Спектральный анализ функций и асимптотическое поведение полугрупп операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Калужина, Наталья Сергеевна

• Калужина, Наталья Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Калужина, Наталья Сергеевна

Оглавление

Список обозначений

Введение

1 Спектральный анализ ограниченных функций 16 §1.1 Введение в топологические группы. Локально компактная

абелева группа

§1.2 Банаховы модули и представления групп

§1.3 Определение спектра функций

§1.4 Спектр Берлинга векторов в банаховых модулях

§1.5 Носитель обобщенного преобразования Фурье

§1.6 Спектр Карлемана

§1.7 Локальный спектр векторов

2 Теорема Берлинга для функций с существенным спектром из однородных пространств

§2.1 История вопроса и постановка задачи

§2.2 Доказательство теоремы Берлинга для функций с существенным спектром из однородных пространств

3 Медленно меняющиеся на бесконечности функции и стабилизация решений параболических уравнений

§3.1 Понятие медленно меняющейся на бесконечности функции

§3.2 Свойства медленно меняющихся на бесконечности функций

§3.3 Определения Р. Шмидта и Ю.Л. Далецкого - М.Г. Крейна 64 §3.4 Приложение к стабилизации решений параболических

уравнений

§3.5 Качественные свойства слабых решений задачи Коши

§3.6 Задача Неймана для уравнения теплопроводности в Ь2[0,1]

Список обозначений

М - поле вещественных чисел;

М+ - множество действительных чисел [0; +оо);

С - поле комплексных чисел;

Т={АеС:|А| = 1} - единичная окружность (абелева группа комплексных чисел, модуль которых равен единице); X - комплексное банахово пространство; Н - гильбертово пространство;

Еп(1Х - банахова алгебра эндоморфизмов (линейных ограниченных операторов) банахова пространства X; С - локально компактная абелева группа;

О - двойственная локально компактная абелева группа непрерывных унитарных характеров группы С; Z - группа целых чисел;

Т : (7 —> Епс1Х - Представление локально компактной абелевой группы (7 операторами из ЕпёХ] Е - некоторое банахово пространство;

-/7(6?, Е), р € [1, сю) - банахово пространство определенных на локально компактной абелевой группе С измеримых по Бохнеру относительно меры Хаара на С (классов) функций со значениями в банаховом про-

странстве Е, суммируемых со степенью р (с отождествлением классов эквивалентности), с нормой ||х||р = I / Нх^Н^в

Е) - банахово пространство существенно ограниченных функций, определенных на локально компактной абелевой группе со значениями в банаховом пространстве Е, с нормой ||:г||оо = г>гагэир Цх^)!!^;

дев

Сь(С,Е) - подпространство непрерывных функций из Е)-,

Сь,и (С, Е) - подпространство равномерно непрерывных функций из

Со (С?, Е) - подпространство непрерывных функций, убывающих на бесконечности, из Ё)\

АР{С1, Е) - подпространство почти периодических функций Бора из

Е), где р Е [1,оо) - пространство Степанова измеримых на

С локально суммируемых функций, для которых конечна величина ( \1/Р

ЦгеЦ^р = вир / ||ж(5 + д)\\рЕ с1д ) , где V - некоторая компактная

56 в Чг )

окрестность нуля группы С.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральный анализ функций и асимптотическое поведение полугрупп операторов»

Введение

Диссертация посвящена некоторым избранным вопросам спектральной теории функций и ее приложениям к изучению асимптотического поведения ограниченных полугрупп операторов.

Впервые термин "спектр функции" начал использовать Н. Винер в своей монографии, изданной в 1933 году [68], объясняя введенное понятие аналогичным термином, используемым в физике. В 1945 году была опубликована статья А.Берлинга [55], в которой было дано определение спектра существенно ограниченной на вещественной оси М функции как совокупность тех вещественных Л € К , для которых функция £ н-» егХЬ : М —» С принадлежит Ь1(М)-замыканию линейных комбинаций сдвигов рассматриваемой функции. Затем Карлеманом было дано свое определение спектра функции, использующее ее преобразование Лапласа [17].

Начиная с работ А.Г. Баскакова [2], [3], [4], спектральная теория функций стала систематически применяться в вопросах изучения качественных свойств ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Основное внимание было уделено спектральным критериям почти периодичности ограниченных решений, определенных на всей оси М. Для случая полуоси М+ = [0, +оо) наиболее

возможным свойством поведения на бесконечности решений дифференциальных уравнений является их почти периодичность, включающая их возможное убывание, а также их стабилизацию на бесконечности.

Одними из первых работ в исследованиях по качественной теории уравнений параболического типа стали работы А.Н. Тихонова,

A.Н. Колмогорова, И.Г. Петровского и Н.С. Пискунова. В статьях

B.Д. Репникова[21], [49] и С.Д. Эйдельмана [51], В.Н. Денисова и В.В. Жикова [19], А. К. Гущина, В.П. Михайлова и Ю.А. Михайлова [15], Ф.Х. Мукминова [46] изучались вопросы стабилизации решений при £ —> сю (поточечной и равномерной) параболических уравнений.

Результаты о стабилизации решений, как правило, были получены при условии существования равномерного среднего у начальной функции. Актуальной является проблема описания асимптотического поведения решений без наличия этого условия. Именно этой проблеме посвящены многие результаты из глав 2 и 3 диссертации. Заменой свойства стабилизации является медленное изменение на бесконечности решения рассматриваемого параболического уравнения.

Для изучения медленно меняющихся на бесконечности функций возникает потребность использования спектральной теории функций.

В статье А. Берлинга 1945 года [55] был получен результат относительно спектральных свойств равномерно непрерывных ограниченных на вещественной оси функций. Далее последовала попытка С. Годема-на [57] доказать теорему Берлинга для существенно ограниченных комплексных функций, но в 1966 году в статье [63] П. Кусис установил ошибочность утверждения С. Годемана, а также заметил, что теорема Бер-

линга перестает быть верной для непрерывных ограниченных функций, и указал схему построения соответствующего примера. Обобщение теоремы Берлинга на функционалы из сопряженных пространств к некоторым классам полупростых коммутативных банаховых алгебр было получено Н. Домаром [56]. Им же было введено понятие "узкого"спектра функционалов. Исследования диссертации тесно связаны с вопросом обобщения теоремы Берлинга на более широкий класс функций. В частности, одним из результатов диссертации, полученном в главе 2, является теорема 2.2, которая обобщает теорему Берлинга на функции из однородного пространства, обладающие непустым существенным спектром. Таким образом, тема диссертации является вполне актуальной.

Цель работы состоит в получении обобщения теоремы Берлинга для функций из однородных пространств, имеющих непустой существенный спектр. Также целью является приложение полученных результатов к стабилизации решений параболических уравнений.

Методы исследования. Основными методами исследования в диссертации являются методы гармонического анализа, спектральной теории операторов, теории функций.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Доказано совпадение различных определений спектра и изучена взаимосвязь между различными подходами к определению спектра функции.

2. Обобщение теоремы Берлинга для специального класса функций из однородных пространств, заданных на локально компактной абеле-

вой группе. Установлено, что если непрерывный унитарный характер (экспонента, если группа совпадает с группой вещественных чисел К) является существенной точкой спектра функции, то характер является с-пределом линейных комбинаций сдвигов рассматриваемой функции.

3. При исследовании асимптотического поведения полугрупп операторов вводится специальный класс функций, называемых медленно меняющимися на бесконечности функциями. Изучены свойства таких функций и получено приложение к теории стабилизации слабых решений параболических уравнений.

4. Изучены качественные свойства слабых решений задачи Коши уравнения теплопроводности, а также слабых решений задачи Неймана для уравнения теплопроводности.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографии, включающей 68 наименований. Общий объем диссертации 91 страница.

Содержание диссертации. В первой главе приводится сводка широко используемых в диссертации понятий и результатов из теории топологических групп, банаховых модулей и представлений групп. Рассматриваются различные подходы к определению спектра функции и исследуется взаимосвязь между ними.

В статье [55] А. Берлингом было дано следующее понятие спектра функций из Ь°°(Ш).

Определение 1.10. Спектром функции х 6 называется

множество А (ж), состоящее из таких чисел Ао 6 К, для которых функ-

ция (характер) e\Q(t) = exp(i\ot), t £ R, содержится в ¿^-замкнутом подпространстве, порожденном сдвигами функции х.

Пусть G - локально компактная абелева группа, G - двойственная группа унитарных непрерывных характеров группы G.

Будем считать, что X - комплексное банахово пространство, которое является невырожденным банаховым L1 (С)-модулем, структура которого ассоциирована с некоторым изометрическим ограниченным представлением Т : G EndX. Введем теперь определение спектра Берлинга вектора [5] х из банахова Ll{G)-модуля (Х,Т).

Определение 1.13. Спектром Берлинга вектора х из банахова L1 (С)-модуля (Х,Т) называется множество А(ж) = А(х,Т) характеров из группы G, являющееся дополнением к множеству

а ' а

{7 £ G : существует / £ L (G) такая, что /(7) ^ 0 и fx = 0}, или, что эквивалентно,

А(х) — {j G G : fx ф 0, для любой / е Ll{G) с /(7) ф 0}.

Заметим, что определение 1.13 эквивалентно определению 1.10 для функций из L°°(R).

К множеству пробных функций отнесем все непрерывно

дифференцируемые бесконечное число раз функции на R, убывающие при t —> 00 вместе со всеми своими производными быстрее любой степени |i|-1, т.е. lim |:r(i)||£|m = 0 для любого m 6 N. Множество всех обоб-|—>-00

щенных функций медленного роста на j£f(R) обозначим через j£?'(R).

Пусть х G Cfc(R) является функцией медленного роста на бесконечности. Тогда х определяет регулярную обобщенную функцию медленно-

го роста Р 6 (К) по формуле

< р, (р >= J х(г)<р(г)(И, (р е (1.5)

к

Заметим,что поскольку X € Сь(М), то имеет смысл говорить о ее спектре Берлинга А(х) (см. определение 1.13). В первой главе диссертации доказывается следующее утверждение.

Теорема 1.3. Пусть х 6 С&(М) является функцией медленного роста на бесконечности, а обобщенная функция Р 6 Л?'(Ж) определяется по формуле (1.5). Тогда спектр Берлинга (см. определение 1.13) функции х совпадает с носителем обобщенного преобразования Фурье функции Р, т.е. справедливо равенство:

А (ж) = виррЕ.

Во второй главе диссертации получено обобщение теоремы Берлинга на специальный класс функций из однородных пространств, заданных на локально компактной абелевой группе, имеющих непустой существенный спектр. Основные результаты главы 2 получены для классов функций из следующего определения.

Определение 2.1. Банахово пространство ^"(С, Е) функций, определенных на группе С, со значениями в комплексном банаховом пространстве Е, называется однородным пространством функций, если выполнены следующие условия:

1) ¿^"(С, Е) содержит пространство Сь)И(С, Е) и содержится в пространстве ¿^(С, Е), причем вложения

Сь,и(С,Е)с^(С,Е)с31(С,Е) 10

инъективны и непрерывны (инъективность означает инъективность оператора вложения);

2) в ¿^"((7, Е) определена и ограничена группа 3(д), д £ С, операторов сдвигов функций

(ЗДх) (в) = ф + д), з,д Е <Я х 6 ^(С, Я);

3) для любых функций / £ гс е «^(С, Я) их свертка

(/**№) = 1/(т)х(д-т)<1т = I ¡{т){8{-т)х){д)ат в в

принадлежит и ||/*:г|| < Ц/ЦхЦхЦ;

4) <рх £ Е1) для любой х е <^"(<2, Е) и любой функции у? е О, (С) с компактным носителем вирр </?, причем ||у>я|| < 1М1оо|М| и отображение д I-)- (р8(д)х : —> <^"((2, -К) непрерывно.

Ясно, что банаховы пространства Е), Сь(С, Е), 3Р(С, Е),р Е

[1,оо), являются однородными пространствами.

Если Е = С, то символ Е в обозначении пространств будем опус-кать.Также предполагается, что группа С удовлетворяет условиям следующего предположения.

Предположение 2.1. Существует предкомпактное измеримое множество V из группы С? и дискретная подгруппа Л из С такие, что выполнены условия:

1 )(У + д{) П (V + д2) = 0 для любых ф д2 из I;

2)11 <У + д) = С.

де$

Для того чтобы сформулировать теорему Берлинга, нам потребуется определение особой сходимости, которая используется в его теореме, а именно, с-сходимости.

Определение 2.2. Пусть О - некоторое направленное множество. Направленность функций (ха), а G из однородного пространства JP(G,E) называется с-сходящейся к функции хо G <^(G,E), если она ограничена и \im\\cp(xa — жо)|| — О? Для любой функции ф G Cbu(G,E)

а '

с компактным носителем. Если, к тому же, Нт||:га|| = ||жо||, то иаправ-

а

ленность (ха) называется узко сходящейся к xq (см. [63]).

Следующим результатом в спектральном синтезе был оригинальный и действительно поразительный результат Берлинга (цитата из [53, гл.10, §40]).

Теорема 1.1 (Берлинг [55]). Пусть х G C&)U(R) их ^ 0. Тогда существует число Ао G К. и последовательность (хп) линейных комбинаций сдвигов функции х, которая узко сходится к функции (характеру) е\0.

Определение 2.3. Пусть - некоторое направленное множество и 7 G G. Ограниченная направленность (fa), а G О , функций из алгебры Ll(G) называется 7-направленностью, если выполнены условия:

1) /а(7) = 1 Для всех ск G П;

2) Нт/а * / = 0 для любой функции / G Ll(G) с /(7) = 0.

а

Определение 2.5. Характер 70 G G отнесем к существенному

спектру Aess(:r) вектора х из банахова 1/1(С)-модуля (.X, Т), если существует 7о-направленность (/„) из алгебры L1 ((?), для которой выполнено условие

Ш\\/ах\\ > 0.

а

Следующая теорема является основным результатом главы 2 диссертации.

Теорема 2.2. Пусть G = W1 х Zm х К, где k, т Е N U {0},

К - компактная группа, и пусть функция х принадлежит однородному пространству а характер 70 6 С принадлежит существенному

спектру А.езз(х) функции х.

Тогда существует направленность (ха), составленная из линейных комбинаций сдвигов функции х, которая с—сходится к характеру 7о-

В третьей главе вводится специальный класс функций, называемых медленно меняющимися на бесконечности, и исследуются свойства таких функций. Также, в третьей главе, получено приложение результатов диссертации к стабилизации слабых решений параболических уравнений, в частности, доказано, что каждое слабое решение задачи Коши для уравнения теплопроводности с начальной функцией из однородного пространства является медленно меняющейся на бесконечности функцией.

Через Е) обозначим замкнутое подпространство из ^"(С, Е)

вида {х £ ¿Р(С,Е) : функция д 3{д)х : <2 —¿Р(С,Е) непрерывна}, а через ¿^о(О, Е) - наименьшее замкнутое подпространство из ¿^"(С, Е), содержащее все функции (рх, х £ ^"(С?, Е), (р £ Сь(С), виррср - компакт.

Определение 3.1. Функция х £ <^с(С,Е) называется медленно меняющейся на бесконечности функцией, если для каждого а £ С выполнено 3(а)х — х £ ¿^о(О, Е).

Множество всех медленно меняющихся на бесконечности функций из с?(С,Е) будем обозначать через <^/((7, Е).

Функцию х, принадлежащую банахову пространству Сг,,и(М+, £7) равномерно непрерывных на М+ = [0, оо) функций со значениями в

банаховом пространстве Е назовем медленно меняющейся на бесконечности, если S(t)x—x принадлежит Co(R+, Е) = {х G Е) : lim х(т) = 0} для любого t G R+. В этом случае множество медленно

Т—¥ ОО

меняющихся на бесконечности функций будем обозначать символом Csi(R+,E).

Лемма 3.7. Для того чтобы функция х G Е) принадлежала

пространству Е), необходимо и достаточно, чтобы f * х — х G

J^o{G,E) для любой функции / G Ll(G), удовлетворяющей условию

/(о) = 1.

Теорема 3.1. Если х G Е), то мноэюество Л(а;) \ {0} содер-

жится в непрерывном спектре функции х и Aess(x) С {0}.

Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности с начальной функцией хо из однородного пространства J£"(R"):

I дх _ д

84 ' (3.6)

[а;(0,«) =®о(«)< s 6 К",

П

где (Arc)(s) = Y^ s = (sb --ч sn) £ t G R+. Классические решения i=1 i

этого дифференциального уравнения описывает полугруппа операторов U : R+ End&{\Rn) вида

{U{t)x)(s) = (ft * x)(s), s eRn, t e R+, x G ^(Rn),

гДе ft{s) = , £ > 0, s G R", |5|2 = £ Ы2.

Функцию ic(i, s) = (t/"(i)xo)(s), s G Rn, i > 0, назовем слабым решением задачи (3.6).

В следующей теореме слабое решение x(t,s), t G R+, s G Rn, задачи Коши (3.6) cio £ c^"(Rn), рассматривается как функция первого

аргумента со значениями в ^"(Rn), т.е. рассматривается функция

Теорема 3.12. Каждое слабое решение х задачи Коши (3.6) с хо Є сР(Кп) = является медленно меняющейся на бесконечности

функцией (элементом пространства С5г(М+,

Пусть Я - комплексное гильбертово пространство, ЕгмІН - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в Я. Рассмотрим задачу Коши (3.8)

где / Є L\R+, #)nC0(R+, Я), и Є Сь(Ш+, Я), оператор L : D(L) С Я

Я имеет дискретный спектр и является самосопряженным. Пусть L < О, т.е. (Lx,x) < 0, Vx G D(L), и 0 - изолированная точка спектра <t(L), которая является собственным значением кратности 1 (т.е. размерность ядра dimKerL = 1). Отметим, что оператор L является генератором некоторой СЬ-полугруппы (T{t)), t > 0.

Определение 3.5. Функция и 6 Сь(М+, Я) называется слабым решением задачи (3.8) (mild-solution), если она представима в виде

о

Теорема 3.13. Каждое слабое решение задачи (3.8) является медленно меняющейся на бесконечности функцией (элементом пространства С5/(К+, Н)).

х : R+ -> <^(Rn), 0ЗД)(з) = x(t, s), * Є R+, s Є ^(Rn).

f = Lu + f(t),t>0, u( 0) = 0,

(3.8)

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Калужина, Наталья Сергеевна, 2013 год

Литература

[1] Ахиезер Н. И. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве / Н. И.Ахиезер, И. М.Глазман // М.: Наука. - 1966. - 544 с.

[2] Баскаков А.Г. Некоторые вопросы теории векторных почти периодических функций / А.Г. Баскаков // Дис. канд. физ.-мат. наук. -Воронеж: ВГУ. - 1973.

[3] Баскаков А.Г. Спектральные критерии почти периодичности решений функциональных уравнений / А.Г. Баскаков / / Мат. заметки.- 1978-Т.24.- №2,- С. 195-206.

[4] Баскаков А.Г. Гармонический анализ косинусной и экспоненциальной операторных функций / А. Г. Баскаков // Матем. сб. - 1984. -Т.124(166). - №1(5). - С. 68-95.

[5] Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов / А.Г. Баскаков// - Воронеж: ВГУ. - 1987. - 165 с.

[6] Баскаков А.Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений / А.Г. Баскаков // Изв. РАН., Сер. матем. - 2009. - Т.73. - №2. - С. 3-68.

[7] Баскаков А.Г. Исследование линейных дифференциальных уравнений методами спектральной теории разностных операторов и линейных отношений / А.Г. Баскаков // Успехи математических наук. -2013. - Т. 68. - №1. - С.77-128.

[8] Баскаков А.Г. Теория представлений банаховых алгебр, абелевых групп и полугрупп в спектральном анализе линейных операторов / А.Г. Баскаков // СМФН, МАИ. - 2004. - Т.9 - С. 3-151.

[9] Баскаков А.Г. Гармонический анализ каузальных операторов и их спектральные свойства / А.Г. Баскаков, И.А. Криштал // Изв. РАН. Серия матем,- 2005,- Т. 69.- №3.- С.3-54.

[10] Баскаков А.Г. Теорема Бёрлинга и стабилизация решений параболических уравнений / А.Г. Баскаков, Н.С. Калужина// Мат. заметки.-2012,- Т.92.- №5.- С.3-21.

[11] Баскаков А. Г. Исследование линейных дифференциальных уравнений методами спектральной теории разностных операторов и линейных отношений / А.Г. Баскаков// УМН. - 2013. - Т. 68. - № 1 (409). -С. 77-128.

[12] Браттели У. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика / У. Браттели, Д. Робинсон// - М.: Мир. - 1982. - 512 с.

[13] Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения / Н. Винер// - М.: Физматлит. - 1963. - 256 с.

[14] Владимиров В. С. Уравнения математической физики / B.C. Владимиров// - М.: Наука. - 1976. - 512 с.

[15] Гущин А.К. О равномерной стабилизации решения второй смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка / А. К. Гущин, В. П. Михайлов, Ю. А. Михайлов // Матем. сб. - 1985. - Т. 170. - № 2 (10). - С. 147-168.

[16] Далецкий Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн// - М.: Наука. - 1970. - 535 с.

[17] Данфорд Н. Линейные операторы / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц// -М.: Мир. - 1966. - Т.2. - 1063 с.

[18] Данфорд Н. Линейные операторы / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц// -М.: Мир. - 1974. - Т.З. - 663 с.

[19] Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений /В.Н. Денисов, В.В. Жиков // Мат. заметки. -1985. - Т.37. - №6. - С. 834-850.

[20] Денисов В.Н. О поведении решений параболических уравнений при больших значениях времени / В.Н. Денисов // УМН. - 2005. - Т.362. -№4. - С. 145-212.

[21] Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений / В.Н. Денисов, В. Д. Репников //Дифференц. уравнения. - 1984. - Т. 20. - №. 1. - С. 20-41.

[22] Жиков В.В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения / В.В. Жиков, Б.М. Левитан// - М.: МГУ. - 1978. - 206 с.

■

[23] Жиков В.В. О стабилизации решений параболических уравнений / В.В. Жиков. // Матем. сб. - 1977. - Т.104. - №4. - С. 597-616.

[24] Ильин В.А. Линейная алгебра / В.А. Ильин, Э.Г .Позняк// - М.: Наука. - 1974. - 296 с.

[25] Калужина Н.С. Теорема Бёрлинга для непрерывных ограниченных функций и функций Степанова с дискретным спектром /Н.С. Калужина, C.B. Марюшенков // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. - Воронеж: ВГУ. - 2008. - №2.- С. 55-59.

[26] Калужина Н.С. Теорема Берлинга для непрерывных ограниченных функций / Н.С. Калужина// КРОМШ-2008. Тезисы докладов. -2008.- С.23.

[27] Калужина Н.С. Теорема Бёрлинга и ее приложения / Н.С. Калужина// КРОМШ-2009. Тезисы докладов. - 2009.- С.ЗО.

[28] Калужина Н.С. Теорема Берлинга для функций из однородных пространств / Н.С. Калужина// Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тезисы докладов. - Воронеж: ВГУ.- 2010,- С.73-74.

[29] Калужина Н.С. Медленно меняющиеся на бесконечности функции и их свойства /Н.С. Калужина// Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы 'Понтрягинские чтения XXI'. -Воронеж: ВГУ. - 2010.

[30] Калужина Н.С. Медленно меняющиеся на бесконечности функции / Н.С. Калужина// КРОМШ-2010. Тезисы докладов. - 2010. - С.20.

»

[31] Калужина Н.С. Теорема Бёрлинга для функций с дискретным спектром и стабилизация решений параболических уравнений / Н.С. Калужина/ / International Scientific Journal: Spectral and evolution problems.- 2010. - V.20. - C.145-149.

[32] Калужина Н.С. Медленно меняющиеся на бесконечности функции, периодические на бесконечности функции и их свойства /Н.С. Калужина/ / Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. - Воронеж: ВГУ. -2010. - №2,- С. 97-103.

[33] Калужина Н.С. Медленно меняющиеся на бесконечности функции и их приложения к стабилизации решений параболических уравнений / Н.С. Калужина// Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тезисы докладов.- Воронеж: ВГУ.- 2011.- С.43-44.

[34] Калужина Н.С. Теорема Бёрлинга и стабилизация решения уравнения теплопроводности / Н.С. Калужина// КРОМШ-2011. Тезисы докладов. - 2011. - С.25.

[35] Калужина Н.С. Качественные свойства слабых решений задачи Ко-ши / Н.С. Калужина// КРОМШ-2012. Тезисы докладов. - 2012. -С.29-30.

[36] Калужина Н.С. Качественные свойства слабых решений дифференциальных уравнений /Н.С. Калужина// Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тезисы докладов.- Воронеж: ВГУ.-2013. - С.52.

[37] Калужина H.С. Медленно меняющиеся на бесконечности функции и последовательности / Н.С. Калужина// Вестник факультета ПММ. -Воронеж: ВГУ. - 2010. - №8,- С. 209-214.

[38] Калужина Н.С. Качественные свойства слабых решений задачи Ко-ши / Н.С. Калужина// Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Математика. Механика. Информатика. - Саратов: СГУ. - 2013. - Т.13 - №1.- С. 8-13.

[39] Карпова Ю. Ю. Изучение второй начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом теплопроводности / Ю.Ю.Карпова, А.С.Рябенко // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: физика. Математика. - Воронеж: ВГУ. - 2011. - №1.- С. 168-174.

[40] Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин// - М.: ФИЗМАТЛИТ. -2004. - 572 с.

[41] Костин A.B. К теории функциональных пространств Степанова /

A.B. Костин, В.А. Костин// - Воронеж: Изд-во ВГУ. - 2007. - 259 с.

[42] Кузнецова В.И. Об обратимости разностно-интегрального оператора в пространстве медленно меняющихся функций / В.И. Кузнецова,

B.Г. Курбатов //Вестник Воронежского государственного университета. Серия: физика. Математика. - Воронеж: ВГУ. - 2013. - №2 - С. 168-174.

[43] Левин Б.Я. Распределение корней целых функций / Б.Я. Левин// -М.: Гостехиздат. - 1956. - 632 с.

*

[44] Левитан Б.М. Почти-периодические функции / Б.М. Левитан// - М.: ГИТТЛ. - 1953. - 396 с.

[45] Моррис С. Двойственность Понтрягина и строение локально компактных абелевых групп / С. Моррис// - М.: Мир. - 1980. - 102 с.

[46] Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка / Ф. X. Мукминов // Матем. сб. - 1980. - Т. 153. - №4. - С. 503-521.

[47] Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы / М.А.Наймарк // - М. : Наука. - 1969. - 528 с.

[48] Пак И.Н. О суммах тригонометрических рядов / И.Н. Пак // Успехи математических наук. - 1980. - Т.35. - №2. - С. 91-140.

[49] Репников В. Д. Некоторые теоремы о стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений/ В. Д. Репников // Докл. АН СССР. - 1963. - Т. 148. - С. 527-530.

[50] Репников В. Д. О равномерной стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений / В. Д. Репников // Докл. АН СССР. -1964. - Т. 157. - №3. - С. 532-535.

[51] Репников В. Д. Новое доказательство теоремы о стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности / В. Д. Репников, С. Д. Эйдельман // Матем. сб. - 1967. - Т. 115. - №1. - С. 155-159.

[52] Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики / Р.Рихтмайер// - М.: Мир. - 1982,- Ч. 1. - 486 с.

ч

[53] Росс К. Абстрактный гармонический анализ / К. Росс., Э. Хью-итт// - М.: Мир. - 1975. -Т.2. - 899 с.

[54] Сенета Е. Правильно меняющиеся функции / Е. Сенета// - М.: Наука. - 1985. - 144 с.

[55] Beurling A. Un theoreme sur les fonctions borness et uniformément continues sur l'axe reel / A. Beurling // Acta Math. - 1945. - № 77. -P. 127-136.

[56] Domar Y. Some results on norrow spectral analysis / Y. Domar // Math. Scand. - 1967. - № 20. - P. 5-18.

[57] Godement S. Theorems tauberiens et theorie spectrale / S. Godement // Annales de l'Ecole Normal Supérieure. - 1947. - № 64. - P. 119-138.

[58] Hardy G.H. A theorem concerning trigonometrical series / G.H. Hardy // J. London Math. Soc. - 1928. - № 3. - P. 12-13.

[59] Hardy G.H. Asymptotic fornulane for the sums of certain trigonometrical series / G. H. Hardy, W. W. Rogozinski//Quarterly J. of Math.- 1945. -V. 16. - №63-64. - P.-50-58.

[60] Kaluzhina N.S. Stabilization of solutions of parabolic equations / N.S. Kaluzhina // International Scientific Journal: Spectral and evolution problems.- 2011.- V.21.-P.177-180.

[61] Kaluzhina N.S. Asymptotic properties of solutions of differential equations / N.S. Kaluzhina // International Scientific Journal: Spectral and evolution problems.- 2012.- V.22. - P. 172-174.

[62] Karamata M. Sur un mode croissance reguliere theorems fundamentaux / M. Karamata // Bull. Soc. Math, de France. -1933. - №61. - P. 55-62.

[63] Koosis P. On the spectral analysis of bounded functions / P. Koosis // Amer. Math. Soc.- 1966. - № 16. - P. 121-128.

[64] Reiter H. Classical Harmonic Analysis and Locally Compact Groups / H.Reiter, Jan D.Stegeman // Oxford University Press, USA. - 1968. -344 p.

[65] Rudin W. Fourier analysis on groups / W. Roodin // Interscience publishers. - 1962. - 285 p.

[66] Schmidt M.R. Uber divergent Folgen und linear Mittelbildurgen / M.R. Schmidt // Math.Z. - 1925. - № 22. - P. 89-152.

[67] Nguyen Van Minh A spectral theory of continuous functions and the Loomis-Arendt-Batty-Vu theory on the asymptotic behavior of solutions of evolution equations/ N. Van Minh// J.Differential equations. - 2009. -№247. - P. 1249-1274.

[68] Wiener N. The Fourier Integral and Certain of Its Applications / N. Wiener // Cambridge, England: the University Press. - 1933. - 201 p.