Свойства отслеживания для семейств динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Тараканов, Олег Александрович

• Тараканов, Олег Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тараканов, Олег Александрович

Введение

Глава 1. Обобщенное отслеживание.

1. Основные определения

2. Постановка задачи

3. Случай диффеоморфизма.

4. Случай Н{М) = Z(M)

Глава 2. Свойства нечувствительности и предельной нечувствительности

1. Постановка задачи, основные определения и формулировки результатов

2. Доказательство теоремы 2.1.

3. Доказательство теоремы 2.1.

Глава 3. Слабое свойство отслеживания в £7-устойчивых динамических системах.

1. Основные определения и начальные сведения

2. Вспомогательные результаты

3. Доказательство теоремы 3.1.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Свойства отслеживания для семейств динамических систем»

Нелинейные дифференциальные уравнения (обыкновенные и в частных производных) являются основными моделями динамических процессов в естествознании. Поэтому изучение поведения решений дифференциальных уравнений - это одна из фундаментальных задач современной математики.

Для многих приложений теории дифференциальных уравнений наиболее важным является исследование поведения решений на бесконечных промежутках. Основными примерами являются классическая теория устойчивости движения, а также интенсивно развивающаяся в последнее время теория систем со сложным (квазистохастическим) поведением решений и теория аттракторов.

Хорошо известно, что построение решений нелинейных дифференциальных уравнений в явном виде возможно лишь в исключительных случаях. Кроме того, даже наличие явных представлений решений совсем не всегда позволяет эффективно описать их предельное поведение при стремлении времени к бесконечности.

Поэтому современные методы исследования динамики, порождаемой нелинейными дифференциальными уравнениями, основаны на взаимодействии двух подходов. Первый из них использует результаты качественной теории дифференциальных уравнений, базирующиеся на аналитических и топологических методах.

Второй подход использует результаты численного интегрирования исследуемых уравнений. Значение этого подхода неизмеримо возросло с появлением современных компьютеров, обладающих огромными памятью и быстродействием.

Следует отметить, что при отсутствии надежного контроля использование результатов компьютерного моделирования может привести исследователя к ошибочным выводам. По многим причинам (основными из которых являются неустранимые погрешности численных методов и ошибки округления) результат компьютерного моделирования дифференциального уравнения всегда является приближенным. Конечно, точность вычислений можно повышать, но при этом принципиально невозможно получать достоверную информацию о поведении решений на бесконечных промежутках времени, не прибегая к помощи качественной теории дифференциальных уравнений.

Вопрос о том, при каких условиях приближенные и точные решения могут быть равномерно близки на неограниченных временных промежутках, изучается теорией отслеживания (основным методам и результатам этой теории посвящены монографии [19] и [20]).

Удобнее всего формулировать основные определения и результаты этой теории в терминах динамических систем.

Пусть М - гладкое замкнутое многообразие с римановой метрикой р. Мы будем рассматривать два основных метрических пространства динамических систем: пространство гомеоморфизмов Z(М) с метрикой ро:

Ро(Ф,Ф) = тзх(т^(р(ф(х),ф(х)),тах(р(ф~1(х),ф'1(х)))))-, хем хем пространство диффеоморфизмов Diffx(M) с метрикой р\\ Рх{ф,ф) = ро(ф,ф) + тЫ\Пф{х) - Dil>(x)\)). х€.М

Фиксируем динамическую систему /. Фиксируем 6 > 0. Последовательность {#*;} G М, fc Е Z, называется <5-псевдотраекторией, если р(/(ж*), хь+\) <

Пусть {а^} - (5-псевдотраектория. Говорят, что она б-отслеживается точкой х 6 М, если p(fk(x), Xk) < е для любого k Е Z.

Говорят, что / обладает свойством отслеживания, если для любого е > О существует такое 5 > 0, что любая <5-псевдотраектория е-отслеживается некоторой точкой х б М.

Свойство отслеживания играет большую роль в численном моделировании, так как ясно, что если система / обладает свойством отслеживания, то приближенные траектории /, полученные численным путем (и, значит, являющиеся псевдотраекториями), отражают поведение точных траекторий системы на неограниченном промежутке времени.

Кроме того, свойство отслеживания играет также важную роль в теории динамических систем: ясно, что если две системы / и д близки в метрике ро, то точные траектории системы д будут приближенными траекториями системы /, следовательно, свойство отслеживания является слабым аналогом структурной устойчивости [20]. Также ясно, что если система / обладает свойством отслеживания, то множество неблуждающих точек f1(f) и множество цепно-рекуррентных точек CR(f) [21] совпадают.

Д.В. Аносов показал [7], что в окрестности гиперболического множества диффеоморфизма выполняется свойство отслеживания. Одним из важнейших результатов в теории отслеживания, следующим из работ В.А. Плисса [5] и [6] является следующая теорема (формулировку для диффеоморфизмов см. в [20, теорема 2.2.6]): если диффеоморфизм / структурно устойчив, то / обладает свойством отслеживания.

В первой главе диссертации изучается обобщенное свойство отслеживания, определяемое следующим образом.

Определение 1.2.1. Будем говорить, что для системы ф и некоторой ее окрестности U выполняется обобщенное свойство отслеживания, если для любого б > 0 существует такое 5 > 0, что для любых х^ € М, ф^ Е [/, k Е Z, удовлетворяющих неравенству pi^kixk), #fc+i) < S для любого к Е Z , существует такое р Е М, что р(фкфк-1.фо(р),хк+1) <е,к>0р{Фк1Фк-1-Ф-\(р)^к) <е,к< 0; р(р, хо) < е.

Будем также говорить, что система ф обладает обобщенным свойством отслеживания, если существует такая ее окрестность С/, что для (ф, U) выполняется обобщенное свойство отслеживания.

Изучение этого свойства важно для теории управления. Пусть U - некоторое множество в Diff1(M). Фиксируем точку х £ М. Рассмотрим два множества в М ([12], [15]).

Определение 1.2.3. Множество достижимости 1Z(x, U) С М - множество, состоящее из всех таких точек у Е М, что существуют такие К > 0, фк Е U, 0 < к < К, что выполняется равенство

Фк-1—Фо(х) = У

Определение 1.2.4. Множество цепной достижимости U) С

М - множество, состоящее из всех точек у Е М, таких, что для любого 5 > 0 существуют такие К > 0,xk Е Е U,0 < к < К, что выполняются неравенства х0 = х\ фк-\(хк-\) = У, р{Фк(хк),хк+1) < 6.

Определим множество Tt(x, U) как пролонгацию множества 7l(x, U) по начальному данному (по аналогии с [21], стр.32):

6(3, СО = р| С1 ( и К(У>Ю)' г> 0 р(у,х)<г

Легко показать, что верно следующее утверждение.

Утверждение 1.2.1. Пусть ф 6 Diff1(M). Пусть U С Уео(ф) при некотором 6q > Q и для (ф,У€о(ф)) выполняется обобщенное свойство отслеживания. Тогда для любой точки х € М верно равенство

K(x,U) = Kc(x,U).

Из результатов В.А. Плисса [5] и [6] следует следующая теорема.

Теорема 1.3.1. Пусть диффеоморфизм ф структурно устойчив. Тогда ф обладает обобщенным свойством отслеживания.

В [22] было доказано, что типичный гомеоморфизм обладает свойством отслеживания. В главе 1 также изучается обобщенное свойство отслеживания для гомеоморфизмов. Показано, что, в отличие от диффеоморфизмов, ни один гомеоморфизм не обладает обобщенным свойством отслеживания, но типичный гомеоморфизм обладает некоторым более слабым аналогом обобщенного свойства отслеживания (теорема 1.4.1). Результаты первой главы опубликованы в работе автора [1].

Хотя свойство отслеживания гарантирует, что в окрестности приближенной траектории существует точная траектория системы, но начальные данные этой траектории, вообще говоря, неизвестны. В некоторых случаях требуется гарантировать, что приближенная траектория с некоторыми начальными данными будет равномерно близка к точной траектории с теми же начальными данными. Поэтому в [8] определяется следующее свойство нечувствительности.

Определение 2.1.1. Пусть ф - гомеоморфизм. Определим множество Мв(ф) С М как множество всех таких точек a Е М, для которых выполнено следующее утверждение: для любого е > 0 существует такое 6 > О, что для любой последовательности точек {xk}k>о из того, что р(х0,а) < 5 и p(ip(xk),xk+1) < s при k>0, следует, что р(срк(а), Xk) < s при к > 0.

Если точка а 6 NS(4>), то говорится, что гомеоморфизм ф нечувствителен в точке а. В [8] было доказано, что для типичного гомеоморфизма ф существует множество второй категории 0{ф) С NS(ip).

В теории численных методов в последнее время изучаются методы, которые "подстраивают" себя на каждом шаге итераций, уменьшая погрешность приближенной траектории. В связи с этим, вводится предельное свойство отслеживания [20, определение 1.17].

Говорят, что система / обладает предельным свойством отслеживания, если для любой последовательности точек {xk}, к Е Z, удовлетворяющей условию p{f(xk),xk+1) 0 при \к\ оо, существует такая точка a G М, что p(fk(a),xk) ->• 0 при \к\ оо.

Предельное свойство отслеживания в настоящее время является одним из самых слабо изученных свойств отслеживания. Известно [20], что диффеоморфизм обладает предельным свойством отслеживания в достаточно малой окрестности его гиперболического множества ([20], теорема 1.4.1); известно также, что для многообразия размерности 1, это свойство является С°-типичным и эквивалентно свойству отслеживания (см. [20], гл. 3.1). Однако для многообразий большей размерности до сих пор неизвестна связь предельного и обычного свойств отслеживания; неизвестно даже, является ли предельное свойство отслеживания С°-типичным.

В главе 2 диссертации вводится и изучается предельный аналог свойства нечувствительности.

Определение 2.1.2. Определим множество LNS(ip) С М как множество всех таких точек а 6 М, для которых выполнено следующее утверждение: для любого £ > 0 существует такое S > 0, что для любой последовательности точек {£fc}fc>o из того, что р(х0, а) < 5, p((p(xk), Xk+i) < S при к > О, p((p(xk),Xk+i) -> 0 при к-* оо, следует, что p((ph(a),Xk) < с при к > О, p(ipk(a), Xk) 0 при к —> оо.

Если точка а Е LNSty), то говорится, что гомеоморфизм ф предельно нечувствителен в точке а.

Основными результатами главы 2 являются следующие теоремы, опубликованные в работе автора [2].

Теорема 2.1.1. Если dimМ > 2, то для типичного ф е Z(М) существует множество второй категории D(ip) С NS(cp)\LNS(<p).

Теорема 2.1.2. Если dim М = 1, то для типичного <p Е Z(М) существует множество второй категории D(ip) С NS(tp) П LNS((p).

Известно [10], что свойство отслеживания не является С^-типичным свойством диффеоморфизмов. Поэтому возникает необходимость в определении более слабых свойств отслеживания.

Говорят, что система / обладает слабым свойством отслеживания [13], если для любого е > 0 существует такое 6 > 0, что любая 5-псевдотраекто-рия лежит в е-окрестности точной траектории некоторой точки х £ М.

Недавно было доказано, что С^типичный диффеоморфизм обладает слабым свойством отслеживания [14]. Однако, как оказалось, для диффеоморфизмов слабое свойство отслеживания является более сложным для изучения, чем обычное. Так, для Г2-устойчивых систем на многообразии размерности 2 было получено необходимое и достаточное условие наличия свойства отслеживания, связанное с так называемым условием С°-трансверсальности [27].

На двумерном многообразии Q-устойчивый диффеоморфизм / обладает свойством отслеживания тогда и только тогда, когда для / выполняется условие С°-трансверсальности.

Однако для слабого свойства отслеживания такое условие до сих пор не найдено; более того, в [4] показано, что наличие или отсутствие слабого свойства отслеживания может быть связано с арифметическими свойствами собственных чисел гиперболических точек.

В главе 3 дается достаточное условие, при котором Q-устойчивый диффеоморфизм обладает слабым свойством отслеживания. Известно, что если диффеоморфизм / Q-устойчив, то / удовлетворяет Аксиоме А и условию отсутствия циклов. В этом случае неблуждающее множество / представляется в виде дизъюнктного конечного объединения гиперболических базисных множеств [2]:

Q(f) = U • • • U Qfc. Будем писать —у Qj для различных индексов г и j, если

Wu(Qi) П W8(Qj) ф 0, где и Ws(Qj) - соответственно, неустойчивое и устойчивое многообразия базисных множеств Q,{ и Qj.

Определение 3.1.12. Будем говорить, что фазовая диаграмма диффеоморфизма f содержит путь длины п, если существует п различных базисных множеств f^,., Qin, таких, что

----у Qin.

Основным результатом главы 3 является следующая теорема, опубликованная в работе автора [3].

Теорема 3.1.4. Пусть диффеоморфизм f удовлетворяет Аксиоме А и условию отсутствия циклов. Пусть в фазовой диаграмме f нет путей длины т > 3. Тогда f обладает слабым свойством отслеживания.

Эта теорема используется для изучения С1 -внутренности диффеоморфизмов, обладающих свойством слабого отслеживания {IntlWSP). В статье [25] было доказано, что если диффеоморфизм / £ IntlWSP удовлетворяет Аксиоме А и условию отсутствия циклов, и при этом его аттракторы и репеллеры тривиальны (то есть являются периодическими орбитами), то / удовлетворяет условию строгой трансверсальности. С помощью последней теоремы показывается, что если условие тривиальности аттракторов и репеллеров не выполняется, то / может обладать различными типами нетрансверсальности.

Следствие 3.3.1. Существует такое открытое множество

W С IntlWSP, что ни один диффеоморфизм f из W не удовлетворяет условию С0 -трансверсальности.

Следствие 3.3.2. Существует диффеоморфизм / 6 IntlWSP, имеющий сепаратрису, ведущую из седла в седло.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тараканов, Олег Александрович, 2005 год

1.. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений // ГИТТЛ. M-J1. 1949. 550с.

2. Пилюгин С. Ю. Введение в грубые системы дифференциальных уравнений // Изд. Ленинградского университета. 1988. 160с.

3. Пламеневская О. Б. Типичный гомеоморфизм не обладает свойством липшицева отслеживания // Мат. заметки. 1999. Т. 65. Вып.З. С.477-480.

4. Пламеневская О. Б. Слабое отслеживание для двумерных диффеоморфизмов // Вестник С.-Петерб. ун-та. Вып.1. 1999. С.49-56.

5. Плисс В. А. Равномерно ограниченные решения линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. Т.13. N.5. 1977. С.883-891.

6. Плисс В. А. Связь между различными условиями структурной устойчивости // Дифференциальные уравнения. Т.17. N.5. 1981. С.828-835.

7. Anosov, D. V. On a class of invariant sets of smooth dynamical systems // Proc. 5th Int. Conf. on Nonl. Oscill. Vol. 2. Kiev, 1970. P.39-45

8. Bernardes, M. C. On the Predictability of discrete dynamical systems // Proc. Amer. Math. Soc. 2002. Vol. 130. N 7. P.1983-1992.

9. Birkhoff, G.D. Dynamical systems // Colloquium Publications. Amer. Math. Soc., 1927. Vol. 9. 305p.

10. Bonatti, Ch, Diaz, L.J., Turcat, G. Pas de "shadowing lemma" pour des dynamiques partiellement hyperboliques. //C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. I Math. Vol.330. 2000. P.587-592.

11. Bowen, R. Equilibrium States and the Ergodic Theory of Anosov Dif-feomorphisms // Lect. Notes in Math. Vol. 470. Springer-Verlag, 1975. 108p.

12. Colonius, F., Weihua, Du. Hyperbolic control sets and chain control sets // J. Dynam. Control Systems. Vol. 7. 2001. N 1. P.49-59.

13. Corless, R., Pilyugin, S. Yu. Approximate and real trajectories for generic dynamical systems //J. Math. Anal. Appl. Vol.189. 1995. P.409-423.

14. Crovisier, S. Periodic orbits and chain transitive sets of C^-diffeomor-phisms // Institute de Mathematiques de Bourgogne. Rapport de Recherche n.368. 2004. 36p.

15. Grtine, L. Asymptotic Behaviour of Dynamical and Control Systems under Perturbation abd Discretization //Led. Notes in Math. Vol.1783. Springer, 2002. 231p.

16. Hirsch, M. W., Palis, J., Pugh, C., Shub, M. Neighborhoods of hyperbolic sets //Invent. Math. 1970. Vol.9. N 2. P.212-234.

17. Malta, I.P. Hyperbolic Birkhoff centers //Trans. Amer. Math. Soc. Vol.262. 1980. P.181-193.

18. Palis, J. On the С1 Q-stability conjecture //Publ. Math. IHES. Vol.66. 1988. P.211-217.

19. Palmer, K. Shadowing in Dynamical Systems. Theory and Applications // Kluver Academic Publishers. 2000. 299p.

20. Pilyugin, S. Yu. Shadowing in Dynamical Systems // Lect. Notes in Math. Vol. 1706. Springer, 1999. 271p.

21. Pilyugin, S. Yu. The Space of Dynamical Systems with the C°-Topology // Lect. Notes in Math. Vol. 1571. Springer, 1994. 188p.

22. Pilyugin, S. Yu., Plamenevskaya, О. B. Shadowing is generic // Topology and its Applications. Vol. 97. 1999. P.253-266.

23. Pugh, C., Shub, M. The fi-stability theorem for flows //Invent, math. Vol.11. 1970. P. 150-158.

24. Robinson, C. Dynamical Systems. Stability, Symbolic Dynamics and Chaos //CRC Press, Boca Raton, FL., 1998. 465p.

25. Sakai, K. A note on weak shadowing //Far East J. Dynam. Syst. Vol.3. 2001. P.45-49.

26. Sakai, K. Pseudo-orbit tracing property and strong transversality ofdiffeomorphisms on closed manifolds //Osaka J. Math. Vol.31. 1994. P.373-386

27. Sakai, K. Shadowing property and transversality condition //Dynamical Systems and Chaos. Vol.1. World Scientific, 1995. P.233-238.

28. Smale, S. Differentiable dynamical systems //Bull. Amer. Math. Soc. Vol.73. 1967. P.747-817.

29. Williams, R. F. The 'DA' maps of Smale and structural stability //Global Analysis. Proc. Sympos. Pure Math. Amer. Math. Soc. Vol.14. 1970. P.329-334.Публикации автора по теме диссертации.

30. Тараканов О. А. Обобщенное отслеживание в гладких и непрерывных динамических системах // Нелинейные динамические системы. Вып.5. СПб., 2003. С.87-116.

31. Тараканов О. А. Свойства нечувствительности и предельной нечувствительности для динамических систем // Вестник С.-Петерб. ун-та. 2005. Вып.1. С.40-47.

32. Tarakanov О. A. Weak shadowing in ^-stable diffeomorphisms // Electronic Journal Differential Equations and Control Processes. N.l. 2005. P.89-99.

33. Тараканов О. А. Свойства слабого отслеживания в Омега-устойчивых динамических системах // Симпозиум "Пуанкаре и проблемы нелинейной механики". Тезисы докладов. СПб., 2004. С.151-152.

34. Тараканов О. А. Типичность свойств нечувствительности и предельной нечувствительности // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Суздаль, 2004. С.205-206

35. Tarakanov, О. A. Generalized shadowing in dynamical systems // Tools for Mathematical Modelling. Abstracts. SPb., 2003. P.138.