Явное решение некоторых задач сопряжения аналитических, гармонических и обобщенных аналитических функций в особых случаях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Норов Курбанбай

• Норов Курбанбай
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Норов Курбанбай

С О Д1 ВЖ1Ж Ш Ж Введение.,.».

1. Случай явной разрешимости общей граничной задачи линейного сопряжения для аналитических и гармонических функций в круге.

1.1.0 случаях явной разрешимости общей граничной задачи линейного сопряжения аналитических функций.

1.2. Об одной краевой задаче сопряжения гармонических функций.----------------------------------.

2. О задачах сопряжения гармошческих функций, разрешаемых в зашщутой форме

2.1. Задача сопряжения гармонических фрщщй и её особый случай.

2.2. Случай разрывных коэффициентов в задаче сопряжения гармонических функций.

Задача соЕршшш^^ функций для полуплоскости.

4. Об одной краевой задаче теории аналитических функций с сингулярным граничным условием.

5. Случай, когда коэффициенты задачи (А0) имеют особенности различных типов.

6. Особые случай краевой задачи сопряжения для одаого случая обобщенных аналитических функций

Цитжрованнаялитература.

ВВЩЩШ 0.1. ОБОЗШЧШШ ш ошштшшш.

Будут рассматриваться комплекснозначные функции точек плоскости (х,у) или z=x+ly, обозначаемые не только как f(x,y), но и как í(z).

Пусть D* - односвязная ограниченная область (в частности это круг) с границей Ляпунова L, D~ - внешняя по отноffWB» » Т. nrt^or»«»»!. «р а Д^ттолнение TIO TJroft TTimnKOCÍfPí.'

• * * у '

2. ф^ (t) — предельные значения на I» аналитических в Б*- : функций, причем для ф~(г) требуется, чтобы

3. 1 - число линейнонезависимых надполемвещественных чисел решений однородной задачи, р - число условий разрешимости неодаородней.

4. - класс функций удовлетворяющих условию Гель-дера: [id,) - f(t2)| < Kf|t1-t2|^,для всех/Ц, t? € Ь, причем О < X < 1-у

5. Sp(SH) - норма в Ь^Н^Ь)) сингулярного оператора: Г p.(t)

SM- J t - 2 dt, t €

Отметим, что для окружности S2 = 1.

6. А(В) - класс функций, аналитических по комплексной перемерюй в области D.

0.2. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Новый расцвет теория краевых задач и сингулярных интегральных уравнений получила лишь в середине тридцатых годов. В течение короткого промежутка времени, и особенно в последные годы, вышло большое количество работ, посвященных краевым задачам аналитических функций. Большую роль, здесь сыграли работы Н. И.Мусхелишвили £183 по теории упругости и задачи теории упругости приводятся к краевым задачам теории функций комплексного переменного, а последние при помощи интегралов типа Коши к сингулярным интегральным уравнениям.

От вышеуказанных краевых задач естественно надо было перейти к постановке и решению общего случая основной краевой задачи, что и сделано в работах Ф.Д.Гахова С53.

Наряду с работаш по теории упругости большую роль сыграли также работы Лаврентьева М.А., Келдыша М.В., Седова ж др. да щщюдиншшке^

При решении практических задач здесь попутно ставились и решались частншш методами некоторые краевие задачи и сингулярные интегральные уравнения специального вида.

Труда перечислить все работы опубликованные за послед-ныв года* связанные так или иначе с нашей тематикой. Такая подробная библиография имеется в монографиях Н.И.Мусхелиш-Вши Г181 и Ф.Д.Гахова Е5Ь

За последные десятилетия широкое распространение получили общие линейные краевые задачи сопряжения аналитических функций, центральное место среди которых занимает задача: (А0) = m реже в односвязной области в замкнутой форме впервые было найдено ф.Д.Гаховым в 1936 году, а для многосвязной Б.В.Хведелидзе в 1941 г. Затем последовало много различных обобщений, разработок и применений, особенно в школах Ф.Д.Гахова [53 и Н.Й.Мусхелишвили [183. Одним из таких направлений, начатых самим Ф.Д.Гаховым, является исследование особых (или сингулярных) случаев, когда для G(t) на контуре допускаются нули или полюсы целого порядка.

Общим методом исследования задачи типа (AQ), а также ряда других, является метод сингулярных интегральных уравнений, теория которых разработана втрудах H.И.Myсхелишвили £183, й.Н.Векуа [33, Н.П.Векуа £43 и др.

Далее стало ясным, что более общей линейной задачей сопряжения аналитических функций является задача : (A)

После постановки задачи (А) в статье А.й.Маркушевича за 1946 г. Н.П.Векуа 133 в 1952 г. привёл её к системе СИУ и получил теоремы типа Штера. Первые точные результаты для задачи (А) при условии |а(t)| > {Ъ(t)| и с(t)sQ для односвязной области были найдены Б.В. Боярским С13 в 1959 г.

Гораздо более полное исследование задачи (А) при . випол-нения неравенство Ja(t)j>{b(t)| (эллиптический случай) и при самых широких предположениях относительно коэффициентов: a 1 и при Ja(t)J s |b(t)| (параболический случай) -вообще первое исследование принадлежит Л.'Г. Михайлову [133 -им задача изучена для любой многосвязной области. И. X.Сабитов [203 исследовал задачу (А) на единичной окружности,без требования условия эллиптичности и параболичности, но требуя, чтобы коэффициенты a(t), b(t), c(t) удовлетворяли условию Гельдера и ait) £ О, получил теорему о разрешимости.

Особые случаи задачи (А) при некоторых предположениях относительно коэффициентов рассматривались в работах Н.Н.Юха-нонова и Н.Усманова.

Что касается задач сопряжения для уравнений в частнщ производных, отличающихся от системы Коши-Ршана, то работ здесь гораздо меньше.

В замечательных работах И.Н.Векуа [2], разработан ряд методов исследования краевых задач типа Гильберта для систем уравнений в частных производных первого порядка и для уравнений второго порядка эллиптического типа.

В 1956 г. Л.Г.Михайловым была дана постановка и решение задачи (А0) в классе обобщенных аналитических функций, а затем в связи с этим и задачи (А), что позволило рассмотреть задачи сопряжения для некоторых тшов уравнений в частных производных второго порядка.

В монографии Л.Г.Михайлова £133 дано обобщение краевой задачи (А) на случай, когда в краевом условии допускаются члены, содержащие производные, а также их комплексные сопряжения.

А именно, рассматриваются следующие краевые задачи сопряжения с производной от искомой функции для аналитических и гармонических фуншдай:

А1) 4 ЬШ-Ц-+ р(1;)ф~(1;) + q

А3) аки^ + + 7ки+ = УА + ^у + и + к=1» 2где все а{г),Ь(г),с(г),р(г),д(г),ак,рк.заданные фуишк, точек контура.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Явное решение некоторых задач сопряжения аналитических, гармонических и обобщенных аналитических функций в особых случаях»

Цель работы. В диссертации делается попытка исследования и поиска тех случаев задач (А1), (А^, (А^), когда решение может быть найдено в явном виде. тоды теории краевых задач сопряшния для аналитических, гарисследования. В работе использованы общие ме моничееких и обобщенных аналитических фрпатий.

Научная новизна. В круге единичного радиуса впервые найдено в явном виде решение общей задачи линейного сопряжения аналитических функций для некоторых частных случаев; и в явном виде дано также решение одной задачи сопряжения гармонических функций. Путем сведения к задаче сопряжения аналитических фушсций впервые получены в явном виде решение одной задачи сопряжения гармонических функций,а также для некоторых особых случаев и для случая разрывных коэффициентов. Для указанных некоторых случаев краевой задачи сопряжения гармонических функций в полуплоскости получено решение в квадратурах.

Для одной задачи сопряжения аналитических функций с производной и с сингулярностью в краевом условии получена формула точного решения.

Для одного случая обобщенной системы Коши-Римана получено решение задачи сопряжения (типа задачи (А0)) в особом случае.

Практическая и теоретическая значимость. Полуденные в работе результаты могут быть использованы при исследовании краевых задач теории функций (аналитических, гармонических и обобщенных аналитических), а также интегральных уравнений; Из математической физики, гидродинамики, теории упругости, геофизики и т.п. известно, что аналитические функции - и тем более гармонические имеют многочисленные применения. В этом плане особую важность имеет задача (А).

Апробация работы. Материалы диссертации неоднократно обсуждались на семинаре кафедры математического анализа Таджикского государственного педуниверситета им. К.Ш.Джураева (1995-1999 гг.), научной конференции "Дифференциальные уравнения с частными производными и их приложения" (Курган-тю-бинский госуниверситет им. Н.Хусрава, 18-20 ноября 1997г.), на постоянно действующем научном семинаре отдела уравнений математической физики Института математики АН Республики Таджикистан,возглавляемом академиком Л;Г.Михайлощм (октябрь -ноябрь 1998г.), на совместном семинаре кафедр математического анализа и теории функций, дифференциальных уравнений и функционального анализа и высшей математики Таджикского. государственного национального университета (апрель 1999г.), на научном семинаре кафедры высшей математики Института Предпринимательства и сервиса Республики Таджикистан под ру~ . • - . ./ . . . V, . . . : . •,. ководством профессоров М.Мсматова и Ф.Комилова (апрель 1999г)

Публикации. По теме диссертации опубликованы пять научных статьей.

Личный вклад. Основные результаты включенные в диссертацию, получены соискателем самостоятельно, а постановка задач и некоторые идеи доказательств принадлежат научным,руко- . водителям.

На защиту выносятся.

1) явное решение общей задачи линейного сопряжения аналитических функций в круге единичного радиуса, когда один из коэффициентов имеет полюс, и в явном виде дано. ческих; функщй* 2) явнные-решения- задачи сопряжения гармошческих функций одной задачи сопряжения гармонисведенные к задаче сопряжения аналитических функций в особом случае и с разрывными коэффициентами;

3) явная формула для решении краевой задачи сопряжения ,. мозаических функций в полуплоскости;

4) формула, для точного решения одной задачи сопряжения аналитических функций с производной и с сингулщюсз'ьюх.

5) точные результаты для задачи сопряжения ашалщщ&тщ. А функций, когда коэффициенты задачи имеют ,особенности . различных типов;

6) решение задачи сопряжения (типа задачи, (А0)) в особом случае для одной неоднородной обобщенной, системы. Коши-Римана

Объём и структура работы. Диссертационная работа изложена на 75 страницах машинописного текста, состоит из введения* шести параграфов, и списка цитированной литературы, включающего 42. наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Норов Курбанбай, 1999 год

1. Боярский Б.В. - Об обобщенной граничной задаче Гильберта. - Сообш. АН Груз. СОР, 1960, т.25, $4. с. 385-390.

2. Векуа И.Н. ~ Системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и граничные задачи с применением к теории оболочек. -Матем. сборник, 1952, т.31, Л 2(73), с. 217-314.

3. Веку а И.Н. Обобщенные аналитические функции. - М., Наука, 1988, 510с.

4. Векуа Н.П.- Об одной задаче теории функций комплексного переменного. ДАН СССР, 1952, т.86,Л 3, с.457-460.

5. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М., Физматгиз, 1977, 640 с.

6. Гахов Ф.Д. Особые случаи краевой задачи Римана для систем п пар функций. - Известия АН СССР, серия матем., 1952, т.16, М2, с.147-156.

7. Гахов Ф.Д., Смагина В.И. Исключительные случаи интегральных уравнений типа свертки и уравнения первого рода. - Известия АН СССР, серия матем., 1962, т.26,т.

8. Гахов Ф.Д. 0 нелинейной краевой задаче с допустимыми нулями на контуре. - ДАН СССР, 1973, т.210, №, с.1269-1272.

9. Журавлева М.И. Однородная краевая задача Римана с бесконечным индексом со счетным множеством разрывов первого рода её коэффициента. - ДАН СССР, 1973, т.210, М , с.15-17.

10. Журавлева М.И. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом со счетным множеством нулей и полюсов её коэффициента. - ДАН СССР, 1974, т.214, 14, с.755-757.

11. Литвшчук Г.С., Нечаев А.П. К теории обобщенной краевой задачи Карлемана.-ДАН СССР,1969,т.189,ЛИ ,с.38-41.

12. Михайлов Л.Г. Краевая задача типа задачи Римана для систем дифференциальных уравнений первого порядка, эллиптического типа-и некоторые интегральные уравнения. - Ученые записки Тадж. госуниверситета., Сталинабад, 1957, т.10, с.32-78.

13. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений; и его применение к " дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. -Мзд-во АН Тадж.; ССР, Душанбе, 1963, 184 с.

14. Михайлов Л.Г. Точные теоремы о разрешимости задач сопряжения с производными. -Сб. "Исследования по краевым задачам теории функций и дифференциальных уравнений". -Изд-во АН Тадж. ССР, Душанбе, 1964, с.7-26.

15. Михайлов Л.Г. 0 'задачах сопряжения гармонических функций.-Докл. АН Тадж. ССР, Душанбе, 1980, т.23, М 4, с.171-174.

16. Михайлов Л.Г. 0 задаче сопряжения решений уравнения в частных производных второго порядка на плоскости. -ДАН СССР, 1981, т.256, Ш, с.276-281.

17. Михайлов Л.Г., Усманов Н. Особые случаи задач сопряжения для некоторых уравнений в честных производных. -Тезисы докладов Расширенных заседаний семинара института прикладной математики им И.Н. Векуа, Тбилиси,1985, т.1, Я1, с.150-154.

18. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. -М., Наука, 1968, 511. с.

19. Муминов А. Отдельные краевые задачи сопряжения для аналитических, обобщенных аналитических, гармонических Функций и некоторые приближенные способы их решения -Автореф. дисс. на соискание уч. степ. канд. физ.-мат. наук, Душанбе, 1994, 15 с.

20. Раджабов H.P. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. - чч. 1-4, Душанбе, 1981-1985.

21. Сабитов И.Х. Об одной краевой задачи сопряжения на окружности. - Сиб. матем. журн., 1964, т. 5, $ 1, с. 124 - 129.

22. Сабитов И.Х. Об одной краевой задачи линейного сопряжения. -Матем. сборник, 1964,т.64, Ш, с. 262-274.

23. Тузик A.M. -К решению особых интегральных уравнений с ядром Коши в исключительном случае,- Известия АН БССР, серия физ.-мат. наук, 1970, Ш, с. 125-127.

24. Тузик А.И Об индексе особых интегральных уравнений с ядром Коши в исключительном случае. - Вестник АН БССР, сер.физ.-мат. наук, 1972, Ш.

25. Усманов З.Д. Об одном классе обобщенных систем Коши - Рймана с сингулярной точкой. - Сиб. матем. журнал, 1973, Т. 14, *б, с.1076 - 1087.

26. Усманов Н. Об одной краевой задачи теории аналитических функций с производной в краевом условии.- Докл. АН Тадж. ССР, 1968, т.11, Л9, с. 7-10.

27. Усманов Н. Особые случаи краевой задачи с производной на окружности. - Докл. АН Тадж. ССР, 1974, т.17, М 5, с. 12-15.

28. Усманов Н. Особые случаи краевой задачи сопряжения аналитических функций с производными. Докл. АН Тадж. ССР, 1974, т.17, Ш, с. 7-11.

29. Усманов Н. Особые случаи некоторых задач сопряжения аналитических функций. - Автореф. дисс. на соискание уч. степ. канд. физ.-мат. наук, Душанбе, 1975, 15 с.

30. Усманов Н. Сингулярные случаи задачи сопряжения обобщенных аналитических функций. -Докл. АН Тадж. ССР, 1991, т.34, М, с. 216-220.

31. Усманов Н. Некоторые задачи сопряжения с поизводными второго порядка, а также сингулярные случаи для гармонических функций нв плоскости, -Докл. АН Тадж. ССР,А гм~ .<•"« , гч ¿г*.УУЛ , ').',. Ä.K ДШ>~©, О. ÜÖ'<-¿Чк).

32. Усманов Н. 0 задачах сопряжения гармонических функций с разрывными коэффициентами и с разомкнутыми контурами.-Докл.АН Тадж.ССР,1996,т.39,J89-10, с.69-74.

33. Усманов Н., Норов К. Особые случаи краевой задачи Римана для систем уравнений'эллиптического типа.Сборы. "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения", Душанбе, вып. 4, 1996, с.96-102.

34. Усманов П., Норов К. Об одной задаче сопряжения гармонических функций с разрывными коэффициентами.-Сборн. "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения", Душанбе, вып. 5, 1997, с.114-118.

35. Усманов Н., Норов К. Об одной краевой задаче теории аналитических функций с сингулярным граничным условиям Вестник педуниверситета, серия естеств. наук, Душанбе, 1397, J&10, с. 2-6.

36. Норов К. Особые случаи краевой задачи типа задачи Римана для систем дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа.- Сб. "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения", Душанбе, вып. 7, 1998, с.36-39.

37. Норов К. 0 случаях явной разрешимости общей граничной задачи линейного сопряжения аналитических функций» - Вестник педуниверситета, .серия естеств. наук, Душанбе, 1999, Ü1, с. 43-46.

38. Хведелидзе В.В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций с сингулярными интегральными уравнениями и некоторые их приложения. - Труды Тбилисского Математич. института АН Грузин. ССР, 1956, т.23, с.3-158.

39. Чибрикова Л.И. К решению задачи Римана в особых случаях. -Известия ВУЗов, математика, 1971, т. 35, ЛЗ,

40. Чибрикова Л.И. К решению задачи Римана в особых случаях. -Известия ВУЗов, математика, 1972, т. 36, 12,

41. Юханонов H.H. Точные теоремы о разрешимости некоторых краевых задач теории аналитических функций и особых интегральных уравнений.-Автореф. диес.на соискание уч. степ. канд. физ.-мат. наук, .Душанбе, 1967, 15 с.

42. Юханонов H.H. Об общей краевой задаче с производными для круга. - Сб. "Диф. и инт. уравнения с сингулярными коэффициентами", Душанбе, 1969, с. 103-113.