Устойчивость и бифуркации семейств равновесий и стационарных движений симметричных и косимметричных динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Куракин, Леонид Геннадиевич

  • Куракин, Леонид Геннадиевич
  • доктор физико-математических наукдоктор физико-математических наук
  • 2006, Новосибирск
  • Специальность ВАК РФ01.01.02
  • Количество страниц 288
Куракин, Леонид Геннадиевич. Устойчивость и бифуркации семейств равновесий и стационарных движений симметричных и косимметричных динамических систем: дис. доктор физико-математических наук: 01.01.02 - Дифференциальные уравнения. Новосибирск. 2006. 288 с.

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Куракин, Леонид Геннадиевич

ГЛАВА I. БИФУРКАЦИИ, СОПРОВОЖДАЮЩИЕ МОНОТОННУЮ ПОТЕРЮ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ КО

СИММЕТРИЧНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

1 1. Введение

1.2. Метод Ляпунова-Шмидта для уравнения с косимметрией

1.2.1. Постановка задачи и уравнения разветвления

1.2.2. Случай общего положения.

1.2.3. Меюд Ляпунова — Шмидта в елучае двумерного ядра.

1.2.4. Бифуркации общего положения в еиетемах с косимметрией

1.2 5. Случай полного вырождения линейной части уравнения разветвления

1.3. Метод центрального многообразия. Случай двукратного нулевого собственного значения.

1.3.1. Случай двумерной жордановой клетки. Бифуркация усюй-чивых и неустойчивых дуг.

1.3.2. Случай общего положения: нет локальных бифуркаций

1.3.3. Рождение пеуеюйчивой дуги

1.3.4. Рождение пары дуг — устойчивой и неустойчивой.

1.3.5. Случай двумерного ядра: седловая бифуркация и бифуркация рождения цикла равновесий из «воздуха»

1.3.6. Случай двумерного ядра: бифуркация семейства равновесий, сопровождаемая рождением малой неустойчивой дуги

1.3.7. Случай двумерного ядра: ответвление малого цикла равновесий от угловой точки семейства равновесий

1.4. Меюд центрального многообразия. Случай трехкратного нулевого co6ci венного значения.

1.4.1. Жорданова клетка. Рождение усюйчивой дуги, образованной равновесиями разного типа

1.4.2. Двумерное ядро. Бифуркации семейств равновесий, сопровождаемые внутренними бифуркациями

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость и бифуркации семейств равновесий и стационарных движений симметричных и косимметричных динамических систем»

2.2. Постановка задачи.84

2.3. Фазовые портрет и перестройка.91

2 3.1. Главные семейства .91

2 3 2. Развитие неустойчивой дуги без ответвления цикла .94

2.3.3. Ответвление предельного цикла о г равновесия, разделяющего устойчивую и неустойчивые дуги.96

2.3.4. Ответвление предельного цикла о г равновесия, разделяющего две устойчивые дуги.101

2.4. Заключение.106

2.5. Приложение А: Косимметрическая версия теоремы о неявной фуик- 110 ции.

Приложение В: Сводка результатов .113

Похожие диссертационные работы по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Куракин, Леонид Геннадиевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение сформулируем основные положения, выносимые на защиту.

Развита локальная теория бифуркаций в динамических системах с косимметрией:

1. Исследованы бифуркации, сопровождающие монотонную потерю усюйчивости равновесия, являющегося в косимметричиой системе в ситуации общего положения членом одноиараметрического семейства. Мею-дами Ляпунова-Шмидта и центрального многообразия проанализированы бифуркации такого семейства равновесий, а также внутренние бифуркации: переходы типа фокус — узел, узел — седло и т.д. при движении вдоль семейства. Описан ряд сценариев ветвления семейств равновесий и изменения структуры их дуг, состоящих из однотипных равновесий. Детально исследованы бифуркации устойчивых и неустойчивых дуг, слипание и распад семейств равновесий, бифуркация потери гладкости семейством равновесий, а также ответвление малого равновесного цикла от угловой точки семейства равновесий. Переменность спектра вдоль семейства вызывает ряд новых явлений, которые не встречаются ни в классическом случае изолированного равновесия, ни при бифуркации семейств равновесий системы с симметрией. Среди них затягивание по параметру ветвления семейства равновесий, почеря устойчивости по Ляпунову семейством равновесий с сохранением свойства притяжения, возникновение и гибель новых устойчивых и неустойчивых дуг на семействе равновесий.

2. Изучена бифуркация ответвления предельного цикла (бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа) от одномерного гладкого подмногообразия равновесий динамической системы, зависящей от векторного параметра и допускающей косимметрию. Применяется метод центрального многообразия. Основной результат — топологическая классификация локальных фазовых портретов вблизи известного равновесия, когда параметр системы близок к его критическому значению, отвечающему колебательной неустойчивости. Тем самым дано детальное описание явлений, не наблюдающихся в классическом случае изолированного равновесия: (а) потери устойчивости семейством равновесий с сохранением свойства притяжения, (Ь) затягивания рождения цикла по параметру, (с) возможности сверхкритических неустойчивых автоколебаний. Явления (Ь) и (с) впервые были обнаружении в работах В. И. Юдовича [86, 87, 92], в которых применялся метод Ляпунова-Шмидта.

3. Методами Ляпунова—Шмидта и центрального многообразия изучена бифуркация ответвления предельного цикла (бифуркация Пуанкаре-Андронова—Хонфа) от /г-мерного подмногообразия равновесий динамической системы, обладающей к косимметриями. Показано, что предельный цикл может огвегвляться от одного из равновесий семейства как в случае регулярного изменения области устойчивости, так и при ее бифуркации. Лишь в последнем случае цикл может рождаться без запаздывания, вместе с образованием области неустойчивости. В общей ситуации он ответвляется от границы развитой области грубой устойчивости или неустойчивости.

4. Описаны бифуркации, сопутствующие распаду непрерывного семейства равновесий косимметричной динамической системы (или, вообще, семейства решений косимметричного операторного уравнения) при возмущении, разрушающем косимметрию. Применяется меюд Ляпунова - Шмидта. Проведен детальный анализ, когда уравнение разветвления двумерно. Одномерный случай разобран в работах В. И. Юдовича [89, 90].

Получены следующие результаты по устойчивости в динамических системах:

5. Развита общая теория устойчивости равновесий непрерывного семейства в динамических системах с косимметрией. Получен ряд критериев устойчивости граничных равновесий, устойчивость которых зависит от нелинейных слагаемых системы.

6. Доказана устойчивость стационарного вращения системы семи одипаковых точечных вихрей, расположенных в вершинах правильного семиугольника. Вместе с уже известными результатами многих авторов, вывод об устойчивости правильного вихревого семиугольника приводит к полному решению проблемы Кельвина (1878 г.): каково максимальное число вершин устойчивого правильного вихревого п-уголышка на плоскости? Ответ на него: 7.

7. Доказана устойчивость стационарного вращения системы п одинаковых точечных вихрей, расположенных на сфере в вершинах правильного п - угольника (п = 3,4,5,6) при критическом значении широты. Тем самым завершено исследование устойчивости вихревых полигонов на сфере, начатое в работах [10, 102, 140].

Исследована также устойчивость равновесной конфигурации одинаковых точечных вихрей, расположенных в вершинах правильных многогранников. Доказано, что среди таких вихревых многогранников тетраэдр, октаэдр, икосаэдр — устойчивы, а куб и додекаэдр — неустойчивы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Куракин, Леонид Геннадиевич, 2006 год

1. Амитон А. Д. Модель динамической системы с двумя косимметрия-ми / РГУ. Ростов н/Д, 1998. 32 с. Деп. в ВИНИТИ 17.02.98, №465-В98.

2. Арнольд В. И. Лекции о бифуркациях и версальных семействах // Успехи мат. наук. 1972. Т. 27, №5. С. 119-184.

3. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

4. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984.

5. Арнольд В. И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: ФАЗИС, 1996.

6. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П. Теория бифуркаций // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1986. Т. 5. С. 5-220. (Итоги науки и техники).

7. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейи-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических 'точек, каустик и волновых фронтов. М.: Наука, 1982.

8. Баутин Н. Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. М.- Л.: Наука, 1984.

9. Богомолов В. А. Динамика завихренности на сфере // Изв. АН СССР. Мех. жид. и газа. 1977. №6. С. 57-65.

10. Богомолов В. А. Модель колебаний центров действия атмосферы // Физика атм. и океана. 1979. Т. 15, №3. С. 243-249.

11. Борисов А. В., Мамаев И. В. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. Ижевск : РХД & Изд. дом "Удм. унив.11, 1999.

12. Вайнберг М.М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969.

13. Билля Г. Теория вихрей. M.-J1.: ОНТИ НКТП, 1936.

14. Гаврилов Н. К. О некоторых бифуркациях состояния равновесия с одним нулевым и парой чисто мнимых собственных значений / Сб. «Методы качественной теории дифференциальных уравнений». Горький: ГГУ, 1978. С. 33-40.

15. Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. М.: Физматлит, 2001.

16. Говорухин В. Н. Численное исследование потери устойчивости вторичными стационарными режимами в задаче плоской конвекции Дарси // Докл. РАН. 1998. Т. 363, №6. С. 772-774.

17. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

18. Дьёдонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964.

19. Жолондек X. О версальности одного семейства симметричных векторных полей на плоскости // Матем. сб. 1983. Т. 120, №4. С. 473499.

20. Каменков Г. В. Избранные труды. Т. 2. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1972.

21. Карапе1ян А. В. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдито-риал УРСС, 1998.24.унив.", 1998.риал jr^, lyyo.

22. Козлов В. В.Общая теория вихрей. Ижевск.: РХД & Изд. дом "Удм.1. UU4D " 1GGR

23. Кочин Н. Е., Извеков Б. А. Динамическая метеорология. Ч. 1. J1.: Ред.-изд. отд. ЦУЕГМС, 1935.

24. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956.

25. Красносельский М.А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Рутицкий Я. В., Стеценко В. Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.

26. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

27. Купицын А. Н., Маркеев А. П. Устойчивость в резонансных случаях // Общая механика. М.: ВИНИТИ, 1979. Т. 4. С. 58-139. (Итоги науки и техники).

28. Куракин Л. Г. Критические случаи устойчивости равновесий дифференциальных уравнений и отображений / Дис. канд. физ.-мат. наук. Ростов н/Д: РГУ, 1991.

29. Куракин JI. Г. Об устойчивости правильного вихревого п угольника // Докл. РАН. 1994. Т. 335, №6. С. 729-731.

30. Куракин Л. Г. Критические случаи устойчивости. Обращение теоремы о неявной функции для динамических систем с косиммегрией // Матем. заметки. 1998. Т. 63, №4. С. 572-578.

31. Куракин Л. Г. Об устойчивости граничных равновесий в сис!емах с косимметрией // Сиб. матем. журн. 2001. Т.42, №6. С. 1324-1334.

32. Куракин Л. Г., Юдович В. И. Полуинвариантная форма критериев устойчивости равновесия в критических случаях // Прикл. математика и механика. 1986. Т. 50, вып. 5. С. 707-711.

33. Куракин Л. Г., Юдович В. И. Об автоколебательных режимах в системах с косимметрией / "Современные проблемы механики сплошной среды". Тр. II межд. конф., Ростов н/Д, 19-20 сентября 1996. Ростов н/Д: Книга, 1996. Т.З. С. 99 103.

34. Куракин Л. Г., Юдович В. И. Бифуркация рождения цикла в динамической системе с несколькими косимметриями. Ч. I / РГУ. Ростов н/Д, 1997. 27 с. Деп. в ВИНИТИ 4.04.97, № 1074-В97.

35. Куракин Л. Г., Юдович В. И. Бифуркация рождения цикла в динамической системе с несколькими косимметриями. Ч. II / РГУ. Ростов н/Д, 1998. 28 с. Деп. в ВИНИТИ 20.01.98, ДО150-В98.

36. Куракин Л. Г., Юдович В. И. Бифуркация рождения цикла в системе с косимметрией// Докл. РАН. 1998. Т.358, №3. С.346-349.

37. Куракин Jl. Г., Юдович В. И. О бифуркациях, сопровождающих монотонную потерю устойчивости равновесия косимметричиой динамической системы. Ч. I / РГУ. Ростов н/Д, 1999. 29 с. Деп. в ВИНИТИ 2 06.99, № 1770-В99.

38. Куракин Л. Г., Юдович В. И. Ответвление предельного цикла от подмногообразия равновесий в системе с мультикосимметрией // Матем. заметки. 1999. Т. 66, №2. С. 317-320.

39. Куракин Л. Г., Юдович В. И. О бифуркациях, сопровождающих монотонную потерю устойчивости равновесия косимметричиой динамической системы. Ч. II / РГУ. Ростов н/Д, 1999. Деп. в ВИНИТИ 15.02.00, № 380-В00.

40. Куракин Л. Г., Юдович В. И. Бифуркации при монотонной noie-ре устойчивости равновесия косимметричиой динамической cncie-мы // Докл. РАН. 2000. Т. 372, №1. С. 29-33.

41. Куракин Л. Г., Юдович В. И. Бифуркация ответвления цикла от семейства равновесий динамической системы с мультикосимметрией // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №10. С. 1315-1323.

42. Куракин Л. Г., Юдович В. И. Применение метода Ляпунова-Шмидта в задаче ответвления цикла от семейства равновесий системы с мультикосимметрией // Сиб. матем. журн. 2000. Т. 41, №1. С. 136-149.

43. Куракин Л. Г., Юдович В. И. Ответвление двумерных инвариантных торов от семейства равновесий в системах с косимметрией / РГУ. Ростов н/Д, 2001. 47 с. Деи. в ВИНИТИ 25.05.01, №1344-В01.

44. Куракин Л. Г., Юдович В. И. О нелинейной устойчивости стцио-нарного вращения правильного вихревого многоугольника // Докл. РАН. 2002. Т. 384, №4. С. 476-482.

45. Куракин JI. Г., Юдович В. И. Бифуркация коразмерности 1 ответвления двумерных инвариантных торов от семейства равновесий в системах с косимметрией// Матем. заметки. 2003. Т. 73, №5. С. 796800.

46. Куракин Л. Г., Юдович В. И. Устойчивость стационарного вращения правильного вихревого многоугольника. В сб.: Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей, ред. Борисов А. В., Мамаев И.С., Соколовский М. А. Москва-Ижевск: ИКИ. 2003. С. 238-303.

47. Куракин Л. Г., Юдович В. И. О бифуркациях равновесий при разрушении динамической системы // Сиб. матем. журн. 2004. Т. 45, №2. С. 356-374.

48. Ламб Г. Гидродинамика. М.-Л.: Гостехиздат, 1947.

49. Любимов Д. В. О конвективных движениях в пористой среде, подогреваемой снизу // Ж. прикл. мех. и техн. физики. 1975, №2. С. 131-137.

50. Люстерник Л. А., Соболев В. И., Краткий курс функционального анализа. М: Высшая школа, 1982.

51. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1950.

52. Ляпунов А. М. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения // Собр. сочинений. М.: АН СССР, 1956. Т. 2. С. 272-331.

53. Макаренко Н.И. О ветвлении решений инвариантных вариационных уравнений // Докл. РАН. 1996. Т. 348, №3. С. 302-304.

54. Макаренко Н. И. Симметрия и косимметрия вариационных задач теории волн // Тр. межд. школы-семинара "Применение симметриии косиммстрий в теории бифуркаций и фазовых переходов SCDS II", 18-23 сентября 2001 г., Сочи, Лазаревское. С. 109-120.

55. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1956.

56. Мелешко В. В., Константинов М. Ю. Динамика вихревых структур. Киев: Наукова думка, 1993.

57. Милнор Дж. Теория Морса. М.: Мир, 1965.

58. Николенко Н. В. Устойчивость семейства циклов динамических систем // Изв. вузов. Сер. матем. 1973. №7. С. 63-69.

59. Николенко Н. В. Условная устойчивость семейства периоди ческих решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах // Изв. вузов. Сер. матем. 1973. №9. С. 54-60.

60. Плисс В. А. Принцип сведения в теории устойчивости движения // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1964 . Т. 28, №6. С. 1297-1324.

61. Пожарицкий Г. К., Об одном свойстве системы первого приближения // Прикл. математика и механика. 1958. Т. 22, № 1. С. 143-144.

62. Пожарицкий Г. К. Об одном свойстве характеристических чисел и решений дифференциальных уравнений // Прикл. математика и механика. 1958. Т. 22, №5. С. 707-710.

63. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984.

64. Румянцев В. В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных // Вест. МГУ. Сер. матем. и мех. 1957. №4. С. 9-16.

65. Сэфмэн Ф. Дж. Динамика вихрей. М.: Научный мир, 2000.

66. Хазин JI. Г. Правильные многоугольники из точечных вихрей и резонансная неустойчивость стационарных состояний // Докл. АН СССР. 1976. Т. 230, №4. С. 799-802.

67. Хазин Л. Г. Об устойчивости положений равновесия в некоторых критических случаях. Препринт, №10. М.: ИПМ АН СССР, 1979.

68. Хазин Л. Г. Устойчивость положения равновесия гамильтоновых систем при кратных частотах. — В сб.: Н.Е. Кочин и развитие механики. М.: Наука, 1984. С. 174-185.

69. Хазин Л. Г., Шноль Э. Э. Устойчивость критических положений равновесия. Пущино: ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1985.

70. Хазин Л. Г. Условия устойчивости равновесия при двух парах чисто мнимых и одном нулевом корне. Препринт, №50. М.: ИПМ АН СССР, 1986.

71. Шошитайшвили А. Н. Бифуркации топологического типа векторного поля вблизи особой точки // Тр. семинаров имени И. Г. Петровского. 1975. вып. 1. С. 279-309.

72. Шноль Э. Э., Хазин Л. Г. Об устойчивости стационарных решений общих систем дифференциальных уравнений вблизи критических случаев. Препринт, №91. М.: ИПМ АН СССР, 1979.

73. Юдович В. И. Об устойчивости вынужденных колебаний жидкости // Докл. АН СССР. 1970. Т. 195, №3. С.574-576.

74. Юдович В. И. Возникновение автоколебаний в жидкости // Прикл. математика и механика. 1971. Т.35, №4. С.638-655.

75. Юдович В. И., Математические проблемы теории устойчивости течений жидкости / Дис. докт. физ.-мат. наук. М.: Институт проблем механики АН СССР, 1972.

76. Юдович В. И. Косимметрия, вырождение решений операторных уравнений, возникновение фильтрационной конвекции // Матем. заметки. 1991. Т. 49, №5. С. 142-148.

77. Юдович В. И. О несуществовании статической группы симметрии для косимметрических динамических систем / РГУ. Ростов н/Д, 1993. 38 с. Деп. в ВИНИТИ, ДО929-В93.

78. Юдович В. И. Косимметрия и дифференциальные уравнения второго порядка / РГУ. Ростов н/Д, 1993. 14 с. Деп. в ВИНИТИ 19.04.93, № 1008-В93.

79. Юдович В. И. Косимметрия и конвекция многокомпонентной жидкости в пористой среде / РГУ. Ростов н/Д, 1993. 15 с. Деп. в ВИНИТИ 7.06.93, № 1523-В93.

80. Юдович В. И. Косимметрия и фильтрационная конвекция с источниками тепла / РГУ. Ростов н/Д, 1993. 29 с. Деп. в ВИНИТИ, ДО2057-В93.

81. Юдович В. И. Конечномерные модели плоской конвекции Дарси и косимметрия. Ч. I / РГУ. Ростов н/Д, 1993. 28 с. Деп. в ВИНИТИ, N°2871-B93.

82. Юдович В. И. Косимметрия и колебательная неустойчивость. I. Рождение предельного цикла из непрерывного семейства равновесий динамической системы с косимметрией / РГУ. Ростов н/Д, 1994. 30 с. Деп. в ВИНИТИ, ДО2440-В94.

83. Юдович В. И. Косиммегрия и колебательная неустойчивость. II. Пример затягивания бифуркации рождения цикла. Исследование устойчивости предельного цикла / РГУ. Ростов н/Д, 1995. 25 с. Деп. в ВИНИТИ, ДО3187-В95.

84. Юдович В.И. Теорема о неявной функции для косиммегрических уравнений // Матем. заметки. 1996. Т. 60, №2. С. 313-317.

85. Юдович В. И. Бифуркации, связанные с разрушением косимметрии динамической системы. Ч. I / РГУ. Ростов н/Д, 1996. 27 с. Деп. в ВИНИТИ 18.06.96, № 2002-В96.

86. Юдович В. И. Бифуркации, связанные с разрушением косимметрии динамической системы. Ч. II / РГУ. Ростов н/Д, 1996. 28 с, Ден. в ВИНИТИ 28.08.96, ДО2736-В96.

87. Юдович В. И. Косимметрия и магнитная конвекция жидкости в пористой среде / РГУ. Ростов н/Д, 1998. 21 с. Деп. в ВИНИТИ 10.02.98, №366-В98.

88. Юдович В. И. О бифуркации рождения цикла из семейства равновесий динамической системы и ее затягивании // Прикл. математика и механика. 1998. Т. 62, №1. С. 22-34.

89. Юдович В. И. Косимметрия и конвекция многокомпонентной жидкости в пористой среде // Изв. Вузов. Сев-Кавказ. Регион. Естественные науки. Спец. Выпуск "Математическое моделирование". 2001. С. 175-178.

90. Юдович В. И. Косимметрия и консервативные системы. Ч. III / РГУ. Ростов н/Д, 2002. 44 с. Деп. в ВИНИТИ 09.12.02, №2140-В2002.

91. Юдович В. И. Универсальные и тривиальные косимметрии и симметрии // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2004. Спецвыпуск. Математика и механика сплошной среды. С. 224-237.

92. Юдович В. И. О бифуркациях при возмущениях, разрушающих ко-симмегрию // Докл. РАН. 2004. Т. 398, К«1. С. 57-61.

93. Aref Н. Integrable, chaotic and turbulent vortex motion in two-dirnenstional flows // Ann. Rev. Fluid Mech. 1983. V. 15. P. 345-389.

94. Aref H. On the equilibrium and stability of a row of point vortices // J. Fluid Mech. 1995. V.290. P. 167 -181.

95. Aref H. and Vainchtein D. L. Asymmetric Equilibrium Patterns of Point Vortices // Nature. 1998. V.392, 23 April. P. 769-770.

96. Boatto S. and Cabral H. E. Nonlinear stability of a latitudinal ring of point-vortices on a nonrotating sphere // SIAM J. Appl. Math. 2004. V.64, №1. P. 216-230.

97. Boatto S. and Lascar J. Point-vortex cluster formation in the plane and on the sphere: an energy bifurcation condition // Chaos. 2003. V. 13, №3. P. 824-834.

98. Borisov A. V., Kilin A. A. Stability of Thomson's configurations of vortices on a sphere // Reg. к Ch. Dynamics. 2000. V.5. №2, P. 189200.

99. Bratsun D.A., Lyubimov D.V., Roux B. Co-symmetry breakdown in problems of thermal convection in porous medium // Physica D. 1995. V. 82, №4. P. 398-417.

100. Cabral H. E., Meyer K. R., and Schmidt D. S. Stability and bifurcations for the N + 1 vortex problem on the sphere // Reg. & Ch. Dynamics 2003. V.8, №3. P. 259-282.

101. Campbell L. and Ziff R. Vortex patterns and energies in a rotating superfluid // Phys. Rev. B. 1979. V.20, №5. P. 1886-1902.

102. Chossat P., Iooss G. The Couette-Taylor problem. Applied mathematical sciences. V. 102 New York: Springer-Verlag, 1994.

103. Chossat P. and Golnbitsky M. Iterates of maps with symmetry // SIAM J. Math. Anal. 1988. V. 19, №6. P. 1259-1270.

104. Derr L. A fotographic study of Mayer's floating // Proc. American Acad. 1909. V.44. P. 525-528.

105. Durkin D. and Fajans J. Experiments on two-dimentional vortex partens // Physics of fluids. 2000. V. 12, №2. P. 289-293.

106. Fine K., Cass A., Flynn W., and Dryscoll C. Relaxation of 2D Turbulence to Vortex Crystal // Phys. Rev. Lett. 1995. V.75, №18. P. 3277-3280.

107. Golubitsky M., Stewart I., and Schaeffer D. Singularities and groups in bifurcation theory. Vol. II. Applied mathematical sciences. V. 69. New York: Springer-Verlag, 1988.

108. Govorukhin V. N., Yudovich V.I. Bifurcations and selection of equilibria in a simple cosymmetric model of filtrational convection // Chaos. 1999. V.9, №2. P. 403-412.

109. Guckenheimer J., Holmes Ph. Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields. New York: Springer-Verlag, 1983.

110. Havelock Т.Н. The stability of motion of rectilinear vortices in iing formation // Philos. Mag. 1931. V.ll. P. 617-633.

111. Hess G.B. Angular Momentum of Superfluid Helium in a rotating Cylinder // Phys. Rev. 1967. V. 161, № 1. P. 189-193.

112. Holmes Ph. Averaging and chaotic motions in forced oscillations // SIAM J. Appl. Math. 1980. V.38, №1. P. 65-80.

113. Kurakin L. G. On nonlinear stability of the regular vortex systems on a sphere // Chaos. 2004. V. 14, № 3. P. 592-602.

114. Kurakin L.G., Yudovich V.I. Bifurcation of the branching of a cycle in n-parameter family of dynamic system with cosymrrietry // Chaos. 1997. V.7, №3. P. 376-386.

115. Kurakin L. G., Yudovich V. I. Bifurcations accompanying monotonic instability of an equilibrium of a cosymmetric dynamical system // Chaos. 2000. V. 10, №2. P. 311-331.

116. Kurakin L. G., Yudovich V. I. On the branching of 2D-tori off an equilibrium of a cosymmetric system (codirriension-1 bifurcation) // Chaos. 2001. V. 11, №4. P.780-794.

117. Kurakin L. G., Yudovich V. I. The stability of stationary rotation of a regular vortex polygon // Chaos. 2002. V. 12, №3. P.574-595.

118. Laurent-Polz F. Point vortices on the sphere: a case with opposite voi ticities // Nonlinearity. 2002. V. 15, № 1. P. 143-172.

119. Laurent-Polz F., Montaldi J., and Roberts M. Stability of relative equilibria of point vortices on the sphere / Preprint INLN 2004. (Available at arXiv : rnath.DS /0402430).

120. Lim C., Montaldi J., Roberts M. Relative equilibria of point vortices on the sphere // Physica D. 2001. V. 148, № 1. P. 97-135.

121. Lewis D., Ratiu T. Rotating n-gon/kn-gon vortex configurations // J. Nonliner Sci. 1996. V.6, №5. P. 385-414.129130131132133134135136137138

122. Makarenko N.I. Equivariant cosyminetry and front solutions of the Dubreil-Jacotiii-Long equation. Part 1: Boussinesq limit // C.R. Acad. Sci. Paris. 2003. V.337, №11. P. 753-756.

123. Makarenko N.I. Equivariant cosymmetry and front solutions of the Dubreil-Jacotin-Long equation. Part 2: Exact solutions // C.R. Acad. Sci. Paris. 2003. V.337, №12. P.815-818.

124. Marsden J.E., McCracken M. The Hopf bifurcation and its applications. New York:Springer-Verlag, 1976.

125. Marsden J. E. and Weinstein W. Reduction of simplectic manifolds with symmetry // Rep. Math. Phys. 1974. V.5, №1. P. 121-130.

126. Morton W.V. Vortex polygons // Proc. R. Irish Acad. 1935. V.42, P. 21-29.

127. Mayer A.M. Experiments with floating magnets // The American journal of science and arts. Third series. 1878. V.XV, P. 276-277; see also: Nature. 1878. V. 17. P. 487-488.

128. Mayer A. M. Floating magnets // Nature. 1878. V. 18. P. 258-260.

129. Mayer A.M. Note on floating magnets // The American journal of science and arts. Third series. 1878. V. XV. P. 477-478.

130. Mayer A.M. Floating magnets. Ibid.1878. V.XVI. P.247-256.

131. Mertz G. T. Stability of body-centered polygonal configurations of ideal vortices // Phys. Fluids. 1978. V.21. №7. P. 1092-1095.

132. Newton P. K. The ,/V-vortex problem. Analytical techniques. Applied Mathematical Sciences. V. 145. New York: Springer-Verlag, 2001.

133. Patrick G. W. Relative equilibria in Hamiltonian systems: the dynamic interpretation of nonlinear stability on a reduced phase space // J. Geom. Phys. 1992. V.9, №2. P. 111-119.

134. Pekarsky S., Marsden J. Point vortices on a sphere: stability of relative equilibria // J. Math. Phys. V.39. 1998, №11. P. 5894-5907.

135. Polvani L. M., Dritschel D. G. Wave and vortex dynamics on the surface of a sphere // J. Fluid Mech. 1993. V.255. P. 35-64.

136. Routh E. T. The advanced part of a Treatise on the dynamics of a system of rigid bodies. London: Macmillan, 1905.

137. Simo J. C., Lewis D., and Marsden J. E. Stability of relative equilibria, part i: the reduced energy-momentum method // Arch. Ration. Mech Anal. 1991. V. 115. P. 15-59.

138. Thomson J.J. On the Motion of Vortex Rings. London: Macmillan, 1883.

139. Thomson J.J. The Corpuscular Theory of Matter. London and Tonbridge: Arhibald Constable, 1907.

140. Thomson W. Floating magnets (illustrating vortex-systems) // Nature. 1878. V. 18, P. 13-14; Kelvin W.T. Mathematical and Physical Papers. Cambridge: Cambridge University Press. 1910. Vol. 4. P. 135-140.

141. Wood R. W. Equilibrium-figures formed by floating magnets // Philos. Mag. Ser. 5. 1898. V.46, №278, P. 162-164.

142. Yarmuck E., Gordon M., and Packard R. Observation of stationary vortex array in rotating superfluid helium // Phys. Rev. Lett. 1979. V. 43, №3. P. 214.

143. Yarmchuk E., Packard R. Photographic studies of quantized vortex lines // J. Low Temp. Phys. 1982. V.46, P.479.

144. Yudovich V. I. Cosymmetric dynamic systems and equilibria cycles // Abstracts FSU-USA Conference on Chaos. Woods Hole, Massachusetts 19-23 July 1993. Massachusetts, 1993. P. 37.

145. Yudovich V. I. Secondary cycle of equilibria in a system with cosymmetry, its creation by bifurcation and impossibility of symmetric treatment of it // Chaos. 1995. V.5, №2. P. 402-411.

146. Yudovich V. I. The cosymmetric version of the implicit function theorem // Linear topological spaces and complex analisis. METU-TUBITAK, Ankara, 1995. V.2. P. 105-125.

147. Zaslavsky G.M. Physics of chaos in hamiltonian systems. London: Imperial College Press, 1998.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.