Трёхэлементные краевые задачи типа Римана в классах метааналитических функций в круге тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Алексеенков, Владимир Витальевич

• Алексеенков, Владимир Витальевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Алексеенков, Владимир Витальевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

1.1. Основные обозначения и понятия.

1.2. Вспомогательная краевая задача в классах аналитических функций

1.3. Краткий обзор литературы по краевым задачам в классах полианалитических и метааналитических функций.

ГЛАВА II. ОСНОВНЫЕ ТРЁХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА В КЛАССАХ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПЕРВОГО ТИПА В КРУГОВОЙ ОБЛАСТИ.

2.1. Постановка основных трёхэлементных краевых задач типа Римана в классах метааналитических функций.

2.2. Решение и исследование картины разрешимости задачи GRlM в классах метааналитических функций первого типа в круговой области.

2.3. О некоторых частных случаях задачи GRlM в классах метааналитических функций первого типа, допускающие решение в замкнутой форме.

2.4. Решение и исследование картины разрешимости задачи GR2 м в классах метааналитических функций первого типа в круге.

ГЛАВА III. ОСНОВНЫЕ ТРЁХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА В КЛАССАХ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ВТОРОГО ТИПА В КРУГОВОЙ ОБЛАСТИ.

3.1. Решение задачи GRlM в классах метааналитических функций второго типа в круговой области.

3.2. Исследование картины разрешимости задачи GRX м в классах метааналитических функций второго типа.

3.3. Об одном частном случае задачи GRX M в классах метааналитических функций второго типа, допускающем эффективное решение.

3.4. Метод решения и исследование картины разрешимости задачи GR1U в классах метааналитических функций второго типа в круговой области.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Трёхэлементные краевые задачи типа Римана в классах метааналитических функций в круге»

В современной теории функций комплексного переменного одной из важнейших областей исследований является теория краевых (граничных) задач в классах аналитических функций и их различных обобщений.

В настоящее время теория краевых (граничных) задач в классах аналитичеdF(z) ских функций, т.е. решений уравнения Коши-Римана =0, благодаря

О Z фундаментальным работам JI.A. Аксентьева [4], Б.В. Боярского [22], И.Н. Векуа [24], Н.П. Векуа [26], Ф.Д. Гахова [29], Э.И. Зверовича [34], P.C. Исаханова [35]-[36], Д.А. Квеселава [38], Г.Ф. Манджавидзе [47], Л.Г.Михайлова [51], Г.С. Михлина [52], Н.И. Мусхелишвили [54], Л.И. Чибриковой [76] и многих других известных математиков, приняла уже завершенный вид.

Однако, для решения некоторых прикладных задач, сводящихся к уже хорошо исследованным краевым задачам, классической теории последних оказывается недостаточно. Поэтому при постановке задач возникает необходимость в расширении классических предположений о классах заданных и искомых функций, о классах рассматриваемых контуров и о других параметрах задачи. Исследования ведутся в различных направлениях: обобщаются полученные ранее результаты для более широкого класса контуров; рассматриваются различные задачи, содержащие граничные значения функции, комплексно сопряжённой с искомой; граничные задачи в классах различных обобщений аналитических функций и т.д.

Так, например, в последнее время, как в России, так и за ее пределами (Беларусь, Германия, Китай, КНДР, Украина, Черногория и др.) наблюдается интерес к краевым задачам в классах функций, являющихся различными обобщениями класса аналитических функций комплексного переменного (например, полианалитических, метааналитических, регулярных решений так называемого уравнения Бауэра-Пешля и т.д.) [21], [44], [47], [57]-[65], [67]-[68], [73]-[74], [79], [84]-[85]. В частности это явление обусловлено тем, что, как было обнаружено Г.В. Колосовым [39], эффективным средством для решения задач плоской теории упругости могут служить так называемые бианалитические функции, т.е. решения дифференциального уравнения ——1^- = 0. Кроме того, теория dz краевых задач для различных обобщений аналитических функций тесно связана с теорией дифференциальных уравнений [17], [77], теорией бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны [24] и другими разделами современной математики и механики [1]-[2], [25], [37], [40], [43], [45], [53], [56]-[57], [66], [73], [78], [87].

Большой вклад в развитие указанного направления внесли В.М. Адуков [1]-[2], И.А. Бикчантаев [19], A.B. Бицадзе [20], В.А. Габринович [27], М.П. Га-нин [28], Ф.Д.Гахов [29], В.И. Жегалов [32]-[33], K.M. Расулов [57]-[61], B.C. Рогожин [67], P.C. Сакс [68], И.А. Соколов [71]-[72], М. Canak [80]-[81], В. Damjanovich [82]-[83], C.R. Shoe [86] и др.

Данная диссертация посвящена исследованию трёхэлементных линейных краевых задач типа Римана в классах кусочно метааналитических функций в круге, т.е. в классах функций, являющихся решениями дифференциального уравнения вида d2F(z) dF(z) dz2 1 dz fiT^ + fli + = (0.1) где а0,а1 — некоторые комплексные числа.

Пусть Т+ :\г\<1} - единичный круг на плоскости комплексного переменного г ~х + 1у. Обозначим границу круга Т+ через Ь, а область, дополняющую замкнутый круг Т+ и Ь до расширенной комплексной плоскости - через Т~.

Задача <*й1>м.

Требуется найти все кусочно метааналитнческне функции Е(г) = (г),(г)} класса2 М2(Т± )пЯ(1) (Ь), исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на Ь = {t:\t\~l} граничным условиям:

1 Краевые задачи комплексного анализа называются трёхэлементными, если их краевые условия содержат три различных элемента (граничных значений) неизвестных функций (более подробно см., например, [46], с. 220.)

2 Определение класса М2(Т±)пНт(Ь) см. нас. 18-19.

0.2) ох ох ох

03) ду ду ду где <3^(0. gk(,t) (А = 1,2;} = 1,2) - заданные на Ь функции, удовлетворяющие условию Н(Ь) (Гёлъдера), причем Ск1(1) Ф 0 на Ь. Задача GR2U.

Требуется найти все кусочно метааналитические функции F(z) = {F+(z),F(z)} класса М2(Т±) П Н^(Ь), исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на Ь граничным условиям:

F+ (0 = Gn(t)F-(t) + C, ,U)F (,) + g, (Г), (0.4) l=G2lit)s-nü+Gn(tfpl + gÄt), (0.5) дп+ дп оп где д/дп+ (д/дп) - производная по внутренней (внешней) нормали к L, Gkj-(t), gk (t) {k = 1,2; j -1, 2) - заданные на L функции, удовлетворяюгцие условию

H(L) (Гёлъдера), причем Gk] (t)^Q на L.

Прежде всего заметим, что при условии Gn(t) = G22(t) = 0 задачи GRX м и

GR2 м впервые были поставлены Ф.Д. Гаховым в классе полианалитических функций как некоторые естественные обобщения краевой задачи Римана для аналитических функций (см. [29], § 32).

В случае Gl2(t) = G22(t) = 0 и когда L = {z:\z\=\} задачи GR1M и GR2M были решены И.А. Соколовым в 60-х годах прошлого века при помощи хорошо известного в математической физике метода решения краевых задач в областях с аналитическими границами [71]-[72]. Позднее K.M. Расулову (см., например, [57]) совершенно иным методом удалось решить задачи Gi?, м и GR2 м (при

Gl2(t) = G22(t) = 0) в случае произвольных конечносвязных областей с гладкими границами как в классах бианалитических (полианалитических) функций, так и в классах метааналитических функций и некоторых их обобщений.

Впервые краевые задачи вида м и СЛ2,м в классах кусочно полианалитических функций (без дополнительного условия Сг12(0 - ^ггСО = 0) были сформулированы К.М. Расуловым в монографии [57] в качестве естественных и важных обобщений основных (двухэлементных) краевых задач типа Римана в классах полианалитических функций.

В работах Н.Г. Анищенковой [15]-[16] задачи С/?1>м и м были исследованы в классах кусочно бианалитических функций. Но, поскольку многие качественные свойства метааналитических функций существенно отличаются от свойств бианалитических функций (см., например, [18], [23], [77], [86]), то при исследовании краевых задач (х/?, м и <77?2 М в классах кусочно метааналитических функций возникает необходимость в использовании совершенно новых подходов и дополнительных математических средств (в частности, аналитическую теорию дифференциальных уравнений). Поэтому разработка методов решения задач С1?, м и (71?2 м в классах метааналитических функций является актуальной проблемой.

Целью настоящей работы является развитие общих методов решения краевых задач 67?! м и Сг1?2 м в классах кусочно метааналитических функций, построение теории их разрешимости и выявление их частных случаев, допускающих решение в замкнутой форме (в интегралах типа Коши).

Перейдём к краткому изложению содержания работы.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Алексеенков, Владимир Витальевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены методы решения первой и второй основных трёхэлементных краевых задач типа Римана в классах кусочно метааналитических функций в случае, когда линией скачков является окружность. Эти методы основаны на представлениях кусочно метааналитических функций через аналитические функции комплексного переменного, а также на теории так называемых обобщенных краевых задач Римана в классах кусочно аналитических функций. При этом в работе существенно использованы методы теории функций комплексного переменного, теория интегральных уравнений (сингулярных и типа Фредгольма второго рода), аналитическая теория дифференциальных уравнений. Кроме того, активно применяется теория скалярных и матричных краевых задач Римана в классах аналитических функций.

При помощи разработанных методов решения рассматриваемых задач установлены необходимые и достаточные условия их разрешимости, а также их нётеровость. Кроме того, в работе выделены частные случаи, когда трёхэлементные краевые задачи типа Римана в классах метааналитических функций в круге допускают решение в замкнутой форме (в интегралах типа Коши).

Предложенные в работе методы исследования и полученные результаты могут быть применены и при решении многоэлементных краевых задач в классах метааналитических функций, отличных от изученных (например, краевых задач со сдвигом, четырехэлементных краевых задач и т.д.).

Среди результатов, полученных в диссертации, к основным относятся следующие:

1. Разработаны методы решения первой и второй основных трёхэлементных краевых задач типа Римана в классах кусочно метааналитических функций в случае, когда линией скачков является окружность.

2. Установлены необходимые и достаточные условия разрешимости указанных задач, а также их нётеровость.

3. Выделены частные случаи, когда трёхэлементные краевые задачи типа Римана в классах кусочно метааналитических функций в круге допускают решение в замкнутой форме (в интегралах типа Коши).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Алексеенков, Владимир Витальевич, 2008 год

1. Адуков В.М. Матричная задача аппроксимации Паде как краевая задача Римана / В.М. Адуков // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Сер. Математика, физика, химия. 2003. - Вып. 3, №6 (22). - С. 20-35.

2. Адуков В.М. Факторизация Винера-Хопфа и аппроксимации Паде матриц-функций: дис. . д-ра физ.-мат. наук: 01.01.01 / Адуков Виктор Михайлович. Челябинск, 2006. - 314 с.

3. Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения: пер. с англ. / Э.Л. Айне; под ред. А.М. Эфроса. Харьков: ГНТИУ, 1939. - 719 с.

4. Аксентьев JI.A. Теория обратных краевых задач для аналитических функций и ее приложения / JI.A. Аксентьев, Н.Б. Ильинский и др. // Итоги науки и техники. Сер. Матем. анализ. Т. 18. - М.: ВИНИТИ, 1980. - С. 67-124.

5. Алексеенков В.В. О решении трехэлементной краевой задачи типа Газе-мана для некоторых обобщений бианалитических функций / В.В. Алексеенков //

6. Анищенкова Н.Г. Трехэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Анищенкова Надежда Геннадьевна. Смоленск, 2002. — 120 с.

7. БалкМ.Б. Полианалитические функции и их обобщения / М.Б. Балк // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Сер. Сов. пробл. матем. фун. напр. Т. 85. - М.: ВИНИТИ, 1991.-С. 187-246.

8. Балк М.Б. О метааналитических функциях / М.Б. Балк, М.Ф. Зуев // Материалы научн. конф. Смоленского пед. ин-та, посвященной 50-летию ин-та. -Смоленск, 1971. С. 250-258.

9. Бикчантаев И.А. Некоторые краевые задачи для одного эллиптического уравнения: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Бикчантаев Ильдар Ахмедович. -Казань, 1972. 89 с.

10. Бицадзе A.B. О единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными / A.B. Бицадзе // Успехи матем. наук. 1948. - Т. 3, Вып. 6. - С. 211-212.

11. Болотин И.Б. Кусочно непрерывные краевые задачи типа Римана в классах бианалитических функций: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Болотин Иван Борисович. Смоленск, 2004. - 110 с.

12. Боярский Б.В. Об обобщенной граничной задаче Гильберта / Б.В. Боярский // Сооб. АН Груз. ССР. Т. 25, Вып. 4. - 1960. - С. 385-390.

13. ВекуаИ.Н. Обобщённые аналитические функции / И.Н. Векуа. М.: Наука, 1988.-509 с.

14. Векуа Н.П. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений и приложения в механике / Н.П. Векуа. М.: Наука, 1991. - 255 с.

15. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений / Н.П. Векуа. -М.: Наука, 1970.-379 с.

16. Габринович В.А. Краевые задачи карлемановского типа для полианалитических и метааналитических функций: дис. д-ра физ.-мат. наук. Минск, 1977.

17. ГанинМ.П. Краевые задачи для полианалитических функций / М.П. Ганин // Докл. АН СССР. 1951. - Т. 80, №3. - С. 313-316.

18. Гахов Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. -М: Наука, 1977. 640 с.

19. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений / В.В. Голубев. М.: Наука, 1966. - 436 с.

20. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / Г.М. Голузин. М.: Наука, 1966. - 628 с.

21. Жегалов В.И. Некоторые краевые задачи для полианалитических функций / В.И. Жегалов // Тр. Семинара по краевым задачам / Казанск. ун-т. 1976. -Вып. 13.-С. 80-85.

22. Жегалов В.И. Об одном обобщении полианалитических функций / В.И. Жегалов // Тр. Семинара по краевым задачам / Казанск. ун-т. 1975. -Вып. 12. - С. 50-57.

23. Зверович Э.И. Двухэлементные краевые задачи и метод локально-конформного склеивания / Э.И. Зверович // Сибирский матем. журнал. 1973. -Т. 14, № 1.-С 64-85.

24. Исаханов P.C. Дифференциальная граничная задача линейного сопряжения и её применение к теории интегральных дифференциальных уравнений / P.C. Исаханов // Сообщ. АН Груз. ССР. 1958. - Т. 20, №6. - С. 659-666.

25. Исаханов P.C. Линейные граничные задачи со смещениями теории функций: дис. . д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / Исаханов Рагим Сулейманович. -Тбилиси, 1983.-281 с.

26. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости / А.И. Каландия. М.: Наука, 1973.-303 с.

27. Квеселава Д.А. Некоторые граничные задачи теории функций / Д.А. Квеселава // Тр. Тбилисского матем. ин-та. 1948. - Т. XVI. - С. 39-90.

28. Колосов Г.В. Применение комплексной переменной в теории упругости / Г.В. Колосов. М.-Л.: ОНТИ, 1935.-224 с.

29. Коэн Д.Б. Граничные задачи в теории массового обслуживания / Д.Б. Коэн. М.: Мир, 1987. - 272 с.

30. Краснов М. Л. Интегральные уравнения / М.Л.Краснов. М.: Наука, 1975.-301 с.

31. Курош А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. СПб.: Изд-во «Лань», 2005.-432 с.

32. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. -М.: Наука, 1973. 736 с.

33. Левинский C.B. Краевые задачи для функций, полианалитических в области: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Левинский Сергей Васильевич. -Одесса, 1991.-142 с.

34. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела / С.Г. Лех-ницкий. М.: Наука, 1977. - 415 с.

35. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом / Г.С. Литвинчук. М: Наука, 1977. - 448 с.

36. Манджавидзе Г.Ф. Граничные задачи сопряжения со смещением для аналитических и обобщенных аналитических функций / Г.Ф. Манджавидзе. -Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1990. 174 с.

37. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. В 2 т. Т. 1. / А.И. Маркушевич. М.: Наука, 1967. - 620 с.

38. Медведев Ю.А. Об одной четырехэлементной краевой задаче типа Ри-мана для бианалитических функций / Ю.А. Медведев, K.M. Расулов // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика, физика, химия». Челябинск, 2006. - Вып. 7. -№7(62)-С. 54-58.

39. Медведев Ю.А. Четырехэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Медведев Юрий Анатольевич. Смоленск, 2007. - 115 с.

40. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его приложение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами / Л.Г. Михайлов. Душанбе, 1963. - 192 с.

41. Михлин С.Г. Интегральные уравнения и их приложения к некоторым проблемам механики, математической физики и техники / С.Г. Михлин. -М.Л.: ГИТИ, 1949.-378 с.

42. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1966. - 707 с.

43. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1968. - 511 с.

44. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций / И.И. Привалов. -М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. 337 с.

45. Прусов И.А. Двумерные краевые задачи фильтрации / И.А. Прусов. -Минск, 1987.-182 с.

46. Расулов K.M. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения / K.M. Расулов. Смоленск: СГПУ, 1998. - 343 с.

47. Расулов K.M. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторых их обобщений: дис. . д-ра физ.-мат. наук: 01.01.01 / Расулов Карим Магомедович. — Минск, 1995.-241 с.

48. Расулов K.M. Краевые задачи типа задачи Римана для полианалитических функций и некоторых их обобщений: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Расулов Карим Магомедович. Смоленск, 1980. - 125 с.

49. Расулов K.M. Об одном общем подходе к решению классических краевых задач для полианалитических функций и их обобщений / K.M. Расулов // Дифференц. уравнения. 1993. - Т. 29, №2. - С. 320-327.

50. Расулов K.M. О решении одной видоизмененной краевой задачи типа Рикье для метааналитических функций в круге / K.M. Расулов, В.В. Сенчилов // Дифференц. уравнения. 2005. - Т. 41, №3. - С. 415-418.

51. Расулов K.M. О решении второй основной трехэлементной краевой задачи типа Карлемана в классах бианалитических функций в круге / K.M. Расулов, O.A. Титов // Литовский математический журнал. Вильнюс, 2006. - Т. 46, №3. - С. 413-426.

52. Расулов K.M. О решении одной краевой задачи типа Газемана для бианалитических функций / K.M. Расулов, Б.Ф. Фатулаев // Дифференц. уравнения. -2002. Т. 38, №1. С. 1-5.

53. Рева Т.Л. Задача сопряжения для бианалитических функций и её связь с упруго-пластической задачей / Т.Л. Рева // Прикладная механика. Киев, 1972. -Т. 8,Вып. 10.-С. 65-70.

54. Рогожин B.C. Некоторые краевые задачи для полигармонического уравнения/B.C. Рогожин//Учен. зап. Казанск. ун-та. 1950. - Т. 110, кн. 4. - С. 71-93.

55. Сакс P.C. Краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений / P.C. Сакс. Новосибирск, 1975. - 160 с.

56. Самко С.Г. О сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнениях с аналитическими ядрами / С.Г. Самко // Изв. Сев.-кавказк. науч. центра высш. школы. Сер. естеств. наук. 1974. - № 4. - С. 86-94.

57. Сенчилов В.В. Краевые задачи типа Неймана и типа Рикье для метаана-литических функций в круге: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Сенчилов Владислав Владимирович. Смоленск, 2006. - 101 с.

58. Соколов И.А. Первая краевая задача типа Римана для полианалитических функций в случае произвольного контура / И.А. Соколов // Вестник Бел. гос. ун-та. Сер. 1. 1971.-№2. - С. 21-23.

59. Соколов И.А. О краевых задачах типа Римана для полианалитических функций: дис. . канд. физ.-мат. наук / Соколов И.А. Минск, 1970.

60. ТихоновА.Н. Уравнения математической физики / А.Н.Тихонов, A.A. Самарский. М: Наука, 1972. - 735 с.

61. Усманов Н. Сингулярные граничные задачи сопряжения: дис. . д-ра физ.-мат. наук: 01.01.01 / Усманов Нурулло. Душанбе, 2004. - 312 с.

62. Фатулаев Б.Ф. Краевые задачи типа Газемана и типа Карлемана для ме-тааналитических функций: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Фатулаев Бу-ба Фатулаевич. Смоленск, 2000. - 107 с.

63. Чибрикова Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций / Л.И. Чибрикова. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1977. - 302 с.

64. Balk M.B. Polyanalytic functions / M.B. Balk. Berlin: Akademie Verlag, 1991.-192 p.

65. Bauer K.W. Uber einer der Differentialgleichung (1 + zF)2fF,F + ±n{n +1 )W = 0 zugeordnete Functionentheorie / K.W. Bauer // Bonner math 1965. -Schrften 23.

66. Begehr H. Boundary value problems in complex analysis / H. Begehr // Boletin de la Asociation Matematica Venezolana. 2005. - Vol. 12, №1. - P. 65-85.

67. Canak M. Einige Ergebnisse zur Theorie polyanalytischer Differentialgleichungen / M. Canak, Lj. Protic // Matematicki vesnik (Yugoslavia). 2000. -Vol. 52.-P. 19-25.

68. Damjanovic B. The boundary value problem for polyanalytic function in multiply-connected region / B. Damjanovic // Matematicki vesnik (Yugoslavia). -1986.-Vol. 38.-P. 411-415.

69. Davis P. The Schwarz functions and its applications / P. Davis. Washington, 1974.-219 p.

70. Rasulov K.M. About the solution in closed form of generalized Markushevich boundary value problem in the class of analytical functions / K.M. Rasulov // Mathematical modelling and analysis. 2004. Vol. 9, №3. - P. 223-228.

71. Shoe C.R. A boundary value problem of meta-analytic function in the unit circle / C.R. Shoe // Cyxak. 1986. - № 3. - P. 29-33.

72. Stein M.E. Singular integrals and differentiability properties of functions / M.E. Stein. Princeton, 1970. - 303 p.