Типичные свойства абелевых групп преобразований с инвариантной мерой и спектральная дизъюнктность тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Тихонов, Сергей Викторович

  • Тихонов, Сергей Викторович
  • кандидат физико-математических науккандидат физико-математических наук
  • 2003, Москва
  • Специальность ВАК РФ01.01.01
  • Количество страниц 99
Тихонов, Сергей Викторович. Типичные свойства абелевых групп преобразований с инвариантной мерой и спектральная дизъюнктность: дис. кандидат физико-математических наук: 01.01.01 - Математический анализ. Москва. 2003. 99 с.

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тихонов, Сергей Викторович

Введение

Часть 1. Типичные свойства действий групп Zd и Rd

1. Всюду плотность семейств действий специального вида

2. Типичные свойства действий группы

3. Свободные действия группы Rd

Часть 2. Типичные свойства действий дискретных абелевых групп

4. Типичные свойства действий группы Z°°

5. Типичные свойства действий групп Q^ и Q°°

6. Типичные свойства действий группы Ga

Часть 3. "Машина контрпримеров" Рудольфа, основанная на спектральной дизъюнктности

7. Общие сведения о перестановках конечных и счетных множеств

8. Централизаторы и факторы декартовых произведений

9. Аналоги примеров Рудольфа 83 Библиографические примечания 90 Предметный указатель 94 Список литературы

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Типичные свойства абелевых групп преобразований с инвариантной мерой и спектральная дизъюнктность»

Актуальность темы. Множество называется массивным, если оно является счетным пересечением всюду плотных Gs-множеств. Свойство А действий некоторой группы типично, если выполняется для массивного множества действий. Будем говорить "Для типичного действия выполняется свойство А если свойство А типично. Исследование типичных свойств групп преобразований началось с работ Халмоша [16] и Рохлина [46] ("Теоремы о категориях").

В работах Степина [52] появились /с-перемешивающие преобразования, которые также типичны и обладают свойством сингулярности сверточных степеней их максимальных спектральных типов. В разные годы были получены типичность дизъюнктности преобразования своему обратному, дизъюнктно-сти всех степеней преобразования [7], типичность преобразования коммутирующего только с элементами слабого замыкания его степеней [18], типичность й^-действия, ненулевые элементы которого не сопряжены своим обратным [32]. В последнее время были получены результаты о том, что типичное преобразование имеет корни всех степеней [19], (более того, несчетное число корней всех степеней [34]) является расширением конечной абелевой группы, [33], вкладывается в поток [6], и более того в несчетное множество потоков [53].

В [26] Рудольф построил "машину контрпримеров", которая позволяет получать преобразования с необычными свойствами. В своей конструкции оп использовал декартовы произведения очень специфического преобразования и их композиции с перестановками координат. Всего Рудольф построил 9 примеров. Леманчик и дель Юнко [20] показали, что большинство примеров можно построить используя декартовы произведения степеней типичного преобразования. Они сообщили, что умеют строить 6 из 9 примеров. Используемое ими типичное свойство является обобщением спектральных свойств «-перемешивания.

Цель работы. Исследовать типичные действия абелевых групп и построить примеры необычных действий опираясь на взаимную дизъюнктность сверточных степеней максимального спектрального типа.

Научная новизна. Основные результаты диссертации новы и состоят в следующем:

1) Получен ответ на вопрос де ла Рю и де Сем Лазаро о типичности действия вкладываемого в свободное ^-действие.

2) Получены примеры действий абелевых групп с необычными свойствами, в частности, пары Z^cftcTBiifi, всс элементы которых, соответствующие одному моменту времени эквивалентны, кроме двух.

3) Доказана вполне сингулярность для типичных действий группы Zd.

Свободность здесь понимается в смысле [33], то есть действие свободно, если не имеет двух одинаковых элементов.

Методы исследования. В работе используются спектральные и аппроксима-ционные методы.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть полезны специалистам в эргодической теории.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на семинарах по динамическим системам в МГУ в 2000-2003г.г.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех частей, библиографических примечаний и списка литературы.

Похожие диссертационные работы по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тихонов, Сергей Викторович, 2003 год

1. Akcoghi М. A., Chacon R. V., Schwartzbauer Т. Commuting transformations and mixing // Proc. Amer. Math. Soc.-1970.-Vol. 24.-Pp. 637-642.

2. Alpern S. Return times and congugates of an antiperiodic transformation // Ergodic th." and Dinamic Syst.-1981.—Vol. 1.-Pp. 135-143.

3. Anzai H. Ergodic skew product transformations on the torus // Osaka Math. J.—1951.—Vol. 3, no. 1. — Pp. 83-99.

4. Chacon R. Transformations having continuous specrum // J.Math, and Mech. — 1966. — Vol. 16, no. 5.— Pp. 399-415.

5. Dovmarowicz Т., Kwiatkowski J. Weak closure theorem fails for Z2-actions // preprint.

6. Ergodic transformations conjugate to thier inverses by involutions / G. R. Goodson, M. Lemanczyk, A. del Junco, D. J. Rudolph // Ergodic th. and Dyn. Syst. —1996. — Vol. 16. —Pp. 97-124.

7. Friedman N., Gabriel P., King J. L. An invariant for rigid rank-1 transformations If Ergodic Theory of Dynam.Systems. —1988. — Vol. 8. —Pp. 53-72.

8. Purstenberg H. Disjointness in ergodic theory, minimal sets, and a problem in deophantine approximation // Math. Syst. Theory. —1967. — Vol. 1. —Pp. 1-49.

9. Glasner E., King J. L. A zero-one law for dynamical properties // Contemporary Mathematics. —1998. — Vol. 215.-Pp. 231-242.

10. Goodson G. R., Lemanczyk M. Transformations conjugate to their inverses have even essential values // Proc. of AMS. —1996. — Vol. 124.-Pp. 2703-2710.

11. Goodson G. R., Ryzhikov V. V. Conjugations, joinings, and direct products of locally rank-one dynamical systems // J. Dyn. and Contr. Syst. —1997.—Vol. 3. —Pp. 321-341.

12. Hahn P., Parry W. Some characteristic properties of dynamical systems with quazi-discrete spectrum // Math. Syst.-1968.-Vol. 2.-Pp. 179-190.

13. Halmos P. Approximation theories for measure — preserving transformations 11 Trans. Amer. Math. Soc.— 1944.-Vol. 55, no. l.-Pp. 1-18.

14. Katznelson Y., Weiss B. Commuting measure preserving transformations // Israel J.Math. —1972.— Vol. 12.-Pp. 16-173.

15. King J. L. The commutant in the weak closure of the powers, for rank-1 transformations // Ergod. Th.Dinam. Sys. —1986.—Vol. 6. —Pp. 363-384.

16. King J. L. F. The generic transformation has roots of all orders // Colloquium mathematicurn. — 2000. — Vol. 84/85, no. 2.-Pp. 521-547.

17. Lemanczyk M., del Junco A. Generic spectral properties of measure-preserving maps, and applications // Prvc.Amer.Math. Soc. -1992. — Vol. 115, no. 3.-Pp. 725-736.

18. Lemanczyk M., del Junco A. Simple systems are disjoint from gaussian systems // Studia Math. —1999.— Vol. 133, no. 3.-Pp. 249-256.

19. Newton D. Coaliscence and spectrum of automorphisms of lebesque space // Z. Wahr. Verw. Geb. —1971.— Vol. 19.-Pp. 117-122.

20. Omstein D. S. On the root problem in ergodic theory // Proc.Sixth Berkeley Sympos.Math.Statist.Probab. — 1972.-Vol. 2.-Pp. 347-356.

21. Ornstein D. S., Weiss B. Entropy and isomorphism theorems for actions of amenable groups // J. d'Analyse Math. —1987.—Vol. 48.-Pp. 1-141.

22. Prikhodko A. A. Special representations of Zd-actions // J. of Dinam and Conrol Syst. —1996. — Vol. 2, no. 2. —Pp. 239-253.

23. Rudolph D. J. An example of a measure-preserving map with minimal self-joinings and applications // J.AnaLMath. —1979. — Vol. 35.-Pp. 97-122.

24. Ryzhikov V. V. Joinings, intertwining operators, factors and mixing properties of dynamical systems I j Mat. sb.-1992.-Vol. 183, no. 3.-Pp. 133-160.

25. Ryzhikov V. V. Intertwinings of tensor products, and the stochastic centralizer of dynamical systems // Sbomik Math. —1997. — Vol. 188, no. 2.-Pp. 237-263.

26. Ryzhikov V. V. Homogeneous spectrum, disjointness of convolutions, and mixing properties of dinamical sytems // Selected Russian Math. —1999. — Vol. 1, no. 1. —Pp. 13-24.

27. Ryzhikov V. V., Prikhod'ko A. A. Disjontness of convolutions for chakon's authomorphism // Col. Math.— 2000.-Vol. 84/85, no. l.-Pp. 67-74.

28. Thouvenot J. Quilques proprifetes des systems dinamiques qui sedecomposent en un produit de deux systems dont l'un est un schema de bernoulli // Isr. J. Math. —1975. —Vol. 21, no. 2-3. —Pp. 177-207.

29. Агеев О. H. О сопряженности группового действия своему обратному // Мат. заметки.—1989.— Т. 45.W3.-C. 3-11.

30. Агеев О. Н. Типичный автоморфизм пространства Лебега сопряжен с G-расширением для любой конечной абелевой группы G / j ДАН.—2000.—Т. 374, Л* 4. —С. 439-442.

31. Агеев О. Н. О типичности некоторых неасимптотических динамических свойств J j Успехи мат. наук. — 2003. — Т. 58, Л* 1. —С. 177-178.

32. Вершит А. М. Общая теория гауссовых мер в линейных пространствах // Успехи мат. наук. — 1964. — Т. 19, 1.-С. 210-212.

33. Каток А. В. Энтропия и аппроксимации динамических систем периодическими преобразованиями // Функц. анализ.—1967.—Т. 1, 1. —С. 75-85.

34. Колмогоров А. И., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Москва: Наука, 1989.

35. Корнфельд И., Синай Я., Фомин С. Эргодическая теория. — Москва: Наука, 1980.

36. Куратовсхий К. Топология.—Москва: Мир, 1966.—Т. 1.

37. Малышев В. А. Почти инвариантные меры // Вест. Моск. Ун-та. —1964.—Т. 1, Л* 6. —С. 48-50.

38. Оселедец В. И. Автоморфизм с простым и непрерывным спектром без группового свойства // Мат. заметки. —1969.—Т. 5, Л* 3.—С. 323-326.

39. Оселедец В. И. Пример двух неизоморфных систем с одинаковым простым сингулярным спектром // Функц. анализ и его прил.—1971. —Т. 5, Л* 3. — С. 75-79.

40. Приходъко А. А. Специальное представление апериодического автоморфизма пространства Лебега // Мат. заметки.—1995.—Т. 58, № 2. —С. 314-317.

41. Приходъко А. А. Разбиение на башни фазового пространства Z''-действия сохраняющего меру // Мат. заметки.—1999.-Т. 65, № 5. — С. 712-725.

42. Приходъко А. А., Рыжиков В. В. Максимальная лемма Рохлина-Халмоша-Альперна // Вест. Моск. Ун-та. —1996.—JV* 3. —С. 37-41.

43. Рохлин В. А. Избранные вопросы метрической теории динамических систем // Успехи мат. наук.— 1949.-Т. 30, JY» 2.-С. 57-128.

44. Рохлин В. А. Общее сохраняющее меру преобразование есть перемешивание j j Мат. сборник.— 1949.-Т. 67, JV* 1.-С. 107-150.

45. Рыжиков В. В. Об ассиметрии каскадов // Труды мат.инст. им. Стеклова. —1997. — Т. 216.— С. 154-157.

46. Синай Я. Г. О свойствах спектров эргодических динамических систем // Докл. Акад. Наук. — 1963. — Т. 150, № 6. —С. 1235-1237.

47. Степин А. М. О квадратных корнях из метрических автоморфизмов // ДАН. —1967. — Т. 176, № 5. — С. 1023-1026.

48. Степин А. М. О связи аппроксимативных и спектральных свойств метрических автоморфизмов // Мат. заметки.— 1973. —Т. 13, № 3. —С. 403-^09.

49. Степин А. М. Спектральные свойства типичных динамических систем // Мат. Известия.— 1986.— Т. 50, №4.-С. 801-834.

50. Степин А. М., Еременко А. Типичное сохраняющее меру преобразование имеет обширный централизатор // ДАН. 2004. - Т. 394, № 6. — С. 739-742.

51. Степин А. М., Каток А. В. Аппроксимации в эргодической теории // Успех, мат. наук.— 1967.— Т. 22,JV*5.-C. 81-106.

52. Тихонов С. В. О связи метрических и спектральных свойств Z''-действий // Фундам. и прикл. математика. — 2002.—Т. 8, № 4.-С. 1179-1192.

53. Тихонов С. В. Типичное действие группы Ъл вкладывается в действие группы Jf1 // ДАН. — 2003.— Т. 391, Л» 1. —С. 26-28.

54. Халмош П. Р. Лекции по эргодической теории. — Москва: Изд. Иностр.Литературы, 1959.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.