Аналитические методы исследования спектральных свойств циркулянтных графов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Соколова Галина Константиновна

• Соколова Галина Константиновна
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Соколова Галина Константиновна

1.1.4 Индекс Кирхгофа

1.1.5 Мера Малера

1.2 Структура и свойства характеристического полинома

1.2.1 Алгебраическая структура

1.2.2 Арифметические свойства

1.3 Основные инварианты графа с нефиксированными скачками

1.3.1 Число корневых остовных лесов и его свойства

1.3.2 Индекс Кирхгофа и его свойства

2 Конструктивное доказательство теоремы Планса

для узлов и сэндвич-графов

2.1 Предварительные сведения

2.1.1 Кольцо полиномов от сопровождающей матрицы

2.1.2 Полиномы Чебышёва и преобразование Чебышёва

2.1.3 Двухмостовые узлы и первая группа гомологий

2.1.4 Конус над сэндвич-графом и якобиан

2.2 Форма Смита сопровождающей матрицы суперпозиции

2.3 Приложения к теории узлов и графов

2.3.1 Теорема Планса для двухмостовых узлов

2.3.2 Теорема Планса для конуса над сэндвич-графами

3 Изоспектральность прямоугольных дискретных торов

3.1 Предварительные сведения и результаты

3.1.1 Декартово произведение и изоспектральность

3.1.2 Дискретный тор и его спектр

3.1.3 Тета-функция и ее свойства

3.2 Можно ли услышать размерность дискретного тора?

3.3 Теорема об изоспектральности

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитические методы исследования спектральных свойств циркулянтных графов»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность и степень разработанности темы. Представляемая диссертация посвящена изучению актуальных вопросов в теории многообразий малых размерностей, которые связывают комплексный и вещественный анализ, теорию алгебры, узлов и графов. Одной из основных проблем данной теории является определение строения многообразий с точностью до изоморфизма и вычисление инвариантов. Важным инструментом для нахождения инвариантов многообразий служит спектр их оператора Лапласа.

Исследования симметрий различных структур дают достаточно сильные и красивые результаты в математике. Циркулянтные графы образуют класс высокосимметричных математических структур. В 1846 году Э.Ш. Каталан [31] ввел понятие циркулянтной матрицы, которое в дальнейшем стало появляться во многих областях математики (см., например, статьи [31,54]). Циркулянтным графом называют граф Сп(^ ,..., ) на п вершинах, каждая г-я вершина которого смежна с вершинами г ± 51 ,г ± 52,..., г ± по модулю п. Числа £ N называются скачками графа, и выбираются так, что 51 < 52 < ... < вп ^ . Множество всех скачков графа иногда называют множеством связности графа. Таким образом, циркулянтный граф есть граф Кэли, чья матрица смежности является циркулянтной матрицей. Циркулянтные графы известны в научной литературе также под названиями: звездные многоугольники [100], циклические графы [30,39], циркулянтные сети [5,15,49] и др. На рис. 1 приведены примеры циркулянтных графов.

Рис. 1: Примеры циркулянтных графов слева направо С1б(1, 5, 8), С27(1, 3, 8,10), и С27(2, 3, 7,11)

Статья 1967 года Дж. Тёрнера [100] — одна из первых работ, с которой начались исследования циркулянтных графов. В ней было показано, что всякий вершинно-транзитивный граф с простым числом вершин будет циркулянтным.

В этом же году А. Адам [8] сформулировал гипотезу об условиях изоморфизма циркулянтных графов; утверждалось, что два циркулянтных графа изоморфны если и только если они сопряжены множителем. Говорят, что два циркулянтных графа Сп(з1, ..., Зк) и Сп(з'1, з'2,..., з'к) порядка п сопряжены множителем т Е Ъ, если (т, п) = 1 и ..., } = {тв^, тв^,..., тз'к} как множества

в Ъп. Однако существуют контрпримеры к гипотезе Адама. В статье Б. Элспаса и Дж. Тёрнера [35] приведен пример ориентируемых графов на п = 8 вершинах, а именно, Сб(1, 2, 5) и С8(1, 5,6) изоморфны, но не сопряжены множителем. В статье [36] тех же авторов приведен другой контрпример для неориентируемых графов порядка п = 16, а именно, С16(1, 2, 7,9,14,15) и С16(2,3, 5,11,13,14). В работе [26] приведен еще один контрпример неориентируемых изоморфных, но не сопряженных множителем графов порядка 16 — С16(1, 2, 7) и С16(2, 3, 5). Полное решение вопроса изоморфизма циркулянтных графов было приведено в 2004 году М. Музычуком в статье [87].

Широкий спектр работ посвящен исследованию различных инвариантов циркулянтных графов. Одним из основных спектральных инвариантов всякого конечного связного графа С является его сложность, определяемая числом остовных деревьев г (С) в данном графе. Отметим, что если граф С не связен, то его сложность равна нулю. Для связного графа сложность выражается по теореме Кирхгофа [56] как произведение всех ненулевых собственных значений оператора Лапласа заданного графа, поделенное на число его вершин. Также в заданном графе важным спектральным инвариантом является число корневых остовных лесов. Согласно результату А.К. Келманса и В.М. Челнокова [55], это значение можно найти через определитель матрицы ^ + Е, где ^ — оператор Лапласа графа С, а Е — единичная матрица, порядок которой совпадает с числом вершин в графе. Величина, равная (—1) = det(L+Е), где (^ есть характеристический полином оператора ^, является важным комбинаторным инвариантом, отвечающим за подсчет числа корневых остовных лесов в графах (более подробно об этом см. в статьях [45,55,60,67]).

Структурные теоремы, описывающие свойства числа остовных деревьев в циркулянтном графе и его асиптотическое поведение, приведены в работах К. Йонг с соавторами [105], Й. Жанг, К. Йонг и М.Дж. Голима [107], А.Д. Медных и И.А. Медных [77]. Свойства числа корневых остовных лесов в циркулянтном графе исследовались в статье Л.А. Грюнвальд и И.А. Медных [45].

Отметим, что данные инварианты зависят от собственных значений характеристического полинома (м) оператора Лапласа рассматриваемого циркулянт-ного графа. Структура самого полинома х^ (м) для циркулянтного графа была описана в статье Й.С. Квона, А.Д. Медных и И.А. Медных [64].

В диссертационной работе рассматривается класс циркулянтных графов с нефиксированными скачками. Для графов этого класса ранее были получены результаты о подсчете числа остовных деревьев в статьях К. Чена, К. Лин и Ф. Жанг [24,25], М. Голима, К. Йонг и В. Жанг [42], М. Ли, З. Чена, К. Руан и К. Йонг [67,71], А.Д. Медных и И.А. Медных [79].

Индекс Кирхгофа конечного связного графа С первоначально определен Д.Дж. Кляйном и М. Рандиком [58] как среднее резистентное расстояние между его вершинами, другими словами

п п

К/(С) = 2 ЕЕъ,

г=1 3=1

где г^ — расстояние сопротивления между вершинами VI и Vj, т.е. г^ равно сопротивлению между эквивалентными точками в соответствующей электрической сети, полученной заменой каждого ребра графа С единичным сопротивлением. Позже была независимо найдена простая формула, связывающая индекс Кирхгофа со спектром оператора Лапласа. Она была представлена в работах И. Гутмана и Б. Мохара [47], Х.Ю. Чжу, Д.Дж. Клейна и И. Луковица [108]. Аналитическая формула для индекса Кирхгофа для циркулянтно-го графа с фиксированными скачками была найдена в статье А.Д. Медных и И.А. Медных [80], где также была исследована асимптотика этой формулы.

Якобиан (группа якобиана) является еще одним важным алгебраическим инвариантом конечного графа. Отметим, якобиан не является спектральным инвариантом графа, однако порядок якобиана равен числу остовных деревьев в графе. Это значит, его порядок является спектральной характеристикой графа. Понятие якобиана встречается в различных работах под разными названиями, например, такими как песочная группа, группа Пикара, критическая группа, долларовая группа и др. Понятие якобиана графа было независимо введено несколькими авторами [9,11,12,16,28,33,62] и возникло как дискретный аналог якобиана из теории римановых поверхностей. Данное понятие также допускает

естественную интерпретацию в различных разделах физики. С точки зрения спектральной теории, наиболее интересным является изучение якобианов для бесконечных семейств графов с числом вершин, стремящимся к бесконечности.

Важной проблемой алгебраической теории графов является описание структуры якобианов графов. Однако описание структуры якобиана остается пока сложной задачей, и его структура известна только в нескольких случаях. Отметим несколько работ, связанных с исследованием якобианов циркулянтных графов. Строение якобиана циркулянтного графа с фиксированными скачками было описано в работах А.Д. Медных и И.А. Медных [2], Л.А. Грюнвальд и И.А. Медных [44]. Строение якобиана циркулянтного графа с нефиксированными скачками было получено в работе тех же авторов [3]. Строение якобиана для конуса над циркулянтным графом описано в работах [41,44]. Подробнее о данных результатах см. в обзоре [4]. Также в работе Л.А. Грюнвальд [46] была описана структура якобиана конуса над сэндвич-графом (сэндвич-граф — одно из обобщений циркулянтного графа).

Часть представляемой диссертационной работы, связанная с исследованием приведенных якобианов циркулянтного графа, была мотивирована классической теореме Планса [92] для узлов, которая утверждает следующее.

Теорема Планса. Пусть К — узел в сфере §3, а Мп — п-листное циклическое накрытие §3, разветвленное над узлом К.

1. Если п = 2т + 1, то первая группа гомологии Н1(М2т+1, Щ) распадается в прямую сумму двух копип одной и той же абелевой группы.

2. Если п = 2т, то накрывающее отображение : М2т ^ М2 индуцирует сюръективный гомоморфизм : Н1(М2т, Щ) ^ Н1(М2, Щ), ядро которого распадается в прямую сумму двух копий абелевой группы.

Существует достаточно много публикаций, посвященных доказательству теоремы Планса (см., например, статьи [32,43,92,99]), но все приведенные в них доказательства неконструктивны и не описывают структуру абелевых групп. Отметим две статьи Р.Х. Фокса [38] и М. Мулаззани и А.Ю. Веснина [84], где была описана структура абелевых множителей для двухмостовых узлов рода 1. Также структура абелевых множителей была описана для двухмостовых узлов

рода 2 в статье И.А. Медных [81]. Отметим, что согласно результату П. Дель Валя и К. Вебера [32], значительная часть теоремы Планса остается верной и для зацеплений.

Ранее в работе В. Ноферини и Г. Вильямса [90] были введены и изучены сопровождающие кольца унитарных полиномов. Получен результат, который связывает формы Смита матричных полиномов / (Сд) и Р (Со), где Р и С есть делители полиномов / и д соответственно. Приведем соответствующую теорему. Обозначим М — коммутативное кольцо с единицей.

Теорема 1. Пусть д(£) Е МЩ есть унитарный полином, и /(£) Е И пусть существуют полиномы Р(£) и С(Ь) Е МЩ такие, что /(^ = Р и д^) = С(Ь)к(1), где к(Ь) — унитарный полином степени т. Тогда

/(Сд) - ^(Са) 0 Отхт,

где Ото хто — нулевая матрица порядка т.

Этот результат был применен к вычислению формы Смита циркулянтной матрицы /(Сд), где /(£) является полиномом Александера торического узла и д(Ь) = 1п — 1, что позволило определить гомологии всех трехмерных многообразий Брискорна М(г,в,п). Отметим, что матрица Р(Со) имеет инвариантные факторы й1, в2,... ,яг если и только если /(Сд) имеет инварианты в2,..., яг и 0 (повторяющийся т раз). Обозначим произведение всех ненулевых инвариантных факторов матрицы Н как Бе^^) и назовем существенным детерми-нантным делителем.

Следствие. Пусть д(Ь) Е МЩ — унитарный полиномом, /(¿) Е при этом /(^ = Р(^)^(^) и д(^ = С(Ь)к(1), где к(Ь) унитарный полином степени т. Тогда имеет место соотношение Бе1/(Сд) = ^),С^)).

Приведенные теорема 1 и следствие мотивировали получение одного из основных результатов диссертационной работы, а именно, результат о форме Смита матричного полинома от сопровождающей матрицы суперпозиции двух полиномов, который далее позволил провести конструктивное доказательство теоремы Планса для произвольного двухмостового узла и сформулировать, а

затем доказать аналог теоремы Планса для конусов над сэндвич-графами и их якобианов.

В 1964 году Дж. Милнор [82] в своей одностраничной статье «Собственные значения оператора Лапласа на некоторых многообразиях» описал пример двух 16-мерных плоских торов, которые изоспектральны, но не изометричны. Статья Милнора вдохновила Марка Каца на написание статьи [53] с названием «Можно ли услышать форму барабана?». После данных классических работ вопрос о геометрических свойствах многообразия, определяемых его оператором Лапласа, стал предметом многочисленных исследований.

С. Вольперт [103] показал, что риманова поверхность общего положения определяется своим спектром оператора Лапласа. Тем не менее, известны пары изоспектральных неизометричных римановых поверхностей с родом не выше 4 (см. статьи П. Бузера [22], Р. Брукса и Р. Це [20] и др.). Существуют также примеры изоспектральных неизометричных поверхностей второго и третьего рода с переменной кривизной, согласно результату Р. Бардена и Хёнсук Канга [14]. В то же время Р. Брукс [19] доказал, что изоспектральные римановы поверхности (плоские торы) первого рода изометричны. Р.Р. Исангуловым [51] был получен аналогичный результат для бутылки Ф. Клейна. Таким образом, одномерные изоспектральные плоские торы всегда изометричны.

Возникает естественный вопрос: какова наименьшая размерность, в которой существуют изоспектральные неизометричные плоские торы? Вслед за Дж. Милнором поиск пар изоспектральных, но неизометричных плоских торов превратился в гонку за наименьшей возможной размерностью. М. Кнезер нашел 12-мерный пример в 1967 году [61]. Десять лет спустя Й. Китаока [57] сократил это число до восьми. В 1986 году Дж.Х. Конвей и Н.Дж.А. Слоан [27] нашли пятимерный и шестимерный примеры. В 1990 году А. Шиман [95] построил четырехмерный пример. Независимо от него, используя другой подход, К. Шиота [98] нашел еще один пример годом позже, в 1991 году. В том же году А.Г. Эрнест и Г. Нипп [34] представили еще одну пару.

Подобные результаты известны и для графов. Вопрос определения графов спектром их оператора Лапласа является предметом многих исследований (см. обзор Э.Р. ван Дама и В.Х. Хеймерса [29]). Питер Бузер [21] в 1992 году сформулировал следующую проблему: изометричны ли две изоспектральные римановы поверхности рода два? Насколько известно автору, эта проблема все

еще открыта, но, вполне вероятно, может быть решена положительно. Отметим также статьи А.Д. Медных и И.А. Медных [76], К. Лиу и Р. Лу [69], где рассматривался дискретный аналог римановой поверхности второго рода. Эту роль играют так называемые тета-графы. В указанных работах было показано, что два изоспектральных тета-графа изоморфны.

Недавно был получен следующий результат. Рассмотрим прямоугольную решетку Г в с диагональной базисной матрицей. Определим прямоугольный плоский тор как соответствующий плоский тор Кп/Г. Тогда, согласно ( [89], теорема 2.35), два прямоугольных плоских тора изоспектральны тогда и только тогда, когда они изометричны. В диссертационной работе устанавливается аналогичный результат для дискретных прямоугольных торов.

В заключение раздела отметим, что понятие циркулянтного графа и его обобщений, таких как граф с нефиксированными скачками, дискретный тор, сэндвич-граф и др. возникают в различных разделах естественных наук и самой математики. Циркулянтные графы представляют собой важный класс графов, которые могут быть использованы при проектировании локальных сетей [15]. Например, Ц.К. Вонг и Д. Копперсмит [104] применили циркулянтные графы в качестве структур многомодульной высокоскоростной памяти компьютерных систем. Циркулянтные графы также используются в проектировании и анализе топологий для компьютерных сетей и систем с массовым параллелизмом, в теории кодирования, в модели «малого мира», клеточных нейронных и оптических сетях (см., например, обзор [85]).

Целью диссертационной работы является изучение аналитических и асимптотических свойств спектральных инвариантов циркулянтных графов, а также исследование структуры якобианов графов и первой группы гомологий разветвленных накрытий над узлами.

Основные задачи исследования

1. Описать аналитическую структуру характеристического полинома оператора Лапласа циркулянтного графа с нефиксированными скачками.

2. Получить замкнутые аналитические формулы подсчета числа корневых остовных лесов и индекса Кирхгофа в циркулянтном графе с нефиксированными скачками.

3. Изучить асимптотическое поведение числа корневых остовных лесов и индекса Кирхгофа в циркулянтных графах с нефиксированными скачками.

4. Провести конструктивное доказательство теоремы Планса для двухмосто-вых узлов. Получить аналог теоремы Планса для якобианов конусов над сэндвич-графами.

5. Установить условия изоспектральности двух дискретных прямоугольных торов.

Структура и объем работы. Данная диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Каждая глава разделена на параграфы и содержит предварительные сведения, необходимые для понимания основного содержания соответствующей главы. Основные результаты сформулированы в виде теорем. Приведенные доказательства утверждений завершаются знаком □. Номера определений и утверждений типа теорем включают номер главы, параграфа и порядковый номер. Список литературы состоит из 116 наименований, из которых 8 наименований относятся к списку работ автора. Общий объем составляет 86 страниц.

Первая глава посвящена исследованию аналитических свойств спектров циркулянтных графов с нефиксированными скачками. Основная часть первого блока главы носит преимущественно вспомогательный характер, где вводится понятие и соответствующее определение рассматриваемого класса графов и их оператора Лапласа. А именно, под циркулянтным графом с нефиксированными скачками понимается граф Срп = С^п(з!,... , а!п,..., а^п) на вершинах, в котором любая ¿-я вершина соединена ребром с вершинами % ± й! ,...,% ± вк и % ± а!п,... ,г ± а^п, при этом суммы и разности берутся по модулю /Зп, где

1 ^ < . . . < Бк <

¡Зп

и 1 ^ а! < ... < а,£ ^

есть целые положительные

2

числа, называемые скачками графа. Отметим, что такой граф имеет в общей сложности к+1 скачков, из которых первые к постоянны, а остальные I линейно зависят от значения п. Для циркулянтного графа Срп выписываются матрица смежности и матрица валентности вершин, которые имеют следующий вид

к I

АСрп = + Т) + ТатП + Т-атП), ВСрп = 2(к + 1)Е,

г=! т=!

соответственно, где Т = о1го(0, 1,0,..., 0) — циркулянт порядка /Зп. Поскольку оператор Лапласа любого графа можно задать как разность между матрицами смежности и валентности вершин, то оператор Лапласа циркулянтного графа С^п имеет следующую структуру

к I

*Срп = 2(к + 1)Е - ^(Т5* + Т-3*) - ^(Та™п + Т-а™п).

г=1 т=1

Согласно монографии [31], спектр циркулянта Т определяется степенями первообразного корня из единицы j = 0,1,..., Зп — 1, где ^ = е2^. Это позволяет выписать как спектр самого оператора *с13п, так и общие черты структуры его характеристического полинома.

Также в вводном блоке главы приведены понятия остовного дерева и корневого остовного леса, индекса Кирхгофа и меры Малера, которая оказалась полезной при исследовании асимптотики полученных аналитических формул спектральных инвариантов циркулянтного графа.

Во втором блоке первой главы описана структура характеристического полинома оператора Лапласа для циркулянтного графа с нефиксированными скачками, что является одним из основных результатов первой главы. Приведем сооответствующею теорему.

Теорема 1.2.1. [110] Характеристический полином х*(м) оператора Лапласа циркулянтного графа С^п = С^п(з 1, з2,..., вк, а1п, а1 п,..., ацп)

задается следующей формулой

х* (м) = (—1)"(^-1) ПП («)) — 2со^2З^)) •

и=0 ]=1

где Тз('ш) — полином Чебышёва первого рода, а числа Wj (и) — корни уравнения

к I , ч

£ (W) = A2 + 2 £ 81п2(^) ,

для каждого фиксированного и = 0,1,... ,З — 1.

Данная теорема утверждает, что полином х* (м) является произведением алгебраических функций, которые задаются через полином Чебышёва первого

рода. Далее в теореме 1.2.2. устанавливается, что характеристический полином Х^ (м) циркулянтного графа Срп всегда представим в виде полного квадрата некоторого полинома с целыми коэффициентами и явно заданных множителей.

В заключительном блоке главы, на основе результата теоремы 2.1.1. для циркулянтных графов с нефиксированными скачками, были получены формулы таких спектральных инвариантов графа, как число корневых остовных лесов и индекс Кирхгофа, исследована их асимптотика при стремлении числа вершин в графе к бесконечности. Согласто работе А.К. Келманса и В.М. Челнокова [55], число корневых остовных лесов /с в графе С можно определить при помощи характеристического полинома по формуле /с = (—1).

Теорема 1.3.1. [110] Число корневых остовных лесов в циркулянтном графе С^п = Срп(<§1, 82,..., Зк, а1п, а2п,..., ацп) задается формулой

Р-1

П П

и=0]=1

где Тз('ш) — полином Чебышёва первого рода, и числа Wj (и) — корни уравнения

¡с,„ = П П (и)) - 2) ,

к, I / \

£(2Т„М - 2) = 1 + 4 £ вт2( ,

г=1 т=1 \ Р /

для каждого и = 0,1,... , Р — 1.

Асимптотика числа корневых остовных лесов в циркулянтном графе Срп описывается следующей теоремой.

Утверждение 1.3.1. Пусть выполняются условия gcd( й 1, з2,..., з&) = 1 и gcd(а1,а2,... ,ае) = 1. Тогда число корневых остовных лесов в графе С^п = Срп(..., , а1п,..., ацп) имеет следующую асимптотику

13—1

/^п ~ П А, при П ^ +Ж,

и=0

/3—1 /1 \

где А = Ц М(Ри) и М(Ри) = скш / 1п |Рм(е2пгГ)1сИ i — мера Малера полинома

и=0 \о /

Ри(г) = 2к -

к е / \ 2 £ Т, (w) + 4 £ аЛ.

1=1 т=1 \ 3 У

Кроме этого, установлено, что число корневых остовных лесов аналогично характеристическому полиному есть полный квадрат некоторого полинома с целыми коэффициентами и фиксированными множителями. Индекс Кирхгофа К/(СРп) в терминах характеристического полинома оператора Лапласа можно определить по следующей формуле

К/сРп = -/Зп Иш

х* Ы

^0 2Х* Ы'

Приведем соответствующий результат о формуле индекса Кирхгофа графа с нефиксированными скачками.

Теорема 1.3.2. [109] Индекс Кирхгофа Кциркулянтного графа С^п определяется по формуле

К 1Сцп =

З п

12 Е $

=1

(

к л

Е* 4 2 =1

п

V

Е^,

=1

+

Е

■т:(((т)=0 ■ш=1

3Ugn-l(w) Q'(w)(1 - T3n(w))

где Tвn(w) и есть полиномы Чебышёва первого и второго рода, и

к

полином Q(w) = Е(2 - 2ТН(w)).

=1

Данная теорема утверждает, что индекс Кирхгофа Кпредставим как сумма конечного числа слагаемых, количество которых не зависит от числа 3п вершин в графе, при этом каждое из этих слагаемых является рациональной функцией, определенной в корнях некоторого фиксированного полинома. Для индекса Кирхгофа Кисследована асимптотика при п ^

Утверждение 1.3.3. Справедлива асимптотическая формула

К 1Сцп =

3 п

12 £ а?

=1

/

к Л

Е« 4

2 =1 п —

\

к

Е ,

=1

Е

г:Ь(г)=0

М>1

32 п

.2^2 ^ / \ г и(1) +и\Ап)

при п ^ где А = тт{|;г| : Ь(г) = 0, > 1}, где полином Лорана Ь(Ь) определяется из формулы

ь (Цр) = (,).

Основные результаты второй главы диссертации были мотивированы классической теоремой Планса для узлов (см. раздел «Актуальность и степень разработанности темы»). Первый блок главы носит вспомогательный характер. Сначала приводится понятие кольца полиномов от сопровождающей матрицы и полиномов Чебышёва первого (£), второго ип(£) и четвертого Жп(Ь) родов. Вводится так называемое преобразование Чебышёва, которое является одним из ключевых в диссертационном исследовании. Если полином Р(£) является палиндромным, т.е. удовлетворяет условию симметричности Р(£) = Р(р—1), то верно следующее преобразование

п г + —

Р(г) = (^^) = ао + 2^акТw = ,

г=к

где Т — полином Чебышёва первого рода, и в общем случае ак € К. Из этого вытекает, что если величины £ к и ^, при к = 1, 2,...п есть корни для

полинома Р(£), то числа = --корни для полинома ((£).

В первом блоке второй главы также указана необходимая информация

о двухмостовых узлах и первой группы гомологий п-листного циклического накрытия Мп сферы, разветвленного над узлом. Вводится класс обобщенных циркулянтных графов, а именно, сэндвич-графов. Пусть задан граф-путь Рт с вершинами v3. Рассмотрим семейство т классических циркулянтных графов С3 = Сп(зз1, ,э32,..., ,э3^) на п вершинах, где ] = 1, 2,... ,т. Тогда сэндвич-граф БСп = ЗСп(С1, С2,..., Ст) определим как граф с множеством вершин

V (БСп) = {(I, V,) 11 = 1, 2,.. .п, ] = 1, 2,.. .,т}, в котором каждая вершина (I, и^) смежна с вершинами

(I ± 8131, Уг), (I ± 832, ), ..., (I ± 8зк , V 3 ) по модулю п,

причем для всех l =1, 2,.. .п вершины (l, v1), (l, v2),..., (l, fm) образуют граф-путь Pm. Циркулянтный граф Gj называется j-м слоем для сэндвич-графа SGn.

Во втором блоке исследуется форма Смита сопровождающей матрицы композиции двух функций, что является одним из основных результатов второй главы. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, g(t) G R[t] — унитарный полином, а С g обозначает его сопровождающую матрицу.

Теорема 2.2.1. [111] Предложим g(t) G R[t] — унитарный полином, f(t) G R[t]. Пусть существуют полиномы F(t) и G(t) G R[t] такие, что f(t) = F о h(t) и g(t) = G о h(t), где h(t) — унитарный полином степени т. Тогда найдется унимодулярная матрица Л G Rmnxmn такая, что выполняется соотношение

Л f( Cg )Л-1 = diag(F ( Cg),F (Cg), ..., F (CG)).

Приведенная теорема 2.2.1. останется верной, если в качестве полинома h(t) рассмотреть полином Лорана h(t) G R[t, t-1], так как для полинома Лорана сопровождающая матрица корректно определяется. Отметим, что указанный результат был получен независимо в статье В. Ноферини и Г. Вильямса [91].

В заключительном блоке этой главы, на основе результата теоремы 2.2.1. проводится конструктивное доказательство теоремы Планса для двухмостовых узлов. Пусть К — двухмостовый узел, а Mn — п-листное циклическое накрытие сферы S3, разветвленное над узлом К. Пусть A(t) есть полином Александера, ассоциированный с узлом К, и G( ) — полином, полученный преобразованием Чебышёва из A(t). Зададим сопровождающие матрицы Cj и С g для нормированных полиномов A(t) и G(t), и введем целочисленные матрицы, которые записываются в терминах полиномов Чебышёва,

L = (CG - 2E)-mWm(CG/2) и L' = (CG - 2E)1-mUm-i(CG/2).

Теорема Планса для двухмостовых узлов была сформулирована в следующей конструктивной форме. Выражение «абелева группа H представима матрицей M » обозначает, что H изоморфна абелевой группе coker M, где M — целочисленная матрица порядка г, определяемая как линейный оператор M : Zr ^ Zr.

Теорема 2.3.1. [111] Пусть Мп — п-листное циклическое накрытие §3, разветвленное над двухмостовым узлом К. Тогда для приведенной группы го-мологий Н1 (Мп, Ъ) справедливы следующие утверждения.

1. Если п = 2т + 1, то группа гомологий Н1(М2т+1, Ъ) раскладывается в прямую сумму двух копий абелевой группы, представимой матрицей £.

2. Если п = 2т, то накрытие р : М2т ^ М2 индуцирует сюръективный гомоморфизм р* : Н1(М2т, Ъ) ^ Н1(М2, Ъ), ядро которого распадается в прямую сумму двух копий абелевой группы, представимой £'.

Отметим [97], что существует изоморфизм групп

Н1(Мп, Ъ) = еокег(Гп — (Г — Е)п),

где матрица Г, соответствующая полиному Александера узла, определяется как Г = (и + V)—1и, где и и V — комбинаторные аналоги матриц Зейферта (2.1) для узла К. Это значит, что для доказательства теоремы Планса достаточно рассмотреть матрицу разности Гп — (Г — Е)п.

Кроме того, последний результат далее позволил установить и доказать аналог теоремы Планса для конусов над сэндвич-графами и их якобианов. Пусть Р(£) — полином, ассоциированный с конусом над сэндвич-графом 5СП, и ((£) — полином, полученный с помощью преобразования Чебышёва из Р(£). Сопровождающие матрицы Ср и Сд определяются корректно. Сформулируем соответствующий результат.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Соколова Галина Константиновна, 2026 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Визинг В. Г. Декартово произведение графов / В.Г. Визинг // Вычислительные системы. — 1963. — Т. 9. — С. 30-43.

[2] Медных А.Д. О строении группы якобиана циркулянтных графов / А.Д. Медных, И.А. Медных // Доклады академии наук. — 2016. — Т. 469, № 5. — С. 539-543.

[3] Медных А.Д. О строении критической группы циркулянтного графа с непостоянными скачками / А.Д. Медных, И.А. Медных // УМН. — 2020. — Т. 75, вып. 1. — С. 197-198.

[4] Медных А.Д. Циклические накрытия графов. Перечисление отмеченных остовных лесов и деревьев, индекс Кирхгофа и якобианы / А.Д. Медных, И.А. Медных // УМН. — 2023. — Т. 78, вып. 3(471). — С. 115-164.

[5] Монахова Э.А. Оптимизация циркулянтных сетей связи размерности четыре / Э.А. Монахова // Дискрет. анализ и исслед. операций. — 2008. — Т. 15, № 3. — С. 58-64.

[6] Татт У. Теория графов / У. Татт. — М.: Мир, 1988. — 424 с.

[7] Харари Ф. Теория графов / Ф. Харари. — М.: Мир, 1973. — 300 с.

[8] Adam A. Research Problem 2-10 / A. Adam // Journal of Combinatorial Theory. — 1967. — Vol. 2. — P. 393.

[9] Alfaro C.A. On the sandpile group of the cone of a graph / C.A. Alfaro, E. Valencia // Linear Algebra and its Applications. — 2012. — Vol. 436, No. 5. — P. 1154-1176.

[10] Babic D. Resistance-Distance Matrix: A Computational Algorithm and Its Applications / D. Babic, D.J. Klein, I. Lukovits, S. Nikolic, N. Trinajstic // International Journal of Quantum Chemistry.— 2002. — Vol. 90. — P. 166-176.

[11] Bacher R. The lattice of integral flows and the lattice of integral cuts on a finite graph / R. Bacher, P. de la Harpe, T. Nagnibeda // Bulletin de la Societe Mathematique de France. — 1997. — Vol. 125, No. 2. — P. 167-198.

[12] Baker M. Harmonic morphisms and hyperelliptic graphs / M. Baker, S. Norine // International Mathematics Research Notices. — 2009. — Vol. 15. — P. 2914-2955.

[13] Balaban A.T. Highly discriminating distance-based topological index / A.T. Balaban // Chemical Physics Letters. — 1982. — V. 89, iss. 5. — P. 399404.

[14] Barden D. Isospectral surfaces of genus two and three / D. Barden, H. Kang // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 2012. — Vol. 153, No. 1. — P. 99-110.

[15] Bermond J.-C. Distributed loop computer networks: a survey /

J.-C. Bermond, F. Comellas, D.F. Hsu // Journal of Parallel and Distributed Computing. — 1995. — Vol. 24. — P. 2-10.

[16] Biggs N.L. Chip-firing and the critical group of a graph / N.L. Biggs // Journal of Parallel and Distributed Computing. — 1999. — Vol. 9, No. 1. — P. 25-45.

[17] Bini D.A. Polynomial and Matrix Computations / D.A. Bini, V.Y. Pan. — Birkhauser. Boston. MA: Fundamental Algorithms, 1994. — Vol. 1.

[18] Brand L. The companion matrix and its properties / L. Brand // American Mathematical Monthly. — 1964. — Vol. 71, No. 6. — P. 629-634.

[19] Brooks R. Constructing isospectral manifolds / R. Brooks // American Mathematical Monthly. — 1988. — Vol. 95, No. 9. — P. 823-839.

[20] Brooks R. Isospectral surfaces of small genus / R. Brooks, R. Tse // Nagoya Mathematical Journal. — 1990. — Vol. 107. — P. 13-24;

Corrigendum: R. Brooks, R. Tse // Nagoya Mathematical Journal. — 1990. — Vol. 117. — P. 227.

[21] Buser P. Geometry and spectra of compact Riemann surfaces / P. Buser. — Birkhauser, Boston, AM: Progress in Mathematics, 1992.

[22] Buser P. Isospectral Riemann surfaces // Annales de l'Institut Fourier. — 1986. — Vol. 36. — P. 167-192.

[23] Chebotarev P. Matrix-forest theorems / P. Chebotarev, E. Shamis // arXiv: math/0602575, 2006. — 10 p.

[24] Chen X. The number of spanning trees in odd valent circulant graphs / X. Chen, L. Qiuying, Z. Fuji // Discrete Mathematics. — 2004. — Vol. 282, No. 1. — P. 69-79.

[25] Chen X. The number of spanning trees in directed circulant graphs with non-fixed jumps / X. Chen // Discrete Mathematics. — 2007. — Vol. 307, iss. 15. — P. 1873-1880.

[26] Conder M. On embeddings of circulant graphs Electron / M. Conder, R. Grande // Journal of Combinatorial Theory. — 2015. — Vol. 22, No. 2. — #P2.28, 27 p.

[27] Conway J.H. Four-dimensional lattices with the same theta series / Conway J.H., Sloane N.J.A. // International Mathematics Research Notices. — 1992. — Vol. 4. — P. 93-96.

[28] Cori R. On the sandpile group of dual graphs / R. Cori, D. Rossin // European Journal of Combinatorics. — 2000. — Vol. 21, No. 4. — P. 447-459.

[29] van Dam E.R. Which graphs are determined by their spectrum? / E.R. van Dam, W.H. Haemers // Linear Algebra and its Applications. — 2003. — V. 373. — P. 241-272.

[30] David H.A. Enumeration of cyclic graphs and cyclic designs / H.A. David // Journal of Combinatorial Theory. — 1972. — No. 13. — P. 303-308.

[31] Davis P.J. Circulant Matrices / P.J. Davis. — AMS Chelsea Publishing, 1994.

[32] Del Val P. Plans theorem for links. / P. Del Val, C. Weber // Topol. Appl. — 1990. — Vol. 34. — P. 247-255.

[33] Dhar D. Algebraic aspects of Abelian sandpile models / D. Dhar, P. Ruelle, S. Sen, D.-N. Verma // Journal of physics A: Mathematical and general. — 1995. — Vol. 28, No. 4. — P. 805-831.

[34] Earnest A.G. On the theta series of positive quaternary quadratic forms / A.G. Earnest, G. Nipp // C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada. — 1991. — V. 13, No. 1. — P. 33-38.

[35] Elspas B. Theory of Cellular Logic Networks and Machines / B. Elspas, J. Turner. — Stanford Res. Inst. Final Rept., 1968.

[36] Elspas B. Graphs with circulant adjacency matrices / B. Elspas, J. Turner // Journal of Combinatorial Theory. — 1970. — Vol. 9, No. 3. — P. 297-307.

[37] Fox R.H. Free Differential Calculus III. Subgroups / R.H. Fox // Annals of Mathematics. — 1956. — Vol. 64, No. 3. — P. 407-419.

[38] Fox R.H. The homology characters of the cyclic coverings of the knots of genus one / R.H. Fox // Annals of Mathematics. — 1960. — Vol. 71, No. 1. — P. 187-196.

[39] Gobel F. Cyclic graphs / F. Gobel, E.A. Neutel // Discrete Applied Mathematics. — 2000. — No. 99. — P. 3-12.

[40] Godsil C.D. The Spectrum of a Graph. / C.D. Godsil, D.A. Holton, B. McKay — In: A. Dold, B. Eckmann, C.H.C Little (eds.), Lect. Notes. Math., V. 622, Springer, Berlin, Heidelberg, 1977.

[41] Goel G. Critical groups of iterated cones / G. Goel, D. Perkinson // Linear Algebra and its Applications. — 2019. — Vol. 567. — P. 138-142.

[42] Golin M.J. The asymptotic number of spanning trees in circulant graphs / M.J. Golin, X. Yong, Y. Zhang // Discrete Mathematics — 2010. — Vol. 310. — P. 792-803.

[43] Gordon C. McA. A short proof of a theorem of Plans on the homology of the branched cyclic coverings of a knot / C. McA. Gordon // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1971. — Vol. 168. — 85-87.

[44] Grunwald L.A. On the Jacobian group of a cone over a circulant graph / L.A. Grunwald, I.A. Mednykh // Математические заметки СВФУ. — 2021. — Vol. 28, No. 2. — P. 88-101.

[45] Grunwald L.A. The number of rooted forests in circulant graphs / L.A. Grunwald, I.A. Mednykh // Ars Mathematica Contemporanea. — 2022. — Vol. 22, No. 4. — #P4.10, 12 p.

[46] Grunwald L.A. The critical group of the cone over a sandwich graph / L.A. Grunwald // Siberian Electronic Mathematical Reports. — 2025. — Vol. 22, No. 2. — P. 1255-1265.

[47] Gutman I. The quasi-Wiener and the Kirchhoff indices coincide / I. Gutman, B. Mohar //J. Chem. Inf. Comput. Sci. — 1996. — Vol. 36. — P. 982-985.

[48] Hartley R.I. On two-bridged knot polynomials / R.I. Hartley // Journal of the Australian Mathematical Society (Series A). — 1979. — Vol. 28. — P. 241-249.

[49] Hwang F.K. A survey on multi-loop networks / F.K. Hwang // Theoretical Computer Science — 2003. — Vol. 299. — P. 107-121.

[50] Imrich W. Product graph / W. Imrich, S. Klavzar. — Wiley-Interscience, New York: Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization, 2000.

[51] Isangulov R.R. Isospectral flat Klein bottles / R.R. Isangulov // Matematicheskie Zametki YAGU. — 2000. — Vol. 7, No. 2. — P. 39-48.

[52] Jensen J.L. Sur un nouvel et important theoreme de la theorie des fonctions / J.L. Jensen // Acta Mathematica. — 1899. — Vol. 22, No. 1. — P. 359-364.

[53] Kac M. Can one hear the shape of a drum? / M. Kac // American Mathematical Monthly. — 1966. — Vol. 73, No. 4. — P. 1-23.

[54] Kalman D. Polynomial equations and circulant matrices / D. Kalman, J.E. White // Amer. Math. Monthly — 2001. — Vol. 108. — P. 821-840.

[55] Kel'mans A.K. A certain polynomial of a graph and graphs with an extremal number of trees / A.K. Kel'mans, V.M. Chelnokov // Journal of Combinatorial Theory (B). — 1974. — Vol. 16. — P. 197-214.

[56] Kirchhoff G. Ueber die Auflösung der Gleichungen, auf welche man bei der Untersuchung der linearen Verteilung galvanischer Strome geföhrt wird / G. Kirchhoff // Ann. Phys. Chem. — 1847. — Bd. 72, No. 12. — S. 497-508.

[57] Kitaoka Y. Positive definite quadratic forms with the same representation numbers / Y. Kitaoka // Arch. Math. (Basel). — 1977. — Vol. 28, No. 5. — P. 495-497.

[58] Klein D.J. Resistance distance / D.J. Klein, M. Randic// Journal of Mathematical Chemistry. — 1993. — Vol. 12, No. 1-4. — P. 81-95.

[59] Klein D.J. Resistance-Distance Sum Rules / D.J. Klein // Croatica Chem. Acta. —2002. — Vol. 75. — P. 633-649.

[60] Knill O. Cauchy-Binet for pseudo-determinants / O. Knill // Linear Algebra Appl. — 2014. — Vol. 459. — P. 522-547.

[61] Kneser M. Lineare Relationen zwischen Darstellungsanzahlen quadratischer Formen / M. Kneser // Math. Ann. — 1967. — Vol. 168. — P. 31-39.

[62] Kotani M. Jacobian tori associated with a finite graph and its Abelian covering graphs / M. Kotani, T. Sunada // Advances in Applied Mathematics. — 2000. — Vol. 24, No. 2. — P. 89-110.

[63] Kutateladze S.S. Fundamentals of functional analysis / S.S. Kutateladze. — Netherlands: Springer Science and Business Media, 2013.

[64] Kwon Y.S. On the structure of Laplacian characteristic polynomial of circulant graphs. / Y.S. Kwon, A.D. Mednykh, I.A. Mednykh // Doklady Mathematics. — 2024. — V. 109, No. 1. — P. 25-29.

[65] Lancaster P. The Theory of Matrices. Second Edition with Applications. / P. Lancaster, M. Tismenetsky. — San Diego: Academic press. 1985.

[66] Lehmer D.H. Factorization of certain cyclotomic functions / D.H. Lehmer // Annals of Mathematics. — 1933. — Vol. 34, No. 3. — P. 461-479.

[67] Li M. The formulas for the number of spanning trees in circulant graphs / M. Li, Z. Chen, X. Ruan, X. Yong // Discrete Mathematics. — 2015. — Vol. 338. — P. 1883-1906.

[68] Lickorish W.B.R. An Introduction to Knot Theory / W.B.R. Lickorish. — New York: Springer, 1997.

[69] Liu X. Laplacian spectral characterization of dumbbell graphs and theta graphs / Liu X., P. Lu // Discrete Math. Algorithms Appl. — 2016. — Vol. 8, No. 2. 1650028 (10 pages).

[70] Lorenzini D. Smith normal form and Laplacians / D. Lorenzini // ournal of Combinatorial Theory (B). — 2008. — Vol. 98. — P. 1271-1300.

[71] Louis J. A formula for the number of spanning trees in circulant graphs with non-fixed generators and discrete tori / J. Louis // Bulletin of the Australian Mathematical Society. — 2015. — Vol. 92. —P. 365-373.

[72] Lukovits I. Resistance Distance in Regular Graphs / I. Lukovits, S. Nikolic, N. Trinajstic // International Journal of Quantum Chemistry. — 1999. — Vol. 71. — P. 217-225.

[73] Mahler K. Zur Approximation der Exponentialfunction und des Logarithmus / K. Mahler //Journal für die reine und angewandte Mathematik — 1932. — Vol. 166. — P. 118-136, 137-150.

[74] Mahler K. On some inequalities for polynomials in several variables / K. Mahler // Journal of the London Mathematical Society. — 1962. — Vol. 37. — P. 341-344.

[75] Mason J.C. Chebyshev Polynomials / J.C. Mason, D.C. Handscomb. — CRC Press. Boca Raton, 2003.

[76] Mednykh A. Isospectral genus two graphs are isomorphic / A. Mednykh, I. Mednykh // Ars Mathematica Contemporanea. — 2015. — Vol. 10, No. 2. — P. 223-235.

[77] Mednykh A.D. Asymptotics and arithmetical properties of complexity for circulant graphs /A.D. Mednykh, I.A. Mednykh // Doklady Mathematics. — 2018. — Vol. 97, No. 2. —P. 147-151.

[78] Mednykh A.D. The number of spanning trees in circulant graphs, its arithmetic properties and asymptotic / A.D. Mednykh, I.A. Mednykh // Discrete Mathematics. — 2019. — Vol. 342, No. 6. — P. 1772-1781.

[79] Mednykh A. Complexity of circulant graphs with non-fixed jumps, its arithmetic properties and asymptotics / A. Mednykh, I. Mednykh // Ars Mathematica Contemporanea. — 2023. — Vol. 23, No. 1. — P. 8-16.

[80] Mednykh A.D. Kirchhoff index for circulant graphs and its asymptotics / A.D. Mednykh, I.A. Mednykh // Siberian Mathematical Journal. — 2024. — Vol. 65, No. 6. — P. 1359-1372.

[81] Mednykh I.A. Homology group of branched cyclic covering over a 2-bridge knot of genus two / I.A. Mednykh. — Preprint. 2021. arXiv:2111.04292 [math.CO].

[82] Milnor J. Eigenvalues of the Laplace operator on certain manifolds / J. Milnor // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 1964. — V. 54. — P. 542.

[83] Mohar B. The Laplacian spectrum of graphs / B. Mohar // Graph theory, combinatorics, and applications. — 1991. — Vol. 2, Ed. Y. Alavi, G. Chartrand, O.R. Oellermann, A.J. Schwenk, Wiley, New York. — P. 871-898.

[84] Mulazzani M. The many faces of cyclic branched coverings of 2-bridge knots and links / M. Mulazzani, A. Vesnin // Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena, Supplemento al Vol. IL. — 2001.

[85] Monakhova E.A. A survey on undirected circulant graphs / E.A. Monakhova // Discrete Math. Algorithms Appl. — 2012 — Vol. 4, No. 1. P. 1-30.

[86] Murasugi K. On the Alexander polynomial of the alternating knot / K. Murasugi // Osaka Journal of Mathematics. — 1958. — Vol. 10. — P. 181189.

[87] Muzychuk M. A solution of the isomorphism problem for circulant graphs / M. Muzychuk // Proceedings of the London Mathematical Society — 2004. — Vol. 88, No. 3. — P. 1-41.

[88] Nakanishi Y. Alexander polynomials of two-bridge knots / Y. Nakanishi, M. Suketa // Journal of the Australian Mathematical Society (Series A). — 1996. — Vol. 60. — P. 334-342.

[89] Nilsson E. The isospectral problem for flat tori from three perspectives / E. Nilsson, J. Rowlett, F. Rydell // Bulletin of the American Mathematical Society (New Series). — 2023. — Vol. 60, No. 1. — P. 39-83.

[90] Noferini V. Matrices in companion rings, Smith forms, and the homology of 3-dimensional Brieskorn manifolds / V. Noferini, G. Williams // Journal of Algebra. — 2021, — Vol. 587. — P. 1-19.

[91] Noferini V. Smith forms of matrices in Companion Rings, with group theoretic and topological applications / V. Noferini, G. Williams // Linear Algebra and its Applications. — 2025. — Vol. 708. — P. 372-404.

[92] Plans A. Aportacion al estudio de los grupos de homologia de los recubrimientos ciclicos ramificados correspondiente a un nudo / A. Plans // Rev. R. Acad. Cienc. Exactas, Fis. Nat. Madr. — 1953. — Vol. 47. — P. 161193.

[93] Reidemeister K. Knotentheorie / K. Reidemeister. — New York: Chelsea Pub. Co., NewYork, 1948.

[94] Sabidussi G. Graph multiplication / G. Sabidussi // Mathematische Zeitschrift. — 1960. — Vol. 72. — P. 446-457.

[95] Schiemann A. Ein Beispiel positiv definiter quadratischer Formen der Dimension 4 mit gleichen Darstellungszahlen // Arch. Math. (Basel). — 1990. — Vol. 54, No. 4. — P. 372-375.

[96] Schubert H. Knoten mit zwei Bracken / H. Schubert // Mathematische Zeitschrift. — 1956. — Vol. 65. — P. 133-170.

[97] Seifert H. Uber das Geschlecht von Knoten / H. Seifert // Math. Ann. — 1934. — Vol. 110. — P. 571-592.

[98] Shiota K.-i. On theta series and the splitting of 52(r0(g)) / K.-i. Shiota // Journal of Mathematics of Kyoto University. — 1991. — Vol. 31, No. 4. — P. 909-930.

[99] Stevens W.H., On the Homology of Branched Cyclic Covers of Knots / W. H. Stevens. — LSU Historical Dissertations and Theses, 1996.

[100] Turner J. Point-Symmetric Graphs with a Prime Number of Points / J. Turner // Journal of Combinatorial Theory — 1967. — Vol. 3. — P. 136145.

[101] Vaserstein L.N. Commutators and Companion Matrices over Rings of Stable Rank 1 / L.N. Vaserstein, E. Wheland // Linear Algebra and its Applications. — 1990. — Vol. 142. — P. 263-277.

[102] Wiener H. Structural determination of paraffin boiling points / H. Wiener //Journal of the American Chemical Society — 1947. — Vol. 69, No. 1. — P. 17-20.

[103] Wolpert S. The length spectra as moduli for compact Riemann surfaces / S. Wolpert // Annals of Mathematics. — 1979. — Vol. 109, No. 2. — P. 323-351.

[104] Wong C.K. A combinatorial problem related to multimodule memory organizations / C. K. Wong, and D. Coppersmith // Journal of the ACM. — 1974. — Vol. 21, No. 3. — P. 392-402.

[105] Yong X. The number of spanning trees of the cubic cycle C3n and the quadruple cycle C4n / X. Yong, Talip and Acenjian // Discrete Mathematics. — 1997. — Vol. 169. — P. 293-298.

[106] Zhang Y. The number of spanning trees in circulant graphs / Y. Zhang, X. Yong, M.J. Golin // Discrete Mathematics. — 2000. — Vol. 223, No. 1-3. — P. 337-350.

[107] Zhang Y. Chebyshev polynomials and spanning tree formulas for circulant and related graphs / Y. Zhang, X. Yong, M.J. Golin // Discrete Mathematics. — 2005. — Vol. 298. — P. 334-364.

[108] Zhu H.Y. Extensions of the Wiener number / H.Y. Zhu, D.J. Klein, I. Lukovits // Journal of Chemical Information and Modeling. — 1996. — Vol. 36, No. 3. — P. 420-428.

Публикации автора по теме диссертации

[109] Sokolova G.K. On the kirchhoff index for circulant graph with non-fixed jumps / G.K. Sokolova // Mathematical Structures and Modeling. — 2025. — Vol. 2, No. 74. — P. 38-44.

[110] Медных А.Д. Структура характеристического полинома матрицы Лапласа циркулянтного графа с нефиксированными скачками / А.Д. Медных, И.А. Медных, Г.К. Соколова // Математические труды. — 2025. — Т. 28, № 1. — С. 94-112.

Переводная версия: Mednykh A.D. The Structure of the Characteristic Polynomial of the Laplacian Matrix for a Circulant Graph with Non-Fixed Jumps / A.D. Mednykh, I.A. Mednykh, G.K. Sokolova // Siberian Advances in Mathematics — 2025. — V. 35. — No. 2. — P. 93-102.

[111] Медных А.Д. Сопровождающая матрица суперпозиции полиномов и ее применение к теории узлов / А.Д. Медных, И.А. Медных, Г.К. Соколова // Докл. АН. Математика, информатика, процессы управления. — 2025. — Т. 521. — С. 72-80.

Переводная версия: Mednykh A.D. Companion Matrix for Composition of Polynomials and Its Application to Knot Theory / A.D. Mednykh,

I.A. Mednykh, G.K. Sokolova // Doklady Mathematics. — 2025. — Vol. 111, No. 1. — P. 36-43.

[112] Mednykh A.D. One can hear a discrete rectangular torus / A.D. Mednykh, I.A. Mednykh, G.K. Sokolova // Вестник Омского университета. — 2025. — Vol. 30, No. 1. — С. 4-11.

Тезисы и материалы конференций

[113] Sokolova G. Characteristic polynomial of the Laplacian of a circulant graph with non-fixed jumps / G. Sokolova // Book of abstracts of the G2A2 -International Conference and Summer School on Groups and Graphs, Algebras and Applications. - M.: Publishing house «Pero», 2025. — P. 73.

[114] Соколова Г.К. О характеристическом полиноме лапласиана циркулянт-ного графа с нефиксированными скачками // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. — Казань: КФУ, 2025. — Т. 69. — С. 179-181.

[115] Соколова Г.К. Форма Смита для сопровождающей матрицы суперпозиции двух полиномов /Г.К. Соколова // Тезисы докладов Международной конференции «Мальцевские чтения». — Новосибирск, 2024. — С. 216.

[116] Соколова Г.К. Форма Смита для сопровождающей матрицы суперпозиции двух полиномов / Г.К. Соколова // Сборник материалов XXXII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2025». — М.: ООО «МАКС пресс», 2025 — С. 216.