Задачи динамики систем твердых тел с постоянным и периодически изменяемым распределением масс тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, доктор физико-математических наук Буров, Александр Анатольевич

• Буров, Александр Анатольевич
• доктор физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Буров, Александр Анатольевич

Содержание

Введение

Глава 1. О движении тел с изменяемым распределением масс в центральном поле сил

1.1. Движение тела в спутниковом приближении. Истинная аномалия как независимая переменная

1.2. Плоские колебания тел с трёхмерным распределением масс

1.3. Плоские колебания тел с распределением масс вдоль прямой. Примеры

1.4. О плоских движениях гантели переменной длины в центральном поле ньютоновского притяжения. Точная постановка

1.5. Точные решения в обобщённой ограниченной эллиптической задаче трёх тел

1.6. Выводы из главы 1

Глава 2. О пуассоновых вариациях в задаче об устойчивости равновесий в механике твёрдого тела

2.1. Постановка задачи. Уравнения движения. Первые интегралы

2.2. Геометрия конфигурационного и фазового пространства

2.3. Пуассоновы вариации при нахождении установившихся движений и исследовании условий их устойчивости

2.4. Примеры из механики

2.5. Необходимые условия устойчивости

2.6. Выводы из главы 2

Глава 3. О консервативных методах управления вращением гиростата

3.1. Лагранжева структура уравнений управляемого движения

3.2. Пример

3.3. Стабилизация относительных равновесий спутника на круговой кеплеровской орбите

3.4. Управление спутником-гиростатом по относительной угловой скорости

3.5. Выводы из главе 3

Глава 4. Частные интегралы (инвариантные многообразия) в

задачах механики твёрдых тел

4.1. Задача о катании гиростата по гладкой горизонтальной плоскости

4.2. Задача о движении тяжёлого гиростата, подвешенного на стержне114

4.3. О движении тяжёлого твёрдого тела с остриями, опирающегося на гладкую поверхность

4.4. Задача о движении тела в потоке частиц

4.5. Выводы из главы 4

Глава 5. Движение твёрдых тел и гиростатов, допускающих

конечные группы симметрии

5.1. О движении тел, допускающих симметрии

5.2. Движение тела с роторами в ньютоновском поле сил в случае равенства главных центральных моментов инерции

5.3. Об относительных равновесиях установившихся движениях гиростатов с равными моментами инерции в центральном поле

сил

5.4. Выводы из главы 5

Глава 6. О существовании и устойчивости установившихся дви-

жений систем со связями, реализуемыми большими потенци-

альными силами

6.1. Уравнения равновесий

6.2. Установившиеся движения системы, освобождённой от связи

6.3. Достаточные условия устойчивости

6.4. Необходимые условия устойчивости

6.5. Структура характеристического многочлена системы с тремя степенями свободы, на которую наложена одна связь

6.6. Об относительных равновесиях орбитального маятника, подвешенного на тросе

6.7. О реализации односторонних связей в особенных случаях

6.8. Выводы из главы 6

Глава 7. Некоторые неинтегрируемые задачи механики твёрдых тел

7.1. О несуществовании дополнительного интеграла в задаче о тяжёлом двузвенном плоском маятнике

7.2. О неинтегрируемости уравнений движения гироскопа в карда-новом подвесе

7.3. Выводы из главы 7

Глава 8. Ограниченная постановка в задачах динамики твёрдого тела

8.1. Ограниченная постановка в задачах о движении тяжёлого твёрдого тела

8.2. Ограниченная постановка задачи о движении тела в жидкости

8.3. Выводы из главы 8

Приложение А. Движение материальных точек и твёрдых тел

по сферической поверхности

А.1. Динамика точки на двумерной сфере 52, вложенной в трёхмерное евклидово пространство В3

А.2. Система материальных точек, совершающих движение по сфере23б А.З. Динамика точки на трёхмерной сфере б13, вложенной в четырёхмерное евклидово пространство Я4. Первый и второй «законы Ньютона»

А.4. О движении тела, обладающего плоскостью симметрии, в трёхмерном сферическом пространстве под действием сферического аналога центрального Ньютоновского притяжения

А.5. О существовании, устойчивости и бифуркациях стационарных

движений гантелеобразного тела по поверхности сферы

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи динамики систем твердых тел с постоянным и периодически изменяемым распределением масс»

Введение

Актуальность работы Распределение масс в системах твёрдых тел является одним из основных факторов, играющих решающую роль для их динамики. Использование знаний об особенностях распределения масс, в частности, о симметриях в таком распределении, позволяет в ряде ситуаций облегчить отыскание тех или иных рабочих режимов исследуемой системы, а также их важных свойств, например, устойчивости. С другой стороны, наличие в системах твёрдых, подвижных масс, которые могут совершать то или иное «программное относительное движение» зачастую может быть использовано для управления движением системы в целом. При этом в качестве «источника» подвижных массивных элементов могут использоваться как осесиммет-ричные роторы, совершающие движение с постоянными или переменными относительными угловыми скоростями, так и точечные массы, совершающие движение вдоль тех или иных кривых (см., например, [125-127, 186-189]). Применимость таких подвижных элементов в различных механических системах предопределяет актуальность избранной темы исследования.

Цель диссертационной работы. Цель диссертационной работы состоит в исследовании влияния на динамику таких особенностей в распределении масс тел, как наличие дискретных симметрий в таком распределении или как наличие существенных различий в «длине», «ширине» и «толщине» тела, а также в применимости перераспределения масс в задачах управления ориентацией космических объектов.

Научная новизна. Новыми и оригинальными являются:

1. Метод реализации равновесных конфигураций и аналогичной кеплеров-ской орбиты центра масс в задаче о движении гантелеобразного тела периодически изменяемой длины в центральном ньютоновском поле тяготения (в точной постановке).

2. Распространение на случай равномерных (по истинной аномалии) вращений гантелеобразных тел периодически изменяемой длины известного подхода В.А.Сарычева и В.Шилена к реализации в рамках спутникового приближения равновесных конфигурации тел с переменным распределением масс. Выявление и аналитическая оценка в случае плоских возмущений области устойчивости равновесных конфигураций в пространстве параметров на основании теорем Жуковского и Ляпунова. Исследование неинтегрируемости уравнений плоских колебаний вибрирующих тел на эллиптической орбите, численное изучение для ряда значений параметров областей регулярной и хаотической динамики.

3. Для обобщённой ограниченной плоской эллиптической задачи трёх тел, в которой малое тело предполагается присоединённым к одному из основных тел с помощью нерастяжимого невесомого троса переменной длины, указан закон изменения его длины, при котором существуют «вертикальные» и «наклонные» относительные равновесия во вращающейся вместе с основными телами системе отсчёта. В рамках плоской задачи исследованы необходимые условия устойчивости таких равновесий. На основании метода сечений Пуанкаре при некоторых значениях параметров сделаны выводы об особенностях регулярной и хаотической динамики третьего тела.

4. В рамках теории Рауса и ее обобщений развит метод анализа структуры линейных многообразий, возникающих при исследовании необходимых и достаточных условий устойчивости равновесия системы твёрдых тел.

5. На случай движения тела с роторами по круговой кеплеровской орбите распространён метод построения управлений, сохраняющий лагран-жеву структуру уравнений движения и основные симметрии. Оценены

возможности использования метода для реализации и стабилизации относительных равновесий.

6. Указаны распределения масс, при которых имеют место новые случаи существования дополнительного линейного частного интеграла, аналогичного интегралу Гесса, в задачах:

- о движении тяжёлого гиростата на струне,

- о движении тяжёлого гиростата по гладкой горизонтальной плоскости,

- о движении тела в потоке частиц,

- о движении тяжёлого тела, опирающегося остриями на гладкую плоскость.

В случае одного острия установлена динамическая эквивалентность изучавшейся задачи и задачи о катании твёрдого несимметричного шара по гладкой плоскости, позволившая сделать выводы об особенностях регулярной и хаотической динамики изучавшейся системы.

7. Развит подход к решению полуобратной задачи об относительных равновесиях гиростата с шаровым тензором инерции на круговой орбите. Результат применён к задаче об относительном движении гиростата с распределением масс, допускающим группу симметрии тетраэдра.

8. Дано обоснование подхода к исследованию необходимых и достаточных условий устойчивости механических систем, стеснённых односторонними голономными связями, реализуемыми большими потенциальными силами.

9. Доказана неинтегрируемость уравнений движения в задачах о движе-

нии двухзвенного физического маятника и о движении гироскопа в кар-дановом подвесе.

10. Развито предложенное В.В.Козловым и Д.В.Трещёвым представление о т.н. «ограниченной постановке» в задачах динамики твёрдого тела, для которых «длина» существенно превосходит «ширину», а «ширина» существенно превосходит «толщину». Для таких тел в задачах о движении тяжёлого твёрдого тела с неподвижной точкой и о движении твёрдого тела в идеальной жидкости установлено сочетание легко наблюдаемого регулярного движения «оси тела» и трудно наблюдаемого, хаотического движения тела вокруг этой «оси».

11. Изучены особенности постановки задач классической механики точки и твёрдого тела, вложенных в трёхмерное сферическое пространство. Исследованы возможности использования понятий центра масс и центра тяжести; изучены условия равновесия тел в сферическом аналоге центрального поля ньютоновского притяжения; исходя из «ограниченной постановки» в задачах механики твёрдого тела, выписан аналог уравнения Белецкого для «плоских» колебаний сферического спутника на эллиптической орбите. Найдены нетривиальные решения в задаче о движении гантелеобразного тела в сферическом аналоге центрального поля ньютоновского тяготения.

Практическая значимость. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы при проектировании орбитальных полётов, при исследовании устойчивости, стабилизации и управления движением систем твёрдых тел с подвижными массами. Результаты диссертации использовались ранее (Национальная школа мостов и шоссе, Франция) и продолжают использоваться (МГУ им.М.В.Ломоносова) при чтении специальных курсов

по современным методам классической механики и механики космического полёта.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1) Практически важный подход, позволяющий реализовать относительные равновесия в задаче о движении гантелеобразного тела периодически изменяемой длины в центральном ньютоновском поле тяготения в точной постановке.

2) Распространение этого подхода на случай обобщённой, ограниченной плоской эллиптической задачи трёх тел, для которой малое тело предполагается присоединённым к одному из двух основных тел невесомым тросом или стержнем переменной длины. Исследование необходимых условий устойчивости таких относительных равновесий. Численное изучение в этой задаче хаотической динамики.

3) Распространение на случай равномерных по истинной аномалии вращений гантелеобразных тел переменной длины на эллиптической орбите известного подхода В.А.Сарычева и В.Шилена к реализации относительных равновесий тел с переменным распределением масс в рамках спутникового приближения. Исследование необходимых условий устойчивости таких движений. Численный и аналитический анализ регулярной и хаотической динамики гантелеобразных тел периодически изменяемой длины.

4) Анализ структуры линейных многообразий, возникающих при исследовании необходимых и достаточных условий устойчивости равновесия системы твёрдых тел в рамках теоремы Рауса и ее обобщений.

Метод построения управления движением спутника с роторами, сохраняющий лагранжеву структуру уравнений движения и основные симметрии.

Новые случаи существования дополнительного линейного частного интеграла, аналогичного интегралу Гесса, в задачах: о движении гиростата на струне, о движении гиростата по гладкой горизонтальной плоскости, о движении по гладкой плоскости тяжёлого тела, опирающегося на острия, о движении тела в потоке частиц.

Обоснование подхода к исследованию необходимых и достаточных условий устойчивости механических систем с односторонними голономными связями, реализуемыми большими потенциальными силами.

Распространение идеи «ограниченной постановки» в задачах динамики «тонкого» твёрдого тела на случай, когда три основных размера тела являются величинами разных порядков. Приложение идеи к задачам тяжёлого твёрдого тела с неподвижной точкой и тела в идеальной жидкости, позволившее установить в динамике таких задач сочетание легко наблюдаемого регулярного движения и трудно наблюдаемого хаотического движения.

Доказательство неинтегрируемости в общем случае в задачах: о движении двухзвенного физического маятника, о движении гироскопа в кардановом подвесе, о движении двухстепенного гироскопа.

Выявление особенностей понятий центра масс и центра тяжести твёрдого тела в рамках классической механики на сферических поверхностях. Разработка представлений об ограниченной постановке в задаче о движении твёрдого тела в сферическом аналоге поля ньютоновского тяготения. Вывод сферического аналога уравнения Белецкого.

Апробация работы. Результаты исследований докладывались на ряде семинаров ведущих отечественных и зарубежных международных организаций. Среди них, в частности, семинар по аналитической механике и теории устойчивости движения МГУ им.М.В.Ломоносова под руководством акад. В.В.Румянцева, чл.-корр. В.В.Белецкого, проф.А.В.Карапетяна; семинар по гамильтоновой механике МГУ им.М.В.Ломоносова под руководством акад. В.В.Козлова, чл.-корр. Д.В.Трещёва, проф.С.В.Болотина; семинар по механике относительного движения МГУ им.М.В.Ломоносова под руководством чл.-корр. В.В.Белецкого, проф.Ю.Ф.Голубева, доц.К.Е.Якимовой; семинар Отдела механики Вычислительного центра им.А.А.Дородницына РАН под руководством акад.В.В.Румянцева, проф.С.Я.Степанова, д.ф.-м.н. В.С.Сергеева и проф.А.С.Сумбатова; семинар Лаборатории Моделирования в механике (LMM) Университета Париж VI, Франция под руководством проф. А.Кабанна, проф.Р.Гатиньоль, проф. М.Паскаль; семинар кафедры механики Университета Пуатье, Франция, под руководством проф.К.Балле; семинары Центра исследования и преподавания прикладной математики (CERMA) и Центра математики, информатики и компьютерных наук (CERMICS) Национальной школы мостов и шоссе, Франция, под руководством проф.Д.П.Шеваллье; семинар кафедры механики Университета Эври - Валь-д'Эссон, Франция, под руководством проф.Ж.Лербе и проф.М.Паскаль; семинар кафедры математики Университетских факультетов Божией Матери Мира (FUNDP), На-мюр, Бельгия, под руководством проф.Ж.Анрара, проф.А.Лемэтр и проф. Г.В.Плотниковой; семинар кафедры математики Католического Университета Лувена (UCL), Бельгия, под руководством проф. П.Ван Мёрбека и доц. К.Пайфера; семинары Института технической механики Венского технического университета под руководством проф.Х.Трогера и проф.А.Штайндля; семинар отдела механики и авиакосмического машиностроения (МАЕ) Прин-стонского университета под руководством проф.Ф.Холмса и проф.Н.Э.Ле-

онард; семинар Центра аэрокосмических наук и технологий Университета Внутренней Бейры, Португалия, под руководством проф.А.Д.Герман; семинар кафедры математики Университета Порто, Португалия, под руководством проф.Г.Смирнова.

Результаты исследований также докладывались на ряде научных российских и международных конференций, в частности, Академические чтения по космонавтике памяти С.П.Королёва и других выдающихся отечественных учёных - пионеров освоения космического пространства (2005 - 2013); Международные научные конференции по механике "Поляховские чтения"; Международная конференция, посвящённая 100-летию А.А.Андронова. Нижний Новгород. 2-6 июля 2001 года; Международные симпозиумы по классической и небесной механике, Великие Луки, 2001, 2004, 2007, 2010; Symposium «Geometry, Symmetry and Mechanics II»: 21-27 July 2002, Warwick, England; GAMM Tagung 1996, Prag; GAMM Tagung 1998, Gëttingen; STAMM XV, 10-14 July, 2006, Vienna; European Non-linear Oscillation Conférence (ENOC), 2008, Санкт-Петербург; European Non-linear Oscillation Conférence (ENOC), 2011, Рим.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 41 печатной работе. Из них 18 статей опубликованы в рецензируемых журналах из списка ВАК: [40, 41, 45, 49, 53, 54, 57-59, 63, 66-72, 74]; 14 статей опубликованы в изданиях, не включённых в список ВАК и не являющихся трудами конференций: [39, 42, 43, 46-48, 55, 60, 61, 64, 65, 225, 226, 228]; 9 статей опубликованы в трудах международных конференций: [229, 230, 232, 233, 235-237, 241, 242].

Личный вклад автора. Существенная часть работ, составивших основу диссертации, выполнена без соавторов. Из совместных работ с другими авторами, среди которых А.Д.Герман, А.Дюган, А.В.Карапетян, И.И.Косенко, И.Мотт, Я.-Е.Славяновский, С.Я.Степанов, Р.С.Суликашвили, Х.Трогер, Д.П.Шеваллье, на защиту выносятся лишь те результаты, которые получены

лично автором. В случаях, когда во избежание потери целостности изложения также приводятся результаты соавторов, в тексте сделаны специальные оговорки.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из восьми глав, приложения и содержит 304 страницы машинописного текста.

первая глава посвящена изучению плоскопараллельных движений тел переменного распределения масс в центральном ньютоновском поле сил. Описываются и дополняются известные походы к исследованию задачи в рамках спутникового приближения. Решается задача о существовании и устойчивости равномерных по истинной аномалии вращений, в частном случае, при нулевой частоте вращения спутника, совпадающая с задачей о его относительном равновесии на эллиптической орбите.

В случае относительных равновесий указывается удобный подход для конструирования требуемых движений, опирающийся на представление тензора инерции с помощью тензора Эйлера - Пуансо. В качестве примера системы с одномерным распределением масс рассматривается предложенная Х.Трогером задача о плоском движении гантелеобразного тела со скользящей вдоль него массивной кабиной. В общем случае плоского движения в пространстве двух параметров - эксцентриситета орбиты и безразмерного инерционного параметра - указываются найденные численно области выполнения необходимых условий устойчивости, а также условия устойчивости, получаемые на основании теорем Жуковского и Ляпунова. Доказана неинтегрируемость уравнения движения, численно с помощью метода сечений Пуанкаре проиллюстрированы сочетание регулярного и хаотического поведения системы, а также развитие хаоса.

Для вращательных движений гантелеобразных тел выписаны общие правила изменения длины гантели, необходимые для реализации равномерных по истинной аномалии вращений. Возникающие интегралы вычисляются в

явном виде для не очень больших целых и полуцелых чисел вращения. Для ряда чисел вращения численно определены значения эксцентриситета, при которых выполнены необходимые условия их устойчивости. Также численно проиллюстрированы сочетание регулярного и хаотического динамики.

В рамках точной постановки рассмотрена задача о плоском движение гантелеобразного тела изменяемой длины в центральном ньютоновском поле тяготения. Доказано, что в случае пропорциональности длины гантели расстоянию от притягивающего центра до её центра масс существуют особые решения, на которых гантелеобразное тело обращено к притягивающему центру одним из своих концов, а его центр масс движется по эллиптической орбите, аналогичной кеплеровской. Исследованы необходимые условия устойчивости таких движений.

Рассмотрена обобщённая ограниченная плоская задача трёх тел, два из которых движутся по невозмущаемым эллиптическим орбитам вокруг общего центра масс, а третье тело малой массы присоединено ко второму невесомым стержнем переменной длины. Установлено правило изменения длины стержня, при котором существует такая орбитальная конфигурация, что все три тела остаются на одной прямой во всё время движения, а также орбитальные конфигурации, при которых стержень образует с прямой, соединяющей первые два тела, постоянный ненулевой угол. Найдены необходимые условия устойчивости такой конфигурации, численно исследованы примеры регулярного и хаотического поведения изучаемой системы.

вторая глава посвящена развитию методов исследования необходимых и достаточных условий устойчивости равновесий в механике систем твёрдых тел. Традиционно применяемый метод Рауса, используемый для исследования существования и достаточных условий устойчивости в системах с избыточными координатами и естественно возникающими геометрическими соотношениями между ними, предполагает либо обычно сопровождающееся

потерей симметрии исключение одних координат и их подстановку в квадратичную форму второй вариации, либо применение достаточно трудоёмкой процедуры вычисления миноров и определителя расширенной матрицы второй вариации. Предложенный во второй главе способ введения координат на возникающем в задаче линейном многообразии в задачах механики твёрдого тела позволяет как сохранить симметрию, так и существенно упростить упомянутое вычисление. Исследован вопрос о применимости введённых на линейном многообразии координат для исследования необходимых условий устойчивости. Приведены иллюстративные примеры.

ТРЕТЬЯ ГЛАВА посвящена методу построения управлений движением спутника с роторами, сохраняющему лагранжеву структуру уравнений движения и основные симметрии задачи. Исследован вопрос о том, как предлагаемые управления влияют на решение вопроса о существовании и об условиях устойчивости положений относительного равновесия спутника на круговой орбите.

В четвёртой главе изучаются вопросы существования частных линейных интегралов в задачах механики твёрдого тела. Указаны случаи существования дополнительного линейного частного интеграла, аналогичного интегралу Гесса, в задаче о движении тяжёлого гиростата на струне и в задаче о движении гиростата по гладкой горизонтальной плоскости.

Предложен подход к описанию движения тела с неподвижной точкой в потоке частиц, определены общие условия того, что возникающие уравнения движения имеют лагранжеву структура, приведены примеры. Указаны условия существования дополнительных первых интегралов, в частности, интеграла типа Гесса.

Рассмотрена задача о движении тяжёлого тела, опирающегося остриями на гладкую поверхность. Для случая, когда тело опирается двумя остриями, указан интеграл типа Гесса. Для случая, когда тело опирается на гладкую го-

ризонтальную плоскость одним остриём показана динамическая эквивалентность рассматриваемой задачи и задачи о катании по гладкой плоскости тяжёлого неоднородного шара со смещённым центром масс. На основании аналогии сделаны выводы о существовании общих и частных первых интегралов уравнений движения, а также о неинтегрируемости уравнений движения в общем случае.

ПЯТАЯ ГЛАВА посвящена исследованию движений твёрдых тел, обладающих симметриями в распределении масс. Рассматривается задача о движении в центральном поле сил твёрдого тела с неподвижной точкой. Указываются условия распределения масс, гарантирующие существование перманентных вращений такого тела вокруг линии, соединяющей неподвижную точку и притягивающий центр. Приводятся удовлетворяющие указанному условию примеры распределения масс в телах, обладающих особыми тетраэдральными и октаэдральными формами, известными из специальных глав элементарной геометрии, а также куба.

Также рассмотрена о существовании и устойчивости относительных равновесий спутника-гиростата, распределение масс которого допускает группу симметрии тетраэдра. Выписаны уравнения движения в избыточных координатах, показано, как для них может быть произведено понижение порядка по Раусу, описан общий подход к отысканию стационарных движений. Для правильного тетраэдра с равными массами в вершинах помимо обычного разложения потенциала по малому параметру, равному отношению характерного размера тела и расстояния до притягивающего центра, предложено иное разложение, не имеющее особенностей и в идейном плане восходящее к исследованиям Борна и Инфельда. Исследованы существование и устойчивость относительных равновесий на круговой орбите тетраэдров - гиростатов, для которых вектор гиростатического момента перпендикулярен плоскости орбиты.

Для произвольных гиростатов с шаровым тензором инерции указано решение полуобратной задачи об относительных равновесиях, когда по заданному в теле положению локальной вертикали определяется положение в теле вектора нормали к плоскости орбиты и реализующий такое равновесие ги-ростатический момент. Рассмотрен пример тетраэдра - гиростата с равными массами в вершинах и равными массивными рёбрами. Для приближения ньютоновского потенциала, задаваемого кубическим симметрическим многочленом от направляющих косинусов единичного вектора локальной вертикали, полностью решена полуобратная задача о существовании относительных равновесий и исследованы достаточные условия их устойчивости.

ШЕСТАЯ ГЛАВА посвящена исследованию необходимых и достаточных условий устойчивости равновесий систем, стеснённых односторонними связями, реализованными большими потенциальными силами. Такие равновесия и достаточные и необходимые условия их устойчивости найдены в виде рядов по возникающему малому параметру. Показано, что в пределе получаются равновесия системы, стеснённой связью, а также необходимые и достаточные

условия устойчивости таких равновесий В качестве примера рассмотрена за/

дача о маятнике, подвешенном на спутнике с помощью нерастяжимои невесомой нитью. На примере обсуждается вырожденная ситуация, когда применённый предельный переход не даёт возможности сделать вывод о достаточных условиях устойчивости. В рамках механики систем с голономными связями, реализованными большими потенциальными силами предлагается подход к изучению кинематической подвижности системы, опирающийся на понятие области возможного движения.

В СЕДЬМОЙ ГЛАВЕ исследованы условия несуществования дополнительных первых интегралов в системах с переменным распределением масс, таких как тяжёлый двухзвенный физический маятник, гироскоп в кардановом подвесе, а также двухстепенной гироскоп.

восьмая глава посвящена исследованию регулярной и хаотической динамики твёрдых тел, один из размеров которых, «длина», существенно больше двух оставшихся размеров, «ширины» и «толщины». Свойства динамики таких тел исследованы в предположении о том, что тело тяжёлое и совершает движение вокруг неподвижной точки, и в предположении о том, что тонкое тело движется в идеальной несжимаемой жидкости.

приложение А посвящено построению основ классической механики систем материальных точек и твёрдых тел, погруженных в трёхмерную сферу. Исследовано правило сложения сил, указаны аналоги правила рычага Архимеда, исследованы условия существования и устойчивости равновесий тел в сферическом аналоге центрального ньютоновского поля сил. Исследованы условия существования стационарные движение гантелеобразного сферического тела в сферическом аналоге центрального ньютоновского поля сил. В предположении о малости тела по сравнению с радиусом сферы выведен сферический аналою уравнения Белецкого, исследованы его простейшие свойства.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Буров, Александр Анатольевич

А.6. Выводы из приложения А

Предпринята попытка изложить основные положения механики точки на сферических поверхностях по аналогии с тем, как это делается для механики материальной точки и систем материальных в плоском пространстве с помощью законов Ньютона. Приведённые выше рассуждения показывают, что такое изложение возможно, но для большей наглядности приходится прибегать к понятиям момента количества движения, момента сил и связывающей их теореме об изменении момента количества движения. Это обстоятельство неслучайно, оно связано, прежде всего, с тем, что для движения твёрдого тела на сферах не имеет места столь естественное для многих задач механики твёрдого тела в плоских пространствах разделение движения выделенной точки тела («центра масс») и вращений вокруг этой точки.

В рамках изучения движения твёрдого тела в сферическом аналоге центрального центрального ньютоновского поля сил введено понятие центра тяжести. Показано, что в случае, когда рычаг подвешен в центре тяжести, для него существуют четыре положения относительных равновесий - параллельные и меридианальные, причём их устойчивость существенно зависит от того, в каком из полушарий находится точка подвеса.

Выписан аналог уравнений Белецкого для спутника, размеры которого много меньше радиуса сферы, совершающего движение по сферической поверхности. В интегрируемом случае нулевого эксцентриситета орбиты указаны положения относительного равновесия и исследована их устойчивость.

Для гантелеобразного тела в сферическом аналоге центрального ньютоновского поля сил исследованы условия существования стационарных движений.

Заключение

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

Предложен метод реализации равновесных конфигураций и эллиптичности орбиты центра масс в задаче о движении гантелеобразного тела периодически изменяемой длины в центральном ньютоновском поле тяготения (в точной постановке).

Известный подход В.А.Сарычева и В.Шилена, позволяющий реализовать в рамках спутникового приближения равновесные конфигурации тел с переменным распределением масс, распространён на случай равномерных (по истинной аномалии) вращений тел. На основании теорем Жуковского и Ляпунова в случае плоских возмущений численно выявлены и оценены аналитически области устойчивости равновесных конфигураций в пространстве параметров. Аналитически исследована неинтегрируемость уравнений плоских колебаний вибрирующих тел на эллиптической орбите, для ряда значений параметров численно выявлены области регулярной и хаотической динамики.

Для обобщённой ограниченной плоской эллиптической задачи трёх тел, в которой малое тело предполагается присоединённым к одному из основных тел с помощью нерастяжимого невесомого троса переменной длины, указан закон изменения его длины, при котором существуют «вертикальные» и «наклонные» относительные равновесия во вращающейся вместе с основными телами системе отсчёта. В рамках плоской задачи исследованы необходимые условия устойчивости таких равновесий. На основании метода сечений Пуанкаре при некоторых значениях параметров сделаны выводы об особенностях регулярной и хаотической динамики третьего тела.

В рамках теории Рауса и ее обобщений развит метод анализа структуры линейных многообразий, возникающих при исследовании необходимых и достаточных условий устойчивости равновесия системы твёрдых тел.

На случай движения тела с роторами по круговой кеплеровской орбите распространён метод построения управлений, сохраняющий лагран-жеву структуру уравнений движения и основные симметрии. Оценены возможности использования метода для реализации и стабилизации относительных равновесий.

Указаны распределения масс, при которых имеют место новые случаи существования дополнительного линейного частного интеграла, аналогичного интегралу Гесса, в задачах:

- о движении тяжёлого гиростата на струне,

- о движении тяжёлого гиростата по гладкой горизонтальной плоскости,

- о движении тела в потоке частиц,

- о движении тяжёлого тела, опирающегося остриями на гладкую плоскость.

В случае одного острия установлена динамическая эквивалентность изучавшейся задачи и задачи о катании тяжёлого твёрдого несимметричного шара по гладкой плоскости, позволившая сделать выводы об особенностях регулярной и хаотической динамики изучавшейся системы.

Развит подход к решению полуобратной задачи об относительных равновесиях гиростата с шаровым тензором инерции на круговой орбите. Результат применён к задаче об относительном движении гиростата с распределением масс, допускающим группу симметрии тетраэдра.

8) Дано обоснование подхода к исследованию необходимых и достаточных условий устойчивости механических систем, стеснённых односторонними голономными связями, реализуемыми большими потенциальными силами.

9) Доказана неинтегрируемость уравнений движения в задачах о движении двухзвенного физического маятника и о движении гироскопа в кар-дановом подвесе.

10) Развито предложенное В.В.Козловым и Д.В.Трещёвым представление о т.н. «ограниченной постановке» в задачах динамики твёрдого тела, для которых «длина» существенно превосходит «ширину» и «толщину». Для таких тел в задачах о движении тяжёлого твёрдого тела с неподвижной точкой и о движении твёрдого тела в идеальной жидкости установлено сочетание легко наблюдаемого регулярного движения «оси тела» и трудно наблюдаемого, хаотического движения тела вокруг этой «оси».

И) Изучены особенности постановки задач классической механики точки и твёрдого тела, вложенных в трёхмерное сферическое пространство. Исследованы возможности использования понятий центра масс и центра тяжести, изучены условия равновесия тел в сферическом аналоге центрального поля ньютоновского притяжения, исходя из «ограниченной постановки» в задачах механики твёрдого тела выписан аналог уравнения Белецкого для «плоских» колебаний сферического спутника на эллиптической орбите. Найдены нетривиальные решения в задаче о движении гантелеобразного тела в сферическом аналоге центрального поля ньютоновского тяготения.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Буров, Александр Анатольевич, 2013 год

Список литературы

1. Акуленко Л.Д., Нестеров C.B. Устойчивость равновесия маятника переменной длины // ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 6. С. 893 - 901.

2. Алпатов А. П., Белецкий В. В., Драновский В. И., Закржевский А. Е., Пироженко А. В., Трогер Г., Хорошилов В. С. Динамика космических систем с тросовыми и шарнирными соединениями. Ижевск: РХД. 2007. 559 с.

3. Анчев А. Равновесии ориентации на спътник с ротори. София: Издател-ство на Българската академия на науките. 1982. 132 с.

4. Аппель П. Теоретическая механика. Т.1. М.: Физматгиз. 1960. 515 с.

5. Аппель П. Теоретическая механика. Т.2. М.: Физматгиз. 1960. 487 с.

6. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М: Наука, 1979. 432 с.

7. Асланов B.C. Колебания тела с орбитальной тросовой системой // ПММ. 2007. Т.71. Вып.6. С.1027 - 1033.

8. Асланов B.C. Влияние упругости орбитальной тросовой системы на колебания спутника // ПММ. 2010. Т.74. Вып.4. С.582 - 593.

9. Асланов B.C. Колебания спутника с вертикальным упругим тросом на орбите // Изв. РАН. МТТ. 2011. № 5. С. 3 - 15.

10. Асланов B.C., Безгласный С.П. Гравитационная стабилизация спутника с помощью подвижной массы // ПММ. 2012. Т. 76. Вып. 4. С. 563 - 573.

11. Балк Б.М., Болтянский В.Г. Геометрия масс. М.: Наука, 1987.— 160 с. (Библиотечка "Квант", выпуск 61).

12. Батищева Я.Г. К выводу уравнений динамики твердого тела в газе, реагирующем с ним неоднородно по поверхности // Комплекс, анализ и мат. физика. Сб. научных трудов, посвящ. 100-летию проф. А.А.Темлякова. М.: Изд. МГОУ. 2003. С.57 - 64.

13. Батищева Я.Г. О движении твердых тел в газе, реагирующем с его поверхностью. Вывод уравнений динамики // Препринт ИПМ РАН. №18. 2003.

14. Батищева Я.Г. Динамика твердого тела в газе, сорбирующемся на его поверхности // Препринт ИПМ РАН. №69. 2003.

15. Батищева Я.Г. К выводу уравнений динамики твердого тела в газе, реагирующем с ним неоднородно по поверхности // Доклады РАН. Т.392. №5. 2003.

16. Беген А. Теория гироскопических компасов Анпнотца и Сперри и общая теория систем с сервосвязями. Пер. с франц. М.: Наука. 1967. 172 с.

17. Белецкий В.В. О либрации спутника // Искусственные спутники Земли. 1959. N 3. М.: АН СССР. С. 13 - 31.

18. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М: Наука, 1965. 416 с.

19. Белецкий В.В., Гиверц М.Е. О движении пульсирующей системы в гравитационном поле // Космич. исслед. 1967. Т.5. Вып.6. С.304 - 306.

20. Белецкий В.В., Новикова Е.Т. Об относительном движении связки двух тел на орбите // Космич. исслед. 1969. Т.7. Вып.З. С.377.

21. Белецкий В.В., Новикова Е.Т. Об относительном движении связки двух тел на орбите. II // Космич. исслед. 1969. Т.7. Вып.6. С.827.

22. Белецкий В.В., Новикова Е.Т. О пространственном движении связки двух тел на орбите // Изв. АН СССР. МТТ. 1971. №5. С.23.

23. Белецкий В.В. Очерки о движении космических тел. М.: Наука, 1972. 360 с; 3-е изд. М.: ЛКК, 2009. 432 с.

24. Белецкий В.В., Левин Е.М. Механика орбитальной тросовой системы // Космич. исслед. 1980. Т.18. Вып.5. С. 678.

25. Белецкий В.В., Левин Е.М. Механика лунной тросовой системы // Космич. исслед. 1982. Т.20. Вып.5. С. 760 - 764.

26. Белецкий В. В., Пономарева О. Н. Параметрический анализ устойчивости относительного равновесия в гравитационном поле // Космич. исслед. 1990. Т. 28. Вып. 5. С. 664 - 675.

27. Белецкий В.В. Регулярные и хаотические движения твёрдых тел. Ижевск: РХД, 2007. 132 с.

28. Блинов А.П. О движении гантели в центральном поле сил // Изв. АН СССР. МТТ. 1988. Вып.4. С. 37 - 42.

29. Блинов А.П. О периодическом движении гантели в центральном поле сил // Космич. исслед. 1990. Т.28. Вып. 5. С.702 - 705.

30. Борисов A.B., Мамаев И.С. Случай Гесса в динамике твёрдого тела // ПММ. 2003. Т.67. Вып.2. С.256 - 265.

31. Борисов A.B., Мамаев И.С. Редукция задачи двух тел на плоскости Лобачевского // Нелинейная динамика. 2006. Т.2. No 3. С. 279 - 285.

32. Борисов A.B., Мамаев И.С. Изоморфизмы некоторых интегрируемых систем на плоскости и сфере // Нелинейная динамика. 2007. Т.З. No. 1. С. 49 - 56.

33. Борисов A.B., Мамаев И.С., Рамодаиов С.М. Алгебраическая редукция систем на двумерной и трехмерной сферах // Нелинейная динамика. 2008. Т.4. No 4. С. 407 - 416.

34. Борисов A.B., Мамаев И.С. Изоморфизмы геодезических потоков на квадриках // Нелинейная динамика. 2009. Т.5. No 2. С. 145 - 158.

35. Борисов A.B., Килин A.A., Мамаев И.С. Многочастичные системы. Алгебра интегралов и интегрируемые случаи // Нелинейная динамика. 2009. Т.5. No 1. С. 53 - 82

36. Брюно А.Д. Семейства периодических решений уравнения Белецкого // Космич. исслед. 2002. Т.40. Вып. 3. С. 295 - 316.

37. Буров A.A. Неинтегрируемость уравнения плоских колебаний спутника на эллиптической орбите // Вестник МГУ. Сер.1. Матем., мех. 1984. № 1. С.71 - 73.

38. Буров A.A., Карапетян A.B. О несуществовании дополнительного интеграла в задаче о движении тяжёлого твёрдого эллипсоида по гладкой плоскости // ПММ. 1985. Т.49. Вып.З. С. 501 - 503.

39. Буров A.A. О частных интегралах уравнений движения твёрдого тела по гладкой плоскости // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР, 1985. С. 118 - 121.

40. Буров A.A. О неинтегрируемости уравнений движения тяжёлого двузвен-ного маятника // ПММ. 1986. Т.50. Вып.2. С.168 - 171.

41. Буров A.A. О частных интегралах в задаче о движении твёрдого тела по гладкой плоскости // Изв.АН СССР. МТТ. 1986. № 5. С.72 - 73.

42. Буров A.A. О неинтегрируемости уравнений движения гироскопа в кар-дановом подвесе // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР. 1986. С. 3 - 10.

43. Буров A.A. О частных интегралах в задаче о движении тяжёлого твёрдого тела, подвешенного на стержне // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР, 1986. С.93 - 95.

44. Буров А. А., Рубановский В. Н. Об одном новом решении уравнений типа Кирхгофа — Клебша // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР. 1987. С. 83 — 86.

45. Буров A.A. О частных интегралах в задаче о движении тела, подвешенного на струне // Изв.АН СССР. МТТ. 1987. № 2. С.84.

46. Буров A.A. О частных интегралах уравнений движения тяжёлого твёрдого тела с ротором и об одной идее Аппеля // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР. 1988. С.107-116.

47. Буров A.A. О частных интегралах в задаче о движении тела в газе // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР, 1991. С.71 - 73.

48. Буров A.A. О движении твёрдых тел с симметриями // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН. 1993. С.З -12.

49. Буров A.A., Карапетян A.B. О движении твёрдого тела в потоке частиц // ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 3. С. 77 - 81.

50. Буров А. А., Карапетян А. В. О движении крестообразных тел // Изв. РАН. МТТ. 1995. Вып. 6. С.11 - 15.

51. Буров А. А., Степанов С. Я. О геометрии масс в динамике деформируемых тел // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР. 1995. С. 107 - 130.

52. Буров A.A. О движении крестообразных тел вокруг неподвижной точки в центральном ньютоновском поле сил // ПММ. 1996. Т. 60. Вып.1. С.30 -36.

53. Буров A.A., Трогер X. Об относительных равновесиях орбитального маятника // ПММ. 2000. Т.64. Вып.5. С.755 - 760.

54. Буров A.A., Шеваллье Д.П. О движении твёрдого тела в жидкости под действием центральных сил ньютоновского притяжения // ПММ. 2001. Т.65. Вып.4. С.602 - 618.

55. Буров A.A. Об ограниченых задачах в механике твёрдого тела // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН. 2002. С.43 - 53.

56. Буров A.A., Нечаев А.Н. О неинтегрируемости в задаче о движении тяжёлого двузвенного маятника // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. 2002. М.: ВЦ им. А.А.Дородницына РАН. С. 128 - 135.

57. Буров A.A. О существовании и устойчивости равновесий механических систем со связями, реализуемыми большими потенциальными силами // ПММ. 2003. Т.67. Вып.2. С. 222 - 230.

58. Буров A.A. О необходимых условиях устойчивости установившихся движений со связями, реализуемыми большими потенциальными силами // ПММ. 2004. Т.68. Вып.5. С. 870 - 877.

59. Буров A.A. Об ограниченной постановке задачи о движении тяжелого твердого тела // ПММ. 2004. Т. 68. Вып.6. С.958 - 963.

60. Буров A.A., Мотт И., Славяновский Я.Е., Степанов С.Я. Устойчивость и бифуркации стационарных движений гантелеобразного тела на сфере // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН. 2006. С.93 - 104.

61. Буров A.A. О плоском движении орбитального маятника с периодически колеблющейся точкой подвеса // Космич. исслед. Т.45. Вып.2. С.180 -182.

62. Буров A.A., Косенко И.И. Об относительных равновесиях орбитальной станции в окрестности треугольных точек либрации // Доклады РАН. 2007. Т.416. № 3. С.335 - 337.

63. Буров A.A. О движении тела с плоскостью симметрии по трехмерной сфере под действием сферического аналога ньютоновского притяжения // ПММ. 2008. Вып. 1. С. 23 - 34.

64. Буров A.A. О движении тяжёлого твёрдого тела с остриями , опирающегося на гладкую поверхность //В: Проблемы аналитической механики и теории устойчивости движения. Сборник научных статей, посвящённый памяти академика Валентина Витальевича Румянцева. - М.: Издательство физико-математической литературы. 2009. С.42 - 48.

65. Буров A.A., Косенко И.И. О периодических движениях орбитального лифта// Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН. 2009. С.72-85.

66. Буров A.A. О пуассоновых вариациях в задаче об устойчивости равновесий в механике твёрдого тела// ПММ. 2010. Вып.1. С.98 - 107.

274

67. Буров A.A., Герман А.Д., Суликашвили P.C. Об орбитальном движении тетраэдра-гиростата // ПММ. 2010. Т.74. Вып.4. С. 594 - 609.

68. Буров A.A. О колебаниях вибрирующей гантели на эллиптической орбите // ДАН. 2011. Т.437. №-2. С.186 - 189.

69. Буров A.A., Герман А.Д., Суликашвили P.C. Об установившихся движениях гиростатов с равными моментами инерции в центральном поле сил // ПММ. 2011. Т.75. Вып.5. С. 738 - 744.

70. Буров A.A., Косенко И.И. О плоских колебаниях тела с переменным распределением масс на эллиптической орбите // Доклады РАН. 2011. Т.440. № 6. С.760 - 764.

71. Буров A.A. О движении твёрдого тела по сферическим поверхностям // Современная математика. Фундаментальные направления. 2011. Т.42. С. 62-70.

72. Буров A.A., Дюган А. О плоских колебаниях вибрирующего гантелеоб-разного тела в центральном поле сил // Космич. исслед. 2011. Т.49. № 4. 363 - 369.

73. Буров A.A., Косенко И.П., Трогер X. О периодических движениях орбитального гантелеобразного тела с кабиной-лифтом // Известия РАН. МТТ. 2012. № 3. С.12 - 31.

74. Буров A.A. О консервативных методах управления вращением гиростата // ПММ. 2013. Т.77. Вып.2. С. 3 - 13.

75. Барин В.П. Изолированные порождающие решения уравнений Белецкого // Космич. исслед. 2007. Т.45. № 1 С. 85 - 92.

76. Веденяпин В.В., Батищева Я.Г., Мелихов И.В., Горбачевский А.Я. О движении твёрдого тела в химически активной среде // Доклады РАН. Т.392. №6. 2003.

77. Веденяпин В.В., Батищева Я.Г., Мелихов И.В., Горбачевский А.Я. О движении твёрдых тел в газе, сопровождающемся неоднородными поверхностными химическими процессами // Мат. моделирование. 2003. Т.15.

т. С.6 - 10.

78. Виннер Г.М. Устойчивость равновесия механической системы с неудер-живающей связью // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1989. No. 4. С. 54-57.

79. Воробьёв И.И. Необычное путешествие // Квант. 1974. Вып.2. С.22 - 25.

80. Гиверц М.Е. Один частный случай оптимизации управления гравилётом // Космич. исслед. 1972. Т. 10. С.297 - 299.

81. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.-Л.: Гостехиздат. 1950 - 436 с.

82. Горр Г.В., Рубановский В.Н. О новом классе движений связок твёрдых тел // ПММ. 1988. Т.52. Вып.5. С.707 - 712.

83. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М.: Наука, 1968. 618 с.

84. Гусева H.A., Кулешов A.C. О применении теоремы В.В.Козлова для доказательства несуществования первых интегралов в механике // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. 2009. М.: ВЦ им. А.А.Дородницына РАН. С.84 - 109.

85. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1974. 472 с.

86. Дерябин М.В., Козлов B.B. К теории систем с односторонними связями // ПММ. 1995. Т.59. Вып.4. С.531 - 539.

87. Донов А.Е. Теория полёта гравилёта // Космич. исследования. 1971. Т.9. Вып.6. С.360.

88. Жукова А. А. Число вращения как полная характеристика устойчивости уравнения Хилла // Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2009. № 2(68). С. 26 - 32.

89. Жуковский Н.Е., Условия конечности интегралов уравнения d2y/dx2 + рх = 0 // Математический сборник. 1892. Т. XVI. Вып.З. С. 582 - 591.

90. Жуковский Н.Е. О движении материальной псевдосферической фигуры по поверхности псевдосферы //В: Собр.соч., T.I. Общая механика. M.-JL: ОНТИ НКТП СССР, 1937. С.490 - 531.

91. Журавлёв В.Ф., Фуфаев H.A. Механика систем с неудерживающими связями. М.: Наука, 1993. 240 с.

92. Зиглин C.JI. Расщепление сепаратрис, ветвление решений и несуществование интеграла в динамике твердого тела // Тр. Моск. матем. о-ва. 1980. Т.41. С. 287 - 303.

93. Зиглин C.JI. Ветвление решений и несуществование первых интегралов в гамильтоновой механике // Функц. ан. и его прилож. 1982. Т.16. Вып.З. С.30 - 41.

94. Зиглин C.JI. Ветвление решений и несуществование первых интегралов в гамильтоновой механике. II // Функц. ан. и его прилож. 1983. Т.17. Вып.1. С.8 - 23.

95. Златоустов В.А., Охоцимский Д.Е., Сарычев В.А., Торжевский А.П. Исследование колебаний спутника в плоскости эллиптической орбиты // Космич. исслед. 1964. Т. 2. Вып. 5. С. 657 - 666.

96. Зобова A.A. О стационарных движениях тяжёлого тела вращения на шероховатой плоскости // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения М.: ВЦ РАН. 2004. С. 78 - 88.

97. Зобова A.A. О сопряжении решений двух интегрируемых задач: качение тела с остриём по плоскости. // АиТ. 2007. Т.68. Вып.8. С. 156 - 161.

98. Иванов А.П. Об устойчивости в системах с неудерживающими связями// ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 5. С. 725 - 732.

99. Иванов А.П.Моделирование систем с механическими соударениями. М.: Изд-во Московского ин-та приборостроения. 1992. 83 с.

100. Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. М.: Международная программа образования, 1997. 336 с.

101. Иванов А.П. Об особенностях динамики систем с неидеальными связями // ПММ. 2003. Т. 67. Вып. 2. С. 212 - 221.

102. Иванов А.П. О свойствах решений основной задачи динамики в системах с неидеальными связями // ПММ. 2005. Т. 69. Вып. 3. С. 372 - 385.

103. Илиев И. О линейных интегралах голономной механической системы // ПММ. 1970. Т.34. Вып.4. С.751 - 755.

104. Итоги науки и техники. Общая механика. Т.5. М.:ВИНИТИ, 1982. 200 с.

105. Карапетян A.B. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС. 1998. - 168 с.

106. Карапетян A.B., Нараленкова И.И. О бифуркации равновесий механических систем с симметричным потенциалом // ПММ. 1998. Т. 62. Вып.1. С. 12-21.

107. Карапетян A.B., Сахокия И.Д. Бифуркации и устойчивость стационарных движений двух гравитирующих тел // ПММ. 1992. Т.56. Вып.2. С.935 - 938.

108. Качурина Н.М., Крементуло В.В. О стабилизации вращательного движения твёрдого тела при помощи подвижных масс // Изв. Ан. СССР. МТТ. 1981. Вып.З. С. 96 - 101.

109. Классическая динамика в неевклидовых пространствах. Ижевск: РХД,

2004. 348 с.

110. Колосов Г.В. Об одном случае движения тяжёлого тела, опирающегося остриём на гладкую плоскость // Тр. отд. физ. наук Моск. об-ва любителей естествознания, антропологии и этнографии. 1898. Т.10. С.11 - 12.

111. Косенко И.И. Применение теории степени Лере-Шаудера для аппроксимации колебаний спутника на эллиптической орбите // Доклады РАН.

2005. Т.404. №5. С 625 - 627.

112. Косенко И.И. Топологическая степень и аппроксимация решений нерегулярных задач механики. Колебания спутника на эллиптической орбите // СМФН. 2006. Т.16. С.68 - 95.

113. Косенко И. И., Степанов С. Я. Устойчивость положений относительного равновесия орбитальной связки с учетом ударных взаимодействий. Неограниченная задача // Изв. РАН. МТТ. 2006. Ж 4. С. 86 - 96.

114. Козлов B.B. Методы качественного анализа в динамике твердого тела // М.: Изд-во МГУ, 1980. 230 с.

115. Козлов В.В. О колебаниях одномерных систем с периодическим потенциалом // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Мат., механ. 1980. No.6. С.104 -107.

116. Козлов В.В., Онищенко Д.А. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа // Докл. АН СССР. 1982. Т.266. № 6. С. 1298 - 1300.

117. Козлов В. В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновй механике // УМН. 1983. Т. 38. Вып. 1. (229). С. 3 - 67.

118. Козлов В.В., Трещёв Д.В. Неинтегрируемость в общей задаче о вращении динамически симметричного тяжёлого твёрдого тела с неподвижной точкой. II. // Вестник МГУ. Сер. I. Матем., мех. 1986. No. 1. Р.39 - 44.

119. Козлов В.В. Конструктивный метод обоснования теории систем с неудер-живающими связями // ПММ. 1988. Т.52. Вып.6. С.883 - 894.

120. Козлов В.В. Принципы динамики и сервосвязи // Вестник МГУ, сер. 1, математика, механика. 1989, N 5, с. 59 - 66.

121. Козлов В.В., Трещев Д.В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ, 1991. 168 с.

122. Козлов В.В. О динамике в пространствах постоянной кривизны // Вестн. МГУ. Математика, механика. 1994. No.2. С.28 - 35.

123. Козлов В.В. Симметрия, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во УдГУ, 1995. 420 с.

124. Козлов В.В. О стабилизации неустойчивых равновесий зарядов сильными магнитными полями // ПММ. 1997. Т.61. Вып. 3. С. 390 - 397.

125. Козлов В.В., Рамоданов С.М. О движении изменяемого тела в идеальной жидкости // ПММ. 2001. Т.65. Вып.4. С.592 - 601.

126. Козлов В.В., Рамоданов С.М. О движении в идеальной жидкости тела с жесткой оболочкой и меняющейся геометрией масс // Докл. РАН. 2002. Т.382. т. С.478 - 481.

127. Козлов В.В., Онищенко Д. А. О движении в идеальной жидкости тела, содержащего внутри себя подвижную сосредоточенную массу// ПММ. 2003. Т.67. Вып.4. С.620 - 633.

128. Козлов В.В. Фурта С.Д. Асимптотики решений сильно нелинейных систем дифференциальных уравнений. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ин-т компьютерных исследований. М.-Ижевск: 2009. 312 с.

129. Крементуло В.В. Стабилизация стационарных движений твёрдого тела при помощи вращающихся масс. М.: Наука. 1977. 264 с.

130. Крементуло В.В. О стабилизации равновесия твёрдого тела с переменными моментами инерции // Изв. Ан. СССР. МТТ. 1976. Т.Н. Вып.З. С. 1-5.

131. Крементуло В.В. О гироскопической стабилизации вращения твёрдого тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. Т.П. Вып.4. С. 1 - 4.

132. Крементуло В.В. Об активной стабилизации вращательного движения твёрдого тела, несущего частицу. Задачи устойчивости движения, аналитической механики и управления движением. Новосибирск: Наука. 1979. с. 80 - 88.

133. Локшин Б.Я., Привалов В.А., Самсонов В.А. Введение в задачу о движении тела в сопротивляющейся среде. М.: Изд-во МГУ, 1986. 86 с.

134. Ляпунов A.M. О движении тяжёлого твёрдого тела, опирающегося острием на гладкую горизонтальную плоскость (случай, аналогичный Гес-совому) // Рукопись. Архив РАН. Фонд 257.

135. Ляпунов A.M. Задача минимума в одном вопросе об устойчивости фигур равновесия вращающейся жидкости // А.М.Ляпунов Собр. трудов. М.: Изд-во АН СССР. 1959. Т. 3. С. 237 - 360.

136. Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. М.: Мир, 1974. 526 с.

137. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука. 1978. 312 с.

138. Маркеев А.П. Линейные гамильтоновы системы и некоторые задачи об устойчивости движения спутника относительно центра масс. Ижевск: РХД, 2009. 396 с.

139. Марков В.Е. Парирование внешних возмущений на космический аппарат методом изменения его геометрии масс // Изв. АН СССР. МТТ. 1974. № 5. С.З - 9.

140. Моауро В., Негрини П. Хаотические траектории двойного математического маятника // ПММ. 1998. Т.62. Вып.5. Стр. 892 - 895.

141. Моисеев H.H., Румянцев В.В. Динамика тел с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука. 1965. 439 с.

142. Муштари Х.М. О катании тяжёлого твёрдого тела вращения по неподвижной горизонтальной плоскости // Мат.сб. 1932. Т. 39. № 1-2. С. 105 - 126.

143. Окунев Ю.М. О возможных движениях гантели в центральном поле сил // Космические исследования. 1969. Т. VII. Вып. 5. С. 637 - 642.

144. Окунев Ю.М. О некоторых свойствах поступательно-вращательного движения длинной гантели в центральном поле сил // Тр. ин-та механики МГУ. 1971. № 10. С. 87 - 121.

145. Паскаль М. Новая схема развёртывания и свёртывания спутниковой тросовой системы, промежуточная между обычной схемой и схемой ползуна // ПММ. 2001. Т.65. Вып.4. С.705 - 713.

146. Пироженко A.B. Хаотические режимы движения в динамике космических тросовых систем. 1. Анализ проблемы // Косм1чна наука i техноло-пя. 2001. Т.7. No.2/3. С.83 - 89.

147. Пироженко A.B. Хаотические режимы движения в динамике космических тросовых систем. 2. Механический образ явления // Косм1чна наука i технолопя. 2001. Т.7. No.2/3. С.90 - 99.

148. Пироженко A.B. Хаотические режимы движения в динамике космических тросовых систем. 3. Влияние диссипации энергии // Косм1чна наука i технолопя. 2001. Т.7. No.5/6. С.13 - 20.

149. Пожарицкий Г.К. Об уравнениях движения для систем с неидеальными связями // ПММ. I960. Т. 24. Вып. 3. С. 458 - 462.

150. Полянская И.П. Колебания спутника с компенсирующими устройствами на эллиптической орбите // Космич. исслед. 1982. Т.20. Вып.5. С.674 -681.

151. Прасолов В.В., Шарыгин И.Ф. Задачи по стереометрии. М.: Наука, 1989. 288 С.

152. Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 1. М: Наука, 1971. 771 с.

153. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука. 1967. 664 с.

154. Рапопорт Л.Б. Устойчивость равновесия систем с неудерживающими связями и знакоопределенность пучка квадратичных форм в конусе// ПММ. 1992. Т. 56. Вып. 4. С. 597 - 603.

155. Родников A.B. О влиянии леерной связи на движение гантелевидного тела в центральном ньютоновском силовом поле // Нелинейная динамика. 2009. Т.5. Ш. С.519 - 533.

156. Родников A.B. О движении материальной точки вдоль леера, закреплённого на прецессирующем твердом теле // Нелинейная динамика. 2011. Т. 7. № 2. С. 295 - 311.

157. Родников A.B. О компланарных равновесиях космической станции на тросе, закрепленном на прецессирующем астероиде // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8. № 2. С. 309 - 322.

158. Рубановский В.Н. Новые случаи интегрируемости уравнений движения тяжёлого твердого тела в жидкости // Вестник МГУ. Сер.1. Математика, механика. 1968. No.2. С.99 - 106.

159. Рубановский В.Н., Степанов С.Я. О теореме Рауса и метода Четаева построения функций Ляпунова из интегралов уравнений движения // ПММ. 1969. Вып. 5. С. 904 - 912.

160. Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах. М: Наука. 1988. 304 с.

161. Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений спутников. М.: Изд-во ВЦ АН СССР. 1967. 141 с.

162. Румянцев B.B. О движении некоторых систем с неидеальными связями // Вестн. МГУ. Сер. Математика, механика. № 5. С. 67 - 75.

163. Сазонов В.В. Об одном механизме потерн устойчивости режима гравитационной ориентации спутника. Препринт No.107. М.: Ин-т прикладной матем. АН СССР. 1988. 23 с.

164. Сальникова Т.В. Неинтегрируемость возмущенной задачи Лагранжа // Вестн. МГУ. Матем., мех. 1984. № 4. С. 62 - 66.

165. Самсонов В.А., Шамолин М.В. К задаче о движении тела в сопротивляющейся среде // Вестн. МГУ. Математика. Механика. 1989. No.3. С. 51 -54.

166. Самсонов В.А. Перестройка конфигурационного многообразия и критические системы // ПММ. 1999. Т.63. №5. С. 770 - 774.

167. Самсонов В.А., Селюцкий Ю.Д., Михалев A.A. Об особенностях равновесий критических систем //В: Современенные проблемы математики и механики. Том VII. Математика. Механика. Выпуск 1. К 190-летию П.Л. Чебышева / Под редакцией А.Н. Ширяева, A.B. Лебедева, В.М. Фе- до-рова, A.C. Кулешова. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 2011. С.151 - 160.

168. Сарычев В.А. Положения относительного равновесия двух тел, соединенных сферическим шарниром, на круговой орбите // Космич. исследования. 1967. Т.5. Вып.З. С.360 - 364.

169. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников. М.: ВИНИТИ, 1978. 224 с.

170. Сарычев В. А. Положения равновесия системы двух соединенных сфери-

ческим шарниром осесимметричных тел на круговой орбите // Космич. исслед. 1999. Т.37. №2. С.176 - 181.

171. Сарычев В. А. Положения равновесия маятника в спутнике // Космич. исслед. 2000. Т.38. №1. С.71 - 77.

172. Сарычев В. А. Положения равновесия системы спутник-несимметричный маятник на круговой орбите // Космич. исслед. 2000. Т.38. №4. С.414 - 422.

173. Сейранян А.П., Беляков А.О. Динамика качелей // ДАН. 2008. Т.421. № 1. С.54 - 60.

174. Сингх Р.Б. Движение связки тел на эллиптической орбите // Вестн. МГУ. Сер.1. Матем., мех. 1973. №3. С.82.

175. Сингх Р.Б. Пространственное движение связки тел на эллиптической орбите // Вестн. МГУ. Сер.1. Матем., мех. 1973. №4. С.59.

176. Сретенский JI.H. О некоторых случаях движения тяжелого тела с гироскопом // Вестн.МГУ, матем., мех. 1963. № 3. С.60 - 71.

177. Степанов С.Я. О множестве стационарных движений спутника-гиростата в центральном ньютоновском поле сил и об их устойчивости // ПММ. 1969. Т.ЗЗ. № 4. С. 737 - 744.

178. Степанов С.Я. Об алгоритмах перевода спутника-гиростата из одной устойчивой равновесной ориентации в другую // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН. 1995. С. 79 - 88.

179. Степанов С.Я. Симметризация критерия знакоопределённости квадратичных форм // ПММ. 2002. Т.66. Вып. 6. С. 933 - 941.

180. Суликашвили P.C. О стационарных движениях тетраэдра и октаэдра в центральном поле тяготения // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР. 1987. С.57 - 66.

181. Суликашвили P.C. Стационарные движения тел, допускающих группу симметрий правильных многогранников в ньютоновском поле сил // ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 4. С. 582 - 586.

182. Сумбатов А. С. Об интегрируемости уравнения Гамильтона — Якоби в обобщённых координатах // ПММ. 1982. Т.46. Вып.1. С.13 - 19.

183. Чаплыгин С.А. О движении тяжёлого тела вращения на горизонтальной плоскости // Тр. отд. физ. наук Моск. об-ва любителей естествознания, антропологии и этнографии. 1897. Т.9. № 1. С. 10 - 16.

184. Чаплыгин С.А. О некоторых случаях движения твёрдого тела в жидкости // Собр. соч. Т.1. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. С.194 - 311.

185. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир. 1964. 480 с.

186. Черноусько Ф.Л. О движении твёрдого тела с подвижными внутренними массами // Изв. АН СССР. МТТ. 1973. № 4. С.ЗЗ - 44.

187. Черноусько Ф.Л. О движении тела, содержащего подвижную внутреннюю массу // ДАН. 2005. Т.405. № 1. С.56 - 60.

188. Черноусько Ф.Л. Анализ и оптимизация движения тела, управляемого посредством подвижной внутренней массы // ПММ. 2006. Т. 70. № 6. С. 915 - 941.

189. Черноусько Ф.Л. Оптимизация движения в сопротивляющейся среде тела с подвижной внутренней массой // Тр. ИММ УрО РАН. 2006. Т.12. Вып.1. С.242 - 248.

190. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука. 1955. 176 с.

191. Четаев Н.Г. Теоретическая механика. М.: Наука. 1987. 368 с.

192. Шостак Р. Я. О признаке условной определённости квадратичной формы п переменных, подчинённых линейным связям, и о достаточном признаке условного экстремума функции п переменных // УМН. 1954. Т.9. Вып. 2 (60). С.199 - 207.

193. Якубович В. А., Старжинский В. М., Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения, М.: Наука, 1972. 720 с.

194. Akulenko L. D., Nesterov S. V. High Precision Methods in Eigenvalue Problems. Boca Raton: CRC Press, 2004. - XIX + 235 p.

195. АН M.K., Kipp S.S. Birkhoff-Gustavson normal form and the semiclassical energies of a double pendulum // J. Phys. A: Math. Gen. 1994. Vol.27. P.1953

- 1966.

196. Amin R.A., Newton D.J. Research into the effects of astronaut motion on the spacecraft: A review // Acta Astronaut. 2000. V. 47. No. 12.P. 859 - 869.

197. Ashenberg J., Lorenzini E.C. Dynamical Characteristics of a Tethered Stabilized Satellite // J. Guid. Control and Dynam. 1997. Vol.20. P. 1268

- 1271.

198. Ashenberg J., Lorenzini E.C. Active gravity-gradient stabilization of a

satellite in elliptic orbits // Acta Astronáutica. 1999. Vol. 45, Issue 10. P. 619 - 627.

199. Aslanov V. The Oscillations of a Spacecraft under the Action of the Tether Tension Moment and the Gravitational Moment // Int. Conf. on Num. Analysis and Appl. Mathematics. 16-20 September 2008. Psalidi, Kos (Greece) AIP Conf. Proc. Vol.1048. P. 56 - 59.

200. Aslanov V. Oscillations of a spacecraft with a vertical tether // Proc. of the World Congr. Eng. WCE 2009, July 1 - 3, 2009, London, U.K. Vol. II. P. 1827 - 1831.

201. Atchonouglo E., Vallée C., Monnet T., Fortuné D. Identification of the ten inertia parameters of a rigid body // JAMM. 2008. Vol. 72. Issue 1. 2008. P. 22 - 25.

202. Bainum P., Tan Z. Tethered satellite constellations in auroral observation missions // AIAA Paper. 2002. No. 2002 - 4640.

203. Banerjee A.K., Kane T.R. Pointing control, with tethers as actuators, of a space station supported platform //J. Guid.Control and Dynamics. 1993. V.16. No.2. P.396 - 399.

204. Baumgarte J. Stabilization of constraints and integrals of motion in dynamical systems // Computer methods in Appl. Math, and eng. 1972. V. 1. No. 1. P. 1 - 16.

205. Beletsky V.V., Levin E.M. Dynamics of Space Tether Systems. Advances in the Astronautical Sciences. Vol.83. Amer. Astronautical Society. 1993.

206. Beletskii V.V. Reguläre und chaotische Bewegung starrer Körper. Stuttgart: Teubner, 1995. 148 S.

207. Belyakov A.O., Seyranian A.P., Luongo A. Dynamics of the pendulum with periodically varying length // Physica D. 2009. V. 238. № 16. P. 1589 - 1597.

208. Bergamin L., Delva P., Hees A. Vibrating systems in Schwarzschild spacetime: towards new experiments in gravitation? // http://arxiv.org/pdf/0901.2306.pdf = Classical and Quantum Gravity. 2009. Vol.26. No.18. 185006.

209. Bergamin L., Delva P., Hees A. The relativistic glider revisited // http://arxiv.org/pdf/0901.2298.pdf.

210. Blitzer L. Equilibrium and stability of a pendulum in an orbiting spacecraft. // Amer.J. Phys. 1979. V.47. No.3. P.241 - 246.

211. Bloch A.M., Krishnaprasad P.S., Marsden J.E., De Alvarez G.S. Stabilization of rigid body dynamics by internal and external torques // Automatica. 1992. Vol.28. № 4. P.745 - 756.

212. Bloch A., Leonard N., Marsden J.E. Potential shaping and the method of Controlled Lagrangians // Proceedings of the 38th IEEE Conference on Decision and Control, 1999. Institute of Electrical and Electronics Engineers, Piscataway, NJ. 1999. P.1652 - 1657.

213. Bloch A., Leonard N., Marsden J.E. Controlled Lagrangians and the stabilization of mechanical systems. I. The first matching theorem // IEEE Transactions on Automatic Control. 2000. Vol.45. No.12. P. 2253 - 2270.

214. Bogoyavlenskij O.I. New integrable problem of classical mechanics // Communs Math. Physics. 1984. V. 94. № 2. P.255 - 269.

215. Borisov A.V., Mamaev I.S., Kilin A.A. Two-body problem on a sphere.

Reduction, stochasticity, periodic orbits // Reg. Chaot. Dyn. 2004. Vol.9. No.3. P.265 - 279.

216. Borisov A.V., Mamaev I.S. Generalized problem of two and four Newtonian centers // Cel. Mech. Dynam. Astron. 2005. Vol. 92. No 4. P. 371 - 380.

217. Borisov A.V., Mamaev I.S. Superintegrable systems on a sphere // Reg. Chaot. Dyn. 2005. Vol.10. No.3. P. 257 - 266.

218. Borisov A.V., Mamaev I.S. The restricted two-body problem in constant curvature spaces // Cel. Mech. Dynam. Astron. 2006. Vol.96. No.l. P. 1 - 17.

219. Borisov A.V., Mamaev I.S. Relations between Integrable Systems in Plane and Curved Spaces // Cel. Mech. Dynam. Astron. 2007. Vol. 99. No 4. P. 253 - 260.

220. Borisov A.V., Kilin A.A., Mamaev I.S. Chaos in a Restricted Problem of Rotation of a Rigid Body with a Fixed Point // Regular and Chaotic Dynamics. 2008. Vol.13. No.3. P.221 - 233.

221. Born M., Infeld L. Foundations of the new field theory // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1934. V.144. N. 852. P. 425 - 451.

222. Bornemann F., Schütte C. Homogenization of Hamiltonian Systems with a Strong Constraining Potential // Physica D. 1997. Vol. 102. P. 57 - 77.

223. Bourov A.A., Troger H. On relative equilibria of a tethered gyrostat in a central Newtonian field // ZAMM. 1997. V.77. Suppl. 1. S53 - S54.

224. Bourov A., Chevallier D. On Routh reduction and its application in rigid body dynamics // ZAMM. 1998. V.78. No.10. P. 695 - 702.

225. Burov A.A., Sulikashvili R.S. On motion of a rigid body possessing a finite group of symmetry // Prepublication du C.E.R.M.A. Ecole Nationale des Ponts et Chaussees. 1993. No.17.

226. Burov A.A. On duality, complementarity and «restrictness» in the rigid body dynamics. // Prepublication du C.E.R.M.A. Ecole Nationale des Ponts et Chaussées. 1994. No.3.

227. Burov A.A., Chevallier D.P. On motion of a rigid body about a fixed point with respect to a rotating frame // Regular and Chaotic Dynamics (RCD). 1998. Vol.3. No.l. P.l - 11.

228. Burov A.A., Motte I., Stepanov S.Ya. On motion of rigid bodies on a spherical surface // Regul. Chaotic Dyn. 1999. Vol.4. No.3. P. 61 - 66.

229. Burov A.A. On the Routh method for mechanical systems subjected to unilateral constraints // Progress in Nonlinear Science, Vol. 1 (Nizhny Novgorod, 2001), 2002. 196-201. N.- N.: Inst. Appl. Phys. of RAS.

230. Burov A.A., Motte I., Slawianowski J.J., Stepanov S.Ya. On stability and bifurcations of steady motions of a dumb-bell in a sphere // Четвертые По-ляховские Чтения. СПБ: Издательство ВВМ. 2006. С.44 - 54.

231. Burov А.А., Chevallier D.P. Dynamics of affinely deformable bodies from the standpoint of theoretical mechanics and differential geometry // Reports on Mathematical Physics. 2008. Vol.62. № 3. P. 283 - 321.

232. Burov A.A., Guerman A.D., Sulikashvili R.S. Relative equilibria of a tetrahedral structure with rigid and tethered elements // Adv. Astronaut. Sci. 2008. V.129. P. 1665 - 1674.

233. Burov A.A., Guerman A.D., Sulikashvili R.S. Steady motions of a tetrahedral satellite with tethered elements // 6th Europ. Nonlinear Oscillations Conf. ENOC-2008, Saint Petersburg, Russia, 2008.

234. Burov A.A., Buchin V.O., Troger H. A dumb-bell satellite with a cabin. Existence and stability of relative equilibria // Proc. of 6th EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference (ENOC 2008). In: http://lib.physcon.ru/download/pl749.pdf

235. Burov A.A., Guerman A.D., Sulikashvili R.S. Dynamics of tetrahedral constellations of satellites-gyrostats // Proceedings of 7th EUROMECH Solid Mechanics Conference J. Ambrosio et.al. (eds.) Lisbon, Portugal, 7-11 September 2009. pap 0254 MS-14.pdf

236. Burov A.A., Guerman A.D., Sulikashvili R.S. Steady motions of a tetrahedral tethered satellite formation // Paper 2-5, 6th International Workshop on Satellite Constellation and Formation Flying (IWSCFF 2010) 14F VIP Room Howard International House, Taipei, Taiwan November 1 3 (Monday Wednesday), 2010.

237. Burov A.A., Guerman A.D., Sulikashvili R. S. Dynamics of a tetrahedral satellite-gyrostat // AIP Conference Proceeding: Numerical Analysis and Applied Mathematics. American Institute of Physics, ISSN 0094-243X, ISBN 978-0-7354-0834-0. 2010. Vol. 1281. P.465 - 468.

238. Burov A.A., Kosenko I.I., Troger H. Periodic Librations and Their Stability for the Simplified Model of a Space Elevator // In: EUROMECH Colloq. 515. Adv. Appl. and Perspectives of Multibody System Dyn. Program and Abstracts, Blagoevgrad, Bulgaria, July 13-16, 2010. P. 50 - 51.

239. Burov A.A., Guerman A.D., Sulikashvili R.S. Dynamics of a tetrahedral

satellite-gyrostat // In: AIP Conference Proceeding: Numerical Analysis and Applied Mathematics. AIP. 2010. Vol. 1281. P.465 - 468.

240. Burov A.A., Kononov O.I., Guerman A.D. Relative equilibria of a Moon -tethered spacecraft // Adv. Astronaut. Sci. 2011. Vol.136. P.2553 - 2562.

241. Burov A., Kosenko I. Dumb-Bell of Variable Length in an Elliptic Orbit: Relative Equilibria, Periodicity, and Chaos // In: Proc. 4 th Chaotic Modeling and Simulation International Conference 31 May - 3 June 2011, Agios Nikolaos, Crete, Greece.

242. Burov A.A., Kosenko I.I., Guerman A.D. Dynamics of a moon-anchored tether with variable length // Adv. Astronaut. Sci. 2012, Vol.142. P.3495 -3507.

243. Burov A., Kosenko I. On planar oscillations of a body with a variable mass distribution in an elliptic orbit // J. Mech. Eng. Sci. 2011. Vol. 225. No.10. P. 2288 - 2295.

244. Burov A., Kosenko I. On plane oscillations of a body with a variable mass distribution in an elliptic orbit // Proc. ENOC 2011, 24-29 July 2011, Rome, Italy.

245. Burton D., Clark S., Dereli T., Gratus J., Johnson W., Tucker R. W., Wang C. Towards the control of matter with gravity // Paper AIAA-2001-3912. AIAA/ASME/SAE/ASEE Joint Propulsion Conference and Exhibit, 37th, Salt Lake City. UT. July 8-11, 2001.

246. Capo-Lugo P.A., Bainum P.M. Digital LQR control scheme to maintain the separation distance of the NASA benchmark tetrahedron constellation // AIAA Paper. 2006. No. 2006-6014.

247. Celletti A., Sidorenko V. Some properties of the dumbbell satellite attitude dynamics // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2008. V.101. Nos 1-2. P.105 - 126.

248. Celletti A., Sidorenko V. A «Spring-mass» model of tethered satellite systems: properties of planar periodic motions // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2010. V.106. P.209 - 231.

249. Clemente D.C., Atkins E.M. Optimization of a tetrahedral satellite formation // J. Spacecraft and Rockets. 2005. V. 42. No. 4. P. 699 - 710.

250. Debreu G. Definite and semidefinite quadratic forms // Econometrica: Journal of the Econometric Society. 1952. Vol.20. P. 295 - 300.

251. Djebli A., Pascal M., El Bakkali L. Laws of deployment/retrieval in tether connected satellites systems // Acta Astronáutica. 1999. Vol.45. No.2. P.61 -73.

252. Djebli A., Pascal M., El Bakkali L. On deployment dynamics of tethered satellite systems // Revue de Mécanique Appliquée et Théorique. 2000. Vol.1. No.l. P.13 - 39.

253. Djebli A., El Bakkali L., Pascal M. On fast retrieval laws for tethered satellite systems // Acta Astronáutica. 2002. Vol.50. No.8. P.461 - 470.

254. Djebli A., Pascal M. A new method for the orbital modification of a tether connected satellite system // Acta Mechanica. 2004. Vol.167. Nos. 1-2. P.113 - 122.

255. de Donder Th. Mouvement d'un solide dans un espace riemannien, Première communication // Bull. Ac.Roy.Belg. (Classe des Sciences). 1942. P.8 - 16.

256. de Donder Th. Mouvement d'un solide dans un espace riemannien, Deuxième communication // Bull. Ac.Roy.Belg. (Classe des Sciences). Seance du 7 Fevrier 1942. P.60 - 66.

257. de Donder Th. Mouvement d'un solide dans un espace riemannien, Troisième communication // Bull. Acad Roy. Belg. (Classe des Sciences) Seance du 7 Mai 1946. P.295 - 299.

258. Dombrowski P., Zitterbarth J. On the planetary motion in the 3-dim. standard space M3 of constant curvature aq e R // Demonstratio Math. 1991. Vol.24. No.3-4. P.375 - 458.

259. Ellis J.R., Hall Ch.D. Out-of-plane librations of spinning tethered satellite systems // Cel. Mech. and Dynam. Astronomy. 2010. V.106. P.39 - 67.

260. Galperin G.A. A concept of the mass center of a system of material points in the constant curvature spaces // Communs Math. Phys. 1993. V.154. No.l P. 63 - 84.

261. Gratus J., Tucker R. An Improved Method of Gravicraft Propulsion // Acta Astronautica. 2003. V. 53. P.161 - 172.

262. Guerman A. D. Equilibria of multibody chain in orbit plane //J. Guidance, Control and Dynamics. 2003. V. 26. No. 6. P. 942 - 948.

263. Guerman A.D. Spatial equilibria of multibody chain in a circular orbit // Acta Astronaut. 2006. V. 58. No. 1. P. 1 - 14.

264. Guerman A. D., Smirnov G. V., Paglione P., Seabra A. M. Stationary configurations of tetrahedral tethered satellite formation //J. Guidance, Control and Dynamics. 2008. V.31. No.2. P. 424 - 428.

265. Guzman J., Schiff C. A preliminary study for a tetrahedron formation: quality factors and visualization // AIAA Paper. 2002. No. 2002-4637.

266. Hancock H. Theory of maxima and minima. Boston - New York - Chicago: Ginn and Company. 1917. 216 p.

267. Hess W. Ueber die Euler'schen Bewegungsgleichungen und über eine neue particuläre Lösung des problems der Bewegung eines starren Körpers um einen festen Punkt // Math. Annalen. 1890. Bd.37. H.2. S. 153 - 181.

268. Higgs P.W. Dynamical symmetries in a spherical geometry. I. // J. Phys. A. 1979. V.12. No.3. P.309 -323.

269. Inarrea M., Lanchares V. Chaos in the reorientation process of a dualspin spacecraft with time-dependent moments of inertia // Int. Journal of Bifurcation and Chaos. 2000. Vol.10. No. 5. P.997 — 1018.

270. Inarrea M., Lanchares V., Rothos V.M., Salas J.P. Chaotic rotations of an asymmetric body with time-dependent moments of inertia and viscous drag // Int. Journal of Bifurcation and Chaos. 2003. Vol.13. No.2. P. 393 — 409.

271. Inarrea M., Lanchares V. Chaotic pitch motion of an asymmetric non-rigid spacecraft with viscous drag in circular orbit // Int. Journal of Non-Linear Mechanics. 2006. Vol. 41. Issue 1. P. 86 - 100.

272. Ito H. Non-integrability of Henon-Heiles system and a theorem of Ziglin // Kodai Math. J. 1985. Vol. 8. No 1. P. 120 - 138.

273. Killing W. Die Mechanik in den Nicht-Euklidischen Raumformen // J.Reine Angew. Math. 1885. Bd.98. S.l - 48.

274. Kim M., Hall C.D. Control of a rotating variable-length tethered system // Journal of Guidance Control and Dynamics. 2004. Vol.27. No. 5. P.849 - 858.

275. Koiller J. A note on classical motions under strong constraints //J. Phys. A. Math. Gen. 1990. Vol.23. L521 - L527.

276. Kozlov V.V., Harin A.O. Kepler's problem in constant curvature spaces // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 1992. V.54. P.393 - 399.

277. Krupa M., Steindl A., Troger H. Stability of relative equilibria. Pt 2. Dumbell satellites // Meccanica. 2000. V. 35, N. 4. P. 353 - 371.

278. Krupa M., Schagerl M., Steindl A., Szmolyan P., Troger H. Relative equilibria of tethered satellite systems and their stability for very stiff tethers // Dynam. Syst. 2001. V.16. No.3. P.253 - 278.

279. Lamb H. Hydrodynamics. Reprint of the 1932 sixth edition. Cambridge Math. Library. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1993. xxvi+738 pp.

280. Landis G. Reactionless orbital propulsion using tether deployment // Acta Astronaut. 1992. Vol.26. P.307 - 312.

281. Lara M., Scheeres D.J. Stability bounds for three-dimensional motion close to asteroids //J. Astronaut. Sci. 2002. V.50. No. 4. P.389 - 409.

282. Levi-Civita T. Sur la résolution qualitative du problème restreinte de trois corps // Acta Mathematica. 1906. Vol.30. P.305 - 327.

283. Levin E. Dynamic Analysis of Space Tether Missions. Advances in the Astronautical Sciences, Vol. 126. 2007.

284. Li-Sheng Wang, Shyh-Feng Cheng. Dynamics of two spring-connected masses in orbit // Celest. Mech. and Dynam. Astronomy. 1996. V. 63. N. 3-4. P. 289 - 312.

285. Longo M.J. Swimming in Newtonian space-time: Orbital changes by cyclic changes in body shape // Am. J. Phys. 2004. Vol. 72. No. 10. P. 1312 - 1315.

298

286. Lorenzini E.C. A three-mass tethered system for micro-g/variable-<7 applications // Journal of Guidance, Control and Dynamics. 1987. Vol.10. No.3. P. 242 - 249.

287. Maciejewski A.J., Gozdziewski K. Nonintegrability, Séparatrices Crossing and Homoclinic Orbits in the Problem of Rotational Motion of a Satellite // In: Chaotic Dynamics: Theory and Practice. Proc. of NATO ASI (Patras,Greece), ed. T. Bountis. 1991. B298. P.145 - 161.

288. Maciejewski A.J. Non-integrability of the planar oscillations of a satellite // Acta Astronómica. 1995. Vol.232. P.167 - 184.

289. Maciejewski A.J., Przybylska M. Non-integrability of restricted two-body problem in constant curvature spaces // Regular and Chaotic Dynamics. 2003. Vol.8. P.413 - 430.

290. Maciejewski A.J. Non-integrability of the problem of a rigid satellite in gravitational and magnetic fields // Cel. Mech. Dynam. Astronomy. 2003. Vol.87. No.4. P.317 - 351.

291. Mann H.B. Quadratic forms with linear constraints // American Mathematical Monthly. 1943. Vol. 50. P.430 - 433.

292. Misra A., Amier Z., Modi V.J. Attitude dynamics of three body tethered systems // Acta Astronaut. 1988. Vol.17. No.10. P.1059 - 1068.

293. Misra A., Diamond G.S. Dynamics of a sub-satellite system supported by two tethers // J. Guid., Control and Dynamics. 1986. Vol.9. No.l. P.12 - 16.

294. Misra A.K. Dynamics and control of tethered satellite systems // Acta Astronáutica. 2008. Vol.63. Nos 11-12. P.1169 - 1177.

295. Nechvile V. Sur une nouvelle forme d'équations différentielles du problème restreint elliptique // CR Acad. Sci. 1926. Séance du 1 février. R310 - 311.

296. Newton Isaac. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. De Motu Corporum. Liber Secundus. Londini: Typis Josephi Streater. P. 236-400. = Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Кн. 2. О движении тел. Петроград: Тип. М.М. Стаскевича, 1916.

297. Ortega R., van der Schaft A.J., Mareels I., Maschke B. Energy Shaping Control Revisited // Advances in the Control of Nonlinear Systems. Lecture Notes in Control and Information Sciences. 2001. Volume 264. P.277 - 307.

298. Pascal M. Sur le mouvement d'un triple bâtonnet dans un champ Newtonien // J. de Mécanique. 1972. Vol. 11. No. 1. P. 147 - 160.

299. Pascal M., Djebli A., El Bakkali L. Laws of deployment/retrieval in tether connected satellite systems // Acta Astronaut. 1999. Vol.45. No.2. P.61 - 73.

300. Pearson J. Anchored Lunar Satellites for Cislunar Transportation and Communication // J. of the Astronaut. Sci. 1979. Vol.27. No.l. 39 - 62.

301. Poisson S.D. Traité de mécanique. Tome seconde. P.: Bachelier. 1833. 782 с.

302. Pucacco J., Boccaletti D., Belmonte C. On the orbit structure of the logarithmic potential // Astrophys. Journal. 2007. V.669. P.202 - 217.

303. Riaguas A., Elipe A., Lopez-Moratalla T. Non-linear stability of the equilibria in the gravity field of a finite straight segment // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2001. Vol.81. No 3. P.235 - 248.

304. Roberson R.E. The Equivalence of Two Classical Problems of Free Spinning Gyrostats // J. Appl. Mech. 1971. Vol.38. Issue 3. P.707 - 708.

305. Routh E.J. Treatise on the Stability of a Given State of Motion. Cambridge: Cambrdige University press. 1877. 108 p.

306. Routh E.J. The advanced part of a treatose on the dynamics of a system of rigid bodies. L.: McMillan. 1884. 343 p.

307. Rubin H., Ungar P. Motion under strong constraining force // Commun. Pure Appl. Math. 1957. P. 65 - 87.

308. Salvadori L. Un'osservazione su di un criterio di stabilita del Routh//Rend. Accad. Sei. fis. e math. Soc. naz. lett. ed arti. Napoli. 1953. V. 20. No. 1-2. P. 269 - 272.

309. Salvai M. On the dynamics of a rigid body in the hyperbolic space // Journal of Geometry and Physics. 2000. V.36. No.1-2. P.126 - 139.

310. Schaefer J.F. Artificial satellite orbit shifting without mass expulsion utilizing gravity gradient // In: Proc. 17th Astr. Congress, Madrid, 1966.

311. van der Schaft A.J., Maschke B.M. Interconnected mechanical systems. Pt. 1.: Geometry of interconnection and implicit Hamiltonian systems // Proc. Workshop Modelling and Control of Mechanical Systems. L.: Imperial Colledge, 1999. P.l - 15.

312. Shchepetilov A.V. Two-body problem on spaces of constant curvature. I. Dependence of the Hamiltonian on the symmetry group and the reduction of the classical system // Theor. Math. Phys. 2000. V.124. P.1068 - 1098.

313. Shchepetilov Alexey V. Two-body quantum mechanical problem on spheres //J. Phys. A: Math. Gen. 2006. Vol.39. P.4011 - 4046.

314. Schiehlen W. Uber die Lagestabilisirung künstlicher Satelliten auf

elliptischen Bahnen. Diss. Dokt.-Ing. technische Hochschule Stuttgart. 1966. 148 S.

315. Schiehlen W. Uber den Drallsatz für Satelliten mit im Innern bewegten Massen // Z. angew. Math. Mech. 1966. Bd.46, Sonderheft. S. T132 - T134.

316. Schiehlen W., Kolbe O. Gravitationsstabilisierung von Satelliten auf elliptischen Bahnen // Archive of Applied Mechanics (Ingenieur-Archiv). 1969. Vol.38. No. 6. P.389 - 399.

317. Seife C. Recipe for rocket-free space travel: Dive In and Paddle, Patiently // Science. 2003. Vol.299. P.1295.

318. Slawianovski J.J. Bertrand systems on so(3, R), su(2) // Bull, de l'Academie Polonica des Sciences. Vol.XXVIII. No.2. 1980. P.83 - 94.

319. Slawianowski J.J. Bertrand systems on spaces of constant sectional curvature. The action - angle analysis // Reports on Mathematical Physics. 2000. Vol.46. No.3. P.429 - 460.

320. Стокер Д. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М.: ГИТТЛ, 1952. 264 с.

Автор:

321. Stepanova I.E., Shchepetilov A.V. Two-body problem on spaces of constant curvature. II. Spectral properties of the Hamiltonian // Theor. Math. Phys. 2000. V.124. P.1265 - 1272.

322. CTojанови!) P. Диференицщалне jeднaчинe кретан>а чврстог тела у тен-зорском облику // Весник друства мат. 1952. Т.4. С.43 - 49.

323. Stojanovic R. Motion of a rigid body in two dimensional Riemannian space // Glas CCXXI, Trudy Math. Nat. Serbia. 1956. P.63 - 73.

324. Stojanovic R. Uopstenje pojma momenta vektora i primena na geometriju masa // MaTeMaTHHKH bcchhk. 1966. No.3(18). C.23 - 34.

325. Sulikashvili R. S. On stationary motions of Plato's bodies in a gravitational field // Teor. Primen. Meh. 1989. No. 15. P.119 - 125.

326. Synge J.L. On the behaviour, according to newtonian theory, of a plumb line on pendulum attached to an artificial satellite // Proc. Roy.Irish Acad.Sec.A. 1959. V.20. No.l. P.l - 6.

327. Takens F. Motion under the influence of a strong constraining force // In: Lecture notes in Mathematics. No. 819. 1979.

328. Teofilatto P., Graziani F., Carlini S. On chaotic motion of satellites // Dynamical System: Theory and Applications. Huddinge, Stockholm, June 15-20, 1992. Singapore: World Scientific. 1993. P.233 - 266.

329. Teofilatto P., Graziani F. Analytic treatment of large amplitude oscillations of a gravity oriented satellite // Associazione Italiana di Aeronautica e Astronautica, National Congress, 12th, Como, Italy; ITALY; 20-23 July 1993. 1994. P. 1353 - 1367.

330. Thomson W.T., Fung V.C. Stability of Spinning Stations Due to Crew Motion // AIAA Journal. 1965. Vol.3. P.1082 - 1087.

331. Valiaho H. On the definity of quadratic forms subject to linear constraints // J. of Optimiz. Theory and Applications. 1982. Vol. 38, No. 1. P. 143 - 145.

332. Wittenburg J. Gleichgewichtslagen von Vielkorper - Satellitensystemen // Abhadl. der Braunschw. Wissensch. Ges. 1968. Bd.XX. P. 198 - 278.

333. Wisdom J. Swimming in spacetime: Motion by cyclic changes in body shape // Science. 2003. Vol.299. P. 1865 - 1869.

334. Zitterbarth J. Some remarks on the motion of a rigid body in a space of constant curvature without external forces // Demonstratio Math. 1991. Vol.24. No.3-4. P.465 - 494.