Разработка системы организации исследовательской работы учащихся в процессе изучения факультатива по математике в 7-11 классах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат педагогических наук Челябов, Исамудин Магомедзагирович

• Челябов, Исамудин Магомедзагирович
• кандидат педагогических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат педагогических наук Челябов, Исамудин Магомедзагирович

ВВЕДЕНИЕ.4

Глава 1. ОСНОВЫ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЫ В ШКОЛЕ.

1.1. Исследовательская работа учащихся. Необходимые элементы ее начальной стадии.12

1.1.1 Математический эксперимент и его роль в развитии исследовательских возможностей учащихся .22

1.2. Методика индуктивных поисков закономерностей.34

1.3. Метод математической индукции и методика его применения в исследовательской работе с учащимися.40

ВЫВОДЫ.

Глава II. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА В ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ

2.1. Необходимость и целесообразность систематического применения косвенных методов доказательств в учебном процессе .53

2.2. Методика применения косвенных методов доказательств в учебно-исследовательской работе с учащимися.57

ВЫВОДЫ.

Глава III. СРЕДСТВА И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ, РЕШЕНИЙ И СОСТАВЛЕНИЯ ЗАДАЧ

3.1. Исследования "в малом".75

3.2. Некоторые методы решения задач и методика их применения в исследовательской работе с учащимися.94

3.3. Разработка методов составления задач как результат исследовательской работы учащихся.111

3.4. Развитие критического мышления учащихся и их математического стиля мышления - необходимое средство для проведения исследовательской работы в школе.122

ВЫВОДЫ.

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ. 134

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка системы организации исследовательской работы учащихся в процессе изучения факультатива по математике в 7-11 классах»

Впервые идею внесения исследовательского начала в учебный процесс в школе высказал и обосновал известный русский просветитель Н. И. Новиков (62).

Понятие "Исследовательская работа", в основе которой лежит исследовательский метод, обосновалось в советской школе в 20-х годах. С тех пор в педагогике укоренилось следующее понимание исследовательской работы учащихся - эта такая работа, "при которой учащиеся (с разной степенью самостоятельности) "открывают", опираясь на конкретные факты, ранее неизвестные им истины, повторяя при этом логический путь настоящего исследователя" (6).

В формировании всесторонне развитой личности советская педагогика ведущую роль отводила школе. Реорганизация народного образования в соответствии с положениями реформы школы в советский период поставила перед психолого-педагогической наукой и общеобразовательными учреждениями глобальную проблему: ". коренным образом улучшить подготовку молодежи к самостоятельной жизни и труду" (VI).

Важной составной частью этих задач является повышение качества учебно-воспитательного процесса в школе, в частности, его необходимого компонента - совершенствования математического образования, уровня математической подготовки молодого поколения, от которого во многом "зависит научно-технический, производственный и оборонный потенциал нашей страны" (127).

В современных условиях проблема изучения и развития исследовательских возможностей учащихся приобретает совершенно новое содержание и смысл в учебном процессе.

Дальнейшее реформирование и демократизация школы дали новый импульс этой проблеме, предоставив учителю оперативный простор в выборе методов и средств в деле достижения программных целей и приобщения учащихся к творческой деятельности на классных и внеклассных занятий (VII).

В широком плане вопросы развития исследовательских возможностей учащихся затрагивали в своих работах не только философы (1. 2, 3, 4 и др.), психологи (7, 8, 10-19, др.), педагоги1, но и известные ученые-математики (и из других областей науки) . Эти работы имеют основополагающее значение в научном анализе проблемы творчества и развития исследовательских возможностей человека-личности.

Развитию поисково-познавательных возможностей учащихся при изучении отдельных вопросов школьных дисциплин посвящены исследования: (28, 31, 41, 44, 63, 69,71, 72, 81,82, 90, 91, 93, 107-120, 122, 125, 147-148, 150, 156-161, 171, 175 и др.). Такие исследования служат основой для всестороннего и полного изучения проблемы.

Для наилучшего выполнения своих обязанностей перед обществом школа должна пробуждать, придавать мобильность способностям каждого ученика к непрерывной учебе и развивать интерес учащихся к исследовательской работе. Поэтому основой обучения сейчас в школе становится (в гораздо большей степени, чем раньше) развитие их творческих и исследовательских возможностей, которое является одним из важных компонентов развивающего обучения (12, 20).

Ведь будущий специалист - это не просто человек, обладающий определенным комплексом знаний, которые всегда можно найти в учебнике, или даже в справочной литературе, а тот, кто может творчески, критически осмыслить то или иное явление и высказать разумное предложение в использовании полезных знаний в интересах общества.

Учащиеся должны учиться только в процессе искания, интеллектуально активного труда, самостоятельного преодоления трудностей, - в этом единственная, но зато абсолютно надежная гарантия того, что знания их не будут только формальными" (165).

1 (33, 59, 62, 76, 77, 92, 98, 103, 122, 123, 124, 133, 145, 146 и др.).

2 (5, 24, 32,34-40,45,51,75,83,84, 88-91,95,96, 99, 126, 134-138, 140, 143, 144, 154, 157, 165, 166, 178 и др.).

Одним из путей разрешения "глобальной проблемы", стоящей перед школой, психолого-педагогическая наука видит в разработке условий развивающего обучения, принципов и средств развития творчества учащихся, системы планомерного проведения исследовательской работы в школе, как неотъемлемой части всего процесса обучения.

Анализ результатов имеющихся работ (в том числе и диссертационных (Акопян Г. В. (21); Акопян Е. А. (22); Андреев В. И. (25); Веденяпина В. А. (44), Викол Б. А. (47); Сергеев В. Н. (148), Токмазов Г.В.(143) и др.) показывает, что вопросы разработки такой системы полно не исследованы. В них рассмотрены и разрешены такие частные задачи, как развитие творческой деятельности учащихся в процессе внеклассной работы по математике, исследовательских умений их на уроках физики, форм и методов внеклассной работы по математике, формирование элементов исследовательской деятельности учащихся при углубленном изучении математики их исследовательских умений в процессе решения задач, исследовательских способностей старшеклассников и подготовка их к овладению методами науки (на материале предметов гуманитарного цикла) и др.

В частности,

- в них недостаточно проанализирован вопрос о возможности проведения систематической исследовательской работы с широким кругом учащихся в форме факультативов, не предложены система средств, методов и ориентировочный учебно-тренировочный материал для этих целей;

- действенная реализация результатов этих работ имеет место при обучении относительно малой части отобранного контингента учащихся.

Поэтому разработка, системы постановки и проведения целенаправленной исследовательской работы учащихся в образовательном учреждении, как неотъемлемой части всего процесса обучения, является весьма актуальной

Проблемой исследования является выявление возможностей разработки содержания и методики планомерного проведения исследовательской работы с учащимися.

Проведенное нами исследование есть попытка частичного разрешения этой проблемы. Оно является составной частью одного из научных направлений Дагестанского госуниверситета "Принципы и средства развития математического творчества учащихся в средней школе" (№ ГР 80068184) и входило в координационный план научных исследований АПН СССР на 19811985 гг. по проблеме "Психолого-педагогические основы содержания методов и средств обучения в условиях всеобщего обязательного среднего образования".

Объект исследования. Система исследовательской работы учащихся при изучении математики.

Предмет исследования. Система исследовательской работы учащихся в процессе изучения факультативных занятий.

Гипотезой исследования служит предположение о том, что если исследовательскую работу учащихся организовать целенаправленно в рамках предлагаемой системы, то результаты их работы будут более эффективны.

Цель работы. Разработка содержания и методики планомерного проведения исследовательской работы с учащимися в процессе изучения факультатива по математике в 7-11 кл.

Достижение поставленной цели предполагает решение ряда задач:

1. Определение основных фаз исследовательской работы учащихся при изучении школьной математики.

2. Раскрытие и определение круга понятий, связанных с организацией и содержанием исследовательской деятельности учащихся.

3. Разработка для каждой фазы системы средств и методов, служащих основой методики планомерного проведения исследовательской работы с учащимися на факультативных занятиях, и программу факультатива (7-11 кл.).

4. Экспериментальная проверка теоретических положений и обоснование возможности их внедрения в условиях массовой школы.

Эти задачи разрешены в диссертации в последовательности:

1. Основы исследовательской работы в школе (Глава 1).

2. Доказательства в школьной математике (Глава 2).

3. Средства и методы исследований, решений и составления задач (Глава 3).

Научная новизна.

Разработана экспериментально проверенная система методов и средств постановки исследовательской работы учащихся при изучении факультатива по математике в 7-11 кл., в частности:

1. Дан ряд оригинальных методик по методам доказательств, составления и решений задач.

2. Систематизирован и изложен в применении к школьной математике вопрос развития критического мышления учащихся на специально подготовленном материале.

3. Создан специальный задачный материал для проведения исследовательской работы в школе в процессе факультативных занятий по математике.

Практическая значимость.

1. Данное исследование в определенной мере служит основой для дальнейших аналогичных работ (теоретического и практического характера) по другим учебным дисциплинам образовательного учреждения.

2. Предлагаемые разработки по методам решения задач могут быть использованы учителями математики как на классных, так и внеклассных занятиях.

3. Разработки по методам составления задач могут послужить ориентировочными пособиями для учителей по составлению специальных "Задачников школ", в постоянном обогащении которых участвуют и учащиеся.

4. Теоретические положения и результаты исследования могут оказаться полезными для преподавателей математических кафедр педуниверситетов и университетов при изложении спецкурсов и спецсеминаров по педагогике математики.

Апробация работы. а) Материалы диссертации доложены на вузовских, межвузовских, республиканских и зональных конференциях (с участием учителей), на которых раскрывались ведущие аспекты затронутой проблемы:

1. Профессорско-преподавательского состава Даггосуниверситета (19711998 гг.).

2. Педагогических вузов южной зоны РСФСР (г. Махачкала, 1975 г.).

3. Молодых ученых Дагестана "Молодежь и общественный прогресс" (г. Махачкала, 1977 г.).

4. Первой Дагестанской Межвузовской конференции "Повышение эффективности и качества учебно-методической работы в вузе в свете решений XXV съезда КПСС" (г. Махачкала, 1978 г.). б) В школе - экспериментально подтверждена возможность проведения целенаправленной исследовательской работы с учащимися на факультативных занятиях по математике.

Кроме того, результаты исследования обсуждены в лаборатории обучения математике НИИ СМО АПН СССР (1982 г.) и в лаборатории математики и физики педагогики Украинской ССР (198% г.).

Внедрение. Основное содержание диссертации и весь задачный материал внедрены в учебный процесс Дагестанского госуниверситета. Они легли в основу спецкурса и спецсеминара "Исследовательский метод на факультативных занятиях по математике в средней школе".

Публикации. Материалы диссертации изложены в двенадцати печатных работах.

Методы исследований.

В процессе выполнения работы применялись такие методы исследования, как изучение и анализ:

1. Основополагающих трудов о диалектике познания и исследовательском процессе.

2. Руководящих материалов и нормативных документов о школе и реформе народного образования в стране.

3. Философской, психолого-педагогической и научно-методической литературы по теме диссертации.

4. Экспериментальная проверка полученных результатов.

Руководствуясь учением о познании и целями, которые стоят перед школой, мы сформулировали 12 принципов и средств, на которые опирались в процессе исследования. Эти принципы представляют собой следствия из основных положений диалектики познания, методологии математики и результатов новейших психолого-педагогических исследований. Перечислим их:

1. Эвристика и создание проблемных ситуаций.

2. Развитие аналитических способностей учащихся (всех видов анализа предложений).

3. Наглядность в обучении (графическая интерпретация, пояснения и решения различных задач).

4. Косвенное воздействие на учащихся. Создание условий для развития их интуиции.

5. Воспитание потребности в изучении материала и в доказательствах.

6. Развитие целенаправленного понятийного мышления и речи учащихся. Терминология и символика в школьном курсе математики.

7. Развитие способностей находить взаимосвязи понятий и их отношений.

8. Обогащение пособий для учителей новыми и проблемными идеями обучения.

9. Ограничения в выборе средств при разрешении методико-математических вопросов.

10. Решения и составления задач по методам и рассмотрение их как средств развития исследовательских возможностей учащихся.

11. Развитие критического мышления учащихся.

12. Единство учебного и исследовательского процессов. и

Приведенные принципы не находятся в прямой зависимости от (частых) изменений школьных программ. Влияние их на исследовательский процесс в школе может возрастать от усиления научного характера предмета (не за счет увеличения объема программы) и от более целесообразной методики обучения математике с уклоном в доходчивое изложение материала с элементами, возбуждающими интерес и потребность в нем. Часть из этих принципов и средств сохраняют свою силу при обучении любому школьному предмету, в этом их методологическая общность.

Положения, раскрывающие новизну исследования и представляющие собой основное содержание диссертации, выносятся на защиту.

Заключение диссертации по теме «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», Челябов, Исамудин Магомедзагирович

Выводы

1. Введено, определено и раскрыто содержание понятия "Исследования в малом". Методика проведения таких "исследований" иллюстрируется достаточным числом задач и упражнений.

2. Разработан ряд методов доказательств и решений задач, с иллюстрацией широты их применений.

3. Приведены методы составления задач, в работе над которыми принимали участие учителя и учащиеся.

4. Впервые (для полноты раскрытия исследуемой проблемы) изложены отдельные вопросы методики развития критического мышления учащихся при обучении математике. При этом проводится критический анализ неполноценных доказательств, решений задач, взятых из учебной и методической литературы.

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРЕМЕНТ

Эксперимент проводился в два этапа: 1972 - 1974г.г. и 1975 -1980 г. На первом этапе была показана принципиальная возможность подготовки студентов математического факультета Даггосуниверситета проведению исследовательской работы в школе. С этой целью для студентов-математиков IV-V курсов были разработаны спецкурс "Принципы и средства развития математического творчества учащихся" и спецсеминар "Методы составления и решения задач", в которых содержались основные аспекты затронутой проблемы и практические рекомендации по их реализации. Кроме того, на этом этапе с участием студентов был подготовлен обшйрный задачный материал для учителя по проведению исследовательской работы в школе, который впоследствии лег в основу сборника "Математические задачи для школьных олимпиад". После экспериментальной проверки в школах г. Махачкалы, районов и обсуждения на республиканском метод объединении учителей математики сборник был одобрен, издан Дагучледгизом и разослан Минпросом ДАССР во все школы республики для практического использования. Такую же опробацию прошли "Учебно-методический сборник статей по математике", содержащий методы решения и составления задач, "Особенности обучения математике по новым программам и пособиям", "Лабораторный практикум по решению задач", также "Экспериментально тренировочный материал для развития начальной стадии исследовательской работы учащихся" (рукопись). На этом лее этапе одновременно изучалось состояние исследовательской работы учащихся по математике в школах республики с помощью анализа письменных работ учащихся на районных (городских) и республиканских олимпиадах (автор является членом жюри по организации и проведению республиканской (ДАССР) олимпиады с 1970г.) и изучения содержательной стороны постановки внеклассной работы и факультативного курса "Избранные вопросы математики" по разделу "Решение задач повышенной трудности" в школах г. Махачкалы. Цель этого этапа заключалась в констатации сложившегося состояния исследовательской работы учащихся по математике, выявлении недостатков в ее постановке. Причем нас интересовали те из них, которые были связаны с системой средств и методов, служащих основой такой работы, в рамках существующих организационных форм.

На первом этапе эксперимента, кроме того, использовались метод наблюдения, анкетирования и интервьюирования учителей на курсах повышения квалификации, во время педпрактики, а также выборочный анализ результатов инспекторских проверок школ республики. В итоге такой комплексной работы были определены основные негативные стороны постановки исследовательской работы учащихся по математике, которые являются следствием следующих недостатков:

1. У части учителей математики укоренилось мнение, что проведение экспериментально-поисковой работы с учащимися является необязательным элементом в обучении. Причиной такого мнения является следующее. Такие учителя привыкли излагать теоретический материал в указанной системе, строго соблюдая дедукцию. Таким же оказывается подход и при решении обязательных задач из учебника. Поэтому они во время слушания лекций, предназначенных для повышения их квалификации, редко интересуются такими вопросами как методологические принципы обучения , научные методы познания и др., тем более они излагаются в общем виде, без ярких примеров их действия, без демонстрации их неоценимой роли в познавательном процессе. Если же им излагается материал, в котором дается четкое описание какого-либо дедуктивного метода решений задач с хорошей подборкой упражнений, то они с удовольствием слушают такие лекции, стараются все записать и перенести в школу. Чем все это объяснить? Скорее всего тем, что второй вид работы ближе к их повседневности, а потому и расценивается как полезный, плодотворный. Первая же из упомянутых частей познавательного процесса, хотя и является более важной в созидательном отношении, представляется им как декларация без механизма действия. Отсюда страдает исследовательская работа учащихся. 2. Отсутствие у некоторой части учащихся интереса к изучению математики.

Известно, что интерес к изучению материала гасится, если его содержание формализовано и имеет малейшие элементы недоступности или навязывает доказательства, в которых обучающийся не чувствует потребности. В большинстве случаев это приводит не только к потере интереса у учащихся к математике, но и порождает нежелание изучать математику. Практика обучения, наблюдения дают право утверждать, что среди части учителей школ встречаются как такие, которые стараются прибегнуть (каждый раз) к более строгим доказательствам, так и учителей, которые мало уделяют внимания вопросам степени строгости рассуждений и тем самым пренебрегают развивающим характером обучения. В числе первых чаще встречаются молодые учителя, успешно окончившие педуниверситет или университет и почувствовавшие вкус к абстрактным рассуждениям. У таких учителей появляется желание чуть ли не все свои знания передать учащимся, причем, в такой отвлеченной форме, которая совершенно недоступна, В числе учителей, не интересующихся вопросами строгости рассуждений, а всегда и дословно повторяющих изложенное в учебниках, чаще всего молено встретить таких, которые имеют большой "пассивный" стаж" и мало обращают внимания на творчество детей, на развитие их интереса к изучаемому материалу. Надо отметить, что как первое, так и второе течения в практике преподавания недопустимы.

3. Недостаточное внимание, которое уделяется в школах Республики Дагестан ведению факультативных курсов по разделу "Решение задач повышенной трудности". Уровень их постановки уже не отвечает своему назначению, а так же возросшим требованиям, предъявляемым к выпускнику школы. Сегодняшние факультативны стали, на наш взгляд, разновидностью дополнительных занятий со слабыми учащимися или занятий по выбору, на которых, в основном, решаются задачи из учебников и учебных пособий, предусмотренных программой по математике. Нам представляется, что эти негативные моменты являются следствием, в первую очередь, отсутствия единой программы факультативна по данному разделу и апробированного учебно-тренировочного материала. (Аргументация отсутствия программы тем, что выбор задач для решения, якобы, всецело зависит от учителя и уровня подготовленности класса, несостоятельна. При такой постановке вопроса получается, что "программ" столько же, сколько и учителей, ведущих такие факультативны).

4. Большинство учителей в своей практической деятельности не всегда пользуется всеми исследовательскими методами и средствами, в результате чего учащимся не прививаются навыки исследовательской работы. Такие учащиеся в поисковой ситуации думают стереотипно, затрудняются в выделении единого общего в функциональных связях понятий и их отношений, не приучены "транслировать", применять свои знания при проведении различных обоснований предполагаемых закономерностей и решений задач.

5. Круг формальных доказательств (решений задач), которыми пользуются учащиеся под руководством учителя в исследовательской деятельности в основном ограничивается известными прямыми методами. Являете редким исключением, когда учитель смог более выпукло показать преимущества косвенных методов, внедрение которых в исследовательский процесс настоятельно диктуется современной тенденцией в школьной математике .

6. Учителя не располагают целостной системой средств и методов и учебно-методическими материалами, которые послужили бы основой привития учащимся умений исследовательской работы и навыков в проведении самостоятельных исследований.

Эти недостатки послужили отправными при разработке методики планомерного проведения исследовательской работы учащихся по математике, состоящей из органически связанных трех стадий: начальной, промежуточной и завершающей.

Второй этап эксперимента проходил в период 1975-1980 гг. На этом этапе преследовались следующие цели: разработка учебных материалов для всех стадий исследовательской работы учащихся, удовлетворяющих требованиям, сформулированным в диссертации; необходимость, целесообразность и доступность применения их в исследовательской работе с учащимися; возможность внедрения всей системы во внеучебный исследовательский процесс массовой школы.

При составлении и подборе задач для начальной стадии исследовательской работы учащихся учитывались психологические особенности выработки у учащихся 7-8кл. наблюдательности, внимания, интереса, склонностей, переходящих постепенно в умение сравнивать, анализировать, обобщать и применять полученные знания в поисках простых зависимостей и закономерностей. Эти задачи по содержанию "захватывают" решающего своей фабулой, но в то же время требуют от него приложения самостоятельных умственных усилий. Есть среди них и однотипные, сходные по идее решения, но допускающие различные подходы. Они предназначены для привития учащимся первоначальных умений переноса знаний от "известного" к "неизвестному". В целом комплекс этих задач носит обучающий и развивающий характер, С их помощью в учащихся закладывается исследовательское начало.

Для промежуточной стадии подбор задач осуществлялись с целью закрепления и расширения поисковых навыков учащихся. Здесь предусматривалась возможность обучения учащихся самостоятельным косвенным доказательствам, показ широты применения всех их разновидностей в учебно-исследовательской работе по математике.

Учебные материалы для заключительной стадии исследовательской работы учащихся подобраны в виде различных специальных методов решения и составления задач и средств, обучение которыми направлен© на углубление исследовательских возможностей учащихся и проведение ими самостоятельных исследований. На этой стадии разработаны четыре схемы исследований "в малом":

1. Решение нестандартной задачи "на нахождение".

2. Составление, подборка и систематизация ряда задач, решаемых предложенным методом.

3. Составление задай определенными методами.

4. Критический анализ получаемой информации.

Необходимость предлагаемых учебно-экспериментальных материалов можно объяснить тем, что в руках учителя оказался комплекс задач, средств и методов, которыми он мог воспользоваться при проведении кружковых занятий и факультативов, при подготовке учащихся к олимпиаде и использовать частично на уроках. Целесообразность и доступность определялись в ходе предварительной апробации, предшествовавшей изданию этих материалов, а также аргументированы в диссертации необходимыми примерами. На этом же этапе эксперимента последовательно шла проверка возможности внедрения основных положений диссертации в исследовательский процесс учащихся на базе школы №13 г. Махачкалы. Эксперимент проходил в рамках внеклассных и обязательных факультативных занятий, начиная с 7 кл. (Кстати, заметим, что эксперимент по методике начальной стадии исследовательской работы учащихся можно было начать и с 5- 6 кл. Однако, из-за недостаточности срока эксперимента (4 года) и последовательности процесса экспериментирования (в год - один класс) мы сочли возможным начать с 7-го кл. (1976-77 уч. г.) и закончить 10-м кл. (1979-80уч.г).

Кружковые занятия в контрольном классе проходили по графику. Вел занятия либо учитель, либо студент-практикант. Они заранее составляли "схему" занятия, предварительно согласовав с нами его тематику, ориентировочный набор задач из наших заданий и форму их представления учащимся. Кроме того, подбирались задачи для домашнего задания (с оговоркой, что их необязательно решать, но желательно, чтобы предложить своим "старшим", если они понимают смысл задач). Каждое занятие начиналось с разъяснения темы (потому что их названия для них были необычны, такие, например,

1. "Действия над числами, их различные представления, перебор, поиски простых зависимостей" или,

4. "Упрощение структур задач без потери информации, необходимой для ответа на поставленный вопрос" и т.д.).

Учитель также имел предварительную информацию-разъяснение. Например, при прохождении "Темы-2" он разъясняет учащимся, что собой представляет такое преобразование выражения, как, "условное по равносильности в пределах интересующей информации". "Для ответа на вопрос, возникший в ходе анализа какого-либо сложного выражения, приходится настолько упрощать структуру его, чтобы получить такую общую схему, которая сохраняет и представляет в гораздо более явной форме информацию, несущую признаки, достаточные для ответа на поставленный вопрос. При этом многие частности, которым присуща и другая информация, не интересующая исследователя (т.е. нас с вами) в данной ситуации, могут теряться из-за свертывания первоначальной структуры в упрощенное выражение через введение определенных параметров, обобщающих отдельные части рассматриваемого соотношения. Такие преобразования с выделением нужных схем можно назвать "условными по равносильности в пределах интересующей информации". Например, числа 25, З5 , 49, 125, 713 оканчиваются соответственно цифрами: 2, 3, 4, 2, 7. Если рассматривать показатели 5,9,13, то они представимы в виде 4п+1 (п - натуральное число), и, естественно, любое натуральное число а4п+], оканчивается той же цифрой, что и основание а.

Пример. Показать, что т5Ъ -т25 делится на 10 (т eN)u.

В ходе эксперимента следовало получить однозначный ответ на вопрос "Способствуют ли наши занятия (и методика в целом) развитию в учащихся качеств, присущих исследователю: наблюдательности, целенаправленности, настойчивости, умения экспериментировать, сопоставлять и обобщать различные свойства объектов и т.д.? С этой целью был введен дневник контроля группы.

Схема 1. Дневник контроля.

Характер посещения занятий с Характеристика (начале и конце месяца) Наличие элементов догадки, интушши Умение составлять новые задачи, тяга к исследованию Умение критически оценивать получаемую информацию Общие выводы

Наличие сдвигов в учебе, их объяснение | Сдвиги в исследовательских умениях и навыках

Стабильный Нестабильный Наблюдательности Избирательного внимания Начальных умений обобщать Количеств. Качеств.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Для определения качественного развития учащихся и их положительных сдвигов в учебе в конце каждой четверти результаты обобщались и докладывались на метод объединении учителей математики данной школы. Кроме того, практиковалось проведение проверочных работ, в которых включались такие задачи, решения которых свидетельствовали бы о навыках исследовательской работы учащихся. Причем, чтобы результаты были адекватными, применяли следующий метод. Эти задания предлагались одновременно 7 кл. - контрольному, параллельному и 8 кл.

Приведем содержание одной из них.

111. Молено ли представить число 7 с помощью 4 двоек (или семерок) и арифметических действий?

112. В секторах первых двух кругов записаны числа, которые подчиняются определенной закономерности, (рис. 52). Найдя ее, Рис. 52 напишите число в свободном секторе третьего круга.

113. Найдите трехзначное число, сумма цифр которого равна четырем, и такое, что оно точный квадрат.

114. Лестница, лежащая на полу, упирается одним концом в стену. Когда тот конец сдвинули вверх по стене на какое-то расстояние, то нижний конец приблизился к ней на такое же расстояние. Может ли быть такое? Ответ обосновать.

Анализируя решения учащихся, мы старались определить качественную сторону их работы, узнать каким образом шла у них поисковая работа, что наталкивало их на правильный путь и т.д.

Результаты формального решения приведены в следующей таблице 1. Таблица 1.

Классы Номера задач

1 2 3 4

7-К (контрольный) + + + +

7-П (параллельный) + - +

8 + - +

Каких-либо различий в решении первой задачи не было замечено. Учащиеся 7-П и 8 классов не справились со второй задачей. Они аргументировали это тем, что "такого рода задач до сих пор не решали". Решение 7-К класса основано на поиске этой закономерности - зависимости между числами в секторах первого круга. (Почему именно первого? Однозначного ответа на этот вопрос мы не получили ). Они старались получить какое-то одно из них с помощью двух других, используя арифметические действия. Этот перебор возможных вариантов натолкнул их на такое предположение: Сумма 17+10 =27 в 3 раза больше третьего числа 9. Проверив его для чисел второго крута и убедившись, что предположение верно, получим ответ: (17+4):3 =7. Интересно заметить, что хотя в 7-П и 8 классах третью задачу решили (нашли оба числа, удовлетворяющих условию - 121 и 400), однако, не интересовались, нет ли других решений, как показать, что других решений нет.

В 7-К воспользовались направленным перебором возможных случаев, в этом им помогло первое условие (в искомом числе могут быть только такие наборы цифр: (0, 1, 3); (0,2,2); (0,0,4); (1,1,2). Из них можно получить десяток различных трехзначных чисел, среди которых только два - искомые: 121 и 400).

Интересно было анализировать "решения" четвертой задачи в 7-П и 8 классах. Обозначим (рис. 53)

АВ=СВХ =1, ; АС=ВВ,=х.

Тогда в АСВВХ получается, что ВС х = СВ+ВВ,, i4ero быть не может (длина одной стороны треугольника Рис. 53 меньше суммы длин двух других).

Ответ: такой случай невозможен.

8кл. По теореме Пифагора: I2 = (ё-х)2 +х2 или после упрощений имеем: х = £, чего опять быть не может (гипотенуза не равна катету).

Ответ: Такой случай не имеет места.

7-К кл. В этом классе тоже заметили (как и в 7-Пкл.), что если лестница упирается своим концом в пол и стену (см. рис. 53), то задача не имеет решения. Но все-таки на решение их натолкнуло рассмотрение "крайнего" случая, когда лестница приставлена к стене вплотную, которая является единственным решением задачи. В этом решении чувствуется "добротный" анализ. (А в 8кл. учащиеся аргументировали только приведенным рисунком, и хотя получили искомое значение х = £, но не смогли его правильно интерпретировать). Аналогично проходила работа по выявлению наличия у учащихся умений, необходимых в проведении математического эксперимента и индуктивных поисков простых закономерностей. В качестве иллюстрации рассмотрим содержание следующей проверочной работы:

115. Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине (не пользуясь описанной около этого треугольника окружностью).

116. Внешние углы треугольника относятся как 1981:1: X. Какого вида этот треугольник, если X - целое?

117. Предлагаются две задачи с ответами.

117.1. Дан квадрат 4x4. Разрежьте его по линиям сетки на две равные части всеми возможными способами. (Ответ: 6).

117.2. Дан квадрат 6x6 с квадратной сеткой. Сколькими способами можно разрезать его на две равные части по линиям сетки? (Ответ: 255). Требуется ответить на вопросы:

1) Возможно ли это (6 и 255), хотя условия задач почти идентичны?

2) Почему в первой задаче заключение дается в виде задания, а во второй - в виде вопроса?

3) Зная решение первой задачи, могли бы вы сделать какие-то попытки (или предложить какую-то идею) для решения второй задачи?

4) Можно ли правильный треугольник разрезать (без остатка) на любое наперед заданное число п>6 правильных треугольников?

Результаты решения представлены в таблице 2.

Список литературы диссертационного исследования кандидат педагогических наук Челябов, Исамудин Магомедзагирович, 1998 год

1. (V1., (6), (27), (46), (47), (58), (66), (68), (86), (91), (95,96), (111-115), (119), (120), (124), (135-137), (143), (154), (166).

2. Учебники и учебные пособия по математике для средней школы.

3. Журналы «Квант», «Математика в школе». (Разделы: «Задачи», «Внеклассная работа», «Готовимся к олимпиаде»).

4. Челябов И.М. Экспериментально тренировочный материал для развития начальной стадии исследовательской работы учащихся (рукопись прилагается).

5. Справки о внедрении результатов исследования прилагаются.1. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

6. Результаты исследования и экспериментов позволяют сделать следующие выводы и рекомендации.1. Выводы

7. Экспериментально проверено и подтверждено, что комплексная и в то же время компактная реализация предлагаемых методов и средств развития исследовательских умений учащихся возможна и целесообразна в системе факультативных занятий по математике.

8. В дополнение к этому в процессе исследования (1974-1982 гг.) и после его окончания был подготовлен ряд пособий;1 ) Математические задачи для школьных олимпиад ( 1978 г., издано Дагучпедгизом, содержит 500 задач с решениями).

9. Учебно-методический сборник статей по математике (методы решения и составления задач) (1978 г., издано Дагучледгизом, содержит 4 главы и более 400 задач с решениями).

10. Особенности обучения математике в средней школе по новым программам и пособиям ( 1980 г., издано Даггосуниверситетом ). Служит ориентировочным руководством как для студентов, так и учителей вреализации изученной проблемы.

11. В педагогических вузах и университетах есть необходимость введения специальных курсов и семинаров по проведению исследовательской работы с учащимися в школе, подобных тем, которые внедрены в Дагестанском государственном университете.

12. ЛИТЕРАТУРА Классики марксизма-ленинизма

13. Маркс К. и Энгельс Ф. Соч., т. XX.1.. Энгельс Ф. Диалектика природы. М.: Политиздат, 1969.

14. I. Ленин В.И. Поли. собр. соч., T.XIV, т. XXXIII.1.. Крупская Н.К. О воспитании и обучении. Избр. педагогическиепроизведения. М.: Учледгиз, 1946.

15. V. Материалы ХХУ11 съезда КПСС. М.: Политиздат, 1986

16. VI. О реформе общеобразовательной и профессиональной школы: Сб. документов и материалов. М.: Политиздат, 1984.

17. VII. Собрание Постановлений правительства СССР. 1978, № 1.

18. VIII. Закон "Об образовании Российской Федерации" // Собрание законодательства РФ. 1996. №3философская литература.

19. Алексеев Н.П. Проблемы научного и технического творчества. (Отчет о симпозиуме. М., 1967).-"Вопросы философии", 1968, №3.

20. Асмус В.Ф. Проблема интуиции в философии и математике. М.: "Мысль", 1965.

21. Кедров Б.М. Единство диалектики, логики и теории познания. М. : Политиздат, 1963.

22. Коршунов A.M. Теория отражения и творчество. (Гл. 4. Истина, метод и научное открытие). М.: Политиздат, 1971.

23. Психологическая литература

24. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. Перев. с франц. М.: "Сов. радио", 1970.

25. Баранова Т. И. Исследовательский метод обучения в теории и практикеобщеобразовательной школы РСФСР (1917-1931 гг.).

26. Автореф. дис. на соискание учен, степени канд. псих. наук. М., 1974.

27. Выготский JI.C. Избранные психологические исследования. М.: Издательство АПН РСФСР, 1956.

28. Гальперин П.Я. Основные результаты исследований по проблеме формирования действий и понятий. М.: "Просвещение", 1965.

29. Гурова JL JI. О соотношении формальных и эвристических компонентов в решении задач. "Вопросы психологии", 1968, № 2.

30. Гузенберг С. 0. Психология творчества. Минск, 1923.

31. Кабанова-Меллер Е.Н. Формирование приемов умственной деятельности. М.: "Просвещение", 1969.

32. Калмыкова 3. И. Психологические принципы развивающего обучения. М.: "Знание", 1979.

33. Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников. М.: "Просвещение", 1968 431 с.

34. Пономарев Я.А. Проблемы психологии творчества. Автореф. дис. на соискание учен, степени докт. псих. наук. М., 1972.

35. Рибо Т. Опыт исследования творческого воображения. Спб., 1901.

36. Рубинштейн С. JL О мышлении и путях его исследования. M.-JL: Изд-во АН СССР, 1958.

37. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. М.: Изд-во МГУ, 1975.

38. Тихомиров O.K. Структура мыслительной деятельности человека. М.: Изд-во МГУ, 1969.

39. Шеварев П.А. Обобщенные ассоциации в учебной работе школьников. М.: Издательство АПН РСФСР, 1959.

40. Якиманская И. С. Развивавшее обучение. М.: "Педагогика", 1979.

41. Общепедагогическая литература и исследования поспециальности

42. Акопян Г.В. Развитие исследовательских умений учащихся на уроках физики. Автореф. дис. на соискание учен, степени канд. пед. наук. М., 1979.

43. Акопян Е.А. Пути развития творческой деятельности учащихся в процессе внеклассной работы по математике. Автореф. дис. на соискание учен, степени канд. пед. наук. М., 1973.

44. Активизация деятельности учащихся при обучении математике. Под редакцией Д.К. Дашковского. М.: Издательство АПН РСФСР, 1961.

45. Александров А.Д. О геометрии. "Математика в школе", 1980, №3.

46. Андреев В. И. Дидактические условия развития исследовательских способностей старшеклассников. Автореф. дис. на соискание учен, степени канд. пед. наук. JL, 1972.

47. Балк М.Д., Балк Г.Д. Математика после уроков. М.: "Просвещение", 1971.

48. Балк М.Д., Балк Г.Д. О привитии школьникам навыков эвристического мышления. "Математика в школе", 1985, № 2.

49. Барацалкина В. В. Формирование познавательной направленности. Автореф. дис. на соискание учен, степени канд. псих. наук. М., 1977.

50. Бартенев Ф.А. Нестандартные задачи по алгебре. Пособие для учителей. М.: "Просвещение", 1976.

51. Беляева Э.С., Монахов В.М. Экстремальные задачи. М.; "Просвещение", 1977.

52. Беляцкина Д.Д. Воспитание творческой активности учащихся в области математики. В кн.: Из опыта работы учителейматематики. Алма-Ата, 1955.

53. Бескин Н.М. Методика геометрии. Учебн. для пед. инст. M.-JL: Учледгиз, 1947.

54. Божович JT. И. Познавательные интересы и пути их изучения, В кн.: Известия АПН РСФСР, вып. 73. М., 1955.

55. Болтянский В. Г. Анализ-поиск решения задачи "Математика в школе", 1974, № 1.

56. Болтянский В. Г. Лекции и задачи по элементарной математике. М.: "Наука", 1975.

57. Болтянский В. Г., Гохберг И.Ц. Разбиение фигур на меньшие части. М.: "Наука", 1971

58. БСЭ, 3-е издание, т.1, -М.: «Наука», 1970.

59. Брадис В.М. и др. Ошибки в математических рассуждениях. М.: "Просвещение", 1967.

60. Бройль Луи де. По тропам науки. М.: "Иностранная литература", 1962.

61. Брунер Дж. Процесс обучения. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962.

62. Брызгалова С. И. Функции и место проблемного изложения и эвристической беседы в обучении старшеклассников. Автореф. дис. на соискание учен, степени канд. пед. наук. М., 1976.

63. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые. М.: "Наука", 1970.

64. Ваховский Е.Б., Рыбкин А.А. Задачи по элементарной математикеповышенной трудности. М.: "Наука", 1969.

65. Веденяпина В.А. Подготовка учащихся старших классов к овладению методами науки (на материале предметов гуманитарного цикла). Автореф. дис. на соискание учен, степени канд. пед. наук;. Л., 1971.

66. Вейль Г. О философии математики. М.-Л. 1934.

67. Векслер С. И. Развитие критического мышления старшеклассников в процессе обучения. Автореф. дис. на соискание учен, степени канд. пед. наук.1. Киев, 1974.

68. Викол Б. А. Формирование элементов исследовательской деятельности учащихся при углубленном изучении математики. Автореф. дис. на соискание учен, степени канд. пед. наук. М., 1977.

69. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике. М.: "Просвещение", 1976.

70. Виленкин Н.Я. Индукция. Комбинаторика. Пособие для учителей. М.: "Просвещение", 1976.

71. Гамидов Ш.Г., Ашурбеков К.Д. "Поиск продолжается", МШ, 1995.№6.

72. Глушков В.М. Начало оптимизма,- "Смена", 1969, № 21.

73. Голомб С. В. Полимино. Пер. с англ. М.: "Мир", 1975.

74. Головина Л.И., Яглом И.М. Индукция в геометрии. М.: ГИИТЛД956.

75. Готман Э.Г. Дополнительные треугольники и применение их свойств к решению задач. "Математика в школе", 1963, № 3.

76. Готман Э.Г., Скопец 3. А. Решение геометрических задач аналитическим методом. Пособие для учащихся 9 и 10 кл. М.: "Просвещение", 1979.

77. Градштейн И.О. Прямая и обратная теоремы. Элементы алгебры логики. М.: "Наука", 1973.

78. Груденов Я. И. Изучение определений аксиом, теорем. Пособие для учителей. М.: "Просвещение", 1981.

79. Губа С. Г. Развитие у учащихся интереса к поиску и исследованию математических закономерностей. "Математика в школе", 1972, №3.

80. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении. М.: "Педагогика" ,1972.

81. Данилова Е.Ф. Как помочь учащимся находить путь к решению геометрических задач. М.: Учледгиз, 1958.

82. Деминцев А. Д. Развитие творческой активности учителей и совершенствование их мастерства. Автореф. дис. на соискание учен, степени канд. пед. наук. М., 1972.

83. Дидактика средней школы. Некоторые проблемы современной дидактики.

84. Учеб. пособие для студентов пед. инст. Под редакцием М.А. Данилова и М.Н. Скаткина. М.: "Просвещение", 1975.

85. Добровольская Н.А. Формирование обобщенных умений по решению некоторых классов творческих задач. Автореф. дис. на соискание учен, степени канд. пед. наук. М., 1979.

86. Доброхотова М.А. и др. Сборник задач по математике (для факультативных занятий в 9-10 классах). Под ред. З.А.Скопеца. М.: "Просвещение", 1971.

87. Дополнительные главы по курсу математики. Учеб. пособие пофакультативному курсу для учащихся 10 кл. Сборник статей. Сост. 3. А. Скопец. М.: "Просвещение", 1974.

88. Дорофеев Г. В. О составлении цикла взаимосвязанных задач,- "Математика в школе", 1983, №6.

89. Дубнов Я. С. Ошибки в геометрических доказательствах. М.: ГИТЛ, 1955.

90. Дударова М.В. Исследовательский метод в учебной, во вне учебной работе учащихся. Автореф. дис. на соискание учен, степени канд. пед. наук. Л., 1974.

91. Дузь Б.Г. Формирование познавательных интересов к математике у учащихся младшего школьного возраста. Автореф. дис. на соискание учен, степени канд. пед. наук. Киев, 1971.

92. Дынкин Е.Б. и др. Математические задачи. М.: "Наука", 1965.

93. Елизарова Л.П. Воспитание самокритичности у старших подростков. Автореф. дис. на соискание учен, степени канд. пед. наук. Рязань, 1979.

94. Енякаева Т.М. Исследование эффективности методов проблемного обучения. Автореф. дис. на соискание учен, степени канд. пед. наук. М., 1977.

95. Епишева 0. Б. Некоторые методические приемы проведения факультативных занятий. "Математика в школе", 1978, № 3.

96. Есипов Б.М. Активизация мышления учащихся в процессе обучения. В кн.: Известия АНН РСФСР, вып. 20. М., 1949.

97. Ефимов Е.И. Решатели интеллектуальных задач. (Серия: "Проблемы искусственного интеллекта"). М.: "Наука", 1982.

98. Заключения и рекомендации международного симпозиума по вопросам преподавания математики. "Математика в школе", 1963, № 3.

99. Занков JI.B. О предмете и методах дидактических исследований. М., 1962.

100. Зельдович Я. Б, Высшая математика для начинающих. М.: "Наука",1968.

101. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. М.: Учледгиз, 1962.

102. Изаак Д.Ф. Обобщения задач по геометрии. "Математика в школе", 1983, №2.

103. Избранные вопросы математики: 9 кл. Факультативный курс. Сост.: О.А.Боковнев, В.В.Фирсов, С.И.Шварцбурд. М. : "Просвещение", 1979.

104. Избранные вопросы математики: 10 кл. Факультативный курс (А.М.Абрамов и др.). Сост.: С.И.Шварцбурд. М. Просвещение", 1980.

105. Кац М., Улам С. Математика и логика. М.: "Мир", 1971.

106. Кикоин И. Наука дело молодых.- "Квант", 1980, № 6.

107. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. M.-JL: ГТТИ, 1933.

108. Клименченко Д.В. Воспитывать исследовательские навыки. "Математика в школе", 1972, №3.

109. Коваль С. От развлечения к знаниям. Математическая смесь. Варшава, 1972, "Наука и техника".

110. Коксетер Г. С., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. Перев. с англ. М.: "Наука", 1978.

111. Колмогоров А.Н О профессии математика М.: «Советская наука», 1954.

112. Колягин Ю.М., Оганесян В.А. Учись решать задачи. Пособие для учащихся VII-VIII кл. М.: "Просвещение", 1980.

113. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике, ч.1-П. М.: "Просвещение", 1977.

114. Коменский Я. А. Дидактические принципы. М.: Учпедгиз, 1940.

115. Коротяев Б. И. Методы учебно-познавательной деятельности учащихся. Автореф. дис. на соискание учен, степени докт. пед. наук. М., 1979.

116. Крелыптейн Б.И. Необходимые и достаточные условия в математике. М.: Учпедгиз, 1961.

117. Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математике и ее изучении. М.: "Наука", 1977.

118. Крыговская А.С. Развитие математической деятельности учащихся и роль задач в этом развитии. "Математика в школе", 1966, № 6.

119. Крысин А.Я. и др. Поисковые задачи по математике (4-5 кл.). М.: "Просвещение", 1979.

120. Кулюткин Ю.Н. Эвристические методы в структуре решений. М. : "Просвещение", 1970.

121. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов. Перев. с англ. М.: "Просвещение", 1967.

122. Лакатос И. Доказательства и опровержения. М.: "Наука", 1967.

123. Левина М.М. Сущность и структура методов обучения. Автореф. дис. на соискание учен, степени канд. пед. наук. М., 1979.

124. Лернер И. Я. Процесс обучения и его закономерности. М.: "Знание". 1980.

125. Лернер И.Я., Скаткин М.Н. О методах обучения. "Советская педагогика", 1965, №3.

126. Линдгрен Г. Занимательные задачи на разрезание. М.: "Мир",1977.

127. Линкина А. И. Критичность и самооценка в учебной деятельности . М. : "Просвещение", 1968.

128. Литлвуд Дж. Математическая смесь. Перев. с англ. М.: "Наука",

129. Лоповок Л.М. Сборник геометрических задач для У1-УШ классов. Киев, "Радянська школа", 1977.

130. Лоповок Л.М. Сборник геометрических задач для 10 класса. Киев,1. Радянська школа", 1979.

131. Магомедбеков П.К. Внеклассная работа в средней школе. Махачкала, Дагучпедгиз, 1958.

132. Магомедбеков П.К. Геометрия в школе, ч.1. Махачкала, Дагучпедгиз, I960.

133. Магомедбеков П.К., Челябов И.М. Лабораторный практикум по решению задач, ч.1. Махачкала. Изд-во Даггосуниверситета, 1980.

134. Магомедбеков П.К., Челябов И.М. Лабораторный практикум по решению задач, ч. II, Махачкала, Изд-во Даггосуниверситета, 1981.

135. Магомедбеков П.К., Челябов И.М. Лабораторный практикум по решению задач, ч. III. Махачкала, Изд-во Даггосуниверситета, 1982.

136. Магомедбеков П.К., Магомедханов Б.М., Челябов И.М. Математические задачи для школьных олимпиад. Махачкала, Дагучпедгиз, 1978.

137. Магомедбеков П.К., Челябов И.М. Особенности обучения математике в средней школе по новым программам и пособиям. Махачкала, Изд-во Даггосуниверситета, 1980.

138. Магомедбеков П.К., Челябов И.М. Развитие критического мышления -звено творческой работы студентов, учителей и учащихся при изучении математики. Там же.

139. Магомедбеков П.К. Очерки преподавания геометрии в школе. Махачкала, Дагучпедгиз, 1970.

140. Магомедбеков П.К., Челябов И.М. Решение задач с помощью принципа Дирихле "Математика в школе", 1977, № 3.

141. Магомедбеков П.К., Челябов И.М. Учебно-методический сборник статейпо математике. Махачкала, Дагучпедгиз, 1978.

142. Максимова В.Н. Влияние проблемного обучения на формирование познавательных интересов старшеклассников. Автореф. дис. на соискание учен, степени канд. пед. наук. JL, 1970.

143. Матюшкин А.Н. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. М.: "Педагогика", 1972.

144. Махмутов М.И. Проблемное обучение. М.: "Педагогика", 1975.

145. Метельский Н.В. Дидактика математики. Общая методика и ее проблемы. (Учеб. пособие для вузов) 2-е изд. перераб. Мн.: Изд-во БГУ, 1982.

146. Методика факультативных занятий в 7-8 кл. Изб. вопросы математики. Пособие для учителей. Сост. И.Л.Никольская, В.В.Фирсов. М. "Просвещение", 1981.

147. Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент. М.: "Наука" ,1979.

148. Монахов В.М. Совершенствование преподавания математики в свете требований реформы школы. "Математика в школе", 1984, №6.

149. Морозова Е.А. и др. Международные математические олимпиады.1. М. : "Просвещение", 1976.

150. Морозова Н.Г. Учителю о познавательном интересе. М.: "Знание", 1979.

151. Никитин В. В., Рупасов К. А. Определения математических понятий в курсе средней школы. М.: Учпедгиз, 1963.

152. Пальянов М.П. Дидактические условия формирования опыта творческой деятельности учащихся. Автореф. дис. на соискание учен, степени канд. пед. наук. М., 1977.

153. Петров К. Активизация работы ученика. "Математика в школе", 1980, № 6.

154. Пидкасистый П.И. Процесс и структура самостоятельной деятельности учащихся в обучении. Автореф. дис. на соискание учен, степени докт. пед. наук. М., 1974.

155. Погорелов А.В. Геометрия 7-11 кл. М.: "Просвещение", 1990.

156. Пойа Д. Как решать задачу. Перев. с англ. М.: Учпедгиз, 1959.

157. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. Перев. с англ. М.: "Наука", 1975.

158. Пойа Д. Математическое открытие. Перев. с англ. М.: "Наука", 1976.

159. Пойа Д. Усвоение математики, ее преподавание и обучение педагогическому мастерству. "Математика в школе", 1964, № 6.

160. Половикова Н.А. Исследование процесса формирования познавательной самостоятельности школьников в обучении. Автореф. дис. на соискание учен, степени канд. пед. наук. JI., 1977.

161. Пуанкаре А. Математические открытия. М.: "Знание", 1967, № 8.

162. Пышкало A.M., Семушин А.Д., Терентьев А.Д. Изучать познавательные возможности у учащихся в восьмилетней школе .-"Математика в школе", 1965, №2.

163. Радемахер Г. и Теплиц 0. Числа и фигуры. Опыты математического мышления. Перев. с нем. М.: ГИФМЛ, 1962.

164. Разумовский В.Г. Развитие творческих способностей учащихся в процессе обучения физике. Пособие для учителей. М.: "Просвещение", 1975.

165. Реньи А. Трилогия о математике. Перев. с венгерск. М.: "Мир", 1980.

166. Рожина Л.Н. Формирование познавательных интересов старшеклассников. Минск, "Народна асвета", 1970.

167. Розет И.М. Что такое эвристика? Минск, "Народна асвета", 1969.

168. Савина Ф.К. Формирование познавательных интересов учащихся 7-8 кл. по предметам физико-математического цикла. Автореф. дис. на соискание учен, степени канд. пед. наук. М., 1970.

169. Сергеев В.Н. Проблемы развития форм и методов внеклассной работы по математике. Автореф. дис. на соискание учен, степени канд. пед. наук. М., 1979.

170. Семушин А.Д., Кретинин 0. С., Семенов Е.Е. Активизация мыслительной деятельности учащихся при изучении математики. Обучение обобщению иконкретизации. М.: "Просвещение", 1978.

171. Средства обучения математике. Сб. статей. Сост. А.М.Пышкало. М.: "Просвещение", 1980.

172. Степаненко В.И. Формирование у учащихся приемов поисковой деятельности (на материале физики). Автореф. дис. на соискание учен, степени канд. пед. наук. М., 1979.

173. Столетов В.Н. За действенную связь педагогической науки и школьной практики. "Математика в школе", 1977, № 3.

174. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Рассказы о прикладной математике. М.: "Наука", 1979.

175. Токмазов Г.В. Формирование исследовательских умений учащихся в процссе решения задач по алгебре в старших классах средней школы. Автореф. дис. на соискание учен, степени канд. пед. наук. М., 1992.

176. Триг Ч. Задачи с изюминкой. Перев. с англ. М.: "Мир", 1975.

177. Улимаева А.Т. Роль и место задач на оптимизацию в обучении математике. Автореф. дис. на соискание учен, степени канд. пед. наук. М., 1977.

178. Факультативный курс. Избранные вопросы математики (7-8 кл.). Н.Я.Виленкин и др. Под ред. В.В.Фирсова.

179. Фетисов А.И. Геометрия в задачах. М.: "Просвещение", 1977.

180. Фирсов В. В. Пути повышения эффективности преподавания математики в современных условиях. "Математика в школе", 1982, № 5.

181. Фирсов В. В. и др. Состояние и перспективы факультативных занятий по математике. Пособие для учителей. Под ред. и предисл. М.П.Кашина. М. "Просвещение", 1977.

182. Фокина C.JI. Формирование обобщенных познавательных умений и их влияние на развитие познавательных интересов учащихся. Автореф. дис. на соискание учен, степени канд. пед. наук. Д., 1977.

183. Формальная логика. Учебник для филос. факультетов университетов. Под ред. И.Я.Чупахина и И.Н.Бродского. JL: Изд-во ЛГУ, 1977.

184. Фридман JT.M. Как научиться решать задачи. М.: "Просвещение", 1979.

185. Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. М.: "Педагогика", 1977.

186. Хинчин А. Я. Основные понятия математики и математические определения в средней школе. М.: Учпедгиз, 1940.

187. Хинчин А. Я. Педагогические статьи. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963.

188. Челябов И.М, Магомедханов Б.М. Взаимосвязь обобщений и ограничений в процессе преподавания математики в школе. -В сб.: "Молодежь и общественный прогресс". (Тезисы докладов научно-практической конференции молодых ученых Дагестана). Махачкала, 1977.

189. Челябов И. М., Магомедханов Б.М. Составление задач на характеристические признаки геометрических фигур. (Тезисы докладов научно-практической конференции молодых ученых Дагестана). Махачкала, 1977.

190. Челябов И.М. Методика привития студентам навыков исследовательской работы. В сб. "Активизация познавательной деятельности в процессе воспитания и обучения". (Тезисы докладов научно-теоретической конференции Даггосуниверситета), Махачкала, 1988.

191. Шклярский Д.О. и др. Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум. М.: "Наука", 1970.

192. Шабаев И.Г. Сочетание алгоритмической и эвристической познавательной деятельности учащихся в процессе обучения. Автореф. дис. на соискание учен, степени канд. пед. наук. М., 1977.

193. Шамова Т.И. Проблема активизации учения школьников. Автореф. дис. на соискание учен, степени канд. пед. наук. М., 1977.

194. Шапошникова И. Г. Формирование познавательных интересов у неуспевающих подростков. Автореф. дис. на соискание учен, степени канд. пед. наук. Л., 1978.

195. Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии (планиметрия). М.: "Наука", 1982.

196. Шклярский Д.О. и др. Избранные задачи и теоремы планиметрии. М.:1. Наука", 1967.

197. Школа и педагогическая наука. Сб. статей. М.: "Педагогика", 1975.

198. Штейнгауз Г. Задачи и размышления. М.: "Мир", 1974.

199. Эйлер JI. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума или решение изопериметрической задачи. ГТТИ. М.-Л., 1934.

200. Яглом И.М. Как разрезать квадрат. М,: "Наука", 1969.

201. Quine w.v.o. Mathematical logic. Cambridge, Mass. 1951.