Уравнения обобщенной гидродинамики в кинетической теории и распространение акустических волн в разреженном газе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Соловчук, Максим Александрович

• Соловчук, Максим Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Соловчук, Максим Александрович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Обобщенные уравнения гидродинамики в модели интеграла столкновений Гросса-Джексона.

1.1 Подпространство дискретного спектра линеаризованного оператора столкновений и разрывная функция распределения.

1.2 Замыкание моментной системы в случае интеграла столкновений БГК.

1.3 Обобщение на случай Гросса-Джексона.

1.4 Обобщенное уравнение Больцмана.

ГЛАВА 2. Обобщенные уравнения гидродинамики и распространение звука в однородном газе при произвольных числах Кнудсена.

2.1 Обобщенные уравнения гидродинамики и постановка задачи о распространении звука на полуоси

2.2 Дисперсионное соотношение.

2.3 Сравнение с экспериментом.

2.4 Релаксационные моды в модели БГК.

ГЛАВА 3. Основное состояние и малые колебания одноатомного газа в гравитационном поле.

3.1 Обобщенные уравнения гидродинамики и равновесное состояние газа.

3.2 Метод ВКБ и локальные дисперсионные соотношения

3.3 Решение задачи генерации звука от колеблющейся пластины.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Уравнения обобщенной гидродинамики в кинетической теории и распространение акустических волн в разреженном газе»

Задачи газовой динамики традиционно рассматриваются с точки зрения гидродинамических уравнений Навье-Стокса. Однако уравнения Навье-Стокса справедливы только в области малых чисел Кнудсена (отношение длины свободного пробега к характерному масштабу неоднородности задачи). Уравнения Навье-Стокса становятся неприменимы, когда длина свободного пробега становится сравнима с характерным масштабом задачи. Это может произойти или когда длина свободного пробега становится большой, или когда уменьшается характерный масштаб задачи. Особенно это актуально при рассмотрении общей теории волновых возмущений атмосферы, где длина свободного пробега изменяется с высотой по порядку величины. Соответственно, существенно меняются и числа Кнудсена (становятся очень большими). Например, в аэронавтике и космонавтике размеры аппаратов могут быть порядка длины свободного пробега. Миниатюризация, с другой стороны, приводит к появлению приборов, микроэлектромеханических систем, где характерный масштаб задачи достигает длины свободного пробега.

Одной из первых работ, в которой волновые возмущения в газах исследовались с точки зрения более общего кинетического подхода, является работа Ван Чан и Уленбека [2].

В работе Ван Чан и Уленбека [2] был указан способ построения дисперсионных соотношений для звука в газе с помощью апроксимации решения уравнения Больцмана конечным числом собственных функций линеаризованного оператора столкновений для максвелловских молекул. Наиболее последовательно эти идеи изложены в работе Фоха и Форда [3]. Пекерисом, Альтерманом, Финкельштейном и Франковски [4] был проведен численный расчет фазовой скорости и коэффициента затухания волны с использованием базиса из 483 функций, но существенного продвижения в кнудсенов-скую область по сравнению с результатами по Навье-Стоксу достигнуто не было.

Хорошее согласие с экспериментальными данными по распространению звука в однородном газе для всех режимов по числу Кнудсена было достигнуто в целом ряде работ при использовании модельных интегралов столкновения (метод Гросса-Джексона [6]). Идея модели заключается в замене интеграла соударений Больцмана более простым выражением, которое, тем не менее, сохраняет число частиц, оставляет постоянным количество движения и энергию и ведет к необратимому поведению. Вероятно, простейшей моделью является уравнение с одной постоянной времени релаксации( уравнение БГК [5]):

В этом уравнении соударения приводят газ к максвелловскому распределению в течение времени - . Недостатком этой модели является то, что она у дает правильное значение коэффициента вязкости, но неправильное значение коэффициента теплопроводности. Поэтому полезно получить последовательный процесс для вывода простых моделей и расширения области их применения.

Рассмотрим задачу на собственные функции и собственные значения N линеаризованного оператора столкновений JstXi — \х%- Оператор Jst является самосопряженным, его собственные значения - \ вещественны, а система функций - полна и ортотогональна. Следовательно, произвольную функцию (р в пространстве скоростей можно разложить по базису Xi > и действие оператора Jst на функцию ср сводится к

00 00

Jstv = Jst АкХк = S ^АкХк к=1 к~1

Если формально к равенству в правой части прибавить и вычесть uip, где v = const, то

00

JstV - + v)AkXk ~ vp k=l

Пронумеруем собственные значения в порядке возрастания модуля. Моделирующее упрощение оператора столкновений столкновений заключается в обрыве ряда, что достигается выбором параметра v = |Ajy| и требованием Лдг+р = Ajv(P = 1,2,.). Кинетическое уравнение с модельным интегралом столкновений Гросса-Джексона J^ запишется в виде aft + = ЛУг= + -1 к=1

Уравнение Бхатнагара-Гросса-Крука (БГК) является первым приближением в рамках метода Гросса-Джексона.

Основываясь на методе Гросса-Джексона, в дальнейшем были выполнены многочисленные исследования по звуку в однородном газе при произвольных числах Кнудсена [7-23]. Эти работы различались подходами к поиску решения кинетического уравнения. Гринспен [7] и Мейер-Сесслер [8] экспериментально исследовали рапространение звука при высоких частотах и очень низких давлениях. Число Кнудсена в экспериментах изменялось в пределах от нескольких десятков до сотых. Фазовую скорость и затухание возмущения можно определить экспериментально, если считать это возмущение локально плоской волной. При этом приемник при числах Кнудсена Кп > 1 помещался на расстояния, не превышающие длину свободного пробега.

В 60-х годах Сирович и Тербер с помощью модельного уравнения БГК аналитически исследовали задачу о спектре звуковых колебаний в однородном газе при произвольных числах Кнудсена. В области промежуточных и больших чисел Кнудсена они использовали метод аналитического продолжения дисперсионного соотношения из области малых в область высоких частот. Сравнение аналитических результатов Сировича и Тербера для фазовых скоростей и коэффициента поглощения звука с экспериментами Гринспена и Мэйера, Сесслера для одноатомных газов дало удовлетворительное согласие при всех числах Кнудсена. Но не ясно, почему их результаты для восьмимоментной модели дают лучшее согласие с экспериментальными данными, чем их результаты для 11-моментной модели.

Бакнер и Ферцигер [17], [18] использовали простое, но реалистичное предположение, что отражение молекул от пластины является диффузным. Их результаты хорошо согласуются с экспериментом для малых и больших чисел Кнудсена (сплошная среда и свободномолекулярный режим); в переходном режиме хорошее согласование получено только для фазовой скорости, а коэффициент затухания отличается от экспериментальных значений примерно на 30%. Они использовали модель Гросса-Джексона с тремя и пятью моментами.

Лоялка и Ченг [21,22] уточнили граничное условие диффузного отражения, использованное в работе Бакнера и Ферцигера, учитывая закон сохранения массы на пластине. Они сводили модельное кинетическое уравнение к системе интегральных уравнений, которая затем решалась численно. Их результаты для фазовой скорости и коэффициента затухания находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными. Однако перенесение этой методики на случай нелинейных волн, по-видимому, невозможно. Постановка граничных и начальных условий для функции распределения представляет собой дополнительную, трудно решаемую проблему.

Поэтому в настоящее время продолжаются интенсивные поиски уравнений обобщенной гидродинамики [45-49,51,53-56,58,59,68-70], справедливых в широком диапазоне чисел Кнудсена. В недавних работах с помощью несингулярной теории возмущений [79] получены такие уравнения (Чен, Рао, Шпигель [45-48]), которые тестировались с помощью сравнения с классическими экспериментами Мейера-Сесслера и Гринспена. Их выражения для тензора давлений Ру и теплового потока q, в отличие от уравнений Навье-Стокса, выражаются через термодинамические величины (р, U, Т) и их производные. Так их конечная формула для тензора давлений Pij и теплового потока q неявным образом содержит члены всех порядков по числу Кнудсена Кп, что дает вероятность, что процедура вывода гидродинамических уравнений даст большую точность по сравнению с уравнениями Навье-Стокса. Однако их результаты нельзя считать адекватными физическим условиям распространения волновых возмущений в кнудсеновском режиме.

Другой подход к исследованию распространения звука в однородном газе рассмотрен в работах Алексеева [51-54]. Опираясь на цепочку уравнений ББГКИ и положения несингулярной теории возмущений, Алексеев вывел обобщенное кинетическое уравнение. Далее из кинетического уравнения им были выведены уравнения обобщенной гидродинамики, дающие качественное согласие с экспериментальными данными по распространению ультразвука при всех числах Кнудсена. Результаты его численных расчетов для коэффициента затухания (рис. 1) отличаются от данных эксперимента при больших числах Кнудсена примерно в два раза. Однако другие известные гидродинамические модели дают расхождение в несколько порядков при больших числах Кнудсена. При этом приходится решать систему дифференциальных уравнений вдвое более высокого порядка, чем традиционные гидродинамические уравнения.

10 1

0.1

Kn

0.6

0.5

-Навье-Стокс

----Эйлер(Алексеев) a Навье-Стокс \ ~ (Алексеев) • ■ ■ Чен-Шпигель

0.4

0.3

0.2

0.1 0

0.01

10

Рис. 1.Сравнение различных теоретических результатов по распространению звука с экспериментальными данными [7,8] - кружки.

Коэффициент затухания как функция обратного числа Кнудсена.

Несмотря на значительное число работ и на кинетическом, и на гидродинамическом уровнях, описывающих кнудсеновский режим, правильный учет затухания в кнудсеновской области по-прежнему не включен в гидродинамическое описание.

В нашей работе мы опираемся на понятия разрывной функции распределения и более совершенной по сравнению с Ченом, Рао, Шпигелем теорией возмущения, что является новым элементом уже существующей теории. Кроме того, так как результаты упомянутых авторов при описании затухания катастрофически расходятся с результатами экспериментов, мы обращаемся к результатам Алексеева, который учитывает парные корреляции в одночастичном приближении посредством применения той же теории возмущения к цепочке Боголюбова.

Настоящая работа посвящена изучению следующих вопросов:

- развитие метода двухсторонних функций распределения для описания волновых возмущений в газе в поле силы тяжести,

- вывод уравнений обобщенной гидродинамики, справедливых в широком интервале чисел Кнудсена,

- решение задачи о распространении акустических волн малой амплитуды при произвольных числах Кнудсена в случае однородного газа,

- построение и анализ решения распространения акустических волн в неоднородной по числу Кнудсена газовой среде.

В работе выведена новая система уравнений обобщенной гидродинамики для моделей интеграла столкновений в форме Бхатнагара-Гросса-Крука и Гросса-Джексона на основе кинетического уравнения Больцмана и обобщенного кинетического уравнения.

Для случая линеаризованной системы уравнений, в случае однородной среды, решена задача генерации и распространения акустических волн. Для слабо неоднородной среды исследовано фоновое состояние и методом ВКБ получено решение для экспоненциально стратифированной среды.

Выведенная в работе система обобщенных уравнений гидродинамики справедлива в большем, нежели у предшественников, интервале чисел Кнудсена. Результаты работы могут применяться в физике (развитие общей теории и моделирование) атмосферы, в теории и моделировании течений в микро- и наноструктурах.

В первой главе описывается метод двусторонних функций распределения. На основе данного метода выводятся системы уравнений обобщенной гидродинамики для кинетического уравнения с модельным интегралом столкновений в форме Бхатнагара-Гросса-Крука и Гросса-Джексона. С целью продвинуться в кнудсеновскую область далее используется обобщенное и уравнение Больцмана.

Во второй главе рассматривается задача о распространении акустических волн малой амплитуды в случае однородной среды, которая используется в качестве теста полученных уравнений. Результаты численного расчета для коэффициента затухания и фазовой скорости сравниваются с экспериментальными данными и результатами других авторов.

В третьей главе исследуется равновесное состояние газа и рассматриваются малые колебания газа в поле тяжести Земли. Система уравнений гидродинамики на основе модели БГК обобщается на трехмерный случай. Построена зависимость моментов функции распределения от высоты.

В заключении анализируются полученные результаты и подводятся основные итоги работы.

Основные защищаемые положения:

1. Выведены новые системы уравнений обобщенной гидродинамики в трех вариантах: 1) на основе кинетического уравнения Больцмана и модели интеграла столкновений БГК; 2) на основе кинетического уравнения Больцмана и модели интеграла столкновений Гросса-Джексона; 3) на основе обобщенного уравнения Больцмана и модели интеграла столкновений Гросса-Джексона. При выводе использован метод двусторонних функций распределения.

2. Решена задача о распространении акустических волн малой амплитуды в случае однородной среды при произвольных числах Кнудсена на основе полученных обобщенных уравнений гидродинамики. Результаты для фазовой скорости и коэффициента затухания сравниваются с экспериментом и результатами других авторов.

3. Решена задача о распространении акустических волн в случае слабо неоднородной среды. Решение строится методом Вентцеля-Крамерса-Бриллюена (разложение по малому параметру А/Я , А -длина волны, Н - высота однородной атмосферы).

Основные результаты исследований опубликованы в 10 печатных работах [80-89].

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Соловчук, Максим Александрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные физические результаты:

1. Развит метод двухсторонних функций распределения для описания волновых возмущений в газе в поле тяжести Земли

2. Используя метод двухсторонних функций распределения, выведена система уравнений обобщенной гидродинамики в трех вариантах: 1) на основе кинетического уравнения Больцмана и модели интеграла столкновений БГК; 2) на основе кинетического уравнения Больцмана и модели интеграла столкновений Гросса-Джексона; 3) на основе обобщенного уравнения Больцмана и модели интеграла столкновений Гросса-Джексона. В предельном случае больших частот столкновений (малых чисел Кнудсена) полученная система переходит в систему уравнений Эйлера для идеального газа. В следующих порядках получаются уравнения Навье-Стокса и Барнета.

3. На основе полученных обобщенных уравнений гидродинамики решается задача о распространении акустических волн малой амплитуды в случае однородной среды. Результаты для фазовой скорости и коэффициента сравниваются с экспериментом и результатами других авторов. Система уравнений гидродинамического типа на основе уравнения Больцмана и подхода Гросса-Джексона позволяет более точно описывать явления при больших и промежуточных числах Кнудсена по сравнению с другими гидродинамическими моделями. Полученные значения для фазовой скорости находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными при произвольных числах Кнудсена. Значения для коэффициента затухания выглядят лучше по сравнению с результатами, полученными из других гидродинамических моделей. Применение названного метода к обобщенному уравнению Больцмана позволило получить обобщенные уравнения гидродинамики, дающих хорошее согласие с экспериментальными данными по распространению ультразвука при всех числах Кнудсена. Значения для коэффициента затухания хорошо согласуются с экспериментом при числах Кнудсена <1 и в свободномолекулярном режиме. При остальных числах Кнудсена наши уравнения дают качественное согласие с экспериментом, в отличие от других гидродинамических моделей, которые катастрофически расходятся с экспериментом при больших числах Кнудсена. Это позволяет применять их для расчета волновых возмущений в атмосфере на всех высотах.

4. Исследовано равновесное состояние газа в обобщенной гидродинамике. Используя метод ВКБ, построены и проанализированы решения задачи о распространении акустических волн в случае неоднородной среды. Проанализирована зависимость моментов функции распределения от высоты.

БЛАГОДАРНОСТИ

Выражаю искреннюю благодарность моему научному руководителю доктору физико-математических наук Сергею Борисовичу Леб-ле за многолетнюю терпеливую работу по руководству научным исследованием, а также кандидату физико-математических наук Дмитрию Алексеевичу Верещагину за многочисленные обсуждения на начальном этапе работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Соловчук, Максим Александрович, 2007 год

1. Mott-Smith Н.М. The solution of the Boltzmann equation for a shock wave// Phys.Rev., V. 82. N. 2. 1951. p. 885-892.

2. Wang Chang C.S., Uhlenbeck G.E. On the propagation of sound in monoatomic gases // Eng.Res.Ins., Univ. of Michigan.Project M 999. Ann.Arbor., Michigan, 1952.

3. Foch D., Ford Jr.G.M. The description of sound in monoatomic gases. In "Stadies in Statistical Mechanics" (ed, J. de Boer and G.E. Uhlenbeck), N.Holland,5. (1970). P.103-231.

4. Pekeris C. L., Alterman Z., Finkelstein L., Frankowski K., Propagation of sound in a gas of rigid spheres Phys. Fluids, 5, 1608-1610 (1962)

5. Bhatnagar P.L., Gross E.P. and Krook M. A model for Collision processes in gases.I. Small amplitude processes in charged and neutral one-component systems // Phys. Rev. 1954 V.94. N.3 P. 511-525.

6. Gross E.P., Jackson E.A. Kinetic models and linearized Boltzmann equation // Phys. Fluids. 1959. V.2. N 4, P.432-441.

7. Greenspan M. Propagation of sound in five monatomic gases. // J.Acoust.Soc.Am. 1956, V. 28. N 4. P.644-648.

8. Meyer E., Sessler G. Schallausbreitung in Gasen bei hohen Frequenzen und sehr niedrigen Drucken. // Z.Physik. 1957. 149. P. 15-39.

9. Greenspan M. Rotational Relaxation in Nitrogen, Oxygen and Air. // J.Acoust.Soc.Am. 1959. V. 31, N 2. p. 155-160

10. Schotter R., Rarefied gas acoustics in the noble gases, // Phys. Fluids. 1974. V. 16. N. 6. p. 1163-1168

11. Maidanik G., Heckl M. Propagation and reflection of sound in rarefied gases. II.Experimental // Physics of fluids. 1965. V. 8. N. 2. p. 266-272

12. Marques, Jr., Dispersion and absorption of sound in monatomic gases: An extended kinetic description. //J. Acoust. Soc. Am. . 1999. 106, p. 3282-3288

13. Sirovich L. Kinetic model of gas mixtures //Phys.Fluids. 1962. V.5. P.908-918

14. Sirovich L., Thurber J.K. Sound propagation according to the kinetic theory of gases. Adv.Appl.Mech.,Supp.2. 1. (1963). P.152-180.

15. Sirovich L., Thurber J.K. Propagation of forced sound waves in rarefied gas dynamics. Acoust.Soc.Am.37. №■ 2. (1965). P.329-339.

16. Sirovich L., Thurber J.K. Plane wave propagation in kinetic theory. J.Math.Phys.8. № 4. (1967). P.888-895.

17. Buckner J.K., Ferziger J.H. Linearized initial value problem for a gas// Phys.Fluids. 1966. V.9. N. 12. P.2309-2314.

18. Buckner J.K., Ferziger J.H. Linearized boundary value problem for a gas and sound propagation// Phys.Fluids. 1966. V.9. N. 12. P.2315-2322.

19. Siewert C.E., Burniston E.E., Journ. Math. Phys., 18, 376 (1977)

20. Thomas J.R., Siewert G.E. Sound wave propagation in a rarified gas. Trans.Theory and Stat.Phys.,8.(1979). P.219-240.

21. Loyalka S.K., Cheng T.S. Sound wave propagation in a rarified gas. Phys.Fluids.,22. №■ 5. (1979). P.830-836.

22. Cheng T.S., Loyalka S.K. Sound wave propagation in a rarefied gas. II. Gross-Jackson model. Progress in Nuclear Energy. 8. (1981). P.236-267.

23. Banankhah A., Loyalka S.K. Propagation of a sound wave in a rarified polyatomic gas. Phys.Fluids.30. №■ 1. (1987). P.56-64.

24. Monchik L. Small periodic disturbances in polyatomic gases. Phys.Fluids. 7. № 6. (1964). P.882-896.

25. Уленбек Дж., Форд Дж. Лекции по статистической механике. М. "Мир"1965, 308 с.

26. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978, 496 с.

27. П.Резибуа, М. ДеЛенер. Классическая кинетическая теория жидкостей и газов. М.: "Мир", 1980. 423 с.

28. Pao Y.P. Boltzmann collision operator with infinite range intermolecular potentials.//Proc. IX Symp. rarefied gas dynamics/ ed. M. Backer and R. Fiebing, Gotingen:1974 V.l. P.A.6-1-A.6-6

29. Yang H.T., Lees L. Rayleigh's problem at low Mach number according to the kinetic theory of gases // Journ.Math.Phys., 1956 . V. 35. P.195-235.

30. Liu Chung Yen., Lees L. in"Ratified gas dynamics" (ed.by L.Talbot). Academic Press. (1961). P.391-428.

31. Lees L. Kinetic theory description of rarified gas flow // J.Soc.Industr. and Appl.Math., 1965, V. 13. N. 1. . P.278-311.

32. Шидловский И.П. Введение в динамику разреженного газа.М.: Наука, 1965. 220с.

33. Костомаров Ю.А. Инж. Журнал. №3. (1963).

34. Nanbu К., Watanabe Y. Analysis of the internal structure of shock waves by means of the exact direct-simulation method // Rep.Inst.High Speed.Mech., 1984, V. 48. N 366. P.l-75.

35. Sampson R.E., Springer G.S. Condensation on and evaporation from droplets by a moment method// J.Fluids.Mech.1969, 36. part.3. P.577-584.

36. Ivchenko I. Evaporation (condensation) theory of spherical particles with all Knudsen number// J.Coll and Interf.Science.1987, 120. N. 1. P.l-7.

37. Ивченко И.В., Лоялка С.К., Томпсон Р.В. Об одном методе решения проблемы переноса тепла между цилиндрами при произвольных числах Кнудсена, Теплофизика Высоких Температур, 1993, том 31, N 4, с. 636-641

38. Leble S.B., Vereshchagin D.A. Kinetic description of sound propagation in exponentially stratified media // Advances in Nonlinear Acoustic (ed.H.Hobaek).Singapore. World Scientific. 1993. P.219-224.

39. Vereshchagin D.A., Leble S.B. Stratified gas and nonlinear waves passing the Knudsen layer// Proceedings of International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications "NOLTA '93".(Hawaii) 1993, 3. P.1097-1100.

40. Vereshchagin D.A., Leble S.B. Piecewise continuous partition functionand acoustics in stratified gas.// in Nonlinear Acoustics in Perspective, ed. R.Wei 1996, p.142-146.

41. X.Chen, H. Rao, and E.A. Spiegel, Macroscopic equations for rarefied gas dynamics, Physics Letters A 271 (2000) 87-91

42. A. I. Sukhorukov and P. Stubbe, "Application of the kinetic transport theory to a unified treatment of longitudinal perturbations in neutral and charged gases, "Phys. Plasmas 2, 4059 (1995)

43. P. Stubbe and A. I. Sukhorukov, "On the physics of Landau damping,"Phys. Plasmas 6, 2976 (1999)

44. X.Chen, H. Rao, and E. A. Spiegel, "Continuum description of rarefied gas dynamics: I. Derivation from kinetic theory,"Phys. Rev. E 64, 046308 (2001).

45. X. Chen, H. Rao, and E. A. Spiegel, "Continuum description of rarefied gas dynamics: II. The propagation of ultrasound, "Phys. Rev. E 64, 046309 (2001)

46. X. Chen, H.Rao, and E.A. Spiegel, "Continuum descriptionof rarefiedgas dynamics: III.The structure of shock waves,"Phys. Rev. E 65, 036304 (2002)

47. E.A. Spiegel and J.-L. Thiffeault, Higher-order Continuum Approximation for Rarefied Gases, Physics of Fluids 15(11), P.3558-3567(2003).

48. Vereshchagin D.A., Leble S.B. Piecewise continuous distribution function method: Fluid equations and wave disturbances at stratified gas // J. of Atmospheric and Solar-Terrestrial Phys., 2006, 68, p. 1321-1329

49. Sharipov F., Marques W., Jr., and Kremer G. M., Free molecular sound propagation // J. Acoust. Soc. Am. 2002. 112(2), p. 395-401

50. Алексеев Б.В. Исследование распространения звука в рамках обобщенных уравнений Навте-Стокса //ДАН. Механика сплошной среды. 1990. т.313. N 5. с. 1078-1081

51. Alexeev В. V., The generalized Boltzmann equation // Physica A. 1995. 216. p. 459-468

52. Алексеев Б.В. Физические основы обобщенной больцмановской кинетической теории газов // УФН ,2000, т. 170, N6, с. 649-679

53. Alexeev B.V., Generalized Boltzmann Physical Kinetics, Elsevier, 2004.

54. Struchtrup H., Torrilhon M., Regularization of Grad's 13 moment equations: Derivation and linear analysis// Phys.Fluids. 2003, V. 15, N 9, p. 2668-2680

55. Struchtrup H. Macroscopic Transport Equations for rarefied gas flows. Springer-Verlag. Berlin. 2005. 258 pp.

56. Бобылев A.B. О методах Чепмена-Энскога и Трэда решения уравнения Больцмана // ДАН СССР, 1982, т. 262, N 1. с. 71-75,

57. Bobylev A. V. Instabilities in the Chapman-Enskog expansion and hyperbolic Burnett equations//J. of Statistical Physics. 2006, V. 124. N 2-4. p. 371-399

58. Soderholm L. Nonlinear Acoustics Equations to Third Order. New Stabilization of the BurnettEquations //Mathematical Modeling of Wave Phenomena, AIP Conference Proceedings. Eds Borje Nilsson and Louis Fishman 2006, 834.

59. Керзон Хуанг. Статистическая механика, М.: "Мир", 1966. 520 с.

60. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967

61. S. Chapmann, T.G. Cowling, The Mathematical Theory of Non-Uniform Gases, third ed., Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1970.

62. Силин Введение в кинетическую теорию газов. М.: Наука, 1971, 332 с.

63. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. М.: Мир, 1976

64. Неравновесные явления: Уравнение Больцмана.// Под редакцией Дж.Л. Либовица, Е.У. Монтролла М.: Мир, 1986.

65. Найфе А.Х. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. 535 с.

66. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М., Наука, 1974. 831с.

67. Четверушкин Б.Н., Кинетические схемы и квазигазодинамическая система уравнений. М.: МАКС Пресс, 2004, 332с.

68. Елизарова Т.Г. Математические модели и численные методы в динамике газа и жидкости. Москва, Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, 2005.

69. Елизарова Т.Г., Соколова М.Е., Шеретов Ю.В. Квазигазодинамические уравнения и численное моделирование течений вязкого газа. ЖВМиМФ, 2005, т. 45, N 3, с. 545-556

70. Эндер А.Я., Эндер А.И. Интеграл столкновений уравнения Больцмана и моментный метод. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 2003. 224с.

71. Bird G.A. Molecular gas dynamics and directsimulation of gas flow. Clarendon Press. Oxford 1994

72. Grad H. On the kinetic theory of rarefied gases. Communications on Pure and Applied Mathematics. 1949. 2, N 4, p. 331-407.// рус. пер.: Грэд.Г. О кинетической теории разреженных газов. Механика, 1952 4(14), 5(15)

73. Н. Grad, "Asymptotic theory of the Boltzmann equation,"Phys. Fluids 6, 147 (1963).//рус.пер.: Некоторые вопросы кинетической теории газов/ Под.ред. Шидловского. М.: Мир 1965

74. Щекин А.К., Лебле С.Б., Верещагин Д.А. Введение в физическую кинетику газов. Калининград. 1990. 80с.

75. Буш Г.А., Иванов Е.А., Куличков С.Н., Педанов М.В. Некоторые результаты по регистрации акустических сигналов от высотных взрывов // Известия АН. Физика атмосферы и океана, 1997, т.ЗЗ. N 1. с. 67-71

76. Roman F. White J-A, Velasco S. On a paradox concerning thetemperature distribution of an ideal gas in a gravitational field// Eur. J. Phys. 1995, V. 16. p. 83-90 .

77. Maslov V.P. The Complex WKB method for nonlinear equations. I. Linear theory. Progress in Physics, 16. Birkhauser Verlag, Basel, VIII. 300pp.

78. Leble S.B. Nonlinear Waves in Waveguides with Stratification (Berlin: Springer-Verlag, 1990), 164p.

79. Solovchuk M.A., Leble S.B. The kinetic description of ultrasound propagation in a rarefied gas: from a piecewise continuous distribution to fluid equations. Proceedings of International Conference "Forum Acusticum 2005"(Budapest, 2005) L235-L240.

80. Solovchuk M.A., Leble S.B. Piecewise continuous partition function method in the theory of wave perturbations of inhomogeneous gas. Избранные вопросы современной математики. Тез. межд. научн. конф. Калининград. 2005 р.256-258.

81. Solovchuk М.А., Leble S.B. The kinetic description of ultrasound propagation in a rarefied gas: from a piecewise continuous description to fluid equations.Acta Acustika. V. 91, Supplement 1, p. S176.

82. Solovchuk M.A., Leble S.B. Piecewise continuous partition function method and ultrasound at half-plane. International Seminar 'Days on Diffraction 2005'. Abstracts (Saint Petersburg, 2005). p.75.

83. Vereshchagin D.A., Leble S.B., Solovchuk M.A. Piecewise continuous distribution function method in the theory of wave disturbances of inhomogeneous gas // Physics Letters A. 2006, V. 348, Is. 3-6, p. 326-334

84. Лебле С.Б., Соловчук М.А. Уравнения трехмерной динамики газа по функции распределения с разрывом в пространстве скоростей// Математическое моделирование, 2006, т. 18, N 4, с. 118-128

85. Solovchuk М.А., Leble S.B. Two-side distribution function and WKB solutions for ultrasound at stratified gas. International Seminar 'Days on Diffraction 2006'. Abstracts. Saint Petersburg, 2006. p.90

86. Solovchuk M. , Leble S. Problem of modelling of higher atmosphere gas perturbations// Proc. of the 9th Western Pacific Acoustics Conference, Seoul, Korea, June 26-28, 2006, ae2-2, id 320

87. Соловчук M.A., Лебле С.Б. Теория возмущения стратифицированного разреженного газа// Сборник трудов XVIII сессии Российского акустического общества. Т.2 М:ГЕОС, 2006, с. 158-162.

88. Solovchuk М.А., Leble S.B. The kinetic description of ultrasound propagation in a rarefied gas: Gross-Jackson model. 25th International Symposium on rarefied gas dynamics. 2006. Abstracts, p. 16