Решение некоторых двумерных краевых задач электроупругости для тел с трещинами и включениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Иваненко, Ольга Александровна

• Иваненко, Ольга Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 1985

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Иваненко, Ольга Александровна

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ УРАВНЕНИИ ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ.

§ I. Приведение плоской задачи электроупругости к функциям комплексного переменного.

§ 2. Сосредоточенная сила.или,заряд.в.пьезокерамической пластине

§ 3. Функции Грина.для.пьезокерамической полу-. плоскости.

Глава П. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТРЕЩИН И ВКЛЮЧЕНИЙ. В.

ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКОЙ СРЕДЕ.

§ 4 Растяжение пьезокерамической.пластины.с, упругим линейным включением

§ 5 Сопряжение механические и электрические поля при растяжении пластины,с,трещиной и включе нием.

§ 6. Взаимодействие пьезокерамической матрицы с регулярной системой тонких упругих включений

§ 7. Специальная модель композиционного материала с дефектами типа .трещин в матрице

§ 8. Макромодель.регулярной.пьезокерамической, структуры

Глава Ш. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ, ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ. ДЛЯ.

ПОЛУПЛОСКОСТИ.

§ 9. Передача нагрузки от упругого. ребра. к, полубесконечной пластине

- 3

§ 10.Взаимодействие ребра с трещиной в полубесконечной пластине.

§ II.Периодическая система ребер.

Глава ЗУ. КУСОЧНО ОДНОРОДНАЯ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКАЯ СРЕДА

С РЕГУЛЯРНОЙ СИСТЕМОЙ ВКЛЮЧЕНИЙ.

§ 12.Постановка задачи об определении сопряженных полей в кусочно однородной структуре.

§ 13.Интегральные уравнения краевой задачи

12.4).III

§ 14.Теорема единственности.

§ 15.РазреЕБИмость интегральных у равнений (13. II )

§ 16.Некоторые сведения по построению макромодели ВКМ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение некоторых двумерных краевых задач электроупругости для тел с трещинами и включениями»

Интенсивное развитие радиоэлектроники, электроакустики, измерительной техники привело в последние годы к бурному росту новых направлений физики диэлектриков, которые лежат на стыке с механикой сплошной среды и изучают связанные электро-уцругие процессы [з,13,24,31,48]. Все это стимулировало интерес исследователей к электроупругости.

Линейная теория электроупругости была развита в работах Д.Берлинкура, Д.Керрана, Г.Йаффе [13], И.С.Желудева [зб], У.Мезона [48], Дж.Найя [49]. Согласно этой теории связь меж -ду сопряженными электрическими и механическими полями выражена в линейных уравнениях состояния.

Анализ решения краевых задач электроупругости представляет собой значительные трудности ввиду связанности электри -ческих и механических полей в пьезокристаллах или пьезокера -миках. Двумерные задачи линейной электроупругости можно све -сти к краевым задачам теории функций комплексного переменного. Это в различных вариантах проделано в работах А.С.Космодами -анского, А.П.Кравченко, В.Н.Ложкина [36, 37, 38], И.А.Векови-щевой [l6, I?], Л.В.Белокопытовой, Л.А.Фильштинским [7,8] .

В процессе изготовления различного рода пьезокерамик,в последних могут возникнуть дефекты типа разрыва сплошности, инородных включении и т.д. Согласно современным представле -ниям о прочности, развитие таких микродефектов под действием приложенных механических и электрических полей может привести к локальному или полному разрушению конструкций. Поэтому вопрос о взаимодействии включений и трещин в пьезокерамике при электрических или механических нагружениях является достаточно актуальным.

По-видимому, впервые задача о прямолинейных туннельных трещинах на границе пьезоэлектрика и упругого тела была рассмотрена Б.А.Кудрявцевым, В.З.Партоном, В.И.Ракитиным [зэ], там же бшш получены критерии разрушения пьезоэлектрическо -го тела с трещиной.

Принципиальным при постановке электрических краевых задач для пьезокерамических тел с трещинами является вопрос о граничных условиях на её берегах. Механические граничные условия ставятся обычным образом. Электрические граничные ус -ловия для трещины-математического разреза ставятся таким же образом как на границе двух диэлектриков. Вопрос этот под -робно обсуждался в работе И.Б.Половинкиной, А.Ф.7литко[б5].

При рассмотрении краевых задач электроупругости для пьезоэлектрических сред с криволинейными разрезами - трещинами целесообразно использовать запись соответствующих краевых задач в терминах функций комплексных переменных. Таким путем Л.В.Белокопытова, Л.А.Фильштинский ,в [7] рассмотрели растяжение неограниченной пьезокерамической среды с криво -линейными трещинами-разрезами. Идея решения была взята из [бб] и заключалась в построении интегральных представлений соответствующих аналитических функций, обеспечивающих ска -чок перемещений и непрерывную продолжимость вектора механических напряжений при переходе через разрезы. Краевая задача была сведена к системе сингулярных интегральных уравне -ний. Асимптотический анализ интегральных представлений ре -шений дал возможность записать формулы для коэффициентов интенсивности механических и электрических величин.

Следует отметить, что метод сингулярных интегральных уравнений оказался эффективным при решении краевых задач теории трещин как в изотропных, так и в анизотропных средах. Решению соответствующих краевых задач дал изотропных сред посвящены монографии Л.Т.Бережницкого, В.В.Панасюка, Н.Г.Статута [ю] , В.В.Панасюка, М.П.Саврука, А.П.Дацышина [52] , Г.П.Черепанова [70^ , семитоглная монография "Разрушение" американских авторов [57*] и др.

Растяжение анизотропных сред с криволинейными трещина -ми рассмотрено в работах Н.И.Волкова, Л.А.Фильштинского [18 В.А.Любчака, Л.А.Фильштинского [43] , Л.А.Фильштинского 68 В частности, в [б8^| построена функция Грина дал анизотропной полуплоскости, с использованием которой записаны интеграль -ные представления решений, автоматически обеспечивающие вы -полнение краевых условий на её границе. Из анализа существующей литературы по этому кругу вопросов следует эффективность сингулярных интегральных уравнений как в теоретическом аспекте, так и в вопросах численной реализации алгоритмов решения краевых задач.

Задачи о передаче нагрузки от упругого ребра к пластине (задачи включения) берут свое начало с работ Е.Мелана,В.Кой-тера. Подробный обзор соответствующих исследований дал изо -тропных сред можно найти в монографии [2о]. Обзор различных исследований о передаче нагрузки от упругого ребра к беско -нечным или полубесконечным анизотропным пластинкам содержится в [60, 61].

К вопросам этого крута тесно примыкает теория ленточного композиционного материала (ЛКМ) с изотропной или анизо -тропной матрицей. ЛКМ представляет собой относительно не жесткий массив (матрица), армированный тонкими туннельными лентами. Здесь возникают вопросы, связанные с определением напряженного состояния матрицы, а также проблема осреднения упругих свойств таких материалов. Теория ЛКМ с изотропными и анизотропными компонентами рассматривалась В.Н.Долгих, Л.А. Филынтинским в [25, 28, 64] . Идея анализа заключалась в построении интегральных представлений решений, обеспечивающих скачек контактных усилий на границе волокно-матрица, с пос -ледущим сведением условия совместности деформаций волокна и матрицы к сингулярному тюегродифференциальному уравнению. Макроскопические параметры упругости ЛИЛ выражались в виде функционалов, определенных на решениях соответствующих ин -тегральных уравнений.

Практически основной интерес представляет собой исследование взаимодействия различного рода дефектов типа трещин, включений и т.д., а также вопросы торможения трещин ребрами жесткости. Соответствующие исследования и обзор литературы можно найти в монографиях Л.Т.Бережницкого, В.В.Панасюка, Н.Г.Стащука [ю], М.П.Саврука [бэ], а также в работах Л.Т.Бережницкого [э, II, 12] , Н.И.Волкова, Л.А.Филыптинского [к]. Влияние края на напряженное состояние в полубесконеч -ной пластине с ребром исследовано в [бэ].

Представляется актуальным исследование взаимного влияния трещин и включений в бесконечных и полубесконечных пье -зокерамических средах, а также построение структурной теории ленточного композиционного материала с пьезокерамической матрицей.

Существует несколько подходов к исследованию упругих и жесткостных свойств волокнистых композиционных материалов. Наиболее точный из них заключается в учете микроструктуры ячейки, т.е. в построении структурной теории КМ. При этом обычно рассматривается модель КМ с двоякопериодической уте -ладкой волокон. Исследование упругих и жесткостных свойств таких материалов стали возможны благодаря развитию методов решения краевых задач теории упругости, обладающих группо

U «> 1 Л «г вой еимметриеи, в частности двоякопериодических задач [21, . Микроструктурная теория КМ с изотропными компонентами

О О О О 1 «Г 1 т\ и простейшей структурой ячеики развита в [15J .В этих ра -ботах использовалось представление решения в виде рядов по эллиптическим функциям, развитое в [21^ . Теория КМ с изо -тропными компонентами и произвольной микро структурой ячейки простроена М.Г.Грингаузом, Л.А.Филыитинским в [23*] . Здесь уже использовался метод интегральных уравнений. Краевые задачи обобщенной плоской деформации и в продольном сдвиге КМ сводились к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. В этой же работе решена проблема осреднения упругих свойств КМ в наиболее общем виде. Модель композиционного материала с анизотропными компонентами и произвольной микроструктурой ячейки рассмотрена В.Н.Долгих, Л.А.Фильштинским в [26, 27]. В [28] исследуются упругие и жесткостные свойства КМ с де -фектами типа частичной отслойки волокна от матрицы.

Представляется актуальным развить и обобщить эти методы с целью построения теории волокнистых КМ с пьезокерами -ческой матрицей.

Настоящая диссертационная работа является составной частью научных исследований, проводимых в рамках координа -ционного плана АН УССР № 43 от 17 декабря 1979 года по комплексной проблеме "Физико-химическая механика хрупкого разрушения конструкционных материалов". Она посвящена разработ

- 9 ке методов решения краевых задач электроуцрутости для бесконечных и полубесконечных тел с трещинами и линейными включениями, а также разработке структурной теории волокнистых композиционных материалов с пьезокерамической матрицей.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и зак -лючения.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Иваненко, Ольга Александровна

Основные результаты и выводы:

1. На основе метода интегральных уравнений в работе развит единый подход к решению задач электроупругости.

2. Получено точное решение задачи о взаимодействии механических и электрических полей в пьезокерамической о »» пластине, усиленной достаточно жестким линеиным включением.

3. Построена модель регулярной среды, представляющей собой пьезокерамическую матрицу, армированную тонкими уп -ругими лентами и (или) ослабленную туннельными трещинами.

4. Построена специальная модель волокнистого ЮЛ с пьезокерамической матрицей и достаточно произвольной микроструктурой ячейки.

5. Доказаны теоремы о разрешимости и единственности решения системы интегральных уравнений Фредгольма второ -го рода, которая получена для различных типов внешнего нагружешш ВКМ с пьезокерамической матрицей.

6. Рассмотрена проблема осреднения упругих, электри -ческих и пьезоэлектрических свойств регулярных структур. Построена макромодель Ш с учетом дефекта типа туннельных трещин. Исследована зависимость макромодулей ЖМ от геометрических и физических параметров включений и трещин.

7. Решена задача об определении напряженного состоя -ния в пьезокерамической полуплоскости с разрезом, включением или периодической системой включений, выходящих на гра -ницу полуплоскости.

8. Исследован порядок особенности контактных напряже -ний в окрестности конца ребра, выходящего на границу полуплоскости.

9. Все построенные алгоритмы строго обоснованы и за -вершены численной реализацией. Получена новая информация о коэффициентах интенсивности напряжений и напряженности электрического поля, а так же об осредненных упругих,электрических и пьезоэлектрических модулях макромодели, которые получены в замкнутом виде и определены через функционалы на решениях соответствующих краевых задач.

Все рассмотренные задачи являются новыми.

На основе полученных в работе решений и числовых результатов можно сделать следующие выводы:

1. При исследовании решения задачи о взаимодействии механических и электрических полей в пьезокерамической пластине с достаточно жестким линейным включением ( § 4) установлено, что

- электрическое поле в окрестности концов ребра имеет особенность типа VVf* ;

- при одной и той же внешней нагрузке пластины нормальные усилия в ребре с ростом его длины увеличиваются;

- распределение контактных напряжений и внутренних усилий не изменится, если равномерное растяжение =1(н/м^) заменить однородным электрическим полем ^Ед) = -0,1(н/к);

- зона высоких уровней контактных напряжений локализуется в окрестности концов включений, что согласуется с ре -зультатами в анизотропной среде;

- линейное включение не реагирует на равномерный сдвиг пластины и однородное электрическое поле, ориентированное вдоль оси ОХ;

2. В случае равномерного растяжения ЛКМ без дефектов ( §6 )

- с ростом безразмерного параметра 2£/(й1 увеличивается усилие в нормальных сечениях волокна, максимальное значение соответствует середине включения;

- распределение контактных напряжений и внутренних нор -мальных усилий не изменится, если равномерное растяжение I (н/м^) заменить однородным электрическим полем <£3}= - 0,06 (н/к).

3. Результаты вычислений для задачи о взаимодействии ленточных включений и туннельных трещин в КМ (§7), когда вершина трещины одинаково удалена от концов соседних включений, показали, что

- рост параметра 2 вызывает увеличение механических напряжений и напряженности электрического поля в окрест -ности вершин трещин;

- когда перемычка между конгруэнтными трещинами уменьшится, механические напряжения и компоненты вектора напряженности электрического поля увеличиваются;

- при длинах трещин,больших четверти, но меньших половины длины периода происходит явление взаимной разгрузки, что соответствует отмеченному другими авторами явлению взаимного упрочнения трещин.

4. Рассмотрение предыдущей задачи при условии, когда вершина трещины близка к середине включения ( § 7), позволило сделать вывод

- при удалении вершины трещины от элемента жесткости нор -малыше напряжения на продолжении за вершину трещины растут, т.е. включение тормозит рост трещины, но эффект подкрепления в ЖМ можно вызвать не только действием одно -родного механического поля, но и электрического.

5. При исследовании макромодели ЛКМ с дефектами (§8), в котором сечение трещины практически параллельно оси предварительной поляризации, можно сделать следующие выводы

- увеличение длины разреза или уменьшение длины включения существенно уменьшает жесткость структуры в направлении оси ОХ, но не меняет её в направлении оси QZ , что соответствующим образом отражается на значениях коэффициентов

- наличие трещин и включений в регулярной структуре несу -щественно влияет на коэффициенты диэлектрической проница -емости;

- пьезомодули более чувствительны к изменению длин вклго -чений, чем трещин, т.е. с увеличением длин включений пьезо-эффект КМ несколько уменьшается.

6. Расчеты, сделанные для полуплоскости, подкрепленной одним или периодической системой ребер (§ 9,11), показали, что

- изменение ориентации ребра относительно оси предварительной поляризации пластины оказывает существенное влияние на порядок особенности контактных напряжений, так для углов наклона ребра от 0° до 51° контактные напряжения ограничены, в остальных случаях порядок особенности меньше, чем 0,5, кроме этого, он зависит от физико-механических свойств ма -териала полуплоскости и не зависит от жесткости ребра;

- чем больше жесткость ребра, тем больше нормальные усилия в сечении ребра;

- с ростом параметра £/т усилия в сечениях периодической системы ребер увеличиваются, но для ребер, перпендикуляр -ных к границе полуплоскости, это увеличение незначительно.

7. Из анализа влияния трещины на механические и электрические поля в пьезокерамической полуплоскости (§ 10) следует, что . .

- с ростом трещины уменьшаются нормальные усилия в ребре, но увеличиваются коэффициенты интенсивности , на продолжении за вершину трещины;

- граница полуплоскости (неэлектродированная, свободная от нагрузок) разгружает трещину, как в механическом, так и в электрическом плане, и чем больше трещина или включение, тем эта разгрузка ощутимее;

- чем меньше ребро или больше трещина, тем сильнее меха -нические и электрические поля на концах трещины;

- в случае, когда на берегах трещины действует равномерная нормально распирающая нагрузка, а ребро свободно от внешней нагрузки, конец ребра, выходящий на границу, растянут, причем граница раздела существенно зависит от величины трещины.

8. Исследование зависимости макромодулей ВКМ (§15) от геометрических и физических свойств его компонент показа -ло, что

- с ростом радиуса жесткость структуры возрастает;

- диэлектрическая проницаемость увеличивается;

- пьезоэффект структуры практически не меняется.

Достоверность результатов и выводов диссертационной работы подтверждается строгостью математических постано -вок и теоретической обоснованностью методов решения за -дач; хорошей согласованностью с имеющимися в литературе решениями для анизотропной среды; физической интерприта-цией результатов вычислений.

Об эффективности предложенного метода решения задач электроупругости свидетельствуют простота реализации, возможность распространения на другие классы задач.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе решен ряд новых краевых за -дач теории электроупругости для пьезоэлектрических сред, усиленных упругими включениями и ослабленных криволиней -ными трещинами - разрезами. При решении всех задач применен единый подход. Вначале строились фундаментальные ре -шения (функции Грина), для этого рассматривались вспомо -гательные задачи о действии сосредоточенной силы или за -ряда в пьезоэлектрической среде. На основе фундаменталь -ных решений конструировались интегральные представления решений соответствующих краевых задач. Затем краевые задачи сводились к системам интегральных уравнений. Для чис -ленной реализации полученных систем составлялись программы на языке ФОРТРАН, которые затем пропускались на ЭВМ EC-I022.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Иваненко, Ольга Александровна, 1985 год

1. Арутюнян Н.Х. Контактная задача для полуплоскости с упругим креплением. - Прикладная математика и механика, 1968, т.32, 4, с.632-646.

2. Арутюнян Н.Х.,Мхитарян С.М. Периодическая контактная задача для полуплоскости с упругими накладками. Прикладная математика и механика, 1969, т.33, 5,с.813-843.

3. Барфут Дк., Тейлор Дж. Полярные диэлектрики и их приме -. нения. М.: Мир, I98I.-526C. . . .

4. Белокопытова Л.В., Иваненко О.А., Фильштинский Л.А. Передача нагрузки от упругого ребра к полубеоконечной пьезокерамической пластинке.-Изв.АН Арм.ССР, Механика, 1981, т.34, № 5,.с.41-50

5. Белокопытова Л.В., Иваненко О.А.,Фильштинский Л.А. Сопряженные электрические и механические поля в пьезо-упругих телах с.разрезами или включениями. Динамика и прочность машин. .Харьков., 1981, вып.34, с. 16-21.

6. Белокопытова Л.В., Фильштинский Л.А. Двумерная краеваязадача электроупругости для пьезоэлектрической среды сразрезами. Прикладная математика и механика, 1979, т.43, вып.1, с.138-143.

7. Белокопытова Л.В., Филынтинский Л.А. Напряженное состояние в пьезоэлектрике типа 23,43 т., Ослабленном криволинейными трещинами. Динамика и прочность машин, 1979, вып. 29, с.53-57.

8. Бережницкий Л.Т., Дацышин А.П. К вопросу о взаимодействии прямолинейных трещин заданной ориентации. Прикладная механика, 1968,т.4, № 3, C.II2-II7.

9. Бережницкий Л.Т., Панасюк В.В., Стащук Н.Г. Взаимодействие жестких линейных включений и трещин в деформируемом теле.-Киев: Наукова думка, 1983.-288с.

10. Бережницкий Л.Т., Саврук М.П., Стащук Н.Г. О взаимодей -ствии линейных жестких включений и трещин. Физико-химическая механика.материалов, 1981, т.17, $ 2, с.70-76.

11. Бережницкий Л.Т., .Стащук Н.Г. Периодическая задача теории жестких включений. Физико-химическая механика материалов, 1982, т.18, JS I, с.62-68. .

12. Берлинкур Д., Керран Д., 32аффе Г. Пьезоэлектрические и. пьезомагнитные материалы и.их.применение в преобразова телях. Физическая акустика, т.I Методы и приборы.ультра-, звуковых исследований, часть А.-М.:Мир, 1966, с.204-326.

13. Броек Д. Основы механики разрушения. -М.:Высшая школа, 1980.-368с. .

14. Ван Фо Фы Г.А. Теория армированных материалов с покрытиями, Киев: Наукова думка, I97I.-302c.

15. Вековищева И.А. Плоская задача теории электроупругости.для.пьезоэлектрической пластинки. Прикладная механика, вып.2, с.85-89.

16. Вековищева И.А. Пространственная задача теории упругости анизотропного тела с учетом электрического эффекта. Изв.АН Арм.ССР. Механика, 1970, т.23, № 4, с 33-43,

17. Волков Н.И., Фильштинский Л .А. 0 напряженном состоянии вращающегося оребренного диска сложной конфигурации при наличии отверстий и трещин. -Изв.АН СССР, Механика твердого тела, 1982, В 5,.с.124-132.

18. Гахов Ф.Д.,Краевые задачи, М.: Наука, 1977.-640с.

19. Григолюк Э.И., Толкачев.В.М. Контактные задачи.теории пластин и оболочек. М.: Машиностроение, 1980.-420с.

20. Григолюк Э.И., Фильштинский Л.А. Упругое равновесие изотропной плоскости с двоякопериодической системой включений. Прикладная механика, 1966, т.2, В 9, с.11-17. . .

21. Григолюк Э.И., Фильштинский I.А. Перфорированные пластины и оболочки. М.: Наука, 1970.-556с.

22. Грингауз М.Г., Фильштинский Л.А. Теория упругого линейно армированного композиционного материала. Приклад -ная математика и механика,.1975, т.39, вып.3,с.25-29

23. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф.О некоторых проблемах да -намической электроупругости. Четвертый всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Киев, 1976, с.90.

24. Долгих В.Н., Фильштинский Л.А. Об.одной модели регу -лярной кусочно неоднородной среды. Изв.АН СССР, Механика твердого тела, 1976, )Р 2, с.158-164.

25. Долгих В.Н., Фильштинский Л.А. Теория линейно армированного композиционного материала с анизотропными компонентами структуры. Изв.АН СССР, Механика твердого тела,1978, Jfc 6, с.53-63.

26. Долгих В.Н., Фильштинскии Л .А. Модель анизотропной среды, армированной тонкими.лентами. Прикладная механика,1979, т.15, Jfe 4, с.24-30. . .

27. Долгих В.Н., Фильштинскии Л.А. .Продольный сдвиг композиционного материала с дефектами. Изв.АН СССР, Механикатвердого.тела, 1980, J£ 4, с.48-53. . .

28. Дуркин И.А., Иваненко О.А., Фильштинский Л .А. Продольный сдвиг пьезоэлектрической среды с туннельным разрезом.-Физико-химическая механика материалов, 1983, т.19, 2,с.55-59. . .

29. Желудев И.С. Физика кристаллических диэлектриков. М.: Наука, 1968.- 610с.

30. Желудев И.С. Электрические кристаллы. М: Наука, 1969. 215с.

31. Иваненко О.А., Олейник В.М., Фильштинский Л.А. Взаимодействие трещин в пьезокерамике. Динамика и.проч -ность машин.Харьков, 1983, вып.38, с.119-121.

32. Иваненко О.А., Фильштинский Л.А. Взаимодействие трещины и включения в пьезокерамическом полупространстве. -Прикладная механика, 1983, т. 19, JS 12, с.52-58

33. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. М.: Наука, 1973.-303с.

34. Космодамианский А.С. Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями. Киев: Вшца школа, 1976.-200с.

35. Космодамианский А.С., Кравченко А.П., Ложкин В.Н. Дей -ствие точечного электрического заряда на границе пьезоэлектрической полуплоскости, ослабленной эллиптическим отверстием. Изв. АН Арм.ССР, Механика, 1977, т.30,§ I, с.13-20. . .

36. Космодамианский А.С., Ложкин В.Н. Обобщенное плоское напряженное состояние тонких,пьезоэлектрических пластин. Прикладная механика, 1975,.т.II, вып.5, с.45-53.

37. Кудрявцев Б.А., Партон В.З., Ракитин В.И. Механика разрушения пьезоэлектрических материалов. Прямолинейная туннельная трещина на границе с проводником. -.Приклад. ная математика.и механика,.1975, т.39, вып.I,с.149-159.

38. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.-736с.

39. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. -М: Гостехиздат, . 1957. 464с. .

40. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела, М.: Наука, 1977.-415с.

41. Любчак В.А., Фильштинский JI.A. Вторая краевая задача для упругой анизотропной среды, ослабленной криволи -нейными разрезами. Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1978, .15 5, с.98-101.

42. Морозов. Н.§. К вопросу о деформационных критериях разрушения. Вестник Ленгосуниверситета, 1980, JS 13,с.82-84.

43. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин и острых вырезов. Институт проблем механики,АН СССР, Ленгосуниверситет, Препринт.В 193, М., 1982.-58с.

44. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математи-. ческой теории упругости. М.: Наука, 1966.-707с.

45. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. М.: Наука, 1968.-511с.

46. Мэзон У. Пьезоэлектрические кристаллы и их применение . в ультраакустике. М., 1952.-592с.

47. Над Дне. Физические свойства кристаллов и их описание при помощи. тензоров и.матриц. М.: Изд.иностранной литературы. I960.-385с.

48. Новацкий В. .Теория упругости. -М.: Мир, 1975.-872с.

49. Новожилов В.В. 0 необходимом и достаточном критерии хрупкой.прочности.Прикладная математика и механика,1969, т.ЗЗ,.Л? 2, с.212т222. .

50. Панасюк В.В., Саврук МЛ., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в.пластинах и оболочках. -Киев: Наукова думка, 1976.-444с.

51. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упруго-пластического разрушения. М.: Наука, 1974.-416с.

52. Партон В.З., Перлин П.И. Метода математической теории . упругости. М.: Наука, I98I.-688c.

53. Половинкина И.Б., Улитко А.Ф. К теории равновесия пьезо-керамических тел с трещинами. Тепловые напряжения в элементах конструкций. Киев, 1978, вып. 18, с.10-17 .

54. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела.-М.:Наука, 1979.-744с.

55. Разрушение: Пер. с.англ. Под ред.Г.Либовица. М.: Мир, 1973-1976, т.т.1-7.

56. Савельев И.В. Курс общей физики. М.: Наука, 1978, т.2.-480с.

57. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости, для тел с трещи. нами. Киев: Наукова думка, 1981-323с.

58. Саркисян B.C. Некоторые задачи теории упругости анизотропного тела.-.Изд.Ереванского госуниверситета, 1970.-443с.

59. Саркисян B.C. Некоторые задачи, математической теории упругости анизотропного тела. Изд. Ереванского госуниверситета, 1976.-534с.

60. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М: Наука, 1967, т.З, ч.1 -,323с.

61. Толкачев В.М. Передача нагрузки от стрингера конечной длины к бесконечной и полубесконечной пластине.

62. Доклады АН СССР,.1964, т.154, й 4, с.806-808.

63. Фильштинский Л.А. К теории упругих неоднородных сред с регулярной структурой. -.Прикладная математика и механика, 1973, т.37, Ш 2, с.262-273.

64. Фильштинский Л.А. Взаимодействие двоякопериодической системы прямолинейных трещин в изотропной среде. -Прикладная математика и механика, 1974, т.38, В 5, с.906-914.

65. Фильштинский Л.А. Упругое равновесие плоской анизотропной среды,.ослабленной произвольными криволинейными трещинами. Предельный переход к изотропной среде.- Изв.АН СССР, Механика твердого тела, 1976, II 5, стр.91-97.

66. Фильштинский Л.А. Двоякопериодическая задача теории упругости для анизотропной среды с криволинейными разрезами. Изв.АН.СССР, Механика твердого тела, 1977, М 6 с.116-124.

67. Фильштинский Л.А. Краевые задачи теории упругости для анизотропной полуплоскости, ослабленной отвер -стием или разрезом. -,Изв. АН СССР, Механика твердо. го тела, 1980, ,№ 6, с.72-79.

68. Фильштинский Л.А. Об особенностях поля напряжений в упругой анизотропной полуплоскости с выходящим.на границу ребром. Прикладная механика, 1981, т.17, 15, с.204-212.

69. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. -М.: Наука, 1974 640с.