Аналитические и гармонические всплески в многосвязных областях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Дубосарский, Глеб Александрович

• Дубосарский, Глеб Александрович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Дубосарский, Глеб Александрович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Аналитические всплески в пространствах типа Харди

1.1. Пространства типа Харди аналитических функций

1.2. Построение аналитических всплесков

1.3. Вспомогательные результаты

1.4. Теорема о базисе всплесков в пространствах типа Харди

1.5. Оценка скорости сходимости ряда всплесков

Глава 2. Гармонические всплески в пространствах типа Харди

2.1. Пространства типа Харди гармонических функций

2.2. Две вспомогательные гармонические системы

2.3. Вспомогательные результаты

2.4. Асимптотика функций из вспомогательных систем

2.5. Сходимость рядов по вспомогательным системам

2.6. Гармонические всплески

Заключение

Обозначения диссертации

Литература

Список публикаций по теме диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитические и гармонические всплески в многосвязных областях»

Введение

Актуальность темы исследования. Данная диссертация посвящена построению базисов аналитических и гармонических всплесков и их приложению к решению задачи Дирихле в многосвязных областях. Мы коснемся следующих аспектов данной проблематики: теории всплесков, истории построения базисов в пространствах аналитических и гармонических функций и результатов, относящихся к нахождению решения задачи Дирихле. Поскольку в диссертации используется метод ортогонализации, во введение включена история развития проблематики ортогонализации аналитических и гармонических многочленов на одном и нескольких контурах комплексной плоскости.

В 80-х годах в работах С. Малла [32] и И. Мейера [34], [35] был предложен общий метод построения ортогональных систем вейвлетов в пространстве 1,2(К). Термин «wavelet» является английским аналогом французского «ondellete». В русскоязычной литературе устоялся предложенный К. И. Оскол-ковым термин «всплеск». Всплеск-анализ сформировался благодаря работам И. Добсши, А. Коена, П. Ж. Лсмарье, В. М. Лоутона, С. Малла, И. Мейера и др. В России данной тематикой занимаются В. Г. Захаров, С. Ф. Лукомский, Т. П. Лукошенко, В. Н. Малоземов, И. Я. Новиков, А. П. Петухов, В. Ю. Протасов, М. А. Скопина, Ю. Н. Субботин, Ю. А. Фарков, Н. И. Черных и др. Всплескам посвящены множество монографий. В том числе монографии И. До-беши [12], С. Малла [17], И. Мейера [34], И. Я. Новикова, М. А. Скопиной, В. Ю. Протасова [19], А. П. Петухова [21], К. Чуй [28].

Классическая система ортогональных всплесков на вещественной оси строится в два этапа. Вначале находится функция (р(х), по которой определяются ее кратномасштабные сжатия и сдвиги tpj^ix) — — к). Функция <р(х) подбирается так, чтобы система {<fij,k(x) '• 3-> к £ Щ являлась ортонорми-рованной относительно скалярного произведения (/,д)ь2(ш) = J^f(x)9{x)^x-Система функций {ipj^{x) : j, к 6 Z} порождает следующие подпространства

пространства 1/2(М):

Полагается, что пространства {У^}^ образуют кратномасштабный анализ пространства 1/2 (М), если они удовлетворяют условиям

1 (0.1)

2) = (0.2) з

3) П ^ = {°>-

з

Функцию <р(х), порождающую кратномасштабный анализ, называют масштабирующей.

По масштабирующей функции (р(х) подбирается функция ф(х) и по ней определяются функции ф^¡.(х) = 2^2ф{Ух — к). Функция ф(х) подбирается так, чтобы пространства

= 1лп{фу,к(х) : к е X},з е Z

были ортогональны пространствам и выполнялось равенство

1^+1 = У5 + 1¥1. (0.4)

Система функций : к Е Ъ,] б Щ называется всплесками.

Используя классические всплески на вещественной оси, И. Мейер в [34] построил периодические всплески на отрезке [0,1]. Для этого по функциям с) и ф^к(х) были определены их 1-псриодизации по формулам

1>е1

Из ортонормированности систем {^Pj,k{x)} и {'фj,k{x)} вытекает ортонормиро-ванность каждой из систем {Ф^ж) : 0 < к < 23,3 е К} и {Ф0,оМ = 1, : 0 < к < 2^з £ N1 относительно скалярного произведения

р'2тг .

и,д)ь2= / /(х)д(х)(1х. Уо

Из свойства V} С и ортогональности пространств и И^- следует, что пространства

V} = Ьш{Ф^(я;) :0<к< € N. Ж,- = 1лп{Ф^(ж) : 0 < А; < 26 Н}

удовлетворяют соотношениям

1) ^ С , з > о,

а также ортогональность пространств У^- и И^-.

Если всплески порождены функцией Мейера ф(х) = /ф£(х) при

О < £ < 1/3, то, как показали в Д. Оффин и К. И. Осколков в [37], они образуют базис пространств Ьр[0,1], 1 < р < оо и С[0,1]. Чтобы ввести функцию ф(х), рассмотрим неотрицательную четную дважды непрерывно дифференцируемую функцию Мейера ф{си), которая удовлетворяет требованиям

1-е

ф(и) = 1 при <

ф{и>) ----- 0 при |си| > 1\ 1

2 :

1 + е

р (и + - )--нечетна при |а;| <

\ 2 / 2 2

где 0 < е < Функция 6(ш) неотрицательна и определяется соотношением

о

Заметим, что

supp 0(и) с е R : < М < 1 + е}

и в (и) — дважды дифференцируемая функция. Функция в(х) получается по формуле в(х) — fR9(t)e2mxidt. Функция ф(х) определяется по правилу ф{х) = в(х-\).

Через Сг(а) и Вг(а) обозначим окружность с центром в точке а радиуса г и открытый шар, который она ограничивает. Рассматривается область комплексной плоскости К, ограниченная окружностями Cro(zo) — Ci(0), Cri(z\), Cr2(z2)i - • ■, Crjn(zm), причем все замкнутые шары Bn(zk), к = 1, т попарно не пересекаются и лежат внутри шара В\(0).

В первой главе рассматриваются пространства типа Харди однозначных аналитических функций НР(К), 1 < р < оо. Пространства типа Харди являются естественным обобщением классических пространств Харди в единичном круге. Обозначим через р минимум из попарных расстояний между компонентами границы области К —- окружностями Oro(zo)) CVi(<2!i), • • •} Crm(zm

). При

1 < р < оо будем считать, что f(z) € Нр(К), если f(z) аналитическая в К и выполнены требования

27Г 2тг

SUP / If(reix)\pdx < оо, sup / |f(zi + re2X)\pdx < оо, / = 1,ш. 1-р<Г<1 J ri<r<ri+p J

О О

(0-7)

В диссертации установлено, в качестве простого следствия из теорем П. Фату (см. [11, Глава 9]), что если 1 < р < оо и выполнены условия (0.7), то функция f(z) почти всюду на границе области К имеет граничные значения f{zk+ruelx), определяемые как пределы limr_>.rjt f{zk + ге}х\ к — 0, т. При р — оо полагаем f(z) G Н^К), если f(z) аналитическая в А" и непрерывна в К.

В главе 2 диссертации рассматриваются пространства типа Харди веще-ственнозначных гармонических функций hp(K),l < р < оо. Они определяются практически так же, как классы НР(К), 1 < р < оо. При 1 < р < оо

пространство hv{K) вводится как пространство гармонических в К функций /(z), удовлетворяющих условию (0.7). Полагается, что f(z) € /^(А"), если f(z) гармоническая в К и непрерывна в К. Будем считать, что f(z) G hi(K), если гармоническая функция f(z), удовлетворяет условию (0.7) и следующим условиям:

2тг

J | f(zl + reix) - f(Zl + neix)\dx 0, r rh l = O^ü.

o

В пространствах Hp(K) и hp(K) при 1 < р < ос вводится норма следующим образом:

т

ll/llp-Ell^ + ^ÓIk, (0-8)

Jfc=о

где \\h\\Lp = (¿/027Г|h(x)\pdx^ ^, \\h\\Loo = тахже[0,27Г] \f(x)\. Отметим, что пространства НР(К) и hp(K) были введены ранее в работе [23] для случая центрального кольца. В диссертации сделано обобщение этих пространств на случай области К.

В работе [24] Ю. Н. Субботина и Н. И. Черных на основе периодических всплесков построены всплески, также образующие базис пространств Lp[0, 2тг], 1 < р < оо и С[0, 27г]. Всплески Wjtk(x) и щь(х) были построены по функции Ф(ж), порожденной функцией Мейера ф(х) по формуле (0.5), следующим образом:

функция Wj¿(x) такова, что wj^(x) является к ней тригонометрически сопряженной. Выпишем эти всплески в явном виде:

w0(x) = wn(x) = cos = Е ^ sin VX)

V veN ueN

где

&п = 2( 2-j)/*0(Pi sin 27ri/(fc + 0.5) ^ ri = 2i-i+Jfcj k__z o,l,..., 2^-1.

\ a4' / ^^

(0.10)

Так как носитель функции 9 (и) компактен, то при достаточно больших V выполняется 9™ = 0. Таким образом, суммы в (0.9) фактически являются конечными.

На основании всплесков (0.9) в работе [24] построен базис пространств Харди гармонических и аналитических функций в единичном круге, а также в пространствах ПР(К), 1 < р < оо и кр(К), 1 < р < оо в случае, когда область К является центральным кольцом. Гармонический базис в единичном круге получается за счет гармонического продолжения всплесков (0.9) внутрь единичного круга, а далее по гармоническому базису строится аналитический. По базисам в единичном круге определяются базисы в центральном кольце. Далее полученные базисы были перенесены на случай нецентрального кольца с помощью конформного отображения, представляющего собой дробно-рациональную функцию.

Поскольку построенные в диссертации всплески образуют базисы пространств типа Харди аналитических и гармонических функций, приведем историю построения базисов в различных пространствах аналитических и гармонических функций.

В 1928 году Ф. Франклин в [31] построил базис пространства непрерывных на отрезке функций. Данный базис получается за счет ортогонализации Грама-Шмидта относительно интегрального скалярного произведения специальной системы кусочно-линейных функций.

Обозначим через Лп пространства аналитических функций в единичном круге К = {г : < 1}, имеющих г?-ую непрерывную производную в замыкании круга К с нормой

Н|/|| = тахтах

к=0,п геК

Таким образом, сходимость в пространстве Лп есть равномерная сходимость в замыкании круга К всех производных, начиная с нулевой по п-ую.

В своей известной монографии [30] С. Банах в 1932 году поставил во-

прос о том, существует ли базис в пространстве А0. Положительный ответ на этот вопрос был дан в статье С. В. Бочкарева [7] в 1974 году. В ней был построен базис с помощью аналитического продолжения внутрь круга К специальных функций, построенных но системе Франклина. После этого результата 3. Чисельский в 1974 "году в [29] на основе сплайнов построил базис пространств аналитических функций нескольких комплексных переменных, имеющих непрерывные производные в замыкании К порядка не выше п. В частности, 3. Чисельский построил базис пространства Лп при любом п. Однако базис 3. Чисельского не обладал свойством ортопормированносги. В 1976 году Ю. Н. Субботин [41] и в 1979 году 3. Вронич [43] построили ортогональные базисы сплайнов пространств Лп. В уже упоминавшейся работе [24] Ю. Н. Субботин и Н. И. Черных построили базисы всплесков более простого вида пространств Харди аналитических и гармонических функций в единичном круге и пространств типа Харди аналитических и гармонических функций в центральном и нецентральном кольцах. В частности, Ю. Н. Субботин и Н. И. Черных построили базисы всех пространств Лп, не зависящие от п.

Поскольку всплески 2 главы могут быть использованы для решения задачи Дирихле, приведем описание результатов, полученных в этой области.

Задача Дирихле состоит в определении гармонической функции в области по ее известным граничным значениям. Известно, что в случае, когда

граница области конечной связности дважды непрерывно дифференцируема и граничные значения непрерывны, то решение задачи Дирихле существует и единственно (см. [8], с. 415-421).

Гармоническая функция и{£) восстанавливается через свои граничные значения на кривой Г, являющейся границей области по формуле

где К(х, в) — ядро, которое определяется единственным образом и зависит от геометрии области И. Ядро К(х, 5) может быть выражено через функцию

(0.11)

Грина по формуле

где п — нормаль единичной длины, направленная внутрь В. Однако, за исключением случаев простейших областей, вычисление функции Грина представляет собой трудную задачу.

Задача названа в честь П. Дирихле, поскольку он предложил метод вариации. Вариационный метод основан на том, что среди всех функций и{г), определенных в В и принимающих наперед заданные значения на Г, решение задачи Дирихле минимизирует интеграл

В методе потенциалов (см. [8], с. 415-421) решение задачи Дирихле ищется в виде потенциала двойного слоя с неизвестной плотностью, определенной на Г. Для этой плотности составляются интегральное уравнение Фредголь-ма, которое по теореме Фредгольма разрешимо. Однако в явном виде искомая плотность не выписывается.

В 1890 году А. Пуанкаре в [39] предложил метод выметания. Этот метод основан на том, что область комплексной плоскости можно представить в виде счетного объединения шаров. А. Пуанкаре предложил метод построения потенциала в области, являющейся конечным объединением шаров и получил решение в общем случае, устремляя количество шаров к бесконечности.

О. Перрон в 1923 в статье [38] опубликовал метод решения задачи Дирихле, заключающийся в построении последовательности супергармонических и субгармонических функций, общим пределом которых является искомое решение задачи Дирихле.

В случае, когда В является кругом, формула (0.11) превращается в формулу Пуассона:

>2тг

и(еи)Р(гех~*)(И, 0 < г < 1,

где Р(ге1х) = ~ ядро Пуассона.

В центральном кольце ядро К{х) в) может быть найдено по формуле Билля (см. [6], С. 237-240).

В случае многосвязных областей были предложены различные подходы к нахождению ядра К(х,в), которое однозначно определяется по геометрии области. В многих из следующих работ искалось решение задачи Шварца. Задача Шварца заключается в восстановлении аналитической функции (в общем случае, многозначной) в области но ее'вещественной части на границе. Если взять вещественную часть от полученной аналитической функции, то мы найдем решение задачи Дирихле. Таким образом, задача Шварца является более сложной задачей.

В работах [4,10,36] Г.'М. Голузина, И. А.Александрова и А. С. Сорокина, В. В. Митюшёва решение задачи Шварца в областях с круговыми границами находилось с помощью составления системы функциональных уравнений и последующего их решения методом последовательных подстановок. В статьях [1-3,20] Л. А. Аксентьева и Е. Л. Пацевич ядра интегральной формулы Шварца находились с помощью метода симметрии.

Полученные в работах [1-4,10,20,36] формулы для решения задачи Дирихле похожи, поэтому приведем только одну формулу в области К из работы [1]:

1 С °° / 1 1

К ) \2т Уг \г - ад г - Т&о))

-У'( 1--±=Ы},

где штрих после знака суммы означает, что в член ряда при к — 0 вычитаемое не входит, Ф(.г) — функция симметрии относительно окружности Со(1), являющейся внешней границей К\ Г — объединение всех граничных окружностей; функция Тк(г) является дробно-линейной функцией или сопряженной к ней, которая сопоставляет точке г точку, полученную путем последовательных симметрии относительно конечной последовательности граничных окружностей,

причем суммирование в формуле происходит по всем таким последовательностям любой длины п, занумерованным натуральными числами; ¿о — некоторая точка комплексной плоскости.

В [13] приводится решение задачи Шварца в многосвязной области, ограниченной конечным числом кривых. Ядра в этой работе выражались через ^-функцию Римана, которая представима в виде многократного ряда.

В главе 2 диссертации исследуется ортогонализация системы рациональных гармонических функций па нескольких окружностях, которая является новой и еще не была изучена. Поэтому мы приведем здесь историю развития родственной проблематики, касающейся ортогонализации многочленов и гармонических многочленов на одном и нескольких контурах.

Ортогональные на контуре комплексной плоскости многочлены были впервые исследованы Г. Сегё в 1921 году в работе [40]. Пусть на замкнутом спрямляемом контуре Г определена неотрицательная суммируемая функция равная нулю не более чем на множестве меры нуль. Ортонормированными по контуру Г с весом т](г) называются алгебраические многочлены Рп(г), имеющие положительный старший коэффициент и удовлетворяющие следующему условию:

Эти многочлены были подробно изучены Г. Сегё в случае, когда г)(г) = 1 и контур Г является аналитической кривой. В частности, в этой работе найдена асимптотика ортогональных многочленов и исследована сходимость рядов по этим многочленам к аналитической функции, но которой они построены. В монографии Г. Сегё «Ортогональные многочлены» результаты его работы [40] были обобщены на случай непрерывной положительной весовой функции г)(г) на кривой Г.

В работе П. П. Коровкина [16], вышедшей в 1941 году, уточняется асимптотика ортогональных многочленов в случае аналитической кривой, получен-

пая Г. Сегё. В статье [9] Я. Л. Геронимус изучил асимптотическое представление ортогональных многочленов при минимальных условиях на контур и весовую функцию, но без оценки остаточного члена. В 1966 году П. К. Су-етин в статье [25] нашел асимптотику ортогональных многочленов в случае, когда контур удовлетворяет условию Липшица и изучил сходимость ряда ортогональных многочленов внутри области, ограниченной Г, а также на самой кривой Г в области с достаточно гладкой границей.

Наконец, Г. Видом в работе [42] сделал принципиальный шаг в исследовании ортогональных многочленов и рассмотрел случай, когда ортогонализация проводится по нескольким жордановым кривым и дугам. Им получена асимптотика ортогональных многочленов при такой ортогонализации. В 1984 году А. И. Аптекарев (см. [5]) переформулировал асимптотику Г. Видома в других терминах, выразив ее в более явном виде.

Гармоническим многочленом называется вещественная часть некоторого алгебраического многочлена. Несмотря на то, что случай ортогональных многочленов хорошо изучен, о-случае гармонических ортогональных многочленов известно сравнительно мало. В 1931 году Г. Мерриман в [33] рассмотрел случай гармонической функции, непрерывной в замыкании области, ограниченной контуром Г. Он установил, что ее ряды Фурье но гармоническим многочленам, ортогональным относительно контура Г, равномерно сходятся внутри области, ограниченной этим контуром. В [27] найдена асимптотика суммы квадратов двух подряд идущих гармонических многочленов в случае специальных весов и кривой Г. Фактически эти веса и кривая подбираются так, чтобы получить асимптотику, как следствие результата П. К. Суетина [25]. Прямое перенесение результатов, полученных для ортогональных многочленов, на гармонические многочлены не получается, поскольку для получения результатов в аналитическом случае использовалась формула Коши, которая не имеет простого эквивалента в гармоническом случае.

Цели и задачи исследования. Главной целью настоящей работы я в-

ляется построение аналитических и гармонических базисов всплесков в пространствах типа Харди аналитических и гармонических функций в области, ограниченной несколькими окружностями, и исследование скорости сходимости рядов всплесков.

Методы исследования. В диссертации использовались методы комплексного анализа и теории функций.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации, изложенные ниже в разделе «Содержание работы», являются новыми в теории всплесков и теории построения базисов в пространствах аналитических и гармонических функций.

Научные положения, выносимые на защиту. Достоверность полученных в диссертационной работе результатов подтверждается строгими математическими доказательствами. Основные результаты состоят в следующем:

1) построены аналитические всплески, образующие базис пространств типа Харди аналитических функций в области ограниченной несколькими окружностями, и получена оценка скорости сходимости частичных сумм ряда всплесков и их производных;

2) построены гармонические всплески ортогональные на границе области, ограниченной несколькими окружностями, и образующие базис пространств типа Харди гармонических функций в этой области. Изучена скорость сходимости рядов по этой системе всплесков;

3) на основе методологии, развитой при конструировании ортогональных всплесков, в диссертации построены неортогональные гармонические всплески, образующие базис пространств типа Харди гармонических функций в многосвязных областях, ограниченных несколькими окружностями, и исследована их скорость сходимости. Коэффициенты разложения гармонической функции по этим всплескам вычисляются простым образом как интегралы от произведения граничных значений этой функции на тригонометрические полиномы.

Теоретическая и практическая значимость работы. Построены

аналитические и два вида гармонических всплесков в области, ограниченной несколькими окружностями. Эти всплески образуют базис пространств типа Харди аналитических и гармонических функций соответственно. Тем самым, в диссертации продолжены исследования по построению базисов в пространствах аналитических и гармонических функций. Сделаны оценки скорости сходимости рядов по построенным всплескам, из которых, в частности, следует, что для аналитических и гармонических функций с непрерывными граничными значениями соответствующие ряды сходятся равномерно в замыкании области. Построенные гармонические всплески могут быть использованы для решения за,дачи Дирихле, возникающей на практике. Эти всплески дают простой метод для численного решения задачи Дирихле. Известные интегральные формулы для решения задачи Дирихле имеют неограниченные ядра вблизи границы области и поэтому не могут быть использованы для определения решения вблизи границы из-за возникающей большой погрешности. Ряды гармонических всплесков сходятся равномерно в замыкании области, что даст возможность численно определять значения решения задачи Дирихле рядом с границей области.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на летних Школах С. Б. Стечкина по теории функций (Ми-асс, 2011, 2012, 2013); всероссийской молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики и ее приложений» (Екатеринбург, 2011, 2013); международной конференции «Wavelets and applications» (Санкт - Петербург, 2012); международной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2013); между народ ной конференции «Боголюбов-ские чтения DIF-2013» (Севастополь, 2013) и на совместных семинарах отдела теории приближения функций и отдела аппроксимации и приложений Института математики и механики УрО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [44-52]. Из них статьи. [44-47] опубликованы в изданиях из списка, реко-

мендованного ВАК. Результаты, вошедшие в диссертацию, получены автором самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Объем работы — 141 страница. Список литературы содержит 52 наименования.

Содержание работы. Диссертационная работа содержит введение, две главы, заключение, обозначения диссертации, список литературы и список публикаций автора. В работе принята:

1) двойная нумерация параграфов, первая цифра указывает на номер главы, вторая — на номер параграфа в данной главе. Например, параграф 1.5 — пятый параграф первой главы;

2) двойная нумерация формул, лемм, утверждений и теорем: первая цифра указывает на номер главы, в которой содержится объект, вторая — на номер объекта в данной главе. Например, формула 1.5 — пятая из пронумерованных формул первой главы;

Перейдем к описанию результатов первой главы диссертации.

В [24] были построены аналитические всплески в нецентральном кольце на основе всплесков в центральном кольце с помощью конформного отображения. В главе 1, на основе всплесков вышеназванной статьи, построен базис пространств типа Харди аналитических функций в К без применения конформного отображения в областях с круговыми компонентами границы со связностью 2 и более. Это приводит к более простым базисным функциям и формулам для коэффициентов разложения по всплескам, чем в случае нецентрального кольца.

Мы будем использовать функцию в (и), определенную на странице 6. На

основе всплесков

{Л„(*) = = 5Ы 2М\1 °'5):

П = 2-7-1 + Л, ^ > 0,0 < /г < 2-7-11

статьи [24], образующих базис пространств Харди в единичном круге, построен базис

пространства НР(К), 1 < р < оо. В диссертации вводятся пространства всплесков И^, 1 = 0,т^'>0^'б2 следующим образом:

= : п = + к,0<к< з 6 М,

И^ = : п = 2-7-1 + /г, 0 < А; < 2-?'~1}, I = ]~т

и определяются пространства кратномасштабного анализа / = 0,т, .7 > 1. По пространствам И^ и / = 0, т с помощью прямой суммы определяются пространства У^4 и У/^

т

1=0 т

1=0

Доказывается лемма 1.5, в которой устанавливается следующее разложение аналитической функции, являющееся тривиальным обобщением теоремы о разложении аналитической функции в ряд Лорана в кольце.

Утверждение 0.1. Пусть функция f(z) является аналитической в К. Тогда /(г) однозначным образом представима в виде

т.

к=О

где /о(г) аналитическая в -61(0), — в С \ВГк(гк) и выполняются равенства /а(оо) = Ишг_>00/(2;) = 0 при к = 1,га.

В диссертации определяется произведение для функций /{г), 1г{£) использующее их разложения (0.13)

(/, Ь)Ш) = I + г*е<Х)М** + гЛе«)Лс, (0.14)

где под соответствующими интегралами стоят граничные значения функций /к(г) и кк(г),к = 0~т.

Проверяется, что выполняются соотношения

Ч с уАи>

■ ^ + Жй = ^Ду,

и система (0.12) является ортонормированной относительно произведения (0.14). Каждая из систем функций, на которые натянуты пространства У/\,1 — 0, т, является ортонормированной относительно произведения (0.14), и пространства У^ и \iVjj ортогональны относительно произведения (0.14). Пространства и Ууу при I ф V ортогональны относительно произведения (0.14). Проверяется, что справедливы соотношения

и пространства Ул и Ж-4 ортогональны относительно произведения (0.14). Доказано, что система (0.12) образует ортонормированный относительно произведения (0.14) базис пространств НР(К), 1 < р < оо, следовательно

оо

[}У3А = НР{К), 1<р<00.

.7=0

Поскольку система функций (0.12) обладает свойствами, характерными для всплесков на прямой, систему функций (0.12) можно назвать системой всплесков.

Аналитической функции f(z) £ НР(К), 1 < р < оо сопоставляется ряд

оо т

¡(г) ~ а0,о + Е Е (0-15)

п=1 1=0

где коэффициенты вычисляются через граничные значения функции f(z) по формулам:

(*п,1 = (/(** + пе™), Ащ!(гк + гке*х))ь2(А),

1 /27Г _

Частичная сумма ряда по всплескам (0.12) вводится по следующей формуле:

7г—1 т

£„(2; /; А) = ао,о + Е Е ^¿АпА*)- (°-16)

71= 1 1=0

Доказано, что суммы /; А) сходятся к функции /(г) из пространства Нр(К), 1 < р < оо по норме || • ||р, определенной в (0.8). Следовательно, система функций (0.12) образует базис пространств НР(К)) 1 < р < оо. Также оценивается скорость сходимости сумм ¿>п(,г; /; А) к функции /(г). Для формулировки теоремы об оценке скорости сходимости рядов всплесков вводится несколько следующих обозначений.

Через Шп{х\ /) обозначим частичные суммы разложения /(х) £ 27т] по всплескам (0.9)

п-1 п—1

/—0 /=1

где (Ь,д)ь2 = /02?г ¡(х)д{х)йх. В [24] доказано, что частичные суммы •), определенные в (0.17) и действующие как линейные операторы из пространства Ьр[0, 27г] в пространство Ьр[0, 27г],1 < р < оо, имеют нормы ЦИ^Ц^, ограниченные одной и той же константой.

Через г, 0 < т < 1 обозначим величину

т = тах{|^|+г,,-^-,1-^-: к,1 = к ^ Л. (0.18)

I 1 - г*. Ь*. - гА - Г1 J

Обозначим через К§ при 0 < 5 < 1 область, ограниченную окружностями

Cj(0) и Crk/s(zk), k — 1,т, причем число 5 подобрано так, чтобы попарно

непересекающиеся круги ВГк/$(гк), к = 1,т лежали внутри £¿(0). Эти требования равносильны следующим неравенствам, которым должно удовлетворять число S:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дубосарский, Глеб Александрович, 2014 год

Литература

1. Аксентьев 'Л.А. Построение оператора Шварца методом симметрии // Тр. сем. по краев, задачам. 1964, № 2. С. 3-11.

2. Аксентьев Л.А. Построение оператора Шварца методом симметрии // Тр. сем. по краев, задачам. 1966, № 3. С. 11-24.

3. Аксентьев Л.А. Построение оператора Шварца методом симметрии // Тр. сем. по краев, задачам. 1967, № 4. С. 3-10.

4. Александров И.А., Сорокин A.C. Задача Шварца для многосвязных круговых областей // Сиб. мат. журнал. 1972. Т. 13, № 5. С. 970-1001.

5. Аптекарев А. И. Асимптотические свойства многочленов, ортогональных на системе контуров, и периодические движения цепочек Тода // Матем. сб. 1984. Т. 125(167), № 2(10). С. 231-258.

6. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970. 304 с.

7. Бочкарев C.B. Существование базиса в пространстве функций, аналитических в круге, и некоторые свойства системы Франклина // Матем. сб. 1974. Т. 95(137), № 1(9). С. 3-18.

8. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. 512 с.

9. Геронимус Я. Л. О некоторых экстремальных задачах в пространстве L^H Матем. сб. 1952. Т. 31(73), № 1. С. 3-26.

10. Голузин Г. М. Решение основных плоских задач математической физики для случая уравнения Laplace'a и многосвязных областей, ограниченных окружностями (метод функциональных уравнений) // Мат. сб. 1934. Т. 41, № 2. С. 246-276.

11. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 628 с.

12. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 464 с.

13. Зверович Э.И. Краевые задачи теории аналитических функций в гель-деровских классах на римановых поверхностях // Успехи мат. наук. 1971. Т. 26, №1. С. 113-179.

14. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Мир, 1964. 611 с.

15. Корнейчук Н. П., Лигун А. А., Доронин В. Г. Аппроксимация с ограничениями. Киев.: Наук, думка, 1982. 249 с.

16. Коровкин П. П. О полиномах, ортогональных по спрямляемому контуру при наличии веса // Матем. сб. 1941. Т. 9 (51), № 3. С. 469-485.

17. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов. М.: Мир, 2005. 671 с.

18. Никольский С. М. О некоторых методах приближения тригонометрическими суммами // Изв. АН СССР, Сер. мат. 1940. Т. 4, № 6. С. 509-520. '

19. Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теотжя всплесков. М.: Физматлит, 2006. 6-16 с.

20. Пацевич Е.Л. О построении оператора Шварца в круговой счетио-связной сг-области методом симметрии // Изв. вузов. Математика. 1986, № 10. С. 67-76.

21. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. СПб.: Изд-во СПбГ-ТУ, 1999. 132 с.

22. Субботин Ю. Н., Черных Н. И. Базисы всплесков в пространствах аналитических в кольце функций // Труды Международной летней математической Школы С. Б.-Стечкина по теории функций. Тула: Изд-во ТулГУ, 1999. С. 149-158.

23. Субботин Ю.Н., Черных Н. И. Всплески в пространствах гармонических функций // Изв. РАН. Серия математическая. 2000. Т. 64, № 1. С. 145-174.

24. Субботин Ю.Н., Черных H. И. Всплески периодические, гармонические и аналитические в круге с нецентральным отверстием // Труды Международной летней математической Школы С. Б. Стечкина по теории функций. Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. С. 129-149.

25. Суетин П. К. Основные свойства многочленов, ортогональных по контуру // УМЫ. 1966. Т. 21, №2(128). С. 41-88.

26. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир, 1980. 304 с.

27. Цыганков А. А. Некоторые оценки и асимптотические формулы для суперортогональных многочленов // Изв. вузов. Матем. 1972, № 7. С. 100-106.

28. Чуй К. Введение в вэйвлеты. М.: Мир, 2001. 412 с.

29. Ciesielski Z. Bases and approximation by splines // Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vancouver 1974. Montreal: Canad. Math. Congress. 1975. Vol. 2. P. 47-51.

30. Banach S. Theorie des operations linéaires. Warsaw: Mon. mat., 1932. Vol. 1. 254 p.

31. Franklin P.- A set of continuous orthogonal functions // Mathernatische Annalen. 1928. Vol. 100* № 1. P. 522-529.

32. Mallat S. Multiresolution approximations and wavelet ortonormal bases of L2(R) // Trans. AMS. 1989. Vol. 315, №1. P. 69-87.

33. Merriman G. M. On the expansion of harmonic functions in terms of normalorthogonal harmonic polynomials // Amer. J. 53. 1931. Vol. 53, № 3. P. 589-596.

34. Meyer Y. Ondelettes et Operateurs. I. Ondelettes. Paris: Herman, 1990.

35. Meyer Y. Principe d'incertitude, bases hilbertiennes et algebres d'operateurs // Seminaire Bourbaki. 1985-1986. Vol. 28, № 86. P.209-223.

36. Mityushev V.V. R-linear and Riemann-Hilbert problems for multiply connected domains // Advances in applied analysis. New York: Birkhauser, 2012. P. 147-176.

37. Offin D., Oskolkov "K. A note on orthonormal polynomial bases and wavelets // Constructive approx. 1993. Vol. 9, № 2. P. 319-325.

38. Perron O. Eine neue behandlung der ersten randwertaufgabe fur Au = 0 // Math. Z. 1923. Vol. 18, № 1. P. 42-54.

39. Poincare H. Sur les equations aux derivees partielles de la physique mathématique // Amer. J. Math. 1890. Vol. 12, № 3. P. 211-294.

40. Szegö G. Uber orthogonale Polynome, die zu einer gegebenen Kurve der komplexen Ebene gehören // Mathem. Zeitschr. 1921. Vol. 9, № 3-4. P. 218-270.

41. Subbotin Ju. N. Approximative properties of splines // Proceedings of an International Colloquium Approximation theory held at Bonn. Berlin: Springer Verlag, 1976. Vol. 556. P. 416-427.

42. Widom H. Extremal polynomials associated with a system of curves in the complex plane // Adv. in Math. New York: Academic Press, 1969. Vol. 3. P. 127-232.

43. Wronicz Z. Construction of an orthonormal basis in the space of functions analytic in a disc and of class Cn in its closure // Zesz. Nauk. Uniw. Jagiellon, Prace Matematyczne. 1979. Vol. 21. P. 91-96.

Список публикаций по теме диссертации Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

44. Дубосарский Г.А. Гармонические всплески в многосвязной области с круговым границами// Труды Института математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 1. С. 99-114.

45. Дубосарский Г.А. Гармонические всплески в многосвязной области с круговым границами и их приложения к задачам математической физи-ки//Труды Института математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 2. С. 109-124.

46. Дубосарский Г.А. Аналитические всплески в области с круговыми границами // Доклады Академии наук. 2013. Т. 448, № 4. С. 384-386.

47. Дубосарский Г.А. Аналитические всплески в многосвяоной области с круговыми границами // Математические заметки. 2014. Т. 95, № 3. С. 400-416.

Другие публикации

48. Дубосарский Г.А. Аналитические и гармонические всплески в области с круговыми границами // Тезисы Международной 42-й молодежной школы-конференции «Современные проблемы математики и ее приложений» (Екатеринбург, 30 января - 6 февраля, 2011). Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2011. С. 128-130.

49. Дубосарский Г.А. Неортогональные гармонические всплески в многосвязной области // Тезисы Международной 44-й Всероссийской молодежной школы-конференции «Современные проблемы математики и ее приложений» (Екатеринбург, 27 января - 2 февраля, 2013). Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2013. С. 256-258.

50. Дубосарский Г.А. Гармонические всплески в многосвязной области с круговыми границами// Труды конференции «Боголюбовские чтения DIF-2013» (Севастополь, 23-30 июня, 2013). Киев: Институт математики HAH Украины, 2013. С. 234.

51. Дубосарский Г.А. Гармонические всплески в многосвязной области и их приложения к решению задач математической физики//Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского. Казань: Казанский государственный университет. 2013. Т. 46. С. 182-183.

52. Dubosarskij G. А. Harmonie wavelets in multiply connected domain with circular boundaries // Тезисы конференции «Wavelets and applications» (Санкт-Петербург, 8-15 июля, 2012). Воронеж: Воронежский государственный университет, 2012. С. 26-27.