Возмущения инвариантных множеств двумерных периодических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Бегун, Никита Андреевич

• Бегун, Никита Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бегун, Никита Андреевич

Введение

Глава 1. Постановка задачи

Глава 2. Существование отображения Н

Глава 3. Слабая гиперболичность Ту

Глава 4. Замкнутость К¥

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Возмущения инвариантных множеств двумерных периодических систем»

Вопросы, связанные с устойчивостью слабо гиперболических инвариантных множеств, являются одними из основных в современной теории дифференциальных уравнений. Интерес к ним возник еще во второй половине XX века, но и по сей день эти проблемы не потеряли своей актуальности — каждая новая публикация попадает под пристальное внимание со стороны специалистов.

Имеется ряд, ставших уже классическими, результатов в этой области (см. [1], [2), [9], [11]).

Говоря о генеалогии настоящей работы, в первую очередь стоит упомянуть статьи [1] и [2].

Приведем основные результаты, изложенные в них. В статье [1] изучается уравнение х = Х(х), где х € Кп, а X — это С^-функция, действующая из Еп вМ".

Вводятся понятия слабо гиперболического инвариантного множества К и листа Т, проходящего через точку х £ К.

Кроме того предполагается, что для любой точки хо £ К нейтральное и устойчивое подпространства линеаризованной системы дХ{х^,х0)) х =---X ох удовлетворяют условию Липшица.

Доказывается, что у системы у = Х{у) + У(у), где у £ 1п, а У — это С^-функция, действующая из Мп в Еп, такая что

ПЬ < имеется сколь угодно близкое (при должном выборе 5) к К слабо гиперболическое инвариантное множество Ку.

Также доказывается существование гомеоморфизма

Н : К Кп такого, что

Ку = ЦК).

В работе [2], опубликованной теми же авторами спустя 7 лет, реализовано обобщение вышеприведенного результата. В частности, наравне с устойчивым и нейтральным, рассматривается неустойчивое подпространство линеаризованной системы.

Отметим, что в обеих этих статьях делалось предположение о том, что нейтральное и устойчивое подпространства соответствующих линеаризованных систем удовлетворяют условию Липшица. В то же время понятно, что подобное ограничение является весьма существенным.

Таким образом, сама собой назрела необходимость рассмотрения нелипшицева случая.

В настоящей работе изучается проблема устойчивости инвариантных множеств двумерных периодических систем, не обладающих вышеупомянутым свойством.

Рассматривается система х = ж), где I 6 М. з; Е I2, а I - это ^-периодическая по первой переменной С^-функция, действующая из М3 вК2.

В первой главе даны ключевые определения, сформулирован основной результат работы и показаны его структурные отличия от результатов статей [1] и [2].

Во второй главе проводится построение липшицевых координат в окрестности листа Т (заметим, что в силу отсутствия липшицевой зависимости нейтральных подпространств от точки х, мы не можем брать в качестве координат нормали).

После этого проводится построение непрерывного отображения г : Т —»• Е, где Н = 5 х М2. 5 - окружность длины и>, такого, что Ту = Н(Т) — это инвариантное множество возмущенной системы где £ € К, у е М2, а У — это (¿-периодическая по первой переменной ' С^-функция, действующая из М3 в К2, такая что

У\\с> < <*■ 5

Показывается, что при должном выборе 8 множества Т и Ту являются сколь угодно близкими.

Заметим, что число 5 не зависит от выбора листа Т. В третьей главе доказывается, что при достаточно малом 6, множество является слабо гиперболическим инвариантным множеством. В четвертой главе показано, что множество

КУ = у ТУ

Тек является замкнутым.

Основные результаты работы опубликованы в статьях [18,19].

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Бегун, Никита Андреевич

Заключение

В работе показано, что, несмотря на отсутствие липшицевой зависимости устойчивого и нейтрального подпространств от точки ж, листовое множество в известном смысле устойчиво.

Доказывается, что возмущенная система имеет листовое инвариантное множество, расположенное в окрестности листового множества невозмущенной системы.

Доказывается, что множество к¥ = у ту тек является замкнутым.

Таким образом доказано, что даже в нелипшицевом случае вблизи множества К существует замкнутое слабо гиперболическое инвариантное множество К¥.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бегун, Никита Андреевич, 2013 год

1. V. A. Pliss and G.R.Seil. Perturbations of attractors of differential equations // J. Differential Equations. 1991. Vol.92. P. 100-124.

2. V. A. Pliss and G. R. Sell. Approximation Dynamics and the Stability of Invariant Sets //J. Differential Equations. 1997. Vol. 149. P. 1-51.

3. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1977. 304 с.

4. Монаков В. Н. Расположение интегральных поверхностей у слабо нелинейных систем дифференциальных уравнений. Вестник Ленинградского университета. Серия 1. 1973. Вып. 1. С. 68-74.

5. Коддингтон Э.А. и Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М. 1958.

6. AI. Kelley. Stability of the center-stable manifold //J. Math. Anal. Appl. 1967. Vol. 18. P. 336-344.

7. Al. Kelley. The stable, center-stable, center, center-unstable, unstable manifolds // J. Differential Equations. 1967. Vol.3. P. 546-570.

8. Плисс В. А. Принцип сведения в теории устойчивости движения // Изв. АН СССР. 1964. Т. 28. С. 1297-1324.

9. N. Fenichel. Persistence and smoothness of invariant manifolds for flows // Indiana Univ. Math. J. 1971. Vol.21. P. 193-226.

10. M. W. Hirsch, С. С. Pugh and M. Shub. Invariant Manifolds. SpringerVerlag, New York. Lecture Notes in Mathematics. 1977. Vol. 583.

11. R. J. Sacker. A perturbation theorem for invariant manifolds and

12. Holder continuity // J. Math. Mech. 1969. Vol. 18. P. 705-762.

13. G. R. Sell. The structure of a flow in the vicinity of an almost periodic motion // J. Differential Equations. 1978. Vol.27. P. 359-393.

14. S.Smale. Differentiable dynamical systems // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. Vol.73. P. 747-817.

15. R. Temam. Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics. Springer-Verlag, New York. 1988.

16. W. A. Coppel. Dichotomies in Stability Theory. Springer-Verlag, New York. Lecture Notes in Mathematics. 1978. Vol. 629.

17. V. A. Pliss and G. R. Sell. Approximations of the long-time dynamics of the Navier-Stokes equations // Differential Equations and Geometric Dynamics: Control Science and Dynamical Systems. Lecture Notes. 1993. Vol. 152. P. 247-277.

18. E. S.Titi On approximate-inertial manifolds of the Navier-Stokes equations // J. Math. Anal. Appl. 1990. Vol.149. P. 540-557.

19. Бегун H. А. Об устойчивости листовых инвариантных множеств двумерных периодических систем // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. 2012. Вып. 4. С. 3-12.

20. Бегун Н. А. О замкнутости листового инвариантного множества возмущенной системы // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2013. №1. С. 80-88.