Аксиоматический метод в теории кооперативных игр тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, доктор физико-математических наук Печерский, Сергей Львович

• Печерский, Сергей Львович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Печерский, Сергей Львович

ВВЕДЕНИЕ.

I. ЭКОНОМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, КООПЕРАТИВНЫЕ ИГРЫ И ИХ РЕШЕНИЯ.

1.1. Аксиоматический метод, кооперативные игры и экономическое моделирование.

1.2. Основные определения и обозначения.

1.3. Основные результаты.

1.4. Краткое содержание работы.

II. НЕЛИНЕЙНЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛОГИ

ЗНАЧЕНИЯ ШЕПЛИ.

2.1. Основные определения и аксиомы.

2.2. Некоторые свойства решения.

2.3. Отображение Fw и его свойства.

2.4. Существование и единственность решения.

2.5. Селекторы решений.

2.6. Пред-/с-ядро.

2.7. Антирешения.

III. С-ЯДРО И КВАЗИЯДРО В КЛАССИЧЕСКИХ И

НЕЧЕТКИХ КООПЕРАТИВНЫХ ИГРАХ.

3.1. Нечеткие коалиции, сбалансированность и каноническое представление.

3.2. Аксиоматика с-ядра и нечеткого с-ядра.

3.3. Квазиядро.

3.4. Антиядро и распределение затрат.

IV. КВАЗИДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ КООПЕРАТИВНЫЕ ИГРЫ.

4.1. Положительно однородные функции и квазидифференцируемость

4.2. Квазидифференцируемые кооперативные игры.

4.3. ^-квазидифференцируемые кооперативные игры.

V. ИГРЫ БЕЗ ПОБОЧНЫХ ПЛАТЕЖЕЙ: ФУНКЦИИ ЭКСЦЕССА

И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ РЕШЕНИЯ.

5.1. Предварительные замечания и основные определения.

5.2. Отношение предпочтения на CGs+xRs и калибровочный эксцесс.

5.3. Свойства калибровочного эксцесса и соответствующих решений

5.4. Игры без побочных платежей в форме опорной функции.

5.5. Некоторые модели, формализуемые с помощью НТП-игр.

VI. МНОГОШАГОВЫЕ СУПЕРЛИНЕЙНЫЕ ИГРЫ БЕЗ

ПОБОЧНЫХ ПЛАТЕЖЕЙ.

6.1. Обобщенные игры без побочных платежей.

6.2. Каноническое представление НТП-игры.

6.3. Многошаговые НТП-игры: решение и устойчивые коалиции.

6.4. Свойства решения и устойчивых коалиций.

6.5. Устойчивые коалиции и каноническое представление НТП-игры.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аксиоматический метод в теории кооперативных игр»

В последние десять-пятнадцать лет наблюдается стремительное повышение интереса к теории игр и значительное возрастание ее роли. Это объясняется, в первую очередь, тем, что без нее в настоящее время уже немыслима современная экономическая теория, причем область применения теории игр постоянно расширяется. Теория игр прошла путь от весьма формализованной теории, представлявшей интерес в первую очередь для математиков и ставшей источником целого ряда работ чрезвычайно глубокого математического содержания, до одного из важнейших инструментов анализа огромного многообразия задач, возникающих в экономике, политике, социальных науках и т.д. (не утратив при этом, разумеется, своего математического содержания). Так, видимо, не было бы слишком большим преувеличением сказать, что происходит своего рода "теоретико-игровой поворот" в экономической теории.

Когда чуть более 50 лет назад закладывался фундамент теории игр -классическая монография Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна (Иеитапп/Могдег^егп (1944)) - ее перспективы представлялись достаточно оптимистично. Однако долгое время формальная сторона превалировала над неформальными, и в первую очередь экономическими, интерпретациями. Но в настоящее время круг проблем, который охватывается теорией игр чрезвычайно широк, выходит уже далеко за рамки экономики, захватывает все новые и новые области и придает тем самым все больший вес теории игр.

Результаты настоящей работы относятся к теории кооперативных игр. Формально, в достаточно общей форме, кооперативная игра описывается с помощью задания множества участников (игроков), множества тех исходов альтернатив), которые они способны обеспечить, вступая, быть может, в различные коалиции, и множества отношений предпочтений игроков на множестве исходов (альтернатив). Под решением кооперативной игры понимается некоторый исход, или, может быть, некоторое множество исходов, доступных для игроков. Скажем, в простейшем случае, классическая кооперативная игра - это набор, состоящий из множества игроков и вещественно-значной функции, ставящей в соответствие каждой возможной коалиции игроков (то есть каждому произвольному подмножеству множества всех игроков) число, интерпретируемое как максимальный возможный суммарный выигрыш (минимальный проигрыш в случае его отрицательности), который коалиция может гарантировать своим членам. Решение такой игры - это некоторый вектор, или множество векторов, описывающих распределение выигрышей игроков.

При исследовании решений кооперативных игр используются два базовых метода. Первый - это аксиоматический метод, когда желательные свойства решений формулируются в виде аксиом и исследуется вопрос существования решений, удовлетворяющих этим аксиомам. Такие исследования обычно приводят к так называемым характеризационным теоремам, то есть теоремам, описывающим определенное решение (или класс решений), являющееся единственным решением (или, соответственно, единственным классом решений), которое удовлетворяет введенным аксиомам. Часто такие характеризационные теоремы могут иметь форму теорем существования, указывающих в явном (или неявном) виде решение, удовлетворяющее желаемым свойствам. В соответствии с этим методом, первичными являются свойства решений, и эти свойства используются как основной образующий блок для построения решений.

Второй метод - "противоположно направлен", это своего рода обратный аксиоматический метод. Применяя его, обычно исходят из тех решений, которые выбраны на основе каких-то интуитивных соображений или формальных представлений о схемах, используемых в реальной практике, а лишь затем уже изучают те свойства, которым эти решения удовлетворяют (хотя это уже не является центральным моментом исследований). Здесь, однако, следует особо отметить, что граница, разделяющая эти два метода весьма и весьма расплывчата в том смысле, что очень часто второй метод естественно переходит в первый: исследование свойств выбранного решения приводит к тому, что полученные свойства (или некоторые из них) становятся аксиомами, которые однозначно и определяют то самое решение, с которого процесс начинался. В этом смысле, о втором методе можно тоже достаточно естественно говорить как об аксиоматическом методе, не разделяя строго "прямой" и "обратный" аксиоматический методы.

Именно аксиоматический метод занимает центральное место в работе. Все решения, которые здесь исследуются, группируются вокруг свойств линейности, суперлинейности и их различных модификаций, включающих свойства, связанные не только с операцией сложения кооперативных игр, но и с нелинейными аналогами операции сложения, и их "предельным аналогом" -операцией взятия максимума. Получающийся при этом спектр решений чрезвычайно широк. Причем, с одной стороны, изучаются новые системы аксиом, приводящие как к новым решениям, так и к ряду традиционных, таких, например, как вектор Шепли, с-ядро, с£-ядро, л-ядро, /с-ядро и другие. С другой стороны, рассматриваются новые классы игр, вводятся новые решения и исследуются их свойства.

Таким образом, основная цель работы состоит в построении в рамках аксиоматического метода единого подхода к исследованию решений кооперативных игр, опирающегося на использование свойств линейности, суперлинейности и их модификаций. Это исследование включает: разработку новых систем аксиом для традиционных классов игр, приводящих к целому семейству решений кооперативных игр, содержащему в качестве специальных частных случаев широкий спектр хорошо известных и ставших уже классическими решений; исследование новых решений кооперативных игр; исследование новых классов кооперативных игр, определение их решений и исследование их свойств.

Работа имеет следующую структуру. Первая глава носит вводный характер и состоит из четырех параграфов. В первом проводится анализ некоторых общеметодолических проблем теории кооперативных игр и аксиоматического метода как основного метода исследования кооперативных игр, а также обсуждается та роль, которую играют кооперативные игры в современном экономическом моделировании. Во втором параграфе приводятся основные определения и обозначения, используемые в работе. В третьем параграфе обсуждается роль свойств линейности, суперлинейности и их модификаций в теории кооперативных игр, определяются цели исследования, раскрывается научная новизна работы и формулируются основные результаты. В последнем параграфе первой главы дается краткое изложение содержания диссертации.

В главе 2 исследуются нелинейные многозначные аналоги значения (функции, вектора) Шепли для классических кооперативных игр. Здесь же рассматриваются некоторые "анти-решения" кооперативных игр, наиболее естественная область применения которых - задачи распределения затрат. Глава 3 посвящена аксиоматической характеризации с-ядра для классических кооперативных игр и нечетких кооперативных игр как супераддитивного и, соответственно, аддитивного решений, а также вводится понятие квазиядра кооперативной игры. В главе 4 изучается новый класс нечетких кооперативных игр - квазидифференцируемые кооперативные игры, и их линейные решения. Пятая глава посвящена аксиоматическому определению функции эксцесса для игр с нетрансферабельной полезностью и изучению свойств некоторых соответствующих этому эксцессу решений - с-ядра, /?-ядра, /с-ядра. В шестой главе исследуются многошаговые суперлинейные кооперативные игры с нетрансферабельной полезностью и их решения, определенные с помощью аппарата многозначных суперлинейных отображений, широко используемого в моделях экономической динамики.

В диссертации принята автономная нумерация параграфов, формул, теорем, лемм и т.д. Они нумеруются с помощью двойного индекса: первая компонента указывает номер главы, а вторая - номер параграфа, формулы, теоремы или леммы в этой главе. Каждый параграф разбит на пункты, имеющие тройной индекс: первые две цифры - номер параграфа, третья - номер пункта.

I. ЭКОНОМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, КООПЕРАТИВНЫЕ ИГРЫ И ИХ

РЕШЕНИЯ

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Печерский, Сергей Львович, 1998 год

1. А.Е.Абанькин (1997) Н-квазидифференцируемые функции, Информационный бюллетень общества математического программирования, № 7, Екатеринбург: УО РАН, 15-16.

2. Р.Ауман, Л.Шепли (1977) Значения для неатомических игр, М.: Мир.

3. В.3.Беленький, А.Д.Сластников (1994) Равновесная динамика замкнутого рынка монопродуктовых производств, Экономика и математические методы, 30, 4, 112-128.

4. О.Н.Бондарева (1963) Некоторые приложения методов линейного программирования к теории кооперативных игр, Проблемы кибернетики, 10, 119 -139 .

5. В.А.Васильев (1975) Вектор Шепли для игр ограниченной полиномиальной вариации, Труды Института математики СО АН СССР. Оптимизация, вып. 17.

6. В.А.Васильев (1981) Об одном классе дележей в кооперативных играх, Доклады АН СССР, т.256, №2.

7. В.А.Васильев (1984) Модели экономического обмена и кооперативные игры, Новосибирск: Изд-во НГУ.

8. Э.Й.Вилкас (1990) Оптимальность в играх и решениях, М.: Наука.

9. В.Б.Вилков (1974) Л/-ядро в кооперативных играх без побочных платежей, Журнал вычислительной математики и математической физики, 14, №5, 1327-1331.

10. Н.Н.Воробьев (1984) Основы теории игр: бескоалиционные игры. М.:Наука.

11. Н.Н.Воробьев (1985) Теория игр для экономистов-кибернетиков. М.:Наука.

12. В.Гильдебранд (1986) Ядро и равновесие в большой экономике, М.:Наука.

13. В.И.Данилов (1981) Экономическое равновесие и обобщенные цены, В кн.: Исследования по стохастической теории управления и математической экономике, М.: ЦЭМИ АН СССР, 25 42.

14. В.И.Данилов, А.И.Сотсков (1983) Конкурентные равновесия в коалиционных играх, В кн.: Категории общественной полезности: вопросы методологии и структуризации, М.: ЦЭМИ АН СССР, 147 -167.

15. В.И.Данилов, А.И.Сотсков (1987) Уравновешенные состояния и теоремы о ядре, Оптимизация, 41 (58), Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 36 -49.

16. В.Ф.Демьянов (1980) О связи субдифференциала Кларка с квазидифференциалом, Вестник Ленинградского Университета, № 13, 9-19.

17. В.Ф.Демьянов, A.M.Рубинов (1980) О квазидифференцируемых функционалах, ДАН СССР, т. 250, № 1, 21 25.

18. В.Ф.Демьянов, A.M.Рубинов (1990) Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление, М.: Наука.

19. Г.Н.Дюбин (1988) О существовании значения Шепли, Оптимизация, 43 (60)6 102-118.

20. Г.Н.Дюбин, В.Г.Суздаль (1981) Введение в прикладную теорию игр, М.:Наука.

21. Ф.Кларк (1988) Оптимизация и негладкий анализ, М.: Наука.

22. Т.Е.Кулаковская (1974) Ядро-решение для игр в форме функции разбиения, В кн. Исследование операций и статистическое моделирование, Вып.2, Л., 67 74.

23. С.С.Кутателадзе, A.M.Рубинов (1976) Двойственность Минковского и ее приложения, Новосибирск: Наука.

24. К.Лейхтвейс (1980) Выпуклые множества, М.: Наука.

25. В.Л.Макаров (1997) Государство в российской модели общества, Труды семинара "Неизвестная экономика", Отделение экономики РАН, М.: ЦЭМИ РАН.

26. В.Л.Макаров, A.M.Рубинов (1973) Математическая теория экономической динамики и равновесия, М.: Наука.

27. О.Р.Меньшикова (1976) О вычислении обобщенного N-ядра, Журнал вычислительной математики и математической физики, 16, 1121 -1135.

28. В.В.Морозов (1973) Об одном подходе к кооперативным играм, Журнал вычислительной математики и математической физики, 13, 781 787.

29. Н.И.Наумова (1971) О ядре со счетным числом игроков, Доклады АН СССР, т. 197, № 1, 4-42.

30. Ж.-П.Обен (1988) Нелинейный анализ и его экономические приложения, М.: Мир.

31. Л.А.Петросян, Н.Н.Данилов (1985) Кооперативные дифференциальные игры, Томск: Из-во Томского университета.

32. С.Л.Печерский (1978а) О значении Шепли для игр без побочных платежей, Математические методы в социальных науках, 10, Вильнюс, 43 62.

33. С.Л.Печерский (1978b) О нелинейных аналогах значения Шепли для игр с априорными союзами, Тезисы докладов III Всесоюзной конференции по исследованию операций, Горький, 349 350.

34. С.Л.Печерский (1979) Об одном арбитражном решении, Математические методы в социальных науках, 12, Вильнюс, 88 -107.

35. С.Л.Печерский (1980) Реализуемость принципов оптимальности в играх без побочных платежей, Дисс. на соиск. ученой степ. канд. физ.-мат. наук, ИСЭП АН СССР, Ленинград.

36. С.Л.Печерский (1982) Линейное значение для арбитражных схем, Математические методы в социальных науках, 15, Вильнюс, 37 54.

37. С.Л.Печерский (1984) Задачи многокритериальной оптимизации и п-ядро в кооперативных играх без побочных платежей, Тезисы докл. II Всесоюзн. Школы-семинара по оптимизации и ее прилож. к экономике, Ашхабад.

38. С.Л.Печерский (1989) Квазидифференцируемые кооперативные игры, В кн. Некоторые вопросы анализа и моделирования народнохозяйственных процессов, М.: ЦЭМИ АН СССР, 98 -113.

39. С.Л.Печерский (1990) Некоторые применения методов негладкого анализа: анализ кооперативных игр. В кн.: В.Ф.Демьянов, А.М.Рубинов Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление, М.: Наука, 382 394.

40. С.Л.Печерский (1998) О теоретико-игровых методах моделирования в экономике, Препринт, ЕУСПб.

41. С.Л.Печерский, А.М.Рубинов (1986) Динамическая Парето оптимальность, суперлинейные многозначные отображения и кооперативные игры, Математические методы в социальных науках, 19, Вильнюс, 56-71.

42. С.Л.Печерский, А.И.Соболев (1983) Проблема оптимального распределения в социально-экономических задачах и кооперативные игры, Л.: Наука.

43. С.Л.Печерский, А.И.Соболев (1986) Многозначные решения кооперативных игр: аксиоматический подход, Математические методы в социальных науках, 19, Вильнюс, 72 86.

44. В.М.Полтерович (1997) Кризис экономической теории, Труды семинара "Неизвестная экономика", Отделение экономики РАН, М.: ЦЭМИ РАН.

45. Е.Посицельский (1973) Характеризация точки Штейнера, Математические заметки, 14, № 2, 243 247.

46. И.Розенмюллер (1974) Кооперативные игры и рынки, М.: Мир.

47. Р.Рокафеллар (1973) Выпуклый анализ, М.: Мир.

48. А.М.Рубинов (1980) Суперлинейные многозначные отображения и их приложения к экономико-математическим задачам, Л.: Наука.

49. А.И.Соболев (1975) Характеризации принципов оптимальности в кооперативных играх посредством функциональных уравнений, Математические методы в социальных науках, 6, Вильнюс, 94 -151.

50. А.И.Соболев (1976) Нелинейные аналоги аксиоматики Шепли, В кн.: Современные направления теории игр, Вильнюс: Мокслас, 119 -126.

51. А.И.Соболев (1978) Нелинейные аналоги функции Шепли, В кн.: Теоретико-игровые вопросы принятия решений, Л.: Наука, 9-18.

52. А.И.Сотсков (1985) Игры со смешанным участием игроков в коалициях, В кн. : Проблема равновесия и принятия экономических решений, М.: ЦЭМИ АН СССР, 52 58.

53. А.И.Сотсков (1987) Принцип оптимальности для равновесных распределений производства и потребления, Экономика и математические методы, XXIII, 2, 300-312.

54. А.И.Сотсков (1994) Оптимизация траекторий конкурентного равновесия с помощью финансового механизма, Экономика и математические методы, 30, 4, 151 -154.

55. И.Розенмюллер (1974) Кооперативные игры и рынки, М.: Мир.

56. С.В.Чистяков (1993) Динамический аспект решения классических кооперативных игр, ДАН, т. 330, № 6.

57. И.Экланд (1983) Элементы математической экономики, М.: Мир.

58. Е.Б.Яновская (1985) Аксиоматическая характеризация максиминного и лексикографически максиминного решения арбитражных схем, Автоматика и телемеханика, № 9, 128 -136.

59. E.Aragones (1995) A Derivation of the Money Rawlsian Solution, Social Choice and Welfare, 12, 267 276.

60. K.Arrow (1951) Social Choice and Individual Values, NY: Wiley.

61. K.Arrow, G.Debreu (1954) Existence of Equilibrium for a Competitive Economy, Econometreica, v.25, 265 290.

62. J.-P. Aubin (1979) Mathematical Methods of Game and Economic Theory, Amsterdam: North-Holland.

63. J.-P.Aubin (1981a) Cooperative Fuzzy Games, Mathematics of Operations Research, v.6, 1 -13.

64. J.-P.Aubin (1981b) Locally Lipschitz Cooperative Games, Journal of Math. Econ. 8, 241 262.

65. R.J.Aumann (1985) An Axiomatization of the Non-Tranferable Utility Value, Econometrica, 53, n.3, 667 678.

66. R.J.Aumann (1989) Lectures on Game Theory, San Francisco: WestviewPress.

67. R.J.Aumann (1997) Introductory Remarks, In Cooperation: Game-Theoretic Approaches", (S.Hart, A.Mas-Colell eds.) NATO ASI Series, Series F: Computer and Systems Sciences, Vol. 155, Springer, 5 8.

68. R.J.Aumann, M. Maschler (1985), Game theoretic analysis of a bankruptcy problem from the Talmud, Journal of Economic Theory, 36, 195-213.

69. R.J.Aumann, L.S.Shapley (1974) Values for Non-Atomic Games, Princeton University Press.

70. J.Banzhaf (1965) Weighted Voting Doesn't Work: a Mathematical Analysis, Rutgers Law Review, 317 343.

71. E.Baudier (1973) Competitive Equilibrium in a Game, Econometrica, 41, 1049-1068.

72. W.Baumol, J.Panzar, R.Willig (1982) Contestable Markets and the Theory of Industry, NY: Harcourt Brace Jovanovich.

73. A.Beja, I.Gilboa (1990) Values for Two-Stage Games: Another View of the Shapley Axioms, International Journal of Game Theory, 19, 17 31.

74. J.Bertrand (1883) Théorie mathématique de la richesse sociale. Journal des Savants, 499 508.

75. L.J.Billera (1972) "A Note on a Kernel and the Core for Games Without Side Payments". Technical Report 152, Dept. of Operations Research, Cornell University, Ithaca, New York.

76. A.Billot (1992) Economic Theory of Fuzzy Equilibria, Lecture Notes in Econ. and Math. Syst, v. 373.

77. Ch.Bladen (1970) Alliance and Integration. In: Alliance in International Politics, Friedman JR, Bladen Ch, Rosen S.(ed), Boston.

78. V.Boehm (1974) The Core of an Economy with Production, Review of Economic Studies, 41, 429 436.

79. O.N.Bondareva (1989) The Nucleolus of a Game Without Side Payment, Working Paper n. 176, Institute of Mathematical Economics, Bielefeld University, Germany.

80. R.Braithwaite (1955) Theory of Games as a Tool for Moral Philosopher, Cambridge: Cambridge University Press.

81. P.Champsaur (1975) How to Share the Cost of a Public Good? International journal of Game Theory, 4, 113 -129.

82. F.Christensen, M.Lind, J.Tind (1996) On the Nucleolus of NTU-Games Defined by Multiple Objective Linear Programs, Mathematical Methods of Operations Research, 43, 3, 337-352.

83. Y.Chun (1988) The proportional solution for rights problems, Mathematical Social Sciences, 15, 231 246.

84. Y.Chun, W.Thomson (1990), A consistent solution to claims problems, University of Rochester, mimeo.

85. R.Cornes, T.Sandler (1984) Easy Riders, Joint Production, and Public Goods, The Economic Journal, 94, 580 598.

86. R.Cornes, T.Sandler (1986) The Theory of Externalities, Public Goods and Club Goods, Cambridge: Cambridge University Press.

87. B.Cornet (1975) Prolongement de Jeux avec Paiements Latéraux at Jeux Flous. Cahiers de Mathématiques de la Decision, University Paris Dauphin.

88. A.Cournot (1838) Recherches sur les Principles Mathematicues de la Théorie des Richesses, Paris.

89. N.Dagan (1992) Consistency and the Walrasian Allocations Correspondence", Hebrew University of Jerusalem mimeo, September 1992.

90. N.Dagan (1996) A Note on Thomson's Characterizations of the Uniform Rule, Journal of Economic Theory, 96, 255 261.

91. N.Dagan, O.Volij (1994) Bilateral comparisons and consistent fair division rules in the context of bankruptcy problems, Hebrew University of Jerusalem, mimeo, February 1994.

92. V.I.Danilov, G.A.Koshevoy (1997) Cores of Cooperative Games, Superdifferentials of Functions and The Minkowski Difference of Sets, The Eighth Stony Brook International Conference on Game Theory, Book of abstracts, Stony Brook, NY, 47.

93. M.Davis, M.Maschler (1965) The Kernel of a Cooperative Game, Naval Research Logistics Quarterly, 12, 223 259.

94. G.Debreu (1959) Theory of Value, NY: Wiley.

95. A.de Swan (1973) Coalition Theories and Cabinet Formations, Amsterdam: North-Holland.

96. G.Diubin (1992) The ^-additivization, asymptotic /¿-additivization and measures connected with set functions, Institut des Hautes Etudes Scientificues, IHES/M/92/91.

97. A.Dixit, B.Nalebuff (1991) Thinking Strategically: The Competitive Edge in Business, Politics and Everyday Life, NY: Norton.

98. I.Dragan (1997) Some Recursive Definitions of the Shapley Value and Other Linear Values of Coopearive TU Games, Technical Report TR #328, October, The University of Texas at Arlington, Arlington.

99. T.S.Driessen (1985) Contributions to the Theory of Cooperative Games: the r-Value and /c-Convex Games, Ph.D. Thesis, Catholic University, Nijmegen, The Netherlands.

100. T.Driessen (1988) Cooperative Games, Solutions and Applications, Dorderecht: Kluwer Academic Publishers.

101. T.Driessen, T.Radzik (1996) An Axiomatic Approach to Probabilistic Efficient Values for Cooperative Games, Mimeo, University of Twente, The Netherlands.

102. T.Driessen, T.Radzik (1997) Consistency a la Hart and Mas-Colell for efficient, linear and Symmetric Values of TU-Games, Mimeo, University of Twente, The Netherlands.

103. T.Driessen, T.Radzik, R.Wanink (1996) Potential adn Consistency: a Uniform Approach to Values for TU-Games, Mimeo, University of Twente, The Netherlands.

104. P.Dubey (1975) On the Uniqueness of the Shapley Value, International Journal of Game Theory, 4, 131 -139.

105. P.Dubey (1980) Asymptotic Semivalues and a Short Proof of Kannai's Theorem, Mathematics of Operations Research, 5, 267 270.

106. P.Dubey, A.Neyman, R.Weber (1981) Value Theory without Efficiency, Mathematics of Operations Research, 6, 122 -128.

107. F.Edgeworth (1897) La Theoria pura del monopolio. Giornale degli Economisti, 13-31.

108. M.FIeurbaey (1995) The Requisites of Equal Opportunity, in Social Choice, Welfare, and Ethics, (W. Barnett, H. Moulin, M. Salles, and N. Schofield, eds), Cambridge University Press, 37 53.

109. M.FIeurbaey F. Maniquet (1994) Fair Allocation With Unequal Production Skills: the Solidarity Approach to Compensation, Universite de Cergy-Pontoise mimeo, December 1994.

110. E.Friedman, H.Moulin (1995) Three Methods to Share Joint Costs (or Surplus), Mimeo, Duke University.

111. B.Fudenberg, J.Tirole (1993) Game Theory. Cambridge, Massachusetts: The MIT Press.

112. L.Gevers (1986) Walrasian Social Choice: Some Simple Axiomatic Approaches, In: Social Choice and Public Decision Making: Essays in homor of K.Arrow, (W.Keller et al eds.), v.1, Cambridge University Press.

113. D.Gillies (1959) Solution to General Non-Zero Sum Games, Annals of Mathematical Studies, 40, Princeton University Press, 47 85.

114. B.M.Glower at al (1996) Complete Characteritarizations of Global Optimality, SI AM J. Optimization, 6, n.2, 362 372.

115. V.Gorokhovik (1986) ¿г-quasidifferentiability of Real-Valued Functions and Optimality Conditions in Extremal Problems, Math. Programming Study, 29, 203 218.

116. J.Green (1983) A Theory of Bargaining with Monetary Transfers, HIER Discussion Paper, n. 966.

117. J.Green (1991) Compensatory Transfers in Group Decision Problems, Working Paper, Dept. of Economics, Harvard University, March 1991.

118. J.Greenberg (1997) Situation Approach to Cooperation, In Cooperation: Game-Theoretic Approaches", (S.Hart, A.Mas-Colell eds.) NATO ASI Series, Series F: Computer and Systems Sciences, Vol. 155, Springer, 143 -168.

119. F.Gul (1989) Bargaining Foundations of Shapley value, Econometrica, 57,81.95.

120. J.C.Harsanyi (1963) A Simplified Bargaining Model for /V-person cooperative Games, International Economic Review, 4, 194 -220.

121. S.Hart (1985) An Axiomatization of Harsanyi's Non-Transferable Utility Solution, Econometrica, 53, n.6, 1295 -1314.

122. S.Hart (1997) Some Unsolved Problems, Report on the 8-th International Conference on Game Theory, State University of New York at Stony Brook, July 1997.

123. S.Hart, A.Mas-Colell (1989) Potential, Value and Consistency, Econometrica, 57, 589 614.

124. S.Hart, A.Mas-Colell (1995) Bargaining and Value, Hebrew University of Jerusalem, Discussion Paper n.66, January 1995.

125. C.Herrero, M.Maschler, A.Villar (1995) Personal rights and collective ownership: the rights-egalitarian solution", University of Alicante, mimeo.

126. J.-B.Hiriart-Urruty, C.Lemerechal (1993) Convex Analysis and Minimization Algorithms, v.1, Berlin, Heidelberg, NY: Springer-Verlag.

127. T.lchiishi (1993) The Cooperative Nature of the Firm, Cambridge UniversityPress.

128. D.lsraelson (1980) Collectives, Communes and Incentives, Journal of Comparative Economics, 4, 99 -124.

129. E.Kalai (1972) Cooperative Non-Sidepayment Games: Extensions Of Sidepayment Game Solution, metrics, and representative functions, Ph.D. Thesis, Cornell University, Ithaca, New York

130. E.Kalai (1973) Excess Functions, Nucleolus, Kernel and s-Core of Non-Sidepayments Cooperative Games, Technical Report n.12, Department of Statistics, Tel-Aviv University.

131. E.Kalai (1975) Excess Functions for Cooperative Games Without Sidepayments, SIAM J.Appl. Math., 29, n 1, 60 -71.

132. E.Kalai (1977) Non-Symmetric Nash Solutions and Replication of Two-Person Bargaining, International Journal of Game Theory, 6, 129 -133.

133. E.Kalai, D.Samet (1984) Monotonie Solutions to General Cooperative Games, Discussion Paper, n.567, The Center for Mathematical Studies in Economics and Management Science, Northwestern University.

134. H.Keiding (1986) An Axiomatization of the Core of a Cooperative Game, Economics Letters, 20, 111 -115.

135. R. de Koster, H.Peters, S.Tijs, P.Wakker (1983) Risk Sensitivity, Independence of Irrelevant Alternatives and Continuity of Bargaining Solutions, Mathematical Social Sciences, 4, 295 300.

136. E.Kohlberg (1971) Oh the Nuclelus of a Characteristic Function Game, SIAM Journal of Applied Mathematics, 20, n.1, 62-66.

137. V.Kolpin (1994) Coalitional Equitable Cost Sharing of Multi-Service Facilities, University of Oregon, mimeo, October 1994.

138. D.Kreps (1990) Game Theory and Economic Modelling, Oxford: ClarendonPress.

139. T.Lensberg (1988) Stability and the Nash Solution, Journal of Economic Theory, 45, 330-341.

140. F.Maniquet (1996) Horizontal Equity and Stability When the Number of Agents is Variable in the Fair Division Problem, Economics Letters, 50, 85 90.

141. M.Maschler (1992) The Bargaining Set, Kernel, and Nucleolus, Chapter 18 in Handbook of Game Theory, (R. Aurnann and S. Hart, eds), Elsevier, 591 -667.

142. M.Maschler, G.Owen (1989) "The Consistent Shapley Value for Hyperplane games", International Journal of Game Theory, 18, 389-407.

143. M.Machsler, G.Owen (1992) The consistent Shapley value for games without side-payments, in Rational Interactions (R. Selten, ed), Springer-Verlag, 5-12.

144. M.Maschler, B.Peleg, (1966) A Characterization, Existence Proof and Dimensiojn Bounds for the Kernel of a Game, Pacific Journal of Mathematics, 18, 289 -328.

145. M.Maschler, B.Peleg, (1967) The Structure of the Kernel of a Cooperative Game, SI AM Journal for Applied Mathematics, 15, 569-604.

146. M.Maschler, B.Peleg, L.Shapley (1972) The Kernel and the Bargaining Set for Convex Games, International Journal of Game Theory, 1, 73 93.

147. M.Maschler, B.Peleg, L.Shapley (1979) Geometric Properties of the Kernel, Nucleolus and Related Solution Concepts, Mathematics of Operations. Research, 4, 303 338.

148. M.Maschler, M.Perles (1981) The Super-Additive Solution for the Nash bargaining Game, International Journal of Game Theory, 10, n. 3/4, 163 -193.

149. A.Mas-Colell (1980) Efficiency and Decentralization in the Pure Theory of Public Goods, The Quarterly J. of Economics, XCIV, 4, 625-641.

150. A.Mas-Colell (1997) Bargaining Games, In Cooperation: Game-Theoretic Approaches", (S.Hart, A.Mas-Colell eds.) NATO ASI Series, Series F: Computer and Systems Sciences, Vol. 155, Springer, 69 90.

151. A.Mas-Colell, J.Silvestre (1989) Cost Share Equilibria: A Lindahlian Approach, J. of Economic Theory, 47, 239-256.

152. A.Mas-Colell, J.Silvestre (1991) A Note on Cost-Share Equilibrium and Owner-Consumers, J. of Economic Theory, 54, 204-214.

153. A.Mas-Colell, M.Whinston, J.Green (1995) Microeconomic Theory. Oxford University Press.

154. J.Maynard Smith (1974) The Theory of Games and Evolution in Animal Conflicts, Journal of Theoretical Biology, 47, 209 221.

155. A.Mclntyre (1981) AfterVirtue: A Study In Moral Theory, London.

156. A.Mclntyre (1988) Whose Justice? Which Rationality? Notre Dame, Indiana.

157. L.W.McKenzie (1954) On Equilibrium in Graham's Model of World Trade and Other Competitive Systems, Econometrica, v.22, n.1.

158. R.McLean, W.Sharkey (1992) Alternative Methods for Cost Allocation in Stochastic Service Systems, Mimeo, Rutgers University.

159. R.P.McLean, A.Postlewaite (1989) Excess Functions and Nucleolus Allocation of Pure Exchange Economies, Games and Economic Behavior, 1, 131-143.

160. O.Menshikova, I.Menshikov (1983) The Generalizad Nucleolus as a Solution of a Cost Allocation Problem, 11 ASA, Laxenbuirg, Austria.

161. W.J.Meyer (1970) Characterization of the Steiner Point, Pacific Journal of Mathematics, 35, 717 725.

162. H.Moulin (1983) The Strategy of Social Choice. Advanced Textbooks in Economics, n.18, Amsterdam: North-Holland.

163. H.Moulin (1985) The separability axiom and equal sharing methods, Journal of Economic Theory, 36, 120 148.

164. H.Moulin (1985a), Egalitarianism and utilitarianism in quasi-linear bargaining, Econometrica, 53, 49-67.

165. H.Moulin (1986) Game Theory for Social Sciences, NY University Press.

166. H.Moulin (1987) A Core Selection for Pricing a single output monopoly, Rand Journal of Economics, 18(3), 397-407.

167. H.Moulin (1988) Axioms for Cooperative Decision Mating, Cambridge University Press. (Русский перевод: Э.Мулен (1991) Кооперативное принятие решений: аксиомы и модели, М.: Мир).

168. H.Moulin (1995) On Additive Methods to Share Joint Costs, Japanese Economic Review, 46, 4, 303 332.

169. H.Moulin (1996) Incremental Cost Sharing: Characterization by Coalition Strategy-Proofness, Discussion Paper, Duke University, Dept. of Economics, March 1996.

170. H.Moulin (1995) Cooperative Microeconomics: a Game Theoretic Introduction, Princeton University Press and Prentice-Hall.

171. H.Moulin, S. Shenker (1994) Average cost pricing versus serial cost sharing: an axiomatic comparison, Journal of Economic Theory, 64, 178-201.

172. R.Myerson (1981) Utilitarianism, Egalitarianism and the Timing Effect in Social Choice Problem, Econometrica, 49, n. 2, 883 897.

173. R.Myerson (1991) Game Theory: Analysis of Conflict, Harvard UniversityPress.

174. R.Nagahisa (1991) A Local Independence Condition for Characterization of Walras Allocation Rule, Journal of Economic Theory, 54, 106 -123.

175. M.Nakayama (1983) A Note on a Generalization of the Nucleolus to Games Without Sidepayments, International Journal of Game Theory, 12, 115-122.

176. J.F.Nash (1950) The Bargaining Problem, Econometrica, 28, 155 -162.

177. J. von Neumann, O.Morgenstern (1944) Theory of Games and Economic Behavior, Princeton University Press. (Русский перевод: Дж. фон Нейман, О.Моргенштерн (1970) Теория игр и экономическое поведение, М.: Наука).

178. A.Neyman (1977) Continuous Values Are Diagonal, Mathematics of Operations Research, 2, 338 342.

179. P.Ordeshook (ed.) (1978) Game Theory and Political Theory, NY.

180. P.Ordeshook (1986) Game Theory and Political Theory: An Introduction, Cambridge University Press.

181. G.Owen (1972) Multilinear Extension of Games, Management Sciences, 18, 64-79.

182. G.Owen (1975) Multilinear Extensions and the Banzhaf value, Naval Research Logistics Quarterly, 22, n.4, 741 750.

183. G.Owen (1977) Values of Games with apriori Unions, Lectures Notes of Economic and Math. Systems, v. 141, 76 88.

184. S.Pechersky (1984) Positively Homogeneous Quasidifferentiable Functions and their Applications in Game Theory, Collaborative Paper, CP-84-26, NASA, Laxenbuirg, Austria.

185. S.Pechersky (1986) Positively Homogeneous Quasidifferentiable Functions and their Applications in Cooperative Game Theory, Math. Programming Study, 29, 135-144.

186. S.Pechersky (1994) Note on the Cooperative Approach to Analysis of Alliance Activity, Working Paper. Naval Postgraduate School, Dept. of Systems Management, CA, USA, March.

187. S.Pechersky (1994a) Note on the Core, Anti-Prenucleolus, Anti-Prekernel and Cost Allocation Problem, Working Paper. Naval Postgraduate School, Dept. of Systems Management, CA, USA, April.

188. S.Pechersky (1996a) Additive and Superadditive Solutions for Bargaining and Cooperative Games, Book of abstracts, Game Theory and Economics: N.N.Vorob'ev Memorial Conference, St.Petersburg, 52.

189. S.Pechersky (1996b) Note on Two Excess Functions for Cooperative Games Withjout Side Payments, The Seventh Stony Brook International Conference on Game Theory, Book of abstracts, Stony Brook, NY, 68.

190. S.Pechersky (1997) On Gauge Excess Function for NTU-Games: Axiomatic Approach, The Eighth Stony Brook International Conference on Game Theory, Book of abstracts, Stony Brook, NY, 70.

191. S.Pechersky (1998) Note on the Core and Quasicore of Cooperative Games, In Game Theory and Applications, (L.Petrosjan, V.Mazalov eds.), v. IV, NY, Nova Science Publishers, (принято к печати).

192. S.Pechersky (1998a) On "Gauge" Excess Function for NTU-Games: Axiomatic Approach, Games and Economic Behavior, (принято к печати).

193. S.Pechersky, A.Rubinov (1993) Solution Concept for Generalized Multistage Games Without Side Payments, J. of Math. Economics, 25, 403 420.

194. S.Pechersky, A.Sobolev (1995) Set-Valued Nonlinear Analogues of the Shapley Value, International J. of Game Theory, 24, 57 78.

195. B.Peleg (1985) An Axiomatization of the Core of Cooperative Games Without Side-Payments, Journal of Mathematical Economics, 14, 203 214.

196. B.Peleg (1986) On the Reduced Game Property and its Converse, International Journal of Game Theory, 15, 187 200.

197. B.Peleg (1992) Axiomatizations of the Core, Chapter 13 in Handbook of Game Theory, (R. Aurnann and S. Hart, eds), Elsevier, 398 -412.

198. B.Peleg, S.Tijs (1996) The Consistency Principle for Games in Strategic Form, International Journal of Game Theory, 25, 13 34.

199. H.Peters (1985) A Note on Additive Utility and Bargaining, Economics Letters, 17, 219-222.

200. H.Peters (1986) Simultaneity of Issues and Additivity in Bargaining, Econometrica, 54, n.1, 153-169.

201. R.Putnam (1993) Making Democracy Work: Civic Traditions in Modern Italy, Princeton University Press. (Русский перевод: Р.Патнэм (1996) Чтобы демократия сработала: Гоажданские традиции в современной Италии, М /.Ad Marginem).

202. H.Radstroem Н (1952) An Embedding Theorem for Spaces of Convex Sets, Proceedings of American Mathematical Society, 3, 165 -169.

203. E.Rasmussen (1989) Games and Information: An Introduction to Game Theory. Oxford: Basil Blackwell.

204. J.Rawls (1971) A Theory of Justice, Harvard University Press. (Русский перевод: Дж. Ролз (1995) Теория справедливости, Новосибирск: Изд-во НГУ)

205. W.Riker (1962) The Theory of Political Coalitions, New Haven.

206. W.Riker, P.Oredeshook (1973) Introduction to Positive Political Theory, New Jersey: Prentice-Hall.

207. J.Roemer (1986a) The Mismarriage of Bargaining Theory and Distributive Justice, Ethics, 97, 88 110.

208. J.Roemer (1986b) Equality of Resources Implies Equality of Welfare, Quarterly Journal of Economics, 101, 751 -784.

209. J.Rosenmueller (1977) Extreme Games and Their Solutions, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, v. 145.

210. E.C.Rosenthal (1990) Monotonicity of the Core and Value in Dynamic Cooperative Games, International Journal of Game Theory, 19, 35 -57.

211. A. Roth (1979) Axiomatic Models of Bargaining, Lecture Notes in Economic and Mathemathc Systems, vol. 170, Springer Verlag.

212. A.Rubinov, A.Yagubov (1986) "The Space of Star-Shaped Sets and its Applications in Nonsmooth Optimization", Mathematical Programming Study, 29, 176202.

213. H.Scarf (1967) The Core of an N person game, Econometrica, 35, 50 -69.

214. R.Schneider (1993) Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory, Cambridge University Press.

215. A.Sen (1970) Collective Choice and Social Welfare, San Francisco: HoldenDay.

216. A.Sen, B.Williams (eds.) (1982) Utilitarianism and Beyond, Cambridge University Press.

217. L.Shapley (1953) A value for n-person games, in Contributions to the Theory of Games II (Annals of Math. Studies 28), ed. by H.W. Kuhn and A.W. Tucker, Princeton: Princeton University Press, 307 317.

218. L.Shapley (1967) On Balanced Sets and Cores, Naval Research Logistics Quarterly, 14, 453-460.

219. L.Shapley (1969) Utility Comparision and the Theory of Games, La Decision: Agrégation et dinamique des orders da preference, Paris, 251 264.

220. L.Shapley (1971) Cores of Convex Games, International Journal of Game Theory, 1, n.1, 11 26.

221. L.Shapley (1973) On Balanced Games without side payments, Mathematical Programming: Proc. Of Advances Seminar, Madison, 1972, 261 -290.

222. L.Shapley, M.Shubik (1969) On Market Games, J. Econ. Theory, 1, 9 25.

223. W.Sharkey (1982) Cooperative Games with Large Cores, International J. of Game Theory, 11, 175 -182.

224. M.Shubik (1984) Game Theory in the Social Sciences, Princeton UniversityPress

225. T.Sonmez (1994) Consistency, Monotonicity and the Uniform Rule", Economics Letters, 46, 229 235.

226. P.Straffin, J.Heaney (1981) Game Theory and the Tennessee Valley Authority, International Journal of Game Theory, 10, 35 43.

227. K.Tadenuma, W. Thomson (1991) No-envy and Consistency in Economies with Indivisible Goods, Econometrica, 59, 1755 1767.

228. K.Tadenuma, W. Thomson (1993) The Fair Allocation of an Indivisible Good when Monetary Compensations are Possible, Mathematical Social Sciences, 25, 117 -132.

229. K.Tadenuma, W. Thomson (1995) Refinements of the No-envy Solution in Economies With Indivisible Goods, 39, 189 206.

230. Tauman (1988) The Aurnann-Shapley prices: a survey, in The Shapley value: Essays in Honor of Lloyd Shapley, (A.E. Roth, ed), Cambridge University Press, 279-304.

231. J.Tirole (1988) The Theory of Industrial Organization. Cambridge: The MITPress.

232. W.Thomson (1988) A study of choice correspondences in economies with a variable number of agents, Journal of Economic Theory, 46, 247 259.

233. W.Thomson (1994) Consistent solutions to the problem of fair division when preferences are single-peaked, Journal of Economic Theory, 63, 219 245.

234. W.Thomson (1995) The axiomatic analysis of bankruptcy and taxation problems, University of Rochester, Discussion Paper.

235. W.Thomson, T.Lensberg (1992) The Theory of Bargaining with a Variable Number of Agents, Cambridge University Press.

236. Ad.M.A.Van Deemen (1997) Coalition Formation and Social Choice, Dorderecht: Kluwer Academic Publishers.

237. A.Van den Nouweland, B.Peleg, S.Tijs (1996) Axiomatization of the Walras Correspondence for Generalized Economies, Journal of Economic Theory, 25, n.3, 355 -372.

238. A.Van den Nouweland, S.Tijs, M.Wooders (1995) Axiomatizations of Lindhal and Ratio Equilibria in Public Good Economies, Mimeo, Department of Econometrics, Tilburg University.

239. V.A.Vasil'ev, S.Weber, H.Wiesmeth (1995) Core Equilibrium with Congested Public Goods, Economic Theory, 6, n.3, 373 387.

240. R.Vohra (1997) Coalitional Non-Cooperative Approaches to Cooperation, In Cooperation: Game-Theoretic Approaches", (S.Hart, A.Mas-Colell eds.) NATO ASI Series, Series F: Computer and Systems Sciences, Vol. 155, Springer, 127 -142.

241. R.Weber (1988) Probabilistic Values for Games, In A.E.Roth (ed.), The Shapley Value (Essays in Honor of Lloyd S.Shapley), 101 119, Cambridge Univ. Press, Cambridge, U.K.

242. S.Weber, H.Wiesmeth (1991) The Equivalence of Core and Cost Share Equilibria in an Economy with a Public Good, J. of Economic Theory, 54, 180-197.

243. E.Yanovskaya (1997) Consistency Properties of the Nontransferable Cooperative Game Solution, In: Game Theoretical Applications to Economics and Operation Research, T.Parthasarathy at al. (eds), Kluwer Academic Publishers, 67 -84.

244. E.Yanovskaya (1997a) Set-Valued Analogues of the Prenucleolus, In: Game Theory and Applications, v.3, (L.Petrosjan, V.Mazalov eds.), NY, Nova Science Publishers, 161 175.

245. P.Young (1986) Taxation and bankruptcy, University of Maryland, Mimeo, July 1986.

246. P.Young (1987) On dividing an amount according to individual claims or liabilities, Mathematics of Operations Research, 12, 398-414.

247. P.Young (1988) Distributive justice in taxation, Journal of Economic Theory, 48, 321 335.

248. P.Young (1994) Equity: how groups divide goods and burdens among their members, Princeton University Press, 1994.

249. L.Zadeh (1965) Fuzzy Sets, Information and Control, 8, 338 353.