Алгоритмы и программы рекуррентного оценивания статистических характеристик случайных сигналов в системах реального времени тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Шумаков, Егор Владимирович

• Шумаков, Егор Владимирович
• кандидат технических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат технических наук Шумаков, Егор Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ ОЦЕНОК ИЗМЕРЯЕМОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

1.1. Введение.

1.2 Актуальность проблемы построения доверительных интервалов.

1.3. Теоретические основы.

1.3.1. Вычисление точечных оценок случайной величины X.

1.3.2. Построение доверительных интервалов.

1.4. Существующие способы построения доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии.

1.5. Анализ рассмотренных методов.

1.6. Рекуррентные алгоритмы вычисления оценок математического ожидания и дисперсии.

1.7. Анализ возможностей синтеза рекуррентных алгоритмов вычисления доверительных интервалов и/f.

1.8. Выводы.

ГЛАВА 2. РЕКУРРЕНТНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ОЦЕНОК МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ И ДИСПЕРСИИ С

ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

2.1. Введение.

2.2. Теоретические основы предлагаемого алгоритма.

2.3 Исследование корректности постановки задачи.

2.4. Регуляризация систем уравнений.

2.4.1 Метод регуляризации Лаврентьева.

2.4.2 Метод регуляризации Тихонова.

2.4.3 Метод регуляризации, основанный на вычислении псевдообратной матрицы и псевдорешений (ПМП).

2.4.4 Результаты исследования предложенных методов регуляризации.

2.5 Результаты исследования предложенного алгоритма на точность вычисления.

2.6. Выводы.

ГЛАВА 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ КВАНТИЛЕЙ /а, и С

ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ.

3.1. Введение.

3.2 Вычисление квантилей распределения Стьюдента и хи-квадрат распределения с использованием численных методов решения соответствующих уравнений.

3.2.1 Постановка задачи.

3.2.2 Выбор и анализ численных методов.

3.2.3 Результаты исследования предложенных алгоритмов.

3.3 Вычисление квантилей распределения Стьюдента и хи-квадрат распределения с использованием численных методов интерполяции и аппроксимации.

3.3.1 Постановка задачи.

3.3.2 Интерполяция функций Sr(ta) и Sr [zt).

3.3.2 Экстраполяция функций Sr(ta) и Sr ).

3.3.3 Аппроксимация функций Sr(ta) и Sr ).

3.4 Исследование алгоритмов на скорость вычисления.

3.5 Прогнозирование функций Sr{ta) и Sr) с использованием синтеза численного метода припасовывания элементарных трапеций и метода основанного на построении приближающих функций. * Ю

3.6. Выводы.

ГЛАВА 4. ПРИМЕНЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ АЛГОРИТМОВ ПОСТРОЕНИЯ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ ДЛЯ ОЦЕНОК МАТЕМАТИЧЕСКОГО П

ОЖИДАНИЯ И ДИСПЕРСИИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

4.1. Введение.

4.2 Использование предложенных алгоритмов в программном обеспечении холтера Биоток 5000.

4.2.1 Описание холтера Биоток 5000.

4.2.2 Классификация помех и шумов, влияющих на качество электрокардиограммы и методы их устранения в холтере Биоток 5000.

4.2.3 Структура программного обеспечения холтера Биоток 5000.

4.2.4 Постановка задачи адаптивного усреднения QRS-комплексов.

4.2.5 Сущность предлагаемого алгоритма адаптивного усреднения.

4.2.6 Анализ помехи, влияющей на сигнал электрокардиограммы.

4.2.7 Результаты тестирования предложенных алгоритмов.

4.3 Оценка значений измерений хода пружин при автоматизированной настройке манометров.

4.3.1 Постановка задачи оценки значений измерений хода пружин при автоматизированной настройке манометров.

4.3.2 Результаты исследования закона распределения хода пружин манометров.

4.3.2 Анализ возможности построения доверительного интервала для математического ожидания выборки значений измерений хода пружин, используя квантили распределения Стьюдента.

4.3.3 Результаты сравнения методов сравнения построения ^доверительных интервалов.

4.4 Использование предложенных алгоритмов в учебном процессе.

4.5. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы и программы рекуррентного оценивания статистических характеристик случайных сигналов в системах реального времени»

Математические методы обработки экспериментальных данных играют существенную роль при измерениях. С усложнением методов измерений и повышением требований к точности измерений их роль становится все более важной. Во многих современных измерительных задачах получить требуемую точность результатов удается, лишь с применением более эффективных методов обработки данных, которые, как правило, используются в вычислительных машинах.

В настоящее время вопрос обработки данных с использованием вычислительных машин широко рассмотрен в различной литературе [1,13,24,37,42-48], которая весьма разнородна и освещает отдельные стороны задачи обработки данных. Наиболее полные исследования в этой области произвели следующие авторы: Г.С. Теслер[1], В.А. Грановский [4], Ю.В. Благовещенский [13], А.Н. Тихонов [55], J. С. Nash.

Наиболее часто используемым методом обработки данных является статистический метод. Как правило, при статистической обработке измерений основной задачей является получение оценок параметров а измеряемой величины (довольно часто этими параметрами являются математическое ожидание и дисперсия, реже — моменты более высоких порядков). Однако в ряде случаев требуется не только найти для параметра а подходящее численное значение, но и оценить его надежность и точность. Требуется знать, к каким ошибкам может привести замена параметра а его точечной оценкой, и с какой уверенностью можно ожидать, что ошибки не выйдут за известные пределы. Чтобы дать представление о точности и надежности оценки а , в математической статистике пользуются так называемыми доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Задача построения доверительных интервалов для оценок математического ожидания и дисперсии в математической статистике решена для классического случая, т.е. когда закон случайной величины X имеет вид нормального распределения. Основными неизвестными, которые необходимо вычислить для построения доверительных интервалов, являются оценки математического ожидания и дисперсии, а также квантили распределения Стьюдента ta и хи-квадрат распределения %2 .

Несмотря на то, что в настоящее время уже предложено значительное количество алгоритмов построения доверительных интервалов, базирующихся на самых разнообразных идеях и подходах [1,13,24], задача разработки новых и совершенствования уже имеющихся актуальна и сегодня. Как правило, предложенные ранее алгоритмы довольно трудоемки, с точки зрения затрат машинных ресурсов, и входят в такие пакеты программ, как Mathcad, MatLab, Lab View и др. Данные пакеты программ требуют для своей работы большого количества машинных ресурсов, что не позволяет ими воспользоваться в некоторых измерительных системах.

В настоящее время становится актуальна задача разработки автоматических систем измерения, работающих в режиме реального времени, причем основными требованиями, предъявляемых к ним — это высокая скорость вычисления и малые габариты устройства. В частности, к таким системам можно отнести портативные устройства, работающие в режиме реального времени, выполненные на базе промышленных компьютеров, микроконтроллеров, программируемых логических интегральных схем (ПЛИС).

Так как вычислительные мощности небольшой микропроцессорной системы не соизмеримы с вычислительными мощностями персональных компьютеров (процессорное время, память (оперативная и виртуальная), место на жестком диске), то при разработке программного обеспечения необходимо использовать такие алгоритмы, которые позволяли бы обрабатывать данные с минимальными затратами ресурсов вычислителя.

Как известно [24] , алгоритмы, необходимые для вычисления квантилей можно условно разбить на два класса: рекуррентные и ретроспективные алгоритмы. Одним из основных факторов, обуславливающих предпочтительность использования рекуррентных алгоритмов в системах с дефицитом вычислительных ресурсов, является то, что они менее трудоемки по сравнению с ретроспективными алгоритмами подобного назначения и, соответственно, их использование позволяет создавать более быстродействующие системы. Таким образом, при разработке рекуррентного алгоритма построения доверительных интервалов возникает возможность одновременно реализовать оба требования, предъявляемые к алгоритму для систем, работающих в режиме реального времени с ограниченными ресурсами, а именно — высокая скорость вычисления и малая трудоемкость.

Актуальность работы обусловлена отсутствием в широкой печати результатов исследования алгоритмов рекуррентного построения доверительных интервалов для оценок математического ожидания и дисперсии, необходимых при проектировании систем с дефицитом вычислительных ресурсов которые работают в реальном времени. К таким системам можно отнести как большие вычислительные системы, такие как системы управления подводных лодок, космических аппаратов, атомных реакторов и др., так и как системы, в которых основную вычислительную нагрузку несет не персональный компьютер, а микроконтроллер, ПЛИС, промышленный компьютер, и другие вычислители.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является синтез и исследование рекуррентных алгоритмов, позволяющих строить доверительные интервалы оценок математического ожидания и дисперсии случайной величины, в системах реального времени с дефицитом вычислительных ресурсов.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) рассмотреть и проанализировать возможности построения доверительных интервалов следующими методами:

• методом прогнозирования квантилей с использованием разностных уравнений;

• методом, основанном на решении уравнений, в которые входят искомые квантили;

• методом, основанном на приближении соответствующих функций

2) проанализировать возможности использования этих методов для разработки программного обеспечения в системах реального времени с небольшим количеством вычислительных ресурсов;

3) синтезировать алгоритмы, позволяющие вычислять квантили с наименьшими затратами машинных ресурсов и максимальной скоростью;

4) опробовать предложенные алгоритмы в уже существующих системах реального времени.

Методы выполнения исследований. При решении поставленных задач использовались численные методы решения трансцендентных уравнений, методы аппроксимации и интерполяции функций, а также методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Исследование свойств алгоритмов проводилось теоретически с использованием теории вероятностей и математической статистики и экспериментально с использованием пакета программ MATLAB.

Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что впервые были получены следующие результаты:

1) Предложен оригинальный метод последовательного припасовывания элементарных трапеций справа (Mi ill), предназначенный для решения трансцендентных уравнений относительно квантилей распределения Стьюдента и хи-квадрат распределения;

2) Для систем с дефицитом вычислительных ресурсов, разработан алгоритм вычисления квантилей ta и Ха-> основанный на синтезе методов Mi 111 и ДРА, что позволило соединить достоинства обоих этих методов, а именно — универсальность Ml 111 и скорость вычисления ДРФ.

3) Предложен оригинальный способ регуляризации решения системы линейных алгебраических уравнения, получаемой при прогнозировании квантилей с использованием разностных уравнений, который по сравнению с традиционными способами регуляризации подобных систем уравнений позволяет получать более точные и устойчивые решения;

4) Для мобильного устройства контроля и диагностики состояния сердечно-сосудистой системы человека Биоток 5000 был предложен адаптивный алгоритм усреднения фрагментов электрокардиограмм (QRS комплексов), что по сравнению с традиционным методом усреднения позволило, существенно сократить время усреднения QRS комплексов и повысить точность диагностики.

Практическая ценность работы заключается в следующем. Предложенные алгоритмы были использованы для обработки ЭКГ в мобильном устройстве контроля и диагностики состояния сердечнососудистой системы человека Биоток 5000. Использование алгоритмов позволило организовать адаптивный процесс усреднения фрагментов электрокардиограммы, что привело к сокращению времени анализа в некоторых случаях в 10-15 раз, по сравнению с традиционным (т.е. когда количество усреднений фиксировано, вне зависимости от уровня помехи) методом усреднения.

На основе предложенных алгоритмов рекуррентного построения доверительных интервалов была внедрена методика автоматической регулировки хода пружин манометров. Данный результат был применен при проведении на ОАО «Манотомь» НИР в направлении автоматизации процесса настройки манометров.

Кроме того, предложенные алгоритмы были внедрены в учебный процесс в качестве лабораторных работ.

Апробация работы. Основные результаты работы были доложены и обсуждены на XI, XII и XIV Международных научно-практических конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии» (г. Томск, соответственно 2005 г., 2006 г. и 2008 г.), Международной научно-практической конференции «Электронные средства и системы управления» (г. Томск, 2005 г.), Всероссийских научно-технических конференциях студентов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР» (г. Томск, 2004-2006 г.г.), а также на научных семинарах кафедры информационно-измерительной техники Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР).

Личный вклад автора в выполнение работы. Определение основных направлений деятельности, постановка задач и выбор методик исследований осуществлялись автором совместно с научным руководителем. Все результаты, описанные в данной работе, были получены автором лично.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано девять печатных работ, из них две работы опубликованы в журналах, рекомендуемых в ВАК для опубликования результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора наук.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Метод рекуррентного вычисления квантилей хи-квадрат 9 распределения - Ха и распределения Стьюдента - ta, основанный на решении разностных уравнений.

2. Алгоритмы решения трансцендентных уравнений, возникающих при 2 вычислении квантилеи Ха и ta \ 2

3. Метод вычисления квантилей ta и Ха с использованием аппроксимации и интерполяции соответствующих функций.

4. Результаты исследования предложенных численных методов 2 вычисления квантилеи и

5. Применение предложенных алгоритмов в уже существующих системах реального времени.

В первой главе рассмотрена краткая теория построения доверительных интервалов математического ожидания и дисперсии, а также существующие на сегодня способы их вычисления.

Во второй главе исследуются возможные алгоритмы рекуррентного построения доверительных интервалов с использованием разностных уравнений. Также в данной главе исследуются вопросы регуляризации СЛАУ.

В третьей главе представлены результаты исследования численных методов решения соответствующих трансцендентных уравнений, такие как метод Ньютона, метод дихотомического деления, метод хорд, а также метода последовательного припасовывания элементарных трапеций справа. Также в главе приведены результаты исследования алгоритма вычисления квантилей ta и Ха' используя интерполяцию алгебраическими многочленами и аппроксимацию различными функциями.

Описаны результаты использования каждого из этих численных методов, а также предложен новый метод вычисления квантилеи ta и Ха •

В четвертой главе представлены результаты применения разработанных алгоритмов: 1) при обработке ЭКГ в мобильном устройстве контроля и диагностики состояния сердечно-сосудистой системы человека Биоток 5000, 2) при оценке результатов измерения значений хода пружин манометров, а также 3) в учебном процессе, при исследовании возможности статистической обработки, используя среду графического программирования Lab VIEW 7.0.

В приложениях приведены документы, подтверждающие внедрение и использование результатов диссертационной работы.

Объем и структура. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 81 наименований. Содержание работы изложено на 175 страницах основного текста, иллюстрировано 38 рисунками и 30 таблицами. В приложении приведены документы, свидетельствующие о практической реализации результатов исследований и разработок автора.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Шумаков, Егор Владимирович

4.5 Выводы

Рассмотренные и синтезированные в предыдущих главах алгоритмы построения доверительных интервалов были успешно применены для решения такой практической задачи, как обработка ЭКГ в мобильном регистраторе Биоток 5000. Применение рекуррентного алгоритма построения доверительного интервала в составе холтера Биоток 5000 позволило производить адаптивное к уровню наводимых на прибор помех усреднение электрокардиограмм, что даёт возможность экономить вычислительные ресурсы микроконтроллера.

Предложенные алгоритмы построения доверительных интервалов для математического ожидания были реализованы в виде программного обеспечения и успешно применены в ходе выполнения НИР по автоматизации процесса регулировки манометров.

Кроме того, на основе предложенных алгоритмов было реализовано две лабораторные работы по дисциплине «Метрология, стандартизация и технические измерения». Рассмотренные в лабораторных работах задания позволяют студентам получить навыки программирования в среде Lab VIEW, а также укрепляют теоретические знания в области статистической обработки измерений и численных методов решения задач.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При выполнении диссертационной работы получены следующие основные результаты:

1. Предложен новый способ построения доверительных интервалов, основанный на численном методе припасовывания элементарных трапеций справа. Данный метод обладает универсальностью, а именно высокой точностью и не зависимостью от начальных данных, таких как значения доверительной вероятности а и числа степеней свободы г.

2. Произведен анализ численных методов приближения, которые наиболее подходят для функций Sr(ta) и Sr(%l). Показано, что для вычисления квантилей ta и %~а в системах с дефицитом машинных ресурсов, наиболее рационально с точки зрения точности приближения и скорости вычисления, использовать дробно-рациональную аппроксимацию (ДРА).

3. Рассмотрен оригинальный способ регуляризации решения системы линейных алгебраических уравнения (СЛАУ), получаемой при прогнозировании квантилей с использованием разностных уравнений.

4. Для систем с дефицитом машинных ресурсов, разработан алгоритм вычисления квантилей ta и xl > основанный на синтезе методов МПП и ДРА, что позволило соединить достоинства обоих этих методов, а именно — универсальность МПП и скорость вычисления ДРФ.

5. Для мобильного устройства контроля и диагностики состояния сердечно-сосудистой системы человека Биоток 5000 был предложен адаптивный алгоритм усреднения фрагментов электрокардиограмм (QRS комплексов), что по сравнению с традиционным методом усреднения позволило, повысить точность диагностики и сократить время усреднения QRS комплексов, в некоторых случаях в 10-15 раз. 6. Практическая ценность полученных результатов подтверждена применением их в ряде практических областей, от обработки измерений в холтере Биоток 5000 и технологических процессов до проведения лабораторных работ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Шумаков, Егор Владимирович, 2009 год

1. Теслер Г.С. Вычисление функций на ЭВМ Текст. / Г.С. Теслер, Б.В. Попов М.: Наукова думка, 1984. - 600 с.

2. Новицкий П.В. Оценка погрешностей результатов измерений — 2-е изд., перераб. и доп. Текст. / П.В. Новицкий, И.А. Зограф Л: Энергоатомиздат. Ленингр. Отд-ние, 1991. -304 с.

3. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ Текст. Пер. с англ.: В 3 т. — М.: Мир, 1977. — Т. 2. Получисленные алгоритмы. - 700 с.

4. Грановский В.А. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях Текст. / В.А. Грановский, Т.Н. Сирая Л: Энергоатомиздат. Ленингр. Отд-ние, 1990. - 388 с.

5. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для студ. вузов. Текст. — 10-е. изд. Стер. — М.: Издательский центр "Академия", 2005. 576 е.

6. Шумаков Е.В. Синтез и некоторые результаты исследований алгоритмов решения уравнений, возникающих при использовании распределения Стьюдента Текст. / А. А. Светлаков, Ю. Г. Свинолупов, Е. В. Шумаков. Известия ТПУ.-2006.-№8.-С. 11-15.

7. Ануфриев И. Е. MATLAB 7. Текст. / И. Е. Ануфриев, А. Б. Смирнов, Е. Н. Смирнова СПб.: БХВ-Петербург,2005. - 1104.

8. Пейч Л. И. Lab VIEW для новичков и специалистов Текст. / Л. И. Пейч, Д. А. Точилин, Б. П. Полчак М.: Горячая линия - Телеком ,2004. — 384.

9. Kwon Y.W. The Finite Element using MATLAB Текст. Boca Raton a. o.: CRC Press, 1997.-519p.

10. Демирчян K.C. Исследование виртуальных инструментов Текст. / К.С. Демирчян, Ф.П. Жарков/-М.:СОЛОН-Р, 1999.-269.

11. Н.ХоровицП. Искусство схемотехники Текст. / П. Хоровиц, У. Хилл. — Пер. с англ.: В 3 т. — 4-е изд. перераб. и доп. — М.: Мир, 1993. Т.З - 452 с.

12. Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике Текст. М.: «Советское радио», 1971. - 328 с.

13. Благовещенский Ю.А. Вычисление элементарных функций на ЭВМ. Текст. / Ю.А.Благовещенский, Г.С. Теслер Киев: Техника, 1977г. -208 с.

14. Максимов М.В. Защита от радиопомех. Текст. / М.В.Максимов, М.П. Бобнев М.: "Сов. радио", 1976. -496.

15. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника Текст. — М.: «Советское радио», 1966.-215.

16. Шумаков Е. В. Исследование алгоритмов решения уравнений, возникающих при использовании распределения Стьюдента: доклад, тезисы доклада. / Электронные средства и системы управления — Томск: Изд-во Института оптики атмосферы СО РАН, 2005. 4.2, с.90-93.

17. Савчук В.П. Обработка результатов измерений. Физическая лаборатория. 4.1: Учеб. пособие для студентов вузов. Текст. / Одесса: ОНПУ, 2002. — 54 с ил.

18. Рабинер JI. Теория и применение цифровой обработки сигналов Текст. / Л. Рабинер, Б. Гоулд. Пер с англ. - М.: Мир, 1978. - 848 с.

19. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов Текст./И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев/ М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. — 608.

20. Гольденберг Л.М. Цифровая обработка сигналов Текст.: Учебное пособие для ВУЗов. / Л.М. Гольденберг, Б.Д. Матюшкин, М.Н. Поляк. — М.: Радио и связь, 1990.-256 с.

21. Демидович Б.П. Численные методы анализа Текст. / Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова-М.: Физматгиз, 1963. -400 с.

22. Верждицкий В.М. Основы численных методов Текст. М.: Высш. шк., 2002 . - 840 с.

23. Боровиков В.П. STATISTICA- Статистический анализ и обработка данных в среде Windows. Текст./ В.П. Боровиков, И.П Боровиков/ М.: Информационно - издательский дом «Филинъ», 1997. - 218 с.

24. Тюрин Ю.Н. Анализ данных на компьютере / Под ред. В.Э. Фигурнова. Текст. / Ю.Н. Тюрин., А.А. Макаров/- М.: ИНФРА-М, Финансы и статистика, 1995.с. -260.

25. Попов Б.В. Приближение функций для технических приложений Текст. / Б.В. Попов, Г.С. Теслер — Киев: Техника, 1977. 208 с.

26. Терпугов А.Ф. Математическая статистика (конспект лекций). Текст. — Томск: Изд-во ТГУ, 1974-130.

27. Шумаков Е.В. Рекуррентный способ построения доверительных интервалов оценивания неизвестных значений измеряемых величин Текст. / Е.В. Шумаков, А.А. Светлаков // Приборы. 2006. - №6. — с. 5459.

28. Худсон Д. Статистика для физиков (лекции по теории вероятностей и элементарной статистике) Текст., 2-е изд. -М.: Мир,-380.

29. Смирнов В.Н. Курс высшей математики Текст. — В 4 т. — М.: Физматгиз, 1974. Т. 1. -480 с.

30. Бахвалов Н.С. Численные методы Текст. / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. М: Наука, 1973.-621 с.

31. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники Текст. -М.: «Советское радио», 1969. — 345 с.

32. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены Текст. — М.: Наука, 1976.-328 с.

33. Большее Л.Н. Таблицы математической статистики, 3-е изд. Текст. /Л.И. Болыпев, Н.В. Смирнов/- М.: Наука, 1983 259 с.

34. Новицкий П.В. Оценка погрешностей результатов измерений Текст. / П.В. Новицкий, И.А. Зограф — 2-е изд., перераб. и доп. — Л.: Энергоатомиздат, 1991. 304 с.

35. Рыжиков Ю.И. Управление запасами Текст. — М.: Наука, 1969. — 343 с.

36. Холлендер М. Непараметрические методы статистики. Текст./ М. Холлендер, Д. Вулф /М.: Финансы и статистика, 1983- 272.

37. Громов Ю.Ю. Тригонометрия: Учебное пособиеТекст. / Ю.Ю. Громов, Н.А. Земский, О.Г. Иванова/ — Тамбов: Изд-во Тамб. гос. тех. ун-та, 2003 -104.

38. Носач В.В. Решение задач аппроксимации с помощью персональных компьютеров Текст. М.: МИКАП, 1994. - 382 с.

39. Кацман Ю. Я. Прикладная математика. Численные методы. Учебное пособие. Текст. Томск: Изд. ТПУ, 2000. - 68 с.

40. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery В.P., Numerical Recipes in C. The Art of Scientific Computing. 2-nd ed. Copyright © Cambridge University Press, 1992, - 966p.

41. Демидович Б.П. Основы вычислительной математики Текст./ Б.П. Демидович, И.А Марон /- М.: Наука, 1970. 664.

42. Копченова Н.В. Вычислительная математика в примерах и задачах. Текст./ Н.В. Копченова, И.А .Марон/ М.: Наука, 1972. - 308.

43. Самарский А.А. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. Текст./

44. A.А. Самарский, А.В. Гулин/ М.: Наука, 1989. - 432.

45. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. Томск: МП "РАСКО", 1991. - 272.

46. Егорова Л.Я. Практикум по численным методам. / Л.Я. Егорова, Л. Л. Левин, Б .Г. Ослин и др./ Томск: Изд. ТГУ, 1979. - 212.

47. Крылов В.И. Вычислительные методы. Том I. Текст. / В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырный /- М.: Наука, 1976. 304.

48. Крылов В.И. Вычислительные методы. Том II. Текст. / В.И. Крылов,

49. B.В. Бобков, П.И. Монастырный /- М.: Наука, 1976. 400.

50. Светлаков А.А. Обобщенные обратные матрицы: некоторые вопросы теории и применения в задачах управления процессами Текст. Томск: Изд-во НТЛ, 2003. - 388 с.

51. Чернова Н.М. Математическая обработка экспериментальных данных (введение в математическую статистику): Метод, руководство Текст./ Международный педагогический университет. Магадан: Изд. МПУ, 1996.-30

52. Королюк B.C. Справочник по теории вероятностей и математической статистике Текст. / B.C. Королюк, Н.И. Портенко. А.В. Скороход, А.Ф. Турбин. М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1985. - 640 с.

53. Волковец А.И. Теория вероятностей и математическая статистика: конспект лекций для студентов всех специальностей и форм обуения БГУИР Текст. /А.И. Волковец, А.Б. Гуринович/ Мн.: БГУИР, 2003, -84.

54. Королюк B.C. Справочник по теории вероятностей и математической статистике Текст. / B.C. Королюк, Н.И. Портенко. А.В. Скороход, А.Ф. Турбин. — М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1985. 640.

55. Вентцель Е.С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения Текст./Е.С Вентцель, Овчаров Л.А./ М.: Наука, 1988. - 416.

56. Тихонов А.Н. Статистическая обработка результатов экспериментов Текст. / А.Н. Тихонов, Н.В. Уфимцев М.: Изд-во МГУ, 1988. - 174 с.

57. Воеводин В.В. Линейная алгебра Текст. — М.: Наука, 1974. 336 с.

58. Хемминг Р.В. Численные методы Текст. — Пер. с англ. — М.: Изд-во «Наука», 1972.-400 с.

59. Айвазян С.А. Статистическое исследование зависимостей Текст. — М.: Металлургия, 1968.-451 с.

60. Кузнецов А.А. Автоматизированный измерительно-технологический комплекс для автоматизированной настройки манометров Текст. Дисс. канд. техн. наук: 05.13.06. / Кузнецов Александр Александрович. — Томск: ТУ СУР, 2004.-147 с.

61. Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач Текст. / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин М.: Наука, 1974. - 186 с.

62. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов. Текст. -М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. -416.

63. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль Текст. Томск: РАСКО, 1992. - 272 с.

64. Боревич З.И. Определители и матрицы. Текст. — М.: Наука, 1979. — 286 с

65. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Текст. М.: Наука, 1988. - 548.

66. Головина М.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения Текст. -М.: Наука, 1979.-392.

67. Магазинников Л.И. Линейная алгебра. Текст. / Л.И. Магазинников, Н.Н. Горбанев/- ТАСУР, 1993. 182.

68. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. Текст. М.: Физматгиз, 1963. - 432.

69. Свинолупов Ю.Г. Автоматизированная регулировка стрелочных манометров Текст. / Ю.Г. Свинолупов, А.А. Кузнецов. // Приборы. -2004.-№5.-с. 45-52.

70. Турчак Л.И. Основы численных методов: Учебное пособие Текст. -М.: Наука., 1987.-320

71. Светлаков А.А. Синтез рекуррентных алгоритмов вычисления доверительных интервалов среднего значения и дисперсии случайных величин Текст. / А.А. Светлаков, Ю.Г. Свинолупов // Приборы. — 2005. — №6.-с. 133-141.

72. Moineddin R., Beyene J., Boyle Е: On the location quotient confidence interval Publisher: Geographical Analysis 2003, 256p

73. John С. Nash, ?«Compact Numerical Methods for Computers Linear Algebra and Function Minimisation?» Publisher: Taylor & Francis 1990, 278p

74. Сизиков B.C. Устойчивые методы обработки результатов измерений. Учебное пособие. Текст. / А-СПб.: "СпецЛит", 1999,-240

75. Документы о внедрении результатов диссертации1. УТВЕРЖДАЮ»

76. УТВЕРЖДАЮ» Первый проректор ТУСУРак.м.н. Оферкин А.И.'»1. Шурыгин Ю.А. 2008 г.

77. АКТ ВНЕДРЕНИЯ научно-технической разработки

78. Исполнитель аспирант каф. ИИТ

79. Uks^pr Шумаков Е.В. «И® » о Г 2008 г.1. УТВЕРЖДАЮ»

80. УТВЕРЖДАЮ» торТГУСУРа по HP1. Харитонов А.В. профеесоп2008 г1. Ремпе Н.Г. 2008г.

81. АКТ ВНЕДРЕНИЯ научно-технической разработки

82. Зам. технического директора -начальник СКБ1. Научный руководитель1. Свинолупов Ю.Г.oj L 2003 г.1. Светлаков А.А.1. Исполнитель,о » о I 2008 г.1. УТВЕРЖДАЮ