Аналитические свойства определённых классов рядов Дирихле и некоторые задачи теории L-функций Дирихле тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Матвеева, Ольга Андреевна

• Матвеева, Ольга Андреевна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Матвеева, Ольга Андреевна

Оглавление

Введение

1. Определяющие аналитические свойства некоторых классов рядов Дирихле и их приложения

1.1. Аналитические свойства рядов Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффициентами и проблема обобщённых характеров

1.2. Аналитические свойства одного класса рядов Дирихле и граничное поведение некоторых классов степенных рядов

1.2.1. Аналитические свойства рядов Дирихле, отвечающих степенным рядам, имеющим полюсы конечного порядка в точке единица

1.2.2. Об одном критерии рациональности степенных рядов с целыми коэффициентами

1.2.3. Об одном классе степенных рядов, которые определяют функции, не являющиеся мероморфными в единичном круге

2. Аналитические свойства рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, определяющих целые функции

2.1. О рядах Дирихле с периодическими коэффициентами, удовлетворяющих функциональному уравнению римановского типа

2.2. Аналитические свойства рядов Дирихле, отражающие их поведение в критической полосе

2.2.1. Аппроксимационный подход для исследования поведения рядов Дирихле в критической полосе

2.2.2. Некоторые сведения из теории почти-периодических функ-

ций класса Д

2.2.3. Плотностные теоремы для нулей рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, лежащих в критической полосе

2.2.4. Результаты численного эксперимента, связанные с поведением рядов Дирихле с периодическими коэффициентами в критической полосе

3. Некоторые задачи, связанные с поведением 1_-функций Дирихле в критической полосе

3.1. Основная и расширенная гипотезы Римапа и нули целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами

3.2. Об одном эквиваленте расширенной гипотезы Римана

3.3. О численных экспериментах, связанных с поведением Ь-функций Дирихле в критической полосе

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитические свойства определённых классов рядов Дирихле и некоторые задачи теории L-функций Дирихле»

Введение

Диссертационная работа посвящена изучению аналитических свойств отдельных классов рядов Дирихле и приложениям полученных результатов в задачах теории Ь-функций Дирихле. Метод исследования аналитических свойств рядов Дирихле позволил также получить приложения и в теории степенных рядов.

Цель данной работы заключается в решении следующих задач:

1. Для некоторых классов рядов Дирихле получить определяющие их аналитические свойства и указать приложения этих результатов в теории Ь-функций Дирихле и в теории степенных рядов.

2. Изучить аналитические свойства рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, отражающие поведение таких рядов в критической полосе.

3. Уточнить и дополнить новыми результаты, полученные для рядов Дирихле с периодическими коэффициентам в случае Ь-функций Дирихле. В частности, рассмотреть некоторые вопросы, связанные с расширенной гипотезой Римапа.

Диссертация состоит из трёх глав, в каждой из которых решается одна из этих задач. Что касается первой задачи, то её постановка не является повой. Ещё в 1984 году в работе [15] рассматривалась задача определения аналитических свойств рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами, которые характерны для рядов Дирихле с периодическими, начиная с некоторого номера, коэффициентами.

А именно, в этой работе было доказано следующее утверждение:

Теорема 1 Для рядов Дирихле

Д5) = в = а + й

с конечнозначными коэффициентами следующие условия эквивалентны:

1. коэффициенты аппериодичны, начиная с некоторого номера;

2. функция / (в) является мероморфной с единственно возможным простым, полюсом в точке 5=1 и удовлеворяет следующему условию роста модуля:

где А- некоторая положительная константа.

Там же [15] было указано приложение этого результата в теории Ь-функции Дирихле.

Теорема 2 В классе эйлеровых произведений с конечнозначными характерами Ь-функции Дирихле выделяются как мероморфные функции с единственно возможным простым полюсом, в точке в = 1, удовлетворяющие следующему условию роста модуля:

где А— некоторая положительная константа.

Остановимся на основных моментах доказательства теоремы 1, так как они составляют основу так называемого метода редукции к степенным рядам, который является одним из основных методов решения поставленных выше задач.

Во-первых, основной подход при получении теоремы 1 заключался в изучении взаимосвязи между аналитическим продолжением рядов Дирихле

и граничным поведением соответствующих (т.е. с теми же коэффициентами)

|/(в)(в-1)| <<7еИьм+лИ

|/(б')(й- 1)| < Се|з|1пМ+л|я|,

ос

степенных рядов

ос п=1

в точке г = 1.

Такая взаимосвязь определялась на основании преобразования Меллина

оо

¡(з)Г(з) = I д(е-х)х»~1с1х, а > 1, о

где Г(й) — Г-функция Эйлера, д(е~х) = апе~~пт.

А именно, в работе [15] было показано, что ряды Дирихле с копечнозпачны-ми коэффициентами тогда и только тогда определяют функции, мероморф-ные в комплексной плоскости с единственным возможным полюсом первого порядка в точке 5 = 1, модуль которых удовлетворяет условию

|/(5)| =о(еМЬМ+л(а))?

где А — некоторая положительная константа, когда соответствующие степенные ряды определяет функции, либо регулярные в точке 2 = 1, либо имеющие в этой точке полюс первого порядка. Этот результат позволил воспользоваться известным фактом в теории степенных рядов с копечнозпачными коэффициентами — теоремой Сёге [6] о том, что коэффициенты степенных рядов с конечнозначными коэффициентами тогда и только тогда являются периодичными, начиная с некоторого номера, когда степенной ряд имеет на границе сходимости хотя бы одну точку регулярности.

В работах [17], [18], [16] рассматривались ряды Дирихле, для которых соответствующие степенные ряды не являлись регулярными и не имели полюса конечного порядка в точке г = I. Задача аналитического продолжения в этих случаях сводилась к задаче существования конечных радиальных производных степенных рядов в точке г = 1. В этих же работах подход изучения аналитических свойств рядов Дирихле, основанный на изучении граничного поведения соответствующих степенных рядов в точке г = 1, впервые получил название метода редукции к степенным рядам.

Дальнейшее развитие метода редукции к степенным рядам было связано с расширением класса рядов Дирихле, где указанный подход приносил свои результаты. При этом приходилось использовать известные и получать новые результаты относительно граничного поведения степенных рядов. Нужно отметить, что и результаты относительно аналитических свойств рядов Дирихле позволяли получать новые факты относительно граничных свойств степенных рядов. Так, в работе [26] было получено усиление известной теоремы Адамара об особенностях композита двух степенных рядов с известными изолированными особенностями на границе сходимости (см., например, [44]), что позволило в отдельных случаях (см. [42]) решить известную гипотезу Ю. В. Липника о целостности скалярного произведения Ь-функций числовых полей. По этому поводу см., например, [46].

Обратно, в работе [21] была доказана аналитическая непродолжпмость за границу сходимости степенных рядов, отвечающих Ь-функциям Дирихле числовых полей в случае их отличия от поля рациональных чисел.

Укажем ещё два результата в направлении первой поставленной задачи, полученных методом редукции к степенным рядам.

В работе [19] было показано, что в классе рядов Дирихле с коиечнознач-ными коэффициентами ряды Дирихле с периодическими, начиная с некоторого номера, коэффициентами, определяющие целые функции, выделяются порядком их приближения в любой полосе: 0 < <то ^ а < оо, Щ < Т полиномами Дирихле. А именно, в этой работе доказано следующее утверждение: Теорема 3 В классе рядов Дирихле

оо

п6

п=1

с конечнозначными коэффициентам,и следующие условия эквивалентны:

1. коэффициенты ап периодичны, начиная с некоторого номера, и удовлетворяют условию

5>п = 0(1);

п^х

2. ряд Дирихле определяет функцию, регулярную в полуплоскости а > О,

для которой существует последовательность полиномов Дирихле (^п(х), приближающих /(з) в любой полосе 0 < сг о ^ о < оо, \Ь\ < Т , с показательной скоростью, т.е. существует, такая величина р > не зависящая от Т, что для любой точки из этой полосы,

где константа в символе Ю'! зависит только от величины Т.

Отметим, что результат теоремы 3 даёт апнроксимациониую характеристику Ь-фуикций Дирихле с неглавными характерами Дирихле в классе эйлеровых произведений с конечнозначными коэффициентами.

В работе [27] было показано, что в классе рядов Дирихле, имеющих конечные абсциссы сходимости, ряды Дирихле, для которых соответствующие степенные ряды регулярны в точке г — 1, определяются как целые функции с определённым порядком роста модуля в левой полуплоскости комплексной плоскости. А именно, доказана Теорема 4 В классе рядов Дирихле

оо

= Б = а + и,

¿.-4 ПЬ

11=1

имеющих конечные абсциссы сходимости, следующие условия эквивалентны:

1. соответствующий степенной ряд

оо п=1

определяет функцию, регулярную в точке г = 1;

2. ряд Дирихле определяет целую функцию, модуль которой удовлетворяет следующему условию роста в левой полуплоскости комплексной плоскости

|/(5)| = 0(е|8|1п|в|+Л(в)),

где А — некоторая положительная константа.

В диссертационной работе метод редукции к степенным рядам получил свое дальнейшее развитие, что позволило изучить аналитические свойства отдельных классов рядов Дирихле.

Первая глава посвящена изучению определяющих свойств отдельных классов рядов Дирихле и их приложениям к некоторым задачам теории L-функций Дирихле и теории степенных рядов.

В нервом разделе этой главы изучается задача определения таких аналитических свойств рядов Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффициентами, которые обеспечивали бы периодичность этих коэффициентов. Эта задача встала в связи с известной проблемой обобщённых характеров. Ещё в 1950 году [49], [48] Н. Г. Чудаков выдвинул гипотезу о том, что конечнозначная мультиилкативная функция натурального аргумента h(n), удовлетворяющая условиям:

1. h{p) ф 0 почти для всех простых р;

2. сумматорная функция значений функции h(ri) имеет следующую асимптотику:

S(x) = £>(га) = ах + 0(1),

появляется характером Дирихле.

Числовой характер h(n), удовлетворяющий условиям этой гипотезы, получил название обобщённого характера: главного в случае а Ф 0 и неглавного в противном случае. Проблема, связанная с решением или опровержением гипотезы Н. Г. Чудакова носит название проблемы обобщённых характеров.

В 1964 году [9] гипотеза Чудакова была доказана для главных обобщённых характеров В. В. Глазковым. В случае неглавных обобщённых характеров эта проблема остаётся открытой. В связи с этим в данном разделе изучаются аналитические свойства рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами, сумматорная функция которых удовлетворяет условию

S(x) = ах+ 0(1).

В этом направлении доказано следующее утверждение:

Теорема 1.2 Пусть h(n) — конечнозначная мультипликативная функция натурального аргумента, для сумматорной функции которой выполняется условие

S{x) = ах + 0( 1).

Тогда ряд Дирихле

ОС J

Я5) = s ~ а + it,

п= 1

определяет функцию, регулярную почти во всех точках полуплоскости о > О за возможным исключением точки 5=1, где она может иметь (а ^ 0) полюс первого порядка, у которой на оси а — 0 нет точек "типа полюса". Здесь точка s ~ сг + it называется точкой "тина полюса", если

|/(ст + it)| —>■ со, когда а —> 0.

Отметим один результат относительно степенных рядов с мултииликатив-ными коэффициентами, который лежит в основе доказательства теоремы 1.2.

Лемма 1.1 Пусть h(n) — конечпозначная мультипликативная функция натурального аргумента, для которой

S(x) = J^h(n) = 0( 1).

Тогда степенной ряд

ос

ф) = h(n)xn 1

имеет конечный предел в точке х = 1, т.е. предел вида lim g(x).

х—^ 1 —0

Результат теоремы 1.2 позволил получить новое доказательство гипотезы Чудакова в случае главного обобщённого характера, которое в отличие от элементарного доказательства В. В. Глазкова базируется на изучении аналитических свойств соответствующих рядов Дирихле. Это доказательство приведено в теореме 1.3. Результаты теорем 1.2 и 1.3 опубликованы автором в работах [23], [30]. Нужно отметить, что результаты теорем 1.2 и 1.3 дают следующую анали-

тическую характеристику Ь-функций Дирихле с главными характерами.

В классе рядов Дирихле с главными обобщёнными характерами следующие условия эквивалентны:

1. ряд Дирихле определяет функцию /(5), аналитическую почти во всех точках полуплоскости а > 0 за исключением точки 5 = 1, где она имеет простой полюс, для которой па оси а — 0 нет точек "типа полюса".

2. ряд Дирихле определяет Ь-функцию Дирихле с главным характером Дирихле.

Есть предположение, что аналогичное утверждение имеет место и в случае неглавных обобщённых характеров.

Второй раздел этой главы посвящён описанию аналитических свойств рядов Дирихле, для которых соответствующие степенные ряды имеют полюсы конечного порядка в точке г — 1. Указаны приложения полученных результатов в теории степенных рядов.

В начале этого раздела доказано следующее утверждение. Теорема 1.4 В классе рядов Дирихле

имеющих конечную абсциссу сходимости, следующие условия эквивалентны:

1. соответствующий степенной ряд

п=1

определяет функцию, имеющую в точке г = 1 полюс к-го порядка; 2. ряд Дирихле определяет функцию, мероморфную в комплексной плоскости с возможными полюсами первого порядка в точках 5= 1, 2,..., к (в точке 5 = к обязательно имеет полюс), модуль которой удовлетворяет следующему условию роста в левой полуплоскости комплексной плоскости

ос

п=1

ОС

д{г) =

1/(5)1 = 0(е|А'|1п|8|+л(А,)),

где А — некоторая положительная константа.

Как следствие теоремы 1.4 получен следующий критерий рациональности степенных рядов с целыми коэффициентами.

Теорема 1.5 Степенной ряд

оо

д(г) — где \ап\ = 0(пк), к— натуральное,

п= 1

с целыми коэффициентами тогда и только тогда определяет, рациональную функцию, когда соответствующий ряд Дирихле определяет, функцию, ме-роморфную в комплексной плоскости, с конечным числом полюсов первого порядка в натуральных точках, модуль которой удовлетворяет следующему условию роста в левой полуплоскости

где А — некоторая положительная константа.

Результаты теорем 1.4 и 1.5 опубликованы в работах [38], [28] [34].

Нужно сказать, что задачей рациональности функций, заданных степенными рядами с целыми коэффициентами занимались многие авторы (см. по этому поводу [6]). Теорема 1.5 является новым результатом, полученным в этом направлении. Эта теорема в совокупности с известной теоремой Карлсона [2] о том, что степенной ряд с целыми коэффициентами, сходящийся в единичном круге, либо определяет рациональную функцию, либо функцию, непродолжимую за границу единичного круга, позволяет сразу говорить о непродолжимости за границу единичного круга степенных рядов, коэффициенты которых определены такими теоретико-числовыми функциями как функция Мёбиуса, функция Эйлера, функция Мангольдта, функция числа натуральных делителей числа п. Этот результат иным способом был получен в работах [1], [39], где основным моментом являлось получение асимптотики соответствующих степенных рядов при подходе к точке 2=1.

Другим следствием теоремы 1.4 является следующее утверждение, опубликованное автором в работе [35]

Теорема 1.6 Для двух ненулевых степенных рядов

ос

91= апг,п> ^^=

П=1 П=1

с периодическими коэффициентами, степенной ряд, полученный в результате их произведения по Дирихле

оо

д{г) = где Сп = Л щЬк'

п=1 ¿/с=п

определяет функцию, которая не является мероморфной в замкнутом круге.

Эта теорема, в частности, даёт простой способ строить степенные ряды с целыми коэффициентами, которые непродолжимы за границу единичного круга.

Вторая глава диссертационной работы посвящена изучению аналитических свойств рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, отражающих поведение таких рядов в критической полосе. Этой задачей занимались многие авторы. Ещё в 1936 году в работе [3] Г. Дэвенпорт и X. Хейльбронн привели пример ряда Дирихле с немультипликативными периодическими коэффициентами, который удовлетворяет функциональному уравнению римановского типа

где а — некоторая константа; 5 — величина, равная либо 0, либо 1; к период коэффициентов; /(з) — функция, заданная рядом Дирихле с коэффициентами, сопряжёнными к коэффициентам ряда Дирихле, определяющего функцию f(s). Там же [3] показано, что не все нули этой функции лежат на критической прямой.

В работах [12], [8] изучались плотностныс теоремы для нулей рядов Дирихле с периодическими коэффициентами. В частности было показано, что для числа Л/о(Т) нулей функции Дэвениорта-Хейльбронна, лежащих на критиче-

ской прямой при Щ < Т, имеет место оценка

Щ (Т) ^ Те^1п1п1п1пТ

В связи с этим встают следующие вопросы. Во-первых, насколько широк класс рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, удовлетворяющих функциональному уравнению римановского типа. Во-вторых, какова плотность расположения нулей рядов Дирихле с периодическими коэффициентами в критической полосе и на критической прямой.

Далее, в работе [8] показано, что Ь-функции Дирихле обладают свойством универсальности в том плане, что её сдвигами приближается любая функция, аналитическая и не равная нулю в круге радиуса г < лежащем в критической полосе.

Встаёт вопрос относительно свойства универсальности для рядов Дирихле с периодическими коэффициентами. Встаёт также вопрос и о порядке роста модуля таких рядов на критической прямой.

Изучению аналитических свойств рядов Дирихле с конечнозначпыми коэффициентами, позволяющих в какой-то степени ответить на поставленные вопросы, и посвящена эта глава диссертационной работы.

В начале второй главы исследуется задача описания рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, которые удовлетворяют функциональному уравнению римановского типа.

Доказана

Теорема 2.1 Пусть {а^} — ненулевая периодическая последовательность периода к, для которой выполняются условия:

1.

= 0(1);

к к

Е27Г г1т _>г—\ 2т1

щек = ат к , 771 = 1,2,...,*;.

1=1 1=1 Тогда ряд Дирихле с такими коэффициентами удовлетворяет функ-

циональному уравнению римановского типа.

Из теоремы 2.1 следует, что линейная комбинация с вещественными коэффициентами Ь-функций Дирихле с первообразными характерами модуля к одинаковой чётности удовлетворяет функциональному уравнению римановского типа.

Результат теоремы 2.1 опубликован в соавторстве в работе [25].

Далее, в этой главе исследуется задача расположения нулей рядов Дирихле с периодическими коэффициентами в критической полосе.

С этой целью в работе предлагается новый подход, основанный па быстром приближении таких рядов Дирихле полиномами Дирихле. Основные положения такого подхода разработаны автором в работах [14], [36], [33].

Суть этого подхода заключается в том, что в ряде случаев удастся перенести свойства полипомов Дирихле на ряды Дирихле, в частности перенести результаты относительно плотности нулей. Известно [29], что полиномы Дирихле степени п являются почти-периодическими функциями класса Д = Цр, и количество нулей п(Т) таких полиномов (с учётом кратности), лежащих в полосе 0 ^ £ ^ Т, асимптотически определяется следующей формулой:

п{Т) = Т 1п Т + и;(Т),

271"

где — некоторая ограниченная функция, своя для каждого полинома.

Автором доказана теорема о совместном приближении ряда Дирихле и его производных полиномами Дирихле с показательной скоростью (теорема 2.4), которая с учётом распределения нулей аппроксимирующих полиномов позволяет доказать следующий результат

Теорема 2.5 Для любого е > 0 для числа пулей (с учётом их кратности) Ме(Т) ряда Дирихле с периодическими коэффициентами, лежащих в прямоугольнике | — £ < ? < | + 0 ^ £ < X1, имеет место следующая асимптотическая формула

Аге(Т) = ^-ТЫТ + О (Г) + О ИТ)), 27г

где — некоторая функция, каждый раз своя в зависимости от величи,-

ны Т.

Результат теоремы 2.5 опубликован в работе [37].

Слагаемое 0(о;(Т)), стоящее в правой части асимптотического равенства для ЛГ£(Т) в теореме 2.5, оказывает разное влияние па величину ЛГ£(Т) для различных классов рядов Дирихле. В работе [36] показано, что для Ь-функций Дирихле имеет место оценка

Как показали результаты численного эксперимента, даже в отдельных случаях рядов Дирихле, являющихся линейной комбинацией Ь-функций Дирихле, отсутствует картина расположения основной части нулей в окрестности критической прямой. Задача определения порядка роста величины |^(Т)| для различных классов рядов Дирихле является самостоятельной темой исследования и в данной работе не рассматривалась.

Далее в этой главе реализован численный алгоритм построения аппроксимирующих полиномов и проведена серия численных экспериментов, связанных с оценкой модуля рядов Дирихле с периодическими коэффициентами на критической прямой. Предварительные результаты этих экспериментов говорят о том, что

Этот факт является основанием для теоретических исследований в этом направлении.

В конце второй главы обсуждаются вопросы, связанные с возможностью проявления свойства универсальности для рядов Дирихле с периодическими коэффициентами.

Третья глава работы посвящена изучению отдельных вопросов, связанных с поведением Ь-функций Дирихле в критической полосе. В начале главы приводятся результаты, связанные с расшииренной гипотезой Римана о нулях Ь-функций Дирихле, высказанной Харди и Литтлвудом в 1923 году в работе [4].

Здесь, в первую очередь, рассматривается проблема взаимосвязи основной

НТ)| = 0(Т).

и расширенной гипотез Римана, вставшая ещё в работе Харди и Литтлвуда [4]. Этой проблемой занимались многие авторы, но она остаётся открытой и по настоящее время. Остановимся на одном результате В. Г. Спринджука, полученном в работе [43] в направлении решения этой проблемы.

В. Г. Спринджук рассмотрел класс функций <5(я), удовлетворяющих следующим условиям:

1. ¿(я) = 0(6), <т > С1, и раскладывается в ряд Дирихле;

2. 5{з) = а > с2, 0 < £ < §, |*| ^ 1;

3. ф) = с ^ с3, [¿| ^ 2;

4. ^\5(р)\е~т\р\ = 0(т~'п), где суммирование ведётся но всем нетривиальным нулям дзета-функции, 0 < ту < оо, г —> И + .

Для таких функций В. Г. Спринджук доказал, что из гипотезы Римана о нулях дзета-функции следует, что нули Ь-функции Дирихле с характером лежащие в полуплоскости а > тах(^,т]) являются так же нулями функции

1

8(в) = — любая функция из указанного класса.

Таким образом, из существования двух функций ^(й) и ¿^(з), для которых и $2Х(з) имеют различные нули при а > | , следует, что расширенная гипотеза Римана является следствием основной гипотезы.

Нужно отметить, что проверка условия 4) принадлежности функции (5(з) к данному классу является сама по себе сложной задачей.

В начале третьей главы диссертации доказан следующий результат. Теорема 3.1 Предположим, что для функции Мангольдта А(п) и для любого рационального числа выполняется асимптотическое равенство

]ГЛ(п)е27Г^" = Ах + 0{х^+£),

п^х

где е > 0; А — констант,а, которая в зависимости от (/? моо/сет равняться и нулю. Тогда для любого числового характера х нули Ь-функций Дирихле Ь(в, х), лежащие в полуплоскости <; > ^ являются нулями любой, целой функции, определённой рядом Дирихле с периодическими коэффициентами.

Замечание В работе показано, что из асимптотической оценки, приведённой в теореме 3.1, следует, основная гипотеза Римана. Но нет никаких оснований утверждать, что из этой оценки следует расширенная гипотеза Римана.

Результат теоремы 3.1 опубликован в соавторстве в работе [24].

Далее, в этой главе приводится эквивалент расширенной гипотезы Римана. выраженный в терминах поведения сумматорной функции значении характера Дирихле на множестве простых чисел. А именно, доказана

Теорема 3.2 Нетривиальные нули Ь-функции Дирихле с неглавным характером Дирихле х тогда и только тогда лежат па критической прямой, когда имеет, место оценка вида

р^х

где суммирование ведётся по простым р, £ — произвольное положительное число.

Из теоремы 3.2 следует тот факт, что если эйлерово произведение отличается от значений Ь-функции Дирихле на достаточно «редком» множестве простых чисел, то такое эйлерово произведение продолжается регулярным образом в полуплоскость о > и его нули в этой полуплоскости совпадают с нулями Ь-функции.

Отметим, что представляет интерес выяснить, как ведёт себя константа в символе "О" в теореме 3.2 в зависимости от е. Серия вычислений показала, что эта константа не зависит от е.

Представляет так же интерес получить результаты относительно распределения простых р, для которых

в полугруппе натуральных, порождённых такими р, аналогичные результатам Б. М. Бредихина [7].

Результат теоремы 3.2 опубликован в работах [31], [32].

Численный алгоритм построения полиномов Дирихле, сходящихся в критической полосе к рядам Дирихле с показательной скоростью, описанный в предыдущей главе для рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, остаётся без изменений и в случае Ь-фупкций Дирихле. Быстрая сходимость полиномов Дирихле и современные языки программирования, используемые в программе реализации численной схемы, обеспечивают быстроту вычисления нулей Ь-функций Дирихле. Результаты численных экспериментов говорят в пользу расширенной гипотезы Римана.

В работе [8] доказано свойство универсальности Ь-функций Дирихле. Свойство универсальности значений Ь-фупкций заключается в том, что для любой функции регулярной внутри и непрерывной на границе круга радиуса

г (0 < г < |) и не равной нулю при |з| ^ г, для любого е > 0 найдётся такое Т, что выполняется условие

В конце этой главы рассматриваются такие свойства аппроксимационных полиномов Дирихле, которые обеспечивают свойство универсальности Ь-фун^ций

В заключении обсуждаются различные направления исследований, которые связаны с исследованиями, проведёнными в данной работе. В частности, обсуждаются вопросы, связанные с аналитическими свойствами эйлеровых произведений в случае числовых полей.

] ■ + гТ) <е.

Дирихле.

1. Определяющие аналитические свойства некоторых классов рядов Дирихле и их приложения

Эта глава посвящена получению определяющих аналитических свойств некоторых классов рядов Дирихле и приложениям полученных результатов в ico-рии L-функций Дирихле и в теории степенных рядов.

В первую очередь изучается задача получения определяющих аналитических свойств рядов Дирихле с обобщёнными характерами. Получено аналитическое описание рядов Дирихле с главными обобщёнными характерами, что, в свою очередь, привело к чисто аналитическому доказательству известной гипотезы Н. Г. Чудакова в случае главных обобщённых характеров.

Вторым важным результатом этой главы является аналитическая характеристика рядов Дирихле, для которых соответствующие степенные ряды имеют полюсы конечного порядка в точке z = 1.

Указываются приложения этого результата в теории степенных рядов с целыми коэффициентами, а именно, получено необходимое и достаточное условие того, что степенной ряд с целыми коэффициентами определяет рациональную функцию, выраженное в терминах аналитических свойств соответствующих рядов Дирихле. Это позволило, например, получить повое доказательство аналитической непродолжимости степенных рядов, коэффициенты которых являются известными теоретико-числовыми функциями.

1.1. Аналитические свойства рядов Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффициентами и проблема обобщённых характеров

Пусть h(n) — конечнозначный числовой характер. Приведём аналитический критерий того, что h{n) является характером Дирихле. Этот критерий явля-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Матвеева, Ольга Андреевна, 2014 год

Список литературы

[1] Banks W. D. Irrationality of Power Series for Various Number Theoretic Functions / W. D. Banks, F. Luca, S. J. E. // Manuscripta Math. - 2005. — T. 117. - C. 183—197.

[2] Carlson F. Uber Potenzreichen mit ganzzachliegen Koeffizienten / F. Carlson // Math. Zeitshrift. - 1921. — T. 9. — C. 1-13.

[3] Davenport H. On the zeros of certain Dirichlet series. / H. Davenport, H. Heilbronn // Y. bond. Math. Soc. - 1936. - Т. II. - C. 181-185.

[4] Hardy Some problems of Partitia numerorum III / Hardy, Littlewood // Acta Mathematica Bd. — 1922. - C. 44.

[5] Littlewood J. E. On the zeroes of the Riemann Zeta-function / J. E. Littlewood // Proc. Cab. Phil. Soc. - 1924. - Вып. 22. - С. 295-318.

[6] Бибербах Л. Аналитическое продолжение / JI. Бибербах. — М. : Наука, 1967. - 240 с.

[7] Бредихин Б. М. Остаточный член в асимптотической формуле для vg{x) / Б. М. Бредихин // Известия высших учебных заведений СССР. — 1960. — 6(19). - С. 40-49.

[8] Воронин С. М. Дзета-функция Римана / С. М. Воронин, А. А. Карацу-ба. — М. : Физматлит, 1994. — 376 с.

[9] Глазков В. В. Характеры мультипликативной полугруппы натуральных чисел / В. В. Глазков // Исследования но теории чисел: Межвуз. сб. науч. тр. - Саратов, 1968. - Т. 2. - С. 3-40.

[10] Даугавет Н. К. Введение в теорию приближения функций / Н. К. Да-угавет. - Л. : Изд-во ЛГУ, 1977. - 182 с.

Демьянов В. Ф. Введение в минимакс / В. Ф. Демьянов, В. Н. Малозё-нов. - М. : Наука, 1972. - 358 с.

Карацуба А. А. О нулях функции Дэвеннорта -Хейльбронна, лежащих на критической прямой / А. А. Карацуба // Сер. мат. — М., 1990. — Т. 5, № 1. - С. 303-315.

Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел / А. А. Карацуба. - М. : Наука, 1983. - 238 с.

Короткое А. Е. Об одном численном алгоритме определения нулей целых функций, определённых рядами Дирихле с периодическими коэффициентами. / А. Е. Короткой, О. А. Матвеева // Науч. ведомости Белгородского государственного ун-та. : Математика. Физика., вып. 24 (17). - Белгород, 2011. - С. 47-53.

Кузнецов В. Н. Аналог теоремы Сеге для одного класса рядов Дирихле / В. Н. Кузнецов // Мат. заметки. - 1984. - Т. 36, № 6. - С. 805 -812.

Кузнецов В. Н. К задаче описания одного класса рядов Дирихле, определяющих целые функции / В. Н. Кузнецов // Выч. методы и программирование: Межвуз. сб. науч. тр. — Саратов, 1988. — Т. 1. — С. 63—72.

Кузнецов В. Н. О граничных свойствах степенных рядов с конечнознач-ными коэффициентами / В. Н. Кузнецов // Диф. уравнения и теория функций: Межвуз. сб. науч. тр. — Саратов, 1987. — Т. 7. — С. 8—16.

Кузнецов В. Н. Об аналитическом продолжении одного класса рядов Дирихле / В. Н. Кузнецов // Выч. методы и программирование: Межвуз. сб. науч. тр. — Саратов, 1987. — Т. 1. — С. 13--23.

Кузнецов В. Н. Аппроксимационный критерий периодичности конеч-нозначных функций натурального аргумента / В. Н. Кузнецов, А. М. Водолазов // Исследования по алгебре, теории чисел, функц. анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. — Саратов, 2005. — Вып. 2. — С. 27-32.

Кузнецов В. Н. К вопросу аналитического продолжения рядов Дирихле с вполне мультипликативными коэффициентами / В. Н. Кузнецов, А. М. Водолазов // Исследования по алгебре, теории чисел, функц. анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. — Саратов, 2003. — Вып. 1. - С. 43-59.

Кузнецов В. Н. Об аналитической непродолжимости за границу сходимости степенных рядов, отвечающих Ь-функциям Дирихле числовых полей / В. Н. Кузнецов, Т. А. Кузнецова, В. В. Кривобок // Исследования по алгебре, теории чисел, функц. анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. — Саратов, 2009. — Вып. 5. — С. 31—36.

Кузнецов В. Н. О некоторых условиях периодичности конечиозначных мультипикативных функций / В. Н. Кузнецов, Т. А. Кузнецова, О. А. Полякова О. А. (Матвеева // Исследования по алгебре, теории чисел, функц. анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. — Саратов, 2010. - № 6. - С. 55-62.

Кузнецов В. Н. Об одном доказательстве гипотезы Н. Г. Чудакова в случае главных обощённых характеров / В. И. Кузнецов, О. А. Матвеева // Материалы докладов XII Международной конференции «Алгебра, теория чисел: современные проблемы и приложения». — Тула, 2014. — С. 236-237.

Кузнецов В. Н. Расширенная гипотеза Римана и нули функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами / В. Н. Кузнецов, О. А. ( О. А. Полякова // Чебышевский сборник; науч.-теор. журн. - Тула, 2010. - Т. 11, № 1. - С. 59-69.

Кузнецов В. Н. К вопросу описания рядов Дирихле с конечнозначны-ми коэффициентами и удовлетворяющих функциональному уравнению типа Римана / В. Н. Кузнецов, О. А. Полякова О. А.(Матвеева // Известия Сарат. ун-та. Новая серия. Серия Математ. Механика. Инфор-мат. - Саратов, 2011. - Т. И, № 3. - С. 21-25.

Кузнецов В. Н. Об одном обобщении теоремы Адамара об умножении особенностей / В. Н. Кузнецов, Е. В. Сецинская // Исследования по

алгебре, теории чисел, функц. анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. — Саратов, 2005. — Вып. 3. — С. 47—58.

Кузнецов В. Н. О рядах Дирихле, определяющих целые функции первого порядка / В. Н. Кузнецов, Е. В. Сеципская, В. В. Кривобок // Исследования по алгебре, теории чисел, функц. анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. — Саратов, 2005. — Вып. 3. — С. 47— 58.

Кузнецова Т. А. Об определяющих аналитических свойствах рядов Дирихле, отвечающих степенным рядам, имеющим полюсы конечного порядка в точке z = 1 / Т. А. Кузнецова, О. А. Матвеева // Материалы XII Международной конференции «Алгебра, теория чисел: современные проблемы и приложения». — Тула, 2014. — С. 237—238.

Левин Б. Я. Распределение корней целых функций / Б. Я. Левин. — М. : Изд-во технико-теоретич. литерат., 1956.

Матвеев В. А. Аналитические свойства одного класса рядов Дирихле с мультипликативными конечнозначными коэффициентами / В. А. Матвеев, О. А. Матвеева // Материалы XII Международной конференции «Алгебра, теория чисел: современные проблемы и приложения». -Тула, 2014. - С. 240.

Матвеев В. А. Об одном эквиваленте расширенной гипотезы Римана / В. А. Матвеев, О. А. Матвеева // Материалы I внутривузовской конференции студентов и аспирантов. — Саратов, 2013. — С. 146—152.

Матвеев В. А. Об одном эквиваленте расширенной гипотезы Римана для L-функций Дирихле числовых полей / В. А. Матвеев, О. А. Матвеева // Известия Сарат. ун-та. Новая серия. Серия Математ. Механика. Информат. - Саратов, 2013. - Т. 13, выи. 4 (ч. 2). - С. 76-80.

Матвеева О. А. Анпроксимационные полиномы и поведение L-функций Дирихле в критической полосе / О. А. Матвеева // Известия Сарат. ун-та. Новая серия. Серия Математ. Механика. Информат. — Саратов, 2013. - Т. 13, выи. 4 (ч. 2). - С. 80-84.

Матвеева O.A. К задаче описания степенных рядов с целыми коэффициентами, непродолжимых за границу сходимости и определяющих рациональные функции / О. А. Матвеева // Учёные записки Орловского гос. ун-та: Научный журнал. Серия: естественные, технические и медицинские науки. — Орёл, 2013. — Т. 6, № 2. — С. 153—156.

Матвеева O.A. О граничном поведении одного класса степенных рядов / О. А. Матвеева // Чебышевский сборник. — Тула, 2011. — Т. 12, вып. 2. - С. 54-60.

Матвеева О. А. О нулях полиномов Дирихле, аппроксимирующих в критической полосе L-функции Дирихле / O.A. Матвеева / /' Чебышевский сборник. - Тула, 2013. - Т. 14, вып. 2. - С. 117-121.

Матвеева О. А. Почти периодические функции и плотностные теоремы для рядов Дирихле с периодическими коэффициентами / О. А. Матвеева // Материалы XII Международной конференции «Алгебра, теория чисел: современные проблемы и приложения». -- Тула, 2014. — С. 238--239.

О рядах Дирихле, определяющих мероморфпые функции с определённым порядком роста / В. Н. Кузнецов, В. В. Кривобок, О. А. Матвеева, Е. В. Сецинская // Исследования по алгебре, теории чисел, фупкц. анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. — Саратов, 2012. — Т. 7. - С. 58-68.

Петрушов O.A. О поведении преобразования Лапласа некоторых мер на границе области сходимости: диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук / Петрушов O.A. — Москва, 2013. - С. 118.

Постников А. Г. Введение в аналитическую теорию чисел / А. Г. Постников. — М. : Наука, 1971. — 416 с.

Прахар К. Распределение простых чисел / К. Прахар. — М. : Мир, 1967. - 511 с.

Сецинская Е. В. Граничное поведение степенных рядов, отвечающих L-функциям числовых полей: диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук / Сецинская Е. В. — Саратов : СГУ, 2005. - 86 с.

Сприндэюук В. Г. Вертикальное распределение нулей дзета-функции и расширенная гипотеза Римана / В. Г. Спринджук // Acta Arithmetica. -1975. - № XXVII. - С. 317-332.

Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана / Е. К. Титчмарш. — М. : И. Л, 1953. - 407 с.

Титчмарш Е. К. Теория функций / Е. К. Титчмарш. — М. : Наука, 1980. - 463 с.

Фоменко О. М. Продолжимость на всю плоскость и функциональное уравнение скалярного произведения L-рядов Гекке двух квадратичных полей / О. М. Фоменко // Труды Математ. института им. В. А. Стек-лова АН СССР. - М., 1972. - Т. 128. - С. 232-242.

Чандрасекхаран К. Арифметические функции / К. Чандрасекхаран. — М. : Наука, 1975. - 272 с.

Чудаков Н. Г. Об обобщенном характере / Н. Г. Чудаков, К. А. Родосский // ДАН СССР. - 1950. - Т. 74, № 4. - С. 1137-1138.

Чудаков Н. Об одном классе вполне мультипликативных функций. / Н. Чудаков, Ю. В. Линник // ДАН СССР. - 1950. - Т. 74, № 2. -С. 193-196.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях, входящих в список ВАК

1. Матвеева О. А, К вопросу описания рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами, определяющих целые функции и удовлетворяющих функциональному уравнению типа Римана / Кузнецов В. Н., Матвеева О. А. // Известия Саратовского университета. Новая серия, т. 11. Серия: Математика. Механика. Информатика — Саратов: Изд-во Са-рат. ун-та. - 2011 - Вып. 3, с. 21 - 25.

2. Матвеева О. А. Об одном численном алгоритме определения нулей целых функций, определяемых рядами Дирихле с периодическими коэффициентами. / Коротков А. Е., Матвеева О. А. // Научные ведомости Белгородского государственного университета. — Белгород: Изд-во "БелГУ",- 2011 - Вып. 24, с. 47 - 54.

3. Матвеева О. А. К задаче описания степенных рядов с целыми коэффициентами, непродолжимых за границы сходимости и определяющих рациональные функции / Матвеева О. А. // Учёные записки Орловского государственного университета. Научный журнал. Серия: естественные, технические и медицинские пауки. — Орёл: Изд-во ВГСПУ "Перемена".— 2012 - Вып. 6, ч.2, с. 153 - 156.

4. Матвеева О. А. Аппроксимационные полиномы и поведение L-фупкций Дирихле в критической полосе. / Матвеева О. А. // Известия Саратовского университета. Новая серия, т. 13. Серия: Математика. Механика. Информатика — Саратов: Изд-во С арат, ун-та. — 2013 -- Вып. 4, ч. 2, с. 80 - 84.

5. Матвеева О. А. Об одном эквиваленте расширенной гипотезы Римана для L-функций Дирихле числовых полей. /Матвеев В. А., Матвеева О. А. // Известия Саратовского университета. Новая серия, т. 13. Серия: Математика. Механика. Информатика — Саратов: Изд-во Са-рат. ун-та. - 2013 - Вып. 4, ч. 2, с. 76 - 80.

Публикации в прочих изданиях

6. Матвеева О. А. О некоторых условиях периодичности конечнозначных мультипликативных функций. /Кузнецов В. Н., Кузнецова Т. А., Полякова О. А. (Матвеева О. А.) // Межвузовский сборник научных трудов : Исследования но алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. — Саратов: Изд-во СГУ — 2010 — Выи. 4, с. 55 -62.

7. Матвеева О. А. Расширенная гипотеза Римана и нули функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами. /Кузнецов В. Н., Полякова О. А. (Матвеева О. А.) // Чебышевский сборник: научно-теоретический журнал. — Тула: Изд-во ТПГУ — 2010 — т. 11, вып. 1, с. 188 - 198.

8. Матвеева О. А. Аналитические свойства одного класса рядов Дирихле

с мультипликативными конечнозначными коэффициентами/Матвеев В. А., Матвеева О. А. // Материалы XII Международной конференции "Алгебра и теория чисел : современные проблемы и приложения" —Тула: Изд-во ТПГУ - 2014 - с. 240.

9. Матвеева О. А. Об определяющих аналитических свойствах рядов Дирихле, отвечающих степенным рядам, имеющим полюсы конечного порядка в точке = 1 / Кузнецова Т. А., Матвеева О. А. // Материалы XII Международной конференции "Алгебра и теория чисел : современные проблемы и приложения" —Тула: Изд-во ТПГУ — 2014 — с. 237 - 238.

10. Матвеева О. А. О граничном поведении одного класса степенных рядов. / Матвеева О. А. // Труды Международной конференции: многомасштабное моделирование структур и нанотехнологии. / Чебышевский сборник: научно-теоретический журнал. — Тула: Изд-во ТПГУ — 2011 — т. 12, вып. 3, с. 86 - 93.

11. Матвеева О. А. О граничном поведении степенных рядов с целыми коэффициентами. /Матвеева О. А. // Межвузовский сборник научных

трудов: Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. — Саратов: Изд-во СГУ — 2012 — Вып. 7, с. 78 - 81.

12. Матвеева О. А. О рядах Дирихле, определяющих мероморфные функции с определённым порядком роста модуля. /Кузнецов В. Н., Кривобок В. В., Сецинская Е. В., Матвеева О. А. // Межвузовский сборник научных трудов: Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. — Саратов: Изд-во СГУ — 2012 — Вып. 7, с. 58 - 68.

13. Матвеева О. А. Почти периодические функции и плотностные теоремы для рядов Дирихле с периодическими коэффициентами / Матвеева О. А. //Материалы XII Международной конференции "Алгебра и теория чисел : современные проблемы и приложения" — Тула: Изд-во ТПГУ - 2014 - с. 238 - 239.

14. Матвеева О. А. О нулях полиномов Дирихле, аппроксимирующих в критической полосе Ь-функции Дирихле. / Матвеева О. А. // Чебышсв-ский сборник: научно-теоретический журнал. Тула: Изд-во ТПГУ -2013 - т. 14, вып. 2, с. 117 - 121.

15. Матвеева О. А. Об одном эквиваленте расширенной гипотезы Рима-на / Матвеев В. А., Матвеева О. А. // «Студенческая наука: перекрестки теории и практики». Материалы I Внутривузовскоп научно-практической конференции студентов и аспирантов - Саратов: Издательский центр "Наука" — 2013 - с. 146 - 152.