Акустооптические системы с амплитудной и частотной обратной связью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Казарьян, Александр Викторович

• Казарьян, Александр Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Казарьян, Александр Викторович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 БИСТАБИЛЬНОСТЬ В ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ.

§1.1. Оптическая бистабильность: Современное состояние проблемы.

1.1.1. Основные понятия и определения.

1.1.2. Классификация оптических бистабилъных систем.

1.1.3. Обзор публикаций по оптической бистабилъности.

§1.2. Акустооптический эффект: Основные закономерности.

1.2.1. Физические основы акустооптического взаимодействия.

1.2.2. Акустооптическое взаимодействие плоских волн.

1.2.3. Особенности анизотропной дифракции Брэгга.

1.2.4. Дифракция световых волн сложной пространственной структуры.

1.2.5. Основные характеристики акустооптических дифракционных дефлекторов.

§1.3. Структурная схема акустооптической системы с обратной связью.

Постановка частных задач.

ГЛАВА 2 АКУСТООПТИЧЕКАЯ СИСТЕМА С АМПЛИТУДНОЙ

ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ.

§2.1. Функциональная схема акустооптической системы с амплитудной обратной связью.

§2.2. Математическое описание акустооптической системы с амплитудной обратной связью в статическом приближении.

2.2.1. Математическое описание акустооптического взаимодействия.

2.2.2. Математическая модель канала обратной связи.

Основное уравнение системы.

§2.3. Теоретическое исследование акустооптической системы с амплитудной обратной связью в статическом приближении.

2.3.1. Основные характеристики системы. Условия бистабилъности.

2.3.2. Режимы оптической и электрической бистабилъности.

2.3.3. Режим расстроечной бистабилъности.

§2.4. Результаты эксперимента.

2.4.1. Описание экспериментальной установки.

2.4.2. Исследование электрической бистабилъности.

2.4.3. Исследование оптической бистабилъности.

2.4.4. Исследование расстроечной бистабилъности.

§2.5. Математическое описание акустооптической системы с амплитудной обратной связью с учетом динамических эффектов.

2.5.1. Дифракция света на амплитудно-модулированной акустической волне в режиме сильного акустооптического взаимодействия.

2.5.2. Динамическая модель акустооптической системы с амплитудной обратной связью.

§2.6. Исследование динамических эффектов в акустооптической системе с амплитудной обратной связью.

2.6.1. Динамика системы в состоянии, близком к равновесному. Условия устойчивости системы.

2.6.2. Иследование процессов возбуждения колебаний в бистабилъной акустооптической системе.

§2.7. Режимы автоматического регулирования в акустооптической системе с амплитудной обратной связью.

2.7.1. Реэюим стабилизации мощности оптического излучения.

2.7.2. Снижение неравномерности амплитудно-частотной характеристики акустооптического дефлектора.

ГЛАВА 3 АКУСТООПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА С ЧАСТОТНОЙ

ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ.

§3.1. Функциональная схема акустооптической системы с частотной обратной связью.

§3.2. Математическая модель системы. Основное уравнение.

3.2.1. Математическое описание канала прямого преобразования.

3.2.2. Математическое описание канала обратной связи.

3.2.3. Основное уравнение системы.

§3.3. Исследование мультистабильности в акустооптической системе с частотной обратной связью.

3.3.1. Условие мультистабильности.

3.3.2. Оптимальные параметры транспаранта.

3.3.3. Оптимальная глубина обратной связи.

§3.4. Условие динамической устойчивости акустооптической системы с частотной обратной связью.

3.4.1. Методика определения условия устойчивости.

3.4.2. Дифракция света на частотно-модулированной звуковой волне.

3.4.3. Условие устойчивости равновесного состояния.

§3.5. Исследование мультистабильных режимов в акустооптической системе с частотной обратной связью.

3.5.1. Режим электрической мулътистабилъности.

3.5.2. Режим оптической мулътистабилъности.

§3.6. Режим стабилизации направления распространения светового пучка в акустооптической системе с частотной обратной связью.

3.6.1. Основные параметры режима угловой стабилизации.

3.6.2. Влияние акустооптической селективности.

3.6.3. Экспериментальные результаты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Акустооптические системы с амплитудной и частотной обратной связью»

Первые работы по аку сто оптическим (АО) системам с обратной связью (ОС) появились в середине 1980-х годов [1-8]. В этих работах авторы в первую очередь интересовались режимом бистабильности, подразумевая, что бистабильная АО система может стать составным элементом цифровой оптической системы обработки информации. Предпосылкой к активному развитию средств и методов оптической обработки информации стало в свою очередь появление лазеров в 60-е годы. Постоянно действующий стимул к исследованиям в этой области связан с надеждой привнести в технику обработки информации преимущества оптических методов, в первую очередь, параллельность обработки сигнала. Так, например, по оп

9 К тическому лучу с сечением порядка 1см можно передавать до 10 бит информации параллельно. С помощью оптических устройств очень просто и быстро реализуются интегральные операции над двумерными сигналами, такие как нахождение свёртки, корреляции, осуществление преобразований Фурье, Гильберта, Лапласа и другие [9-12].

В настоящее время к числу наиболее развитых устройств оптической обработки информации относятся АО процессоры - устройства, использующие взаимодействие оптического излучения и упругих волн [13-16]. Традиционной областью применения таких процессоров является корреляционная и спектральная обработка радиосигналов. Однако подобные устройства остаются узкоспециализированными и для решения общей задачи обработки информации могут использоваться лишь в комплексе с цифровой ЭВМ.

Чрезвычайно важной проблемой является создание цифрового оптического процессора. В макетных оптических устройствах уже реализовано элементарное время переключения менее 10"8-10"9с, но даже с такими временами производительность цифрового оптического процессора, имеющего 105-106 параллельных каналов, составила бы 1013-1015 операций в секунду, что на 2-3 порядка выше потенциальной производительности электронных схем. Одной из узловых задач на пути решения проблемы оптической обработки информации является создание эффективных оптических логических элементов.

Основное внимание при разработке таких элементов сконцентрировано на устройствах, использующих оптическую бистабильность [17-33]. Возможность реализации бистабильного устройства на основе АО взаимодействия не вызывала сомнений, однако среди многообразия исследовавшихся бистабильных систем аку-стооптические привлекли к себе внимание одними из последних. Основные причины этого, по-видимому, заключаются в следующем. Одно из условий существования бистабильности - присутствие в системе нелинейности. АО взаимодействие становится нелинейным в режиме высокой эффективности дифракции. Это требует сочетания высокого АО качества используемого материала и достаточно большой мощности акустической волны. С другой стороны, АО системы принципиально, из-за низкой скорости звука (по сравнению со скоростью электромагнитных волн) не могут обеспечить столь же высокую скорость переключения, как системы на основе некоторых других эффектов (например, электрооптического).

Однако уже первые работы [1-8] показали, что АО системы, не претендуя на рекордное быстродействие и малую мощность переключения, могут составить реальную конкуренцию в другом. АО взаимодействие позволяет создавать биста-бильные системы с большой линейной и угловой апертурой, использовать различные особенности анизотропной дифракции, организовывать ОС через разные порядки дифракции. Наиболее принципиальное отличие бистабильной АО системы состоит в возможности использования цепи ОС, управляющей частотой акустической волны. В этом случае в качестве бистабильного параметра может использоваться не интенсивность света, а длина волны и (или) направление распространения света. Такие устройства особенно актуальны для систем волоконнооптической связи, в которых широко используются методы спектрального мультиплексирования и частотного кодирования сигнала. Таким образом, АО взаимодействие позволяет создавать бистабильные устройства, которые принципиально не возможны в системах других типов.

Практически во всех работах авторов [1-8] интересовала именно АО бистабильность. Однако бистабильная система является лишь частным случаем системы с ОС. Введение ОС является стандартным приёмом, позволяющим нужным образом (как количественно, так и качественно) изменять характеристики исходного устройства. К настоящему времени предложено и исследовано более десятка различных типов АО устройств, отличающихся назначением и принципом действия. Некоторые из них, такие как модуляторы света, дефлекторы и фильтры выпускаются серийно промышленностью. Введение в них цепи ОС позволяет скорректировать характеристики устройства или создать на основе исходного устройства принципиально новое.

Большой интерес также вызывают проблемы, связанные с явлениями неустойчивости в оптических бистабильных системах. Авторов подобных работ АО система привлекает прежде всего как прекрасная физическая модель системы с распределённой запаздывающей ОС. На сегодняшний день такие исследования носят в основном академический характер. Наиболее важным прикладным значением подобных работ является определение области динамической устойчивости системы с ОС и степени влияния шумов на стабильность равновесных состояний системы.

Каждое из отмеченных направлений исследований имеет определённые перспективы развития как академического, так и прикладного характера, что свидетельствует о важности и актуальности изучения АО систем с ОС. Но, несмотря на то, что в каждом из обозначенных направлений исследования начаты достаточно давно и получены оригинальные результаты, необходимо отметить следующее. К моменту начала исследования АО системы с ОС автором диссертационной работы насчитывалось не более 10-и публикаций по АО бистабильности. Авторы, изучавшие явление оптической бистабильности в АО системе с ОС, ограничивались вариантом амплитудной ОС, рассматривали АО ячейку как амплитудный модулятор света, применяя при теоретеоретическом анализе системы с ОС простейшие математические модели АО взаимодействия и канала ОС. Не рассматривались эффекты, связанные с изменением частоты ультразвука, распределенным характером АО взаимодействия, наличием поперечной струтуры светового поля. Практически полностью остались за рамками исследований режимы работы АО системы с ОС, не связанные с бистабильностью. Не исследовался вариант системы, в котором сигнал ОС управляет частотой акустической волны, а, следовательно, и направлением распространения дифрагированного света.

Таким образом, очевидной потребностью является систематизация имеющихся результатов исследований АО систем с ОС, проведение более глубокого, комплексного анализа различных вариантов системы с учетом основных закономерностей АО взаимодействия и вариантов формирования сигнала ОС, выделение общих и частных особенностей поведения системы. В настоящий момент, однако, решить такую задачу в полном объёме ещё не представляется возможным.

Поэтому цель данной работы является более ограниченной и состоит в теоретическом и экспериментальном исследовании двух вариантов АО системы с ОС по амплитуде и частоте акустической волны в случае дифракции монохроматического оптического излучения в широкоапертурной АО ячейке, с учётом основных закономерностей и особенностей АО взаимодействия в кристаллических средах (режима дифракции, геометрии АО взаимодействия, селективных свойств, распределенного характера АО взаимодействия). В связи с этим в диссертации решаются следующие основные задачи.:

1. Исследование АО системы с амплитудной ОС. Определение основных параметров системы с учётом реальной характеристики АО ячейки; определение различных режимов работы системы и граничных параметров, соответствующих переходу от одного режима к другому; исследование особенностей различных биста-бильных режимов; проверка возможности реализации мультистабильного режима; изучение возможности использования различных дифракционных максимумов для получения сигнала ОС.

2. Исследование АО системы с частотной ОС. Определение основных параметров системы; изучение влияния селективных свойств и геометрии АО взаимодействия на характеристики системы; исследование режима угловой стабилизации светового пучка.

3. Исследование динамических эффектов в АО системе с ОС с учетом инерционности оптоэлектронного канала ОС и распределенного характера АО взаимодействия; определение области устойчивости равновесных состояний.

Содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Казарьян, Александр Викторович

Выводы к главе 3

Основные особенности АО системы с ОС по частоте связаны с тем, что частота ультразвука определяет угол дифракции и направление распространения дифрагированного излучения. Это дает возможность, размещая перед фотоприемником амплитудный транспарант, формировать нужным образом зависимость сигнала ОС от частоты ультразвука, и в итоге свойства АО системы с ОС в целом. В частности, применяя транспарант в виде амплитудной дифракционной решетки, представляющий собой чередующиеся светлые и темные полосы, можно получить систему с высоким порядком мультистабильности (порядка нескольких сотен), причем в режиме малой эффективности дифракции. Состояния системы отличаются друг от друга направлением распространения дифрагированного светового пучка, а также величиной допплеровского сдвига частоты света. Переключение системы из одного состояния в другое может быть осуществлено изменением различных параметров: опорного напряжения, мощности входного излучения, угла падения света на ячейку.

Максимальный порядок мультистабильности, достижимый в системе, ограничен селективными свойствами АО взаимодействия. Выбор соответствующей геометрии АО взаимодействия позволяет реализовать систему с порядком мультистабильности, равным числу разрешимых положений АО ячейки в режиме дефлектора.

Анализ системы с учетом инерционности электронной части канала ОС и нестационарного характера АО взаимодействия показывает, что распределенный характер ОС приводит к незначительному повышению порога динамической устойчивости системы в случае, когда постоянная АО ячейки сопоставима или превышает постоянную времени канала ОС и повышает порог усойчивости на порядок в случае, когда инерционность конала ОС много больше времени усреднения в АО ячейке.

На основе ОА системы с ОС можно создать эффективную систему стабилизации направления распространения света. Для этого достаточно использовать сту-пенчаый транспарант и выбрать соответствующий знак ОС. Максимально достижимый коэффициент угловой стабилизации ограничен селективными свойствами

АО взаимодействия и совпадает с разрешением АО ячейки в дефлекторном режиме работы. В случае анизотропной дифракции достигаются значения коэффициента угловой стабилизации порядка нескольких сотен.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе проведено теоретическое и экспериментальное исследование двух вариантов АО систем с ОС, когда сигнал ОС управляет амплитудой или частотой акустической волны в АО ячейке. Основные результаты работы сводятся к следующему.

1. Разработан общий подход к анализу системы с ОС по амплитуде в квазистатическом приближении, позволяющий учесть реальный вид амплитудной характеристики АО взаимодействия. Установлено, что для существования в системе бистабильных состояний необходимо выполнение двух условий, одно из которых определяет глубину ОС, а другое накладывает ограничения на диапазон значений опорного напряжения, задающего рабочую точку на амплитудной характеристике АО взаимодействия. Найдены условия, при которых, благодаря осциллирующему виду амплитудной характеристики, в системе появляется мультистабильность. Показано, что переключение системы из одного состояния в другое можно осуществлять изменением одного из внешних параметров — электрического напряжения, интенсивности падающего света, а также частоты ультразвука или угла падения света на АО ячейку. Рассчитаны характеристики режимов электрической, оптической и расстроечной бистабильности.

Экспериментально реализованы режимы электрической, оптической и расстроечной бистабильности в системе с ОС амплитудного типа на основе АО ячейки из парателлурита 0°-го среза с диапазоном рабочих частот 25*55 МГц. Впервые экспериментально доказана возможность получения бистабильности через нулевой и 2-й порядки дифракции, а также мультистабильности с тремя устойчивыми состояниями.

2. Установлено, что в определенной области внешних параметров в системе реализуются режимы автоматического регулирования: стабилизации оптической мощности и снижения неравномерности АЧХ АО дефлектора. Определены основные характеристики указанных режимов. Показано, что для получения эффекта стабилизации оптической мощности оптимальным является выбор рабочей точки на участке возрастания амплитудной характеристики АО взаимодействия с эффективностью дифракции около 80%.

Найдено соотношение параметров, определяющих рабочую точку и глубину ОС, при которых в системе наблюдается эффект уменьшения неравномерности АЧХ АО дефлектора. Например, при значении интегрального коэффициента обратной связи 5 обеспечивается снижение неравномерности АЧХ с 3 до 0.7 дБ.

3. Исследованы динамические эффекты, обусловленные инерционными свойствами системы. Построена динамическая модель, учитывающая два принципиальных эффекта — инерционность электронной части цепи ОС, обусловленную постоянной времени ЯС, и распределённое запаздывание, связанной с конечной скоростью распространения ультразвука в ячейке. Установлено, что при дифракции светового пучка на амплитудно-модулированной акустической волне в режиме сильного АО взаимодействия распределенный характер взаимодействия сводится к усреднению эффективности дифракции по ширине пучка. Показано, что эффект усреднения приводит не только к запаздыванию сигнала ОС «в среднем», но также существенно влияет на динамические характеристики системы. В зависимости от соотношения между средним временем запаздывания и временем усреднения сигнала качественно меняется спектр собственных частот линеаризованной системы и границы области динамической устойчивости.

Найдены соотношения параметров, обеспечивающие наибольшую динамическую устойчивость системы, и предельные значения допустимой глубины обратной связи с учетом физических ограничений реальной системы. Показано, что эффект усреднения в целом приводит к повышению динамической устойчивости системы. Установлено, что в случае широкого светового пучка, полностью перекрывающего апертуру АО ячейки максимально допустимая глубина ОС, ограниченная условием динамической устойчивости, имеет наименьшее значение при постоянной времени ЯС, близкой к постоянной времени АО ячейки. Соответствующее значение дифференциального коэффициента ОС составляет минус 4.8. С увеличением инерционности цепи ОС допустимая глубина ОС возрастает, но одновременно растет инерционность всей системы. С уменьшением постоянной времени ЯС допустимое значение дифференциального коэффициента ОС также возрастает и в пределе достигает значения минус 19. При этом быстродействие системы остается ограниченным постоянной времени АО ячейки.

4. Впервые исследована АО система с ОС по частоте. Предложен способ формирования системы с требуемыми свойствами с помощью амплитудного транспаранта с заданной функцией пропускания. Построена математическая модель, описывающая систему в статическом приближении, с учетом селективности АО взаимодействия и конечной ширины оптического пучка. Определены условия динамической устойчивости системы с учетом инерционности цепи ОС и распределенного характера АО взаимодействия.

5. Впервые теоретически и экспериментально исследована мультистабильная система с транспарантом в виде амплитудной дифракционной решетки с чередующимися светлыми и темными полосами. Показано, что даже в режиме слабого АО взаимодействия достижима мультистабильность высокого порядка. Установлено, что максимальное число стабильных состояний системы ограничено селективными свойствами АО взаимодействия и совпадает с числом разрешимых положений АО дефлектора с аналогичной ячейкой. При этом соседние состояния отличаются по направлению распространения света на величину угловой ширины пучка. Реализована мультистабильная система с ОС по частоте ультразвука на основе АО ячейки из парателлурита с 8-ю устойчивыми состояниями.

6. Впервые предложена и исследована система стабилизации направления распространения лазерного пучка на основе АО системы с ОС по частоте. Установлено, что максимальное значение коэффициента стабилизации и его неравномерность в рабочем диапазоне углов падения определяются селективными свойствами АО взаимодействия. Определена оптимальная геометрия АО взаимодействия. Показано, что наибольшее значение коэффициента стабилизации и меньшую его неравномерность можно получить в случае анизотропной дифракции. Максимальное значение коэффициента стабилизации совпадает с числом разрешимых положений АО дефлектора. Экспериментально реализована система угловой стабилизации на основе анизотропной дифракции в АО ячейке из парателлурита. В диапазоне углов падения 4.5 мрад получено среднее значение коэффициента стабилизации 150. Его максимальное значение оказалось равным 590, что близко к теоретической величине, равной 650.

БЛАГОДАРНОСТИ

Выражаю искреннюю благодарность моему научному руководителю доктору физ.-мат. наук, профессору Балакшему Владимиру Ивановичу за неоценимую помощь в проведении исследований и подготовке диссертации, кандидату физ.-мат. наук, доценту Волошинову Виталию Борисовичу и всей нашей лаборатории акустооптики и оптической обработки информации за плодотворные обсуждения результатов исследований, непринужденную рабочую обстановку и творческую атмосферу, а также кафедре физики колебаний и физическому факультету в целом за предоставленную возможность получить превосходное классическое образование и выполнить диссертационную работу.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Казарьян, Александр Викторович, 2010 год

1. Chrostowski J., Delisle С. Bistable optical switching based on bragg diffraction. // Optics Comm., 1982, v.41, p.71.

2. Chrostowski J. Noisy bifurcations in acousto-optic bistability. // Phys. Rev. A, 1982, v.26, p.3023.

3. Vallee R., Delisle C., Chrostowski J. Noisy versus chaos in acousto-optic bistability. II Phys. Rev. A, 1984, v.30, p.336.

4. Wehner M.F., Chrostowski J., Mielniczuk W.J. Acousto-optic bistability with fluctuations. II Phys. Rev. A, 1984, v.29, p.435.

5. Vallee R., Delisle C. Rout to chaos in an acousto-optic bistable device. // Phys. Rev. A, 1985, v.31,p.2390.

6. Vallee R., Delisle C. Mode description of the dynamical evolution of an acousto-optic bistable device. II IEEE J. Quantum Electron., 1985, v. QE-21, p.1423.

7. Goedgebuer J.P., Li M., Porte H. Demonstration of bistability and multistability in wavelength with a hybrid acousto-optic device. // IEEE J. Quantum Electron., 1987, v. QE-23, p. 153.

8. Poon T.C., Cheung S.K. Performance of a hybrid bistable device using an acousto-optic modulator. // Appl. Opt., 1989, v.28, p. 1617.

9. Гудмен Дж. Введение в фурье-оптику. М.: Мир, 1970.

10. Юу Ф.Т.С. Введение в теорию дифракции, обраблтку информации и голографию. М.: Сов. радио, 1979.

11. Парыгин В.Н., Балакший В.И. Оптическая обработка информации. М.: изд. Моск. ун-та, 1987.

12. Сороко JI.M. Гильберт-оптика. М.: Наука, 1981.

13. Гусев О.Б., Кулаков С.В., Разживин Б.П., Тигин Д.В. Оптическая обработка сигналов в реальном времени. — М. Радио и связь, 1989.

14. Das Р.К., DeCusatis С.М. Acousto-optic signal processing: Fundamentals and applications. N.Y.: Artech House, 1991.

15. Акустооптические методы обработки информации. / Под ред. Г.Е.Корбукова и С.В.Кулакова. Л.: Наука, 1978.

16. Акустооптические устройства радиоэлектронных систем. / Под ред. С.В.Кулакова. Л.: Наука, 1988.

17. Гиббс X. Оптическая бистабилъностъ. Управление светом с помощью света. -М: Мир, 1988.

18. Розанов Н.Н. Оптическая бистабилъностъ и гистерезис в распределённых нелинейных системах. -М: Наука, Физматлит, 1997.

19. Gibbs Н.М., McCall S.L., Venkatesan, T.N.C. Differential gain and bistability using a sodium-filled Fabry-Perot interferometr. // Phys. Rev. Lett., 1976, v.36, p.1135.

20. Smith P. W., Turner E.H. Bistable Fabry-Perot devices. // IEEE J. Quantum Electron., 1977, v. QE-13, p.735.

21. Garmire E., Marburger J.H., Allen S.D. Incoherent mirror less bistable optical devices. // Appl. Phys. Lett., 1978, v. 32 p.320.

22. Schnapper A., Papuchon M., Puech C. Remotely controlled integrated directional coupler switch. // IEEE J. Quantum Electron., 1981, v. QE-17, p.332.

23. Tarucha S., Makoto M., Noda J. Complementary optical bistable switching and triode operation using LiNb03 directional coupler. // IEEE J. Quantum Electron., 1981, v. QE-17, p.321.

24. Ikeda K. Multiple-valued stationary state and its instability of the transmitted light by a ring cavity system. // Optics Comm., 1979, v.30, p.257.

25. Ikeda K. Akimoti O. Instability leading to periodic and chaotic self-pulsation in a bistable optical cavity. II Phys. Rev. Lett., 1982, v.48, p.617.

26. Gibbs H.M., Hopf F.A., Kaplan D.L., Shoemaker R.L. Observation of chaos in optical bistability. //Phy. Rev. Lett., 1981, v.46, p.474.

27. Hopf F.A., Kaplan D.L., Gibbs H.M., Shoemaker R.L. Bifurcations to chaos in optical bistability. II Phys. Rev. A, 1982, v.25, p.2172.

28. Derstire M.W., Gibbs H.M., Hopf F.A., Kaplan D.L. Alternate paths to chaos in optical bistability. II Phys. Rev. A, 1983, v.27, p.3200.

29. Gao J.Y., Narducci L.M., Schulman L.S., Squicliarini M., Yuan J.M. Route to chaos in optical bistable system with delay. // Phys. Rev. A, 1983, v.28, p.2910.

30. Narducci F.A. Bromley D.W. Oppo G.L. Tredicce J.P. Instabilities in a hybrid bistable system without delayed feedback. // Optics Comm., 1990, v.75, p.347.

31. Wehner M.F., Wolfer W.G. Numerical evaluation of path-integral solutions to Foker-Plank equations. IIPhys. Rev. A, 1983, v.27, p.2663.32