Алгоритмы расчета напряженно-деформированного состояния упругих тел на основе уравнений теории упругости в диагональной форме тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Махов, Алексей Викторович

• Махов, Алексей Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Махов, Алексей Викторович

Оглавление.

Введение.

ГЛАВА 1. Обзорная часть. Теоретические основы метода диагонализации системы уравнений равновесия.

1.1. Краткий обзор методов решения задач теории упругости.

1.1.1. Аналитические методы.

1.1.2. Численные методы.

1.2. Теоретические основы метода диагонализации системы уравнений равновесия.

1.2.1. Уравнения равновесия в напряжениях.

1.2.2. Уравнения, связывающие деформации с перемещениями.

1.2.3. Система уравнений граничных условий.

1.2.4. Граничные условия в перемещениях.

1.2.5. Матричная форма физических соотношений.

1.2.6. Постановка задач теории упругости в перемещениях.

1.2.7. Преобразование системы уравнений равновесия.

1.2.8. Выражения собственных векторов через перемещения.

1.2.9. Об эквивалентности диагонализированной системы уравнений равновесия и системы Коши-Римана.

ГЛАВА 2. Решение задач аналитическими методами.

2.1. Решение задач в декартовых координатах.

2.1.1. Растяжение полосы нагрузкой, распределенной по треугольному закону.

2.1.2. Простое растяжение полосы.

2.1.3. Случай, когда к полосе приложены нормальные и сдвиговые напряжения.

2.1.4. Другой способ задания растягивающих и сдвиговых напряжений.

2.1.5. Изгиб моментами, приложенными к боковым граням.

2.1.6. Задача о нагружении пластины сложной нагрузкой.

2.1.7. Расчет плотины треугольного профиля.

2.1.8. Задача Файлона.

2.2. Решение задач с использованием функции напряжений.

2.2.1. Расчет функций в, со, к, х по известной функции напряжений (р.

2.2.2. Изгиб консоли силой, приложенной на конце.

2.2.3. Изгиб двухопорной балки равномерно распределенной нагрузкой.

2.2.4. Изгиб консоли равномерно распределенной нагрузкой.

2.3. Решение задач с использованием функции напряжений в полярных координатах.

2.3.1. Преобразование метода для решения задач в полярных координатах.

2.3.2. Задача Митчела.

2.3.3. Изгиб кривого бруса.

2.3.4. Задача Кирша.

2.4. Решение задач с использованием граничных условий для 6,к,%.

2.4.1. Растяжение полосы нагрузкой, распределенной по треугольному закону.

2.4.2. Расчет пластины, нагруженной нормальными и касательными усилиями.

2.4.3. Задача Файлона.

Выводы по главе.

ГЛАВА 3. Решение задач численными методами.

3.1. Цели и средства исследования.

3.1.1. Методика исследования.

3.2. Общий вид постановки задачи.

3.3. Обобщенный ход решения. Вариант А.

3.4. Численная процедура решения.

3.4.1. Нанесение сетки на пластину.

3.4.2. Применение численного дифференцирования.

3.4.3. Решение СЛАУ и обработка результатов.

3.5. Тестовая задача.

3.5.1. Постановка задачи.

3.5.2. Решение.

3.5.3. Результаты.

3.6. Задача с квадратичной функцией нагрузки.

3.6.1. Постановка задачи.

3.6.2. Решение.

3.6.3. Результаты.

3.7. Обобщенный ход решения. Вариант Б.

3.8. Задача с тригонометрической функцией нагрузки.

3.8.1. Постановка задачи.

3.8.2. Решение.

3.8.3. Результаты.

Выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы расчета напряженно-деформированного состояния упругих тел на основе уравнений теории упругости в диагональной форме»

Задачи теории упругости - традиционный раздел механики деформируемого твердого тела, имеющий достаточное количество приложений в научных исследованиях и инженерных расчетах прочности конструкций. Задачи проведения анализа прочности материалов и конструкций в своем подавляющем большинстве опираются на классические математические модели, в основе которых лежат системы дифференциальных уравнений теории упругости, полученные еще в первой половине XIX века. Это системы уравнений упругого равновесия в перемещениях (Лямэ) и в напряжениях (Бельтрами-Мичелла) [83]. Исходная форма записи данных уравнений преобразованиям практически не подвергалась, по крайней мере, преобразованиям, которые не повышали бы порядок дифференциальных уравнений.

В настоящее время в связи с развитием вычислительной техники наблюдается интерес исследователей к развитию и применению численных методов. Проблемы повышения эффективности и быстродействия ЭВМ (как и проблема экономичности расчетов), возникающие при численной реализации решений задач теории упругости, не являются завершенными. В то же время хорошо известно, что развитие теоретических методик благотворно сказывается на модификации концепций и технологий вычислительных подходов.

В данной диссертации рассматривается возможность использования нового метода решения задач по расчету конструкций на прочность. Он основан на преобразовании системы уравнений упругого равновесия к диагональному виду.

Актуальность темы. Решение задач теории упругости как аналитическими, так и численными методами, сопряжено с проблемой интегрирования системы дифференциальных уравнений в частных производных при заданных условиях на границе [52], [77]. В случае аппроксимации частных производных с помощью конечно-разностного или конечно-элементного методов и перехода к решению системы алгебраических линейных уравнений (СЛАУ) хорошо известны преимущества, которые дают преобразования матрицы СЛАУ, в частности - ее приведение к диагональному виду [97]. Оказывается, что система дифференциальных уравнений равновесия теории упругости допускает приведение к диагональной форме [84], [86] на основе собственных преобразований в дифференциальном виде, минуя процедуру перехода к приближенной СЛАУ. При этом диагонализированная система в новых переменных имеет вид п .независимых друг от друга уравнений Лапласа (или Пуассона при наличии объемных сил), где п -размерность решаемой задачи. Сведение к гармонической проблеме облегчает процедуру интегрирования и удовлетворения граничным условиям, поскольку аппарат решения краевых задач для уравнения Лапласа является одним из наиболее хорошо разработанных в математической физике. Здесь следует назвать аналитические методы, включая методы теории функций комплексного переменного [47], [61], численные методы, в том числе методы конечных разностей, конечных элементов, граничных элементов, а также итерационные методы [101].

Использованный в диссертации подход, основанный на методе диагонализации системы уравнений равновесия, является одним из возможных вариантов решения как проблемы повышения эффективности аналитических методов реализации, так и проблемы повышения эффективности и экономичности численных решений на ЭВМ, возникающих при проведении прочностных расчетов в рамках плоской теории упругости [85].

Актуальность исследований состоит в практическом применении метода диагонализации в решениях ряда задач плоской теории упругости.

Преимущества метода диагонализации следующие:

1) Решение системы двух дифференциальных уравнений с частными производными заменяется решением двух независимых друг от друга уравнений Лапласа. Математический аппарат решения уравнений Лапласа как аналитическими, так и численными методами, является одним из наиболее хорошо разработанных в математической физике.

2) При численной реализации (с помощью конечно-разностного или конечно-элементного подходов) дифференциальные уравнения приближенно заменяются алгебраическими соотношениями. Матрица получаемой системы линейных алгебраических уравнений имеет ленточную структуру. В случае, когда система уравнений равновесия приведена к диагональному виду, ширина ленты соответствующей системы линейных алгебраических уравнений уменьшается в несколько раз, что сокращает количество операций по определению численного решения.

Цель диссертационной работы - показать применимость метода диагонализации системы уравнений равновесия для решения задач плоской теории упругости аналитическими и численными методами; на основе полученных решений оценить точность метода и его практическую применимость.

Основные задачи работы заключаются в следующем:

1) разработка алгоритмов применения метода диагонализации для решения плоских задач теории упругости в декартовых координатах с помощью аналитических методов;

2) разработка алгоритмов применения метода диагонализации для решения плоских задач теории упругости в полярных координатах с помощью аналитических методов;

3) разработка алгоритмов применения метода диагонализации для численного решения плоских задач теории упругости с помощью конечно-разностного подхода.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) предложены новые алгоритмы и примеры их применения для аналитического расчета напряженно-деформированного состояния упругих тел на основе уравнений теории упругости в диагональной форме;

2) метод диагонализации был использован для решения плоских задач в полярных координатах;

3) предложены новые алгоритмы численного расчета напряженно-деформированного состояния упругих тел на основе уравнений теории упругости в диагональной форме;

4) экспериментально подтверждена применимость метода диагонализации для численного решения задач.

Достоверность результатов исследования подтверждается: строгой математической постановкой и использованием математического аппарата теории упругости и математической физики; практически полным совпадением результатов аналитического решения плоских задач с известными в литературе решениями; малой погрешностью результатов численного решения задач при сравнении с известными из литературы аналитическими решениями.

Практическая ценность заключается в том, что результаты исследований, изложенные в диссертации, могут быть использованы:

- при решении широкого класса задач плоской теории упругости как аналитическими, так и численными методами;

- в педагогическом процессе - для подготовки курса лекций по теории упругости, основанной на диагональной форме уравнений равновесия, дополненного примерами решения задач;

- в вычислительных технологиях - для проектирования пакетов прикладных программ, использующих модифицированную постановку плоской задачи теории упругости.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) алгоритмы и примеры их применения для аналитического расчета напряженно-деформированного состояния упругих тел на основе уравнений теории упругости в диагональной форме;

2) постановка метода диагонализации для решения плоских задач в полярных координатах;

3) алгоритмы численного расчета напряженно-деформированного состояния упругих тел на основе уравнений теории упругости в диагональной форме.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:

- на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 2006 г.;

- на V Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», Томск, 2006 г.;

- на научных семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Томского политехнического университета, Томск, 2004,2007 г.г.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано пять статей.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Махов, Алексей Викторович

Выводы по главе

Программно реализовано решение граничной задачи в напряжениях методом конечных разностей на основе метода диагонализированной системы уравнений равновесия. Получена серия численных решений (прямоугольная полоса с линейной, квадратичной и тригонометрической функциями нагрузки), совпадающих с известными аналитическими решениями. Установлена хорошая сходимость решений при сгущении сетки.

Таким образом, экспериментально подтверждается применимость метода решения задач теории упругости с помощью диагонализированной системы уравнений равновесия к граничной задаче в напряжениях для прямоугольной полосы при линейных и нелинейных функциях нагрузок.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной диссертационной работе была решена научно-техническая проблема, заключающаяся в разработке алгоритмов применения метода диагонализации системы уравнений равновесия для решения задач плоской теории упругости аналитическими и численными методами.

Сформулируем полученные в работе результаты:

1. Разработан ряд алгоритмов применения метода диагонализации для аналитического решения задач плоской теории упругости в декартовых координатах.

2. Получено преобразование метода диагонализации для решения плоских задач теории упругости в полярных координатах.

3. Разработан алгоритм применения метода для решения плоских задач теории упругости в полярных координатах.

4. Разработаны алгоритмы применения метода диагонализации для численного решения плоских задач теории упругости.

5. С использованием указанных алгоритмов получены: a. аналитические решения плоских задач теории упругости в декартовых координатах; b. аналитические решения плоских задач теории упругости в полярных координатах; c. численные решения плоских задач теории упругости в декартовых координатах.

6. На основе полученных решений показана применимость метода диагонализации для решения плоских задач теории упругости как аналитическими, так и численными методами.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Махов, Алексей Викторович, 2007 год

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978. - 287 с.

2. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П., Савченков В.И. Численные методы в теории упругости и теории оболочек. Учебное пособие. -Красноярск: Изд-во Красноярского ун-та, 1986.-384 с.

3. Агарев В.А. Метод начальных функций для двумерных краевых задач теории упругости. Киев: Изд-во АН УкрССР, 1963. - 201 с.

4. Аладьев В.З., Шишаков M.JI. Введение в среду пакета Mathematica 2.2. -М: Филинъ, 1997. 368 с.

5. Александров А.В., Потапов А.В. Основы теории упругости и пластичности: Учебник для строительных специализированных вузов. -М.: Высшая школа, 1990. 400 с.

6. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. /Пер. с англ. М.: Мир, 1969. - 368 с.

7. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1987. - 598 с.

8. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.-640 с.

9. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М.: Высшая школа, 1968. - 511 с.

10. Ю.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Изд-е 11-е. М.: Физматлит, 2007. - 312 с.

11. П.Бенержи Б., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. /Пер. с англ. М.: Мир, 1984. - 494 с.

12. Бердичевский B.JI. Вариационные принципы механики сплошной среды. -М.: Наука, 1983.-448 с.

13. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. /Пер. с англ. -М.: Мир, 1987. 524 с.

14. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. /Пер. с англ. М.: Мир, 1982. -248 с.

15. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Изд-во Технико-теоретической литературы, 1955. - 607 с.

16. Бугров Я.С., Никольский С.Н. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1984. - 192 с.

17. Вайнберг Д.В., Синявский А.Л. Методы численного анализа в теории упругости // Труды II Всесоюзного съезда по теоретической м прикладной механике. 1964, С. 83-94.

18. Верижский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики. Киев: Вища школа, 1978. - 183 с.

19. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: Методы, алгоритмы программы. Киев: Наука думка, 1986. - 544 с.

20. Власов В.В. Метод начальных функций в задачах теории упругости и строительной механики. М.: Стройиздат, 1975. - 223 с.

21. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1982. - 254 с.

22. Воробьев Е.М. Введение в систему символьных, графических и численных вычислений «Математика-5». -М.: Диалог-МИФИ, 2005. -368 с.

23. Воробьев Н.Н. Теория рядов. 5-е изд. - М.: Наука, 1986. - 408 с.

24. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. Изд. 12-е, стереотипное. М.: Наука, гл. ред. Физ-мат литературы, 1977. - 870 с.

25. Галлагер Р. МКЭ: Основы. /Пер. с англ. М.: Мир, 1984. - 215 с.

26. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. Введение в теорию. -М.: Наука, 1977.-440 с.

27. Давыдов Е.Г. Введение в интегрированную систему Mathematica 2. Технология работы и практика решения задач. М.: Радио и связь, 1997. -72 с.

28. Демидов С.П. Теория упругости: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1979.-432 с.

29. Деруга А.П. Вариационно-разностные схемы высоких порядков // Пространственные конструкции в Красноярском крае. Красноярск: КИСИ, 1994.-С. 133-143.

30. Деруга А.П. Вариационно-разностные схемы на основе сверхсходимости // Проблемы оптимального проектирования сооружений. Доклады IV-ro Всероссийского семинара. Новосибирск: Изд-во НГАСУ, 2002. - С. 118130.

31. Дьяконов В.П. Системы .символьной математики Mathematica 2 и Mathematica 3. Справочное издание. М.: СК ПРЕСС, 1998. - 328 с.

32. Дьяконов В.П. Mathematica 4: учебный курс. СПб: Питер, 2001. - 656 с.

33. Дьяконов В.П. Mathematica 4 с пакетами расширений. М.: Нолидж, 2000.-608 с.

34. Жемочкин Б.Н. Теория упругости. М.: Госстройиздат, 1957.-256 с.

35. Ильин В.П., Кузнецов Ю.И. Алгебраические основы численного анализа. Новосибирск: Наука, 1986. - 182 с.

36. Капустина Т.В. Компьютерная система Mathematica 3.0 для пользователей. М: СОЛОН, 1999. - 240 с.

37. Калиткин Н.Н. Численные методы. -М.: Наука, 1978. 512 с.

38. Каплун А.Б., Морозов Е.М., Олферьева М.А. ANSYS в руках инженера: Практическое руководство. Изд. 2-е, нспр. М.: Едиториал УРСС, 2004. -272 с.

39. Кирпичев B.J1. Беседы о механике. M.-JL: Гостехиздат, 1951. - 360 с.

40. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 1973. 832 с.

41. Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия: Учебное пособие для вузов. Изд. 2-е, перераб. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1986. - 304 с.

42. Кулиев В.Д. Некоторые математические вопросы плоской теории упругости // Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород. Сборник статей к 75-летию Е.И. Шемякина. М.: Физматлит, 2006.-864 с.

43. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. - 688 с.

44. Лаевский Ю.М. Метод конечных элементов. Новосибирск: НГУ, 1999. -166 с.

45. Лейбензон Л.С. Краткий курс теории упругости. М.-Л.: ОГИЗ ГТТЛ, 1942.-304 с.

46. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1955.-492 с. •

47. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 940 с.

48. Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935.-674 с.

49. Маделунг Э. Математический аппарат физики: Справочное руководство. -М.: Наука, 1968.-620 с.

50. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981.-216 с.

51. Михлин С.Г., Смолицкий X.JI. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1965. - 384 с.

52. Мищенко П.Д., Терновской Б.П. Решение плоской задачи теории упругости методом последовательных приближений. Учебное пособие. -Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1975. 47 с.

53. Муравьев В.А., Бурланков Д.Е. Практическое введение в пакет Mathematica. Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 2000. - 124 с.

54. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1956. - 708 с.

55. Мэтыоз Дж., Уокер Р. Математические методы в физике. М.: Атомиздат, 1972. - 396 с.

56. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872 с.

57. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. /Пер. с англ.-М.: Мир, 1981.-304 с.65.0ден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир, 1976.-464 с.

58. Папкович П.Ф. Теория упругости. М.: Оборонгиз, 1939. - 640 с.

59. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. -М.: Наука, 1977.-312 с.

60. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. -М.: Наука, 1981.-688 с.

61. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. Изд-е 2-е. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1995. 366 с.

62. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. -М.: Физматлит, 2001. 576 с.

63. Понтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. М.: ГИТТЛ, 1953. - 420 с.

64. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986.-328 с.

65. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.: Наука, 1978. -392 с.

66. Рекач В.Г. Руководство к решению задач по теории упругости. -М.: Изд-во Высшая школа, 1966. 228 с.

67. Рекач В.Г. Руководство к решению задач прикладной теории упругости. -М.: Изд-во Высшая школа, 1973, 384 с.

68. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. -М.: Мир, 1972.-418 с.

69. Розин Л.А. Задачи теории упругости и численные методы их решения. -СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1998. 532 с.

70. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987. -459 с.

71. Самарский А.А. Теория разностных схем. Изд. 2-е, перераб. М: Наука, 1983.-616 с.

72. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. -432 с.

73. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. -М.: Наука, 1978.-592 с.

74. Светашков А.А. Диагональная форма уравнений теории упругости в перемещениях // Международная конференция по матемтике и механике: Избранные доклады. Томск: Изд-во ТГУ, 2003. - С. 188-192.

75. Светашков А.А. О преобразовании системы уравнений Бельтрами-Мичелла к диагональному виду // Известия высших учебных заведений. Физика. 2006. - № 6. - С. 124-127.

76. Светашков А.А. О приведении системы дифференциальных уравнений пространственной теории упругости к диагональному виду // Известия высших учебных заведений. Физика.-2005.-№ 11.-С. 116-120.

77. Светашков А.А. О решении плоских задач теории упругости с помощью диагонализованной системы уравнений равновесия // Вычислительные технологии.-2007.-Т. 12.-№2.-С. 110-114.

78. Светашков А.А. Собственные преобразования системы уравнений теории упругости // Известия высших учебных заведений. Физика. 2004. - № 10.-С. 98-101.

79. Светашков А.А., Махов А.В. Формулировка уравнений двумерной теории упругости в виде краевой задачи для системы Коши-Римана // Известия Томского политехнического университета. 2005. - № 6. - С. 136-140.

80. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. /Пер. с англ. М.: Мир, 1979.-392 с.

81. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. М.: Наука, 1964. - 208 с.

82. Смолянский M.JI. Таблицы неопределенных интегралов. Изд. 2-е, испр. -М.: Главное издательство физико-математической литературы, 1963. -112 с.

83. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. Киев: Наукова думка, 1972. -870 с.

84. Тимошенко С.П. Теория упругости. M.-JL: ОНТИ 1934.-451 с.

85. Турчак Л.И. Основы численных методов. -М.: Наука, 1987. 320 с.

86. Угодников А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань: Изд-во Казанского университета, 1986. - 296 с.

87. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Изд. 2-е, доп. Л.: Наука, 1967. - 402 с.

88. Уфлянд Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. -Л.: Наука, 1977.-220 с.

89. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. /Пер. с англ. -М.: Мир, 1969. 168 с.

90. Хазанов Х.С., Савельев Л.М. Метод конечных элементов в приложении к задачам строительной механики и теории упругости. Конспект лекций. -Куйбышев: Куйбышевский авиационный институт, 1975. 128 с.

91. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. /Пер. с англ. М.: Физматгиз, 1968. - 400 с.

92. Чигарев А.В., Кравчук А.С., Смалюк А.Ф. ANSYS для инженеров: Справочное пособие. -М.: Машиностроение-1,2004. 512 с.

93. Шешенин С.В. Об одном типе итерационных методов для решения некоторых задач механики деформируемого твердого тела // Известия РАН. Механика твердого тела. 1997. - № 2. - С. 21-26.

94. Benthem J.P. A Laplace transform method for the solution of semi-infinite and finite strip problems in stress analysis // Quart. J. Mech. and Appl. Math., 1963, - № 4. - p. 413-429.