Решение некоторых алгоритмических проблем в группах Артина с древесной структурой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Платонова, Оксана Юрьевна

• Платонова, Оксана Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Платонова, Оксана Юрьевна

Оглавление

Введение

Глава 1. Проблема сопряженности в группах Артина с древесной структурой

1.1. Диаграммы над группой Артина с древесной структурой

1.2. Решение проблем равенства и сопряженности в группах Артина

с древесной структурой

1.3. О кручении в группах Артина с древесной структурой

Глава 2. Решение проблемы степенной сопряженности в группах Артина с древесной структурой

2.1. Проблема вхождения в циклическую подгруппу в группах Артина с древесной структурой

2.2. Решение проблем вхождения в параболическую подгруппу и слабой степенной сопряженности в группах Артина с древесной структурой

2.3. Проблема степенной сопряженности в группах Артина с древесной

структурой

Глава 3. Структура централизатора элементов в группах Артина с древесной

структурой

3.1.0 пересечении циклических подгрупп в группах Артина с древесной

структурой

3.2. О структуре централизатора элементов в группах Артина с древесной

структурой

Заключение

Библиографический список

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение некоторых алгоритмических проблем в группах Артина с древесной структурой»

Введение

Актуальность темы

В 1972 г. Э. Брискорном и К. Сайто [19] был введен класс групп, который назвали группами Артина.

Пусть О - конечно порожденная группа Артина с копредставлением

0 = = где (ар^* =а,а]а1... - слово длины т0, состоящее

из т.1} чередующихся букв а, и а}, тц - число, соответствующее

симметрической матрице Кокстера, т0 > 2 при г * ) . Если к определяющим соотношениям группы Артина добавить соотношения вида: V/ е /, а,2 = 1, то получим копредставление соответствующей группы Кокстера.

Группы Артина конечного типа являются обобщением групп кос, которые ввел в 1925 году Э. Артин [35], Группы кос имеют копредставление

= {сп.сгг.....агя;ег/сг/+10"/ = ^н.!«7"^!'1' = - = сг^.г,/ = - > . Группа

Артина называется группой Артина конечного типа, если соответствующая ей группа Кокстера конечна.

Группы Кокстера были введены X. С. М. Кокстером [40] в 1934 году. Понятие данной группы возникло в теории дискретных групп, порождаемых отражениями относительно гиперплоскостей. Алгебраическая теория данного класса групп подробно представлена в работах Н. Бурбаки [20].

В 1912 г. М. Дэном [41] были сформулированы фундаментальные алгоритмические проблемы теории групп: проблема равенства, сопряженности слов в конечно определенных группах, проблема изоморфизма групп.

Поиск решения этих проблем послужил причиной развития комбинаторной методологии в теории групп, что позволило комбинаторной теории групп оформиться как самостоятельной науке и стать одним из активно развивающихся

направлений современной математики. Среди работ, связанных с исследованием проблем М. Дэна, наиболее выдающимися являются работы П. С. Новикова [30], показавшего неразрешимость проблем равенства, сопряженности слов в конечно определенных группах, а также неразрешимость проблемы изоморфизма групп. Вследствие этого возникла задача исследования данных алгоритмических проблем в конкретных классах конечно определенных групп, где особое место занимает класс групп Артина и Кокстера.

Проблема равенства слов в группах кос Вп+1 решена Э. Артином [36]. Г.С. Маканиным [26] и независимно Ф. Гарсайдом [21] получено решение проблемы сопряженности слов в Вп+]. А также Г.С. Маканин [27] показал, что нормализатор

любого элемента группы кос конечно порожден и построил алгоритм, выписывающий его образующие.

Э. Брискорн и К. Сайто [19] показали разрешимость проблем равенства и сопряженности слов в группах Артина конечного типа. Для данного класса групп В.Н. Безверхним и В.А. Гринблатом было получено решение проблемы вхождения в циклическую подгруппу [6]. Ю.Э. Трубицын и В.А. Гринблат доказали разрешимость проблемы обобщенной сопряженности слов в данном классе групп. В.Н. Безверхний доказал неразрешимость проблемы вхождения в неприводимые группы Артина конечного типа.

К. Аппелем и П. Шуппом [33] в 1983 г. выделены классы групп Артина большого и экстрабольшого типа. Если ти > 3 для всех 1ф у, то называется

группой Артина (Кокстера) большого типа. Если же т.. > 3, то группа С

называется группой Артина (Кокстера) экстрабольшого типа. П. Шупп и К. Аппель показали разрешимость проблемы равенства и сопряженности слов для групп Артина и Кокстера экстрабольшого типа. В. Н. Безверхним и А.Н. Кузнецовой получено, что группы Артина большого типа являются группами без кручения [14], и в данном классе групп разрешима проблема вхождения в циклическую подгруппу [15]. К. Аппелем и независимо В.Н, Безверхним была решена проблема сопряженности слов [34,3], а также В.Н. Безверхним получено

решение проблемы обобщенной сопряженности слов [4] для групп Артина большого типа.

В.Н. Безверхним были выделены конечно порожденные группы Артина и Кокстера с древесной структурой [5].

Пусть О - конечно порожденная группа Артина. Каждой конечно порожденной группе Артина О соответствует конечный граф Г*, между вершинами которого и образующими группы можно установить соответствие такое, что если щ и а} являются вершинами ребра е, то ребру соответствует

соотношение вида Для группы б. Группа Артина (7 имеет

древесную структуру, если граф Г* является дерево - графом.

В графе Г* всегда можно выделить максимальное дерево-граф Г, который соответствует группе, имеющей древесную структуру, для которой группа Артина с графом Г* является гомоморфным образом.

Возможно решение алгоритмических проблем в группах Артина с древесной структурой поможет в исследовании этих же задач в общих классах групп Артина.

Степень разработанности темы исследования

Впервые прямоугольные группы Артина, т. е. группы с древесной структурой были изучены Баудишом [37], которого в свою очередь интересовали двупорожденные подгруппы, т. е. подгруппы, для которых все числа симметрической матрицы Кокстера принимают значения т9 - {0,2}. Затем данный

класс групп подвергся широкому изучению, были решены многие алгоритмические задачи. Прямоугольные группы Артина являются биавтоматными [48], они имеют конечно порожденную группу автоморфизмов [47]. Две прямоугольные группы Артина изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны их графы [42]. В работах Бествина и Брэди [23] были описаны некоторые подгруппы прямоугольных групп, которые обладают специфическими гомологическими свойствами. Вайсом [46] было доказано, что в прямоугольных

группах Артина всякая квазивыпуклая подгруппа финитно отделима. В диссертации рассмотрен общий случай, когда числа симметрической матрицы Кокстера принимают значения ту = {0,2,3,...}.

Цели задачи работы

с

Целью данной работы является изучение конечно порожденных групп Артина с древесной структурой, а также доказательство разрешимости некоторых алгоритмических проблем в данном классе групп. Поставленная цель предполагает решение следующих задач:

- описать диаграммы над данным классом групп, изучить их свойства;

- доказать разрешимость некоторых алгоритмических проблем таких как проблемы равенства и сопряженности слов, проблемы кручения, проблемы вхождения в циклическую подгруппу, проблемы вхождения в параболическую подгруппу, проблемы слабой степенной сопряженности слов, проблемы степенной сопряженности слов, проблемы пересечения циклических подгрупп;

- описать структуру централизатора элементов группы.

Научная новизна

В данной работе получены результаты, являющиеся новыми и состоящие в следующем:

■ доказана разрешимость проблема сопряженности слов для групп Артина с древесной структурой;

■ получено, что группа Артина с древесной структурой является группой без кручения;

■ доказана теорема вхождения в циклическую подгруппу для групп Артина с древесной структурой;

■ решена проблема вхождения в параболическую подгруппу в данном классе групп;

■ доказана теорема о разрешимости проблемы слабой степенной сопряженности слов в группах Артина с древесной структурой;

■ решена проблема степенной сопряженности слов для групп Артина с

древесной структурой;

■ установлена разрешимость проблемы пересечения циклических подгрупп в

группах Артина с древесной структурой;

■ дано описание централизатора элементов в группах Артина с древесной

структурой.

Теоретическая и практическая значимость работы

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы при дальнейшем исследовании алгоритмических проблем в других классах конечно порожденных групп Артина и Кокстера. Многие доказанные в диссертации теоремы могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов.

Методология и методы исследования

В диссертации при доказательстве основных результатов используется метод диаграмм, введенный ван Кампеном в 1933 году и вновь переоткрытом Р. Линдоном в 1966 году [44].

Положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие положения:

1) в группах Артина с древесной структурой разрешима проблема сопряженности слов;

2) группы Артина с древесной структурой являются группами без кручения;

3) в группах Артина с древесной структурой разрешима проблема вхождения в циклическую подгруппу;

4) в группах Артина с древесной структурой разрешима проблема вхождения в параболическую подгруппу;

5) в группах Артина с древесной структурой разрешима проблема слабой степенной сопряженности слов;

6) в группах Артина с древесной структурой разрешима проблема степенной сопряженности слов;

7) в группах Артина с древесной структурой разрешима проблема пересечения циклических подгрупп;

8) получено описание централизатора элементов в группах Артина с древесной структурой.

Степень достоверности результатов

Степень достоверности результатов данной работы подтверждается полными и подробными математическими доказательствами.

Апробация результатов

Основные результаты диссертации докладывались на семинаре «Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп» под руководством профессора Безверхнего В.Н. (ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2005 — 2010гг.), на Международной научной практической конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (ТулГУ, 2006 - 2010гг.), на Международной научно-практической конференции «Л. Эйлер и российское образование, наука и культура» (ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2007г.), на VII Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения» (Тула, 2010г.), на алгебраическом семинаре под руководством профессора Шмелькина А.Л. (МГУ, 2012г.).

Краткое содержание работы

Во введении изложена предыстория исследуемых в диссертации вопросов, обоснована актуальность исследования, научная новизна полученных результатов.

Первая глава посвящена изучению структуры диаграмм над группами Артина с древесной структурой, исследованию проблем равенства и

сопряженности слов в данном классе групп, а также решению проблемы кручения данных групп.

В первом разделе первой главы введены преобразования диаграммы, которые мы можем проводить с диаграммами для данного класса групп, определены понятие деновской области (что соответствует Я - сокращению), понятия особой и специально особой точки, ¿"-г области, описаны структура и свойства диаграмм над конечно порожденными группами Артина с древесной структурой.

Сформулированные и доказанные в этом пункте предложения 1.1., 1.2 и следствие 1.1 позволили нам выяснить, что диаграммы в группах Артина с древесной структурой являются однослойными.

Во втором разделе рассматриваются проблемы равенства и сопряженности слов в группах Артина с древесной структурой.

Строение диаграмм позволяет нам непосредственно решить проблему равенства слов, которая в свою очередь позволяет решить проблему сопряженности слов. Также в этом разделе получено доказательство следующей важной леммы:

Лемма 1.5. Пусть (? — конечно порожденная группа Артина с древесной структурой. Слова и у, для которых [М[ = 1,|Н| = 1, сопряжены в О тогда и

только тогда, когда существует ломанная, состоящая из ребер дерево-графа Г, которая соединяет вершины, соответствующие данным образующим группы, и каждому из ребер выделенного пути соответствует соотношение с нечетным числомКокстера, причем, если м>=хк, то у=у1, где

В третьем разделе определены понятия «полосы» и «Л - сокращения», которые использовали при доказательстве теоремы о кручении элементов в данном классе групп.

Теорема 1.3. Группа Артина с древесной структурой свободна от кручения.

То есть все элементы группы Артина с древесной структурой О имеют бесконечный порядок.

Во второй главе диссертации рассматриваются решения таких алгоритмических задач, как проблема вхождения в циклическую подгруппу, проблема вхождения в параболическую подгруппу, проблемы слабой степенной и степенной сопряженности слов.

В первом разделе второй главы мы исследовали вопрос о разрешимости проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах Артина с древесной структурой, которая заключается в нахождении алгоритма, позволяющего определить, является ли слово группы О степенью некоторого слова V в С, то есть м> = Vй,«>1.

Мы доказали вспомогательную теорему 2.2, которую использовали при доказательстве основных теорем в данной работе.

Теорема 2.2. Существует алгоритм, строящий по любому несократимому слову сопряженное с ним или с его квадратом в группе Артина с древесной структурой слово м'0, любая степень которого К и К - несократима.

Затем доказана основная теорема первого раздела.

Теорема 2.3. В группе Артина с древесной структурой разрешима проблема вхождения в циклическую подгруппу.

Во втором разделе второй главы мы рассматриваем решение проблем вхождения в параболическую подгруппу и слабой степенной сопряженности слов. Для исследования этого вопроса мы делим все области кольцевой связной односвязной диаграммы на три типа; вводим понятия кольцевого сокращения, параболической подгруппы.

Доказаны следующие важные леммы:

Лемма 2.9. Пусть О - конечно порожденная группа Артина с древесной структурой с множеством образующих А,\А\ <со. И пусть м><еО, ч>-К и Я -

несократимое слово не равное единиц в <7. Слово м? равно некоторому слову veGJ, где - параболическая подгруппа группы С с множеством образующих

АрА о А. Тогда м> - слово на образующих Аг

Лемма 2,10. Пусть О - конечно порожденная группа Артина с древесной структурой, с множеством образующих А,\А\<со, И пусть м>- циклически

Я и К - несократимое, тупиковое слово, не равное единице в О. Слово м> сопряжено некоторому слову veGJ, то есть существует слово 2^0 такое, что

= у,[|у|| > 2, GJ - параболическая подгруппа группы О с множеством образующих а А. Тогда м>,г - слова на образующих Аг

Будем говорить, что в группе С разрешима проблема слабой степенной сопряженности, если для любых двух слов у е С, где и> £ (у), найдется целое

число п такое, что слова и Vя сопряжены в группе О.

Теорема 2.4. В группе Артина с древесной структурой разрешима алгоритмическая проблема слабой степенной сопряженности.

В третьем разделе второй главы мы решаем проблему степенной сопряженности слов.

Будем говорить, что в б1 разрешима проблема степенной сопряженности слов, если существует алгоритм, позволяющий для любых двух слов м>,уеС установить существуют ли натуральные числа т и п, и элемент геС такие, что

2 = Vя. Доказана основная теорема:

Теорема 2.5. В группе Артина с древесной структурой разрешима проблема степенной сопряженности.

Третья глава посвящена решению проблемы пресечения циклических подгрупп, а также описанию централизатора элементов в группах Артина с древесной структурой.

Основным результатом первого раздела третьей главы является доказательство следующей теоремы.

Теорема 2.6. В группах Артина с древесной структурой разрешима проблема пересечения двух циклических подгрупп, т. е. по любым двум словам м>, V «Е С можно установить, существуют ли натуральные числа тип, что слова м?т и Vя равны в группе С.

Во втором разделе третьей главы описывается структура централизатора элементов группы.

Для слов из группы С с единичной слоговой длиной имеет место следующее утверждение:

Лемма 3.2. Пусть (?- конечно порожденная группа Артина с древесной структурой; слово такое, что м> = а*, С О) - централизатор элемента м>.

Тогда группа Су, (м>) является свободным произведением циклических групп и

1

СМ = (а)хС,М, где С„(м>) = П*(?г), где гг = ,

Т=1

Для доказательства следующего результата мы представляем группу О в виде древесного произведения.

Для слов, принадлежащих группе С и имеющих слоговую длину больше единицы, имеет место следующая теорема:

Теорема 3.4. Пусть С - конечно порожденная группа Артина с древесной структурой; слово м> - циклически несократимое в свободной группе и не равное 1 в О, Н>1. Тогда централизатор элемента есть либо бесконечная

циклическая подгруппа, либо свободная абелевая группа ранга 2.

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Платонова, Оксана Юрьевна

Заключение

Диссертационная работа на тему: «Решение некоторых алгоритмических проблем в группах Артина с древесной структурой» состоит из введения, трех глав, 8 разделов, заключения и списка литературы.

Во введении мы изложили предысторию исследуемых в диссертации вопросов, обосновали актуальность исследования, научную новизну полученных результатов, сформулировали основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе мы исследовали разрешимость проблемы сопряженности слов в группах Артина с древесной структурой, а также рассмотрели решение проблемы кручения данных групп.

В первом разделе первой главы мы изучили структуру и свойства диаграмм в данном классе групп, ввели преобразования диаграммы, которые мы можем проводить с диаграммами, дали определения основных понятий: деновская область, особая и специально особая точка, Я-г область.

Сформулированные и доказанные в этом пункте предложения позволили нам выяснить, что диаграммы в группах Артина с древесной структурой являются однослойными.

Таким образом, полученное строение диаграмм позволило нам решить алгоритмические задачи в данной работе.

Во втором разделе мы доказали разрешимость проблем равенства и сопряженности слов в группах Артина с древесной структурой.

В третьем разделе мы ввели понятия «полосы» и «Я - сокращения», которые применили при доказательстве теоремы о кручении элементов в данном классе групп.

В основной теореме этого раздела мы доказали, что группа Артина с древесной структурой свободна от кручения. То есть все элементы группы Артина с древесной структурой С имеют бесконечный порядок. ,

Во второй главе диссертации мы исследовали решения таких алгоритмических задач, как проблема вхождения в циклическую подгруппу, проблемы слабой степенной и степенной сопряженности слов в группах Артина с древесной структурой.

В первом разделе второй главы мы получили алгоритм, строящий по циклически несократимому слову м> сопряженное с ним или с его квадратом в группе Артина с древесной структурой слово м>0, любая степень которого Я и Е -несократима.

Затем доказали теорему о том, что в группе Артина с древесной структурой разрешима проблема вхождения в циклическую подгруппу.

Во втором разделе второй главы мы рассмотрели решение проблем вхождения в параболическую подгруппу и слабой степенной сопряженности слов. Для исследования этих вопросов мы разделили все области кольцевой связной односвязной диаграммы на три типа; ввели понятия кольцевого сокращения, параболической подгруппы. Доказали леммы, из которых следует разрешимость проблемы вхождения в параболическую подгруппу. А затем сформулировали и доказали теорему о том, что в группе Артина с древесной структурой разрешима алгоритмическая проблема слабой степенной сопряженности.

В третьем разделе второй главы мы доказали основную теорему о разрешимости в группе Артина с древесной структурой проблемы степенной сопряженности слов.

В третьей главе мы исследовали вопрос о решении проблемы пресечения циклических подгрупп, а также получили описание централизатора элементов в группах Артина с древесной структурой.

Основным результатом первого раздела третьей главы является доказательство теоремы о разрешимости проблемы пересечения двух циклических подгрупп.

Во втором разделе третьей главы описали структуру централизатора элементов группы.

Получили, что централизатор слова единичной слоговой длины есть прямое произведение циклической и свободной групп.

Затем мы представили группу Артина О в виде древесного произведения, и использовали это при доказательстве теоремы о структуре централизатора элементов со слоговой длиной больше 1.

Таким образом, централизатор элемента со слоговой длиной больше 1 есть либо бесконечная циклическая подгруппа, либо свободная абелевая группа ранга 2.

Следует отметить, что группы Артина с древесной структурой являются мало изученным классом. Не решены такие алгоритмические задачи, как, например, проблема пересечения классов смежности двух конечно порожденных подгрупп, проблема сопряженности конечно порожденных подгрупп, не изучена автоматность, и целый ряд других вопросов остаются открытыми.

Возможно, решение алгоритмических проблем в группах Артина с древесной структурой поможет в исследовании этих же задач в общих классах групп Артина.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Платонова, Оксана Юрьевна, 2013 год

Список литературы

Бардаков, В. Г. К теории групп кос [Текст] / В.Г. Бардаков // Математический сборник. -1992. - 183(6). - С. 3-42.

Безверхний, В.Н. Решение проблемы вхождения в некоторых классах групп с одним определяющим соотношением [Текст] / В.Н. Безверхний // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. - 1986. - С. 3-22. Безверхний, В.Н. Решение проблемы сопряженности слов в группах Артина и Кокстера большого типа [Текст] / В.Н. Безверхний // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. - 1983. - С. 26-62. Безверхний, В.Н. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов в группах Артина большого типа [Текст] / В.Н. Безверхний // Фундаментальная и прикладная математика. - 1999. - Том 5. - №1. - С. 1-38. Безверхний, В.Н. О группах Артина, Кокстера с древесной структурой [Текст] / В.Н. Безверхний // Алгебра и теория чисел: Современные проблемы и приложения. Тезисы докладов V Международной конференции. -Тула, 2003.-С. 33-34.

Безверхний, В.Н. О проблеме вхождения в группах Артина конечного типа [Текст] / В.Н. Безверхний, В.А. Гринблат // Сибирский математический журнал. - 1982 - 23(4). - С. 19-28.

Безверхний, В.Н. Решение проблемы сопряженности слов в группах Кокстера большого типа [Текст] / В.Н. Безверхний, И.В. Добрынина //Чебышевский сборник. -2003. - Том 4 - Выпуск 1(5). - С. 10-33. Безверхний, В.Н. Об элементах конечного порядка в группах Кокстера большого типа [Текст] / В.Н. Безверхний, И.В. Добрынина // Чебышевский сборник. - 2004. - Том 5 - Выпуск 1(9). - С. 30 - 39.

Безверхний, В.Н. Решение проблемы степенной сопряженности слов в группах Кокстера большого типа [Текст] / В.Н. Безверхний, И.В. Добрынина // Международная научная конференция. «Современные

проблемы Математики, Механики, Информатики». Тезисы докладов. -Тула, 2005. - С. 43-45.

[10] Безверхний, В.Н. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов в группах Кокстера большого типа [Текст] / В.Н. Безверхний, И.В. Добрынина // Чебышевский сборник. - 2004. - Том 5. - Выпуск 1(9). - С. 39 -62.

[11] Безверхний, В.Н. Проблемы равенства и сопряженности в группах Кокстера с древесной структурой [Текст] / В.Н. Безверхний, О.В. Инченко // Чебышевский сборник. - 2005. - Том 6. - Выпуск 2. - С. 81-90.

[12] Безверхний, В.Н. Проблема степенной сопряженности слов в группах Кокстера с древесной структурой [Текст] / В.Н. Безверхний, О.В. Инченко // Известия Тульского государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. - 2005. - Том 11. - С. 63-75.

[13] Безверхний, В.Н. Централизатор элементов конечного порядка конечно порожденной группы Кокстера с древесной структурой [Текст] / В.Н. Безверхний, О.В. Инченко // Чебышевский сборник. — 2008. - Том 9. -Выпуск 1(25). - С. 17-28.

[14] Безверхний, В.Н. О кручении групп Артина большого типа [Текст] / В.Н. Безверхний, А.Н. Кузнецова // Чебышевский сборник. - 2005. - Том 6. -Впуск 1.-С. 13-22.

[15] Безверхний, В.Н. Решение проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах Артина большого типа [Текст] / В.Н. Безверхний, А.Н. Кузнецова // Известия Тульского государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. - 2005. - Том 11. - С. 76-94.

[16] Безверхний, В.Н. Решение проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах с условием С(4)&Т(4) [Текст] / В.Н. Безверхний, Е.В. Паршикова // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. -2001. - С.97-120.

[17] Безверхний, В.Н. Проблема степенной сопряженности в группах с условиями С(4)&Т(4) [Текст] / В.Н. Безверхний, Е.В. Паршикова // Чебышевский сборник. - 2005. - Том б.-Выпуск 2(14). - С.91-93.

[18] Безверхняя И.С. О корневом замыкании подгрупп свободного произведения групп с объединением [Текст] / И.С. Безверхняя // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп и их приложение.-1983.- С. 81-112.

[19] Брискорн, Э., Сайто К. Группы Артина и группы Кокстера [Текст] / Брискорн Э., Сайто К. // Математика: Сб. переводов. - 1974. - №6. - С. 56-79.

[20] Бурбаки, Н. Группы и алгебры Ли [Текст]: монография / Бурбаки Н.. - М.: Мир, 1978.-342 с.

[21] Гарсайд, Ф. Группа кос и другие группы [Текст] / Гарсайд Ф. // Математика: Сб. переводов. - 1970. - №4. - С. 113-132.

[22] Гурзо, Г.Г. О централизаторах конечных множеств элементов группы кос [Текст] / Г.Г. Гурзо // Математические заметки. - 1985. - 37(1). - С. 3-6.

[23] Линдон, Р. Комбинаторная теория групп [Текст]: монография / Линдон Р. Шупп П. - М: Мир,1980. - 448с.

[24] Литвинцева, З.К. О проблеме сопряженности для конечно определенных групп [Текст] / З.К. Литвинцева // Дальневосточный. Математический. Сборник. - 1970. - Том 1. - С. 54-71.

[25] Магнус, В. Комбинаторная теория групп. [Текст]: монография / Магнус В., Каррас А., Солитер Д. - М.: Наука, 1974. - 473 с.

[26] Маканин, Г.С. Проблема сопряженности в группах кос [Текст] / Г.С. Маканин // Доклады АН СССР. - 1968. - 182(№3). - С. 495-496.

[27] Маканин, Г.С. О нормализаторах группы кос [Текст] / Г.С. Маканин // Математический сборник. - 1971. - 86(2). - С. 171-179.

[28] Марков, A.A. Основы алгебраической теории кос [Текст] / A.A. Марков // Труды математического института АН СССР. - 1945. - С. 16.

[29] Михайлова, К.А. Проблема вхождения для прямых произведений групп [Текст] / К.А. Михайлова // Математический сборник. - 1966. - Том 70. - С. 241-251.

[30] Новиков, П.С. Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов в теории групп [Текст] / П.С. Новиков // Труды математического института АНСССР. - 1955. - Том 44. -С. 3-143.

[31] Новиков, П.С. Неразрешимость проблемы сопряженности в теории групп [Текст] / П.С. Новиков // Известия АН СССР. Серия Математика. - 1954 -Том18. - №6 - с.485-524.

[32] Трубицын, Ю.Э. О нормализаторах конечных множеств в группах Артина конечного типа [Текст] / Ю.Э. Трубицын// Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. - 1986. - С. 68-71.

[33] Appel К., Schupp Р. Artin groups and infinite Coxeter groups// Invenf. Math.

1983. V. 72. P. 201-220.

[34] Appel К. One Artin groups and Coxeter groups of large type// Contemp. Math/

1984.: 33 P. 50-78.

[35] Artin Б. Theorie der Zöpfe //Abh. math. Semin. Univ. Hamburg. 1925. 4. P.47-72.

[36] Artin E. Theory of braids Ii Ann. Math. - 1947. - V.48. - P. 101-126.

[37] Baudisch. A. Subgroups of semifree groups. // Acta Math. Acad. Sei. Hungar. -1981.- 38(1-4). -P.19-28.

[38] Baumslag B.J. Intersection of finitely generated subgroups in free products//.!. London Math. Soc. - 1966.-V.41. - P. 673-679.

[39] Bestvina M., Brady N. Morse theory and finiteness properties of groups. // Invent. Math. - 1997. - 129(3). - P.445-470.

[40] Coxeter H. S. M. Discrete groups generated by reflections // Ann. Math. - 1934. -V. 35.-P. 588 -621.

[41] Dehn M. Uber unendliche diskontinuierliche Gruppen // Math. Annal. - 1912-V.71. -P.116-144.

[42] Droms. C. Isomorphisms of graph groups. //Proc. Amer. Math. Soc. - 1987. -100(3).-P.407-408.

[43] Gersten S.M. and Short H.B. Small cancellation theory and automatic groups// Inventiones mathematical, 1990, P.305-334.

[44] Lindon R. On Dehn's algoritm. Math. Ann., 1966, 166, P.208-228.

[45] Poul E Schupp Coxeter groups, 2-completion, perimeter reduction and subgroup separability// arxiv: math. GR/0202020, vl, 2 Mar 2002.

[46] Hsu T., Wise D.T. Separating quasiconvex of right - angled Artin groups. Mathematics Subject Classification, 2000, P. 1-20.

[47] Servatius. H. Automorphisms of graph groups. //J. Algebra. - 1989. - 126(1). -P.34-60.

[48] Van Wyk. L. Graph groups are biautomatic. // J. Pure Appl. Algebra. - 1994. -94(3). -P.341-352.