Слабо случайные многочастичные системы с квадратичным взаимодействием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Лыков, Александр Андреевич

• Лыков, Александр Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лыков, Александр Андреевич

Оглавление

1 Введение

1.1 Проблема сходимости

1.2 Основная модель

1.3 Классы случайных внешних сил

1.3.1 Белый шум

1.3.2 БС-процесс

1.4 Классы гамильтонианов

1.5 Основные результаты

1.5.1 Белый шум

1.5.2 ¿'С-процесс

1.5.3 Большие N

1.6 Вычисление размерности диссипативного

подпространства

1.7 Иные модели и подходы

1.7.1 Взаимодействие с внешней средой

1.7.2 Подходы основанные на свойствах распределения Гиббса

1.7.3 Близкие математические модели

2 Необходимые технические результаты из теории случайных процессов

2.1 Гауссовские системы

2.2 Белый шум

2.3 Стационарный в широком смысле процесс

2.3.1 Определения и свойства

2.3.2 Интегрирование

2.3.3 Многомерный стационарный процесс

2.4 Сходимость к инвариантному распределению

2.4.1 Среднее время достижения далекой точки для счётных

марковских цепей

3 Доказательство теорем для однородной гамильтоновой системы с диссипацией

3.1 Общие определения и утверждения

3.2 Доказательство утверждений

3.3 Вычисление размерности диссипативного

подпространства

3.4 Гамильтоновы системы

4 Доказательство теорем для гамильтоновой системы с диссипацией и воздействием белым шумом

4.1 Доказательство теоремы 10

4.2 Доказательство утверждения 6

4.3 Доказательство теоремы 7

4.4 Доказательство утверждения 9

5 Доказательство теорем для гамильтоновой системы с диссипацией и воздействием ¿"С-процессом

5.1 Доказательство теоремы 11

5.1.1 Связь с формулой (1.14)

5.2 Резольвента матрицы А

5.3 Доказательство теоремы 12

5.4 Большие N

5.4.1 Оценка хвостов

5.4.2 Доказательство теоремы 13

5.4.3 Оценка для

5.4.4 Доказательство теоремы 14

5.5 Термодинамический предел

5.5.1 Доказательство теоремы 15

5.5.2 Другие условия на оператор V

Глава

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Слабо случайные многочастичные системы с квадратичным взаимодействием»

Введение

1.1 Проблема сходимости

Предположим, что движение некоторой системы N (/-мерных частиц описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Предметом изучения неравновесной статистической механики служит эволюция вероятностных мер на фазовом пространстве, порождаемая данной системой дифференциальных уравнений. Особенность задач статистической механики обусловлена тем, что число частиц очень велико (./V ~ 1023). В равновесной статистической механики исследуются свойства специального класса инвариантных относительно динамики мер, определяемых постулатом Гиббса ([12]). который утверждает, что в состоянии термодинамического равновесия системы с большим числом частиц описываются распределением Гиббса. Данный постулат позволяет выводить многие физические законы, в частности, обосновать равновесную термодинамику.

Обширную часть статистической механики занимают кинетические уравнения, предназначенные для приближенного описания временной эволюции системы в более простых переменных (например, моментные функции вероятностной меры, средние значения физических величин). Задача установления связи кинетических уравнений с уравнениями, описывающими движение большой системы частиц находится среди основных в статистической механики. Одной из первых работ внесших существенный вклад в данную проблематику является монография Боголюбова [6].

Как уже было отмечено, ключевой особенностью статистической механики является то обстоятельство, что число частиц системы огромно. Поэтому

возникает естественное желание строить всю теорию изначально в предположении, что система состоит из бесконечного числа частиц. Математическое описание многих вопросов статистической механики с точки зрения "беско-нечночастичного"подхода можно найти в работе [12].

Труднейшей и до сих пор полностью не решенной задачей статистической механики является сходимость к равновесному распределению. Исходя из кинетического уравнения Больцмана ещё сам Больцман в 1872 г. доказал сходимость идеального газа к распределению Максвелла с помощью известной Н-теоремы. С другой стороны, если рассматривать в качестве основы уравнения движения микроскопической системы, то проблема сходимости для общих систем не поддаётся математикам более ста лет. В книге В. В. Козлова [15] содержится ряд утверждений и доказательств о сходимости для некоторых классов моделей и при различных "эргодических" предположениях на систему. Необходимо отметить, что изложение многих вопросов статистической механики в [15] сопровождается глубоким историческим обзором. В настоящей работе рассматриваются системы с квадратичным взаимодействием. Перейдём к точным формулировкам.

Рассмотрим фазовое пространство с N степенями свободы

Ь = Ш™ = {ф= ^ : д = (ди...,дм)т, Р = (Ръ-,Рм)т е

где Т обозначает транспонирование, таким образов ф является вектор-столбцом. Введём на Ь евклидово скалярное произведение

N

(ф.'ф') 2 = + РгР'г)-

г=1

Ь разлагается в прямую сумму

ь = (1.1)

ортогональных подпространств координат и импульсов с индуцированными скалярными произведениями (д, </)2 и (р,р')г соответственно. Определим гамильтониан (энергию) формулой:

1*1 1 Н{Ф) = 2 + 2 Е ^(МЫ = 2 ((Р'РЬ + (?, Уд)2) (1.2)

2 = 1 1,3

где V — (У(г,у)) — положительно определенная (М х Л/")-матрица с вещественными элементами. Под положительной определённостью матрицы V понимается, что V = Ут и {Уд,д)2 > 0 для всех д е д ^ 0. Рассмотрим гамильтонову систему линейных дифференциальных уравнений:

.7 = 1

где г = 1,..., N.

Данная система порождает поток д1, < Е М (однопараметрическую группу диффеоморфизмов) на Ь по обычному правилу: д1ф есть решение ф{Ь) системы (1.3)-(1.4) в момент времени если ^(0) = ф. Пусть ц — произвольная вероятностная мера на борелевских подмножествах Ь. Обозначим /¿¿, £ е К перенесённую меру потоком дь:

1н{В) = ц{д-\В))

для борелевского подмножества В с Ь. Важнейшим вопросом при изучении многокомпонентных систем является описание инвариантных относительно д1 вероятностных мер. Приведём примеры инвариантных мер:

1.(1ф = (1дс1р — мера Лебега. Очевидно, что с1ф не является вероятностной мерой, но с помощью неё можно строить другие вероятностные инвариантные меры. Инвариантность с1ф суть классическая теорема Л иу вил ля о сохранении фазового объёма.

2. Vе) =

2 ехр (—/ЗН(ф)) (1ф, ¡5 > 0 — мера Гиббса. Инвариантность следует, из закона сохранения энергии и из упомянутой теоремы Лиувил-ля. Заметим, что, в силу квадратичности нашего гамильтониана, мера Гиббса определяет гауссовский случайный вектор, а его ковариация в (2 х 2)-блочной форме, соответствующей разложению (1.1), имеет вид:

Со, = Г1 ( 7 ° ) (1.5)

3. = ^ ехр (—/ЗНк(ф)) с1ф, (5 > 0, к = 1, 2,. ... где введены квадратичные функции:

нк{Ф) = ((р, Ук~1р)2 + (д, укд)2) ■

Инвариантность мер вытекает из того, что значение функций Нк(ф) не меняются вдоль траекторий системы.

Отметим, что меры из пунктов 1 и 2 являются инвариантными для любых гамильтоновых систем, необязательно линейных.

Вопрос о сходимости к инвариантной мере является не менее важным, чем описание самих инвариантных мер. Для любой точки ф Е L. замыкание орбиты {дь(ф), t Е К} = М.ф является гладким подмногообразием гомеоморфным тору ([22]), причём

dim(M^) ^ N.

Поэтому, не существует конечной инвариантной меры, к которой была бы сходимость. Действительно, предположим, что такая мера ¡1* существует. Несложно показать, что тогда для любой точки ф Е L должно выполняться неравенство > 0. Так как М^ компактны и размерность Мф мень-

ше, чем N, то существует такое семейство точек ф.х Е L, х Е [0,1], что Мх П Му = 0 при х т^ у, что противоречит конечности меры ¿¿*. Аргументы KAM теории ([1]) показывают, что при малых нелинейных возмущениях нашей системы, "почти всегда" инвариантные торы останутся, и, следовательно, аналогичные проблемы со сходимостью к инвариантной мере сохраняются и для таких систем.

Возникает вопрос: как исследовать сходимость, которая с физической точки зрения должна иметь место, если её не может быть исходя из математической теории? В данной работе предлагается иной взгляд на проблему сходимости. Заметим, что большинство физических систем не являются замкнутыми — всегда есть взаимодействие с "внешним миром". Будет показано, что если наша система взаимодействует с окружающим миром совсем "малым" и случайным образом, тогда при достаточно общих предположениях можно сформулировать утверждения о сходимости к равновесию. Кроме того, будут описаны некоторые свойства равновесного состояния.

Необходимо отметить, что квадратичная модель взаимодействия в термодинамическом пределе не сможет описать такие физические свойства веществ как термическое расширение ([42J) и закон Фурье о распространении тепла ([45]). Тем не менее, с точки зрения математического описания сходимости к равновесию, данная модель видится вполне приемлемой.

1.2 Основная модель

Выделим 1 < т < N различных степеней свободы

А("1) = {пъ...,пт} С Л = {1, т > 1,

Множество А^ мы будем называть границей Л. Обозначим = т.

Определим граничную матрицу Ь = (Ъч) порядка N х т:

I 1, г Е Л(т) и г = п7, I 0, в противном случае

Рассмотрим динамику, определяемую системой 27У стохастических дифференциальных уравнений

^ (л е\

я ^ 777

^ = - Е ^ - + Е (1-7)

7=1 7=1

где г = 1,..., А^, У = (У(г^)) — положительно определенная (Л/'хА^)-матрица с вещественными элементами, = 1 при г Е Л^ и = 0 при г А^т\ Функции . . . , т^ — независимые копии некоторого вещественнозначного случайного процесса /г (более детальное описание класса случайных процессов будет дано ниже). Это означает, что только степени свободы из выделенного множества

ЛМ

подвергаются диссипации (определяемой множителем а > 0) и внешним силам. Если не оговорено противное, то всегда предполагается, что а > 0.

Мы будем в основном пользоваться матричной записью системы (1.6)-(1.7). Для этого зафиксируем обозначения. Определим блочную матрицу А порядка (2Л0 х (2А0 по формуле

А= (1.8)

где Е - единичная ^ х 7У)-матрица, В диагональная (Лг х Л^-матрица с = 1, к е Л(т) и = О,к<£ Тогда система (1.6)-(1.7) может быть записана в следующем матричном виде:

Ф = АФ + ад, фе Ь, (1.9)

где (2Д/-) х гп блочная матрица В определена формулой

и ш-мерный случайный процесс — • • •,

Таким образом, наша система задаётся следующими объектами:

• матрица взаимодействий У;

• граница Д(т) и параметр а\

• вещественнозначный случайный процесс определяющий внешнюю силу.

При а = 0,/), = 0 система (1.6)-(1.7) совпадает с системой (1.3)-(1.4).

1.3 Классы случайных внешних сил

В работе будут рассматриваться два класса случайных внешних сил.

1.3.1 Белый шум

Если /г = , то под решением уравнения (1.9) с начальным условием "0(0) £ Ь понимается сильное решение соответствующей системы стохастических дифференциальных уравнений Ито, определяемое формулой:

= а [ В (М, + еыф{0),

Jo

где . .., — стандартное т-мерное броуновское движение.

1.3.2 ЯС-процесс

Определение 1. Вещественнозначный стационарный (в широком смысле) центрированный гауссовский случайный процесс непрерывный в среднем квадратическом, с абсолютно интегрируемой ковариационной функцией мы будем называть вС-процессом.

Если внешняя сила определяется 5С процессом тогда решение ф^) уравнения (1.9) с начальным условием ф(0) £ ^ задаётся формулой:

где интеграл понимается в среднем квадратическом смысле.

Для 5С-процесса будем обозначать С/(£) = Е{/1+3/3} ковариационную функцию. Для завершенности результатов иногда мы будем предполагать, что С/ принадлежит пространству Шварца 5. Тогда и спектральная плотность процесса

принадлежит пространству 5".

Введём подмножество 5+ положительно определённых функций в пространстве 5. Зададим на 5+ естественную топологию ограничения топологии из 5 (открытые множества в 5+ имеют вид V П где и открыто в 5). Мы будем говорить что некоторое свойство выполняется почти для всех С/ из класса <!?+, если множество, где оно выполняется, является открытым и всюду плотным подмножеством в 5+.

1.4 Классы гамильтонианов

Для любого N определим Ндг как класс всех положительно определённых матриц над полем вещественных чисел порядка N. Любой элемент V £ Ндг задаёт гамильтониан вида (1.2), поэтому иногда (если это не вызывает противоречий) мы будем отождествлять матрицу взаимодействий V и соответствующий ей гамильтониан. В силу критерия Сильвестра ([5]) множество Ндг является открытым в пространстве симметрических матриц. Поэтому сЦтНк = А , что совпадает с размерностью пространства симметрических матриц.

Определение 2. Ненаправленный граф Г = Гдг с N вершинами г = 1,..., N будем называть допустимым, если выполнены следующие условия:

1. Г связен;

2. каждую пару вершин (г^) соединяет не более одного ребра;

т

3. все пары (г, г) являются ребрами Г.

Зафиксируем допустимый граф Г с N вершинами. Пусть Нг - множество положительно определенных V таких что V(i,j) = 0, если (i,j) не является ребром Г. Такие же аргументы, как для Ндг, показывают, что размерность множества Нр равна числу ребер графа Г. Мы считаем, что в Нг введена индуцированная топология из пространства симметрических матриц. Заметим, что Ндг = Нг в случае полного графа Г с N вершинами. В частности можно рассматривать граф Г = T(d, Л) с множеством вершин - кубом (¿-мерной решетки

Л = Л(м) = {(xi,...,a,-d) Е Zd : \хг\ < М, г = l,...,d} С и ребрами (г, j), \г — j\ < 1.

Определение 3. Определим подмножество фазового пространства L

L_ = L_(V) = {<ф Е L : Н{еыф) -> О, t —оо} С L, где гамильтониан Н определён в (1.2) с помощью матрицы V Е Нг-

Обозначим e¿ - TV-вектора-столбцы со всеми нулевыми компонентами, кроме г-ой, равной единице.

Утверждение 4. Справедливы следующие утверждения

1. является линейным подпространством L;

2. L- — { ( ^ ) Е L : q Е lv,P £ W}, где 1у - подпространство RN,

W

порожденное векторами Vkeu i Е A(m); k = 0,1,....

3. L- и его ортогональное дополнение Lq = инвариантны относительно оператора А;

4. Lo = {ф Е L : ftH(etAiP) = 0, Vi > 0}.

Будем называть L_ диссипативным подпространством. Пусть Нр+^ обозначает подмножество Нг, состоящее из матриц взаимодействий V, для которых L-(V) = L.

Утверждение 5. Для всех допустимых графов Г множество Нр+^ открыто и всюду плотно в Нг

1.5 Основные результаты

1.5.1 Белый шум

Пусть ft = crwt, а > 0. Ввиду утверждения 4 любой начальный вектор ф{0) можно единственным образом представить в виде:

ф(0)=ф0 + ip0eL0, ф_<ЕЬ„.

Тогда решение уравнения (1.9) с начальным вектором ф(0) можно представить в виде

где функции ip(Q\t), удовлетворяют уравнениям:

V/0)(£) = Аф^^), dф{-){t) = Аф{~\г) dt + аВ dWt (1.10)

с начальными условиями ^^(О) = фо и 0) = ф- соответственно, поскольку сумма этих уравнений дает уравнение (1.9).

Утверждение 6. Для всех t £ [0, оо) имеют место включения

Из уравнений (1.10) следует, что функция является детерминиро-

ванной, причём, в силу утверждения 4, энергия решения не зависит

от времени. Следовательно, о сходимости к инвариантной мере для не

имеет смысла говорить (по тем же причинам, что и для линейной гамильто-новой системы). С другой стороны, является случайным гауссовским

процессом. Следующая теорема описывает свойства процесса

Теорема 7. Для любого ф{0) имеет место сходимость по распределению

f—>0о

где £ £ L-, а его распределение абсолютно непрерывно относительно меры Лебега на L- (определённой евклидовой структурой) и задаётся плотностью относительно этой меры

рс{ф) = ^ехр , ф £

Предел средней энергии имеет следующий явный вид:

2

lim Е{Н{ф{-\г))} = ^-dim L_.

Данная теорема утверждает, что на подпространстве Ь- имеет место сходимость к распределению Гиббса. "Дефектное" подпространство препятствует сходимости на всём фазовом пространстве Ь. Оно возникает из-за законов сохранения, оставшихся в системе, несмотря на внешнее воздействие. Далее будет показано для гармонической цепочки, что, даже при т — 1, размерность мала по сравнению с размерностью Ь при большом ТУ.

Возникает естественный вопрос: какую роль в сходимости играет диссипация? Нельзя ли от неё отказаться, не повлияв на сходимость? Оказывается, что в случае а = О энергия любой частицы в системе линейно растёт с ростом Ь. Сформулируем соответствующие определения и теорему. Пусть Ф = {я,р)Т £ Для '1 = 1, • • •,ТУ обозначим

1

Ш) = (1-И)

N

2

= (1.12)

3 = 1

кинетическую и потенциальную энергии, соответственно, для г-ой степени свободы. Зафиксируем допустимый граф Г с ТУ вершинами.

Определение 8. Матрицу взаимодействий V £ Нг будем называть неприводимой, если для любых двух вершин г, j графа Г существует п ^ 0; такой, что {Уп){ъ,з) ф 0.

Условие неприводимости матрицы V £ Нг можно сформулировать более наглядно. А именно, обозначим Г^ граф с таким же множеством вершин, что и у Г, две вершины г,] соединим ребром в Г'^, если и только если ф 0.

Легко проверить, что матрица V неприводима тогда и только тогда, когда граф Г у связен.

Утверждение 9. Пусть V £ Нг — неприводимая матрица взаимодействий. Если а = 0, тогда для любого начального условия ф(0) и для всех г = 1,..., ТУ справедливы формулы

Нт вМ =с, > о,

¿-40О t

Пт ММ =с. > о,

»ЭО £

для некоторых констант С\,.. . , сдг, не зависящих от начальных условий.

Далее сформулируем теорему о предельном поведении матрицы ковариа-ций процесса ф(Ь) в случае, если L- = L. Обозначим С с = CG,2a, где матрица Cc.ß определена в формуле (1.5). Введём матрицу ковариаций процесса ф(1)\

сф(1 + s,t) = Е{(ф(г + 5) - Е{ф(г + 5)}) (ф(г) - е{Ф(1)})т}. (1лз)

Теорема 10. Пусть V Е Hjt для, некоторого допустимого графа Г с N вершинами. Для матрицы + s,t) ковариаций решения ф{Ь) при любых начальных условиях ф(0) и любого s G М1 справедлива формула

fa2esACG, О,

C<(s)= lim C*(t + s,t) = { ' (1.14)

[a2 CG e~sA , s < 0.

Из данной теоремы вытекает, что процесс ф(Ь) является асимптотически стационарным.

Утверждение 5 и теорема 7 доказаны в работе [19]. Также в данной статье установлен более простой вариант теоремы 9: при а = 0 средняя энергия всей системы линейно растет с течением времени.

1.5.2 ^С-процесс

Перейдем к формулировкам утверждений, связанных с ^С-процессами. Зафиксируем произвольный допустимый граф Г с А^ вершинами.

Теорема 11. Пусть ft является SG-процессом,. Тогда для, всех матриц взаимодействий V £ имеет место:

1. существует случайный гауссовский (2N)-вектор с нулевым средним £ такой, что для любых начальных условий ф(0) распределение ф(Ь) сходится при t —> оо к распределению £/

2. более того, для матрицы ковариаций самого процесса определённой в формуле (1.13), для любого s G I1 имеет место

CAs) = lim CM + s,t) = W{s)CG + CGW(-s)T., (1.15)

t—>oc

где

r+oo

W{s)= / eTACf(r — s)dr (1.16)

Jo

Необходимо прояснить связь между формулами (1.14) и (1.15). Если рассматривать белый шум, как обобщённый стационарный процесс (в смысле [8], с. 326), то его ковариационная функция будет равна дельта-функции. Легко проверить, что формула (1.14) вытекает из (1.15) при подстановке в неё в качестве С/ дельта-функции.

Договоримся об обозначениях. Для любой (2А^) х (27У)-матрицы М с вещественными элементами рассмотрим её 2 х 2-блочную запись, соответствующую разложению (1.1):

Обозначим С£ — 0). Будем называть матрицу С^ предельной матрицей ко вариаций.

Теорема 12. Пусть N > 2. Имеют место следующие утверждения:

1. для любой С/ Е 5*+ в предельном распределении нет корреляций между координатами и скоростями, то есть С^^Р?) = С^О^оО — 0 для любых г, ^ = 1,... , N;

2. если V не является диагональной матрицей, то для почти всех С/ Е

существуют ненулевые корреляции между скоростями, то есть С^Оед) 0 для некоторых г ф Поэтому предельное распределение не будет гиббсовским.

1.5.3 Большие N

Более интересно было бы изучить предельную матрицу ковариаций Сс в точках бесконечно далеких от границы в термодинамическом пределе N —> оо.

Пусть V 6 Нр для некоторого допустимого графа Г с ./V вершинами. Введём матрицу:

( М^

Для всех г, ] = 1,..., N введём обозначения

М =

М(^) = М<™>(м), М(диРз) = М{рг, Яз) = М<™>(м), М(рг,ру) =

(1.17)

где \fV - единственный положительный корень из матрицы V. Так как спектральная плотность а(А) непрерывна, то матрица a(W) корректно определена в смысле операторного исчисления ([21], с. 362).

Замечание 1. 1. Су является неотрицательно определённой матрицей, так как спектральная плотность неотрицательна.

2. Су определяет гауссову меру с нулевым средним, инвариантную по отношению к "чистой"(то есть при а = 0, Ft — 0) гамильтоновой динамике.

3. В случае белого шума спектральная плотность равна а(А) = ^ и, значит, матрица Су совпадает с гиббсовской (1.5) при ß~l = а2/2а.

Теорема 13. Пусть V Е и предположим, что конечен следующий

интеграл:

+оо

s3|C/(s)|ds < оо.

Обозначим, £а у нормальный вектор в L с нулевым, средним, u, матрицей, ко-вариаций аСу (заметим, что распределение £ау не зависит от а). Пусть £(а) обозначает предельны,й, вект,ор из т,еоре.м,ы, 11. Тогда при а —> 0 имеет место сходимость по распределению:

л/äf (с*) ->• ia,v

Пусть задан некоторый связный граф Г с множеством вершин Л, |Л| = N и границей Расстоянием r(i,j) между вершинами г и j на графе

назовем наименьшую длину (число ребер) путей между ними. V называется 7-локальной на Г, если V(i,j) равно нулю, при r(i,j) > 7. Для матрицы V введём обозначение

|H|TO = max;£|V(M)|

г *—'

J

Для всех V Е предельную матрицу ковариаций можно представить в следующем виде

Q = Су+ YV

где Yy — остаточный член. Сформулируем теорему об оценке остаточного члена Yy.

L

Теорема 14. Пусть V является у-локальным и таким что ЦУЦ^ ^ V для некоторого V > 0. Зафиксируем произвольное число г] = 77 (./V) ^ у. Тогда справедливы следующие утверждения:

1. если С/ € ¿>+ имеет, ограниченный носитель, то есть С/(£) = 0 при |£| > и, то для любой пары г,] далекой от границы, то есть на расстоянии г(г, Л^), г (у, А^) > г)( ]У) имеет место следующая оценка

для всех к > 0 и некоторых констант С(k) = C(Cf,k,v,a, 7), не зависящих от N.

Из этой теоремы можно извлекать разные следствия относительно термодинамического предела. Например, фиксируем C/(t) £ S+.

Фиксируем допустимый граф Г^ со счётным множеством вершин ATO, и рассмотрим возрастающую последовательность Г\ С Г 2 С ... С Гп С ... допустимых подграфов таких, что Г = иГп. Пусть Лп - множество вершин Г„ (мы считаем, что подграф с заданным множеством вершин наследует все ребра графа Г между этими вершинами), Nn — |ЛП| <с оо.

Предположим, что заданы также границы Ап1\ т — т(п), удовлетворяющие следующим условиям:

1. существует натуральное число d такое, что для всех i е Лоо существует номер п{г) такой, что для всех п > п{г) выполнено неравенство:

-1

для некоторых констант Kq = K(Cj,v,uj,a, 7) и К = K(Cf, v, ш) а, у). не зависящих от N.

на

2. для всех i G Лоо верно, что rn(i,An^) —> оо при п —>• оо — граница уходит в бесконечность.

Фиксируем также некоторую 7-локальную бесконечную матрицу V, соответствующий Гоо с 11V||оо ^ V. Введём Г^) комплексное банахово пространство ограниченных последовательностей, проиндексированных вершинами графа Гто:

ИГ«,) = {(^'г)гегто : sup \xi\ < 00, хг G С}

Легко видеть, что матрица V определяет ограниченный линейный оператор на 1°°(Гоо). Обозначим cr(V) спектр оператора V. Обозначим через Vn ограничение V на Ап, то есть Vn = (V(i, j)).¿¿eдп суть квадратная матрица порядка Nn. Предположим, что для всех п = 1,2,.. . ограничения Vn являются положительно определёнными матрицами. Заметим, что условие L-(Vn) = L может не выполняться для всех п. Однако существует последовательность положительно определённых операторов G Нд таких, что j [ — V^ 11^ О при п —У оо. Обозначим через С^ предельную матрицу ковариаций соответствующую

Теорема 15. Справедливы утверждения:

1. для всех Лоо существует термодинамический предел для скоростей

■/г—>оо s s

2. если для всех i,j G Л^, существует конечный предел:

U(i,j)= lim У^Д (1.18)

n—>00

тогда определён терм, о динамический предел для, координат,

lim C^(qi,qj) = C^(i,j)

П-4СО s s

3. Предположим, что функцию а(л/Л) можно продолжить до голоморфной, функции в облает,ь комплексной плоскост,и, содержащую cr(V). Тогда

C¡oo)*(i,j) = a(y/V)l

где a(W) определяется в смысле операторного исчисления на 1°°(Г^) ([11], с. 608).

Сделаем несколько замечаний к сформулированной теореме. Во-первых, легко видеть, что условие утверждения 3 последней теоремы заведомо выполняется, если ковариационная функция С/ имеет ограниченный носитель (в данном случае спектральная плотность является целой функцией и в силу её симметричности, функция а(л/Л) также целая во всей комплексной плоскости). Во-вторых, термодинамический предел вообще говоря не является гиббсовским, точнее говоря, Ф 0 для любых двух вершин г ф j в

Лоо таких что a{W)(i,j) ф 0.

Теорема 10 и все сформулированные утверждения, для случая когда внешняя сила определяется S'G-процессом, опубликованы в [20].

1.6 Вычисление размерности диссипативного подпространства

Сформулируем ряд утверждений, касающихся вычисления размерности диссипативного подпространства для различных гамильтонианов.

Заметим прежде всего, что в силу утверждения 4 для любой матрицы взаимодействий У £ Hp, где Г произвольный допустимый граф с N вершинами, справедливо равенство:

dim(L_(y)) = 27V - dim(L0(V)).

Поэтому, проблема вычисления dim(L_(V)) равносильна нахождению

dim(L0(V)).

Интервал.

Пусть гамильтониан задаётся формулой:

Н = н, = \ ¿rf + f £ я1 + | Х> - с^Г, (1.19)

к=1 к=1 к=2

где > 0. Предположим, что Л^ = {щ,... ,пт} для некоторых

Hi, •.. ,nm G {1,... ,N}.

Обозначим (oi, й2, . • ■ , dm) наибольший общий делитель натуральных чисел di,. . ., ат.

Теорема 16. Имеет место формула:

dim(Lo) - (N, 2щ — 1,..., 2пт — 1) — 1. Видно, что при т > 1 наличие двух индексов щ и n7-, для которых

| щ — Tlj\ = 1

гарантирует, что dim(Lo) = 0- Рассмотрим подробнее случай т = 1. Обозначим для краткости щ = п, соответствующее ему подпространство Lo обозначим Lo(n). В силу сформулированной теоремы:

dim(L0(n)) = (N, 2п - 1) - 1.

Если число N = 2Г, г > 0 является степенью двойки, то из формулы видно, что dim(Z/0) = 0 для всех п. С другой стороны, если N = 2r + 1, п = г + 1, тогда dim(Lo) = 2г = N — 1 — почти половина размерности фазового пространства. Данные примеры показывают, что размерность Lo является очень не регулярной функцией от п и N. В связи с проблемой сходимости к распределению Гиббса интерес представляет следующая величина:

dim (¿0(n)) dN(n) = 2N ■

Теорема 17. Пусть индекс п = 1,... ,N выбирается случайно и равновероятно, т.е.

Р{п = fc} = 1

есегс /с = 1,..., N и гамильтониан определяется формулой (1.19), тогда справедливы следующие утверждения:

1. для всех б > 0 выполняется

E{dN(n)} = 0(N-1+t).

2. Для всех М ^ 1 верно

E{dN(n)} = 0(log2(M)).

N^M

Утверждение 4 и теорема 16, для случая т = 1, и теорема 17 доказаны в работе [41].

Окружность

Пусть гамильтониан задаётся формулой:

1 N N N

н = 5 Ей + у Е й + у £(« - + - i«)2,

/с=1 fc=l fc=2

где üjq,lvi > 0. Предположим, что Л^ = {щ,... ,пгп} для некоторых пи ■ ■ ■ ,пт G {1, •.. ,N}

Теорема 18. Пусть d ^ 0 обозначает наибольший общий делитель чисел вида пх — пу, х,у G {1,...,т} (мы считаем, что d = 0; если т = 1). Справедливы утверждения:

1. Если jßfjj является чётным числом, тогда

dim(Lo) = 2((iV, d) - 1).

Пусть является нечётным числом. В этом случае выполняются следующие утверо/сдеиия:

(a) Если N = 2r, г ^ 1, тогда

dim(Lo) = (N,d)- 2.

(b) Если N~2r + lr^l, тогда

dim(Lo) = (/V, d) - 1.

В данном случае, как и для гамильтониана (1.19), видно, что при т > 1 наличие двух индексов п7 и гг7, для которых

|пг — = 1

гарантирует, что dim(Lo) = 0.

1.7 Иные модели и подходы 1.7.1 Взаимодействие с внешней средой

Подход к обоснованию распределения Гиббса, основанный на взаимодействии с внешней средой не является новым для математической физики. Существует большое количество работ на данную тему. Одной из первых статей посвященных этому вопросу можно считать [40]. В работе [40] рассматривается

модель столкновений — частицы системы, описываемой гамильтоновой динамикой с энергией Н8(ф), испытывают случайные "соударения" с внешней средой. Промежутки времени между соударениями являются независимыми случайными величинами. При соударении вероятность переместиться из точки ф фазового пространства Ь в точку ф' равна К(ф',ф), где К вероятностное ядро. Обозначим ^(ф, £) плотность вероятностной меры, соответствующей решению ф{€) в момент времени t. Тогда плотность ¡л удовлетворяет следующему уравнению

+ Н3(ф)} = 1\К(ф,ф>)^ф\1)-К(;ф\ф)^ф^)(1ф\ (1.20)

где {,} — скобка Пуассона. В [40] авторы изучают вопрос сходимости к стационарному решению и свойства предельного распределения, в зависимости от ядра К.

Уравнение (1-20) является интегро-дифференциальным, что в значительной степени затрудняет анализ эргодических свойств решения. Поэтому многие авторы определяют взаимодействие с внешней средой другим способом, отличным от модели столкновений. В работе [45] рассмотрена модель одномерного гармонического кристалла, гамильтониан которой определяется по формуле (1.19). Взаимодействие с внешней средой определяется следующим образом: по краям цепочки (на частицы с индексами 1 и N в наших обозначениях) действуют независимые белые шумы, вообще говоря, с различной дисперсией. Доказывается сходимость к стационарному распределению. В случае, если дисперсии белых шумов различаются, то стационарное решение не является равновесным, т.е. в системе имеется поток тепла. В связи с этим, авторы изучают температурный профиль и поток тепла в цепочки при стационарном распределении в термодинамическом пределе N оо. Кроме того, в [45] показано как связана их модель с белым шумом с общей моделью столкновений из [40]. В статье [27] дано обобщение результатов работы [45] на случай, когда белые шумы могут действовать во все частицы кристалла, и на случай многомерного гармонического кристалла.

В статьях [40, 45, 27] изучались модели, в которых не учитывалось влияние основной гамильтоновой системы на внешнюю среду. Укажем несколько работ принимающих во внимание это влияние. В [46] рассматривается бесконечная линейная гамильтонова система, с матрицей взаимодействий V. со сте-

пенями свободы проиндексированными целыми числами. Зафиксируем два целых числа М^ и Мц. Предположим, что в начальный момент времени частицы с индексами к < МI имеют гиббсовское распределение с температурой /3и независимо от них частицы с индексами к > Мд также имеют гиббсовское распределение с температурой /З^1. В работе [46] доказано, что при определённых условиях на матрицу V, для любого начального распределения р частиц с индексами к € [Мь,Мц], распределение решения соответствующей бесконечной гамильтоновой системы сходится к некоторому гауссовскому распределению, не зависящему от р. Кроме того, если ¡Зь = Дк, то предельное распределение будет гиббсовским. Также авторы изучают свойства предельного распределения при условии, что связь между "резервуаром" и основной системой "стремится к нулю". В связи с моделями, имеющими дело с бесконечным множеством степеней свободы, необходимо сказать об известной теореме о сходимости к равновесию идеального газа, состоящего из бесконечного числа не взаимодействующих друг с другом (и с внешней средой) частиц ([16], с. 178).

Другой подход заключается в том, что выделенные частицы взаимодействуют с некоторым ¿-мерным векторным полем, которое в свою очередь (при отсутствии связи с основной системой) подчиняется ¿-мерному волновому уравнению, где (I количество координат, приходящихся на одну частицу (в нашем случае с1 — 1). Для задания такой модели необходимо дополнительно указывать "функции" описывающие взаимодействие двух систсм. Пример исследования подобных моделей (с нелинейными гамильтонианами) можно найти в работах [30, 32].

1.7.2 Подходы основанные на свойствах распределения Гиббса

Обоснование распределения Гиббса может быть дано не с точки зрения сходимости, а с позиции универсальных свойств, которым оно обладает. Подход предложенный в работе [14] опирается на идею Гиббса: сопоставлять механической системе термодинамическую. Вкратце опишем результат статьи [14]. Предположим, что наш гамильтониан (необязательно линейный) гладко зависит от некоторых параметров Л = (Ах,.... Ат) Е Мпг:

Н = Н(д,р, А).

Известно, что плотность любого инвариантного распределения является первым интегралом системы. Допустим, что наша гамильтонова система не допускает первых интегралов, кроме энергии Н. Тогда любая инвариантная плотность р должна иметь вид

р = ср(—(ЗН),/3 > О где с > 0 — нормировочная константа. Введём следующие величины:

Е(0,\)=(Н)р, дН

Аг(Д А) =(—)р, г = 1,... ,771,

где ( )р обозначает усреднение по мере pdqdp. Рассмотрим дифференциальную 1-форму

т

00 =

Чтобы форма си отвечала некоторой термодинамической системе необходимо, чтобы она удовлетворяла I и II началам термодинамики. В работе [14] доказано, что единственным "универсальным" распределением р = р(Н), при котором выполняются I и II начала термодинамики для всех гладких гамильтонианов (с условием отсутствия первых интегралов соответствующей системы) является распределения Гиббса. В статье [36] распределение Гибб-са выводится при некоторых ослабленных "эргодических" предположениях на гамильтонову систему.

1.7.3 Близкие математические модели

В ранней статье [31] рассматривается одно линейное дифференциальное уравнение произвольного порядка d с постоянными коэффициентами и белым шумом в правой части. Решение данного уравнения суть диффузионный процесс в М^. В работе даются эффективные критерии возвратности и транзиентно-сти. изучаются инвариантные меры процесса. Интересно отметить книгу [34], посвященную различным стохастическим моделям, связанным с одним гармоническим осциллятором. В связи с диссипативными дифференциальными уравнениями хотелось бы указать статью [25] и цикл из двух работ [38, 39], посвященных исследованию свойств решений бесконечномерных диссипатив-ных уравнений в гильбертовых пространствах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лыков, Александр Андреевич, 2013 год

Список литературы

[1] Арнольд В., Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике, Успехи Мат. Наук, т. 18, б, 1963.

[2] Барбашин Е., Функции Ляпунова, 1970, Наука, Москва.

[3] Булинский А. В., Ширяев А. Н., Теория случайных процессов, Физмат-лит, Москва, 2005

[4] Вентцель А. Д., Курс теории случайных процессов, Наука, Москва, 1996.

[5] Винберг Э. В., Курс алгебры. Факториал Пресс, Москва, 2001.

[6] Боголюбов Н. Н., Проблемы динамической теории в статистической физике, М. - Л.: ОГИЗ, Гстехиздат, 1946.

[7] Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, Наука, Москва, 1966.

[8] Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я., Обобщенные функции. Выпуск 4, Физ-матлит, Москва, 1961.

[9] Градштейн И. С., Рыжик И. М.. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Физматлит, Москва, 1963.

[10] Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г., Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, Наука, Москва, 1970.

[11] Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы. Часть 1, Москва. 1962.

[12] Добрушин Р. Л., Синай Я. Г., Сухов Ю. М., Динамические системы статистической механики и кинетические уравнения. Гл. 10. Динамические системы статистической механики, Динамические системы

- 2, Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления, 2, ВИНИТИ, М., 1985, 235-284.

[13] Иосида К., Функциональный анализ, Мир. Москва, 1967.

[14] Козлов В. В., Термодинамика гамильтоновых систем и распределение Гиббса, Доклады Академии Наук, том 300, 3, 2000.

[15] Козлов В. В., Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре, Москва-Ижевск, 2002.

[16] Корнфельд И., Синай Я., Фомин С., Эргодическая теория, Наука. Москва, 1980.

[17] Крамер Г., Лидбеттер М., Стационарные случайные процессы, Мир, Москва, 1969.

[18] Лыков А. А., Среднее время достижения далекой точки для счётных марковских цепей, Вестник Московского Университета. Серия 1, Математика. Механика, 4, 2013, 42 - 46.

[19] Лыков А. А., Малышев В. А., Музычка С. А., Линейные гамильтоновы системы с микроскопическим случайным воздействием, Теория вероятностей и её применения, 57, 4, 2012, 794 - 799.

[20] Лыков А. А., Малышев В. А., Роль памяти в сходимости к инвариантной мере Гиббса, Доклады Академии Наук, том 451, 2, 2013.

[21] Рисс Ф., Сёкефальви-Надь В., Лекции по функциональном,у анализу, Мир, Москва, 1979.

[22] Самойленко А., Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные торы, Наука, Москва, 1987.

[23] Чжун Кай-Лай, Однородные цепи Маркова, Мир, Москва, 1964.

[24] Ширяев А. Н., Вероятность, Наука, Москва. 1980.

[25] Barston Е., Stability of dissipative systems, Comm. on Pure and Appl. Math., v. 22, 1969, 627 - 637.

[27

[28 [29

[30

[31

[32

[33

[34

[35

[36

[37

Bilir B., Chicone C., A generalization of the inertia theorem for quadratic matrix polynomials, Linear Algebra and its Appl. 357, 2002, 229 - 240.

Bonetto F., Lebowitz J., Lukkarinen J., Fourier's Law for a Harmonic Crystal with, Self-Consistent Stochastic Reservoirs, Jour, of Stat. Phys., v. 116, 2004.

Broughan K,,The gcd-sum function, J. Integer Sequences, 4. 2001, 1 - 19.

Chern S., Stability theory for linear dissipative Hamiltonian systems, Linear Algebra and its Appl. 357, 2002, 143 - 162.

Dudnikova T., Convergence to Equilibrium Distribution. The Klein-Gordon Equation Coupled To a Particle, Russian Jour, of Math. Phys., v. 17, 1, 2010.

Dym H., Stationary measures for the flow of a linear differential equation driven by white noise, Trans. Amer. Math. Soc, 123, 1966, 130 - 164.

Eckmann J , Pillet C , Rey-Bellet L., N on-Equilibrium Statistical Mechanics of Anharmonic Chains Coupled to Two Heat Baths at Different Temperatures, Comm. Math Phys , v 201, 1999, 657 — 697.

Fayolle G , Malyshev V A., Menshikov M. V , Topics in the constructive theory of countable Markov chains, Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995.

Gitterman M., The noisy oscillator. The first hundred years, from Einstein Until Now, World Scientific Publishing, Singapore, 2005.

Khasminskii R., Stochastic Stability of Differential Equations, Springer, Second Edition, 2011.

Kozlov V V , On Justification of Gibbs Distribution, Regular and Chaotic Dynamic., v. 7, 1, 2002.

Kozlov V.. The spectrum of a linear hamiltonian system and symplectic geometry of a complex Artm space, Doklady Mathematics 68 (3), 2003, 385 - 387.

[38] Krejn M., Langer H., On some mathematical principles in the linear theory of damped oscillations of contmua. /, Integral Equations and Operator Theory. 1 (3), 1978, 364 - 399.

[39] Krejn M., Langer H.; On some mathematical principles in the linear theory of damped oscillations of continua. II, Integral Equations and Operator Theory. 1 (4), 1978, 539 - 566.

[40] Lebowitz J., Bergmann P., Irreversible Gibbsian Ensembles, Annals of Phys., v. 1, 1957, 1 - 23.'

[41] Lykov A. A., Malyshev V. A., Harmonic chain with weak dissipation, Markov Processes and Related Fields, v. 18, 4, 2012, 721 - 729.

[42] Malyshev V., One-dimensional mechanical networks and crystals, Mosc. Math. J., v.6, 2, 2006, 353 - 358.

[43] Menshikov M. V., Popov S. Yu., Exact power estimates for countable Markov chains, Markov Processes and Related Fields, 1997, 57 - 78.

[44] Meyn S., Tweedie R. , Markov chains and stochastic stability, Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2009.

[45] Rieder Z., Lebowitz J., Lieb E., Properties of a Harmonic Crystal in a Stationary Nonequilibrium State, Journ. Math. Phys., v. 8, 5, 1967.

[46] Spohn H., Lebowitz J., Stationary N on-Equilibrium States of Infinite Harmonic Systems, Comm. Math. Phys., v. 54, 1977, 97 — 120.

[47] Trotter H.. Approximation of semi-groups of operators, Pacific J. Math., 8, 1958, 887 - 919.

[48] Vedenyapin V., Sinitsyn A., Dulov E., Kinetic Boltzmann, Vlasov and Related Equations, Elsevier, London, 2011.

[49] Williamson J., On the algebraic problem concerning the normal forms of linear dynamical systems, American J. Math. 58 (1), 1936, 141 - 163.

¿y