. Прикладная стохастика: Робастность, оценивание, проноз. М.: "Финансы и статистика", 2000. - 224 с.

105. Эйрес Р. Научно-техническое прогнозирование и долгосрочное планирование. -М.: "Мир", 1971.

106. Эндрюс Д., Мак-Лоун Р. Математическое моделирование. М.: "Мир", 1977. -341с.

107. Ямпольский С.М. и др. Прогнозирование научно-технического прогресса. М., "Экономика", 1974. - 207 с.

108. Bankovy G., Veliczky J., Ziermann M. Comparative dynamic analysis of the development of some European countries. Budapest, 1982. - 93 p.

109. Box D., Jenkins G. Time Series Analysis. Forecasting and Control. San Francisco, Holden Day, 1970.-296 p.

110. Cochrane D., Orcutt G.H. Application of least squares regression to relation-ships containning autocorrelated error terms //J. Am. Stat. Assn. 1994, - №44, - p. 32-61.

111. Granger C.W.J., Newbold P. Forecasting Economic Time Series. New York: Academic Press, 1977. - 411 p.

112. Harvey A., Scott A. Seasonality in dynamical regression models // Econ. J. 1994,104,-№427,-p. 1324-1345.

113. Kalman R.E. A new approach to linear filtering and prediction problems. // Trans. ASME Journ. Basic Engineering, March, - v. 83D, - №1, - 1961, - p. 35-45.

114. Kalman R.E., Busy R.S. New results in linear filtering and prediction problems. // Trans. ASME Journ. Basic Engineering, March, - v. 83D, - №1, - 1961, - p. 95-108.

115. Kendall M.G. Time Series Analysis. London, Griffin, 1973. - 267 p.• 121. Schoenberg I.J. Contributions to the problem of approximation of equidistant data by4 analytic functions, Quart. Appl. Math. 4, 1946. - p.p. 45-99, 112-141.

116. Schumaker L.L. Spline Functions: Basic Theory. New York, Wiley-Interscience, 1981.

117. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series. John Willey, - №7, - 1949.