Сходимость и расходимость почти всюду рядов Фурье по переставленным системам Уолша и Виленкина тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Поляков, Игорь Викторович

• Поляков, Игорь Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Поляков, Игорь Викторович

Оглавление

Введение

0.1 История исследований в области сходимости почти всюду рядов Фурье

0.2 Расходимость рядов Фурье

0.3 Методы суммирования рядов Фурье

0.4 Структура и краткое содержание диссертации

1 Основные определения и вспомогательные утверждения

1.1 Системы Уолша и Виленкина

1.2 Шипповские перестановки системы Уолша-Пэли

1.3 Аналог Шипповских перестановок для системы Виленкина-Пэли, условие блочности

1.4 Специальные классы Шипповских перестановок Р и {Рк}, к — 1,

1.5 Ряд Фурье и его средние

1.6 Сублинейные операторы сильного и слабого типов на пространствах интегрируемых функций

2 Расходимость почти всюду для перестановок системы Уолша

2.1 Обобщение оценки Шнейдера для ядер Дирихле по системе Уолша-Качмажа

2.2 Примеры расходящихся почти всюлу рядов Фурье по системе Уолша-Качмажа

2.3 Пример расходящегося ряда Фурье по перестановке системы Уолша

из класса Р^

2.4 Пример расходящегося ряда Фурье по перестановке системы Уолша

из класса Р

3 Расходимость почти всюду для системы Виленкина

3.1 Обобщение примера Бочкарева для системы Виленкина

4 (С, 1)— суммируемость

4.1 Равномерная (С,1) суммируемость по переставленной системе Уолша

4.2 Поточечная (С,1) суммируемость для системы Виленкина-Качмажа

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сходимость и расходимость почти всюду рядов Фурье по переставленным системам Уолша и Виленкина»

Введение

Одним из направлений теории ортогональных рядов является проблема поточечной сходимости ( расходимости ) ряда Фурье интегрируемой функции к данной функции. Диссертация продолжает исследования в этом направлении. Изучаются вопросы расходимости рядов Фурье интегрируемой функции по системам Уолша и Виленкина и их перестановкам. Также изучаются вопросы поведения (С, 1) средних ряда Фурье по системам Уолша и Виленкина.

0.1 История исследований в области сходимости почти всюду рядов Фурье

Изучение проблемы поточечной сходимости рядов Фурье впервые началось в теории тригонометрических рядов. В 1915 году H.H. Лузин публикует свою диссертацию "Интеграл и тригонометрический ряд" [1] ( [2]). К числу основных результатов работы [1] принадлежит критерий сходимости почти всюду интегрируемой с квадратом функции:

Теорема I (Лузин). Пусть / 6 L2[О, 2П). Тогда ее ряд Фурье сходится почти всюду тогда и только тогда, когда почти всюду выполнено соотношение

сопряженная функция к /.

Отметим, что в работе [1] доказана

Теорема II (Лузин). Для всякой функции / € Ь2[0,2П) ее сопряженная функция существует и также принадлежит Ь2[0,211).

(0.1)

где

В качестве следствия данного факта легко видеть, что для всякой / € Ь2[0,2П) предел

существует почти всюду и является функцией из L2[0, 2П). Сравнивая формулы (0.1) и (0.2) и заметив, что интегралы в них отличаются множителем cosna, который "принимает положительные и отрицательные значения, равномерно распределяющиеся на области [0,2П), когда п стремится к +оо ..." ( [2]), Лузин выдвигает гипотезу, что ряд Фурье любой функции из L2[0, 2П) сходится почти всюду.

В 1922 году А.Н. Колмогоров [3], исследуя проблему Лузина, построил первый отрицательный пример в данном направлении:

Теорема III (Колмогоров). Существует / € L[0, 2П), ряд Фурье которой по тригонометрической системе расходится почти всюду.

Как отмечено в [3], построенная функция не принадлежит £2[0,2П). Колмогоровым, Селиверстовым [4] и Плеснером [5] впервые была получена оценка в положительном направлении:

Теорема IV (Колмогоров, Селиверстов, Плеснер). Если / принадлежит Ь2[0,2П); то почти всюду выполнено

Дж. Литтлвуд и Р. Пэли [6] обобщили эту оценку для более широких классов функций:

Теорема V (Литтлвуд, Пэли). Если / принадлежит Ьр[0,2П); р > 1, то почти всюду выполнено

Данная Теорема является обобщением классической оценки [7]: Теорема VI (Харди). Если / принадлежит Ь[0,2П), то почти всюду выполнено

Результат Литтлвуда и Пэли до середины 60-х годов прошлого века оставался наиболее сильным и общим результатом в положительном направлении изучения проблемы Лузина. Истинность гипотезы Лузина не была даже установлена для непрерывных функций.

В 1966 году Л. Карлесон, используя новый метод, установил справделив'ость гипотезы Лузина. В его работе [8] было установлено несколько результатов.

(0.2)

S„(f, X) = 0((lnn)5)

Sn(f, х) = o((lnn)p)

Sn(f,x) = o(lnn).

Теорема VII (Карлесон). Положим 1п+ и = 1п(и + 2). Если / е L(ln+ L)1+s{[0,2П)), 5 > 0, то почти всюду

Sn(x, /) = o(lnlnn).

Логарифм здесь и далее понимается по основанию 2.

Теорема VIII (Карлесон). Если / е L1+6([0, 2П)), S > 0, то почти всюду

Sn(x,f) = o(lnlnlnn).

Теорема IX (Карлесон). Если / € Ь2[0,2П), то ее ряд Фурье сходится к ней почти всюду.

Система Уолша была введена в работе [9] в 1923 году. Данное в ней определение было рекурсивным и не использовало функции, введенные Радемахером в 1922 году [10]. Первым, кто понял, что функции Уолша являются произведениями функций Радемахера, был Пэли. Нумерация, предложенная им в 1932 году [11], на сегодняшний день является наиболее изученной. Также широко известна нумерация Качмажа, введенная Шнейде-ром в 1948 году [12]. В работе [13] было введено понятие кусочно-линейных перестановок системы Уолша-Пэли, с помощью которых могут быть получены нумерация Качмажа и оригинальная нумерация самого Уолша.

П. Биллард перенес метод Карлесона на случай системы Уолша в нумерации Пэли [14].

Теорема X (Биллард). Если / G L2[0,1), то ее ряд Фурье-Уолша сходится к ней почти всюду.

Исследования Карлесона были развиты Хантом [15] в 1968 году. Пусть

M(f, х) = sup \Sn(f, ж)| -

п> i

мажоранта частичных сумм тригонометрического ряда Фурье функции /. Обозначим через If(x) характеристическую функцию измеримого множества F С [0, 2П).

i 1, х е F;

Ых) = (0.3)

[О, х ф F.

Под |F| будем понимать Лебегову меру измеримого множества F. В работе [15] была получена оценка

\{х Е [0,2П) : M(IF,x) > у}| < (BPYy~p\F\, . (0.4)

где у > О, 1 < р < оо, Вр < С^—^. Из нее были получены следующие следствия:

Теорема XI (Хант). Выполнено

1. ||М(/,*)||Р < Ср||/||р при 1 < р < оо, / е ЬР([0,2П)),

при / е Ь(1п+Ь)2([0,2П))

5. |{я е [О, 2П) : М(/,х) > у}\ < Сехр(-^) при у > 0, / е Ь°°([0,2П)).

Из второй оценки данной теоремы следует

Теорема XII (Хант). Для всякой / 6 Ь(1п+ Ь)2([0, 2П)) ее ряд Фурье по тригонометрической системе сходится к ней почти всюду.

Для системы Уолша-Пэли оценки аналогичные (0.4) появились в работе П. Шели-на [16] в 1969 году. Им также было замечено, что путем выбора оптимального числа р для каждого у оценка (0.4) может быть приведена к виду

|{ж £ 17,М(1р, х) > у}\ < С— 1п 0 <у<~, (0.5)

У У 6

где и отрезок [0,2П) для тригонометрических мажорант и [0,1) для мажорант по системе Уолша-Пэли, С - абсолютная константа. С помощью этой оценки Шелиным были установлены:

Теорема XIII (Шелин). Для всякой / € Ь 1п+ Ь 1п+1п+Ь([0, 2П)) ее ряд Фурье по тригонометрической системе сходится к ней почти всюду.

Теорема XIV (Шелин). Для всякой / € Ь 1п+ Ь 1п+1п+¿([0,1)) ее ряд Фурье по системе Уолша-Пэли сходится к ней почти всюду.

Доказательство данных утверждений было проведено с помощью приближения / линейной комбинацией характеристических функций и использования оценки (0.5).

Антонов получал усиление данных результатов в 1996 и 2001 годах [17], [18]

Теорема XV (Антонов). Для любой

/ £ Ь 1п+ Ь 1п+ 1п+ 1п+ Ь([0, 2П)) ее ряд Фурье по тригонометрической системе сходится к ней почти всюду.

Теорема XVI (Антонов). Для всякой

/ е Ь 1п +Ь 1п+ 1п+ 1п+ Ь([0,1)) ее ряд Фурье по системе Уолша-Пэли сходится к ней почти всюду.

Усиление было достигнуто за счет применения конструкции, требующей лишь приближения частичных сумм ряда Фурье функции / линейной комбинацией характеристических функций, в то время как сама функция может ими и не приближаться. Результат для системы Уолша в 2003 году был независимо получен Шелиным и Сориа [19]. Метод, используемый для получения теорем XV и XVI, был в дальнейшем разработан Антоновым для последовательностей операторов более общего вида [18], [20].

Бочкарев получил усиление классической оценки Харди для системы Уолша-Пэли [21]:

Теорема XVII (Бочкарев). Для всякой интегрируемой f, для любого е > 1 почти всюду выполнено

^(ж,/) = о(У&(1п1пп)е).

Гипотеза Лузина для мультипликативных систем, введенных Виленкиным [22], в случае рг = р для всех % была доказана Хантом и Тейблсоном в [23]. Для случая ограниченной последовательности {р.^} - Госселином в [24]. В работе [24] фактически содержится доказательство оценки (0.4) для случая мультипликативных систем построенных по ограниченной последовательности {Рг}. В связи с чем результаты Антонова дают следствие:

Теорема XVIII. Для всякой функции

/еь 1п+ Ь 1п+ 1п+ 1п+ Ь([ 0,1))

и для всякой мультипликативной системы, построенной по ограниченной последовательности {рг}, ряд Фурье / по данной системе сходится к / почти всюду.

Сходимость рядов Фурье по системе Уолша также изучалась для различных нумераций этой системы. Для системы Уолша-Качмажа В.С.Юнг показал [25], что справедлива:

Теорема XIX (Юнг). Для всякой функции / из класса £(1п+ Ь)2{[0,1)) ее ряд Фурье-Уолша-Качмажа сходится к ней почти всюду.

Сходимость рядов Фурье по произвольным-кусочно линейным перестановкам изучалась Шиппом [26]. Им была доказана

Теорема XX (Шипп). Для всякой функции ¡из класса 1?({0,1)) ее ряд Фурье по произвольной кусочно-линейной перестановке системы Уолша сходится к данной функции почти всюду.

В работе [27] был введен специальный класс перестановок системы Виленкина-Пэли, расширяющий понятие кусочно-линейных перестановок системы Уолша-Пэли. Для всех перестановок системы Виленкина-Пэли из данного класса была получена

Теорема XXI (Госселин, Енг). Пусть {х} - переставленная система Виленкина-Пэли, тогда

||^/||9<С9||/||9, 2<д<оо.

Для всякой / € Ьг(Ср) частные суммы ее ряда Фурье по системе {х} сходятся к / почти всюду.

Из данного класса перестановок был выделен специальный подкласс перестановок, удовлетворяющих условию блочности. Для данного подкласса была показана

Теорема XXII (Госселин, Юнг). Пусть {х} - переставленная система Виленкина-Пэли, тогда

Ц^'711, <а,||/||„ 1 < д < оо, \\БХ'*П\1<С [ |/|(1п+|/|)3 + С, /еД1п+Ь)3,

Если выполнено §Ср |/|(1п+ |/|)21п+ 1п+ |/|, то частные суммы ряда Фурье функции / по системе {х} сходятся к / почти всюду.

0.2 Расходимость рядов Фурье

Как уже упоминалось выше, Колмогоров построил пример интегрируемой функции, ряд Фурье которой расходится почти всюду. Им же в работе [28] был построен пример, в котором уже была расходимость всюду. С данных примеров многими исследователями были начаты попытки получения примеров функций с наложенными на них дополнительными условиями и нехорошим поведением частичных сумм их рядов Фурье по тригонометрической и другим системам. Прохоренко [29] и Чень [30] построили примеры функций из

классов L(Ln+Ln+L)e([0,2П)), 0 < е < 1 с расходящимися почти всюду рядами Фурье по тригонометрической системе. Бочкарев [31] получил аналог теоремы Колмогорова для широкого класса ортонормированных систем.

Теорема XXIII (Бочкарев). Для любой ортонормированной на отрезке, ограниченной в совокупности системы функций существует ряд Фурье-Лебега, расходящийся на множестве положительной меры.

Для тригонометрических рядов Тандори показал [32], что справедлива

Теорема XXIV (Тандори). Для всякого 0 < е < 1 и для всякой последовательности положительных чисел Хп = o((lnlnn)1_e) найдется функция f из класса 1/(1п+ 1п+ Ь)б([0,2П)); такая что всюду

\sn(f,x)\

sup J—^-= +оо.

п п

Отсюда следует, что в результате Прохоренко и Ченя расходимость почти всюду можно заменить на расходимость всюду. Тотик [33] показал, что если в некотором классе F(L)([0,2П)) существует функция с тригонометрическим рядом Фурье, раоходящимся на множестве положительной меры, то в этом же классе найдется функция, ряд Фурье которой неограниченно расходится всюду. Как показал Казарян [34] этот результат не может быть обобщен для произвольной ортонормированной системы. Кернером [35] была получена

Теорема XXV (Кернер). Пусть ф : [0, оо) —> [0, оо) удовлетворяет условию

■ф(и) = o(lnln'u) при и —У оо, тогда существует функция из класса Li/j(L)([0,2П)) с расходящимся всюду рядом Фурье.

Наилучший на сегодняшний день результат, касающийся расходимости всюду для рядов Фурье по тригонометрической системе, принадлежит Конягину [36], [37].

Теорема XXVI (Конягин). Для всякой функции <р: [0, +оо) —[0, +оо) и последовательности {ф(т)} со следующими свойствами: функция ip(u)/u является неубывающей на (0,+оо); ф(т) ^ 1 (т = 1,2,...) и <р(т)ф(гп) = о(тл/1пт/л/1пInт) при т оо, найдется функция f G L[—tt,tt] такая, что

/7Г

ip(\f(x)\)dx < оо

•7Г

и Итвирт_>со 5*т(/, х)/ф{т) — оо для всех х Е [—7г,тг]; где Зт(/) - т-я частная сумма тригонометрического ряда Фурье функции /.

В частности, верно следующее утверждение.

Теорема XXVII (Конягин). Для всякой функции (р: [0,+оо) —[0,+оо) со следующими свойствами: функция (р(и)/и является неубывающей на (0,+оо) и (р(т) — о(ту/ 1п т/у/ 1п 1п т) при т —оо, найдется функция / 6 Ь[—ж,ж] такая, что

/77

</?(|/(ж)|)сЬ < оо,

-7Г

и ее рл<? Фурье неограниченно расходится всюду.

Для системы Уолша-Пэли наиболее сильный результат был получен Бочкаревым [38], [39].

Теорема XXVIII (Бочкарев). Для всякой -Р(и) = и/(и), где /(и) - неубывающая непрерывная на [0, оо) функция, /(0) = 1 и /(и) удовлетворяет условию

/(и) = О (у/Ищи), при и —>■ оо,

существует такая функция д Е Е(Ь), ряд Фурье-Уолша-Пэли которой расходится всюду на [0,1).

Предложенная Бочкаревым конструкция позволила также установить следующие результаты:

Теорема XXIX (Бочкарев). Если возрастающая последовательность чисел {А„} удовлетворяет условию

А„ = о (л/Ьп) при п —У оо, то существует / Е Ь([0,1)) такая, что для всех х Е [0,1)

г 1Я(/,*-)1

птвир---= оо.

Теорема XXX (Бочкарев). Существует функция / из Ь([0,1)) такая, что ее модуль непрерывности в Ь\ удовлетворяет условию

но ряд Фурье-Уолша функции / всюду расходится.

Отметим что результат Коиягииа для тригонометрической системы (теорема XXVII) является менее точным чем его аналог для системы Уолша-Пэли ( теорема XXVIII ).

Теорема XXVIII является усилением ранее известного результата Муна [40], который построил пример функции из класса L(ln+ ln+)1_eL, ряд Фурье - Уолша - Пэли которой расходится почти всюду. Исторически же первый пример интегрируемой функции, ряд Фурье-Уолша-Пэли которой расходится всюду, был построен Шиппом в 1969 году [41], [42]. Ему предшествовал результат Стейна [43] о существовании интегрируемой функции, ряд Фурье-Уолша-Пэли которой расходится почти всюду. Для мультипликативной системы примеры расходящихся всюду рядов Фурье построены Хеладзе [44], в случае, когда последовательность {pi} ограничена, и Симоном [45] в общем случае. Автором были продолжены данные исследования [46], с использованием метода, разработанного Бочкаревым. Было показано ( Теорема 3.1 данной диссертации ), что для всякой F(u) = uf(u), где f(u) - неубывающая непрерывная на [0, оо) функция, /(0) = 1 и f(u) удовлетворяет условию f(u) = о(-\/(1°Sи)) ПРИ и ^ оо, существует функция д G F(L), у которой ряд Фурье по системе Виленкина расходится всюду в [0,1).

Для нумерации Уолша-Качмажа были получены более сильные результаты о расходимости всюду, чем для нумерации Пэли. Это связано с тем, что свойства ядер Дирихле в нумерации Качмажа существенно отличаются от свойств ядер Дирихле в нумерации Пэли [12], для которых верна оценка ( см. [47] стр. 28 ): Dn(x) < \ при всех х отличных от нуля. Для ядер же Дирихле-Качмажа найдется константа С > 0, такая что

Dx

lim sup > С для почти всех х G [0,1]. (0.6)

п—>оо Ши

В работе Балашова [48] данная оценка использована для получения следующих утверждений:

Теорема XXXI (Балашов). Для любой последовательности w(n), монотонно убывающей к нулю, существует функция f & L[0,1], такая что

lim sup = оо для почти всех х G [0,1].

.„^оо w(n) in(n)

Теорема XXXII (Балашов). Для всякого е б (0,1) найдется функция / из класса L(ln+ L)1_6[0,1], ряд Фурье-Уолша-Качмажа которой имеет монотонные коэффициенты и расходится почти всюду в [0,1].

Отметим, что для системы Уолша-Пэли всякий ряд с монотонными коэффициентами, которые стремятся к нулю, сходится всюду, за исключением, быть может, нуля. Это впервые было отмечено Шнейдером в [12]. Результат Балашова показывает, что для нумерации Качмажа это свойство не выполняется.

Автором получено обобщение оценки (0.6) в лемме 2.1 данной диссертации. Было доказано, что для всякой положительной и возрастающей последовательности {Ате}, такой что

оо ^

ОО

выполнено:

Dx(x)

limsup —2-= оо для почти всех х 6 [0,1].

П—>-СО

С использованием этого утверждения по методу Балашова в Теоремах 2.1 и 2.2 данной диссертации были получены следствия [49]:

1. Для всякой F (и) = uf{u), где f(u) - неубывающая непрерывная на [0, оо) функция, /(0) = 1 и f(u) удовлетворяет условию

f(u) = o(logM), при и —>■ оо,

существует такая функция g G F(L), ряд Фурье-Уолша-Качмажа которой имеет монотонные коэффициенты и расходится почти всюду на [0,1).

2. Для всякой положительной и возрастающей последовательности {Ап}, такой что

оо ^

Е—=

пХп

г,-1 "

найдется / из L(G), такая что

limsup | | _ QQ для почти всех х € [0,1].

п—>оо Лп

Определенный интерес также представляют вопросы расходимости для произвольных кусочно-линейных перестановок системы Уолша-Пэли. Автором было введено семейство классов {Рк}, к € N, для которых был получен аналог примера Муна [50], -а также класс Р, для которого была построена конструкция типа Бочкарева [51]. Доказаны следуюшие утверждения ( теоремы 2.3 и 2.4 данной диссертации ):

1. Пусть к - произвольное неотрицательное целое число. Система {Хп} получена из системы Уолша - Пэли с помощью некоторой перестановки из класса Pf.. Для всякого 1 > б > 0 найдется функция / е L(ln+ 1п+ L)1"'-, такая что S%f расходится почти всюду в G.

2. Пусть F(u) = uf{u), где f(u) - неубывающая непрерывная на [0, оо) функция, /(0) = 1 и f(u) удовлетворяет условию

f(u) = o(^/(logи)) при и —У оо.

Система {Хп} получена из системы Уолша с помощью некоторой перестановки класса Р. Тогда существует функция д € F(L), у которой ряд Фурье по данной системе расходится всюду в [0,1).

Помимо вопросов сходимости и расходимости почти всюду многими авторами исследовались вопросы безусловной сходимости. Первый результат в данном направлении был получен в работе Колмогорова и Меньшова [52], где было приведено утверждение, принадлежащее Колмогорову, о существовании расходящегося почти всюду после перестановки тригонометрического ряда из ¿2- Тандори получил усиление данного результата для системы Уолша в 1966 году [53].

Теорема XXXIII (Тандори). Пусть неубывающая последовательность положительных чисел Р{к) удовлетворяет условию

Р(к) =o(lnlnfc),

Тогда существует последовательность коэффициентов {о^} и перестановка натурального ряда а такие, что

оо

5>|P(fc)<oo,

k=1

но переставленный ряд Фурье-Уолша аа{к)'Фа{к){х) расходится почти всюду.

В дальнейшем данный результат неоднократно улучшался Накато [54], [55], который последовательно показал, что в качестве последовательности Р(к) можно взять у\ак, \/1п к In In к ■ • ■ In. „ In к, для произвольного натурального s.

s

Наиболее сильный результат в этом направлении для системы Уолша принадлежит Бочкареву [39].

Теорема XXXIV (Бочкарев). Пусть неубывающая последовательность положительных чисел Р(к) удовлетворяет условию

оо ^

Тогда существует последовательность коэффициентов {а^} и перестановка натурального ряда а такие, что

оо

Y,alP(k) < оо, k=1

но переставленный ряд Фурье-Уолша аа{к)Фа{к){.х) расходится всюду.

Данный результат был получен Бочкаревым еще в 1979 году [56], однако вместо расходимости всюду фигурировала расходимость почти всюду. Позже этот результат, с использованием другой конструкции, построил Накато [57].

Бочкареву также принадлежит аналогичный результат для мультипликативных систем [39], [58].

Отметим также, что в работах [56], [59] для системы Уолша и системы Виленкина, построенной по ограниченной последовательности простых чисел, было показано, что если модуль непрерывности w(ö) удовлетворяет условию

ОО / 1 ч

^nVlnn

тогда найдется / G Hw и перестановка натурального ряда а такие, что переставленный ряд Фурье J2T=i <4*0 (*о(ж) расходится почти всюду.

Насколько известно автору данной диссертации, в настоящий момент отсутствуют аналогичные теоремы для тригонометрической системы, о существовании функции из Hw, ряд Фурье которой расходится почти всюду после перестановки.

0.3 Методы суммирования рядов Фурье

Хорошо известна:

Теорема XXXV (Банах-Штейнгауз). Если последовательность непрерывных линейных функционалов {Fn}, определенных на банаховом пространстве X, ограничена в каждой точке, то последовательность норм этих функционалов также ограничена,

Одним из ее следствий является факт о существовании для произвольной точки отрезка [О, 2П) непрерывной функции, ряд Фурье по тригонометрической системе которой неограниченно расходится в этой точке. То же самое верно для системы Уолша в нумерации Пэли. Сходимость ряда Фурье в каждой точке можно получить лишь для функций с определенными ограничениями, например, на модуль непрерывности. В связи с этим интерес представляют различные регулярные методы суммирования числовых рядов в аспекте изучения рядов Фурье по различным системам. Регулярным называется метод, который суммирует сходящийся ряд к его сумме. Таким образом, можно ожидать что для некоторых функциональных классов может наблюдаться ситуация, когда ряды Фурье элементов данного класса не сходятся к значению функции, в то время как методы суммирования позволяют получить значение данной функции по ее ряду. Классическим методом суммирования числовых рядов является метод чезаровских средних (С, 1). Впервые данный метод для случая тригонометрических рядов был исследован Фейером [60].

Теорема XXXVI (Фейер). В каждой точке xq, в которой существуют пределы f(xо + 0), f(xо — 0) чезаровские средние ряда Фурье по тригонометрической системе сходятся к fixo+o)+f(x0-o) ^ ß СЛуЧае непрерывности функции / пределом является f(xо). Сходимость равномерна на каждом отрезке непрерывности /.

Также хорошо известна классическая теорема Лебега [61]:

Теорема XXXVII (Лебег). Пусть f е L([0,2П)); тогда чезаровские средние ее ряда Фурье сходятся к ней почти всюду.

Позже в 1912 году Бернштейном [62] были установлены оценки равномерного приближения липшицевых функций средними их рядов Фурье.

Теорема XXXVIII (Бернштейн). Пусть f Е Ыр(а), 0 < а < 1. Тогда равномерно

по х выполнено

Попытки примения данного метода к рядам Фурье-Уолша начались значительно позже. Так Файн [63] доказал аналог теоремы Фейера для системы Уолша-Пэли.

<Tn(f,x)-f(x) = 0(n~ay,

если же а — 1, то равномерно по х верно

Теорема XXXIX (Файн). Для всякой непрерывной функции / чезаровские средние ее ряда Фурье-Уолша-Пэли равномерно сходятся к /.

Однако ранее в терминах системы характеров она была получена Виленкиным [22]. Аналог теоремы Бернштейна для системы Уолша был доказан Яно в [64]. Доказательство аналога теоремы Лебега для системы Уолша-Пэли принадлежит Файну [65]. Вопросы сходимости чезаровских средних рядов Уолша-Качмажа изучались Скворцовым в [66]. Им был доказан аналог теоремы Фейера для системы Уолша-Качмажа. В работе [67] Скворцовым была дана оценка приближения интегрируемой функции ее (С, 1) средними в метрике пространства Ьр:

Теорема ХЬ (Скворцов). Пусть /(х) 6 Ыр(а,р), 0 < а < 1, 1 < р < оо. Тогда для всякой кусочно-линейной перестановки системы Уолша {%} выполнено

№Кх)-№\\Р = о(п-а).

При а — 1

1п т?

№№- т\р = о£-)

I1

Доказательство было проведено для более общего метода суммирования (С,/3). Позднее аналогичная оценка была показана Скворцовым для более общего случая системы Виленкина, построенной по ограниченной последовательности простых чисел [68].

Вопрос равномерной сходимости чезаровских средних ряда Фурье по произвольной кусочно-линейной перестановке системы Уолша изучен в данной диссертации ( см. Теорему 4.1 данной диссертации ).

Долгое время оставалось неизвестным, является ли справедливой теорема Лебега для системы Уолша-Качмажа, до тех пор пока в работах [69] и [70] не была исследована поточечная сходимость чезаровских средних рядов Фурье-Уолша-Качмажа и рядов Фурье-Виленкина-Качмажа:

Теорема ХЫ (Гатт). Пусть / е Ь([0,1)), тогда чезаровские средние ее ряда Фурье по системе Уолша-Качмажа сходятся к ней почти всюду.

Теорема ХЫ1 (Гатт). Пусть / 6 ¿([0,1)), система Виленкина-Качмажа построена по последовательности {р.;}, Рг — р для всех г. Тогда чезаровские средние ряда Фурье функции / по системе Виленкина-Качмажа сходятся к ней почти всюду.

Аналог системы Качмажа для произвольных мультипликативных систем может быть введен с помощью перестановок, рассмотренных в [71]. Автором данной работы была доказана теорема Гатта для более общих систем Виленкина-Качмажа [72] ( Теорема 4.2 данной диссертации ).

0.4 Структура и краткое содержание диссертации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора: [46], [49], [50], [51], [72], [74], [75], [76], [77], [78]. Диссертация изложена на 75 страницах. Она состоит из введения, 4 глав и списка литературы из 81 наименования. Каждая глава имеет нумерацию параграфов, а также двойную нумерацию формул и утверждений, принадлежащих автору: первое число означает номер главы, в качестве второго индекса выступает порядковый номер этого объекта в данной главе. Теоремы, не принадлежащие автору, нумеруются римскими цифрами.

Во введении содержится обзор исследований по тематике диссертации- и проводится краткий обзор содержания диссертации.

Первая глава посвящена определению основных понятий, используемых в тексте диссертации. В ней определяются системы Уолша и Виленкина и некоторые классы их перестановок. Для системы Уолша-Пэли введено понятие кусочно-линейной перестановки, с помощью которой могут быть получены нумерация Качмажа и оригинальная нумерация самого Уолша. Для системы Виленкина-Пэли введен аналог данного понятия. Также для данной системы введено понятие перестановки, удовлетворяющей условию блочности. Выделяются специальные классы кусочно-линейных перестановок системы Уолша-Пэли Р и Рк, для которых в дальнейших главах исследуются вопросы расходимости почти всюду ряда Фурье.

Вторая глава посвящена построению примеров функций, ряд Фурье-Уолша которых расходится почти всюду по некоторой перестановке системы Уолша-Пэли.

Параграф 2.1 посвящен доказательству следующего утверждения.

Лемма 2.1. Для всякой положительной и возрастающей последовательности {Ап}, такой что

выполнено:

Ii =00 для почти всех х € [0,1].

С помощью нее в параграфе 2.2 доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.1. Для всякой Р(и) — и/(и), где /(и) - неубывающая непрерывная на [0,оо) функция, /(0) = 1 и }\и) удовлетворяет условию

существует такая функция д е Р(Ь), ряд Фурье-Уолша-Качмажа которой расходится почти всюду на [0,1).

Теорема 2.2. Для всякой положительной и возрастающей последовательности {Ап}; такой что

В параграфе 2.3 доказана

Теорема 2.3. Пусть к - произвольное неотрицательное целое число. Система {Хп} получена из системы Уолша - Пэли с помощью некоторой перестановки из класса Pk-Для всякого 1 > е > 0 найдется функция f £ L(ln+ 1п+ такая что S*f расходится

почти всюду в G.

Параграф 2.4 посвящен доказательству следующей теоремы.

Теорема 2.4. Пусть F(u) = uf(u), где f(u) - неубывающая непрерывная на [0, оо) функция, /(0) = 1 и f(u) удовлетворяет условию

Система {хп} получена из системы Уолша с помощью некоторой перестановки класса Р. Тогда существует функция д £ ^(Ь), у которой ряд Фурье по данной системе расходится всюду в [0,1).

f(u) = o(logu), при и оо

найдется f из L(G), такая что

И :—| = оо для почти всех х е [0,1]

}'{и) = o(\/(logii)) при и —> оо.

Третья глава полностью посвящена обобщению примера Бочкарева на случай системы Виленкина-Пэли.

Теорема 3.1. Пусть Р{и) — и/(и), где ¡(и) - неубывающая непрерывная на [0, оо) функция, /(0) = 1 и ¡{и) удовлетворяет условию

/(и) = о(л/(1о^й)) при и оо.

Пусть система Виленкина построена по последовательности простых чисел, не стремящейся к бесконечности. Тогда существует функция д £ Р{Ь), у которой ряд Фурье по данной системе Виленкина расходится всюду в [0,1).

Четвертая глава посвящена вопросам суммируемости почти всюду рядов Фурье по системе Виленкина-Качмажа, а также вопросам равномерной сходимости (С, 1) средних ряда Фурье непрерывной функции по произвольной кусочно-линейной перестановке системы Уолша-Пэли. В Параграфе 4.1 показано

Теорема 4.1. Пусть а - произвольная кусочно-линейная перестановка системы Уол-ша-Пэли. Для всякой / € С((?) ее Чезаровские средние а"(х,/) равномерно сходятся к

т.

В Параграфе 4.2 доказывается

Теорема 4.2. Пусть / е ¿([0,1)), система Виленкина-Качмажа построена по ограниченной последовательности простых чисел. Тогда средние а*/ ряда Фурье-Виленкина-Качмажа функции / сходятся к / почти всюду.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору В.А. Скворцову за постановку задач и их неоднократные обсуждения, а также участникам семинара "Теория ортогональных и тригонометрических рядов "под руководством профессора М.К. Потапова, профессора М.И. Дьяченко, профессора В.А. Скворцова, профессора Т.П. Лукашенко за советы в затронутых в диссертации темах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Поляков, Игорь Викторович, 2011 год

Литература

[1] Лузин H.H. Интеграл и тригонометрический ряд. М. 1915. Докт. дисс. 242 с.

[2] Лузин H.H. Интеграл и тригонометрический ряд. М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы. 1951. 550 с.

[3] Kolmogoroff A. Une serie de Fourier-Lebesgue divergente preque partout // Fund. math. 1923 V.4 p. 324-328

[4] Kolmogoroff A., Seliverstoff G. Sur la convergence des series de Fourier // Rend. Acad. Naz. Lincei. 1926 V.3 p. 307-310

[5] Plessner A. Uber Konvergenz von triginometrischen Riehen // Journal fur reine und angew. Math. 1926 V. 155 p. 15-25

[6] Littlewood J.E., Paley R.E.A.C. Theorems on Fourier series and power series // (1) Journal London Math. Soc. 1931. V.6 p. 230-233, (2) Proc. London. Math. Soc. 1936. V. 42. p. 52-89, (3) Proc. London. Math. Soc. 1937. V. 43. p. 105-126.

[7] Hardy G.H. On the summability of Fourier series // Proc. London Math. Soc. 1913. V.12. P. 365-372.

[8] L. Carleson, On the convergence and growth of partial sums of Fourier series, Acta. Math. 116 (1966), 135-157.

[9] Walsh J.L. A closed set of normal orthogonal functions // Amer. J. Math. 1923. V. 45. p. 5-24.

[10] H.A. Rademacher Einige Satze Uber Reihen von allgemeinen Orthogonalenfunctionen // Math. Annalen 1922. V. 87. p. 112-138.

[11] Paley R.E.A.C. A Remarkable Series of Orthogonal Functions // Proc. London Math. Soc. 1932. V. 34. p. 241-279.

[12] А. А. Шнейдер,0 рядах no функциям Валына с монотонными коэффициентами, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1948, 12:2, 179-192

[13] F. Schipp, Некоторые перестановки системы Уолша, Мат. заметки 18 (1975) 193—201.

[14] Billard P. Sur la convergence presque partout des series de Fourier Walsh des fonctions de l'espace L2[0,1). Studia Math. 1967. V.28. p. 363-388.

[15] Hunt R.A. On the convergence of Fourier series // Orthogonal expansions and their continuous analogues. SIU Press, Carbondale, Illinois. 1968. p 235-255

[16] Sjolin P. An inequality of Paley and convergence a.e. of Walsh-Fourier series. // Arkiv for mat. 1969. V.7. p. 551-570

[17] Antonov N. Y. Convergence of Fourier series, East Journal on Approximations. 1996. V. 2. № 2. P. 187-196.

[18] N. Antonov Conditions for thi finiteness of majorants for sequences of operators and convergence of Fourier series // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics Suppl. 1 2001, P. S1-S19

[19] P. Sjolin, F. Soria Remarks on theorem by N. Y. Antonov, Studia Math. 158, 2003.

[20] Антонов Н.Ю, Сходимость почти всюду рядов Фурье и смежные вопросы. Докт. дисс. Екатеринбург 2009. 162 с.

[21] Бочкарев С.В. О проблеме Харди для рядов Фурье-Уолша. Докл. Акад. Наук 432 (2010), н. 3, стр. 299-300.

[22] Виленкин Н.Я. Об одном классе полных ортогональных систем // Изв. АН СССР Сер. мат. 1947. Т. 11. с. 363-400

[23] Hunt. R.A., Taibleson М.Н. Almost everywhere convergence of Fourier series on the ring of integers of local field // SIAM J. Math. Anal. 1971. V.2 p. 607-624.

[24] Gosselin J. Almost everywhere convergence of Vilenkin-Fourier series // Trans. Amer. Math. Soc. 1973. V.185. P. 345-370.

[25] Wo-Sang, Young, On a.e. Convergence of Walsh-Kaczmarcz-Fourier Series. Proc. Amer. Math. Soc. 44 (1974), 353-358. (From p. 635)

[26] F. Schipp On the dyadic derivative // Acta. Math. Hung. 1976. V. 28. p. 145-152.

[27] J.A. Gosselin, W.S. Young, On rearrangements of Vilenkin-Fourier series which preserve almost everywhere convergence, Trans, of the Amer. Math. Soc. 209, 1975, p. 157-174

[28] A.N. Kolmogoroff, Une serie de Fourier-Lebesgue divergente partout, C.R. Acad. Sci. Paris, 1926, V. 183, 1327-1329.

[29] Прохоренко В.И. О расходящихся рядах Фурье // Мат. сборник. 1968. Т. 75. (117), 2, с. 185-198

[30] Chen Y.M. An almost everywhere divergent Fourier series of class L(Ln+Ln+L)1_e //J. London Math. Soc. 1969. V. 44. p. 643-654.

[31] Бочкарев С.В. Расходящийся на множестве положительной меры ряд Фурье для произвольной ограниченной ортонормированной системы // Мат. сб. 1975. Т. 98. н. 3, 436-449

[32] Tandori К. Ein Diverganzsats fur Fourierreihen // Acta Sci. Math. 1969. V. 30. p. 43-48

[33] Totik V. On the divergence of Fourier series // Publ. Math. (Debrecen) 1982. V. 29. p. 251-264

[34] К. С. Казарян. О некоторых вопросах теории ортогональных рядов //-Мат. сб. 1982. Т. 119. н. 2. С. 278-294.

[35] Korner T.W. Everywhere divergent Fourier series // Colloq. Math. 1981. V. 45. p. 103-118

[36] S.V. Konyagin, On divergence of trigonometric Fourier series everywhere // C. R. Acad Sci. Sci. Paris Ser I. Math. 1999. V. 329. n. 8. P. 693-697

[37] С. В. Конягин, О расходимости всюду тригонометрических рядов Фурье, Матем. сб., 2000, т. 191, № 1, с. 103-126.

[38] Бочкарев С. В. , Всюду расходящиеся ряды Фурье-Уолша // Докл. РАН. 2003. Т. 390. н. 1. С. 11-14.

[39] Бочкарев С. В. , Всюду расходящиеся ряды Фурье по системе Уолша и мультипликативным системам, Успехи Мат. Наук 2004, т. 59 , вып. 1(355), с 103—124.

[40] К. Moon, An everywhere divergent Fourier—Walsh series of the class L(ln+ ln+)1-eL, Proc. Amer. Math. Soc.; 50 (1975), 309-314.

[41] Schipp F. Uber die Grossenordnung der Partialsummen der Entwiklung integrierbarer Functionen nach W-systemen // Acta. Sei. Math. // 1967. Bd. 28. p. 123-134.

[42] Schipp F. Uber die Divergenz der Walsh-Fourierreihen // Ann. Univ. Sei. BudapestSec. math. 1969. Bd. 12. p. 49-62.

[43] Stein. E. M. On limits of sequences of operators // Ann. Math. 1961. V. 74. p. 140-170.

[44] Хеладзе Ш.В. О расходимости всюду рядов Фурье по ограниченным системам Вилен-кина // Труды Тбилисского матем. инст. АН Груз. ССР. 1978. вып. 58. стр. 225-242.

[45] Simon P. On the divergence of Vilenkin-Fourier series // Acta. math. Hung. 1983. V. 41. p. 359-370.

[46] И. В. Поляков, Пример расходящегося ряда Фурье по системе Виленкина, Матем. заметки, 2011, том 89, выпуск 5, 780-787

[47] Б.И. Голубов, A.B. Ефимов, В.А. Скворцов, Ряды и преобразования Уолша. Теория и применения. М., Наука, 1987.

[48] Балашов Л.А., О рядах по системе Уолша с монотонными коэффициентами, Сиб. Мат. журн. 1971, т. 12, номер 1, с. 25 - 39.

[49] И. В. Поляков, Оценки ядра Дирихле и расходящиеся ряды Фурье, Матем. заметки ( принято в печать )

[50] И.В. Поляков, Пример расходящегося ряда Фурье по переставленной системе Уолша-Пэли, Вестник МГУ, 2010, том 65, номер 6, стр 229-232

[51] И. В. Поляков, Примеры расходящихся рядов Фурье для переставленных систем Уолша-Пэли, Вестник МГУ ( принято в печать )

[52] Kolmogoroff A. Menchoff D. Sur la convergence des series orthogonales // Math. Ziscr. 1927. Bd. 26. s. 432-441.

[53] Tandori K., Uber die Divergenz der Walshschen Reihen, Acta Sei. Math., 27 (1966), 261263.

[54] Nakata S., On the divergence of rearranged Walsh series, Tohoku Math. J., 24 (1972), 275-280.

[55] Nakata S., On the divergence of rearranged Walsh series. II, Tohoku Math. J., 26 (1974), 407-410.

[56] С. В. Бочкарев Перестановки рядов Фурье-Уолша Изв. АН СССР. Сер. матем., 43:5 (1979), 1025-1041

[57] S. Nakata, On the unconditional convergence of Walsh series, Anal. Math., 5:3 (1979), 201-205

[58] Bochkarev S. Rearrangements of periodical multiplicative orthogonal series // Coll. Math. 1990. Vol. 50. P. 291-299.

[59] С. В. Бочкарев Почти всюду расходящиеся перестановки рядов Фурье по мультипликативным системам функций классов Hw Тр. МИАН, 201 (1992), 115-130

[60] Fejer L. Untersuchungen über Fouriersche Reihen M.А. 1904. V. 58. p. 501-569

[61] Lebesgue H. Recherches sur la convergence des series de Fourier M.F. 1905. V. 61. p. 251-280.

[62] Бернштейн С.H. Sur l'ordre de la meilleure approximation des fonctions continues par des polynomes de degre donne

Mem. Acad. Roy Belgique, 2-me serie 4 (1912) 1-104

[63] Fine N.J. On the Walsh functions // Tïans. Amer. Math. Soc. 1949. V.65 p. 372-414.

[64] Yano S. On approximation by Walsh functions // Proc. Amer. Math. Soc. 1951. V. 2. p. 962-967

[65] Fine N.J. Cesaro summability of Walsh-Fourier series // Proc. Nat. Acad. Sci. USA 1955. V.46 p. 588-591.

[66] Skvorcov V. A., On Fourier series with respect to the Walsh—Kaczmarz system, Analysis Mathematica, 7 (1981), 191— 201

[67] В. А. Скворцов, Некоторые оценки приближения функций средними Чезаро рядов Фурье-Уолша, Матем. заметки, 29:4 (1981), 539-547

[68] В. А. Скворцов, О средних Чезаро рядов Фурье по мультипликативным системам, Вестник МГУ, 1982, 1, 7-11

[69] Gat G., On (C,l) summability of inegrable functions with respect to the Walsh-Kaczmarz system // Stud. Math. 1998. 130. № 2. 135-148.

[70] Gat G., Cesaro summability of the character system of the p-series field in the Kaczmarz rearrangement // Anal. Math. 2002 28, № 1. 1-23.

[71] Gosselin J. A., Young W. S. On rearrangements of Vilenkin—Fourier series "which preserve almost everywhere convergence // Trans. Amer. Math. Soc., 1975. 209. 157-174.

[72] И.В. Поляков, (С, 1) - суммирование рядов Фурье по переставленной системе Вилен-кина, Вестник МГУ, 2010, том 65, номер 4, стр 140-147

[73] С. В. Бочкарев, О некоторых свойствах матрицы Уолша, Доклады расширенных заседаний семинара института прикладной математики им. И.Н. Венуа, Тбилиси, 1988, том 3, н.2, с. 15-18

[74] И.В. Поляков, Равномерная (С,1) суммируемость ряда Фурье непрерывной функции по переставленной системе Уолша-Пэли, Труды матем. центра им. Н.И. Лобачевского, 2011, т.43, 289-290

[75] И.В. Поляков, Примеры расходящихся рядов Фурье для специального класса перестановок системы Уолша-Пэли, Материалы международной научной конференции, посвященной 105-летию академика С.М. Никольского, 2010, 32-33

[76] И.В. Поляков, Примеры расходящихся рядов Фурье для широкого класса переставленных систем Уолша-Пэли, Материалы Воронежской зимней математической школы, 2011, 269-271

[77] И.В, Поляков, Пример расходящегося ряда Фурье по системе Виленкина, Материалы Воронежской зимней математической школы, 2009, 145-146

[78] И.В. Поляков, Расходящиеся почти всюду ряды Фурье по переставленной системе Уолша, Материалы 15-й Саратовской зимней школы, 2010, 142-143

[79] Щербаков В.И. О поточечной сходимости рядов Фурье по мультипликативным системам // Вестник ВГУ Сер. Матем., мех. 1983. н. 2. с. 37-42

[80] F. Schipp, W.R. Wade, P. Simon, Walsh series. An introduction to dyadic harmonic analysis, Budapest 1990.

[81] B.B. Петров. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М. : Наука, 1987