Разработка методов и геометрических моделей анализа незаполненных пространств в задачах размещения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.01.01, кандидат технических наук Ситу Лин

• Ситу Лин
• кандидат технических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат технических наук Ситу Лин

Введение.

1 Анализ методов геометрического моделирования объектов. в задачах автоматизации компоновки.

1.1 Обще требования к формированию геометрических моделей. трехмерных объектов.

1.1.1 Требования к формированию геометрических моделей. объектов СТФ и СТС.

1.2 Общие принципы формирования геометрических моделей. объектов.

1.3 Методы моделирования трехмерных ГО.

1.4 Возможности использования кусочно-аналитических геометриических моделей в задачах компоновки.

1.5 Рецепторные геометрические модели и общие принципы их формирования

1.6 Особенности визуализации геометрических моделей. трехмерных объектов.

ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ 1.

2 Разработка и исследование методов формирования РГМ анализа незаполненных пространств в задачах размещения.

2.1 Постановка задачи исследования.

2.2 Методы решения формирования РГМ анализа. незаполненных пространств.

2.3 Формирование РГМ объектов в двумерном пространстве.

2.4 Формирование РГМ объектов в трехмерном пространстве.

2.5 Хранение разреженных матриц для РГМ.

2.6 Геометрическая модель определеничя вложимости объектов, описанных РГМ.

ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ 2.

3 Алгоритмическая и программная реализация геометрической модели анализа незаполненных пространств.

3.1 Определение формы свободной области в двухмерном. пространстве.

3.2 Определение формы свободной области в трехмерном. пространстве.

ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ 3.

4 Исследование рецепторных геометрических моделей анализа незаполненных пространств в задачах размещения.

4.1 Оценка точности рецепторной геометрической модели (РГМ).

4.2 Оценка производительности вычислений с помощью. рецепторной геометрической модели (РГМ).

4.3 Примеры реализации рецепторной геометрической модели определения незаполенных пространств.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка методов и геометрических моделей анализа незаполненных пространств в задачах размещения»

Автоматизация проектирования занимает особое место среди информационных технологий. Во-первых, автоматизация проектирования -синтетическая дисциплина, ее составными частями являются многие другие современные информационные технологии. Так, техническое обеспечение систем автоматизированного проектирования (САПР) основано на использовании размещения объектов как в двухмерном, так и в трехмерном пространстве. По опубликованным данным [26] применение САПР позволяет в 2-3 раза сократить время проектирования и доводки летательных аппаратов (JIA), в 3-5 раз время подготовки их производства. В САПР используются персональные компьютеры и рабочие станции, математическое обеспечение САПР отличается богатством и разнообразием используемых методов вычислительной математики, статистики, математического программирования, дискретной математики, искусственного интеллекта.

Летательный аппарат как объект проектирования представляет собой сложную техническую систему. На рисунке В.1 представлены основные блоки проектирования самолета на ранних этапов разработки проекта. Каждый из блоков обладает собственной библиотекой методов. Количество расчетных модулей на которые делятся блоки зависит от конкретного этапа проектирования и определяет характеристики расчетной модели блока.

Это согласуется с современной методологией автоматизированного проектирования, когда в соответствии с принципами системного подхода, каждому этапу проектирования соответствуют свои модели. Программные комплексы САПР относятся к числу наиболее сложных современных программных систем, основанных на операционных системах Unix, Windows, языках программирования С, С++ , Java, и других, современных CASE-технологиях, реляционных и объектно-ориентированных системах управления базами данных (СУБД), стандартах открытых систем и обмена данными в компютерных средах. Таким образом, блок геометрии являете существенным компонентом общей САПР летательных аппаратов (ЛА).

Рисунок В.1 - основные блоки автоматизированного проектирования Л А

На сегодняшний день разработаны геометрические и математические модели (ГМ и ММ), которые обеспечивают простоту ввода геометрической информации, что важно для начальных этапов проектирования. К сожалению, они, как правило, имеют сложную внутреннюю информационную структуру. Скорость обработки таких моделей недостаточна для обеспечения интерактивных режимов работы. Особенно остро стоит задача обеспечения скорости работы алгоритмов обработки геометрической информации в задачах компоновки в силу необходимости анализа условия взаимного непересечения большого количества геометрических объектов (ГО) [26, 52, 54].

Задачи автоматизации компоновки отличаются наиболее низкой степенью формализации. Между тем они занимают одно из первых мест по сложности и в значительной мере влияют на качество проектирования таких сложных технических объектов как летательный аппарат. Но возможности ЭВМ только дополняют интеллектуальные возможности человека. Процесс разработки проекта - творческий акт и он никогда не может быть до конца формализован. Отметим особенности изделий авиационной техники (АТ) как объектов проектирования:

• большое разнообразие геометрических объектов (ГО) - от ГО простых структур и форм, представляющих собой, например, детали креплений и приборы до ГО сложных технических структур (СТС);

• необходимость получения большого количества расчетных характеристик, которые в значительной зависят от геометрии объекта.

Хотя при проектировании АТ широко используются как физические, так и математические модели, в данной работе рассматривается разработка геометрических моделей анализа незаполненных пространств в задачах размещения. С помощью геометрических моделей определяются площади, объемы, поперечные сечения самолета и его агрегатов. В основе процесса исследования лежит метод геометрического моделирования, т.е. исследования объекта проектирования с помощью модели, которая содежит необходимую информацию о его геометрической форме. Системы геометрического моделирования создают среду, подобную той, в которой создаются и изменяются физические модели. Теоретические исследования в этой области являются основой разработки геометрического обеспечения САПР.

При формировании исходных данных на конструирование технического объекта исходят, как правило, из соображений конструктивного, технологического, экономического, эстетического и другого характера. Эти требования должны быть интерпретированы геометрически, т.е. как позиционные, метрические, дифференциально-геометрические характеристики геометрического объекта. Анализ таких характеристик позволяет оценить объем содержащейся в них информации о форме и положении в пространстве размещаемого объекта.

Развитие современной авиационно-космической техники, рост требований к ней и повышение плотности компоновки заставляют конструкторов постоянно совершенствовать методы проектирования. Даже первые опыты компьютеризации процесса проектирования при решении отдельных частных задач показали их высокую эффективность. Работы по автоматизации размещения не составляли исключения. Первые публикации, посвященные автоматизации решения задач размещения относятся к 60-м годам прошлого века и связаны с именами Л.В.Канторовича и В.А. Залгаллера по раскрою материалов методами линейного программирования. Однако переход от 2Т> объектов к ЗБ объектам и усложнение формы размещаемых объектов от линейных полос до реальных объектов современной техники вызвало лавинообразное усложнение математического описания процесса размещения. Несмотря на то, что исследованию этого вопроса посвящены труды многих ученых - В.Л.Рвачева, Ю.Г.Стояна, В.Н.Гаврилова, М.Ю.Куприкова, В.В. Мальчевского, Л.В.Маркина и многих других, эта задача далека от своего разрешения.

Данная работа посвящена вопросам автоматизации компоновки, в частности такому ее аспекту, как «доразмещение» еще не размещенных объектов среди тех, которые уже установлены в определенном замкнутом пространстве. С геометрической точки зрения она представляет собой решение задачи «вложимости» ГО определенного класса в зоны их возможного размещения и в широком плане может трактоваться как задача распознавания образов применительно к предметной области компоновки технических объектов с высокой плотностью размещения, в частности ЛА. Цели работы

1. Разработка геометрических моделей как размещаемых объектов, так и самого процесса размещения геометрических моделей определенного класса в замкнутых объемах среди уже размещенных объектов определенного класса.

2. Разработка математического и программного обеспечения для реализации разработанной геометрической модели размещения оставшихся объектов среди уже размещенных.

3. Исследование и верификация разработанных геометрических моделей.

4. Внедрение полученных результатов в процесс проектироввания и учебный процесс.

Заключение диссертации по теме «Инженерная геометрия и компьютерная графика», Ситу Лин

ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ 3

В данной главе представлена разработанная РГМ определения формы, размеров и положения незаполненных пространств как сгустка 0-вых рецепторов рецепторной матрицы. Исходная дискретность рецепторной модели позволяет анализировать рецепторную матрицу по слоям, определяя на какую геометрическую фигуру больше всего статистически подходит «плоский срез» рецепторной матрицы - на круг, прямоугольник или многоугольник. Описаны алгоритмические и программные основы реализации предложенного подхода на основе РГМ на ПЭВМ с использованием алгоритмического языка С (включая модуль визуализации полученного результата). Приведены тестовые примеры реализации предложенной геометрической модели. На основе исследований и разработок данной главы можно сделать следующие выводы:

Рисунок 3.13 - Схема алгоритма определении незаполненных областей размещения еще объекты

Maxirnun Draw » Rectangle Sphere Cylinder Draw j

Manual Draw о Rectangle Sphere Cylinder Width Height Length

7 7 7

Draw

Random Analysis Default Button

ShowFree

Data Analysis mmяёшёшш

Fil* Edit Tools View Rendering Help

Mam Graphic 3D View Analytic Curve View Data Analyst»

Analy»» Free Ana|ysrt

Choose The Spac* о

Sh*t X - 2,5bvt Y«2 , SUrt lO , End X-36 , End Y-ЗЪ , End ¿—12

W«ttt>-34,Hr*aM-Э4Д «ngtb-32

Maximum RadMs is 16.

Рисунок 3.14 - Визуализация вписанного объекта максимально возможных размеров

Analysis Free Апа|уБ|Б

Choose The Space q

Manmun Draw

Reclaivgle о £рі>«ГЄ Суіігкіеі I Draw :

Manua Drav, о Rectangle Sphere Cylinder width Height Length

7 7 7

Random Analysis Ddta Analysis

Default Button ShowFree

Start X»2,5b«t V-2 , Start Z-IO , End X-36 , End Y-3b , End ¿-42

Wtdtt» 34,Hogt*

Momuni Length a ІИ.

НЯНИ а)

• метод хранения разреженных матриц;

• метод структуризации ГМ объекта выделением пространственных форм одного класса эквивалентности;

• метод формирования матриц сложной структуры.

4. Разработанное на языке С программное обеспечение позволяет не только определять незаполненные области пространства, но и визуализировать полученные результаты и формировать данные о свободных пространствах в виде параметрических моделей.

4 Исследование рецепторных геометрических моделей анализа незаполненных пространств в задачах размещения

4.1 Оценка точности рецепторной геометрической модели (РГМ)

При использовании рецепторного метода форма объекта описывается приближенно. Стремление к увеличению точности описания в г раз приводит к увеличению необходимой для реализации метода машинной памяти в ^раз, где q - размерность пространства моделирования. Преимуществом рецепторного метода является простота определения многих геометрических параметров и решения многих геометрических задач обработки трехмерных объектов. Основными недостатками метода являются:

- громоздкость описания объектов, затрудняющая ввод и переработку геометрической информации в ЭВМ;

- большие затраты машинного времени при реализации метода. Тем не менее, нам представляется целесообразным развитие рецепторного метода с целью его адаптации к задачам автоматизированной компоновки.

Производим анализ точности РГМ рассматривая сначала плоский (2Б) случай - описание рецепторной моделью плоского контура. Примем допущения:

- рецептор имеет форму квадрата со стороной А;

- положение рецептора в системе координат рецепторной матрицы определяется его нижней левой стороной (рисунок 4.1).

Теперь рассмотрим прохождение теоретического контура размещаемого предмета через этот рецептор. Сначала рассмотрим случай, когда через него проходит строго вертикальный контур области (рисунок 4.2 а).

Рисунок 4.7 - Иллюстрация тестового примера оценки погрешности - шар вписан в рецепторную матрицу

Результаты расчета приведены в виде графика на (рисунок 4.8). Из этого графика видно, что погрешность описания формы РГМ зависит от размера рецептора, которая, в свою очередь, определяется количеством рецепторов в конкретной рецепторной матрице.

Имеется порог (в нашем случае это примерно 5 тысяч рецепторов), при уменьшении которого абсолютная точность описания формы резко снижается.

Значение наиболее вероятной относительной погрешности будут определяться размерами описываемого тела.

4.3 Примеры реализации рецепторной геометрической модели определения незаполенных пространств

Известно, что в процессе как ручного, так и автоматизированного проектирования самолета, строится график площадей по длинней самолета, характерный вид которого представлен на рисунке 4.12. Из этого рисунка видно, что для обеспечения заданного закона изменения площади омываемых поверхностей по длине самолета всегда остаются неиспользованные пространства (на рисунке 4.12 они заштрихованы). В них проектанты постараются разместить оборудование самолета, топливо, поленый груз и т.п., но даже после этого часть свободного пространства сохраниться, но выявить его станет значительно труднее из-за большого количества уже размещенных там объектов. Однакое его выявление и использование позволит повысить качество проектных решений, т.к. предопределит, что будет возить проектируемый самолет в этих пространствах -необходимое оборудование или воздух. крыло уШШ шасси внТотсёкЖ вооружений Щ

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Ситу Лин, 2011 год

1. Александров В.В., Горский Н.Д. Рекусивный подход к представлению и анализу данных. // Сб.статей «Прикладная информатика», вып. 2(7).М.:Финансы и статистика, 1984. - с. 102-117

2. Алекандров В.В., Горский Н.Д. Представление и обработка изображений.

3. Арциховская-Кузнецова J1.B. Автоматизация построения перспективных изображений. Учевное пособие. М.:МАДИ , 1986. - 68 с.

4. Арциховская-Кузнецова J1.B. Преобразование координат в машинной графике. Учебное пособие. М.:МАДИ , 1985. - 64 с.

5. Аггеева И.А., Корн Г.В., Маркин JI.B. Геометрические модели изделий машиностроения. // В сб.: Тезисы докладов Всесоюзной конференции «Современные проблемы автоматики». М.: 1989. - с. 47

6. Барковский В.И. Методологические аспекты разработки программы создания истребителя нового поколения // Сборник РАРАН, 2002. №28/4.

7. Барковский В.И., Скопец Г.М., Степанов В.Д. Методология формирования технического облика экспортно ориентированных авиационных комплексов. М.: Физматлит. 2008.

8. Баяковский Д.М., Галактионов В.А., Михайлова Т.Н. Графор. Графическое расширение ФОРТРАНа. М.: Наука , 1985. - 288 с.

9. Бодрышев В.В., Маркин J1.B. О заполнении замкнутого контура прямоугольниками. // В сб.: Тезисы докладов Всесоюзной конференции « Математическое обеспечение рационального раскроя в системах автоматированного проектирования». Уфа : 1987. - с. 18 - 19 .

10. Вальков К.И. Основы геометрического моделирования. Д.: ЛИСИ, 1986.

11. Гаврилов В.Н., Вахрушев А.Н. Разработка базы данных для задач компонования летательных аппаратов // В сб. Тезисов докл. III Всес. конф. «Автоматизация поиского конструирования и подготовка инженерных кадров». Иваново, 1983.

12. Горелик А.Г. Автоматизация инженерно-графических работ с помощью ЭВМ. -Минск: Высшая школа, 1980 г. 206 с.

13. Горелик А.Г. Об алгоритмическом построении теоретико-множественного описания геометрического объекта. // Вычислительная техника в машиностроении. Минск: ИТК АН БСССЗ, 1968, февраль , - с. 36 - 49 .

14. Горелик А.Г. Методы геометрического моделирования при автоматизированном проектировании объектов сложной структуры. Диссертация на соискание уч. степени д.т.н. - Минск: 1983.

15. Гардан И., Люка М. Машинная графика и автоматизация конструирования. -Мир, 1987.-270 с.

16. Грувер М., Зиммерс Э. САПР и автоматизация производства. М.:Мир, 1987. -528 с.

17. Гаврилов В.Н. Автоматизированная компоновка приборных отсеков летательных аппаратов. -М.: Машиностроение, 1988. 136 с.

18. Горский Г.К., Зозулевич Д.М., Шерлинг Д.Р. Алгебрологический метод решения геометрических задач при автоматизированном проектировании с помощъю ЭЦВМ. // В кн.: ВТ в машиностроении. Минск: ИТК АН БССР, 1971. - с. 24 -31.

19. Герасименко Е.П., Зозулевич Д.М. Минемизация вычислительного процесса при решении геометрических задач с помощъю рецепторных матриц. // В кн.: ВТ в машиностроении. Минск, ИТК АН БССР: июнь, 1970. с. 26 - 40 .

20. Герасименко Е.П., Зозулевич Д.М. Методы формирования трехмерных рецепторных матриц на ЭВМ. // В кн.: ВТ в машиностроении. Минск. ИТК АН БССР, 1971.-с. 24-31 .

21. Герасименко Е.П., Кот В.И. и др. Автоматизация проектирования печатных блоков с модулями произвольной формы. М.: Машиностроение , 1979. - 167 с.

22. Гиллой В. Интерактивная машинная графика. Структуры данных, алгоритмы, языки. М.: Мир, 1981. - 3 84 с.

23. Куприков М.Ю., Маркин Л.В., Панов В.В. и др. Формирование рационального облика перспективных авиационных ракетных систем и комплексов. М.: Машиностроение, 2010.

24. И.И.Котов, В.С.Полозов, Л.В.Широкова. Алгоритмы машинной графики. -М.Машиностроение, 1977. -238 с.

25. Котов И.И. Прикладная геометрия и автоматическое воспроизведение поверхностей. // В кн.: Кибернетика графики и прикладная геометрия поверхностей. Москва: МАИ, 1971, вып. 231 - с. 3 - 5

26. Клишин В.В. Моделирование трехмерных объектов на основе объемных базовых элементов формы. Диссериация на соискание уч.степени к.т.н., - М.:1983.

27. Мальчевский В.В. Автоматизация процесса компоновки самолета. М.: Изд-во МАИ, 1987.

28. Ли К. Основы САПР (САБ/САМ/САЕ ). СПБ .: Питер, 2004.

29. Маркин Л.В. Задачи формирования подсистем компоновки САПР летательных аппаратов. // В сб.: «Прикладная геометрия и инженерная графика в теории и практике авиационного автоматизированного проектирования» . Киев: КИИГА, 1984.-с. 6-9

30. Маркин Л.В. Геометрические модели компонуемых объектов в системе автоматизированного проектирования воздушных судов. // В сб. Научных трудов «Геометрические модели в авиационном проектировании». Киев: КИИГА, 1987. -с. 12-17

31. Маркин JI.В. Применение нормальных уравнений для решения компоновочных задач // Сб. «Геометрическое моделирование, инженерная и компьютеная графика». Тези доповидей. Харькие. 1993, XIII.

32. Математика и САПР: В 2-х кн. Кн. I. Пер. с франц. Шенен П., Гардан И. и др. -М.: Мир, 1988.-204 с.

33. Нестеров A.A., Куприков М.Ю., Маркин Л.В. Проектирование установок ракетного вооружения летательных аппаратов / под ред. В.А.Нестерова. М. Машиностроение, 2008.

34. Нильсон П. Принципы искусственного интеллекта: Пер с англ. М.: Радио и связь, 1985.

35. Ньюмен У., Спрулл Р. Основы интерактивной машинной графики. М.: Мир, 1976.- 373 с.

36. Обзор методов геометрического моделирования графических систем. Под ред. Педанова И.Б. М.:АН СССР ВЦ, 1987.

37. Осипов В.А. Математическое моделирование в автоматизированной системе геометрических расчетов. // В кн.: Машинное проектирование, увязка и воспроизведение сложных деталей в авиастроении. Иркутск, Изд. ИЛИ, 1977, -с.4-14.

38. Осипов В.А, Проектирование непрерывных каркасов поверхностей с наперед заданными дифференциальными свойствами. // Научн.тр. МИРЭА, 1972, вып. 63. Инженерная графика, -с. 47-53.

39. Осипов В.А. Машинные методы проектирования непрерывно-каркасных поверхностей. М.: Машиностроение, 1979, 248 с.

40. Перевезенцева A.B. Объемная компоновка отсеков оборудования с использованием SolidWorks // САПР и графика, 2006, № 6.

41. Похвалинский А.Б. Средства геометрического моделирования трехмерных объектов в САПР. Диссертация на соискание ученой степени к.т.н., Киев: 1986.

42. Принс M.Д. Машинная графика и автоматизация проектирования, М.: Сов.радио, 1975.-280 с.

43. Полозов B.C., Буденков O.A., Рожков С.И. и др. Автоматизированное проектирование. Геометрические и графические задачи. М.: Машиностроение, 1983.- 280 с.

44. Рыжов H.H. О теории каркаса. // Тр.УДН им. Лумумбы, №1 (И) 1963 с.9-19.

45. Рыжов H.H. Каркасная теория задания и конструирования поверхностей. // Тр.УДН им.Лумумбы, 1967, №3 (ХХУ1), с.3-12.

46. Рыжов H.H. Определитель поверхности и его применение. // Тр.УДН им.Лумумбы, том. III, Прикладная геометрия, серия "Математика", вып. 4, 1971. -с.3-17.

47. Реквиша А.А.Г., Воулкер Г.Б. Булевы операции при объемном, моделировании. Алгоритмы определения и соединения границ. // ТИНЭР, 1985, № I. с.32-49.

48. Рвачев В.Д. Геометрические приложения алгебра логики.- Киев: Техника, 1967. -211 с.

49. Рвачев В.Л. Теория R функций и некоторые ее приложения. - Киев: Наукова думка, 1982. - 552 с.

50. Роджерс Д., Адаме Дж. Математические основы машинной графики. М.: Машиностроение, 1980. - 240 с.

51. Розенфельд А., Дейвис Л.С. Сегментация и модели изображения. // ТИИЭР, т.67, №5, 1979.-е. 149-185

52. Рогоза Ю.А. Задание геометрических объектов в дискретном пространстве. МАИ, М.: 1989.-6 е.- Рукопись деп. в ВИНИТИ 27.12.89. №7690-В-89

53. Рогоза Ю.А., Сморщков Э.К. Об одной модели в позиционных задачах инженерной графики. Омский политехнический институт. Омск: 1988. -6с. -рукопись деп. в ВИНИТИ 21.02.89 №1110-В-89

54. Ситу JL, Хтун Н. Н., Маркин Л. В. Рецепторные геометрические модели в задачах автоматизированной компоновки технического отсека легкого самолет // Труды МАИ, электр. журнал (http://www.mai.ru), вып. №47, 2011 г.

55. Ситу Лин. Дискертные модели выявления формы незаполненных пространств // В сб.:Тез.докл научно практическая конференция студентов и молодых учёных МАИ «Инновации в авиации и космонавтике - 2010 ». Тезисы докладов. - М.: Изд-во МАИ. - 2010.-С.192.

56. Ситу Лин. Алгоритмы распознавания незаполненных пространств в задачах компоновки // В сб.:Тез.докл. 9-я Международная конференция «Авиация и космонавтика 2010 ». - М.: Изд-во МАИ. - 2010 . - С.315-316.

57. Стоян Ю.Г., Яковлев C.B. Математические модели и оптимизационные методы геометрическою проектирования. Киев.: Наукова думка, 1986 г.-265с.

58. Стоян Ю.Г., Гиль Н.И. Методы и алгоритмы размещения плоских геометрических объектов. Киев: Наукова думка, 1976г. - 246с.

59. Стоян Ю.Г. Размещение геометрических объектов. Киев: Наукова думка, 1975. -239 с.

60. Стоян Ю.Г., Кулиш Е.Н. Автоматизация проектирования компановки оборудования летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1984. -192с.

61. Сидоренко С.М. Вычислительная геометрия в машиностроении. М.: Машиностроение, 1983г. 160 с.

62. Стародетко Е.А., Усов Б.А. Методы лекальной параметризации в системах геометрического проектирования. Вычислительная техника в машиностроении. -1982.-№3.-с. 3-8.

63. Стародетко Е.А. Элементы вычислительной геометрии. Минск Наука и техника. 1986.-239 с.

64. Техническое зрение роботов /Под ред.Пью А., Пер, с англ. Миронова Д.Ф., Под ред. Г.П.Катыса. М.: Машиностроение, 1987. - 320 с.

65. Фоли Дж., Дэм А. Основы интерактивной машинной графики. М. Мир, 1985, -367 е., т,2

66. Фролов С.А. Алгоритмы графического решения задач на ЭВМ. Сб.: вычислительной техника, №4, М.: 1964г.- с. 5-10.

67. Фролов С.А. Кибернетика и инженерная графика. М.: Машиностроение, 1974г. -200 с.

68. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия, Применение в проектировании и на производстве. М.: Мир, 1982г. - 304 с.

69. Формалев В.Ф. Основы построения и математическое обеспечение системы автоматизированного проектирования летательных аппаратов. Автоматизация проектных расчетов. М.: МАИ, 1980. - 42 с.

70. Фу К. Структурные методы в распознавании образцов /Под ред. Айзермана М.А. М.: Мир, 1971.-319 с.

71. Якунин В.И. Геометрические основы системы автоматизированного проектирования технических поверхностей. М.: Изд. МАИ, 1980г.

72. Alexandre Hardy., Willi-Hans Steeb. Mathematical tools in computer graphics with C# implementations, April 1, 2008, p.496.

73. Barry G. Blundell. An introduction to computer graphics and creative 3-D environments, September 12, 2008, p. 500.

74. С. H. Chen., P. S. P. Wang. Pattern recognition and computer vision, September 2004.

75. Frieder G., Gordon D., Reynolds R. A. Back-to Front display of Voxel-Based Objects // IEFE Computer Graphics and Applications, v. 5, №1, Jan. 1985, p. 5-60

76. Gargantini I. Linear Octrees for Fast Processing of Three Dimensional Objects, // Computer Graphics and Image Processing, v. 20, №4, Dec. 1982., p. 565-574

77. Gargantini I., Walsh T.R., Wu O.L. Viewing Trans-Formations of Voxel-Based Objects via linear Octrees, IEEE Computer Graphics and Applications, 1986, №10, p. 12-21

78. Jacking C.L., Tanimoto S.L. Oct-trees and Their Use in Representating Three -Dimensional Objects,- Computer Graphics and Image Processing, VI4 , №3, Nov. 1980, p. 249-270

79. Jean Gallier. Geometric Methods and Applications: For Computer Science and Engineering, June 21, 2011, p.707.

80. Maurice G. Kendall. The advanced theory of statistics, 1945, p. 457

81. Max K. Agoston. Computer Graphics and Geometric Modeling, 2004, p. 373-470

82. Meagher.D. Geometric Modeling Using Octree Encoding, Computer Graphics and Image Processing, V.19, №2, June 1982, p. 129-147

83. Requcha A.A.G., Voelker H.B. Solid Modeling : A historical summary and contemporary assessment, IEEE, Computer Graphics and Applications , 1982, v.2, №2, p.9-24

84. Requcha A.A.G. Representation for Rigid Solid. Theory Methods and Systems. -Computer Surveys, 1980, v. 12, №4, p. 437-464

85. Samet H., Robert E., Webber E. Hierarhical Data Structures And Algorithms For Computer Graphics, Computer Graphics and Apptications, May 1988, p. 48-68 ; July 1988, p. 59-75

86. Sergios T., Konstantinos K. Pattern Recognition, 2009.

87. Sue Johnston-Wilder and John Mason. Developing Thinking in Geometry, 2005, p 961