Алгебраические инварианты для обыкновенных дифференциальных уравнений: теория и приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Белова Мария Владимировна

• Белова Мария Владимировна
• доктор наук
• 2026

Оглавление диссертации доктор наук Белова Мария Владимировна

1.4 Метод рядов Пюизе

1.5 Проблема Пуанкаре

1.6 Бегущие волны для уравнения Курамото - Сивашинского и его обобщения

2 Инвариантные алгебраические кривые и интегрируемость двумерных автономных полиномиальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений

2.1 Интегрируемость по Дарбу и Лиувиллю

2.2 Неавтономные первые интегралы Дарбу и последние множители Якоби с зависящим от времени экспоненциальным множителем

2.3 Локальная теория инвариантов

2.4 Интегрируемость по Пюизе

3 Полиномиальные дифференциальные системы Льенара

3.1 Инвариантные алгебраические кривые полиномиальных дифференциальных систем Льенара

3.2 Интегрируемость полиномиальных дифференциальных систем Льенара

3.2.1 Системы Льенара из семейства (А)

3.2.2 Системы Льенара из семейства (В)

3.2.3 Системы Льенара из семейства (С)

3.2.4 Сводка результатов и обсуждение

3.3 Система Гельмгольца - ван дер Поля

3.4 Система Дуффинга - ван дер Поля и ее обобщение

3.5 Система Дуффинга и ее обобщение

3.6 Система Льенара пятой степени с линейной функцией, описывающей трение

3.7 Система Льенара четвертой степени с квадратичной функцией, описывающей трение

3.8 Система Льенара пятой степени с кубической функцией, описывающей трение

3.9 Алгебраические предельные циклы

4 Инвариантные поверхности и интегрируемость двумерных неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений

4.1 Неавтономные алгебраические инвариантны и обобщенные первые интегралы Дарбу

4.2 Функциональные ряды Пюизе

4.3 Неавтономная система Дуффинга

4.4 Неавтономная система Дуффинга - ван дер Поля

5 Мероморфные решения автономных алгебраических обыкновенных дифференциальных уравнений

5.1 Существование мероморфных решений и теория Неванлинны

5.2 Дифференциальные уравнения с двумя доминантными дифференциальными мономами

5.3 Алгоритм нахождения Ш-мероморфных решений в явном виде

5.4 Уравнение Дуффинга - ван дер Поля

5.5 Система Лоренца

5.6 Редукция к переменным бегущей волны обобщенного уравнения Розенау - Кортевега - де Вриза и уравнения Кортевега - де Вриза - Бюргерса пятого порядка

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгебраические инварианты для обыкновенных дифференциальных уравнений: теория и приложения»

Введение

Диссертационная работа посвящена исследованию аналитических свойств решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Основное внимание уделено построению инвариантов и первых интегралов полиномиальных дифференциальных систем.

Актуальность темы диссертационной работы. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений является важнейшей задачей математики. Понятие интегрируемости можно рассматривать с различных точек зрения: алгебраической, аналитической или геометрической, локальной или глобальной, и т. д. В некоторых областях математики в понятие интегрируемости вкладывается разный смысл. Например, классическим является определение интегрируемости в квадратурах. Общее решение интегрируемого в квадратурах уравнения должно представляться в виде конечной последовательности суперпозиций операций интегрирования и алгебраических операций, применяемых к фиксированному классу функций. Также в научной литературе используется определение, согласно которому обыкновенное дифференциальное уравнение называют интегрируемым, если на некотором открытом подмножестве фазового пространства, имеющем ненулевую меру Лебега, существует достаточное число независимых сохраняющихся величин (первых интегралов). Это определение является абстрактным, поэтому на практике принято ограничивать классы функций, в рамках которых происходит поиск первых интегралов. К

наиболее важным классам относятся полиномиальные, рациональные, меро-морфные первые интегралы, а также первые интегралы, являющиеся функциями Дарбу и Лиувилля. Первые интегралы, задаваемые функциями Дарбу и Лиувилля, представляют большой интерес для приложений. В рамках современных обобщений часть независимых первых интегралов при определенных условиях может быть заменена инвариантными векторными полями или тензорными инвариантами [1,2].

Как только определение интегрируемости зафиксировано, дифференциальные уравнения можно классифицировать на интегрируемые и неинтегриру-емые в рамках рассматриваемого подхода. Если дифференциальное уравнение не интегрируемо или его статус с точки зрения интегрируемости не известен, то ставится задача об исследовании частичной интегрируемости [3]. В широком смысле нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение называют частично интегрируемым или разрешимым, если оно обладает некоторым набором нетривиальных точных решений, независимых первых интегралов, тензорных инвариантов и других объектов, характерных для интегрируемых уравнений, при этом наличия этих объектов недостаточно для полной интегрируемости заданного уравнения.

В настоящее время в научной литературе нет универсальных методов, позволяющих найти или общее решение, или достаточное число независимых первых интегралов нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Например, групповые методы являются мощным средством исследования интегрируемости и построения точных решений, но эти методы применимы, только если дифференциальное уравнение обладает некоторым набором сим-метрий (классических или обобщенных). В частности, для интегрируемости обыкновенного дифференциального уравнения в квадратурах достаточно существования разрешимой алгебры Ли операторов симметрий, размерность которой совпадает с порядком уравнения [4,5]. В то же время, это условие не

является необходимым. Целый ряд методов разработан в рамках дифференциальной теории Галуа [6-8]. Отметим, что дифференциальная теория Галуа может быть эффективно применена к линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям, а также к нелинейным дифференциальным уравнениям, которые или могут быть преобразованы к линейным, или, например, допускают построение вариационных приближений в окрестности неравновесных решений [9]. В последние годы активно развивается мощный аппарат теории гамильтоновых систем [10,11]. Однако, существует большое количество важных с прикладной точки зрения дифференциальных уравнений и систем, которые или не могут быть представлены в виде гамильтоновой системы, или такое представление заранее не известно. Таким образом, задача поиска методов, которые бы позволили исследовать интегрируемость и разрешимость дифференциальных уравнений в тех случаях, когда не применимы другие методы, чрезвычайно актуальна.

Степень разработанности темы диссертационной работы. Систематические исследования интегрируемости и разрешимости нелинейных двумерных дифференциальных систем были начаты еще в XIX веке в работах Ж. Г. Дарбу (J. G. Darboux), П. Пенлеве (P. Painleve), А. Пуанкаре (H. Poincare), см. [12-15]. В 1878 году Ж. Г. Дарбу предложил интересный и наглядный метод построения рациональных первых интегралов двумерных автономных полиномиальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений [12]. Ж.Г. Дарбу обнаружил, что для этих целей могут быть использованы инвариантные алгебраические кривые рассматриваемых систем. В 1992 - 1999 гг. М. Ф. Зингер (M.F. Singer) и К. Кристофер (C. Christopher) усовершенствовали метод Дарбу [16-18]. В рамках нового метода стало возможным находить не только рациональные первые интегралы, но и первые интегралы, являющиеся функциями Дарбу и Лиувилля.

М. Ф. Зингер и К. Кристофер доказали, что знание всех неприводимых

инвариантных алгебраических кривых и экспоненциальных инвариантов позволяет получать необходимые и достаточные условия интегрируемости по Лиувиллю для заданной двумерной автономной полиномиальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Первые интегралы, являющиеся функциями Лиувилля, имеют большое практическое значение, поскольку функции Лиувилля не абстрактны, а могут быть получены с помощью конечной последовательности суперпозиций алгебраических функций, квадратур и экспоненциальных функций.

Весомый вклад в изучение свойств двумерных полиномиальных систем, имеющих инвариантные алгебраические кривые, интегрирующие множители и первые интегралы Дарбу внесен М. В. Доловым и его учениками [19-21]. Отметим, что многие современные методы построения первых интегралов, отличные от метода Дарбу, на самом деле приводят к первым интегралам, являющимся функциями Дарбу или Лиувилля. Это такие методы, как метод локальных [22,23] или нелокальных преобразований [24,25], метод пар Лакса [3], метод факторизации [24], методы А-симметрий [26] и ^-функций [27], а также некоторые другие методы. Перечисленные методы могут быть использованы для нахождения новых интегрируемых дифференциальных уравнений, а также для выявления интересных особенностей изучаемых уравнений, например, наличие явной или неявной линеаризации. Однако, в отличие от метода Дарбу, эти методы лишь в редких случаях позволяют находить все интегрируемые по Дарбу и Лиувиллю подсемейства для заданных многопараметрических дифференциальных уравнений и систем.

Понятие инвариантной алгебраической кривой можно обобщить на случай дифференциальных систем размерности выше второй и обыкновенных дифференциальных уравнений порядков выше второго [28,29]. В результате появляется задача поиска и классификации алгебраических инвариантов и алгебраически инвариантных решений для автономных обыкновенных диф-

ференциальных уравнений. Алгебраические инварианты порождают автономные алгебраические обыкновенные дифференциальные уравнения первого (или более высокого) порядка, совместные с исходным уравнением. Мотивацией для исследования проблемы поиска и классификации алгебраических инвариантов для дифференциальных уравнений порядка выше второго является тот факт, что многие известные точные решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и многие «бегущие волны» автономных дифференциальных уравнений в частных производных являются на самом деле алгебраически инвариантными решениями [28-32]. Также наличие алгебраического инварианта с произвольным параметром можно использовать как необходимое условие алгебраической интегрируемости автономного обыкновенного дифференциального уравнения третьего или более или высокого порядка.

Задача построения всех неприводимых алгебраических инвариантов для заданного обыкновенного дифференциального уравнения является чрезвычайно сложной [29]. Основная трудность при построении неприводимых алгебраических инвариантов заключается в том, что их степени, как правило, заранее не известны. Проблему нахождения оценки сверху для степеней неприводимых алгебраических инвариантов в двумерном случае называют проблемой Пуанкаре [33-35]. Хорошо известно, что равномерная оценка, зависящая от степени векторного поля, соответствующего рассматриваемому семейству двумерных автономных полиномиальных дифференциальных систем, может не существовать [36]. Решения этой проблемы, справедливые при определенных ограничениях, накладываемых на особые точки дифференциальных систем и/или инвариантные алгебраические кривые, были получены Д. Серво (D. Cerveau) и А. Линс Нето (A. Lins Neto) [37], М. М. Карниче-ром (M. M. Carnicer) [38], С. Валхером (S. Walcher) [39]. Например, найдены оценки при отсутствии на алгебраической кривой, задаваемой инвариантом,

дикритических особых точек векторного поля [38]. К сожалению, подобные ограничения не выполняются для многих важных с прикладной точки зрения семейств уравнений и систем.

Еще одной задачей, тесно связанной с проблемой построения алгебраических инвариантов, является задача нахождения и классификации меро-морфных решений автономных нелинейных алгебраических обыкновенных дифференциальных уравнений произвольных порядков. Изучением существования, наличия явного представления, характеристик роста и других свойств мероморфных решений занимались У. К. Хейман (W. K. Hayman), А. А. Гольдберг, Н. Штайнмец (N. Steinmetz), А. З. Мохонько, А. Э. Еременко, Р. Хальбурд (R. Halburd), Р. Конт (R. Conte), Т.-В. Нг (T.-W. Ng) и другие математики.

Трансцендентные мероморфные функции, являющиеся эллиптическими или рациональными с экспоненциальным аргументом, принято называть W-мероморфными функциями в честь К. Вейерштрасса (K. Weierstrass). Хорошо известно, что любая W-мероморфная функция удовлетворяет автономному алгебраическому обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка [40]. Таким образом, проблема построения и классификации W-мероморфных решений автономных алгебраических обыкновенных дифференциальных уравнений может быть решена с использованием алгебраических инвариантов [30,41]. Более того, известно, что обыкновенные дифференциальные уравнения с определенными свойствами не имеют трансцендентных мероморфных решений, отличных от W-мероморфных функций.

С помощью теории Неванлинны А. Е. Еременко доказал, что все трансцендентные мероморфные решения обыкновенных дифференциальных уравнений с одним доминантным дифференциальным мономом и конечным числом локальных решений, заданных рядами Лорана в окрестности полюсов, являются W-мероморфными функциями [42]. Для нахождения некоторых

W-мероморфных решений М. Мюзетт (M. Musette) и Р. Конт (R. Conte) предложили метод, получивший название метода вспомогательных уравнений [30]. К сожалению, этот метод не позволяет находить все W-мероморфные решения обыкновенных дифференциальных уравнений с несколькими доминантными дифференциальными мономами и/или с бесконечным числом локальных решений, описываемых рядами Лорана в окрестности полюсов.

Теория интегрируемости Дарбу может быть обобщена на случай неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. Не так давно было введено понятие обобщенного первого интеграла Дарбу для двумерных неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений [43-46]. Как и в автономном случае, наибольшая трудность при исследовании интегрируемости по Дарбу неавтономных систем дифференциальных уравнений связана с классификацией инвариантных поверхностей [43]. Вопросы построения не только достаточных, но и необходимых условий интегрируемости по Дарбу неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений в научной литературе почти не рассматривались.

Отметим, что алгебраические инварианты и инвариантные поверхности чрезвычайно важны и с прикладной точки зрения. Прежде всего, это связано с тем, что они позволяют находить частные фазовые траектории рассматриваемых дифференциальных уравнений [47,48]. Например, предельные циклы динамических систем на плоскости могут являться овалами инвариантных алгебраических кривых. Также инварианты позволяют разбивать фазовое пространство рассматриваемой системы на области, в которых поведение траекторий может изучаться независимо.

В последние годы вопросы построения инвариантных кривых и поверхностей, а также первых интегралов, являющихся функциями Дарбу и Лиувилля, активно изучаются. Большой вклад в исследование подобных задач внесли Дж. П. Жуанолоу (J.P. Jouanolou), М. В. Долов, Л.А. Черкас, Дж. Ллибре

(J. Llibre), Дж. Чаваррига (J. Chavarriga), X. Чжан (X. Zhang), Х. Жолон-дек (H. Zoladec), Д. Шломюк (D. Schlomiuk), В.Г. Романовский, К. Валлс (C. Valls), Дж. Жинне (J. Gine), А. Феррагут (A. Ferragut), Г. Джакомини (H. Giacomini).

Цели и задачи диссертационной работы. Целью диссертационной работы является исследование интегрируемости и разрешимости нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, встречающихся в различных областях физики, прикладной математики, биологии, экономики и т. п.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Разработать метод построения и классификации алгебраических инвариантов автономных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Разработать метод построения и классификации инвариантных алгебраических кривых и инвариантных поверхностей для автономных и неавтономных полиномиальных систем дифференциальных уравнений на плоскости.

3. Разработать метод нахождения мероморфных решений автономных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

4. Применить предложенные методы для исследования интегрируемости и разрешимости нелинейных дифференциальных уравнений, которые или ранее не изучались в рамках других методов, или для которых в научной литературе нет исчерпывающих сведений об их интегрируемости или разрешимости.

Публикации. Автором диссертационной работы опубликовано более 70 научных работ в ведущих российских и зарубежных научных изданиях. Среди этих работ 50 индексируются в базах данных научного цитирования Web

of Science и Scopus. Все публикации посвящены теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Список статей, отражающих основные результаты диссертации, приведен ниже.

(1) M. V. Demina. Integrability and solvability of polynomial Lienard differential systems // Studies in Applied Mathematics. 2023. Vol. 150. No. 3. P. 755-817; Qi Web of Science, Qi Scopus.

doi.org/10.1111/sapm.12556

(2) M. V. Demina. Meromorphic solutions of autonomous ordinary differential equations without the finiteness property // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2022. Vol. 516. No. 2. P. 126516; Qi Web of Science, Qi Scopus.

doi.org/10.1016/j.jmaa.2022.126516

(3) M. V. Demina. The method of Puiseux series and invariant algebraic curves // Communications in Contemporary Mathematics. 2022. Vol. 24. No. 3. P. 2150007; Qi Web of Science, Qi Scopus.

doi.org/10.1142/S0219199721500073

(4) M. V. Demina. Necessary and sufficient conditions for the existence of invariant algebraic curves // Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations. 2021. Vol. 48. P. 1-22; Q2 Web of Science, Q3 Scopus.

doi.org/10.14232/ejqtde.2021.1.48

(5) M. V. Demina. Classifying algebraic invariants and algebraically invariant solutions // Chaos, Solitons and Fractals. 2020. Vol. 140. P. 110219; Qi Web of Science, Qi Scopus.

doi.org/10.1016/j.chaos.2020.110219

(6) M. V. Demina. Classification of meromorphic integrals for autonomous nonlinear ordinary differential equations with two dominant monomials // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2019. Vol. 479. No. 2. P. 1851-1862; Qi Web of Science, Qi Scopus.

doi.org/10.1016/j.jmaa.2019.07.026

(7) M. V. Demina. Liouvillian integrability of the generalized Duffing oscillators // Analysis and Mathematical Physics. 2021. Vol. 11. No. 1. P. 25; Q1 Web of Science, Q2 Scopus.

doi.org/10.1007/s13324-020-00459-z

(8) M. V. Demina. Invariant surfaces and Darboux integrability for non-autonomous dynamical systems in the plane // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2018. Vol. 51. No. 50. P. 505202; Qi Web of Science, Qi Scopus.

10.1088/1751-8121/aaecca

(9) M. V. Demina, Jaume Gine and Claudia Valls. Puiseux integrability of differential equations // Qualitative Theory of Dynamical Systems. 2022. Vol. 21 No. 2. P. 1-35; Q3 Web of Science, Q3 Scopus.

doi.org/10.1007/s12346-022-00565-2

(10) M. V. Demina. Invariant algebraic curves for Lienard dynamical systems revisited // Applied Mathematics Letters. 2018. Vol. 84. P. 42-48; Q1 Web of Science, Qi Scopus.

doi.org/10.1016/j.aml.2018.04.013

(11) M. V. Demina and Claudia Valls. On the Poincare problem and Liouvillian integrability of quadratic Lienard differential equations // Proceedings of the

Royal Society of Edinburgh: Section A. 2020. Vol. 150. No. 6. P. 3231-3251; Q2 Web of Science, Q1 Scopus.

doi.org/10.1017/prm.2019.63

(12) M. V. Demina and Claudia Valls. Classification of invariant algebraic curves and nonexistence of algebraic limit cycles in quadratic systems from family (I) of the Chinese classification // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2020. Vol. 30. No. 4. P. 2050056; Q2 Web of Science, Q Scopus.

doi.org/10.1142/S021812742050056X

(13) M. V. Demina. Novel algebraic aspects of Liouvillian integrability for two-dimensional polynomial dynamical systems // Physics Letters A. 2018. Vol. 382. No. 20. P. 1353-1360; Q2 Web of Science, Q2 Scopus.

doi.org/10.1016/j.physleta.2018.03.037

(14) M. V. Demina. Integrability and Jacobi Last Multipliers of Cubic Lienard Differential Equations with Quadratic Damping // Discontinuity, Nonlinea-rity, and Complexity. 2020. Vol. 9. No. 4. P. 499-507; Q4 Scopus.

10.5890/DNC.2020.12.002

Новизна и научная значимость. В ходе выполнения диссертационной работы впервые получены следующие результаты.

1. Разработан новый метод нахождения алгебраических инвариантов автономных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод основан на разложении многочленов, задающих инварианты, на множители над алгебраически замкнутым полем рядов Пюизе в окрестности бесконечно удаленной точки. Для широких классов обыкновенных дифференциальных уравнений метод позволяет находить решение

проблемы Пуанкаре в тех случаях, когда не работают классические оценки. Метод может быть реализован с использованием компьютерных систем символьных вычислений, таких как Maple, Wolfram Mathematica, Matlab и т. д.

2. Предложен новый метод построения неавтономных алгебраических инвариантов и инвариантных поверхностей для двумерных неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод допускает компьютерную реализацию в системах символьных вычислений.

3. Получено общее представление для мероморфных решений автономных обыкновенных дифференциальных уравнений с конечным числом локальных решений, описываемых рядами Лорана в окрестности полюсов, и двумя доминантными дифференциальными мономами вида Аж1{xt — дх}, где Ад = 0 и l е N.

4. Разработан метод классификации W-мероморфных решений автономных алгебраических обыкновенных дифференциальных уравнений. Показано, что данный метод позволяет находить все W-мероморфные решения для уравнений с бесконечным числом локальных решений, описываемых рядами Лорана в окрестности полюсов, и/или с нескольких доминантными дифференциальными мономами.

5. Установлена разрешимость проблемы Пуанкаре в классической постановке для семейств автономных алгебраических обыкновенных дифференциальных уравнений, обладающих свойством конечности.

6. Найдено явное представление для собственных знаечений инвариантных алгебраических кривых двумерных систем полиномиальных обыкновенных дифференциальных уравнений.

7. Предложена локальная теория интегрируемости, названная интегрируемостью Пюизе. Эту теорию можно рассматривать как локальную теорию интегрируемости Дарбу. Разработанная теория позволяет находить необходимые условия существования первых интегралов Дарбу, Лиувил-ля, а также первых интегралов специального вида, не выражающихся через функции Лиувилля.

8. Получены следующие новые результаты для полиномиальных систем Льенара xt = y, yt = —f (x)y—g(x) и соответствующих им обыкновенных дифференциальных уравнений xtt + f (x)xt + g(x) = 0:

I. построены представления неприводимых алгебраических инвариантов в кольце многочленов с коэффициентами, являющимися рядами Пюизе в окрестности бесконечности;

II. найдены явные представления для собственных значений инвариантных алгебраических кривых;

III. доказано, что полиномиальные системы Льенара имеют не более одного неприводимого алгебраического инварианта всякий раз, когда степень многочлена g(x) является четным числом и выполнено ограничение deg g > 2 deg f + 1;

IV. доказано, что полиномиальные системы Льенара одновременно имеют не более двух различных неприводимых алгебраических инвариантов при выполнении следующих условий

• deg f < deg g < 2 deg f + 1,

• deg g = 2 deg f + 1 и старшие коэффициенты многочленов f (x) и g(x) не удовлетворяют резонансному условию;

V. доказано, что типичная нелинейная полиномиальная система Лье-нара не имеет конечных инвариантных алгебраических кривых и

не интегрируема по Лиувиллю; при этом для любых степеней многочленов /(х) и д(х), удовлетворяющих условию deg / < deg д, существуют подсистемы, обладающие конечными инвариантными алгебраическими кривыми и интегрируемые по Лиувиллю;

VI. установлено, что полиномиальные системы Льенара при выполнении условий deg д > deg / и deg д = 2 deg / + 1 не интегрируемы по Дарбу;

VII. получены достаточные условия интегрируемости по Лиувиллю; показано, что эти условия являются и необходимыми, если deg д = 2 deg / + 1 или deg д = 2 deg / + 1 и система является нерезонансной на бесконечности;

VIII. классифицированы полиномиальные системы Льенара, обладающие неавтономными первыми интегралами и последними множителями Якоби с зависящим от времени экспоненциальным множителем; эта классификация является полной при выполнении условия

^ д =/ +1;

IX. найдены новые интегрируемые по Лиувиллю системы Льенара, параметризуемые произвольным многочленом; получены явные выражения для первых интегралов.

9. Найдено необходимое условие существования экспоненциальных инвариантов с неполиномиальным аргументом.

10. Новые методы и теоретические наработки диссертационной работы использовались при получения следующих результатов для важных с прикладной точки зрения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений:

I. классифицированы неприводимые алгебраические инварианты сле-

дующих автономных уравнений:

• уравнение Гельмгольца - ван дер Поля,

• обобщенное уравнение Дуффинга,

• обобщенное уравнение Дуффинга - ван дер Поля,

• уравнение Льенара пятой степени с линейной функцией при первой производной;

II. доказано, что при определенных значениях параметров

• уравнение Гельмгольца - ван дер Поля,

• обобщенное уравнение Дуффинга - ван дер Поля,

• уравнение Льенара пятой степени с линейной функцией при первой производной,

• уравнение Льенара четвертой степени с квадратичной функцией при первой производной,

имеют неприводимые алгебраические инварианты степеней выше второй относительно переменной y = xt; этот результат показывает ошибочность некоторых научных работ, посвященных инвариантным алгебраическим кривым и первым интегралам дифференциальных уравнений Льенара;

III. показано, что проблема Пуанкаре в классической постановке не имеет решения для уравнений Гельмгольца - ван дер Поля; проведена классификация неприводимых алгебраических инвариантов, степени которых зависят от параметров исходных уравнений;

IV. найдены необходимые и достаточные условия интегрируемости по Лиувиллю для следующих автономных уравнений:

• уравнение Гельмгольца - ван дер Поля,

• обобщенное уравнение Дуффинга,

• обобщенное уравнение Дуффинга - ван дер Поля,

• уравнение Льенара пятой степени с линейной функцией при первой производной,

• уравнение Льенара четвертой степени с квадратичной функцией при первой производной,

• уравнение Льенара пятой степени с кубической функцией при первой производной;

V. классифицированы неавтономные последние множители Якоби, являющиеся функциями Дарбу с зависящим от времени экспоненциальным множителем, для обобщенного уравнения Дуффинга - ван дер Поля;

VI. решена проблема интегрируемости по Пюизе для уравнения Льенара пятой степени с кубической функцией, описывающей затухание, в явном виде найдены первые интегралы, не являющиеся функциями Лиувилля;

VII. доказано отсутствие алгебраических предельных циклов для уравнения Гельмгольца - ван дер Поля, обобщенного уравнения Дуффинга - ван дер Поля и уравнения Льенара пятой степени с линейной функцией, описывающей затухание;

VIII. классифицированы инвариантные поверхности для неавтономных уравнений Дуффинга и Дуффинга - ван дер Поля с произвольной вынуждающей силой;

IX. доказана неинтегрируемость по Дарбу неавтономного уравнения Дуффинга - ван дер Поля с произвольной вынуждающей силой;

X. проведена классификация алгебраических инвариантов обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка, возникающих как редукции к переменным бегущей волны дисперсионного

уравнения Курамото - Сивашинского и модифицированного уравнения Курамото - Сивашинского, найдены новые алгебраически инвариантные решения модифицированного уравнения Курамото -Сивашинского;

XI. найдены все Ш-мероморфные решения семейства обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка, эквивалентного системе Лоренца, построены ранее неизвестные мероморфные решения системы Лоренца;

XII. получены все Ш-мероморфные решения семейства обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка, возникающего при переходе к переменным бегущей волны в обобщенном уравнении Розенау - Кортевега - де Вриза и в уравнении Кортевега - де Вриза - Бюргерса пятого порядка.

Теоретическая и практическая значимость диссертационной работы. Предложенные в диссертационной работе новые методы построения алгебраических инвариантов, инвариантных поверхностей, мероморфных решений имеют широкую область применимости. В автономном случае последний шаг метода является алгебраическим, что позволяет применять мощные алгоритмы алгебраической геометрии (базисы Гребнера, результанты и т. п.). Метод построения мероморфных решений обобщает ряд других методов, таких как методы подстановок и метод вспомогательных уравнений. Разработанные методы позволяют не только находить некоторые инварианты, но и проводить их классификацию. Для заданных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка метод построения алгебраических инвариантов может быть использован при решении проблемы Пуанкаре, а также при решении второй части 16-ой проблемы Гильберта в алгебраической постановке [48]. Вторая часть 16-ой проблемы Гильберта состоит в исследовании числа

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Белова Мария Владимировна, 2026 год

Список литературы

1. V. V. Kozlov. The Euler-Jacobi-Lie integrability theorem. Regul. Chaotic Dyn., 18(4):329-343, 2013.

2. V. V. Kozlov. Tensor invariants and integration of differential equations. Russian Mathematical Surveys, 74(1):111-140, 2019.

3. A. Goriely. Integrability and Nonintegrability of Dynamical Systems. World Scientific, 2001.

4. L. V. Ovsyannikov. Group Analysis of Differential Equations. Moscow: Nauka, 1978.

5. N. H. Ibragimov. Groups of Transformations in Mathematical Physics. Moscow: Nauka, 1983.

6. E. R. Kolchin. Differential algebra and algebraic groups, volume 54. Academic press, 1973.

7. A. G. Khovanskii. On solvability and unsolvability of equations in explicit form. Russian Mathematical Surveys, 59(4):661-736, 2004.

8. A. G. Khovanskii. Topological Galois theory. Springer Monographs in Mathematics, Springer, 2015.

9. J. J. Morales-Ruiz. Differential Galois theory and non-integrability of Hamiltonian systems. Springer, 1999.

10. V. V. Kozlov. Integrability and non-integrability in Hamiltonian mechanics. Russian Math. Surveys, 38(1):1-76, 1983.

11. A. V. Bolsinov and A. T. Fomenko. Integrable Hamiltonian Systems. Geometry, Topology, Classification. Chapman and Hall/CRC. A CRC Press Company Boca Raton, London, New York, Washington, D.C. USA, 2004.

12. G. Darboux. De l'emploi des solutions particulieres algebriques dans l'intégration des systemes d'equations différentielles algebriques. Acad. Sci. Paris C. R, 86:1012-1014, 1878.

13. P. Painleve. Sur les integrales algebriques des equations differentielles du premier ordre. CR Acad. Sci. Paris, 110:945-948, 1890.

14. H. Poincare. Sur l'integration algebrique des equations differentielles du 1-er ordre. Rend. Circ. Mat. Palermo, 11:193-239, 1891.

15. H. Poincare. Sur l'integration algebrique des equations differentielles du premier ordre et du premier degre. Rend. Circ. Mat. Palermo, 5:161-191, 1891.

16. M. F. Singer. Liouvillian first integrals of differential systems. Trans. Amer. Math. Soc, 333:673-688, 1992.

17. C. J. Christopher. Invariant algebraic curves and conditions for a centre. Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 124:1209-1229, 1994.

18. C. J. Christopher. Liouvillian first integrals of second order polynomial differential equations. Electron. J. Differential Equations, 49:1-7, 1999.

19. M. V. Dolov. On the number of algebraic invariant curves of polynomial vector fields. Differ. Equ, 40(6):896-897, 2004.

20. M. V. Dolov and V. V. Kosarev. Darboux first integrals and analytical structure of solutions of differential equations. Differ. Equ., 19(4):697-700, 1983.

21. M. V. Dolov. Algebraical limit cycles of polynomial vector fields on the plane. Differ. Equ., 37(9):1211-1216, 2001.

22. S. Lie. Klassifikation und integration von gewonlichen differentialgleichungen zwischen x, y, die eine gruppe von transformationen gestatten. Arch. fUr Math., 7:187-453, 1883.

23. N. H. Ibragimov. Group analysis of ordinary differential equations and the invariance principle in mathematical physics (for the 150th anniversary of Sophus Lie). Russian Mathematical Surveys, 47(4):89-156, 1992.

24. L. M. Berkovich. The method of an exact linearization of n-order ordinary differential equations. Journal of Nonlinear Mathematical Physics, 3(3-4):341-350, 1996.

25. W. Nakpim and S. V. Meleshko. Linearization of second-order ordinary differential equations by generalized Sundman transformations. Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications (SIGMA), 6:1-11, 2010.

26. A. Ruiz and C. Muriel. On the integrability of Lienard I-type equations via Л symmetries and solvable structures. Appl. Math. Comput., 339:888-898, 2018.

27. L. G. S. Duarte, L. A. C. P. da Mota, and E. Nunez. Finding first order differential invariants through the S-function. Computer Physics Communications, 207:542-544, 2016.

28. R. Conte and M. Musette. Solitary waves of nonlinear nonintegrable equations. Lect. Notes Phys., 661:373-406, 2005.

29. A. Gasull and H. Giacomini. Explicit traveling waves and invariant algebraic curves. Nonlinearity, 28:1597-1606, 2015.

30. M. Musette and R. Conte. Analytic solitary waves of nonintegrable equations. Physica D, 181:70-79, 2003.

31. N. A. Kudryashov. Simplest equation method to look for exact solutions of nonlinear differential equations. Chaos, Solitons and Fractals, 24(5):1217-1231, 2005.

32. R. Conte and M. Musette. The Painlevé Handbook. Springer, Mathematical Physics Studies, 2020.

33. M.H. Poincare. Sur l'integration algebrique des equations différentielles du premier ordre et du premier degre. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (1884-1940), 5(1):161-191, 1891.

34. M.H. Poincare. Sur l'integration algebrique des equations différentielles du premier ordre et du premier degre. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (1884-1940), 11(1):193-239, 1897.

35. Yu. Ilyashenko and S. Yakovenko. Lectures on Analytic Differential Equations, volume 86. Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, 2008.

36. X. Zhang. Integrability of Dynamical Systems: Algebra and Analysis. Springer Singapore, 2017.

37. D. Cerveau and A. Lins Neto. Holomorphic foliations in CP(2) having an invariant algebraic curve. Ann. Inst. Fourier, 41:883-903, 1991.

38. M. M. Carnicer. The Poincaré problem in the nondicritical case. Ann. Math., 140:289-294, 1994.

39. S. Walcher. On the Poincare problem. J. Diff. Eqns, 166:51-78, 2000.

40. C. Briot and J.-C. Bouquet. Théorie des fonctions elliptiques. 2ieme edition, Gauthier-Villars, Paris, 1875.

41. A. E. Eremenko. Meromorphic solutions of algebraic differential equations. Russian Math. Surveys, 37(4):61-95, 1982.

42. A. Eremenko. Meromorphic traveling wave solutions of the Kuramoto-Sivashinsky equation. J. Math. Phys., Anal., Geom, 2(3):278-286, 2011.

43. V. N. Gorbuzov. Construction of the first integrals and the last multipliers of polynomial autonomous multidimensional differential systems. Differential Equations, 34(4):564-566, 1998.

44. J. Llibre and Ch. Pantazi. Darboux theory of integrability for a class of nonautonomous vector fields. J. Math. Phys., 50:102705, 2009.

45. D. Blazquez-Sanz and Ch. Pantazi. A note on the Darboux theory of integrability of non-autonomous polynomial differential systems. Nonlinearity, 25:2615-2624, 2012.

46. V. N. Gorbuzov. Partial integrals of ordinary differential equations. arXiv:1809.07105, pages 1-171, 2018.

47. A. A. Andronov, E. A. Leontovich, I. I. Gordon, and A.G. Maier. Qualitative Theory of Second-Order Dynamic Systems. Wiley, New York, 1973.

48. X. Zhang. The 16th Hilbert problem on algebraic limit cycles. Journal of Differential Equations, 251(7):1778-1789, 2011.

49. A. A. Shcherbakov. Dynamics of local groups of conformai mappings and generic properties of differential equations on C2. In Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, volume 254, pages 103-120, 2006.

50. N. Goncharuk and Yu. Kudryashov. Genera of non-algebraic leaves of polynomial foliations of C2. Moscow Mathematical Journal, 18(1):63-83, 2018.

51. A. Lins Neto. Algebraic solutions of polynomial differential equations and foliations in dimention two, volume 1345. In: Holomorphic dynamics. Lectures Notes in Mathematics, 2006.

52. J. P. Jouanolou. Equations de Pfaff algébriques, volume 708. Lectures Notes in Mathematics, Springer, New York, 1979.

53. J. Llibre and X. Zhang. On the darboux integrability of polynomial differential systems. Qualitative theory of dynamical systems, 11:129-144, 2012.

54. А. Д. Полянин and А. И. Зайцев, В. Ф. и Журов. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. Физматлит, 2009.

55. I. T. Habibullin and A. R. Khakimova. Invariant manifolds and Lax pairs for integrable nonlinear chains. Theoretical and Mathematical Physics, 191(3):369-388, 2017.

56. C. Valls. Complete characterization of algebraic traveling wave solutions for the Boussinesq, Klein-Gordon and Benjamin-Bona-Mahony equations. Chaos, Solitons and Fractals, 95:148-151, 2017.

57. C. Valls. Algebraic traveling waves for some family of reaction-diffusion

equations including the Nagumo equations. Nonlinear Differential Equations and Applications, 24:25:1-13, 2017.

58. C. Valls. Algebraic traveling wave solutions, Darboux polynomials and polynomial solutions. Qualitative Theory of Dynamical Systems, 17:429-439, 2018.

59. C. Valls. Algebraic traveling waves for the generalized viscous Burgers equation. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 467(1):768-783, 2018.

60. E.J. Parkes, B.R. Duffy, and P.C. Abbott. The Jacobi elliptic-function method for finding periodic-wave solutions to nonlinear evolution equations. Phys. Lett. A., 295:280-286, 2002.

61. A. M. Wazwaz. The tanh-coth method for solitons and kink solutions for nonlinear parabolic equations. Appl. Math. Comput, 188:1467-1475, 2007.

62. J. H. He and H. X. Wu. Exp-function method for nonlinear wave equations. Chaos Solitons Fractals, 30:700-708, 2006.

63. R.J. Walker. Algebraic Curves. Springer-Verlag, New York, 1978.

64. R. R. Gontsov and I. V. Goryuchkina. On the convergence of generalized power series satisfying an algebraic ODE. Asymptotic Analysis, 93(4):311-325, 2015.

65. V. Dragovic, R. R. Gontsov, and I. V. Goryuchkina. From formal to actual Puiseux series solutions of algebraic differential equations of first order. arXiv, 2008.02982:1-17, 2020.

66. V. V. Golubev. Lectures on Analytical Theory of Differential Equations (in Russian). Moscow: Gostekhizdat, 1950.

67. A. D. Bruno. Asymptotic behaviour and expansions of solutions of an ordinary differential equation. Russ. Math. Surv., 59(3):429-481, 2004.

68. A. D. Bruno. Power Geometry in Algebraic and Differential Equations. Elsevier Science (North-Holland), 2000.

69. R. Conte. The Painleve approach to nonlinear ordinary differential equations. In R. Conte, editor, The Painleve Property One Century Later, pages 77-180. CRM Series in Mathematical Physics, Springer-Verlag, New York, 1999.

70. J. Chavarriga, H. Giacomini, and M. Grau. Necessary conditions for the existence of invariant algebraic curves for planar polynomial systems. Bull. Sci. Math., 129:99-126, 2005.

71. I. A. Garcia, H. Giacomini, and J. Gine. Generalized nonlinear superposition principles for polynomial planar vector fields. J. Lie Theory, 15(1):89-104, 2005.

72. H. Giacomini, J. Gine, and M. Grau. The role of algebraic solutions in planar polynomial differential systems. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 143(2):487-508, 2007.

73. A. Ferragut and H. Giacomini. A new algorithm for finding rational first integrals of polynomial vector fields. Qual. Theory Dyn. Syst., 9:89-99, 2010.

74. M. N. Lagutinski. On some polynoms and their aplication for algebraic integrationof ordinary differential algebraic equations. Communications of the Kharkov Mathematical Society. The second series (in Russian), 13:200224, 1912.

75. C. Christopher, J. Llibre, and J. V. Pereira. Multiplicity of invariant algebraic curves in polynomial vector fields. Pacific J. of Math., 229:63-117, 2007.

76. On the computation of the rational integrals of systems of ordinary differential equations by Lagutinski's method. Bulletin of NRNU MEPhI (in Russian), 5(24).

77. On algebraic integrals of a differential equation. Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science, 27(2).

78. M. V. Demina. Classifying algebraic invariants and algebraically invariant solutions. Chaos, Solitons and Fractals, 140:110219, 2020.

79. M. V. Demina. The method of Puiseux series and invariant algebraic curves. Communications in Contemporary Mathematics, 24(03):2150007, 2022.

80. M. V. Demina and C. Valls. Classification of invariant algebraic curves and nonexistence of algebraic limit cycles in quadratic systems from family (I) of the Chinese classification. International Journal of Bifurcation and Chaos, 30(4):2050056, 2020.

81. M. V. Demina. Liouvillian integrability of the generalized Duffing oscillators. Analysis and Mathematical Physics, 11(1):1-25, 2021.

82. M. V. Demina. Necessary and sufficient conditions for the existence of invariant algebraic curves. Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, 2021(48):1-22, 2021.

83. Y. Kuramoto and T. Tsuzuki. Persistent propagation of concentration waves in dissipative media far from thermal equilibrium. Progr. Theoret. Phys., 55(2):356-369, 1976.

84. G. I. Sivashinsky. Instabilities, pattern—formation, and turbulence in flames. Ann. Rev. Fluid Mech., 15:179-199, 1983.

85. A. J. Bernoff and A. L. Bertozzi. Singularities in a modified Kuramoto-Sivashinsky equation describing interface motion for phase transition. Physica D, 85(3):375-404, 1995.

86. D. Tseluiko, S. Saprykin, C. Duprat, F. Giorgiutti-Dauphine, and S. Kalliadasis. Pulse dynamics in low-Reynolds-number interfacial hydrodynamics: Experiments and theory. Physica D, 239:2000-2010, 2010.

87. R. Conte and T.-W. Ng. Meromorphic solutions of a third order nonlinear differential equation. Journal of Mathematical Physics, 51:033518, 2010.

88. R. Conte and M. Musette. Elliptic general analytic solutions. Studies in Applied Mathematics, 123:63-81, 2009.

89. R. Conte and T.-W. Ng. Meromorphic traveling wave solutions of the complex cubic-quintic Ginzburg-Landau equation. Acta. Appl. Math., 122:153-166, 2012.

90. M. V. Demina and N. A. Kudryashov. Explicit expressions for meromorphic solutions of autonomous nonlinear ordinary differential equations. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat, 16:1127-1134, 2011.

91. M. V. Demina and N. A. Kudryashov. From Laurent series to exact meromorphic solutions: The Kawahara equation. Phys. Lett. A., 374:40234029, 2010.

92. M. V. Demina and N. A. Kudryashov. On elliptic solutions of nonlinear ordinary differential equations. Appl. Math. and Comp, 217(23):9849-9853, 2011.

93. M. V. Demina and N. A. Kudryashov. Multi-particle dynamical systems and polynomials. Regular and Chaotic Dynamics, 21(3):351-366, 2016.

94. N. A. Kudryashov. Exact solutions of the generalized Kuramoto-Sivashinsky equation. Phys. Lett. A., 147:287-291, 1990.

95. A. N. W. Hone. Non-existence of elliptic travelling wave solutions of the complex Ginzburg-Landau equation. Physica D, 205:292-306, 2005.

96. N. A. Kudryashov and M. V. Demina. Traveling wave solutions of the generalized nonlinear evolution equations. Appl. Math. and Comp., 210:551557, 2009.

97. M. V. Demina and N. A. Kudryashov. Power and non-power expansions of the solutions for the fourth-order analogue to the second Painleve equation. Chaos, Solitons and Fractals, 32(1):124-144, 2007.

98. M. V. Demina and N. A. Kudryashov. The Yablonskii-Vorob'ev polynomials for the second Painlevé hierarchy. Chaos, Solitons and Fractals, 32(2):526-537, 2007.

99. V. I. Arnold and Yu. S. Ilyashenko. Ordinary differential equations, volume 1. Results of science and technology. Series Modern problems of Mathematics. Fundamental directions, 1985.

100. V. I. Arnold. Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations. Second edition. SpringerVerlag, New York, 1988.

101. H. Dulac. Points singuliers des equations differentielles. Mem. Sci. Math., 61, 1934.

102. A. D. Bruno. Local methods in nonlinear differential equations. Part I. The local method of nonlinear analysis of differential equations. Part II. The sets of analyticity of a normalizing transformation, volume 86. Springer Series in Soviet Mathematics, 1989.

103. M. J. Prelle and M.F. Singer. Elementary first integrals of differential equations. Trans. Amer. Math. Soc., 279(1):215-229, 1983.

104. C. Christopher, J. Llibre, C. Pantazi, and S. Walcher. On planar polynomial vector fields with elementary first integrals. Journal of Differential Equations, 267(8):4572-4588, 2019.

105. J. Chavarriga, J. Giacomini, J. Gine, and J. Llibre. Darboux integrability and the inverse integrating factor. J. Differential Eqs., 194:116-139, 2003.

106. C. Christopher and J. Llibre. Integrability via invariant algebraic curves for planar polynomial differential systems. Annals of Differential Equations, 16:5-19, 2000.

107. A. Goriely. Integrability, partial integrability, and nonintegrability for systems of ordinary differential equations. Journal of Mathematical Physics, 37:1871, 1996.

108. M. C. Nucci. Jacobi last multiplier and Lie symmetries: A novel application of an old relationship. J. Nonlinear Math. Phys., 12(2):284-304, 2005.

109. M. C. Nucci and P. G. L. Leach. An old method of Jacobi to find Lagrangians. J. Nonlinear Math. Phys., 16(4):431-441, 2009.

110. D. D'Ambrosi and M. C. Nucci. Lagrangians for equations of Painleve type my means of the Jacobi last multiplier. J. Nonlinear Math. Phys., 16(1):61-71, 2009.

111. I. A. Garcia and M. Grau. A survey on the inverse integrating factor. Qual. Theor. Dyn. Syst, 9:115-166, 2010.

112. M. V. Demina, J. Gine, and C. Valls. Puiseux integrability of differential equations. Qualitative Theory of Dynamical Systems, 21(2):35, 2022.

113. J. Giné and M. Grau. Weierstrass integrability of differential equations. Applied Mathematics Letters, 23:523-526, 2010.

114. J. Gine and J. Llibre. Formal Weierstrass non-integrability criterion for some classes of polynomial differential systems in C2. Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg., 30(4):2050064, 2020.

115. J. Gine and J. Llibre. Strongly formal Weierstrass non-integrability for polynomial differential systems in C2. Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ., 1:1-16, 2020.

116. A. A. Andronov, A. A. Vitt, and S. E. Khaikin. Theory of oscillators. Adiwes International Series in Physics, 1966.

117. B. H. Gilding and R. Kersner. Travelling Waves in Nonlinear Diffusion-Convection Reaction. Birkauser Basel, 2004.

118. P. Holmes and D. Rand. Phase portraits and bifurcations of the non-linear oscillator: x+(a +Yx2)x+/x+6x3 = 0. International Journal of Non-Linear Mechanics, 15(6):449-458, 1980.

119. G. Villari. On the qualitative behaviour of solutions of Lienard equation. J. Differential Equations, 67(2):269-277, 1987.

120. S. Lynch. Small-amplitude limit cycles of Lienard systems. Calcolo, 27:1-32, 1990.

121. E. Dumortier and L. Chengzhi. Quadratic Lienard equations with quadratic damping. J. Differential Equations, 139:41-59, 1997.

122. C. J. Christopher and S. Lynch. Small-amplitude limit cycle bifurcations for Lienard systems with quadratic or cubic damping or restoring forces. Nonlinearity, 12:1099-1112, 1999.

123. A. O. Ignatyev. The domain of existence of a limit cycle of Lienard system. Lobachevskii Journal of Mathematics, 38(2):271-279, 2017.

124. V. V. Amel'kin. On one conjecture in the theory of isochronous Lienard systems. Differential Equations, 53(10):1247-1253, 2017.

125. L. A. Cherkas and I. N. Sidorenko. Limit cycles of a Lienard cubic system with quadratic friction function. Differential Equations, 44(2):217-221, 2008.

126. K. Odani. The limit cycle of the van der Pol equation is not algebraic. Journal of Differential Equations, 115(1):146-152, 1995.

127. H. Zoladek. Algebraic invariant curves for the Lienard equation. Trans. Amer. Math. Soc., 350:1681-1701, 1998.

128. J. Llibre and X. Zhang. On the algebraic limit cycles of Lienard systems. Nonlinearity, 21:2011-2022, 2008.

129. X. Yu and X. Zhang. The hyperelliptic limit cycles of the Lienard systems. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 376:535-539, 2011.

130. C. Liu, G. Chen, and J. Yang. On the hyperelliptic limit cycles of Lienard systems. Nonlinearity, 25(6):1601-1611, 2012.

131. J. Chavarriga, I.A. Garcia, J. Llibre, and H. Zoladek. Invariant algebraic curves for the cubic Lienard system with linear damping. Bull. Sci. Math., 130:428-441, 2006.

132. X. Qian and J. Yang. On the number of hyperelliptic limit cycles of Lienard systems. Qual. Theory Dyn. Syst., 19:43, 2020.

133. L. A. Cherkas. Conditions for a Lienard equation to have a centre. Differ. Equ, 12:201-206, 1976.

134. C. Christopher. An algebraic approach to the classification of centers in polynomial Lienard systems. J. Math. Anal. Appl., 229(1):319-329, 1999.

135. J. Llibre and C. Valls. On the analytic integrability of the Lienard analytic differential systems. Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B, 21(2):557-573, 2016.

136. A. Gasull and J. Gine. Integrability of Lienard systems with a weak saddle. Z. Angew. Math. Phys., 68(13):1-13, 2017.

137. J. Gine and J. Llibre. On the integrability of Lienard systems with a strong saddle. Applied Mathematics Letters, 70:39-45, 2017.

138. J. Gine and J. Llibre. Weierstrass integrability in Lienard differential systems. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 377:362-369, 2011.

139. S.N. Pandey, P.S. Bindu, M. Senthilvelan, and M. Lakshmanan. A group theoretical identification of integrable cases of the Lienard-type equation x + f (x)x + g(x) = 0. I: Equations having nonmaximal number of Lie point symmetries. J. Math. Phys., 50(8):082702, 2009.

140. S.N. Pandey, P.S. Bindu, M. Senthilvelan, and M. Lakshmanan. A group theoretical identification of integrable equations in the Lienard-type equation x + f (x)x + g(x) = 0. II: Equations having maximal Lie point symmetries. J. Math. Phys., 50(10):102701, 2009.

141. A. Chiellini. Sullintegrazione della equazione differenziale y' + Py2 + Qy3 = 0. Bollettino della Unione Matematica Italiana, 10:301-307, 1931.

142. E.S. Cheb-Terrab. An Abel ordinary differential equation class generalizing known integrable classes. European J. Appl. Math., 17:217-229, 2003.

143. E.S. Cheb-Terrab. Solutions for the general, confluent and biconfluent Heun equations and their connection with Abel equations. J. Phys. A, 37:99239949, 2004.

144. I. A. Garcia, J. Gine, and J. Llibre. Lienard and Riccati differential equations related via Lie algebras. Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B, 10:485-494, 2008.

145. A. Ghose Choudhury and P. Guha. Chiellini integrability condition, planar isochronous systems and Hamiltonian structures of Lienard equation. Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B, 22:2465-2478, 2017.

146. M. V. Demina and D. I. Sinelshchikov. Integrability properties of cubic Lienard oscillators with linear damping. Symmetry, 11:1378, 2019.

147. P. Guha and A. Ghose Choudhury. Nonlocal transformations of the generalized Lienard type equations and dissipative Ermakov-Milne-Pinney systems. International Journal of Geometric Methods in Modern Physics, 16(7):1950107, 2019.

148. D. I. Sinelshchikov. On linearizability via nonlocal transformations and first integrals for second-order ordinary differential equations. Chaos, Solitons and Fractals, 141:110318, 2020.

149. M. V. Demina and D. I. Sinelshchikov. Darboux first integrals and linearizability of quadratic-quintic Duffing-van der Pol oscillators. Journal of Geometry and Physics, 165:104215, 2021.

150. D. I. Sinelshchikov. Nonlocal deformations of autonomous invariant curves for Lienard equations with quadratic damping. Chaos, Solitons and Fractals, 152:111412, 2021.

151. P. B. Acosta-Humanez, J. T. Lazaro, J. J. Morales-Ruiz, and Ch. Pantazi. On the integrability of polynomial vector fields in the plane by means of Picard-Vessiot theory. Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. A, 35:1767-1800, 2015.

152. V.K. Chandrasekar, S.N. Pandey, M. Senthilvelan, and M. Lakshmanan. A simple and unified approach to identify integrable nonlinear oscillators and systems. J. Math. Phys., 47:023508, 2006.

153. J. Llibre and C. Valls. Liouvillian first integrals for generalized Lienard polynomial differential systems. Adv. Nonlinear Stud., 13:819-829, 2013.

154. G. Cheze and T. Cluzeau. On the nonexistence of Liouvillian first integrals for generalized Lienard polynomial differential systems. Journal of Nonlinear Mathematical Physics, 20(4):475-479, 2013.

155. T. Stachowiak. Hypergeometric first integrals of the Duffing and van der Pol oscillators. Journal of Differential Equations, 266:5895-5911, 2019.

156. M. V. Demina. Invariant algebraic curves for Lienard dynamical systems revisited. Applied Mathematics Letters, 84:42-48, 2018.

157. M. V. Demina. Novel algebraic aspects of Liouvillian integrability for two-dimensional polynomial dynamical systems. Physics Letters A, 382(20):1353-1360, 2018.

158. M. V. Demina and C. Valls. On the Poincare problem and Liouvillian integrability of quadratic Lienard differential equations. Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sec. A: Mathematics, 150(6):3231-3251, 2020.

159. M. V. Demina. Integrability and Jacobi last multipliers of cubic Lienard differential equations with quadratic damping. Discontinuity, Nonlinearity, and Complexity, 9(4):499-507, 2020.

160. M. V. Demina. Integrability and solvability of polynomial Lienard differential systems. Studies in Applied Mathematics, 150(3):755-817, 2023.

161. E. Kamke. Differentialgleichungen: Lösungsmethoden und Lösungen. Chelsea, New York, 1959.

162. A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev. Handbook of exact solutions for ordinary differential equations, Secod Edition. Chapman and Hall, Boca Raton, 2003.

163. E. S. Cheb-Terrab and A. D. Roche. Abel ODEs: Equivalence and integrable classes. Computer Physics Communications, 130:204-231, 2000.

164. B. I. Suleimanov and A. M. Shavlukov. Integrable Abel equation and asymptotics of symmetry solutions of Korteweg-de Vries equation. Ufa Mathematical Journal, 13(2):99-106, 2021.

165. S. Opanasenko and E. V. Ferapontov. Linearizable Abel equations and the Gurevich-Pitaevskii problem. Studies in Applied Mathematics, pages 1-22, 2022.

166. C. Muriel and J. L. Romero. Second-order ordinary differential equations and first integrals of the form a(t, x)X+b(t, x). Journal of Nonlinear Mathematical Physics, 16:209-222, 2009.

167. C. Muriel and J. L. Romero. Nonlocal transformations and linearization of second-order ordinary differential equations. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 43(43):434025, 2010.

168. Yu. Yu. Bagderina. Invariants of a family of scalar second-order ordinary differential equations for Lie symmetries and first integrals. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 49(15):155202, 2016.

169. M. Gouveia, J. Llibre, and L. Roberto. Phase portraits of the quadratic polynomial Lienard differential systems. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Section A Mathematics, 151(1):202-216, 2021.

170. A. A. Andronov, A. A. Vitt, and S. E. Khaikin. Theory of Oscillators. Oxford, New York: Pergamon Press, 1996.

171. R. FitzHugh. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane. Biophys. J., 1:445-466, 1961.

172. J. Nagumo, S. Arimoto, and S. Yoshizava. An active impulse transmission line simulating nerve axon. Proc. IRE, 50:445-466, 1962.

173. V. K. Chandrasekar, M. Senthilvelan, and M. Lakshmanan. New aspects of integrability of force-free Duffing-van der Pol oscillator and related nonlinear systems. Jounral of Physics A, 37:4527-4534, 2004.

174. G. Gao and Z. Feng. First integrals for the Duffing-van der Pol type oscillator. Electronic Journal of Differential Equations, 19:123-133, 2010.

175. I. Kovacic and M. J. Brennan. The Duffing Equation: Nonlinear Oscillators and their Behaviour. Wiley, 2011.

176. I. Kovacic. Nonlinear oscillations. Springer International Publishing, 2020.

177. V. M. Buchstaber, V. Z. Enolskii, and D. V. Leykin. Kleinian functions, hyperelliptic Jacobians and applications. Reviews in Mathematics and Math. Physics (I.M. Krichever and S.P. Novikov, eds.), 10:1-125, 1997.

178. V. Z. Enolskii, E. Hackmann, V. Kagramanova, J. Kunz, and C. Lammerzahl. Inversion of hyperelliptic integrals of arbitrary genus with application to particle motion in general relativity. Journal of Geometry and Physics, 61:899-921, 2011.

179. M. J. Ablowitz and A. Zeppetella. Explicit solutions of Fisher's equation for a special wave speed. Bulletin of Mathematical Biology, 41(6):835-840, 1979.

180. J. A. Almendral and M. A. F. Sanjuan. Integrability and symmetries for the Helmholtz oscillator with friction. Journal of Physics. A: Mathematical and General, 36:695-710, 2003.

181. J. Qi, Q. Chen, and et. al. A note about the general meromorphic solutions of the Fisher equation. Mathematical Problems in Engineering, 2014:1-4, 2014.

182. S. Parthasarathy and M. Lakshmanan. On the exact solutions of the Duffing oscillator. Journal of Sound and Vibration, 137:523-526, 1990.

183. E. L. Ince. Ordinary differential equations. Dover Publications, 2015.

184. X. Zhang. The 16th Hilbert problem on algebraic limit cycles. J. Differential Equations, 251(7):1778-1789, 2011.

185. J. Llibre and X. Zhang. A survey on algebraic and explicit non-algebraic limit cycles in planar differential systems. J. Differential Equations, 39(1):48-61, 2021.

186. Y.-Q. Ye et. al. Theory of Limit Cycles, volume 66. Translations of Math. Monographs (AMS, Providence, RI), 1986.

187. J. Gine, M. Grau, and J. Llibre. On the extensions of the Darboux theory of integrability. Nonlinearity, 26:2221-2229, 2013.

188. John Weiss, Michael Tabor, and George Carnevale. The Painleve property for partial differential equations. Journal of Mathematical Physics, 24(3):522-526, 1983.

189. Z. Rakaric and I. Kovacic. Mechanical manifestations of bursting oscillations in slowly rotating systems. Mechanical Systems and Signal Processing, 81:3542, 2016.

190. M. V. Demina. Invariant surfaces and Darboux integrability for non-autonomous dynamical systems in the plane. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 51:505202, 2018.

191. S. Rajasekar. Controlling of chaos by weak periodic perturbations in Duffing-van der Pol oscillator. S. Pramana - J. Phys., 41:295, 1993.

192. F. M. Moukam Kakmeni, S. Bowong, and et. al. Strange attractors and chaos control in a Duffing-Van der Pol oscillator with two external periodic forces. Journal of Sound and Vibration, 277:783-799, 2004.

193. A. D. Morozov and O. S. Kostromina. On periodic perturbations of asymmetric Duffing-Van-der-Pol equation. International Journal of Bifurcation and Chaos, 24(5):1450061, 2014.

194. M. V. Demina and D. I. Sinelshchikov. On the integrability of some forced nonlinear oscillators. International Journal of Non-Linear Mechanics, 121:103439, 2020.

195. Y. M. Chiang and R. Halburd. On the meromorphic solutions of an equation of Hayman. J. Math. Anal. Appl., 281:663-677, 2003.

196. A. E. Eremenko, L. Liao, and T. W. Ng. Meromorphic solutions of higher order Briot-Bouquet differential equations. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 146(1):197-206, 2009.

197. C. F. Wu. Exact meromorphic stationary solutions of the cubic-quintic Swift-Hohenberg equation. Anal. Theory Appl., 30:108-119, 2014.

198. R. Halburd and J. Wang. All admissible meromorphic solutions of Hayman's equation. International Mathematics Research Notices, 2015(18):8890-8902, 2015.

199. M. V. Demina. Classification of meromorphic integrals for autonomous nonlinear ordinary differential equations with two dominant monomials. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 479:1851-1862, 2019.

200. M. V. Demina. Meromorphic solutions of autonomous ordinary differential equations without the finiteness property. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 516(2):126516, 2022.

201. W.K. Hayman. Nevanlinna theory and complex differential equations. Clarendon Press, Oxford, 1964.

202. I. Laine. Meromorphic functions. de Gruyter, Berlin and New York, 1993.

203. J. Clunie. On integral and meromorphic functions. J. London Math. Soc., 37:178-27, 1962.

204. A. E. Eremenko. Meromorphic solutions of equations of Briot-Bouquet type. Theory of functions, functional analysis and their applications (in Russian), 38:48-56, 1982. English translation: Amer. Math. Soc. Transl. 133 (1986), 15-23.

205. M. V. Demina and N. A. Kudryashov. Meromorphic solutions in the Fitzhugh-Nagumo model. Applied Mathematics Letters, 82:18-23, 2018.

206. M. V. Demina and N. A. Kudryashov. Elliptic solutions in the Henon-Heiles model. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 19(3):471-482, 2014.

207. E. N. Lorenz. Deterministic nonperiodic flow. Journal of the Atmospheric Sciences, 20(2):130-141, 1963.

208. C. Sparrow. The Lorenz equations: bifurcations, chaos, and strange attractors, volume 41 of Applied Mathematical Sciences. Springer-Verlag New York, 1982.

209. M. Tabor and J. Weiss. Analytic structure of the Lorenz system. Phys. Rev. A., 24(4):2157-2167, 1981.

210. M. Kus. Integrals of motion for the Lorenz system. Journal of Physics A: Mathematical and General, 16(18):L689, 1983.

211. N. Gupta. Integrals of motion for the Lorenz system. Journal of Mathematical Physics, 34:801-804, 1993.

212. J. Llibre and X. Zhang. Invariant algebraic surfaces of the Lorenz system. Journal of Mathematical Physics, 43(3):1622, 2002.

213. X. Zhang. Exponential factors and Darbouxian first integrals of the Lorenz system. Journal of Mathematical Physics, 43(10):4987, 2002.

214. N. A. Kudryashov. Analytical solutions of the Lorenz system. Regular and Chaotic Dynamics, 20:123-133, 2015.

215. P. Rosenau. Dynamics of dense discrete systems: High order effects. Prog. Theor. Phys, 79:1028-1042, 1988.

216. T. Kawahara. Oscillatory solitary waves in dispersive media. J. Phys. Soc. Japan, 33:260-264, 1972.

217. P. J. Olver. Hamiltonian and non-Hamiltonian models for water waves. Lecture Notes in Physics, 195, Springer-Verlag, New York, 1984.

218. S. Chen, Z. Du, J. Liu, and K. Wang. The dynamic properties of a generalized Kawahara equation with Kuramoto-Sivashinsky perturbation. Discrete and Continuous Dynamical Systems - B, 27(3):1471-1496, 2022.