Разработка математической теории и численных методов для решения некоторых классов негладких задач оптимизации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, доктор физико-математических наук Полякова, Людмила Николаевна

• Полякова, Людмила Николаевна
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Полякова, Людмила Николаевна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Список используемых обозначений

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА

1.1. Выпуклые множества. Многозначные отображения

1.2. Выпуклые функции

1.2.1. Основные определения и свойства

1.2.2. Сопряженная функция

1.2.3. Субдифференциал Выпуклой функции

1.2.4. Инфимальная конволюция выпуклых функций

1.2.5. Необходимые и достаточные условия минимума выпуклой функции

1.3. Нормальный конус

1.4. Опорная функция

1.5. е - субдифференциал выпуклой функции

1.5.1. Геометрическая интерпретация £ - субдифференциала

1.5.2. в - производная по направлению выпуклой функции

1.6. Гладкая аппроксимация выпуклых функций

1.7. Разность выпуклых множеств

Г Л А В А

КВАЗИДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ КВАЗИДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОЖЕСТВА

2.1. Основные свойства квазидифференцируемых функций

2.1.1. Основные формулы квазидйфференциального исчисления

2.1.2. Необходимые и достаточные условия оптимальности квазидифференцируемой функции на Мп

2.2. Условия регулярности для квазидифференцируемых

множеств

2.3. Условия регулярности для квазидифференцируемых

множеств типа "равенств"

2.4. Нормальный конус к квазидифференцируемому множеству

2.5. Достаточные признаки выполнения условий регулярности квазидифференцируемых множеств

2.6. Необходимые и достаточные условия оптимальности квазидифференцируемых функций на квазидифференцируемом множестве типа "неравенства"

2.6.1. Необходимые условия оптимальности

2.6.2. Направления наискорейшего спуска и подъема

2.6.3. Достаточные условия локальных экстремумов

2.7. Необходимые и достаточные условия оптимальности квазидифференцируемых функций на квазидифференцируемом множестве типа "равенства"

2.7.1. Необходимые условия оптимальности

2.7.2. Направления наискорейшего спуска и подъема

2.7.3. Достаточные условия локальных экстремумов

2.8. Субдифференциал Кларка квазидифференцируемых функций

Г Л А В А

МИНИМИЗАЦИЯ ГИПОДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

3.1. Гиподифференцируемые функции

3.1.1. Определения и основные свойства

3.1.2. Необходимые условия минимума гипо дифференцируемой функции

3.2. Связь между гиподифференциалом и е-субдифференциалом полиэдральной функции

3.3. Метод гиподифференциальноГо спуска

3.3.1. Безусловная минимизация

3.3.2. Условная минимизация

3.4. Отыскание направления гиподифференциального спуска

3.5. Минимизация с постоянным шагом функции максимума сильно выпуклых функций

3.6. Минимизация разности максимумов гладких функций

Г Л А В А

МИНИМИЗАЦИЯ РАЗНОСТИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ

4.1. Необходимые и достаточные условия глобального и локального экстремумов разности выпуклых функций

4.1.1. Задача безусловной оптимизации

4.1.2. Задача условной оптимизации

4.2. Гладкая аппроксимация разности выпуклых функций

4.3. Релаксационные методы минимизации разности выпуклых функций

4.4. г - методы минимизации разности выпуклых функций

Г Л А В А

КВАЗИДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ

5.1. Точные штрафные функции

5.2. Выпуклый случай.

Задача классической оптимизации

5.3. Условная минимизация разности выпуклых функций

ЛИТЕРАТУРА

Используемые обозначения

3Rn - евклидово пространство размерности п, Оп - нулевой элемент пространства Rn, cl (X) - замыкание множества Ici",

int (X) - множество внутренних точек множества X С №п,

bd (X) - множество граничных точек множества 1сКп,

Lin (X) - линейная оболочка множества X С Мп,

L1- - ортогональное дополнение линейного пространства L,

äff (X) - аффинная оболочка множества X С Rn,

ri (X) - относительная внутренность множества X С Ш.п,

cone (X) - коническая оболочка множества X С Мп,

со (X) - выпуклая оболочка множества X С М",

ext (X) - множество экстремальных точек множества X С К

rext (X) - множество экстремальных лучей множества X С I

exp (X) - множество экспонированных точек множества X С

rexp X - множество экспонированных лучей множества X С

(х, у) ~~ скалярное произведение векторов х G Жп и у G Мп,

\\х\\ - евклидова норма вектора х G Еп:

INI =

К* - конус сопряженный конусу К:

к* = {w g мп | (v,w) >о Vue к}, Sr(x) - замкнутый шар радиуса г с центром в точке х G Мп:

Sr(x) = {yeRn\ \\у-х\\<г}, Вг(х) - открытый шар радиуса г с центром в точке х G IRn:

Br(x) = {у G Rn I ||y-a;||<r },

n

)П

)П

)П

О, х £ X, +оо, х £ X,

р(д,Х) - опорная функция множества X:

р(д,Х) = sup (х,д),

хех

6(х,Х) - индикаторная функция множества X:

6(х,Х) = {

fi(x,X) - калибровочная функция множества X:

ц(х, X) = inf{A >0\х е XX}, (fiOf2)(x) - инфимальная конволюция функций /1 и /2 в точке х:

(ЮЬ)(х)= inf {/1Ы + /2Ы},

Xi Х2 = х

xi,x2 £ Mn /* - функция, сопряженная к функции /:

f*{v) = sup {(ж,?;) - /(ж)},

п.

/'(ж) - градиент непрерывно дифференцируемой функции / в точке

ж е мп,

/'(х, <7) - производная до направлению д 6 функции / в точке

у Л4.0 Л

де!(х)

дд

жег

- е- производная по направлению д € Мп функции / в точке def(x) _ . f f(x + Лд) - f(x) + £

дд А>о Л

f'cl(x,g) - обобщенная производная Кларка по направлению д G функции / в точке G Ми,

) п

/н(х,д) - производная Адамара по направлению д Е Мп функции / в точке Е

д/(х) - субдифференциал выпуклой функции / в точке х Е К",

дf(x) = { V Е Еп | ¡(г) - ¡(х) >{и,г- х) Чх € Мп }, д£/(х) - £>субдифференциал выпуклой функции / в точке х Е Мп,

дЕ/(х) = { V Е Жп | ¡(г) - ¡(х) > (V, г - х) - е Ух Е Еп } дс1${%) ~ субдифференциал Кларка липшицевой функции / в точке

Vf{x) - квазидифференциал квазидифференцируемой функции / в точке ж Е Жп,

д$(х) - субдифференциал квазидифференцируемой функции / в точке ж Е

дf(x) - супер дифференциал квазидифференцируемой функции / в точке х Е Еп,

0/(х) - кодифференциал кодифференцируемой функции / в точке х Е

<И{х) - гиподифференциал кодифференцируемой функции / в точке ж Е Мп,

с1/(х) - гипердифференциал кодифференцируемой функции / в точке х Е М",

Г(Х, х) - конус Булигана в точке х Е X ,

Г(Х, х) = Е Мп | {ж*} Е X, хк ф х,

Ж/г-Ж д

\\xk-xW 1Ы1Г

Ы(Х, ж) - нормальный конус в точке х £ X,

7(Х, ж) = {д Е Мте | З^о > 0 х + ад еХ Уа Е [0, а0) } , х £ X, 71(Хух) = {деШп\Г(х,д)<0}, х Е X,

)П.

7о (X, х) = {д £ | ?{х, д) = 0 } , же X, 1_(Х,х) = {детп\Г(х,д)<0}, хех: 1+(Х,х) = {деШп\Г(х,д)>0}, х е х, 8(А, В) - уклонение множества X С Мп от множества У С

¿(Х,У) = 8ир -г/Ц,

рн(Х,У) - хаусдорфово расстояние между множествами X и У:

рн(Х,У) =тах{5(Х,У),5(У,Х)}, рх(у) ~ расстояние от точки у до множества X:

рх(у) = ||аг-2/||, X + У - сумма выпуклых множеств X С Мп и У С №п:

Х + У = {х + у\х£Х, у е У},

ХЧ-У - разность Минковского-Понтрягина двух выпуклых множеств ХсГиГсГ:

Хч-У = {г ег \г + У сх },

Тх - множество точек д Е М", в которых дифференцируема опорная функция р(д, X) компактного выпуклого множества X С Кп, X—У - разность Демьянова выпуклых компактных множеств X С Мп и У С мп:

я = = с1 СО {* = р'(д, X) - У), <7 € Т* П Ту} ,

)П

X - У = с1 со и {х(д) - у(д)} , где 1,Ус1и - выпуклые компакты,

Х(К) = и х(д), где 1с1"~ выпуклый компакт, дек

X = и х(д), где Хс1п~ выпуклый компакт,

д£Шп

рг {г) - проекция точки г Е Мп,

Л{Х) = {х Е ьа (X) | 32 0 X, ж = рг (2)}.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка математической теории и численных методов для решения некоторых классов негладких задач оптимизации»

ВВЕДЕНИЕ

В последние десятилетия вопросы негладкого анализа и недиффе-ренцируемой оптимизации привлекают большое внимание ученых и инженеров. Негладкий анализ находит многочисленные применения в теоретической механике, теории упругости, экономике и многих других областях, но преимущественно там, где исследуются задачи экстремального характера. Поэтому в настоящее время особое внимание уделяется конструированию численных методов, позволяющих отыскивать решения подобных задач. Проблематикой негладкого анализа, в частности, развитием теоретической базы и построением численных методов, активно занимается большая группа отечественных и зарубежных математиков, среди которых Р.Габасов, В.Ф.Демьянов, Ю.Г.Евтушенко, Ю.М.Ермольев, А.Д.Иоффе, Ж.- Б. Ириа-Уррути, Ф. Кларк, Ф.М.Кириллова, Б.Ш.Мордухович, Ж.-П. Обен, Ж.-П. Пено, Б.Т.Поляк, Б.Н.Пшеничный, Р.Рокафеллар, А.М.Рубинов, В.М.Тихомиров, Х.Туй, Н.З.Шор, И.Экланд и многие другие.

Настоящая работа посвящена исследованию некоторых классов негладких функций и соответствующих задач недифференцируемой оптимизации. Основным отличием этих классов является то, что изучаемые функции, не являясь гладкими, сохраняют дифференци-руемость по направлениям. Для дифференцируемых по направлениям функций удается формулировать конструктивно проверяемые необходимые и достаточные условия экстремума и строить численные методы при наличии различных условий. Наиболее важными и богатыми классами таких функций являются квазидифференциру-емые и кодифференцируемые функции. Используя специфику некоторых классов этих функций, например, функций максимума, выпуклых функций, разности выпуклых функций, удается получать более полные и исчерпывающие результаты.

В первой главе рассматриваются некоторые вопросы выпуклого анализа. Выпуклый анализ является одним из наиболее глубоко исследованных разделов негладкого анализа. В отсутствие гладкости свойство выпуклости дает возможность использовать богатый набор аналитических средств для развития содержательной теории условий экстремальности. Выпуклые множества и выпуклые функции -основной инструмент в теоретических исследованиях во многих вопросах недифференцируемой оптимизации. В этой главе формулируются некоторые известные сведения из выпуклого анализа, так как они необходимы для дальнейшего понимания излагаемого материала. Их доказательство можно найти в литературе по выпуклому анализу, например, в [98,138,147,195,196]. Также в этой главе доказывается ряд новых результатов выпуклого анализа. Изложение материала ведется, в основном, в терминологии и обозначениях, принятых в книге Р.Рокафеллара "Выпуклый анализ" (см. [153]). функций справедливо и обратное свойство, а именно, если ее субдифференциал в некоторой точке состоит из единственного субградиента, то в этой точке функция непрерывно дифференцируема. Роль субдифференциала в выпуклом программировании почти такая же, как и роль градиента в случае оптимизации гладких функций. С его помощью выписываются необходимые и достаточные условия минимума выпуклой функции, строятся численные методы, как при наличии ограничений, так и без ограничений. Так как субдифференциальное отображение не является непрерывным по Хаусдорфу, то это представляет большую трудность при конструировании численных методов.

В третьем параграфе вводится определение нормального конуса и доказываются некоторые его свойства. Особое внимание уделяется непрерывности конических отображений по Какутани.

Теорема 3.1. Если точка хо £ Мп не принадлежит границе выпу-

клого замкнутого множества X С М.п, то коническое отображение

ЩХ, •)

)П

непрерывно по Какутани в точке где х) - нормальный конус

в точке х Е Мп к множеству X С К".

В параграфе 1.4 изучаются свойства опорной функции выпуклого множества. Поскольку субдифференциал опорной функции выпуклого компактного множества в нулевой точке совпадает с самим множеством, а субдифференциалы этой функции в других точках содержатся в нем, то это свойство позволяет ввести понятие образующего множества.

Пусть К - конус в Г и I С 1" - непустое компактное выпуклое множество, д € Мп,

х€др(д,Х)

Вектор х(д) единствен и при этом х(д) € X. Положим

Х(К) = У х(д). дек

Множество Х(К) для каждого конуса К определяется единственным образом. Множество Х(К) называется образующим множеством компактного выпуклого множества X относительно конуса К. Если К = М.п, то примем обозначение X = Х(ЖП). Таким образом, зная образующее множество, мы можем восстановить и само множество. В дальнейшем понятие образующего множества будет использовано при построении разности Демьянова выпуклых множеств.

В следующем параграфе вводится £ - субдифференциал выпуклой функции, дается его геометрическая интерпретация, устанавливается связь между £ - субдифференциалом и нормальным конусом к над-графику данной выпуклой функции. И, как следствие из теоремы 3.1 и доказанных в этом параграфе свойств, вытекает непрерывность по

Хаусдорфу е - субдифференциального отображения выпуклой функции по х € М.п и е > 0. Впервые факт непрерывности по Хаусдорфу £ - субдифференциального отображения был отмечен Рокафел-ларом (см. также работы Нурминского [129,130]) Таким образом, в силу этих свойств £ - субдифференциального отображения выпуклой функции / при £ > 0, опорная функция £ - субдифференциала конечной выпуклой на Мп функции / в точке жо € К.п

max (viq)=p(q1def(x0))1 g € Rn,

oq ved£f(x0)

является непрерывной не только по параметру q £ Мп, но и по х Е Шп.

В этом параграфе также доказывается дифференцируемость по на-

d£f(x о)

правлениям функции —^—- и выводится ее производная по напра-

oq

влению t € К™. Данное представление имеет более простой вид, чем представление, полученное К.Лемарешалем и Е.Нурминским [207] (см. также [68,107]).

В шестом параграфе этой главы для произвольного выпуклого замкнутого множества строится его аппроксимация "гладкими" выпуклыми множествами.

Пусть X С Шп - выпуклое замкнутое множество и £ > 0. Рассмотрим множество Хе — X + e5i(0n,). При этих предположениях справедлива

Теорема 6.1. При фиксированном £ > 0 в произвольной граничной точке Xq £ bd (Х£) нормальный конус к множеству Х£ в точке xq состоит из единственного луча.

Далее изучаются свойства функции /е(х) — (fUt£)(x), которая получена в результате инфимальной конволюции выпуклых функций / и te, где

tc(x) = / -л^2 - № IWI<*.

( +оо, в остальных точках.

Надграфиком функции /е будет множество epi f£ — epi / + £5i(0n.fi).

В последнем параграфе этой главы рассматриваются некоторые свойства разности Демьянова [68] двух непустых компактных выпуклых множеств. Дается другое, более конструктивное, представление этой разности. Также показывается, что множество

X-Y= U Ш-у(д) ], деШп

дфоп

где х(д),у(д) - элементы образующих множеств X С X С С

Y С Мп, соответственно, можно считать невыпуклой разностью двух непустых выпуклых компактных множеств.

Во второй главе изучаются свойства квазидифференцируемых функций и квазидифференцируемых множеств. Понятия квазидиффе-ренцируемой функции и квазидифференциала были введены Демьяновым и Рубиновым [232] и изучены автором в работах [231,232,234, 237,238,240].

Пусть функция / определена на открытом множестве X С в каждой точке х £ X дифференцируема по любому направлению д £ Мп и при этом для ее производной по направлению справедливо разложение

/ (я, д) = lim-г-= max {v, д) + min (w, д),

А4.0 Л «€9Д®) wedf(x)

где df(x) С М», df(x) С М.п, - выпуклые компактные множества.

Функцию /, удовлетворяющую этим свойствам, будем называть квазидифференцируемой в точке х £ X. Пара множеств T>f(x) = [df(x), df(x)] называется квазидифференциалом квазидифференцируемой функции / в точке х, а множества df(x) С Мп и df(x) С Мп, соответственно, - субдифференциалом и супердифференциалом квазидифференцируемой функции / в точке х. Поскольку квазидифференциал квазидифференцируемой функции / в точке х £ Rn определен

неоднозначно, то множества и д/(х) должны рассматриваться

только как пара. Таким образом, существенным отличием от дифференцируемых и выпуклых функций является то, что с каждой точкой области определения квазидифференцируемой функции связано не одно, а пара множеств.

Класс квазидифференцируемых функций достаточно широк. Непрерывно дифференцируемые, выпуклые, вогнутые, выпукло-вогнутые функции являются квазидифференцируемыми функциями.

В первом параграфе рассматриваются основные свойства квазидифференцируемых функций. Показывается, что множество квазидифференцируемых функций является линейным пространством над полем вещественных чисел и замкнутым относительно арифметических операций, относительно операций взятия максимума и минимума от конечного числа квазидифференцируемых функций. Кроме того, при некоторых предположениях композиция квазидифференцируемой функции также квазидифференцируема. В терминах квазидифференциала формулируются необходимые и достаточные условия экстремума квазидифференцируемой функции как на всем пространстве М.п, так и при наличии квазидифференцируемых ограничений. Если в какой - либо точке не выполняются эти условия, то в ней строятся направления наискорейшего спуска или подъема.

В параграфе 2 этой главы изучаются свойства квазидифференцируемых множеств вида

х = {х е мп | Ф) < о}, (2.1)

где (р - локально липшицевая квазидифференцируемая на функция.

Огромную роль при конструировании численных методов условной оптимизации играют условия регулярности, накладываемые на множества. Для квазидифференцируемых множеств будем использовать следующее условие регулярности :

будем говорить, что в точке х £ X для множества X выполнено условие регулярности, если справедливо равенство

ЦХ,х) = 71(Х,х)

(2.11)

где Г(Х, х) - конус Булигана в точке х £ X множества X и

Ъ(Х,х) = {деЖп\ (р'(х,д)<0}.

Условие регулярности (2.11) является обобщением условий, накладываемых Абади [15] при минимизации на множестве, заданном с помощью гладких неравенств. Это условие является удобным, поскольку в ряде задач, например, в выпуклом программировании, для конуса 71 существует конструктивное представление, выписываемое через квазидифференциал функции <р в конкретной точке. В этом параграфе также формулируются некоторые достаточные признаки выполнения данного условия регулярности для квазидифференциру-емых множеств различного вида, в частности, когда квазидифферен-цируемое множество есть пересечение или объединение конечного числа квазидифференцируемых множеств.

Особое внимание в работе уделяется квазидифференцируемым множествам вида

Для такого типа множеств условие регулярности формулируется следующим образом:

будем говорить, что в точке х £ X для множества X вида (3.1) выполнено условие регулярности, если справедливо равенство

Для этого случая также приводятся достаточные признаки выполнения данного условия в терминах квазидифференциала функции (р.

(3.1)

где 70(А» - { д £ К" | <рГ(х,д) = О } .

(3.2)

При исследовании свойств не только квазидифференцируемых множеств, но и множеств другой структуры большую роль играет нормальный конус к данному множеству в некоторой точке этого множества, который определяется как сопряженный конус к множеству X С Жп в точке х £ X взятый со знаком минус. При таком определении нормальный конус всегда является замкнутым выпуклым конусом. Иногда в граничных точках множества нормальный конус Ы(Х,х) может состоять из единственной нулевой точки, но если точка х £ Ьс1 (X) есть проекция точки г 0 X, то в этом случае нормальный конус к множеству X содержит помимо нулевой точки и направление г — х.

Для квазидифференцируемых множеств вида (2.1) и (3.1) при выполнении соответствующих условий регулярности удается выписать аналитическое представление нормального конуса через квазидифференциал функции (р .

В следующем параграфе формулируются и доказываются достаточные условия выполнения сформулируемых выше условий регу-лярностей для квазидифференцируемых множеств. Очевидно, что от свойств функции (р1 определяющей данное множество, зависит решение многих задач. Особенно это проявится при конструировании методов точных штрафных функций. Поэтому на квазидифферен-цируемую функцию (р необходимо также накладывать те или иные условия регулярности, позволяющие работать с квазидифференци-руемыми множествами вида (2.1) и (3.1). Например, в задаче выпуклого программирования от функции р> требуют выполнения условия Слейтера - необходимо существование точки, в которой функция отрицательна, в случае, когда множество вида (3.1) задано с помощью конечного числа непрерывно дифференцируемых функций, таким условием регулярности служит условие линейной независимости градиентов в рассматриваемой точке.

Поскольку квазидиффереццируемая функция по определению явЛя-

ется дифференцируемой по любому направлению, то будем рассматривать следующее условие:

будем говорить, что для функции <р, задающей множество X, выполняется условие регулярности в точке х* Е Ьс1 (X), если найдутся такие положительные числа е* = е{х*) и (3(х*) , что

-*>'(*,9)+ £(*'), (5-1)

а

Уа Е (0,^*3, Ух Е Д(Х) П (ж*), Е Х(Х,ж), - 1.

Тогда справедливы

Лемма 5.1. Если для функции <р в точке х* Е Л(Х) выполнено условие регулярности (5.1), то

<р'(х\9)>Р{х*) ЧдеЩХ,х*), \\д\\ = 1. (5.2)

Теорема 5.1. Ёсли для функции ср в каждой точке х* Е Ьс1 (X) выполнено условие регулярности (5.1), то в каждой граничной точке множества X выполнено условие регулярности (2.11).

В следующих двух параграфах формулируются и доказываются необходимые и достаточные условия экстремума квазидифференци-руемой функции на квазидифференцируемых множествах типа "неравенства" и типа "равенства", строятся направления наискорейшего спуска и подъема для квазидифференцируемой функции из точки квазидифференцируемого множества.

Пусть квазидифференцируемые функции / и <р локально липшице-вы на и Т>/(х) = [с?/(ж), д/(х)], Т>(р(х) — \д}р{х),дц>(х)] - их квазидифференциалы в точке х . Предположим, что множество X задано в виде неравенства (2.1) Рассмотрим задачу: найти

М/(х). (6.1)

х£Л

Справедливы

Теорема 6.3. Пусть точка х* Е X. Предположим, что в точке х* для множества X выполнено условие регулярности (2.11 ),если (р(х*) — 0. Тогда, для того чтобы в этой точке квазидифференцируе-мая функция f достигала своего наименьшего значения на квазидиф-ференцируемом множестве X,необходимо, чтобы

-д/(х*) Сд/(х*), если <р(х*) < 0, (6.2)

-д/{х*) С р| Е/(ж*) + с1(сопе(<9^(ж*) + ад'))], (6.3)

и>' €д(р(х*)

если <р(х*) = 0.

Теорема 6.5. Если в точке ж*, <р(х*) = 0, выполнено условие регулярности (2.11), то для того чтобы в этой точке квазидифферен-цируемая функция f достигала своего наименьшего значения на ква-зидифференцируемом множестве X, необходимо, чтобы выполнялось включение

-дНх*)сШ(х*) + ЩХ,х*).

Необходимые условия, приведенные в теоремах 6.3 и 6.5, являются эквивалентными.

Пусть множество X задано в виде (3.1). Тогда справедливы

Теорема 7.1. Пусть в точке х* £ X выполнено условие регулярности (3.2). Для того чтобы в точке х* квазидифференцируемая функция / достигала своего наименьшего значения на квазидиф ференцируемом множестве X, необходимо, чтобы

-£/(**) С р| Е/0О-С1 СП«,«;))]. (7.2)

V Е д(р{х*) и; Е д(р(х*)

Для того чтобы в точке х* квазидифференцируемая функция f достигала своего наибольшего значения на квазидифференцируемом

множестве X, необходимо, чтобы

~df{x*) С р| р/(ж*) + cl(T*(^))] , (7.3)

v Е w е

где

Т*(г>, ги) = cone (<9<£>(ж*) + v) — cone (д(р(х*) + w), v Е w Е dip{x*).

В восьмом параграфе этой главы изучается связь между субдифференциалом Кларка некоторого класса квазидифференцируемых функций и квазидифференциалом.

Следует отметить, что все результаты, сформулированные в этой главе, не зависят от вида квазидифференциалов функций / и (р в фиксированной точке, то есть, если результат имеет место для какого-то квазидифференциала в этой точке, то он справедлив и для любого другого квазидифференциала этой функции в этой точке.

Три следующие главы посвящены разработке численных методов минимизации различных классов квазидифференцируемых функций.

Третья глава посвящена разработке алгоритмов минимизации ги-подифференцируемых функций, которые, по аналогии с методами градиентного типа, могут быть названы методами первого порядка. Гиподифференцируемые функции являются подмножеством в множестве кодифференцируемых функций. Понятие кодифференцируемой функции было введено В.Ф.Демьяновым в [68].

В первом параграфе даются определения кодифференцируемой, непрерывной кодифференцируемой функций и кодифференциала, ги-подифференцируемой, непрерывно гиподифференцируемой функций и гиподифференциала, гипердифференцируемой и непрерывно гипер-дифференцируемой функции и гипердифференциала, приводятся основные формулы кодифференциального исчисления, формулируются необходимые условия минимума гиподифференцируемой функции

как при наличии ограничений, так и на всем евклидовом пространстве Rn. Хотя множество ко дифференцируемых функций совпадает с множеством квазидифференцируемых функций, множество гиподиф-ференцируемых функций совпадает с множеством субдифференци-руемых функций, а множество гипердифференцируемых функций совпадает с множеством супердифференцируемых функций, существование непрерывных в метрике Хаусдорфа кодифференциала, гипо-дифференциала и гипердифференциала у функций в точке позволило находить непрерывные направления спуска в каждом из этих случаев.

Использование непрерывного гиподифференциала позволило строить численные методы оптимизации этих функций, аналогичные градиентным методам в случае минимизации непрерывно дифференцируемой функции, поскольку направление спуска является непрерывным по х.

Пусть в точке х Е М.п не выполняется необходимое условие минимума гиподифференцируемой функции на lRn, то есть, 0n+i 0 df(x). Тогда спроектируем точку 0n+i на гиподифференциал df(x), то есть, решим оптимизационную задачу

min \\z\\ = |Иж)||, z(x) = [t(x),w(x)] Gl1 x Шп. (1.5)

zedf(x)

Направление —w(x) назовем направлением гиподифференциального спуска функции / в точке х на Rn. Это направление единственно и непрерывно по х и, кроме того, является направлением убывания функции.

Во втором параграфе устанавливается связь между гиподиффе-ренциалом же- субдифференциалом полиэдральной функции.

В третьем параграфе излагаются методы минимизации гиподиф-ференцируемой функции с использованием направления гиподифференциального спуска и различными вариантами выбора шага вдоль

этого направления. Направление гиподифференциального спуска вычисляется путем проектирования нулевой точки на непрерывный ги~ подифференциал.

Пусть уже найдена точка хк. Если 0п+1 € с$(хк), то точка хк является стационарной точкой для функции / . В противном случае, точка хк+1 строится по правилу

хк+1 — хк - акт(хк) = хк - акык,

где —ш(хк) — —гик есть направление гиподифференциального спуска в точке хк, а шаговый множитель выбирается либо по правилу Армихо, либо с помощью одномерной минимизации (без ограничений или с ограничениями). Доказывается теорема, о том, что при некоторых естественных ограничениях на целевую функцию любая предельная точка генерируемой последовательности является стационарной точкой данной непрерывно гиподифференцируемой функции.

В четвертом параграфе обсуждается вычислительный аспект нахождения направления гиподифференциального спуска.

В пятом параграфе строится метод минимизации функции максимума сильно выпуклых функций с постоянным шагом, являющийся аналогом градиентного метода при минимизации сильно выпуклой функции на Мп в том смысле, что для него справедливы аналогичные утверждения относительно скорости сходимости генерируемой последовательности точек. Приведен результат применения данного метода на тестовом примере.

В заключительном параграфе этой главы предлагается метод минимизации разности функций максимума гладких функций, основанный на использовании определенного вида непрерывных гиподиффе-ренциалов этих функций. На примере показано, что при выборе некоторого положительного параметра £ удается проскочить точки локальных минимумов данной функции. Практическая эффективность

предложенных алгоритмов была проверена на ряде тестовых примеров.

Четвертая глава работы посвящена исследованию свойств разности выпуклых функций. В настоящее время существует ряд работ, посвященных этой тематике (например, [160-162, 200, 225, 226]). Впервые необходимые и достаточные условия глобального минимума разности выпуклых функций были получены Ириа-Уррути [200]. Его исследования опирались на свойства е - субдифференциалов. В первом параграфе проводится исследование оптимизационных свойств разности выпуклых функций с помощью функции, являющейся разностью функций, сопряженных к данным. Выводятся необходимые и достаточные условия глобального и локального минимумов разности выпуклых функций, как в задаче безусловной оптимизации, так и при наличии ограничений. Доказываются теоремы двойственности для минимизации разности выпуклых функций. Отдельно рассматривается случай минимизации разности полиэдральных функций. Доказываются некоторые достаточные признаки существования точек глобального минимума этой функции с использованием гиподифференциалов.

Во втором параграфе строится гладкая аппроксимация разности выпуклых функций с использованием операции взятия инфимальной конволюции с существенно гладкой выпуклой функцией. Показывается, что полученная гладкая аппроксимация обладает рядом оптимизационных свойств, как и исходная функция.

В следующем параграфе построен релаксационный метод минимизации разности выпуклых функций, на каждом шаге которого в качестве вспомогательной задачи решается задача минимизации сильно выпуклой функции. Доказывается теорема сходимости этого метода. Приводится ряд модификаций данного алгоритма.

В четвертом параграфе четвертой главы построен метод минимизации разности выпуклых функций, использующий свойство не-

прерывности по Хаусдорфу £ - субдифференциального отображения конечной выпуклой функции.

В пятой главе рассматривается метод внешних точных штрафных функций при наличии не дифференцируемых штрафных функций. Этот метод используется при решении оптимизационных задач с ограничениями : найти

М/(*)=/*, (1.1)

где / - локально липшицевая квазидифференцируемая на Жп функция. Пусть множество X задано в виде

X = { ж € Е" | <р(х) = 0}, (1.2)

где ср - также локально липшицевая квазидифференцируемая на Мп функция, и

<р{х) >0 Уж 0 X.

Таким образом, множество X есть множество точек глобального минимума функции ср на К™. Следовательно, оно замкнуто. Предположим, что множество X С Мп непусто, ограничено и не состоит из изолированных точек.

В методе штрафных функций решение оптимизационной задачи (1.1) С ограничениями сводится к решению задачи безусловной оптимизации. Для решения задачи (1.1) вводится штрафная функция

Р(с,х) = /(ж) + сср(х),

где с некоторое неотрицательное число, и рассматривается задача безусловной минимизации:

Ы с, ж), (1.3)

ж€Жп

Особый интерес представляют точные штрафные функции, то есть, функции, для которых существует такой штрафной параметр с* (называемый точным штрафным параметром), что для любых с > с* множество точек минимума функции с, ж) на Мп будет совпадать с множеством решений задачи (1.1). Очевидно, что любое число, превосходящее точный штрафной параметр, является также точным штрафным параметром.

Идея введения точной штрафной функции была сформулирована Лагранжем. Причем "платой" за существование точной штрафной функции является негладкость функции ср. Однако, прогресс в области методов недифференцируемой оптимизации позволяет преодолеть трудности, связанные с упомянутой негладкостью. Впервые это свойство для задач выпуклого программирования было замечено И.И.Ереминым [76,77]. Впоследствии этому вопросу были посвящены работы ([71,73,74,174,175,191,194,229]) и др. Реализация метода точных штрафных функций существенно зависит от свойств функции, с помощью которой задается ограничение. Поэтому на функцию (р накладываются некоторые ограничения, достаточные для решения поставленной задачи.

В первом параграфе рассматриваются некоторые достаточные условия, при выполнении которых, функцию (р можно использовать для конструирования семейства штрафных функций, обладающего точным штрафным параметром. При выполнении этих условий, точный штрафной параметр существует всегда, какова бы ни была целевая функция, если она локально липшицева на Мп. От целевой функции зависит только величина точного штрафного параметра.

Условие регулярности 1 ( Условие регулярности (2.5.1)).

Будем предполагать, что для функции <р, задающей множество X, выполняется условие регулярности в точке х* 6 Ьс1 (X), если най-

дутся такие положительные числа е* = е(х*) и ß(x*) , что

OL

Уа G (0, г*], Ух G Л(Х) n Se*(x*), Уд е N(X,x), ||<?|| = 1.

Условие регулярности 1 - это условие о поведении функции ip только в граничных точках множества X.

Теорема 1.2. Пусть множество X ограничено и для функции (р в каждой граничной точке выполнено условие регулярности (2.5.1). Тогда для данного семейства штрафных функций F(ck)x) существует точный штрафной параметр с*, то есть,

Х{ск)ех Уск>с\ (1.8)

Поскольку при решении практических задач заранее неизвестен точный штрафной параметр, то строится последовательность чисел {ск}, члены которой удовлетворяют условиям

О = с0 < с-1 < • • • < ск < ..., lim ск = +оо.

к—>-+оо

Для нее определяется точки

х{ск) = arg min Fix, ск).

В результате строится убывающая последовательность чисел {(р(х(ск)), для которой найдется такое число К > 0, что точки х{ск) будут принадлежать множеству X для каждого к > К. Таким образом, начиная с некоторого к, точки х(ск) будут являться точками глобального минимума функции F(ck,x) на Мга, то есть, будут являться решениями исходной задачи (1.1). При этом величина штрафного параметра с* прямо порпорционально зависит от константы Липшица функции / на множестве

С(х**) = {х е Еп I <р(х) < <^(ж**)},

где х** = min f(x), и обратно Пропорционально числу ß(x*), где

х

точка х* - предельная точка последовательности {х(ск)}- Причем при построении данного метода, используется условие регулярности (2.5.1) только в окрестности точки х*.

При конструирования методов точных штрафов такого типа существенна недифференцируемость функции ср в граничных точках множества X. Для функций, дифференцируемых 6 граничных точках множества X, условие регулярности (2.5.1) не выполняется. Поэтому, если функция <р> в граничных точках множества X является супердифференцируемой, то ее также нельзя использовать при построении последовательности точных штрафных функций F(c,x).

Условие регулярности 1 не является конструктивным. Вместо него можно использовать

Условие регулярности 2. (Условие регулярности (1.11)).

Будем предполагать, что существует такое положительное число /3, что выполняется неравенство

„iT1, <p'(x>9)>ß> 0. (1.4)

д е N(X,x)

Это условие подразумевает, что в каждой граничной точке множества функция (р имеет производную по направлениям, лежащим в нормальном конусе к данному множеству X (при условии, что этот конус не состоит из единственной нулевой точки), строго больше некоторого положительного числа. При выполнении этого условия регулярности для семейства штрафных функций {F(ck,x)} существует точный штрафной параметр.

Условие регулярности 2 является более конструктивным чем условие 1, так как при некоторых предположениях о множестве X можно построить аналитическое представление нормального конуса для этого множества в каждой граничной точке и оценить точный штрафной параметр с*.

В.Ф.Демьянов в [193] рассматривает задачу минимизации липши-цевой функции / на множестве X, описываемом с помощью липши-цевой функции (р. Исследование проводится с помощью производных Дини по направлениям для более широкого класса функций множеств.

Для квазидифференцируемых липшицевых функций верхняя и нижняя производные Дини по направлению совпадают с производной по направлению. Введенное В.Ф. Демьяновым условие регулярности также является достаточным условием существования точного штрафного параметра для семейства штрафных функций х)}.

Однако, оно не является конструктивным условием, поскольку необходимо знать поведение функции <р в окрестности множества X.

Во втором параграфе пятой главы рассматривается метод точных штрафных функций для задач выпуклого и нелинейного программирования. Рассматриваются примеры некоторых функций, которые могут быть использованы при построении семейства штрафных функций. Исследуется вариант использования метода точных штрафных функций при решении задачи выпуклого программирования, когда целевая функция и функции, задающие ограничения, являются сильно выпуклыми квадратичными функциями. Для этой задачи определяется точный штрафной параметр, если в качестве штрафной функции используется функция максимума от нуля и функций-ограничений. Также рассматривается задача нелинейного программирования, для которой вычислен минимальный точный штрафной параметр и параметр ( не совпадающий с минимальным ), при котором множество точек глобального и локального минимумов исходной задачи и семейства штрафных функций начинают совпадать.

В заключительном параграфе показывается, что задачу минимизации разности выпуклых функций при наличии ограничений, заданных также с помощью разности выпуклых функций, как в виде "неравенства", так и в виде "равенства", можно свести к решению ко-

нечного числа задач безусловной оптимизации разности выпуклых функций.

Сформулируем основные результаты диссертации:

1) Доказаны некоторые новые факты выпуклого анализа: доказана теорема о непрерывности по Какутани конических отображений (нормальных конусов к выпуклому замкнутому множеству), доказана дифференцируемость по направлению опорной функции г - субдифференциала выпуклой функции; предложен новый подход к вопросу построения гладкой аппроксимации выпуклых замкнутых множеств и выпуклых функций и рассмотрены свойства этой аппроксимации; найдено другое, более конструктивное представление разности выпуклых множеств, введенное В.Ф. Демьяновым.

2) Изучены экстремальные свойства квазидифференцируемых функций. Доказаны необходимые и достаточные условия оптимальности квазидифференцируемых функций как на всем пространстве Жп, так и при наличии квазидифференцируемых ограничений типа "неравенства" и типа "равенства". Выведены достаточные признаки выполнения условия регулярности квазидифференцируемых множеств.

3) Для минимизации непрерывно гиподифференцируемых функций разработан метод гиподифференциального спуска - аналог градиентного метода в случае минимизации гладкой функции. Построен алгоритм минимизации с постоянным шагом функции максимума сильно выпуклых функций, обладающий геометрической скоростью сходимости и аналогичный алгоритму минимизации с постоянным шагом сильно выпуклой гладкой функции.

4) Выведены теоремы двойственности для задач оптимизации разности выпуклых функций. Построена гладкая функция, аппроксимирующая разность выпуклых функций и обладающая теми же экстремальными свойствами, что и эта разность. Разработаны релаксационный метод минимизации разности выпуклых функций на Мп и ме-

тод минимизации, использующий свойство непрерывности по Хаус-дорфу £ - субдифференциального отображения.

5) Рассмотрен метод точных внешних штрафных функций при недифференцируемости штрафных функций; сформулированы конструктивные достаточные условия существования точного штрафного параметра.

В диссертации принята автономная нумерация формул, теорем, лемм. Они нумеруются с помощью двойного индекса, первая цифра которого указывает номер параграфа, а вторая - номер формулы, теоремы, леммы. К двойному индексу формулы, теоремы, леммы добавляется номер главы, в которой она упоминается впервые, если есть ссылка на нее в другой главе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [230258].

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Полякова, Людмила Николаевна, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Абанькин А.Е. О точных штрафных функциях // Вестн. Ленингр. ун-та, 1995. №13. С. 3-8.

2. Александров А.Д. Поверхности, представимые разностями выпуклых функций // Докл. АН СССР, 1950. Т.74, С. 613-616.

3. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Сборник задач по оптимизации : Теория, Примеры. Задачи. М., Наука, 1984. 288 с.

4. Андронов В.Г., Белоусов Е.Г. О непрерывности оптимального отображения задачи выпуклого программирования // Вестник Моск. ун-та. Сер. выч. мат и кибернет., 1995. №2. С. 18-22.

5. Андронов В.Г., Белоусов Е.Г. О сходимости по функционалу метода штрафных функций // Вестник Моск. ун-та. Сер. выч. мат и кибернет., 1996. №2. С. 59-61.

6. Анциферов Е.Г. Ащепков Л.Г., Булатов В.П. Методы оптимизации и их приложения. 4.1. Математическое программирование. Новособирск, Наука, 1990. 157 с.

7. Антипин A.C. Обратные задачи нелинейного программирования // Сб. тр. Инст-т. сист. анал. РАН, 1993. №2. С. 5-32.

8. Антипин A.C., Васильев Ф.П. О непрерывном методе минимизации в пространствах с переменной метрикой // Изв. вузов. Математика, 1995. №12. С. 3-9.

9. Антипин A.C., Недич А., Ячимович М. Трехшаговый метод линеаризации для задач минимизации // Известия вузов. Математика, 1994. №12. С. 3-7.

10. Арутюнов A.B. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М. Факториал, 1997г. 256 с.

11. Астафьев H.H. Линейные неравенства и выпуклость. М., Наука, 1982. 153 с.

12. Ашманов С.А., Тимохов A.B. Теория оптимизации в задачах и упражнениях. М., Наука, 1991. 448 с.

13. Багиров A.M. О непрерывной аппроксимации субдифференциала функции максимума // Кибернетика и сист. анализ, 1993. №4. С. 180-184.

14. Баженов Л.Г. Об условии сходимости метода минимизации почти-дифференцируемых функций // Кибернетика, 1972. №4. С. 771-72.

15. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. М., Мир, 1982. 583 с.

16. Батров A.M., Гасанов A.A. О методе аппроксимации квазидифференциала // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1995. Т.35, №4. С. 511-519.

17. Бейко И.В., Бублик Б.Н., Зинько П.Н. Методы и алгоритмы решения экстремальных задач. Киев, Высшая школа, 1983. 511 с.

18. Беленький A.C. Исследование операций в транспортных системах: идеи и схемы методов оптимизации планирования. М., Мир, 1992. 584 с.

19. Белоусов Е.Г. Введение в выпуклый анализ и целочисленное программирование. М., Изд-во МГУ, 1977.

20. Белоусов Е.Г., Андронов В.Г. О сводимости общей задачи выпуклого программирования к задаче на безусловный экстремум // Изв. вузов. Математика, 1995. №12. С. 10-18.

21. Бертсекас Д. Условная минимизация и методы множителей Ла-гранжа. М., Радио и связь, 1987. 400 с.

22. Болтянский В.Г. Метод шатров в теории экстремальных задач // Успехи мат.наук, 1975. Т. 30. Вып. 3. С. 3-56.

23. Брёнстед Ф. Введение в теорию выпуклых многогранников. М., Мир, 1988. 240 с.

24. Булатов И.П. Методы погружения в задачах оптимизации. Новосибирск, Наука, 1977. 158 с.

25. Бурбаки Н. Функции действительного переменного. М., Наука, 1965. 525 с.

26. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М., Наука, 1977. 623 с.

27. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М., Наука, 1980. 520 с.

28. Васильев Ф.П., Недич А., Ячимович М. Регуляризованный непрерывный метод линеаризации для задач минимизации с неточными исходными данными // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1996. Т.36, №3. С. 35-43.

29. Васильев Ф.П., Недич А. , Ячимович М. Двухшаговый регуляризованный метод линеаризации для решения задач минимизации // Ж. вычисл, матем. и матем. физ., 1996. Т. 36, №.5. С. 9-19.

30. Введение в нелинейное программирование / Под ред. Эльстера К.-Х., Рейнграда Р., Шойбле М., Доната Г. М., Наука, 1985. 264 с.

31. Вопросы теории и элементы программного обеспечения минимаксных задач / Под ред. В.Ф.Демьянова, В.Н.Малоземова. Л., Издво ЛГУ, 1977. 192 с.

32. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. Минск., Университет, 1975. 279 с.

33. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.М. и др. Конструктивные методы оптимизации. Ч. 1-5. Минск. Университет, 1984,1986, 1987,1991.

34. Гавурин М.К., Малоземов В.Н. Экстремальные задачи с линейными ограничениями. Л., Изд-во ЛГУ, 1984. 175 с.

35. Галеев Э.М., Тихомиров В.Н. Краткий курс теории экстремальных задач. М., Изд-во Моск.ун-та, 1989. 204 с.

36. Галиев Ш.И. Направление убывания для минимаксных задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1994, 34. №3. С. 323-343.

37. Гантмахер Ф.Р.Теория матриц. М., Наука, 1967. 552 с.

38. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М., Наука, 1966. 280 с.

39. Гилл Ф,, Мюррей У. Численные методы условной минимизации. М., Мир, 1977. 292 с.

40. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М., Мир, 1985. 509 с.

41. Гирсанов И.В, Лекции по математической теории экстремальных задач. М., Изд-во МГУ, 1970. 118 с.

42. Голынтейн Е.Г. Выпуклое программирование. Элементы теории. М., Наука, 1970. 68 с.

43. Голынтейн Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании, ее приложения. М., Наука, 1971. 351 с.

44. Горелик В.А., Пуличева Е.А. Экстремальные задачи с неявно заданными целевыми функциями и ограничениями // Моделир. оптимиз. и декомпозиц. сложных динам, процессов. РАН, ВЦ. М., 1994. С. 30-46.

45. Гороховик В.В. О квазидифференцируемости вещественнознач-ных функций // Локл. АН СССР, 1982. Т.2666 №6. С. 1294-1298.

46. Гороховик В.В. Квазидифференцируемость вещественнозначных функций и условия локального экстремума // Сиб. математ. журнал, 1984. Т.25, т. С. 62-70.

47. Гороховик В.В. Выпуклые и негладкие задачи векторной оптимизации. Минск, Навука и тэхн., 1990. 239 с.

48. Гороховик В.В., Зорько О.И. Полиэдральная квазидифференцируемость вещественнозначных функций // Докл. АН Белоруси, 1992. Т. 36, №5. С. 393 - 397.

49. Гроссман К., Каплан A.A. Нелинейное программирование на основе безусловной минимизации. Новосибирск, Наука, 1981. 184 с.

50. Гупал A.M. Стохастические методы решения негладких экстремальных задач. К., Наукова думка, 1979. 150 с.

51. Давыдов Э.Г. О расстояний Минковского между двумя непересекающимися многогранными выпуклыми множествами // Вестн. МГУ, Сер. 15, 1995. №3. С. 69-71.

52. Данилин Ю.М. Метод градиентного типа для минимизации негладких штрафных функций // Кибернетика, 1988. №4. С. 104-114.

53. Данилин Ю.М. Методы квадратичных штрафов на основе линейной аппроксимации // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1989. Т.29, №6. С. 831-843.

54. Данилин Ю.М. Методы последовательного квадратичного программирования с регулировкой шага на основе функции Лагранжа // Кибернетика и сист. анализ, 1994. №3. С. 70-77,190.

55. Данилин Ю.М., Ковнир В.Н. Метод точных штрафов с ссумар-ным учетом ограничений // Кибернетика, 1987. №6. С. 42-48.

56. Данилин Ю.М., Нурназаров Д. Модификация метода градиентного типа для минимизации наглядных штрафных функций // Выч. и прикл. мат., 1992. №73. С. 108-112.

57. Даугавет В.А. Модификация метода Вулфа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1981. Т.21, №2. С. 504-508.

58. Даугавет В.А., Малоземов В.Н. Квадратичная скорость сходимости одного метода линеаризации для решения дискретных минимаксных задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1981. Т.21, №4. С. 835-843.

59. Демьянов В.Ф. Минимакс: дифференцируемость по направлениям. Л., Изд-во ЛГУ, 1974. 112 с.

60. Демьянов В.Ф. О связи субдифференциала Кларка с квазидифференциалом // Вестн. Ленингр. ун-та, 1980. №13. С. 18-24.

61. Демьянов В.Ф. Точные штрафные функции в задачах негладкой оптимизации.// Вестн. Санкт-Петерб. ун-та., 1994. Вып. 4.(№22) Сер.1. С. 21-27.

62. Демьянов В.Ф. Теорема о неподвижной точке в негладком анализе и ее применение. Санкт-Петербург, Изд-во СПбГУ,1995.136с.

63. Демьянов В.Ф.,Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. М., Наука, 1981. 383 с.

64. Демьянов В.Ф., Лупиков И.М. Функции экстремума по е - суб-

дифференциальному исчислению // Вестн. Ленинград, ун-та, 1983. №1. С. 27-32.

65. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М., Наука, 1972. 368 с.

66. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Приближенные методы решения экстремальных задач. Л., Изд-во ЛГУ, 1968. 180 с.

67. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. О квазидифференцируемых функционалах // Докл. АН СССР, 1980. Т.250, №1. С. 21-25.

68. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М., Наука, 1990. 431 с.

69. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Задачи на экстремум при наличии ограничений // Ж. вычисл.матем. и матем. физ., 1965. Т.5, №3. С. 395-453.

70. Дудов С.И. Необходимые и достаточные условия максимина функции разности аргументов // Ж. вычисл.матем. и матем. физ., 1992. Т.32, №12. С. 1869-1884.

71. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М., Наука, 1982. 432 с.

72. Евтушенко Ю.Г., Жадан В.Г. К вопросу о систематизации численных методов нелинейного программирования. Методы последовательной безусловной минимизации. М.,ВЦ АН СССР,1988.67с.

73. Евтушенко Ю.Г., Жадан В.Г. Точные вспомогательные функции в задачах оптимизации // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1990. Т.ЗО, №1. С. 43-57.

74. Евтушенко Ю.Г., Жадан В.Г. Барьерно-проективные методы решения Задач нелинейного программирования // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1994. Т.34, №5. С. 669-684.

75. Емеличев В.А., Ковалев М.М., Кравцов М.К. Многогранники, графы, оптимизация (комбинаторная теория многогранников). М., Наука, 1977. 341 с.

76. Еремин И.И. Метод "штрафов" в выпуклом программировании

// Доклады АН СССР, 1967. Т. 143, №4. С. 748-751.

77. Еремин И.И. О методе штрафов в выпуклом программировании // Кибернетика, 1967. №4. С. 63-67.

78. Еремин И.И., Астафьев H.H. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования. М., Наука, 1976. 192 с.

79. Еремин И.И., Мазуров В.Д. Нестационарные процессы математического программирования. М., Наука, 1979. 288 с.

80. Ермаков С.М., Жиглявский A.A. Математическая теория оптимального эксперимента. М., Наука. 1987. 318 с.

81. Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования. М., Наука, 1976. 240 с.

82. Ермольев Ю.Ф., Гупал A.M. Аналог метода линеаризации в задачах минимизации недифференцируемых функций // Кибернетика, 1978. №1. С. 65-68.

83. Жадан В.Г. О некоторых оценках коэффициента штрафа в методах точных штрафных функций // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1984. Т. 24, №8. С. 1164-1171.

84. Заботин Я.И. Минимаксный метод решения задач математического программирования // Известия вузов. Сер. математ., 1975. №6(157). С. 36-43.

85. Завриева М.К. Метод штрафов в связанных макиминных задачах при наличии погрешностей // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1993. Т.ЗЗ, №8. С. 1135-1144.

86. Залгаллер В.А. О представлении функций двух переменных разностью выпуклых функций // Вестн. Ленингр. ун - та, 1963. №1. С. 44 - 45.

87. Зангвилл У.И. Нелинейное программирование. Единый подход. М., Советское радио, 1973. 312 с.

88. Зойтендейк Г. Методы возможных направлений, М., Изд-во иностранной литературы, 1963. 176 с.

89. Ижуткин B.C., Петропавловский М.В. Методы приведенных на-

правлений на основе дифференцируемой штрафной функции для задач нелинейного программирования // Известия вузов. Математика, 1994. №12. С. 50-53.

90. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М., Наука, 1974. 479 с.

91. Канторович J1.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М., Наука, 1984. 752 с.

92. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М., Мир, 1964. 836 с.

93. Карманов В.Г. Математическое программирование. М., Наука, 1980. 256 с.

94. Кирин Н.Е. Методы оценивания и управления в динамических системах. Санкт-Петербург. Изд-во С-Петербургского ун-та, 1993. 308 с.

95. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.,Наука, 1988. 280с.

96. Кругер А.Я. Обобщенные дифференциалы негладких функций и необходимые условия экстремума // Сиб. матем. ж., 1985. Т.26, №3. С. 78-90.

97. Кругер А,Я. О свойствах обобщенных дифференциалов // Сиб. матем. ж., 1985. Т.26, №6. С. 54-66.

98. Куржанский A.B. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М., Наука, 1979. 392 с.

99. Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Субдифференциальное исчисление. Новосибирск, Наука, 1987. 224 с.

100. Кутателадзе С.С., Рубинов A.M. Двойственность Минковского и ее приложения. Новосибирск, Наука, 1976. 256 с.

101. Кюнци Г.,Крелле В. Нелинейное программирование. М., Советское радио, 1965. 303 с.

102. Ларичев О.И., Горвиц Г.Г. Методы поиска локального экстремума овражных функций. М., Наука, 1990.

103. Левин В.Л. Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций и и его применение в математике и экономике. М., Наука, 1985. 352 с.

104. Левитин Е.С., Милютин A.A., Осмоловский Н.П. Условия высших порядков локального минимума в задачах с ограничениями // Успехи матем. наук, 1978. Т.ЗЗ, №6. С. 85-148.

105. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М., Наука, 1985. 335 с.

106. Линейные неравенства и смежные вопросы. / под ред. Г.У. Куна и А.У.Таккера. М., ИЛ, 1959.

107. Лупиков И.М. К условию дифференцируемости многозначного отображения с многогранными образами // Вестн. Ленингр. ун-та,

1985. №13. С. 95-98.

108. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М., Наука, 1982. 271 с.

109. Лэсдон Л. Оптимизация больших систем. М.,Наука,1975.432 с.

110. Макаров В.Л., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М., Наука, 1973. 336 с.

111. Малоземов В.Н. О достаточных условиях локального минимак-са // Вестник Ленингр.ун-та, 1976. №7. С. 55-59.

112. Матвеев A.C., Якубович В.А. Невыпуклые задачи глобальной оптимизации// Алгебра и анализ, 1992. Т.4, №6. С. 189-219.

113. Матвиенко В.Д., Пашаев Р.Т., Рубинов A.M. Выпуклый анализ на плоскости. Баку, Элм, 1994. 137 с.

114. Математическая оптимизация: вопросы разрешимости и устойчивости. / Под ред. Белоусова Е.Г., Банка В. М., Изд-во МГУ,

1986. 216 с.

115. Минченко Л.И. О вычислении производных по направлениям в максиминных задачах с линейными ограничениями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1991. Т. 31, №3. С. 454-456.

116. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. М., Наука, 1971. 424 с.

117. Моисеев H.H., Иванилов Ю.Г., Столяров Е.М. Методы оптимизации. М., Наука, 1978. 352 с.

118. Мордухович Б.Ш. Негладкий анализ с невыпуклыми обобщенными дифференциалами и сопряженными отображениями // Докл. АН БССР, 1984. Т.28, №11. С. 976-979.

119. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимации в задачах оптимизации и управления. М., Наука, 1988. 359 с.

120. Мудров В.И., Ивлев A.A. Мажоранты Ньютона в прикладных задачах. М., Радио и связь, 1987. 144 с.

121. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М., Наука, 1974. 480 с.

122. Нестеров С.И., Скоков В.А. Численный анализ программ негладкой безусловной оптимизации // Эконом, и матем. мет., 1994. Т.ЗО, №2. С. 136-145.

123. Нестеров Ю.Е. Эффективные методы в нелинейном программировании. М., Радио и связь, 1989. 301 с.

124. Нефедов В.Н. Некоторые вопросы решения липшицевых задач глобальной оптимизации с использованием метода ветвей и границ // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1992. Т.32, №.4. С. 512-529.

125. Нефедов В.Н. О сложности вычисления глобального минимума в некоторых классах задач оптимизации // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1993. Т.ЗЗ, №10. С. 1480-1498.

126. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. М., Мир, 1972. 517 с.

127. Никольский С.М. Курс математического анализа. Тома 1,2. М., Наука, 1973.

128. Норкин В.И. Обобщенно-дифференцируемые функции // Кибернетика, 1980. №1. С. 9-11.

129. Нурминский Е.А. О непрерывности £ - субградиентных отображений // Кибернетика, 1977. №5. С. 148-149.

130. Нурминский Е.А. Численные методы решения детерминирован-

ных и стохастических минимаксных задач. Киев, Наук.думка, 1979. 161 с.

131. Нурминский Е.А.Численные методы выпуклой оптимизации. М., Наука, 1991. 168 с.

132. Обен Ж.П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М., Мир, 1988. 510с.

133. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М., Мир, 1975. 560 с.

134. Оуэн Г. Теория игр. М., Мир, 1971. 230 с.

135. Панин В.М. Методы конечных штрафов с линейной аппроксимацией. 4.1. // Кибернетика, 1984. №2. С. 44-50. 4.2. // Кибернетика, 1984. №4. С. 73-81.

136. Перевозчиков А.Г. О сходимости метода обобщенных градиентов Кларка в задачах минимизации липшицевых функций // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1992. Т.32, Ш. С. 208-218.

137. Подобедов В.Е., Сухарев А.Г. Алгоритм поиска глобального максимума функций нескольких переменных // Вычисл. комплексы и моделир. сл.систем, М., 1989. С. 124-134.

138. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М., Мир, 1974. 376 с.

139. Поляк Б.Т. Минимизация негладких функционалов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1969. Т.9, №3. С. 509-521.

140. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М., Наука, 1983. 384 с.

141. Прищепова C.B. К задаче минимизации суммы модулей нелинейных функций. Мн., 1988. 36 с, (Препринт / АН БССР. Ин-т математики; 36(346)).

142. Пшеничный Б.H. Необходимые условия экстремума. М., Наука, 1969. 151 с.

143. Пшеничный Б.Н. Метод линеаризации. М,, Наука, 1983. 136 с.

144. Пшеничный Б.H. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М., Наука, 1990. 320 с.

145. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М., Наука, 1975. 320 с.

146. Пшеничный Б.Н., Кирилюк B.C. О дифференцируемости функции минимума со связанными ограничениями // Кибернетика, 1985. №1. С. 123-125.

147. Пшеничный Б.Н., Соболенко JI.A. Метод линеаризации для обратно - выпуклого программирования//Кибернет. и систем, анал., 1995. №6. С. 86-97, 184.

148. Пшеничный Б.Н., Соболенко JI.A. Метод обратно - выпуклого программирования и укладка параллелепипедов // Кибернет. и систем, анал., 1996. №3. С. 16-26.

149. Пшеничный Б.Н., Хачатрян P.A. Ограничения типа равенств в негладких задачах оптимизации // Докл. АН СССР, 1982. Т.267, №2. С. 553-556.

150. Пшеничный Б.Н., Хачатрян P.A. Необходимые условия экстремума в негладких задачах // Кибернетика, 1985. №2. С. 111-115.

151. Ржевский C.B. О структуре метода условного е-субградиента одновременного решения прямой и двойственной задач выпуклого программирования // Докл. АН СССР, 1990. Т.311, №5. С.1055-1059.

152. Ржевский C.B. Метод условного ç-субградиента одновременного решения прямой и двойственной задач выпуклого программирования // Кибернетика, 1990. №2. С.91-97.

153. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М., Мир, 1973. 472 с.

154. Рубинов A.M. Суперлинейные многозначные отображения и их приложения к к экономико-математическим задачам. JI., Наука, 1980. 168 с.

155. Рубинов A.M. Сопряженная производная многозначного отображения и дифференцируемость максимума при связанных ограни-

чениях // Сиб. матем. ж., 1985. Т. 26, №3. С. 147-155.

156. Рубинов A.M., Ахундов И.С. О свойствах выпуклых компактов в смысле В.Ф. Демьянова // Изв. АН Аз. ССР. Сер. физ. - техн. и мат. наук, 1989. №1. С. 7 - 10.

157. Сйвелина Т.Н. Минимизация одного вида квазидифференциру-емых функций // Вестн. Ленингр. ун-та, 1983. №7. С. 103-105.

158. Сивелина Т.И. Условия экстремума суперпозиции функций максимума // Вестн. Ленингр. ун-та, 1983. №13. С. 106-108.

159. Сотсков А.И. Необходимые условия минимума для одного класса негладких задач // Доклады АН СССР, 1969. Т.189, №2. С. 261264.

160. Стрекаловский A.C. К проблеме глобального экстремума // Доклады АН СССР, 1989. Т.292, №5. С. 1062-1066.

161. Стрекаловский A.C. О поиске глобального максимума выпуклого функционала на допустимом множестве // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1993. Т.ЗЗ, №3. С. 349-363

162. Стрекаловский A.C. Условия глобальной оптимальности в задачах d.c. программирования. Иркутск, Изд-во Иркутск, госуниверситета. Серия: Оптимизация и Управление. Вып.1, 1997. 64 с.

163. Стронгин Р.Г. Численные методы в многоэкстремальных задачах. М., Наука, 1975. 240 с.

164. Стронгин Р.Г. Поиск глобального оптимума. М., Знание, 1992. 48 с.

165. Супрун А.H. Об одной оптимальной процедуре поиска глобального экстремума локально-унимодальной функции // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1995. Т. 35, №5. С. 788-793.

166. Сухарев А.Г., Тимохов A.B., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М., Наука, 1986. 325 с.

167. Сухинин М.Ф. Численное решение задачи нелинейного программирования с помощью поэтапного квадратичного штрафования // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1995. Т.35, №9. С. 1445-1448.

168. Тихомиров A.C. Смеси глобальных и локальных методов поиска как алгоритмы оптимизации // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1995. Т.35, №.9. С. 50-59.

169. Тихомиров В.Н. Выпуклый анализ // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундамент, направления. М., 1987. Т. 14. С. 5-101.

170. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., Наука, 1979. 169 с.

171. Третьяков Н.В. Метод штрафных оценок для задач выпуклого программирования // Экономика и математ. методы, 1972. Т.8, №5. С. 740-751.

172. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М., Физматгиз, 1963. 736 с.

173. Федоренко Р.П. О минимизации негладких функций // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1981. Т. 21, №3. С. 572-584.

174. Федоров В,В. О методе штрафных функций в задаче определения максимина // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1972. №4. С. 897-908.

175. Федоров В.В. Численные методы максимина. М., Наука, 1979. 278 с.

176. Фиакко А., Мак Кормик Д. Методы последовательной безусловной минимизации. М., Мир, 1972. 264 с.

177. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Тома 1-3. М., Наука, 1966-1971.

178. Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади поверхности и изопе-реметрии. М., Наука, 1966. 416 с.

179. Хандшуг X. О классе эквивалентных квазидифференциалов // Вести. Ленингр. ун-та, 1989. Вып. 2, (№8). С.106-108.

180. Химмельбау Д. Прикладное нелинейное программирование. М., Мир, 1975. 534 с.

181. Черников С.Н. Линейные неравенства. М., Наука, 1968. 488 с.

182. Численные методы условной оптимизации: Сб. статей. Под ред. Гилла Ф., Мюрея У. М., Мир, 1977.

183. Шмелев В.В. Точные штрафные функции в линейном и целочисленном программировании // Автомат, и телемех., 1992. №5. С. 106-115.

184. Шор Н.З. О классе почти-дифференцируемых функций и одном методе минимизации функций этого класса // Кибернетика, 1972. №4. С. 65-70.

185. Шор Н.З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения. Киев., Наук.думка, 1979. 199 с.

186. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М., Мир, 1979. 400 с.

187. Эльстер К.-Х., Рейнгард Р., Шойбле М., Донат Г. Ввведение в нелинейное программирование. М., Наука, 1985. 263 с.

188. Эрроу К.,Гурвиц JL, Удзава X. Исследование по линейному и нелинейному программированию. М., Мир, 1962. 334 с.

189. Advances in Optimization / Ed. Oettli W., Pallaschke D. Berlin -Heidelberg, Springer - Verlag, 1992. 527 p.

190. Auchmuty G. Duality algorithms for nonconvex variational principles // Num. Functional Analysis and Optimization, 1989. V.10. P. 211-264.

191. Boukari D., Fiacco A.V. Survey of penalty exact-penalty and multiplier methods from 1968 to 1993 // Optimization, 1995. V.32, №4. P. 301-334.

192. Clarke F. Generalized gradients and applications // Trans. Amer. Math.Soc., 1975. V. 205. P. 247-262.

193. Demyanov V.F., Rubinov A.M. Constructive Nonsmooth Analysis. Verlag Peter Lang, 1995.

194. Di Pillo G.,Facchinei F. Regularity conditions and exact penalty functions in Lipschitz programming problems //In Nonsmooth optimization methods and applications. Ed.F.Gianessi, Gordon and Breach, Amsterdam, 1992. P. 107-120.

195. Eppler K., Luderer B. The Lagrange principle and quasidifferential

Calculus // Wiss. Z. Techn. Univ. Karl-Marx-Stadt, 1987. V.29. №2. P. 187-192.

196. Glover B.M., Ishizuka Y., Jeykumar V., Tuan H.D. Complete Characterizations of global optimality for problems involving the pointwise minimum of sublinear functions // SIAM J.Optimization, 1996. V. 6, №2. P. 362-372.

197. Han S., Mangasarian 0. Exact penalty functions in nonlinear programming. // Math. Progr., 1979. V.17. P. 251-269.

198. Handschug M. On equivalent quasidifferentials in the two-dimensional case // Optimization, 1989. V.20, №.1. P. 37-43.

199. Hiriart-Urruty J.-B. e- subdifferential calculus // Res. Notes Math., 1982. V.57. P. 43-92.

200. Hiriart-Urruty J.-B. From convex minimization to nonconvex minimization: Necessary and sufficient conditions for global optimality //In Non-smooth Optimization and Related Topics, F.N.Clarke, V.F.Demyanov, and F.Gian nessi, eds. Plenum, New York, 1989. P. 219-240.

201. Hiriart-Urruty J.B., Lamerechal C. Convex analysis and Minimization algorithms I. Springer-Verlag, 1993. 420 p.

202. Hiriart-Urruty J.B., Lamerechal C. Convex analysis and Minimization algorithms II. Springer-Verlag, 1993. 348 p.

203. Horst R., Pardalos P.M. (eds.) Handbook of Global Optimization, Kluwer Academic Publishers. Dordrect, 1995.

204. Ioffe A.D. Nonsmooth analysis: Differential Calculus of Nondif-ferentiable mappings // Trans, of Amer. Math. Soc., 1981. V.266. P. 1-56.

205. Kakutani S. A generalization of Brower's fixed point theorem // Duke Math.J., 1941. V.8. P. 457-459.

206. Lemarechal C. An extension of Davidon methods to nondifferentiable problems // Mathematical programming, 1975. Study 3. P. 95-100.

207. Lemaréchal C., Nurminskii E. Sur la différentiabilité de la fonction d'appui du sous-différential approché // C. R. Acad. Sci. Sér. A., 1980.

V. 290. P. 855-858.

208. Mercovsky R., Ward D.E. General constraint qualifications in nondif-ferentiable programming // Math. Progr., 1990. V.47. P. 389-405.

209. Nondifferentiable Optimization // Math.Progr.Study Ed. Wolfe P., Balinski M.L. North-Holland, 1975. V.3.

210. Nonsmooth Optimization and Related Topics // Ed. Clarke F., Demya-nov V.F., Giannessi F. N.Y., Plenum Press, 1989. 489 p.

211. Nonsmooth Optimization. Methods and Applications // Ed. Giannessi F. Singapore, Gordon and Breach Science Publishers, 1992. 445 p.

212. Pallaschke D., Recht P., Urbanski R. On locally Lipschitz quasidifferen-tiable functions in Banach spaces // Optimization, 1986. V.17, №3. P. 287295.

213. Penot J.-P. On the mean value theorem // Optimization, 1988. V.19. P. 147-156.

214. Peretti A., Sutti C. Analytical and computational advances in quasidifferential calculus for nonsmooth functions. In Nonsmooth Optimization. Methods and Applications // Ed. Giannessi F. Singapore, Gordon and Breach Science Publishers, 1992. P. 322-337.

215. Polak E. Basics of minimax algorithms. //In Nonsmooth Optimization and Related Topics . Ed. Clarke F., Demyanov V.F., Giannessi F. N.Y., Plenum Press, 1989. P. 343-369.

216. Pschenichny B.N. Implicit function theorems for multi- valued mappings. In Nonsmooth Optimization and Related Topics // Ed. Clarke F., Demyanov V.F., Giannessi F. N.Y., Plenum Press, 1989. P. 371-391.

217. Qi L. QuasidifFerentials and maximal normal operators // Math. Programming, 1991. V 49. P. 263-271.

218. Quasidifferential Calculus // Math.Progr.Study. Ed. Demyanov V.F., Dixon V.C.W. North-Holland, 1986. V.29. 221 p.

219. Rockafellar R.T. The theory of subgradients and its applications: convex and nonconvex functions. Berlin, Helderman - Verlag, 1981.

220. Robinson S.M. An implicit-function theorem for B-differentiable functions. Preprint, 1988.

221. Rubinov A.M. Differences of convex compact sets and their applications in Nonsmooth Analysis. In Nonsmooth Optimization. Methods and Applications // Ed. Giannessi F. Singapore, Gordon and Breach Science Publishers, 1992. P. 366-378.

222. Scheffler H.-P. Mean value properties of nondifferentiable functions and their applications in Nonsmooth Analysis // Optimization, 1989. V.20. P. 743-759.

223. Shapiro A. On optimality conditions in Quasidifferentiable Optimization // SIAM J.Control. Optim., 1984. V.22. P. 610-614.

224. Strekalovsky A.S. On global maximum of a convex terminal functions in optimal Control Problems // Journal of Global Optimization, 1995. V. 7. P. 75-91.

225. Thoai N.V. A modified Version of Tuy's method for solving d.c. programming problems // Optimization, 1988. V. 19. №. 5. P. 665-674.

226. Tuy H. D.c. optimization: Theory, methods and algorithms // In Handbook of Global Optimization, R. Horst and P.M.Pardalos, eds., Kluwer Academic Publishers, Normell, MA, 1995. P. 149-216.

227. Ward D.E. A constraint qualification in quasidifferentiable Programming // Optimization, 1991. V. 22. №5. P. 661-668.

228. Xia Z.-Q. On mean value theorems in Quasidifferential Calculus // J. Math.Res. and Exposition. Dalian D.I.T., 1987. №4. P. 681-684.

229. Zangwill W. Non-linear programming via penalty function // Management Sci., 1967. V.13, №5. P. 344-358.

230. Войтон Е.Ф., Полякова JI.H. Об одном классе задач при связанных ограничениях //В кн., Оптимизация, Новосибирск, вып.10, 1973. С. 41-46.

231. Демьянов В.Ф., Полякова JI.H. Условия минимума квазидиффе-ренцируемой функции на квазидифференцируемом множестве //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1980. Т.20, №4. С. 849-856.

232. Демьянов В.Ф., Полякова JI.H., Рубинов A.M. Об одном обобщении понятия субдифференциала //В кн., Тезисы Всес. конф. по динамическому управлению. Свердловск, 1979. С. 79-84.

233. Полякова Л.Н. Непрерывность нормальных конусов // Вестн. Ленингр. ун-та, 1979. №7. С. 112-113.

234. Полякова Л.Н. Необходимые условия экстремума квазидиффе-ренцируемых функций // Вестн. Ленингр. ун-та, 1980. №13. С. 57-62.

235. Полякова Л.Н. Нормальный конус. Коническое отображение. //В кн. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. М., Наука, 1980. С. 137-140.

236. Полякова Л.Н. Необходимые условия оптимальности на IRn. //В кн. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. М., Наука, 1980. С. 214-220.

237. Полякова Л.Н. Необходимые условия экстремума квазидиф-ференцируемой функции при квазидифференцируемом ограничении // Вестн. Ленингр. ун-та, 1982. №7. С. 75-80.

238. Полякова Л.Н. Об одной задаче негладкой оптимизации // Кибернетика, 1982. №2. С. 119 - 122.

239. Полякова Л.Н. О множестве возможных направлений в задачах со связанными ограничениями // Вестн. Ленингр. ун-та, 1984. №1. С. 32-37.

240. Полякова Л.Н. Достаточные условия локального экстремума квазидифференцируемой функции при квазидифференцируемом ограничении // Вестн. Ленингр. ун-та, 1985. №22. С. 26-30.

241. Полякова Л.Н. О гладкой аппроксимации выпуклой функции // Вестн. Ленингр. ун-та, 1989. Вып. 3, Сер.1. С. 31-34.

242. Полякова Л.Н. О минимизации разности выпуклых функций // Тезисы Международного советско-польского семинара. Мат.методы оптимального упр. и их приложения. Минск, 1989. С. 216-217.

243. Полякова Л.Н. ^-гиподифференциал и его свойства // Тези-

сы докладов III Всесоюзной школы по оптимальному управлению. Кемерово, 1990. С. 192.

244. Полякова JI.H. Минимизация отношения функции максимума к функции минимума //В кн. Теория систем управления. Вопросы механики и процессов управления. Изд-во СПбГУ, 1992. Вып.15. С. 150-153.

245. Полякова JI.H. Условия оптимальности в задачах квазидифференциального исчисления //В кн. Вопросы механики и процессов управления. Изд-во СПбГУ, 1995. Вып. 16. С. 26-51.

246. Полякова JI.H. Минимизация некоторых классов негладких функций //В кн. Мат. вопросы анализа негладких моделей. Вопросы механики и процессов управления. Изд-во СПбГУ, 1995. Вып. 16. С. 52-61.

247. Полякова JI.H. Субдифференциал Кларка разности функций максимумов // Вестн. Санкт-Петерб. ун-та, 1996. Вып. 3, Сер.1 С. 121-123.

248. Полякова JI.H. Гладкая аппроксимация разности выпуклых функций // Тезисы докладов Х-ой Всероссийской конференции " Математическое программирование и приложения ". Екатеринбург, 1997. С.182-183.

249. Полякова JI.H. Разность выпуклых множеств // Вестн. Санкт-Петерб. ун-та, 1998. Вып. 1, Cep.l С.29 -35.

250. Полякова JI.H. Непрерывный метод минимизации функции максимума сильно выпуклых функций с постоянным шагом // Тезисы докладов 9-ой Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". Саратов, 1998. С. 132.

251. Demyanov V.F., Polyakova L.N., Rubinov A.M. Quasidifferential calculus and application // ICM Warszava, 1983. Section 9. Part 1. P. 48.

252. Demyanov V.F., Polyakova L.N.? Rubinov A.M. Nonsmoothness and quasidifferentibility // Mathematical Programming Study, 1986. V.29. P. 1-19.

253. Dem'yanov V.F., Stavroulakis G.E., Polyakova L.N. Quasidifferentiabi-lity in nonsniooth, nonconvex mechanics // Journal of Global Optimization, 1995. №6. P 327-345.

254. Dem'yanov V.F., Stavroulakis G.E., Polyakova L.N., Panagiotopou-los P.D.. Quasidifferentiability and nonsmooth modelling in mechanics, Engineering and economics. Kluwer Academic,Doordrecht, 1996. 350 p.

255. Polyakova L.N. On the minimization of a quasidifferentiable function subject to equality-type quasidifferentiable constraints // Mathematical Programming Study, 1986. V.29. P. 44-55.

256. Polyakova L.N. On minimizing the sum of a convex and a concave function // Mathematical Programming Study, 1986. Vol.29. P. 69-73.

257. Stavroulakis G.E., Polyakova L.N. Difference convex opitimization techniques in Nonsmooth computational Mechanics // Optimization Methods & Software, 1996. V.7. P. 57-81.

258. Stavroulakis G.E., Polyakova L.N. Nonsmooth and nonconvex structural analysis algorithms algoritms based on difference convex otimization techniques // Structural Optimization, Springer - Verlag, 1996. №12. P. 167-176.