Решение некоторых сингулярных задач математической теории дифракции методами Фурье и потенциалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Хусаинова, Эндже Джаудатовна

• Хусаинова, Эндже Джаудатовна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хусаинова, Эндже Джаудатовна

Введение

Глава 1. Единственность решения сингулярных задач дифракции с граничным условием типа четности на характеристической части границы

§1. О некоторых частных решениях уравнения

Гельмгольца с оператором Бесселя

§2. Постановка задачи дифракции с условиями сопряжения на конечных границах раздела областей. Теорема единственности

§3. Постановка задачи дифракции с условиями сопряжения на полубесконечных границах раздела областей. Теорема единственности

§4. Постановка задачи дифракции с условиями сопряжения на конечных границах раздела областей с общей границей.

Теорема единственности.

Глава 2. Метод потенциала в вопросах существования решения сингулярных задач дифракции с условиями сопряжения на конечных границах раздела областей

§1. Доказательство существования решения сингулярной задачи дифракции с условиями сопряжения на трех конечных границах раздела областей методом потенциалов.

§2. Доказательство существования решения сингулярной задачи дифракции с общей нехарактеристической границей

§3. Доказательство существования решения сингулярной задачи дифракции с условиями сопряжения на п конечных границах раздела областей.

Глава 3. О некоторых сингулярных задачах дифракции с общей границей

§1. Решение сингулярной задачи дифракции с условиями сопряжения на двух параллельных полупрямых

§2.Решение сингулярной задачи дифракции с условиями сопряжения на двух полубесконечных кривых

§3. Решение сингулярной задачи дифракции с условиями сопряжения на т концентрических полуокружностях.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение некоторых сингулярных задач математической теории дифракции методами Фурье и потенциалов»

Явлением дифракции (от лат. — "¿¿//гас^ив" — разломанный) называется поведение волн различной природы в среде или средах, имеющих границы с теми или иными свойствами. Благодаря работам Пуанкаре и Зоммерфельда в конце девятнадцатого века стало ясно, что задачи теории дифракции — суть краевые задачи математической физики. Необходимость изучения таких задач обусловлена многочисленными их приложениями в физике, механике сплошных сред, геофизике, океанографии, медицине и др.(см., например, [37], [40]).

В приложениях также могут возникать задачи дифракции для уравнения Гельмгольца с оператором Бесселя, которые в дальнейшем и назовем сингулярными задачами дифракции. Например, осесиммет-рическая задача дифракции является частным случаем сингулярных задач дифракции.

Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с конечной границей хорошо изучены. Гораздо меньше изучены краевые задачи в областях с бесконечной границей. Это объясняется тем, что в этом случае методы теории потенциалов и Фурье сводят краевые задачи для эллиптических уравнений соответственно к интегральным уравнениям типа свертки и системам линейных алгебраических уравнений с бесконечным числом неизвестных, являющимися дискретными аналогами интегральных уравнений типа свертки. Подробный обзор работ по поводу интегральных уравнений типа свертки и бесконечной системы линейных алгебраических уравнений дан в монографии [10].

Краевые задачи как для эллиптических уравнений, так и для эллиптических уравнений с оператором Бесселя могут ставиться также в неограниченных областях. Однако в этом случае для обеспечения единственности решения, кроме условий на границе области необходимо задавать еще некоторые условия на бесконечности. Эти условия, называемые "условиями излучения", для уравнения Гельмгольца впервые были найдены А.Зоммерфельдом [55].

Доказательство принципа излучения для уравнения Гельмгольца было указано в 1933 году В.Д.Купрадзе [18]. Условия излучения и теоремы единственности для уравнения Гельмгольца стали предметом изучения в работах большого круга авторов [7, 8, 1, 23, 52, 53] и других. В этих работах рассматриваются граничные задачи в бесконечных областях, когда среда занимает внешность некоторой ограниченной области. Впервые теорема единственности решения сингулярной задачи дифракции для бесконечных областей с границей, простирающейся в бесконечность, была доказана Ф.Г.Мухлисовым [26].

Среди методов решения краевых задач для эллиптических уравнений с оператором Бесселя серьезного внимания заслуживает метод потенциалов, поскольку с помощью правильно подобранных потенциалов сингулярная задача может быть сведена к регулярной системе интегральных уравнений. Поверхностные потенциалы, построенные Н.Раджабовым [33], оказались достаточными при полном исследовании основных краевых задач для сингулярного уравнения ВХри = 0, (0.1) где Ах> = ^ — лапласиан, ВХр = ^ + ^^ — оператор Бесселя, з V р р при условиях, когда нехарактеристическая часть границы есть гиперповерхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол.

Метод потенциалов неоднократно применялся разными авторами к решению краевых задач для эллиптических уравнений как второго порядка, так и высших порядков и систем. Соответствующие работы, обзор которых имеется в литературе [21, 28, 29, 30, 31, 32], хорошо известны. Впервые Ф. Г. Мухлисову метод потенциалов удалось применить к решению сингулярной задачи дифракции с условиями сопряжения на конечной границе раздела областей. В работе [26] предложен способ нахождения потенциалов, сводящих сингулярную задачу дифракции к регулярной системе интегральных уравнений.

Целью данной работы является изучение возможности распространения результатов Ф. Г. Мухлисова на другие задачи математической теории дифракции. Здесь доказываются теоремы единственности решений сингулярных задач дифракции с условиями сопряжения на конечных и полубесконечных границах раздела областей, а также с условиями сопряжения на конечных границах раздела областей с общей нехарактеристической границей. При решении сингулярных задач дифракции с условиями сопряжения на конечных и бесконечных границах раздела областей применяются методы Фурье и потенциалов.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хусаинова, Эндже Джаудатовна, 2004 год

1. Авазашвили Д. 3. Пространственная задача дифракции для электромагнитных колебаний / Д. 3. Авазашвили // Сообщения АН Грузинской ССР. - 1953. - N 14. - С. 321-328.

2. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейн. М.: Наука, 1973. - Т. 1. - 294 с.

3. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейн. М.: Наука, 1974. - Т. 2. - 295 с.

4. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных / А. В. Бицадзе. — М.: Наука, 1981. — 448 с.

5. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа / А. В. Бицадзе. — М.: Изд-во АН СССР, 1959. 161 с.

6. Вайнштейн Л. А. Теория дифракции и метод факторизации / Л. А. Вайнштейн. — М.: Сов. радио, 1966. — 430 с.

7. Векуа И. Н. О метагармонических функциях / И. Н. Векуа // Труды Тбилисского матем. ин-та АН Грузинской ССР. — 1943. — N 12. С. 105-174.

8. Векуа И. Н. О доказательстве некоторых теорем единственности, встречающихся в теории установившихся колебаний / И. Н. Векуа // ДАН СССР. Т. 80, N 3(1951). - С. 341-343.

9. Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. — 4-е изд. — М.: Наука, 1981. — 512 с.

10. Гахов Ф. Д. Уравнения типа свертки / Ф. Д. Гахов, Ю. И. Черский.М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1978. 296 с.

11. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. — М.: Физматгиз, 1963. — 1100 с.

12. Денисова М. Ю. Решение основной краевой задачи для В бигар-монического уравнения методом потенциалов / М. Ю. Денисова // Известия вузов. Математика. — 2001. — N 8(471). — С. 79-81.

13. Канторович Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г.П.Акилов. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 752 с.

14. Кароль И. Л. К теории краевых задач для уравнения смешанного эллиптико гиперболического типа / И. Л. Кароль // Математический сборник - 1956. - Т. 38(80), N 3.- 0. 261 - 282.

15. Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области / М. В. Келдыш // ДАН СССР. 1951. - Т. 77, N2.-0. 181 - 183.

16. Киприянов И. А. Об одном классе сингулярных эллиптических операторов / И. А. Киприянов // Дифференциальные уравнения.- 1971. Т. 7, N И. - С. 2066-2077.

17. Киприянов И. А. Фундаментальные решения В эллиптических уравнений / И. А. Киприянов, В. Н. Кононенко // Дифференциальные уравнения. - 1967. - Т. 3, N 1. - С. 114-129.

18. Купрадзе В. Д. О принципе излучения А. Зоммерфельда / В. Д. Купрадзе // ДАН СССР. 1934. - N 2. - С. 1-7.

19. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: учеб. для студентов университетов и вузов / Л. Д. Кудрявцев. В 3 т. — Т. 3. — 2-е изд., перераб. и доп. —М.: Высш. школа, 1989. — 352 е., ил.

20. Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциала / Н. С. Ландкоф. М.: Наука, 1966. - 513 с.

21. Лопатинский Я. Б. Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям /Я. Б. Лопатинский // Укр. математический журнал. — 1953. — Т. 5, N 2. — С. 123-151.

22. Ляхов Л. Н. Весовые сферические функции и сингулярные псевдодифференциальные операторы / Л. Н. Ляхов // Дифференциальные уравнения. 1985. - Т. 21, N6.-0. 1020-1032.

23. Мецхваришвили Я. Г. О некоторых свойствах регулярных решений колебательного уравнения / Я. Г. Мецхваришвили // Труды Тбилисского ун-та (А). N 26(1945). - С. 13-22.

24. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных: учеб. пособие для вузов / С. Г. Михлин. — М.: Высш. школа, 1977. — 431 е., ил.

25. Мухлисов Ф. Г. Обобщенное решение задачи типа Дирихле для некоторых сингулярных эллиптических уравнений / Ф. Г. Мухлисов // Сибирский математический журнал. — 1990. — Т. 31, N 5.- С. 79-91.

26. Мухлисов Ф. Г. Потенциалы, порожденные оператором обобщенного сдвига и краевые задачи для одного класса сингулярных эллиптических уравнений // Дис. . д-ра физ.-мат. наук / Ф. Г. Мухлисов. — Казань, 1993. — 324 с.

27. Панич О. И. О потенциалах для полигармонического уравнения четвертого порядка / О. И. Панич // Математический сборник. — 1960. Т. 50, N 3.- 0. 335-368.

28. Панич О. И. Эквивалентная регуляризация краевых задач с помощью потенциалов / О. И. Панич // Докл. АН СССР. — 1969. — Т. 184, N 3.- 0. 554-557.

29. Панич О. И. О потенциальных представлениях решений краевых задач, приводящих к сопряженным псевдодифференциальным уравнениям на границе области / О. И. Панич // Краевые задачи для уравнений в частных производных. — Киев, 1979. — С. 88-92.

30. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М. М. Смирнов. — М.: Наука, 1966. — 292 с.

31. Смирнов М. М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка / М. М. Смирнов. — М.: Наука, 1964. — 206 с.

32. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа / М. М. Смирнов. — М.: Высшая школа, 1985. — 304 с.

33. Солимено С. Дифракция и волноводное распространение оптического излучения: пер. с англ. / С. Солимено, Б. Крозиньяни, П. Ди Порто. М.: Мир, 1989. - 664 е., ил.

34. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены / П. К. Суетин. М.: Наука, 1979. - 416 с.

35. Федорюк M.B. Асимптотика: Интегралы и ряды / М. В. Федорюк.М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — 544 с.

36. Хенл X. Теория дифракции: пер. с нем. / X. Хенл, Ф. Мауэ, К. Вестпфаль; под ред. Г. Д. Малюжинца. — М.: Мир, 1964. — 428 с.

37. Хусаинова Э. Д. Решение одной сингулярной задачи дифракции методом потенциалов / Э. Д. Хусаинова // Труды одиннадц. меж-вуз. конф. "Математическое моделирование и краевые задачи". — Ч. 3. СамГТУ, ИАР. - Самара, 2001. - С. 129-132.

38. Хусаинова Э. Д. О некоторых сингулярных задачах дифракций с общей границей / Э. Д. Хусаинова // Известия вузов. Математика. 2002. - N 9(484). - С. 75-78.

39. Чернокожин Е. В. О разрешимости краевых задач для уравнения Гельмгольца в неограниченной области с некомпактной границейЕ. В. Чернокожин, Ю. В. Шестопалов // Дифференциальные уравнения. 1998, - Т. 34, N 4. - С. 546-553.

40. Янке Е. Специальные функции (Формулы, графики, таблицы) / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. — М.: Наука, 1968. — 344 е., ил.

41. Freudenthal Н. Uber ein Beugungsproblem aus der electromagnetischen Lichttheorie / H. Freudenthal // Compositio Math. 1938. - N 6. - S. 221-227.

42. Magenes E. Sulla teorieadel Potenziale / E. Magenes // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1955. - N 24. - P. 510-522.

43. Reilich F. Uber das asymptotische Verhalten der Losungen von AU + XU = 0 in unendlichen Gebieten / F. Reilich //1 Ber. Deutsch. Math. Verein. 1943. - N 53. - S. 57-65.

44. Sommerfeld A. Die Greensche Funktion der Schwingungleichung / A. Sommerfeld // Jahresber. Deutsch. Math. Verein. 1912. - Bd 21, S. 309-353.