Системы дифференциальных уравнений в частных производных для поверхностей пространства Галилея тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Долгарев, Иван Артурович

• Долгарев, Иван Артурович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Долгарев, Иван Артурович

Введение

1 Системы дифференциальных уравнений с частными производными, определяющие поверхность в геометрии Галилея по коэффициентам квадратичных форм

1.1 Элементы геометрии Галилея

1.2 Постановка задачи отыскания поверхности пространства - времени Галилея по коэффициентам ее первой и второй квадратичных форм.

1.3 Метод последовательного интегрирования.

1.4 Решение системы дифференциальных уравнений.

1.5 Поверхность пространства-времени Галилея с заданными квадратичными формами.

1.6 Условия для коэффициентов квадратичных форм поверхности

1.7 Использование второй системы дифференциальных уравнений с частными производными.

1.8 Решение системы дифференциальных уравнений в случае х£ = Е.

1.9 Свойства рассматриваемых систем уравнений с частными производными

2 Система дифференциальных уравнений с частными производными, имеющая постоянные коэффициенты

2.1 Задача получения поверхности по постоянным коэффициентам

2.2 Теорема для системы уравнений, имеющей постоянные коэффициенты

2.3 Решение системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

2.4 Поверхность пространства-времени Галилея Г3.

2.5 Решение системы дифференциальных уравнений при х2и — Е

2.6 Свойства решаемых систем дифференциальных уравнений

3 Частные виды систем дифференциальных уравнений

3.1 Дифференциальные уравнения, описывающие векторную функцию, которая имеет постоянный модуль.

3.2 Коэффициенты квадратичных форм поверхности являются функциями только одного параметра.

3.3 Системы дифференциальных уравнений для поверхностей с заданными коэффициентами квадратичных форм.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Системы дифференциальных уравнений в частных производных для поверхностей пространства Галилея»

Настоящая работа посвящена получению уравнений поверхностей в геометрии Галилея по коэффициентам ее первой и второй квадратичных форм, при помощи формирования и аналитического решения систем дифференциальных уравнений с частными производными.

Задача отыскания поверхности по коэффициентам ее квадратичных форм возникла в евклидовой геометрии. Основоположниками теории поверхностей являются К.Ф. Гаусс (1777- 1855), Г. Монж (1746 - 1818), в России -JI. Эйлер (1707 - 1783), К.М. Петерсон (1828 - 1880), создателем современной русской школы дифференциальной геометрии является С.П. Фиников (1883 - 1964), см. [26], [53], [54], [63], [64], [65], [66], [68], [69]. Теорема об описании поверхности коэффициентами ее первой и второй квадратичных форм является основной теоремой теории поверхностей евклидова пространства. Впервые основная теорема доказана К.М. Петерсоном в 1853 году в неопубликованной работе - кандидатской диссертации [26], с. 300-302; [53], с. 44; имеется современная публикация работ К.М. Петерсона [39], [40], (о работах К.М. Петерсона см. [26], с. 591). Первая публикация основной теоремы теории поверхностей принадлежит О. Бонне, 1867, [60]. Работы К.Ф. Гаусса [53], [65], К.М. Петерсона [39], [40], О. Бонне [60], Г. Майнарди [67], Д. Кодацци [61], [62], привели к получению условий интегрируемости систем дифференциальных уравнений в доказательстве основной теоремы [53], с. 58, выражающиеся формулами Гаусса - Петерсона - Кодацци. Об исследованиях в этом вопросе см. также [53], [72]. Основная теорема носит название теоремы Бонне (в некоторых пособиях она называется теоремой Петерсона, см. [36], с. 202 и др.)

К.М. Петерсон доказал, что поверхность определяется заданием коэффициентов Е,Е',Е" первой квадратичной формы, главными кривизнами р и р7 и углом и одной из линий кривизны и координатной линии на поверхности. Последние три величины определяются коэффициентами первой и второй квадратичных форм поверхности. Отсюда следует вывод об определяемости поверхности коэффициентами первой и второй квадратичных форм, [26], с. 30; [39].

Систему дифференциальных уравнений с частными производными для отыскания поверхности r(u, v) по коэффициентам первой квадратичной формы Edu2+2Fdudv+Gdv2 и второй квадратичной формы Ldu2+2Mdudv+Ndv2 можно получить, см. [6], с. 448-449, 451, 456, по деривационным формулам Гаусса и Вейнгартена

Гии — IV» + rV„ + Lm, ruv = Г}2Г« + Г V + Mm, rvv = T\2ru + T222rv + Nm, mu = -GgnL + g12M)ru - (g12L + g22M)rv, k mv = —(gnM + g12N)ru - {g12M + g22N)rv.

Сюда нужно добавить выражения для символов Кристоффеля Г^- и символов gli через коэффициенты Е, F, G первой квадратичной формы поверхности и их производные. При этом система уравнений становится плохо обозримой. Далее в [6], с. 458, приводится схема доказательства теоремы Бонне.

Системы дифференциальных уравнений с частными производными с коэффициентами для получения функции r(u,v), описывающей поверхность, обычно приводятся частично в интересах обозримости системы в [44], с. 112; [43], с. 156, 157; [54], с. 288. В тензорном виде система дифференциальных уравнений с частными производными приводится в [36], с. 212:

Oif= п, ■ V/, = hijn, t diii = —h'-fk.

Каждая строка здесь есть некоторая система уравнений. Доказательства теоремы Бонне содержатся в [44], с. 112-117; [63], с. 286-288; [36], с. 212-214; [56], с. 133-135; [43], с. 156-159. Как правило, при доказательстве сначала находятся векторы подвижного репера поверхности (P,ru,rv,rh), где Р точка поверхности т = - единичный вектор нормали поверхности, а затем и функция r(u,v), описывающая поверхность. В [56] вводятся инварианты I\ — U поверхности и по ним отыскивается поверхность, в [36] используются тензорные методы.

Теорема Бонне доказана в позапрошлом веке для поверхностей евклидова пространства. Для поверхностей в других пространствах, в частности галиле-ева пространства, аналогичные утверждения, видимо, подробно не изучались.

Геометрия пространства Галилея изучена еще недостаточно глубоко. Видимо, трудности в ее изучении связаны со своеобразием галилеевой метрики (точнее, квазиметрики, т.к. она не является метрикой в традиционном смысле см. [28]), хотя имеется настоятельная потребность приложений геометрии Галилея в механике Галилея-Ньютона, см., например, книгу В.И. Арнольда [1]. В указанной книге автор вводит понятие галилеевой структуры, [1], с. 13. Га-лилеева пространственно - временная структура включает в себя следующие три элемента:

1) Мир - четырехмерное аффинное пространство А4. Точки А4 называются мировыми точками или событиями. Параллельные переносы мира А4 образуют линейное пространство R4.

2) Время - линейное отображение t : R4 —> R линейного пространства параллельных переносов мира на вещественную "ось времени". Промежутки времени от события а Е А4 до события be А4 называется число t(b-a). Если t(b — а) = 0, то события а и b называются одновременными.

Множество событий, одновременных друг с другом, образуют трехмерное аффинное подпространство в А4. Оно называется пространством одновременных событий А3.

Ядро отображения t составляют параллельные переносы А4, переводящие какое-нибудь (и тогда любое) событие в одновременное с ним. Это ядро является трехмерным линейным подпространством R3 линейного пространства R4.

Галилеева структура включает в себя еще один элемент.

3) Расстояние между одновременными событиями р(а,Ь) = ||а - Ь|| = \J(a-b,b- a),a,b е А3, заданное скалярным произведением в пространстве R3. Это расстояние превращает каждое пространство одновременных событий в трехмерное евклидово пространство Е3.

Пространство А4, снабженное галилеевой пространственно - временной структурой, называется галилеевым пространством.

Изложения геометрии плоскости Галилея содержатся в работах И.М. Яг-лома и Б.А. Розенфельда [58], [50]. По терминологии в [48], галилеева метрика относится к квазиметрикам и геометрия Галилея относится к квазиэллиптическим и квазигиперболическим пространствам, см. [49], с. 322 - 324. Первой работой по таким геометриям является статья В. Бляшке [59]. Д. Соммервиль в это время провел классификацию пространств с проективной метрикой, где выделены и пространства с квазиметриками, [71]. Важнейшим из 2- квазиэллиптических пространств является галилеево пространство. В 4-мерном пространстве этого типа реализуется геометрия пространства-времени классической механики Галилея - Ньютона, чем и объясняется название этого пространства. Галилеево пространство рассматривалось JI. Зильберштейном в 1925 году, [70], и Александром Петровичем Котельниковым в 1927 году, [29].

Свойства плоскости Галилея исследованы Н.М. Макаровой в [30], [31], [32], [33]. Имеется изложение этой планиметрии [58], изданное в 1969 году. В научной литературе рассматриваются и близкие к плоскости Галилея полуевклидова плоскость [7], [51], флаговая плоскость [48], [51]. Полученные до 1969 года результаты актуальны до сих пор, о чем говорит изданная недавно книга [58] на английском языке.

В 1986 году опубликованы работы А.И. Долгарева по одулярной галилее-вой геометрии [9], [11]. По 3-мерной геометрии Галилея опубликована работа [13], по одулярной галилеевой геометрии (в том числе и по коммутативной геометрии Галилея) имеется монография [10]. Одулярные галилеевы геометрии строятся в схеме Г. Вейля на основе аффинного пространства или на 3-мерном действительном многообразии R3. (Аксиоматику Г. Вейля см. в [4]). Современное состояние одулярной галилеевой геометрии охарактеризовано в докладах на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова в Абрау-Дюрсо, проведенной 5-11 сентября 2006, [12].

В работах А.И. Долгарева [10], [13], была построена геометрия 3-мерного пространства - времени Галилея. Эта геометрия построена на 3-мерном аффинном пространстве посредством введения галилеева скалярного произведения векторов. При этом линейное пространство аффинного пространства превращается в галилеево векторное пространство, а аффинное пространство становится пространством Галилея. Выделены временная и пространственная составляющая векторов. Пусть г = (t,x,y) произвольный вектор, тогда первая координата t есть время, координаты х, у являются пространственными. Если t Ф 0, то галилеев модуль \г\ вектора f равен \t[, если t = 0, то \г\ — \/х2 + у2. Это галилеева норма вектора г. Галилеева норма относится к квазинормам, ее свойства отличны от наиболее распространенной евклидовой нормы. Для двух векторов т\ = {t\,Xi,yi) и Г2 = ^2,^2^2) имеем вектор суммы г"1+7*2 = (ti+t2,X\+X2,yi+y2). Векторы неколлинеарны при f\ ф mf2, где m некоторое число. Если t\ > 0 и ^ > 0, то для временных составляющих векторов выполняется равенство \t\ + t2\ = \ti\ + \t2\, что означает для векторов |г1+г2| = \f[\ + \r2\. Следовательно, в галилеевом векторном пространстве существуют неколлинеарные векторы г[ и Г2 с указанным свойством. Таким образом, для векторов с галилеевой нормой не выполняется неравенство треугольника, согласно которому в евклидовом векторном пространстве для не-коллинеарных векторов имеется неравенство + гг| < |п| + |гг|. Пусть А = (а, а1, а2), В = (Ь, Ь1, Ь2) произвольные точки пространства - времени Галилея. Они определяют вектор АВ — (b — а, Ь1 — а1, Ъ2 — а2). Галилеевым расстоянием \АВ\ между точками А к В называется

АВ\ = |Ь — а\, если b ф а;

АВ\ = \J(bl - о1)2 + (Ь2 — а2)2, если b = а.

Задача, которая рассматривается в настоящей работе, эта задача получения и исследование уравнений поверхности в 3-х мерном пространстве-времени Галилея, по коэффициентам ее первой и второй квадратичных форм. Это инвариантное определение поверхности - независящее от выбора системы координат.

Задача сводится к решению системы дифференциальных уравнений в частных производных. Составляется два вида систем дифференциальных уравнений:

• на основе деривационных формул поверхности;

• на основе определений коэффициентов первой и второй квадратичных форм поверхности.

При заданных начальных условиях указанные коэффициенты определяют единственную поверхность.

В настоящей работе решается задача, имеющая большое значение в геометрии Галилея. По деривационным формулам поверхности и по формулам коэффициентов квадратичных форм поверхности составлены системы дифференциальных уравнений с частными производными. В результате аналитического решения этих систем уравнений получены компоненты уравнений поверхности, то есть системы дифференциальных уравнений задают поверхность инвариантно. Такое задание поверхности в евклидовом пространстве получено в конце XIX века независимо К.М. Петерсоном и О. Бонне. В настоящей работе решена указанная задача для поверхности пространства -времени Галилея. В других пространствах задача видимо не рассматривалась. В диссертации рассмотрен случай, в котором коэффициенты квадратичных форм поверхности постоянны. При этом изменились условия интегрируемости систем дифференциальных уравнений.

Решаются аналитически следующие системы дифференциальных уравнений: х 1 + У1 = Е, хии

Шит -А-1/

2 ехи у/ёуи и система уравнении

Уии 2

Xut ~ 2ЕХи ~ ~ЗЕ)Уи1 Уut = 2ЕУп ~JeXuI Q

Xtt = Q

Уи = ~JEXu'I x2u + y2u = E, иУии Уи%ии ~ AVE,

ХиУы ~ yuxut = Ву/Ё, ХиУи - yuXtt = CVE.

1.25)

1.40)

Здесь E = E(u,t),A = A(u,t), В = B(u,t), С = C(u,t) коэффициенты квадратичных форм поверхности.

В качестве приложения метода решения составленных систем дифференциальных уравнений с частными производными приведены примеры решений систем уравнений, которые имеют заданные коэффициенты.

Содержание работы по главам

Работа состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы.

Первая глава посвящена решению системы дифференциальных уравнений с частными производными в общем виде, инвариантно описывающая регулярную поверхность 3-мерного пространства - времени Галилея.

В разделе 1.1 приводятся необходимые сведения по геометрии 3-мерного пространства - времени Галилея, известные из литературы: галилеево скалярное произведение векторов, галилеева норма векторов (свойства которой отличны от свойств евклидовой нормы); выписаны регулярные поверхности в естественной параметризации с галилеевыми касательными плоскостями. Выделены временная и пространственная составляющие поверхности. Пространственная составляющая поверхности, которая является проекцией поверхности на область евклидовой плоскости, однозначно определяет поверхность пространства - времени Галилея. Выписана первая квадратичная форма поверхности. Она определяет галилееву метрику на поверхности и метрическую функцию поверхности. Приведена вторая квадратичная форма поверхности. Она определяет кривизну поверхности. Выписаны деривационные формулы поверхности и формулы Гаусса - Петерсона - Кодацци.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Долгарев, Иван Артурович, 2007 год

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. - М.: Наука, 1989. - 472с.

2. Сборник задач по дифференциальной геометрии / И.В. Белько и др.]. -М.: Наука, 1979. 272с.

3. Бляшке В. Введение в дифференциальную геометрию / В. Бляшке. М.: Гостехиздат, 1987. - 224с.

4. Вейль Г. Пространство. Время. Материя. Лекции по общей теории относительности / Г. Вейль. 2-е изд., - М.:Едиториал УРСС, 2004. -456 с.

5. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов / И.Н. Векуа. М.: Наука, 1978. - 296с.

6. Выгодский М.Я. Дифференциальная геометрия / М.Я. Выгодский. М.-JL: Гостехиздат, 1949. - 512с.

7. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения / Л.И. Головина. 4-е изд., - М.: Наука, 1985. - 392с.

8. Сборник задач по дифференциальной геометрии / А.А. Гусак и др.]. -Минск, 1963. 108с.

9. Долгарев А.И. ЕМ-пространство / А.И. Долгарев // Исследования по теории поверхностей в многообразиях знакопостоянной кривизны. Л.: ЛГПИ, 1987. - С. 17-27.

10. Долгарев А.И. Элементы дифференциальной галилеевой геометрии и одуль галилеевых преобразований. / А.И. Долгарев. Саранск: Средневолжское математическое общество, 2003. Препринт 63. - 116с.

11. Долгарев И.А. Поверхности одулярного галилеева пространства с диссоном / И.А. Долгарев, А.И. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. 2005. - N6 (21). - С. 84-99. -(Естественные науки).

12. Долгарев И.А. Нахождение поверхности в 3-мерном пространстве Галилея по ее квадратичным формам / И. А. Долгарев // Известия высших учебных за-ведений. Поволжский регион. 2006. - N5 (26). - С. 51-60. -(Естественные науки),

13. Долгарев И.А. Получение поверхности 3-мерного галилеева пространства с растраном по коэффициентам ее квадратичных форм / И.А. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. 2007 -N6. - С. 17-31. - (Естественные науки).

14. Долгарев И.А. Движение материальной точки по поверхности пространства Галилея / И.А Долгарев, Ю. Г. Смирнов // Актуальные проблемы математики и методики преподавания математики : межвузовский сборник научных работ Пенза : изд-во ПГТА, 2007. - С. 3-6.

15. Долгарев И.А. Основные уравнения поверхностей пространства с диссоном / И.А. Долгарев, А.И. Долгарев // Дифференцируемые многообразия фигур. Межвуз.тематич. сб. научн. трудов. Вып. 38. -Калининград: КГУ, 2007. Принята к печати.

16. Долгарев И.А. Кривые 4-мерного пространства-времени Галилея / И.А. Долгарев, А.И. Долгарев // Известия высш. учебных завед. Поволжский регион. Сер. Естественные науки, 2007. принята кпечати

17. Долгарев И.А. Некоммутативное галилеево пространство с сибсоном и с 2-мерным временем / И.А. Долгарев, А.И. Долгарев // Гиперкомплексные числа в геометрии и физике. Принята к печати.

18. Дубровин Б.А. Современная геометрия / В.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. М.: Наука, 1979. - 760с.

19. История отечественной математики: в 4 т. Т.2. / под ред. E.JI. Орлик, Т.С. Мельник. Киев: Наукова думка, 1967. - 616с.

20. Кобаяси Ш. Основы дифференциальной геометрии: в 2 т. / Ш. Кобаяси, К. Номидзу. М.: Наука, 1981. Т1 - 344с. Т2 - 416с.

21. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М.: Наука, 1976. - 544с.

22. Котельников А.П. Принцип относительности и геометрия Лобачевского. / А.П. Котельников. В кн.: In memoriam N. I. Lobatschevskii, Т. 2. Казань, 1927. - С. 37-66.

23. Макарова Н.М. Геометрия Галилея Ньютона: в 3 ч. / Н.М. Макарова // Ученые записки Орехово-Зуевского пединститута 1, вып. 1 (1955), С. 83-95; 7, вып. 2 (1957), С. 7-27; 29-59.

24. Макарова Н.М. Двумерная неевклидова геометрия с параболической метрикой длин и углов. Дис, . канд. физ.-мат. наук. / Н.М. Макарова // Л.: ЛГПИ, 1962 - 98с.

25. Макарова Н.М. К теории циклов параболической геометрии на плоскости / Н.М. Макарова // СМЖ 2, N 1, 1961. С. 68-81.

26. Макарова Н.М. Кривые второго порядка в плоской параболической геометрии / Н.М. Макарова // Вопросы дифференциальной и неевклидовой геометрии (Ученые записки Моск. гос. пед. ин-та им. Ленина). М., 1963.- С. 222-251.

27. Задачи по геометрии / С.П. Новиков и др.]. М.: Изд-во МГУ, 1978. -164с.

28. Новиков С.П. Элементы дифференциальной геометрии и топологии / С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. М.: Наука, 1987. - 432с.

29. Норден А.П. Теория поверхностей / А.П. Норден. М.: Гостехиздат, 1956.- 260с.

30. Павлов Д.Г. Хронометрия трехмерного времени / Д.Г. Павлов // Гиперкомплексные числа в геометрии и физике. 2004. - N 1. - С. 20 -32.

31. Пелипенко М. Элементы геометрии Галилея / М. Пелипенко // Сб. трудов 48 научн. конф. ТГПИ. Таганрог: Изд-во ТГПИ, 2005. С. 18 - 20.

32. Петерсон К.М. Об изгибании поверхностей. Рассуждение на соискание степени кандидата /К.М. Петерсон // Историко-математические исследования, вып. V, М.: Гостехиздат, 1952. С. 87-133.

33. Петерсон К.М. Об изгибании поверхности / К.М. Петерсон // Историко-математические исследования, вып. VI, М.: Гостехиздат, 1953.

34. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными // И.Г. Петровский. М - Л.: Гостехиздат, 1950 - 303с.

35. Погорелов А.В. Геометрия. / А.В. Погорелов. М.: Наука, 1983. - 288с.

36. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия / А.В. Погорелов. М.: Наука, 1974. - 176с.

37. Позняк Э.Г. Дифференциальная геометрия / Э.Г. Позняк, Е.В. Шикин.- М.: Изд-во МГУ, 1990. 384 с.

38. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии / П.К. Рашевский.- М.: Гостехиздат, 1956. 420с.

39. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П.К. Рашевский. М.: Наука, 1967. - 664 с.

40. Розендорн Э.Р. Теория поверхностей / Э.Р. Розендорн. Изд. 2. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 304 с.

41. Розенфельд Б.А. Геометрия групп Ли. Симметрические, параболические и периодические пространства / Б.А. Розенфельд, М.П. Замаховский. -М.: МЦНМО, 2003. - 560 с.

42. Розенфельд Б.А. История неевклидовой геометрии / Б.А. Розенфельд. -М.: Наука, 1976. 408с.

43. Розенфельд Б.А. Неевклидовы геометрии / Б.А. Розенфельд, И.М. Яглом // В кн. Энциклопедия элементарной математики. Книга V. Геометрия. С. 394 - 475.

44. Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства / Б.А. Розенфельд. М.: Наука, 1969. - 548с.

45. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений / В.В. Степанов. -Изд. 8.-М.: Физматлит, 1959. 468с.

46. Стройк Д.Я. Очерк истории дифференциальной геометрии (до XX столетия) / Д.Я. Стройк. Изд. 2. - М.: КомКнига, 2006. - 80с.

47. Фиников С.П. Курс дифференциальной геометрии // С.П. Фиников. -Изд. 2. М.: КомКнига, 2006. - 344с.

48. Хачатурян А.В. Геометрия Галилея / А.В. Хачатурян. М.: Изд. МЦНМО, 2005. - 36с.

49. Щербаков Р.Н. Краткий курс дифференциальной геометрии / Р.Н. Щербаков, А.А. Лучинин. Томск: Изд-во ТГУ, 1974. - 250с.

50. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. / Л.Э. Эльсгольц. Изд. 2. - М.: Наука, 1969. - 424с.

51. Яглом И.М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия / И.М. Яглом. М. Наука, 1969. - 394с.

52. Blaschke W. Eukliddische Kinematik und nichteuklidische Geometrie. / W. Blaschke Math. Phys., 1911, 60, 61-91.

53. Bonnet O. Memoire sur la theorie des surfaces applicables sur une surface don-nee./O. Bonnet Journ. Ec. Polyt., 24 (cah.41,1865). - p. 209-230; 25(cah.42, 1867), p.l.

54. Codazzi D. Memorie relatif a l'application des surfaces les unes sur les autres. /D. Codazzi Mem. pres. par div. sav. 27(1882).

55. Codazzi D. Sulle coordinate curvilinee d'una superficie e dello spazio, I,II,III. /D. Codazzi// Annali di Matem. 1(1867-1868), p.310; 2(1868-1869), p. 101119, 269-287.

56. Euler L. De solidis quorum superficiem in planum explicare licet / L. Euler -Nova Comm. Petrop. 16, 1771. p. 3-34.

57. Gauss C.F. Neue algemeine Untersuchungen uber die krummen Flachen. /C.F. Gauss (1825), Gauss Werke, VIII, - S. 408.

58. Gauss C.F. Untersuchungen uber hohere Geodasie, I, II. / C.F. Gauss Gotin-gen, Abh. 2 (1844), 3 (1847); Gauss Werke, IV, - S. 259-300, 301-340.

59. Mainardi G. Su la teoria generale delle superficie. /G. Mainardi Giorn. Istit Lombardo, 9(1856). - p. 385-398.

60. Monge G. Memoire sur les developpees, les rayons de courbures et les dif-ferents genres d'inflexion des courbes a double courbure. /G. Monge Mem. div. sav. 1785, - p. 511-550.

61. Monge G. Sur lesproprietes de plusieurs genres de surfaces courbes, parti-culierement sur celles des surfaces developpbles, avec une application a la theorie des ombres et pemombres. /G. Monge Mem. div. sav. IX. 1780, -p.595-624.

62. Silberstein L. Projektive geometry of Galilean space-time. / L. Silberstein -Philos. Mag., 1925, 10. C. 681-696.

63. Sommerville D.M.Y. Classification of geometries with projective metrics. /D.M.Y. Sommerville Proc. Edinburg Math. Soc., 1911, 28, 25-41.

64. Stackel P. Bibl. mathematica (3)/ P. Stackel 2(1901).