Задачи с параметрами как средство повышения мотивации обучения математике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат педагогических наук Шивринская, Елена Вячеславовна

• Шивринская, Елена Вячеславовна
• кандидат педагогических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат педагогических наук Шивринская, Елена Вячеславовна

Введение

1 Метод координат и его применения

1.1 Задачи математического программирования.

1.2 Графический метод и модели боевых действий Оси-пова - Ланчестера.

1.3 Кривые второго порядка и законы Кеплера.

2 Квадратичная функция в школе и ВУЗе

2.1 Задачи с параметрами и исследование квадратичной функции.

2.2 Решение иррациональных уравнений с помощью рационализирующих подстановок.

2.3 Квадратичная функция и тип уравнения математической физики.

2.4 Номограммы приведенных уравнений и устойчивость параметрических колебаний.

2.5 Флаттер крыла самолета и задачи с параметрами

3 Разные задачи и межпредметные связи математики

3.1 Алгоритм Евклида, отношения золотого сечения и числа Фибоначчи.

3.2 Итерационные процессы, уравнения вида /(/ . f(x).) = х и некоторые понятия современной математики

3.3 Многогранники в науке и природе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи с параметрами как средство повышения мотивации обучения математике»

Невозможно представить себе современную науку без математического моделирования. В основе этой методологии лежит замена исходного объекта некоторым его «образом», математической моделью, и дальнейшее изучение уже этой модели с помощью всего арсенала математических методов, в том числе и специально разработанных алгоритмов на компьютерной технике. Работа не с самим объектом, а с его моделью дает возможность теоретически исследовать его свойства при различных ситуациях. В то же время вычислительные эксперименты с моделями позволяют подробно изучать объекты в полноте, не доступной чисто теоретическим подходам.

Элементы математического моделирования использовались с самого начала появления точных наук, не случайно многие методы носят известные имена, а слово алгоритм своим происхождением обязано средневековому арабскому ученому Аль-Харезми. Второе рождение математического моделирования пришлось на конец 40-х - начало 50-х гг. XX века. Его появление было обусловлено появлением ЭВМ и выполнением социального заказа по освоению космоса и созданию ракетно-ядерного щита, который не реализовывал-ся традиционными методами. Благодаря этой методологии полеты ракет и ядерные взрывы были предварительно «осуществлены» на компьютерах, и лишь затем реализованы практически. Этот успех во многом определил дальнейшее развитие моделирования, ни один крупномасштабный технологический, экологический или экономический проект теперь всерьез не рассматривается ни в одной развитой стране без применения моделирования.

Сейчас математическое моделирование вступает в следующий этап своего развития, «встраиваясь» в структуры информационного общества. Без овладения информационными ресурсами сегодня нельзя и думать о решении проблем, стоящих перед обществом. Необходимы надежные способы переработки информации в знание. История методологии математического моделирования показывает, что она может и должна быть интеллектуальным ядром информационных технологий, процесса информатизации общества, поэтому математическое моделирование является необходимой и очень важной составляющей научно-технического прогресса.

Сама постановка вопроса математического моделирования какого-либо объекта дает четкий план действий. Его можно условно разбить на три этапа: модель - алгоритм - программа.

На первом этапе строится «эквивалент» объекта, отражающий в математической форме важнейшие свойства, которым он подчиняется, присущие ему связи.

Второй этап - выбор алгоритма для реализации модели на компьютере.

На третьем этапе - создание программ, переводящих модель на компьютерный язык и сравнение с объектом.

Будучи методологией, математическое моделирование не подменяет собой математику, физику, химию, биологию и другие научные дисциплины. Наоборот, трудно переоценить его синтезирующую роль. Создание и применение триады «модель - алгоритм - программа» невозможно без опоры на самые разные методы и подходы - от качественного анализа нелинейных моделей до современных языков программирования.

Актуальность работы.

В последние годы развернулась оживленная дискуссия относительно основного направления назревшей реформы, или, как сейчас принято говорить, модернизации образования. О необходимости проведения модернизации системы образования писали многие крупные ученые. «Модернизация образования необходима для возрождения духовности российского народа, укрепления его национального самосознания, подъема производительных сил и возрождения экономики России», - Алферов Ж.И. [5]. «Надо организовать подготовку специалистов по всем сторонам социальной сферы. Естественно-научное образование на разных уровнях - единственное, что у нас есть помимо нефти», писал Д.В. Аносов [8]. В процессе пересмотра общих программ по математике (как в средней, так и высшей школе) представляется необходимым предусмотреть три взаимосвязных блока:

1) математические структуры и методы их анализа;

2) математические модели и моделирование различных процессов и явлений;

3) вычислительная математика и компьютерные технологии.

Анализ современного состояния и перспектив развития образования диктует необходимость увеличения в процессе обучения удельного веса именно второго блока, тогда как мода последних лет упорно выпячивает роль, по сути, вспомогательного третьего блока, а первый блок (т.е. собственно математика в ее традиционном понимании) сегодня выглядит несколько гипертрофированным и часто вызывает неприязнь у многих обучаемых. «Умение составлять адекватные математические модели реальных ситуаций должно составлять неотъемлемую часть математического образования. Успех приносит не столько применение готовых успехов (жестких моделей), сколько математический подход к явлениям реального мира», писал В.И. Арнольд [11]. К математическому моделированию в школьном курсе математики можно отнести текстовые и геометрические задачи, а также задачи с параметрами (в основном на исследование квадратичной функции).

В силу сложившейся за последние годы вариативности среднего образования и ранней профориентации школьников для будущих учителей математики и педагогов - предметников естественно -научного профиля целесообразно в своем багаже иметь несколько примеров сквозных тем или цепочек, иллюстрирующих взаимосвязь различных разделов элементарной и высшей математики с выходом на междисциплинарные вопросы с другими областями знаний:

1) системы линейных уравнений и неравенств - методы Гаусса и определителей в R2 и R3 (или метод пропорций в R2) - задачи линейного программирования и графоаналитический метод их решения в Д2;

2) метод координат и геометрических мест точек - фокальные свойства кривых второго порядка - траектории движения тел и законы Кеплера - модели боевых действий Осипова - Лан-честера;

3) квадратичная функция - метод парабол - сетчатые номограммы - параметрические колебания и уравнение Матье - диаграмма Айнса-Стретта - флаттер крыла самолета - предельные циклы - модель «хищник - жертва»;

4) алгоритм Евклида нахождения НОД - итерационные процессы - числа Фибоначчи - несоизмеримые отрезки, цепные дроби и иррациональные числа - модель динамики популяции хп+\ = Ххп(1 — хп) - некоторые понятия фрактальной геометрии - квазикристаллы - мозаика Пенроуза - тела Платона;

5) отношения золотого сечения - построения циркулем и линейкой - правильные многоугольники и многогранники - тела Платона, «Тайна мироздания» и «Гармония мира» Кеплера, тела Архимеда и Кеплера-Пуансо - понятие о видах симметрии - золотое сечение и симметрия в природе и искусстве

6) замечательные кривые в науке и технике, природе и искусстве;

7) векторы - теоремы Архимеда, Менелая, Чевы - геометрия масс и барицентрическое исчисление - треугольники Гиббса и Ро-зебома - теоремы Мебиуса и «новая» геометрия треугольника.

Выделенные курсивным шрифтом цепочки реализовывались в данной диссертации).

Определенный набор таких сквозных тем может составить основу годового факультатива, а лучше - обязательного спецкурса для слушателей подготовительных отделений, студентов младших курсов, интересующихся старшеклассников типа «Дополнительные главы математики» или «Конкретная математика в математических моделях» (названия условны). Базой для подобного спецкурса для студентов старших курсов различных факультетов могут быть: 1) Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование [80]; 2) Космическое землеведение: диалоги природы и общества / Под ред. Садовничего В.А. [41]; 3) Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики [56]. А для «гуманитарного» курса можно предложить такие замечательные книги, как 1) Волошинов А.В. Математика и искусство [20]; 2) Смирнова И.М. Геометрия [81]; 3) Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии [3]; 4) Шикин Е.В., Шикина Г.Е. Гуманитариям о математике [98].

В этом спецкурсе должны быть три главные содержательные линии: чисто математическая, естественно - научная и историко

- культурологическая, объединенные общей методологической основой. Расстановка акцентов в этой триаде зависит от целей курса, интересов слушателей и их специализации. Например, для слушателей подготовительного отделения общего потока (факультеты биологический, географический, геологический, химический и почвоведения) основной задачей обучения является не только систематизация знаний за курс средней школы и подготовка к успешной сдаче выпускных экзаменов, но и облегчение дальнейшей адаптации к процессу обучения в вузе на младших курсах по выбранной специальности.

Проблемы образования и методики обучения математики затрагивались в работах таких крупных ученых как Александров П.С., Александров А.Д., Алферов Ж.И., Арнольд В.И., Виноградов B.C., Гнеденко Б.В., Ишлинский А.Ю., Колмогоров А.Н., Кудрявцев Л.Д., Лобачевский Н.И., Маркушевич А.И., Пуанкаре А., Садовничий В.А., Хинчин А.Я. и др.

Вопросы современного состояния математического образования, совершенствования математической и методической подготовки нашли отражение в работах известных специалистов: Абрамова A.M., Атанасяна Л.С., Башмакова М.И., Болтянского В.Г., Вавилова В.В., ВиленкинаН.Я., Гусева В.А., Глейзера Г.Д., Дорофеева Г.В., Коля-чина Ю.М., Матросова В.А., Мельникова И.И., Мордковича А.Г., Пойа Дж., Потапова М.К., Розова Н.Х., Саранцева Г.И., Смирновой И.М., Тихомирова В.М., Черкасова Р.С., Шарыгина И.Ф., Шварцбурда С.И. и др.

Проблемам непрерывности образования, совершенствованию математической подготовки школьников, в том числе с применением аналогий посвящены диссертационные исследования Волковой Е.Е., Григорьева С.Г., Жохова А.Л., Кочагина В.В., Слинкина В.Ф., Харитонова И.О. и др.

Моделирование присутствует почти во всех видах творческой активности людей различных «специальностей» - исследователей и предпринимателей, политиков и военачальников. Математическое моделирование плодотворно лишь при выполнении хорошо известных профессиональных требований: четкая формулировка основных понятий и предположений, всесторонний анализ адекватности используемых моделей, гарантированная точность вычислительных алгоритмов и т. д. [80]. Если же говорить о моделировании систем с участием «человеческого фактора», т. е. трудноформали-зуемых объектов, то к этим требованиям необходимо добавить аккуратное разграничение математических и житейских терминов, осторожное применение уже готового математического аппарата к изучению явлений и процессов (предпочтителен путь «от задачи к методу», а не наоборот) [41].

Нильс Бор утверждал, что «точность любой научной дисциплины зависит не от количества элементарной или высшей математики, в этой дисциплине, не от обилия формул в тексте, а от строгости и точности определения элементарных структур и элементарных явлений в данной области».

Окружающий людей мир един, и исследователи эффективно используют этот дар природы, выражающийся в том числе в универсальности математических моделей.

Основные подходы к построению простейших математических моделей - фундаментальные законы природы, вариационные принципы, применение аналогий [80].

В огромном числе случаев при попытке построить модель объекта невозможно прямо указать фундаментальные законы, которым он подчиняется, либо вообще нет уверенности в существовании подобных законов. Плодотворным подходом к таким объектам является использование аналогий с уже изученными явлениями.

Применение аналогий основано на одном из важнейших свойств моделей - их универсальности, т.е. их приложимости к объектам принципиально разной природы. Процесс построения моделей может быть условно разбит на этапы:

1) словесно-смысловое описание объекта или явления; формулировка предмодели;

2) запись предположений по возможности в математической форме;

3) выбор закона, формулировка принципа или поиск изученной аналогии, которым подчиняется объект, его запись в математической форме;

4) формулировка цели исследования модели;

5) изучение построенной модели всеми доступными методами;

6) соответствие полученной модели объекту й сформулированным предположениям.

Особое значение «метод аналогий» имеет при математическом моделировании трудно формализуемых объектов, для которых фундаментальные законы, вариационные принципы и общие строгие математические утверждения либо неизвестны, либо вообще не существуют. Однако, предостерегал А.Я. Хинчин, «. критическое отношение к заключениям по аналогии есть один из важнейших показателей, отличающих правильно воспитанное научное . мышление от . обывательского» [88].

Математика буквально заставляет, приучает ставить вопросы почему, верно ли это, из чего это следует, она учит докапываться до основ, подвергать сомнению даже то, что кажется совершенно ясным», - И.И. Мельников [61].

Цели работы.

На примере наборов сквозных тем (как возможной основы спецкурса по математическому моделированию слушателям подготовительного отделения) показать единство подхода и универсальность математического языка при исследовании прикладных задач естественно - научного содержания.

На примере предложенных в диссертации аналогий, помочь слушателям подготовительных отделений в осознанном выборе будущей профессии и формировании целостного естественно-научного мировоззрения.

Показать, что слова М.В. Ломоносова, вынесенные в эпиграф, о математическом моделировании природных явлений актуальны и сегодня, спустя четверть тысячелетия.

Объект исследования.

Междисциплинарные связи математики с предметами естественно - научного цикла в контексте концепции непрерывного образования (звено школа-вуз).

Недостаточность подобных связей остро сказывается и на высшей школе. «От чего мы страдаем? Мы страдаем от того, что очень рано студенты, разбившись на кафедры, перестают понимать друг друга. Теряется междисциплинарная связь, студент как будущий научный работник быстро погружается в очень узкие и очень сложные математические задачи. Сейчас требуется профессионал - математик - математический эрудит, универсал, который хорошо видит не только обширный математический мир, но и мосты, которые наведены или могут быть наведены с другими мирами знаний». (Из доклада В.А. Садовничего «Математическое образование: настоящее и будущее» [79]).

Предмет исследования.

Элементарные аналоги методов высшей математики и ее приложений как средство повышения мотивации к обучению слушателей подготовительного отделения и упрощения последующей адаптации к требованиям высшей школы.

Еще И. Кеплер сказал: Аналогии - мои лучшие учителя. Традиционной сферой применения метода аналогий является обучение. Использование удачных аналогий позволяет достичь гораздо большей наглядности. При этом многократно возрастает легкость усвоения и запоминания материала за счет включения ассоциативного мышления.

Гипотеза исследования: если считать, что в современном мире все большее значение имеет моделирование различных природных явлений и сложных технологических процессов, то знакомство с азами методов моделирования (в том числе на основе аналогий) способствует формированию естественно - научного мировоззрения, заинтересованному отношению к процессу обучения и осознанному выбору будущей профессии, студентами - кафедры и узкой специализации.

Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования: анализ научно-методической, математической литературы, учебников, учебных и методических пособий; изучение и анализ опыта работы преподавателей спец. дисциплин и математики; анализ собственного опыта работы в школе, на подготовительном отделении МГУ и вузе.

Научная новизна.

На доступном уровне (для слушателей подготовительного отделения и интересующихся старшеклассников) приведен пример последних достижений современной математики (квазипериодическое замощение плоскости типа мозаики Пенроуза и азы фрактальной геометрии) с приложением к новейшим достижениям кристаллографии по квазикристаллическим структурам с поворотной симметрией пятого порядка.

На основе аналогий с методами высшей математики установлена некоторая классификация специальных приемов (или «трюков» по Ф. Клейну), эффективно используемых для решения задач элементарной математики повышенной сложности, в том числе с параметрами (например, метод введения дополнительного аргумента и параметра, использование свойств четности и симметрии переменных, прием min / = max <7, прямой и косвенный признаки перехода к методу решения относительно параметра, координатно-параметрический метод для приведенного квадратного уравнения).

Практическая ценность.

Предложенная классификация методов решения задач с ^параметрами методически полезна для учителей и школьников старших классов с углубленным изучением математики (в том числе для самостоятельной подготовки к вступительным экзаменам в Вузы).

Развитый в диссертации индуктивный подход, основанный на методе аналогий (который часто базируется на полуинтуитивных понятиях алгоритма, итераций, предела, производной, графический методах анализа в их «мягком» или параметрическом использовании и чувстве математической красоты) может быть полезен не только слушателям подготовительных отделений и студентам младших курсов для облегчения адаптации к новым методам исследования в высшей школе, но и старшеклассникам и учителям математики для повышения профессионального уровня и расширения кругозора. Развитие интересов и способностей предполагает и формирование интереса к будущей профессии», писал A.M. Абрамов и].

Относительно раннее знакомство на доступном уровне с некоторыми понятиями современной математики («жесткие» и «мягкие» модели, итерационные процессы, устойчивость и бифуркации решений, структурированный хаос и аттракторы, азы фрактальной геометрии) и ее приложений (модели боевых действий Осипова-Ланчестера, явление флаттера крыла самолета, динамика популяций, строение вирусов, квазикристаллов, фуллеренов и сложных гидратированных ионов) может стать определяющим для молодых людей при выборе будущей профессии.

Обоснование и достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, обеспечены соответствием поставленной проблеме, современными теоретическими разработками в математике и ее приложениями в различных областях знаний, осуществлением исследования на теоретическом и практическом уровнях, результатами работы в аудиториях с различным уровнем подготовки слушателей (старшеклассниками, слушателями подготовительного отделения различных факультетов МГУ, студентами младших курсов).

На защиту выносятся следующие положения:

1. Набор сквозных тем как основа спецкурса по математическому моделированию для слушателей подготовительных отделений, студентов младших курсов, учителей математики и интересующихся старшеклассников.

2. Элементарные аналоги задач и методов высшей математики, классификация специальных приемов для решения задач элементарной математики повышенной сложности, в том числе с параметрами (метод введения параметра, использование свойств четности и симметрии переменных, прием min / = maxg, прямой и косвенный признаки перехода к методу решения относительно параметра, координатно-параметрический метод для приведенного квадратного уравнения).

Апробация работы

По главам данной работы были прочитаны курсы лекций: студентам кабинета методики преподавания элементарной математики при кафедре математического анализа механико - математического факультета и факультета педагогического образования МГУ (1996 - 98 и 2002 уч. гг.); слушателям общего потока Подготовительного отделения МГУ (факультеты почвоведения, психологии, химический, биологический, географический и геологический, 1996

- 2002 гг.); ученикам старших классов эколого - географического профиля и учителям Городского Центра Образования N 654 (1996

- 2002 гг.); школьникам 9-11 классов на Малом мехмате МГУ (2002). Основные результаты настоящей диссертационной работы были доложены на Международных конференциях женщин - математиков (Волгоград 1996 г., Новороссийск 1997 и 1999 гг., Чебоксары 1998 г.); Международных конференциях «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна 1998, 2000 и 2002 гг., Пущино 2001 г.); Международных конференциях «Нелинейный мир» (Краснодар 2001 г.; Суздаль 2002 г.); Ломоносовских чтениях (Москва 1997 -99 гг.); XX конференции молодых ученых МГУ (Москва 1998); Всероссийской конференции «Математика и общество. Математика на рубеже веков» (Дубна 2000 г.). Сокращенных вариант диссертации был представлен на Конкурс молодых ученых МГУ (работа отмечена грамотой «Лауреат конкурса 2000»).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы.

Заключение диссертации по теме «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», Шивринская, Елена Вячеславовна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Наметившееся в последнее время широкое многообразие школ и классов самого различного профиля обозначили сегодня с особой остротой проблему преподавания математики. Вечные вопросы: «Чему учить?» и «Как учить?» - звучат сейчас особенно злободневно [78]. Тенденция к уменьшению количества часов, уплотнение учебного содержания и, как следствие, нарушение математической строгости изложения предмета обедняет преподавание математики (особенно в классах не физико - математического профиля). Хотя бывает и другая крайность - излишний «бурбакизм», обилие понятий и фактов из высшей математики, избыточный формализм и отсутствие междисциплинарных связей с другими предметами могут навсегда отбить интерес к математике у многих школьников [60]. С бурным развитием вычислительной техники возникла еще одна опасность: большинство далеких от математики людей верят, что полученный на компьютерах результат - безусловно правильный. Снижение уровня математической культуры общества может превратить человека из хозяина компьютера в его прислугу. Или, как написано в заявлении оргкомитета всероссийской конференции «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков»: «Математическое образование должно помочь сохраниться на Земле виду homo sapiens, не дать ему переродиться в homo computeric. Математически малограмотные руководители государств, крупных промышленных и финансовых корпораций, окруженные недостаточно математически образованными советниками и консультантами, представляют сегодня огромную опасность для человечества. Они не способны системно мыслить, не могут просчитать даже ближайшие последствия своих действий, которые все чаще и чаще приводят к военным конфликтам, экономическим кризисам, финансовым потрясениям, экологическим и гуманитарным катастрофам, очень быстро теряющим локальный характер.

Математическое моделирование должно стать обязательным этапом, предшествующим принятию любого ответственного решения». (Среди подписавших от имени оргкомитета это заявление Московский университет представляли академики Н.С. Бахвалов и В.А. Садовничий, профессор В.М. Тихомиров).

Знакомство с азами математического моделирования и конкретными примерами реализаций тезиса «Математика - язык науки» необходимо проводить еще в школе. Что означает владение математикой? Это - умение решать задачи, притом не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности» (Дж. Пойа, Математическое открытие).

В данной работе предпринята попытка на некоторых «фигурах высшего пилотажа» элементарной математики (к которым здесь отнесены и конкурсные задачи с параметрами) и предложенных примерах сквозных тем или цепочек (часть звеньев которых можно найти лишь в журнальных статьях) привести новые доказательства в пользу этого тезиса.

А в качестве утилитарного остатка приведем некоторую классификацию стандартных методов и специальных приемов, эффективно используемых при решении ряда задач повышенной сложности, в том числе с параметрами, о которых шла речь в диссертации (см. таблицу).

При решении задачи необходимо проверить (или применить) следующие пункты таблицы:

Стандартные методы (приемы)

1) ОДЗ (ж, а) (проверка области допустимых значений переменного х и параметра а);

2) Область изменения функций;

3) Условия равносильности преобразований;

4) Теорема о средних (арифметическом и геометрическом) и ее следствия о максимуме произведения и минимуме суммы п положительных чисел;

5) Метод введения дополнительного аргумента;

Нестандартые методы (приемы)

Название или суть метода (приема) §§ Литература, где есть другие примеры Характерные признаки (ключевые слова, фразы) Аналоги высшей математики (и ее приложений)

Симметрия переменных 2.3 [22], [28], [57], [62], [68], [75], [93] Проверка достаточности условий Групповые методы и преобразования Беклунда

Четность переменных 1.2 2.3 [7], [22], [28], [57], [62], [68], [71], [75], Г93] Проверка достаточности условий, характерная фраза о единственности решения Волновые движения на границе раздела двух фаз

Свойства функций (в первую очередь монотонность) 2.3 3.2 [7], [22], [28], [57], [62], [64], [68], [71], [75], [93] 1. Смена типа уравнений в задачах механики сплошных сред 2. Понятия современной математики (из задачи динамики популяции)

Решение относительно параметра (прямой признак) 2.1 2.3 [7], [22], [28], [57], [62], [64], [68], [71], [75], [93] Р(х(а)) = Р2(а(х)) при п > 3 Смена степени и даже типа уравнений в задачах механики сплошной среды (задачи МГД-обтекания тел, косвенный признак) [68] Противоречие со второй стандартной формулировкой задач с параметрами (даже если Р„(х(а)) = Рк(а(х)) при n,k<2). уравнения Чаплыгина и Трикоми)

Метод введения параметра 2.3 2.5 [68], [71] Решение более общего уравнения относительно введенного параметра Физико-химические условия образования алмазов

Прием mill f = max g 2.3 [22], [28], [57], [62], [64], [68], [71], [75], [93] f и g относятся к различным классам функций Упруго-пластические и гидродинамические задачи с переходом через скорость звука

Координатно-параметрический метод решения в плоскости (p,q) 2.4 [68] Двухпараметриче-ские задачи (параметры р и q независимы) Параметрически возбуждаемые колебания (в т.ч. уравнение Матье и диаграмма Ай нса-Стретта)

Прим. Ссылки на литературу см. в Библиографии.

Приведенная классификация наиболее близка к принятой в [68] и не является универсальной. Существуют и другие точки зрения по этому вопросу [7, 22, 64, 93]. Неполнота приведенной классификации обусловлена тем, что в данной работе разбирались задачи, характерные для естественных факультетов МГУ, а не чисто математических (механико-математический, ВМиК) с их специфическими «изюминками», анализ которых можно найти в хорошо известных пособиях [28, 62, 71].

Еще Р.Декарт говорил: «Метод необходим для отыскания истины.» и считал, что характерной особенностью математики является не ее предмет, а методы, с помощью которых она получает свои результаты. Если любая естественно-научная дисциплина определяется материальной спецификой своего предмета, реальными чертами той области действительного мира, которую она изучает, то что изучает математика, каков объект и предмет ее исследования? Аналогичные вопросы, поставленные в отношении других наук, находят краткие, может быть не всегда полные, но вразумительные ответы. Например, химия изучает закономерности химических соединений, биология - природу живых существ и условия их жизнедеятельности. При этом методы изучения могут быть разными, в том числе - матемаическими, но всегда в рамкох данной естественно-научной дисциплины, так как для нее реальный предмет, а не метод исследования, составляет основную специфическую черту. Тогда как «определяющим признаком всякой математической дисциплины является некоторый формальный метод, потенциально допускающий самые различные материальные воплощения» - писал А.Я. Хинчин в духе Декарта. А Б.В. Гнеденко в [23] утверждал, что «объектом изучения математики являются не сами предметы и явления реального мира, а их идеальные модели», формализованные свойства которых и анализируются соответствующими математическими методами, часто достаточно изощренными и еще даже не разработанными в недрах «чистой» математики. О подобных трудностях матемаического моделирования уже говорилось во введении.

Список литературы диссертационного исследования кандидат педагогических наук Шивринская, Елена Вячеславовна, 2002 год

1. Абрамов A.M. Еще раз о программе обновления содержания общего среднего образования. Сб. Математика в образовании и воспитании. / Сост. В.Б. Филиппов. // М.: ФАЗИС, 2000. с.213-227.

2. Абрамов A.M. К вопросу о реформе школьного математического образования. Всероссийская конференция «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков», Дубна, 2000. // М.: МЦНМО, 2000. с. 49-53.

3. Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии. // М.: Школа-Пресс, 1998. -160с.

4. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. // М.: Наука, 1987. -157с.

5. Амелькин В.В., Рабцевич B.J1. Задачи с параметрами. Справочное пособие по математике. // Минск: «Асар», 1996. -464с.

6. Аносов Д.В. Реформа школы: за и против. В сб. «Образование, которое мы можем потерять» / под общ. ред. ректора МГУ акад. В.А. Садовничего. // М.: МГУ, Инст-т компьют. исслед-й, 2002. с. 25-38.

7. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости. // М.: Учпедгиз, 1955. -270с.

8. Арнольд В.И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели. // М.: МЦНМО, 2000. -31с.

9. Арнольд В.И. Математика и математическое образование в современном мире. Сб. Математика в образовании и воспитании. / Сост. В.Б. Филиппов. // М.: ФАЗИС, 2000. с. 195-205.

10. Астарита Дж., Марруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. // М.: Мир, 1978. -309с.

11. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. // М.: Наука, 1992. -544с.

12. Башмакова И.Г. и др. Очерки по истории математики. Под ред. Гнеденко Б.В. // М.: Изд-во МГУ, 1997. -496с.

13. Вавилов В.В. Сетчатые номограммы. // Квант, 1978, N9.

14. Вавилов В.В. Радикалы правые, левые и нейтральные. // Препринт СУНЦ МГУ, 1995.

15. Вентцель Е.С. Введение в исследование операций. // М.: Советское радио, 1964. -388с.

16. Вернадский В.И. Химическое строение биосферы Земли и ее окружения. // М.: Наука, 1965. -374с.

17. Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики. // М.: Просвещение, 1996. -320с.

18. Волошинов А.В. Математика и искусство. // М.: Просвещение, 2000. -399с.

19. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. // М.: Наука, 1978.

20. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами// К.: РИА «Текст», 1992. -290с.

21. Гнеденко Б.В. О математике. // М.: Эдиториал УРСС, 2000. -208с.

22. Грин Н., Стаут У., Тейлор Д. Биология. Т. 1. // М.: Мир, 1990.

23. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. // М.: Просвещение, 1988. -416с.

24. Гусев В.А. Как помочь ученику полюбить математику? // М.: «Авангард», 1994. -168с.

25. Денисюк И.Н. Номограмма с тремя бинарными полями, в сб. «Номографический сборник» // М.: Изд-во МГУ, 1951. с.77-79.

26. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в вузы. // М.: Наука, 1976. -640с.

27. Елецкий А.В., Смирнов Б.М. Кластер Обо новая форма углерода. УФН. 1991, т. 161, N 7. с. 173-192; Фуллерены и структура углерода. УФН. 1995, т. 165, N 9. с. 977-1009.

28. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. // М.: Наука, 1981. -232с.

29. Ишлинский А.Ю. Механика: идеи, задачи, приложения. // М.: Наука, 1985. -623с.

30. Канторович Л.В. Математические оптимальные модели в планировании развития отрасли и в технической политике. // Новосибирск: Инс-т мат-ки Сиб. отд-я АН СССР, 1966. -31с.

31. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. Арифметика. Алгебра. Анализ // М.: Наука, 1987. -432с.

32. Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. // М.: Наука, 1989. -336с.

33. Колмогоров А.Н. и др. Летняя школа на Рубеком озере. // М.: Просвещение, 1971. -160с.

34. Колмогоров А.Н. Математика наука и профессия / Сост. Г.А. Гальперин. // М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. -288с. (Б-чка «Квант». Вып. 64).

35. Колмогоров А.Н., Вавилов В.В., Тропин И.Т. Физико математическая школа при МГУ. // М.: Знание, 1981. -63с.

36. Коренин В.Е. Узоры Пенроуза и квазикристаллы. // М.: Квант, 1987, N 6.

37. Космическое землеведение: диалоги природы и общества. Устойчивое развитие. / Под ред. акад. РАН Садовничего В.А. // М.: Изд-во Моск. ун-та, 2000. -640с.

38. Куликовская битва в истории и культуре нашей Родины. Сб. материалов юбилейной научной конференции. Ред. Рыбаков Б.А. // М.: Изд-во МГУ, 1983. -312с.

39. Лаптева Д.Г. Номограммы для расчета плоского потока при установившемся неравномерном движении грунтовых вод. // М.: ВЦ АН СССР, 1967. -13с.

40. Лахно В.Д. Кластеры в физике, химии, биологии. // М.Ижевск, РХД, 2001. -256с.

41. Ломоносов М.В. Избранные произведения. В 2-х томах. Т.1. Естественные науки и философия. // М.: Наука, 1986. -536с.

42. Лоскович М.В., Натяганов В.Л., Слепова Т.В. Магия чисел в науке и природе. Математика. Компьютер. Образование. Вып. 7, ч.1. Сб. науч. трудов / Под ред. Г.Ю.Ризниченко. // М.: «Прогресс-Традиция», 2000. с. 42-49.

43. Лужина Л.М., Натяганов В.Л., Шивринская Е.В. Квадратично рациональные функции, подстановки Эйлера и кривые второго порядка. // VII Международ, конф. «Математика. Экономика. Экология. Образование»: Тез. док. Ростов-на-Дону, май 1999. с. 281-282.

44. Лужина Л.М., Натяганов В.Л., Шивринская Е.В. Магия и мистика многогранников в науке, искусстве и природе. // VII Международ, конф. «Нелинейный мир»: Тез. док. Суздаль, 2002. с. 55.

45. Лужина Л.М., Натяганов В.Л., Шивринская Е.В. Полет планера и самолета в элементарном изложении. Ломоносовские чтения 98. «Методические проблемы непрерывного образования и современные информационные технологии». // М.: УНЦ ДО МГУ, 1998. с. 23-26.

46. Лужина Л.М., Натяганов В.Л., Шивринская Е.В. Устойчивость параметрических колебаний и номограммы приведенных уравнений. // V Международ, конф. женщин-математиков: Тез. докл. Ростов-на-Дону, 1997. с. 95-96.

47. Лужина Л.М., Натяганов В.Л., Шивринская Е.В. Флаттер крыла самолета и задачи с параметрами. //VI Международ. конф. женщин-математиков «Математика. Образование. Экономика» Чебоксары: Тез. док. Из-во Чуваш, ун-та, 1998. с. 129-130.

48. Лужина JI.M., Натяганова Л.Н., Шивринская Е.В. Метод координат и модели боевых действий Ланчестера. Ломоносовские чтения 97 «Методические проблемы непрерывного образования и современные информационные технологии». // М.: УНЦ ДО МГУ, 1998. с. 20-24.

49. Лужина Л.М., Шивринская Е.В. Квадратичная функция и тип уравнения математической физики. // V Международ. конф. женщин-математиков: Тез. докл. Ростов-на-Дону, 1997. с. 168-169.

50. Лурье М.В., Александров Б.И. Пособие по геометрии. // М.: Из-во МГУ, 1984. -256с.

51. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. // М.: Эдиториал УРСС, 2000. -336с.

52. Марков В.Л. Метод координат и задачи с параметрами. // М.: Изд-во МГУ, 1970. -148с.

53. Маркушевич А.И. Замечательные кривые. // М.: Наука, 1978. -48с.

54. Маркушевич А.И. Деление с остатком в арифметике и алгебре. // М.-Л., 1949. -211с.

55. Мельников И.И. Научно-методические и организационные проблемы взаимодействия высшей и средней школы в области математического образования. Ломоносовские чтения 99. Секция «Методические проблемы непрерывного образования». // М.: УНЦ ДО МГУ, 1999. с.1-7.

56. Мельников И.И. Рычаг и опора. В сб. Образование, которое мы может потерять. / Под общ. ред. ак. В.А. Садовничего // М.: МГУ; Инст-т компьют. исслед., 2002. с. 71-80.

57. Мельников И.И., Сергеев И.Н. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах. // М.: МП Азбука, 1994. -352с.

58. Мигулин В.В. и др. Основы теории колебаний. // М.: Наука, 1988.

59. Моденов В.П. Грани математики: координатно параметрический метод. // М.: УНЦ ДО МГУ, 1999. -104с.

60. Моденов В.П. Математика 2. // М.: Изд-во МГУ, 1984. -176с.

61. Молодожникова Р.Н. Квадратный трехчлен в задачах с параметрами. // М.: Изд-во МАИ, 1996.

62. Натяганов B.JI. О фундаментальном решении задач МГД-обтекания тел при малых числах Рейнольдса. Сб. «Вопросы механики сплошных тел» // М.: Изд-во МГУ, 1993. с. 185-193.

63. Натяганов В.Л., Лужина JI.M. Методы решения задач с параметрами // М.: Изд-во МГУ, 2002. в печати.

64. Натяганова Л.Н., Шивринская Е.В. Кривые второго порядка и законы Кеплера. Ломоносовские чтения 98 // М.: УНЦ ДО МГУ, 1998. с. 39-43.

65. Номографический сборник N8. // М.: ВЦ АН СССР, 1971. с. 54-69

66. Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. // М.: Изд-во МГУ, 1991. -144с.

67. Осипов М. Влияние численности сражающихся сторон на их потери. // Жур. «Военный сборник», NN 6-9, 1915.

68. Пайтген Х.О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. // М.: Мир, 1993. -176с.

69. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. // М.: Наука, 1987. -352с.

70. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи по математике. Справ, пособие // М.: «Столетие», 1995. -544с.

71. Пуанкаре А. О науке. // М.: Наука, 1983. -560с.

72. Ризниченко Г.Ю. Нелинейное естественно научное мышление. Труды V Межд. конф. «Мат-ка. Компьютер. Образование». // М.: Прогресс-Традиция, вып. 5, ч. 1, 1998. с. 110-117.

73. Розов Н.Х. Вечные вопросы о школьном курсе математики: Чему учить? Как учить? Ломоносовские чтения 99. Секция «Методические проблемы непрерывного образования». // М.: УНЦ ДО МГУ, 1999. с.7-12.

74. Садовничий В.А. Математическое образование: настоящее и будущее. Всероссийская конференция «Математика и общество. Математика на рубеже веков». // Дубна, 19 сентября 2000.

75. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. // М.: Физматлит, 2001. -320с.

76. Смирнова И.М. Геометрия: Учебное пособие для 10-11 кл. гу-манит. профиля. // М.: Просвещение, 1997, -157с.

77. Смирнова И.М. В мире многогранников: Кн. для учащихся. // М.: Просвещение, 1995. -144с.

78. Тихомиров В.М. Математическое образование. Сб. Математика в образовании и воспитании. / Сост. В.Б. Филиппов. // М.: ФАЗИС, 2000. с.163-176.

79. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. // М.: Наука, 1966. -724с.

80. Уоллэйс Р. Мир Леонардо. // М.: Терра, 1997. -192с.

81. Фисенко Т.Н., Шивринская Е.В. Конкурсные задачи на min -max как прообраз задач математического программирования. //IV Международ, конф. женщин математиков «Математика. Моделирование. Экология»: Тез. док. Волгоград, Изд-во ВолГУ, 1996. с. 128.

82. Фихтенголыд Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2 // М.: Наука, 1969. -800с.

83. Хинчин А.Я. О воспитательном эффекте уроков математики. Сб. Математика в образовании и воспитании. / Сост. Филиппов В.Б. // М.: ФАЗИС, 2000. с.64-102.

84. Хованский Г.С. Основы номографии. // М.: Наука, 1976. -352с.

85. Цинобер А.Б. Магнитогидродинамическое обтекание тел. // Рига: Зинатне, 1970. -290с.

86. Черный Г.Г. Газовая динамика. // М.: Наука, 1988. -424с.

87. Чуев Ю.В. Исследование операций в военном деле // М.: Во-ениздат, 1970. -255с.

88. Шестаков С.А., Юрченко Е.В. Уравнения с параметром. // М.: «Слог», 1993. -107с.

89. Шивринская Е.В. Задачи с радикалами и рационализирующие подстановки. // V Международ, конф. женщин математиков «Математика. Экономика»: Тез. док. Ростов-на-Дону, 1997. с. 179-180.

90. Шивринская Е.В. Итерационные уравнения и некоторые понятия современной математики. // М.: МГУ, 1998. -14с. Деп. в ВИНИТИ 16.12.98, N 3729-В98.

91. Шивринская Е.В. Номограммы и экстремальные задачи. // М.: МГУ, 1998. -19с. Деп. в ВИНИТИ 16.12.98, N 3728-В98.

92. Шивринская Е.В. Специфика преподавания математики на подготовительном отделении филологического факультета. Ломоносовские чтения 99 «Методические проблемы непрерывного образования». // М.: УНЦ ДО МГУ, 1999. с. 17-19.

93. Шикин Е.В., Шикина Г.Е. Гуманитариям о математике. Учебное пособие. // М.: АГАР, 1999. -333с.

94. Эльгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. // М.: Наука, 1969. -424с.

95. Энциклопедический словарь юного астронома. Сост. Ерны-лев Н.П. // М.: Педагогика, 1986. -334с.

96. Энциклопедический словарь юного математика. Сост. Савин А.П. // М.: Педагогика, 1985. -351с.

97. Энциклопедия элементарной математики. Ред. Александров П.С., Маркушевич А.И., Хинчин А.Я. в 3-х томах. Т. 3 // М.-Л.: Гостехиздат, 1952. -559с.

98. Юдин В.В. и др. Кристаллография. Фрактальность квазикристаллов на примере мозаики Пенроуза. 2001, т. 46, N 6,с. 1004-1008; Мозаика Пенроуза как древесно-графовая квазистохастическая решетка. 2002, т. 47, N 2, с.224-231.

99. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. // М.: Наука, 1972. -718с.

100. Dov Levine, P.J. Steinhardt Quasicrystals: A New Class of Ordered Structures. // Phys. Rev. Lett., 1984, v. 53. p. 24772480.