Задача оптимального управления движением вращающегося тела с жидким наполнением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Иванов, Илья Михайлович

• Иванов, Илья Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Иванов, Илья Михайлович

Оглавление

Введение

Глава 1. Устойчивость вращающегося твердого тела с полостью,

целиком заполненной идеальной жидкостью

§ 1. Обзор моделей и подходов в задачах динамики систем

с жидким наполнением

§ 2. Уравнения движения твердого тела с полостью, полностью заполненной идеальной несжимаемой жидкостью

§ 3. Устойчивость стационарного вращения твердого

тела с полостью, содержащей жидкость

§ 4. Основные результаты, полученные в первой главе 41 Глава 2. Задача управления вращающимся твердым телом с

полостью, целиком заполненной жидкостью

§ 1. Зависимость угловой скорости возмущенного

движения от момента внешних сил

§2. Эквивалентная система уравнений

§3. Аналитическое решение задачи безусловной

оптимизации с терминальным функционалом

Глава 3. Устойчивость вращающегося твердого тела, содержащего жидкость со свободной поверхностью

§ 1. Постановка задачи

§ 2. Вращательные движения твердого тела с полостью,

частично заполненной идеальной жидкостью

§ 3. Линеаризация задачи

§ 4. Задача гидродинамики

§ 5. Метод Бубнова - Галеркина

§ 6. Устойчивость свободного вращения системы

«тело - жидкость»

Глава 4. Задача оптимального управления вращающимся

твердым телом с полостью, содержащей жидкость со свободной поверхностью

§ 1. Уравнения движения системы «тело - жидкость»

в эквивалентной форме

§ 2. Задача управления волчком, частично заполненным

жидкостью

§ 3. Задача с геометрическими ограничениями

типа неравенств

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задача оптимального управления движением вращающегося тела с жидким наполнением»

Введение

Актуальность темы

Важной проблемой современного промышленного производства является развитие научных исследований в области обеспечения безопасности функционирования сложных технических систем. Это касается, в первую очередь, использования в качестве объекта исследования адекватных динамических моделей и разработки математических методов исследования безопасности сложных технических систем. Одним из важнейших факторов математической модели динамической системы, напрямую связанных с безопасностью, является устойчивость.

Начиная с середины XIX века теорию устойчивости начали успешно применять для решения проблем безопасности эксплуатации технических систем. Главным объектом исследования в это время были автоматические регуляторы производственных процессов, такие как регулятор Уатта для паровой машины. В работах Максвелла, Вышнеградского возникла теория регулирования (тогдашний синоним теории управления), в которой сформулирована цель теории управления - обеспечение устойчивости динамической системы

В 30-ые - 40-е годы прошлого века изучались стационарные режимы. В 50-е годы запросы техники потребовали анализа нестационарных процессов, в которых исследование устойчивости по Ляпунову оказалось недостаточным при проектировании управления ракетой. Место задачи устойчивости как основной задачи теории управления начинает занимать задача отыскания оптимального управления.

Одним из важнейших достижений науки и техники является создание и использование поля центробежных сил, которое оказалось весьма эффективным в машиностроении (роторные системы), космической технике (стабилизация космических аппаратов вращением), жидкостные гироскопы и

многих других. Существует большое количество работ, посвященных этим вопросам в космической технике. До инженерных методик доведены расчеты сложнейших аппаратов-центрифуг в химической технологии. В то же время далеко не все вопросы динамики роторных систем с жидкостью получили достаточное развитие и освещение.

В последние 5-7 лет профессором A.A. Гурченковым [1] и его учениками проводятся интенсивные исследования динамики вращающихся тел с полостями, содержащими жидкость. Задачи стабилизации и управления движением ротора с полостью, содержащей жидкость, являются важными как с теоретической точки зрения, так и в силу многочисленных технических приложений. Они возникают и при изучении движения самолетов, кораблей, и спутников, где запас жидкого топлива, имеющийся на борту, оказывает существенное влияние на движение этих аппаратов.

Рассматриваемые вопросы находят свое применение при изучении динамики космических аппаратов с запасами топлива, которые равномерно закручиваются на орбите вокруг некоторой оси для стабилизации, равномерного нагрева солнечными лучами, создания искусственной силы тяжести и других целей.

В данной работе предложена методика для решения задач оптимального управления в применении к вращающимся телам, наполненным жидкостью.

Таким образом, актуальной научной проблемой диссертации является разработка новых подходов и методов для изучения динамики вращающихся твердых тел с жидким наполнением.

Изложенные проблемы сформулировали следующую цель диссертации . Цель и задачи исследования

Основной целью данной работы является анализ систем управления движением вращающихся твердых тел с жидким наполнением, совершающих возмущенное относительно равномерного вращения движение под действием моментов внешних сил. Рассматривается случай полного и

частичного заполнения полости идеальной жидкостью. Компоненты момента внешних сил, действующих на систему, перпендикулярные оси стационарного вращения, предполагается рассматривать как управляющие воздействия. Одной из главных задач исследований было получение зависимости характеристик системы от момента внешних сил. Другой задачей было выяснение устойчивости объекта, получение ограничений на параметры системы для обеспечения ее устойчивости.

Важным направлением исследования была постановка задачи управления регулируемого объекта. При этом рассматривались различные методы теории оптимального управления для динамических систем, где в качестве неизвестной функции управления выступает момент внешних сил.

В ходе исследований удалось применить аппарат оптимального управления, основанный на принципе максимума Понтрягина, и теорию динамического программирования Беллмана. Для этого потребовалось осуществить преобразование исходных соотношений и, в частности, получить сведение к эквивалентным системам дифференциальных уравнений. В другом случае удалось использовать найденную зависимость напрямую. Научная новизна

В последние 5-7 лет профессором A.A. Гурченковым и его учениками проводятся интенсивные исследования динамики вращающихся тел с полостями, содержащими жидкость, для двух основных классов движений: ротационных и либрационных, что находится в русле важнейших приложений. Эту проблему в настоящее время нельзя считать решенной с теоретической точки зрения, хотя она и была предметом ряда исследований. Практически отсутствуют результаты о постановке задач оптимального управления для таких систем. В настоящей работе представлена методика получения соотношений между угловыми скоростями, перпендикулярными основному вращению, и моментом внешних сил, который рассматривается как управление, дается постановка задач оптимального управления с

различными функционалами и представлен математический аппарат для их эффективного решения. Рассматриваются известные в теории управления модели; где в качестве связей фигурируют найденные соотношения, описывающие динамику тел с жидким наполнением. Объект и предмет исследования

Объектом исследования является динамически симметричное твердое тело с полостью, частично или полностью заполненной идеальной жидкостью, которое вращается под действием моментов внешних сил. Предметом исследования являются уравнения динамики вращающегося твердого тела, содержащего жидкость, и нелинейные уравнения Навье-Стокса, описывающие поведение жидкости в полости вращающегося твердого тела.

Предметом исследования являются математические модели и вычислительные методы решения уравнений динамики вращающегося твердого тела с жидкостью, и математические модели задач устойчивости и оптимального управления изучаемыми динамическими системами. Методы исследования

В работе применяются методы классической математической физики, такие как разделение переменных, решение задач на собственные значения, методы теории функции комплексного переменного, методы теории обобщенных функций, методы теории возмущения, асимптотические методы. При решении задачи Коши для линеаризованной системы уравнений Навье-Стокса в случае возмущенного относительно равномерного вращения движения тела с полостью, содержащей жидкость, применен метод Галеркина, с помощью которого временная составляющая решения отделяется от пространственных координат. Вспомогательная гидродинамическая задача решена методом разделения переменных.

При решении задачи устойчивости свободного вращения тела с жидкостью для характеристического уравнения системы применяется критерий А.М.Ляпунова устойчивости линейных систем. Для решения задач оптимального управления используется принцип максимума Л.С.

Понтрягина. Применены необходимые условия оптимальности А.Б. Куржанского для задач управления в условиях неопределенности. Для построения численных решений задач оптимального управления с геометрическими ограничениями используется метод последовательных приближений Крылова-Черноусько. Вычисления и визуализация результатов расчетов проводились в среде MATLAB, а также в среде Borland Delphi. Текст наиболее важных алгоритмов вынесен в приложения и является важной частью диссертации. Практическая ценность

Результаты работы включены в отчеты по грантам РФФИ, проекты № 06-01-00316, 09-01-00678 а. Результаты диссертации могут быть использованы при изучении задач управления движением летательных аппаратов, движущихся в атмосфере, космических аппаратов с запасами жидкого топлива, которые закручиваются на орбите вокруг некоторой оси, для стабилизации, равномерного нагрева солнечными лучами, создания искусственной силы тяжести и других целей. Эти результаты также применимы при проектировании быстровращающихся роторов, центрифуг, гироскопов, имеющих внутри себя полости, заполненные жидкостью.

Разработанные методы решения динамических задач вращающихся твердых тел с жидким наполнением могут быть использованы в учебных курсах по теории оптимизации, а также для решения задач оптимального управления гибридными системами. Апробация результатов

Представленные в работе результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

1. Труды IV Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах. Анапа 2007

2. XXXIV, XXXV, XXXVI, XXXVII Международные молодежные конференция «Гагаринские чтения». Москва. 2008, 2009,2010,2011.

3. XVII Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам», посвященная памяти К. И. Бабенко. Дюрсо. 2008.

4. Труды международного симпозиума-Надежность и качество. Пенза, 2010.

5. Научные семинары кафедры «Прикладная математика» «МАТИ» - РГТУ им. К. Э. Циолковского (2005 - 2009 гг.).

6. Научные семинары в ИСА РАН, ВЦ РАН (2009-2011). Публикации основных результатов

Основные результаты диссертации опубликованы в 16 работах. Общий объем вклада автора составляет 2,13 п.л. Из них 3 в изданиях, рекомендованных ВАК, общий вклад автора в них составляет 1.3 п.л. В совместных работах результаты принадлежат соавторам в равных долях. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников и приложений. Объем диссертации 102 страницы. Список использованных источников включает 133 наименования. Текст разделен на главы, параграфы и пункты. Каждая глава имеет свою нумерацию формул и рисунков. В каждой главе изложение ведется в значительноцъй степени независимо от других глав. Вводимые обозначения заново определяются в каждой главе.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Иванов, Илья Михайлович

Заключение

Одним из важнейших достижений науки и техники является создание и использование поля ценробежных сил, которое оказалось весьма эффективным в машиностроении (роторные системы), космической технике (стабилизация космических аппаратов вращением), жидкостные гироскопы, в химической технологии (разделение разнообразных неоднородных систем, ткаих как сырая нефть), и многих других.

Отметим, что уровень теоретического анализа гидродинамических воздействий в различных областях техники и технологии неодинаков. Так существует большое количество работ, посвященных этим вопросам в космической технике. До инженерных методик доведены расчеты сложнейших аппаратов-центрифуг в химической технологии.

В то же время далеко не все вопросы динамики роторных систем с жидкостью получили достаточное развитие и освещение.

Интерес к этим задачам обусловлен не только практическими потребностями, но и большим теоретическим содержанием возникающих здесь проблем. Следует отметить, что проблема влияния вихревых полей на динамику твердого тела известна достаточно давно. С ней приходится все время сталкиваться в динамике полета самолетов, вертолетов и других летательных аппаратов, движущихся в атмосфере, в динамике ракет носителей и космических аппаратов с жидкостно-реактивными двигателями, имеющих демпфирующие устройства и другие конструктивные элементы внутри топливных баков.

Аналогичные проблемы возникают при решении задач, связанных с ориентацией и стабилизацией искусственных спутников и космических аппаратов.

В представленной работе проведено исследование динамики вращающихся твердых объектов, с полостями, заполненными жидкостью. При этом для идеальной жидкости поставлена и решена задача Коши в линейном приближении. Исследована устойчивость свободно вращающегося твердого тела с жидкостью. Для конкретной полости (цилиндр) построены области устойчивости в плоскости безразмерных параметров. Кроме того, рассмотрено возмущенное движение динамической системы (тело плюс жидкость), для которой поставлена и решена задача оптимального управления. При этом система уравнений, описывающая вращательные движения тела с жидкостью под действием внешних моментов, приведена к интегральному соотношению, выражающему связь между возмущающим моментом и возмущенной угловой скоростью твердого тела.

В отсутствие ограничений на управляющий момент удалось получить аналитическое решение задачи оптимального управления для рассматриваемой системы. При наличии ограничений на управление типа неравенств решение задачи получено численно.

Для идеальной жидкости поставлена и решена задача Коши в линейном приближении для вращающегося твердого тела с полостью, содержащей идеальную жидкость со свободной поверхностью. Проведено исследование устойчивости свободно вращающегося твердого тела с полостью, частично заполненной идеальной жидкостью.

Уравнения возмущенного движения рассматриваемой системы представлены с помощью метода Бубнова - Галеркина в виде интегрального соотношения, аналогичного для случая полного заполнения.

Это соотношение приведено к системе линейных дифференциальных уравнений, для которых разработан принцип максимума Понтрягина. Поставлена и решена задача оптимального управления волчком, частично заполненным жидкостью.

При отсутствии ограничений на управляющий момент решение представлено в аналитической форме. Для случая ограничений на управление типа интегральных неравенств задача решена численно. Приведено описание алгоритма и результаты численных тестов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Иванов, Илья Михайлович, 2012 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Beltrami DelPidrodonamica razionale, Memorie dell'Accademia delle scienze dell'Istituto di Bologna, серия III, T.l, 2, 1871.

2. Greenhill A.G. On the general motion of a liquid ellipsoid. // Proc. Camb. Phil. Soc. - 1895 -V. 186, №1.

3. Hough S.S. The oscillations of a rotating ellipsoidal shell containing fluid. Philosophical Transactions of the Royal Soc. of London. A., 1895, V. 186, part 1. -P. 469-506.

4. Kelvin, Lord. Mathematical and Physical Papers // Cambridge. -1882 - V. IV.

5. Neumann C. Gydrodynamishe Untersuchungen. Leipzig, 1883.

6. Poincare H. Sur la precession des corps deformables. Bulletin astronomique, 1910, T. 27.-P. 321 -356.

7. Stewartson K. On the stability of a spinning top containing liquid. // Journal of fluid mechanics, 1959 - V. 5, part 4. - P. 577-592.

8. Stokes G. Mathematical and Physical Papers // Cambridge - 1880 - V. I.

9. Александрян P.A. Спектральные свойства операторов, порожденных системами дифференциальных уравнений типа С.Л.Соболева: Труды Московского математического общества. - 1960 - т . 9. - С. 455-505

10. Гурченков А.А, Корнеев В.В., Носов М.В. устойчивость и управление движением волчка с жидким наполнением. М.: ВЦ РАН, 2006.

11. Беллман Р. Динамическое программирование. - М.:ИЛ, 1960.

12. Беллман Р. Процессы регулирования с адаптацией. - М.: Наука. 1964.

13. Беллман Р., Гликсберг И., Гросс О. Некоторые вопросы математической теории управления. - М.: ИЛ, 1962.

14. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. - М.: Наука, 1965. -460 с.106

15. Васильев Ф.П. Методы оптимизации - М.:Факториал Пресс, 2002.-824 с.

16. Гельмгольц Г. Вариационные принципы механики. - М.: Физматгиз,1959.

17. Гурченков A.A. Вихревые движения жидкости в полости вращающегося тела. - М.: Народный учитель, 2001. - 176с.

18. Гурченков A.A. Момент сил внутреннего трения быстровращающегося цилиндрического сосуда, заполненного вязкой жидкостью // Изв. ВУЗов. Приборостроение. - 2001. - Т.44, №2 - С. 44-49.

19. Гурченков A.A. Устойчивость жидконаполненного гироскопа. //ИФЖ. -2002. -Т.75, №3.

20. Гурченков A.A., Есенков A.C., Цурков В.И. Управление движением ротора с полостью, содержащей идеальную жидкость ч.1. // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2006. №1, С. 141-148.

21. Гурченков A.A., Есенков A.C., Цурков В.И. Управление движением ротора с полостью, содержащей идеальную жидкость ч.2. // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2006. №3, С. 82-89.

22. Гурченков A.A., Кулагин Н.Е. Аналитические исследования газокинетических и гидродинамических задач. - М.: МГОУ, - 2003.

23. Гурченков A.A., Иванов И.М., Носов М.В. Оптимальное управление движением волчка с жидким наполнением.// Труды IV Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов«Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в региона ». Анапа.2007. Т.2.С.125-127.

24. Гурченков A.A., Иванов И.М., Кузовлев Д.И., Носов М.В. Слабовозмущенное движение волчка, заполненного жидкостью, и проблема управления. // XVII Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к

многопроцессорным системам», посвященная памяти К.И. Бабенко. Дюрсо.2008.С. 143-144.

25. Гурченков A.A., Иванов И.М., Кузовлев Д.И., Носов М.В. Анализ

устойчивости и управления гироскопических систем стабилизации космических аппаратов. // XXXIV Международная молодежная конференция «Гагаринские чтения ». Москва. 2008. Т.5. с.68.

26. Гурченков A.A., Иванов И.М., Кузовлев Д.И. Устойчивость вращающихся тел с полостями, заполненными жидкостью.

// Фундаментальные проблемы системной безопасности. Сб. статей. М.: Вузовская книга, 2008. с.515-525.

27. Гурченков A.A., Иванов И.М., Носов М.В.Задача оптимального управления ротором с частичным заполнением жидкостью.

// XXXV Международная молодежная конференция «Гагаринские чтения ». Москва.2009. Т.6. С. 98.

28. Гурченков A.A., Иванов И.М., Кулагин Н.Е., Носов М.В. Задача устойчивости и управления движением волчка с частичным заполнением жидкостью. ВЦ РАН, Москва, 2008, монография.

29. Гурченков A.A., Иванов И.М., Носов М.В. Управление движением волчка с жидкостью в условиях неопределенности. // XXXVI Международная молодежная конференция «Гагаринские чтения ». Москва. 2010. Т.7. С. 156.

30. Гурченков A.A., Иванов И.М., Носов М.В. Возмущенное движение волчка, содержащего жидкость со свободной поверхностью, и задача оптимального управления. «Прикладная математика и механика ». Москва. 2010, в печати.

31. Гурченков A.A., Иванов И.М., Фесечко А.И. Задача управления динамической системой с распределенными параметрами.

// Труды международного симпозиума « Надежность и качество». Пенза, 2010. Т. 1. С.. 115-117.

32. Гурченков A.A., Иванов И.М., Носов М.В. Либрационное

движение тела в вязкой жидкости. // Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН. 2010. Т.49(1). С. 92-97.

33. Гурченков A.A., Иванов И.М., Носов М.В. Уравнения движения твердого тела с полостью, снабженной демпферами колебаний жидкости. // Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН. 2010. Т.50(1). С. 64-72

34. Гурченков A.A., Иванов И.М., Фесечко А.И. Управление вращающимися твердыми телами с жидким наполнением. // Вестник Мордовского университета. 2010, № 4, с. 88-93.

35. Гурченков A.A., Иванов И.М. Гидродинамические коэффициенты для полостей вращения (соосный цилиндр). // XXXVII Международная молодежная конференция «Гагаринские чтения ». Москва. 2011. Т.5. С. 78.

36. Гурченков A.A., Иванов И.М. Метод двухмасштабного разложения уравнений Навье-Стокса.

// XXXVII Международная молодежная конференция «Гагаринские чтения ». Москва. 2011. Т.5. С. 96.

37. Гурченков A.A., Иванов И.М. Оптимальное управление движением волчка с жидкостью (управление с переключением)..

// XXXVIII Международная молодежная конференция «Гагаринские чтения ». Москва. 2012. Т.5. С. 96.

38. Гурченков A.A., Иванов И.М. Оптимальное управление движением волчка с жидкостью (терминальный функционал).

// XXXVIII Международная молодежная конференция «Гагаринские чтения ». Москва. 2012. Т.5. С.

39. Гурченков A.A., Иванов И.М. Задача устойчивости волчка с жидким наполнением. // XXXVIII Международная молодежная конференция «Гагаринские чтения ». Москва. 2012. Т.5. С.

40. Докучаев JI.B., Рвалов Р.В. Об устойчивости стационарного вращения

твердого тела с полостью, содержащей жидкость. //Механика твердого тела.-973 -№2.-С 6-15.

41. Гурченков A.A., Корнеев В.В., Носов М.В. Управлением движением волчка с жидким наполнением. М.: Динамика неоднородных систем. 2006. с.27-33.

42. Гурченков A.A., Корнеев В.В. Задача оптимального управления ротором, содержащим вязкую жидкость. М.: Динамика линейных и нелинейных систем. 2006. с. 10-17.

43. Жак С. В. Об устойчивости некоторых частных случаев движения симметричного гироскопа, содержащего жидкие массы. // ПММ — 1958. -Т. 22. - С. 245-249.

44. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородною капельною жидкостью. Избранные сочинения, Т.1. - М.-Л.: Гостехиздат, 1948. - С. 31-152.

45. Иванов М.И. Собственные гармонические колебания гравитирующей жидкости в бассейнах сложной формы. //Механика жидкости и газа. -2006.-№1. С. 131-148.

46. Ишлинский А.Ю., Темченко М.Е. О малых колебаниях вертикальной оси волчка, имеющего полость, целиком наполненную идеальной несжимаемой жидкостью. //ПМТФ. - 1960. - №3. - С. 65-75.

47. Ишмухаметов А.З. Двойственный метод решения одного класса выпуклых задач минимизации. // ЖВМ и МФ - 2000. - Т.40, №7. - С. 1045-1060.

48. Ишмухаметов А.З. Регуляризованные приближенные методы проекции и условного градиента с конечношаговыми внутренними алгоритмами. // Докл. РАН, - 2003 - Т.390, №3.

49. Гурченков A.A. Динамика завихренной жидкости в полости вращающегося тела. М.: Физматлит. 2010, 220 с.

50. Калиткин Н.Численные методы. Учебное пособие. М.:Наука, 1978.512с.

51. Колесников H.H. Об устойчивости свободного твердого тела с полостью, заполненной несжимаемой вязкой жидкостью. // ПММ - 1962. - Т. 26, вып. 4.- С.606-612.

52. Краснощеков П. С. Малые колебания твердого тела, имеющего полости, заполненные вязкой жидкостью // Численные методы решения задач математической физики: Сб. ст. / Наука. - М., 1966. - С. 258-266.

53. Краснощеков П.С. О колебаниях физического маятника, имеющего полости, заполненные вязкой жидкостью. // ПММ - 1963. - Т. 27, вып. 2. - С. 193-202.

54. Крейн С.Г. Дифференциальные уравнения в Банаховом пространстве и их приложения в гидромеханике //УМН - 1957. - Т. 12, в. 1. С. 208-211.

55. Крейн С.Г., Моисеев H.H. О колебаниях твердого тела, содержащего жидкость со свободной поверхностью. // ПММ - 1957. - Т. 21, вып. 2. -С. 169-174.

56. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. - М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. - 392с.

57. Ламб Г. Гидродинамика. - М.-Л.: Гостехиздат, 1947. - 928с.

58. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. - М.: Гостехиздат, 1953.

59. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.:Гостехиздат, 1950.

60. Малашенко C.B., Темченко М.Е. Об одном методе экспериментального исследования устойчивости движения волчка, внутри которого имеется полость, наполненная жидкостью. //ПМТФ. - 1960. - №3. - С. 76-80.

61. Микишев Г.Н., Дорожкин Н.Я. Экспериментальное исследование свободных колебаний жидкости в сосудах. // Изв. АН СССР. / Механ. и машиностр. - 1961,№ 4. - С. 48-53.

62. Микишев Г.Н., Невская Е.А., Мельникова И.М., Дорожкин Н.Я. Об экспериментальном исследовании возмущенного движения твердого

тела с полостями, частично заполненными жидкостью. // Космические исследования, 1965. - Т. 3, вып. 2. - С. 208-220.

63. Моисеев H.H. Движение твердого тела, имеющего полость, частично залолненную идеальной капельной жидкостью. // ДАН СССР - 1952. - Т. 85, вып.4,-С. 719-722.

64. Моисеев H.H. Задача о движении твердого тела, содержащего жидкие массы, имеющие свободную поверхность. // Математический сборник -1953.-Т. 32, вып. 1.-С. 61-96.

65. Моисеев H.H. Задача о малых колебаниях открытого сосуда с жидкостью под действием упругой силы. // Укр. матем. жур. - 1952 - Т. 4, 2, №8. - С. 168-173.

66. Моисеев H.H. О колебаниях тяжелой идеальной и несжимаемой жидкости в сосуде. // ДАН СССР - 1952. - Т. 85, вып. 5. - С. 963-965.

67. Моисеев H.H. О краевых задачах для линеаризованных уравнений Навье-Стокса в случае, когда вязкость мала. //ЖВМ и МФ - 1961. - Т. I, № 3. - С. 548-550.

68. Моисеев H.H. О математических методах исследования нелинейных колебаний жидкости. // Труды Международного симпозиума по нелинейным колебаниям. / Изд-во АН УССР - Киев. - Т. 3, 1963. - С. 275-284.

69. Моисеев H.H., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. - М.: Наука, 1965.

70. Моисеев H.H., Черноусько Ф.Л. Задачи колебаний жидкости, подверженной силам поверхностного натяжения. //ЖВМ и МФ - 1965. -Т.5, № 6. - С. 1071-1095.

71. Нариманов Г.С. О движении сосуда, частично заполненного жидкостью. Учет немалости движения последней. // ПММ - 1957. - Т. 21, вып. 4. - С. 513-524.

72. Нариманов Г.С. О движении твердого тела, полость которого частично заполнена жидкостью. // ПММ - 1956. - Т. 20, вып. 1. - С. 21-38.

73. Охоцимский Д.Е. К теории движения тела с полостями, частично заполненными жидкостью. // ПММ - 1956. - Т. 20, вып. 1. - С. 3-20.

74. Петров A.A. Колебания жидкости в кольцевом цилиндрическом сосуде с горизонтальной образующей. //ЖВМ и МФ - 1961- Т. 1, №4. - С. 741746.

75. Петров A.A. Колебания жидкости в цилиндрических сосудах с горизонтальной образующей. //Вариационные методы в задачах о колебаниях жидкости и тел с жидкостью: Сб. ст./ВЦ АН СССР - М., 1962.-С. 179-202.

76. Петров A.A. Моисеев H.H. Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости. М.:ВЦ АН СССР. 1966.

77. Петров A.A. Приближенное решение задач о колебаниях жидкости в цилиндрическом сосуде с горизонтальной образующей. //Вариационные методы в задачах о колебаниях жидкости и тел с жидкостью: Сб.ст. /ВЦ АН СССР-М., 1962.-С. 213-220.

78. Петров A.A. Приближенный метод расчета собственных колебаний жидкости в сосудах произвольной формы и потенциалов Жуковского для этих сосудов. //ЖВМ и МФМ - 1963.- Т.З. №5.- С. 958-964.

79. Петров A.A. Уравнение движения самолета, несущего баки с жидкостью. //Вариационные методы в задачах о колебаниях жидкости и тел с жидкостью: Сб.ст. /ВЦ АН СССР - М., 1962. - С. 221-236.

80. Петров A.A., Попов Ю.П., Пухначев Ю.В. Вычисление собственных колебаний жидкости в неподвижных сосудах вариационным методом. //ЖВМ и МФМ - 1964.- Т.4. №5. - С.880-895.

81. Пожарицкий Г. К., Румянцев В.В. Задача минимума в вопросе об устойчивости движения твердого тела с полостью, заполненной жидкостью.// ПММ - 1963. - Т.27, вып.1. - С. 16-26.

82. Пожарицкий Р.К. О влиянии вязкости на устойчивость равновесия и стационарных вращений твердого тела с полостью, частично заполненной вязкой жидкостью. // ПММ - 1964. - Т. 28, вып. 1. С. 60-68.

83. Рабинович Б. И. Об уравнениях возмущенного движения твердого тела с цилиндрической полостью, частично заполненной жидкостью. // ПММ -1956. Т. 20, вып. 1.-С. 39-50.

84. Рвалов Р.В., Роговой В.М. О вращательных движениях тела с полостью, содержащей жидкость. // Механика твердого тела. 1972. - №3. - С 15-20.

85. Румянцев Б.Н. О движении твердого тела, содержащего полости, заполненные вязкой жидкостью. // ПММ. 1964. Т.28, в. 6. С. 1127-1132.

86. Румянцев В.В. К теории движения твердых тел с полостями, наполненными жидкостью. // ПММ - 1966. - Т. 30, вып. 1. - С. 51-66.

87. Румянцев В.В. Методы Ляпунова в исследовании устойчивости движения твердых тел с полостями, наполненными жидкостью. // Изв. АН СССР Механ. и машиностр. - 1963,№ 6. - С. 119-140.

88. Румянцев В.В. Об устойчивости вращательных движений твердого тела с жидким наполнением. // ПММ - 1959. - Т. 23, вып. 6. - С. 1057-1065.

89. Румянцев В.В. Об устойчивости движения твердого тела с жидкостью, обладающей поверхностным натяжением. // ПММ - 1964. - Т. 28, вып. 4. С. 746-753.

90. Румянцев В.В. Об устойчивости установившихся движений твердых тел с полостями, наполненными жидкостью. // ПММ - 1962. - Т. 26, вып. 6. С. 877-991.

91. Румянцев В.В. Устойчивость вращения твердого тела с эллипсоидальной полостью, наполненной жидкостью // ПММ - 1957. - Т. 21, вып. 6. - С. 740-748.

92. Соболев С.Л. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью. //ПМТФ. - 1960. - №3. - С. 20-55.

93. Черноусько Ф.Л. Вращательные движения твердого тела с полостью, заполненной жидкостью. // ПММ - 1967.- Т. 31, вып. 3. - С. 416-432.

94. Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, заполненными вязкой жидкостью, при малых числах Рейнольдса. // ЖВМ и МФ - 1965. Т. 5, №6.-С. 1049-1070.

95. Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость. - М.: ВЦ АН СССР, 1968.

96. Черноусько Ф.Л. Движение тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью, при больших числах Рейнольдса. // ПММ - 1966. - Т. 30, вып. З.-С. 476-494.

97. Черноусько Ф.Л. Движение тонкого слоя жидкости под действием сил тяжести и поверхностного натяжения. // ПММ - 1965. - Т. 29, вып. 5.

С. 856-862.

98. Черноусько Ф.Л. Колебания твердого тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью. // Механика твердого тела. - 1967. -№ 1. - С.3-14.

99. Черноусько Ф.Л. О свободных колебаниях вязкой жидкости в сосуде. // ПММ - 1966. - Т. 30, вып. 5. - С.836-847.

100. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1998. - 320с.

101.Четаев Н.Г. Об устойчивости вращательных движений твердого тела, полость которого наполнена идеальной жидкостью. //ПММ - 1957. - Т. 21, вып. З.-С. 157-168.

102. Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Понтрягин Л. С. К теории оптимальных процессов // Докл. АН СССР, 1956. Т. 110, № 1. С. 7 - 10.

103. Красовский Н. Н. К теории оптимального регулирования // Автоматики и телемеханика, 1957. Т. 18. № 11. С. 960 - 970.

104. Красовский Н. Н. Проблемы стабилизации управляемых движений.

// В книге: Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. Допол. 4. М.: Наука, 1966. С. 475 - 514.

105. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука. 1968.

106. Красовский Н. Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970.

107. Krasovskiy N. N. Subbotin A. I. Game-Theoretical Control Problems. New York: Springer - Verlag, 1987.

108. Kalman R. E. On the general theory of control systems // Proc. 1IFAC Cong. Moscow 1960). London: Butherworths, 1960. P. 481 - 492.

109. Понрягин Jl. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматлит. 1961.

110. Шильяк Д. Децентрализованное управление сложными системами. М.: Мир, 1994.

111. Kokotovic P., Arcak М. Costructive nonlinear control: a historical perspective // Automática. Vol. 37. № 5. P. 637 - 662.

112. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука. 2000.

113. Румянцев В. В. Об оптимальной стабилизации управляемых систем // ПММ, 1970. Т. 34. Вып. 3. С. 440 - 456.

114. Rumyantsev V. V. On the stability with respect to a part of the variables // Symp. Math. Vol. 6. Meccanica non-lineare. Stability. 23 - 26 febbrario, 1970. New York: Acad. Press. 1971. P. 243 - 265.

115. Румянцев В. В. Об оптимальной стабилизации движения по отношению к части переменных // Изв. РАН. Техническая кибернетика. № 1.

С. 184- 189.

116. Фурасов В. Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация. М.: Наука. 1977.

117. Озиранер А. С. Об оптимальной стабилизации движений относительно части переменных // ПММ, 1978, Т. 42. Вып. 2. С. 272 - 276.

118. Пятницкий Е. С. Синтез систем стабилизации программных движений нелинейных систем // Автоматика и телемеханика, 1993, Т. 54. № 7. С. 19-37.

119. Ковалев A.M. Управляемость динамических систем по части переменных. // ПММ, 1993, Т. 57. Вып. 6. С. 41 - 50.

120. Kovalyov A. M. Control and stabilization problems with respect to a part of the variables. // ZAMM, 1994, Vol. 74. № 7. P. 59 - 60.

121. Ковалев A. M. Частичная устойчивость и стабилизация динамических систем // Украинский математический журнал, 1995, Т. 47. № 2.

С. 186- 193.

122. Воротников В. И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных. М.: Наука, 1991.

123. Vorotnikov V. I. Partial Stability and Control. Boston: Birkhauser, 1998.

124. Воротников В. И. К нелинейной игровой задаче переориентации асимметричного твердого тела // Изв. РАН. МТТ, 1999, № 1. С. 3-18.

125. Акуленко JI. Д. Асимптотические методы оптимального управления. М.: Наука, 1987.

126. Akulenko L. D. Problems and Methods of Optimal Control. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ, 1994.

127. Охоцимский Д. E. К теории движения ракет // ПММ, 1940.Т. 10. Вып. 2.

128. Беллман Р. Динамическое программирование. М.:ИЛ, 1960.

129. Беллман Р., Гликсберг И., Гросс О. Некоторые вопросы математической теории управления. М.:ИЛ, 1962.

130. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.

131. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974.

133. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.