Аналитическое исследование задач оптимального управления в нелинейных дифференциальных системах, аффинных по управлениям тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Хайлов Евгений Николаевич

• Хайлов Евгений Николаевич
• доктор наук
• 2025

Оглавление диссертации доктор наук Хайлов Евгений Николаевич

Введение

0.1 Общая постановка задачи минимизации

0.2 Принцип максимума Понтрягина

0.3 Свойства функций переключений и оптимальных управлений

Глава 1. Теорема сравнения Чаплыгина в оценке числа нулей

функций переключений

1.1 Системы двух дифференциальных уравнений для функций переключений

1.2 Задача минимизации с интегральной целевой функцией для управляемой дифференциальной системы, описывающей распространение инфекционного заболевания

1.2.1 Описание управляемой дифференциальной системы

1.2.2 Задача минимизации и ее анализ

1.2.3 Свойства функций переключений и вид оптимальных управлений

1.3 Задача минимизации для управляемой дифференциальной системы, описывающей распространение инфекционного заболевания с нелинейным уровнем заболеваемости

1.3.1 Описание управляемой дифференциальной системы и

задачи минимизации

1.3.2 Принцип максимума Понтрягина

1.3.3 Свойства функций переключений и вид оптимальных управлений

1.4 Системы трех дифференциальных уравнений для функций переключений

1.5 Задача минимизации для управляемой дифференциальной

системы, описывающей распространение эпидемии Эболы

1.5.1 Описание управляемой дифференциальной системы

1.5.2 Задача минимизации для управляемой дифференциальной системы

1.5.3 Принцип максимума Понтрягина

1.5.4 Свойства функции переключений и вид оптимальных

управлений

1.6 Задача минимизации для управляемой дифференциальной системы, описывающей распространение эпидемии с нелинейным уровнем заболеваемости

1.6.1 Описание управляемой дифференциальной системы и

задачи минимизации

1.6.2 Принцип максимума Понтрягина

1.6.3 Свойства функций переключений

1.6.4 Вид оптимальных управлений

1.6.5 Ситуация, исключенная из первоначального рассмотрения

Глава 2. Расщепление и условие квазиположительности в оценке

числа нулей функций переключений

2.1 Расщепление и условие квазиположительности в системах квадратичных дифференциальных уравнений

2.2 Описание CAR-T терапии лечения лейкемии

2.3 Трехмерная дифференциальная система хищник-жертва Лотки-Вольтерры для построения управляемой

дифференциальной системы

2.3.1 Постановка задачи минимизации

2.3.2 Анализ задачи минимизации

2.3.3 Результаты численных расчетов

2.4 Трехмерная дифференциальная система конкуренции Лотки-Вольтерры для построения управляемой

дифференциальной системы

2.4.1 Постановка задачи минимизации

2.4.2 Анализ задачи минимизации

2.4.3 Результаты численных расчетов

Глава 3. Особые режимы в управляемых дифференциальных

системах, описывающих лечение псориаза

3.1 Описание дифференциальной системы и ее свойства

3.1.1 Описание дифференциальной системы

3.1.2 Свойства траекторий дифференциальной системы

3.1.3 Положения равновесия дифференциальной системы

3.1.4 Притягивающее множество дифференциальной системы

3.1.5 Анализ устойчивости положения равновесия дифференциальной системы

3.2 Задача минимизации для дифференциальной системы с первым управлением

3.2.1 Управляемая дифференциальная система и задача минимизации

3.2.2 Принцип максимума Понтрягина

3.2.3 Анализ особого режима для £ =

3.2.4 О локальной управляемости вдоль особой траектории

для £ =

3.2.5 Результаты численных расчетов для £ =

3.3 Приближение особого режима второго порядка в задаче минимизации

3.3.1 Изучение особого режима для £ >

3.3.2 Результаты численных расчетов для £ >

3.3.3 Поведение оптимальных решений при £ ^

3.4 Особый режим третьего порядка в задаче минимизации

3.4.1 Постановка задачи минимизации

3.4.2 Принципа максимума Понтрягина

3.4.3 Особый режим оптимального управления

3.4.4 Сопряжение особого режима с неособыми релейными участками

3.4.5 Результаты численных расчетов

3.5 Задача минимизации для дифференциальной системы со вторым управлением

3.5.1 Управляемая дифференциальная система и задача минимизации

3.5.2 Принцип максимума Понтрягина

3.5.3 Свойства функции переключений

3.5.4 Результаты численных расчетов

3.6 Задача минимизации для дифференциальной системы с первым и вторым управлениями одновременно

3.6.1 Управляемая дифференциальная система и задача минимизации

3.6.2 Принцип максимума Понтрягина

3.6.3 Дифференциальные уравнения для функций переключений

3.6.4 Исследование особого режима у оптимального

управления и*(Ь)

3.6.5 Исследование особого режима у оптимального

управления

3.6.6 Результаты численных расчетов

3.7 Релейность и особые режимы оптимального управления в задаче минимизации для дифференциальной системы с первым управлением

3.7.1 Постановка задачи минимизации

3.7.2 Свойства оптимального управления в частном случае

П = в +

3.7.3 Свойства оптимального управления в общем случае

П = в +

Глава 4. Двумерная дифференциальная система конкуренции Лотки-Вольтерры в управляемых дифференциальных системах, описывающих лечение раковых заболеваний крови

4.1 Раковые заболевания крови и их математическое описание

4.2 Двумерная дифференциальная система конкуренции Лотки-Вольтерры и ее управляемые дифференциальные системы

4.3 Задача минимизации для дифференциальной системы с первым управлением и ее анализ

4.3.1 Постановка задачи минимизации

4.3.2 Анализ задачи минимизации

4.3.3 Результаты численных расчетов

4.4 Задача минимизации для дифференциальной системы со вторым

управлением и ее анализ

4.4.1 Постановка задачи минимизации

4.4.2 Анализ задачи минимизации

4.4.3 Результаты численных расчетов

4.5 Последовательное применение дифференциальной системы с первым управлением и дифференциальной системы со вторым управлением

4.5.1 Описание комбинированного лечения раковых заболеваний крови

4.5.2 Постановка задачи минимизации

4.5.3 Принцип максимума Понтрягина

4.5.4 Свойства оптимальных управлений

4.5.5 Результаты численных расчетов

4.6 Монотонные функции терапии в двумерной дифференциальной системе конкуренции Лотки-Вольтерры

4.6.1 Постановка задачи минимизации

4.6.2 Анализ задачи минимизации

4.6.3 О локальной управляемости вдоль особой траектории для монотонной функции терапии

4.6.4 Результаты численных расчетов

4.7 Немонотонные функции терапии в двумерной дифференциальной системе конкуренции Лотки-Вольтерры

4.7.1 Постановка задачи минимизации и ее анализ

4.7.2 Результаты численных расчетов

4.8 Задачи минимизации Больца для дифференциальной системы с первым управлением

4.8.1 Описание первой задачи минимизации Больца

4.8.2 Принцип максимума Понтрягина в первой задаче минимизации Больца

4.8.3 Особые режимы в первой задаче минимизации Больца

4.8.4 Описание второй задачи минимизации Больца

4.8.5 Принцип максимума Понтрягина во второй задаче минимизации Больца

4.8.6 Численные расчеты для первой и второй задач минимизации Больца

Заключение

Приложение А. Описание среды ВОСОР

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитическое исследование задач оптимального управления в нелинейных дифференциальных системах, аффинных по управлениям»

Введение

Актуальность темы исследования. Отправной точкой возникновения, активного исследования и развития нового класса экстремальных задач в теории оптимизации — математической теории оптимального управления считаются 50-60-ые годы XX столетия. Ее бурное развитие было связано с необходимостью решать новые на то время задачи, прежде всего, задачи управления механическими объектами, движение которых описывается дифференциальными уравнениями. И здесь, в первую очередь, следует выделить задачи, возникшие в механике полета (решение задач оптимизации траекторий полета самолетов и космических кораблей), технике (улучшение технологических процессов и режимов работы роботов) и энергетике (оптимизация ядерных реакторов и передачи электроэнергии).

Фундаментальные основы математической теории оптимального управления были заложены школами Л.С. Понтрягина и Р. Беллмана. Центральный результат математической теории оптимального управления — принцип максимума Понтрягина, представляющий собой необходимое условие оптимальности, был высказан в качестве гипотезы самим Л.С. Понтрягиным, а затем обоснован его учениками Р.В. Гамкрелидзе и В.Г. Болтянским. Принцип максимума Понтрягина послужил мощным толчком к пересмотру базовых понятий теории экстремума, к ее развитию, и лег в основу огромного количества исследований и новых результатов. Коллектив американских ученых во главе с Р. Беллманом разработал метод динамического программирования, который состоял в том, что оптимальное управление строится пошагово. При этом, конструируемое управление является оптимальным как на данном шаге, так и на всех последующих шагах. В этом заключается основное правило динамического программирования, сформулированное Р. Беллманом и называемое принципом оптимальности.

Помимо принципа максимума Понтрягина и метода динамического программирования Беллмана, также выделим принцип оптимальности Кротова, общую теорию экстремума Дубовицкого-Милютина, а также их обобщения и аналоги для различных постановок, учитывающих разнообразные практические ситуации. Здесь следует выделить ставшие уже классическими работы Р. Белл-мана; В.Г. Болтянского; Р. Габасова и Ф.М. Кирилловой; А.Я. Дубовицкого и А.А. Милютина; Н.Н. Красовского; Н.Н. Красовского и А.И. Субботина; В.Ф.

Кротова; А.Б. Куржанского; А.М. Летова; Д.Е. Охоцимского; Л.С. Понтрягина, Р.В. Гамкрелидзе, В.Г. Болтянского и Е.Ф. Мищенко.

Практическое применение математической теории оптимального управления по мере своего развития столкнулось с большими трудностями вычислительного характера. Они обусловлены и громоздкостью управляемых дифференциальных систем для отдельных объектов и процессов, и сложностью нахождения аналитических решений. Эти трудности приводят к тому, что построение оптимальных управлений для каждого класса объектов является самостоятельной творческой задачей. Ее решение требует учета специфических особенностей объекта, опыта и интуиции специалиста. В связи с чем, мощный толчок получило развитие вычислительных методов в математической теории оптимального управления.

В последнее время в мире управляемые дифференциальные системы играют все большую роль при анализе различных медико-биологических процессов. В рамках конкретной управляемой дифференциальной системы, для отыскания наилучших стратегий воздействия на такие процессы применяется математическая теория оптимального управления, которая к настоящему моменту, как сама по себе, так и ее вычислительные методы, продолжает развиваться и совершенствоваться.

Степень разработанности темы исследования. На современном этапе, при описании медико-биологических процессов наиболее часто используемые управляемые дифференциальные системы задаются на фиксированном отрезке времени с помощью нелинейных дифференциальных уравнений, которые аффинные (линейные) по управлениям. Целевые функции, представляющие собой неотъемлемую часть задач оптимального управления и задающие цель управления, обязательно содержат слагаемое с управлениями, которое выражается интегралом по фиксированному отрезку времени от взвешенной суммы квадратов управлений. После применения принципа максимума Понтрягина в качестве необходимого условия оптимальности, рассматриваемая задача оптимального управления сводятся к двухточечной краевой задаче принципа максимума, которая затем решается численно, применяя стандартное математическое обеспечение. Такое обеспечение широко представлено, например в программных средах MAPLE и MATLAB. Широкое использование именно такого слагаемого в целевой функции задачи оптимального управления связано с тем, что правые части систем дифференциальных уравнений в краевой задаче принципа максимума яв-

ляются липшицевыми функциями фазовых и сопряженных переменных. Кроме того, свойством липшицевости обладают и оптимальные управления. Более того, при малых заданных отрезках времени краевая задача принципа максимума имеет единственное решение, которое и будет искомым. Отметим, что при решении рассматриваемых задач оптимального управления также хорошо себя зарекомендовали программные среды ВОСОР и GPOPS, в которых после дискретизации по времени изучаемая задача оптимального управления приближается конечномерными задачами нелинейной оптимизации большой размерности.

В задачах оптимального управления для дифференциальных систем, задающихся по-прежнему нелинейными дифференциальными уравнениями, которые аффинные по управлениям, упомянутое слагаемое может также выражаться интегралом по фиксированному отрезку времени от взвешенной суммы управлений ([246]), или же оно может отсутствовать совсем. Тогда после применения к таким задачам принципа максимума Понтрягина соответствующие оптимальные управления могут быть либо релейными на всем заданном отрезке времени функциями, либо в дополнение к релейным (неособым) участкам они могут также иметь участки с особыми режимами (особые участки), на которых эти управления не определяются однозначно из условия максимума ([245]). После того, как существование особых режимов установлено, проверены соответствующие необходимые условия их оптимальности, определены сопряжения особых и неособых участков, нахождение конкретных оптимальных решений в задачах оптимального управления осуществляется по-прежнему только численно, например, используя программные среды ВОСОР и GPOPS. Применение сред, опирающихся на приближенное решение двухточечных краевых задач принципа максимума некорректно и неустойчиво, поскольку отсутствует важное, гарантирующее сходимость численных процедур свойство липшицевости.

При описании медико-биологических процессов до сих пор нет четкого понимания, каким образом следует выражать слагаемое, содержащее управления — интегралом по фиксированному отрезку времени от взвешенной суммы квадратов управлений или же интегралом по фиксированному отрезку времени от взвешенной суммы управлений ([190; 208; 246]). Когда это слагаемое определяется интегралом от взвешенной суммы квадратов управлений, у соответствующих оптимальных управлений отсутствуют особые режимы, вызывающие серьезные математические трудности при анализе и выполнении численных расчетов. Наоборот, при выражении такого слагаемого интегралом от взвешенной

суммы управлений или же при его отсутствии возможно появление особых режимов ([246]). Именно такие задачи оптимального управления, сложные с точки зрения теоретического анализа, и рассматриваются в диссертационной работе. При этом, соответствующие оптимальные управления либо могут быть релейными на всем заданном отрезке функциями, либо могут иметь особые участки с особыми режимами. В первом случае возникает вопрос о числе переключений каждого оптимального управления, что связано с числом нулей отвечающей такому управлению функции переключений. Во втором случае речь идет о вычислении и последующем анализе производных этой функции.

Для определения числа нулей функции переключений сначала следует выяснить чему удовлетворяет такая функция. Она может быть либо решением неавтономного линейного дифференциального уравнения, либо удовлетворять вместе с некоторыми вспомогательными функциями неавтономной линейной системе дифференциальных уравнений. В первом случае для оценки числа нулей функции переключений могут быть привлечены теория неосцилляции ([20; 44]), теорема Валле-Пуссена ([62]), результаты Ю.А. Меленцовой и Г.Н. Мильштей-на ([49]), а также результаты М.С. Никольского ([55]), Е.Л. Тонкова ([67]) и его учеников. Во втором случае следует выделить результаты В.Я. Дерра ([20]), А.В. Дмитрука ([124]) и М.С. Никольского ([56; 57]). Отметим, что подход, предложенный А.В. Дмитруком допускает дальнейшее развитие, а потому исследования в этом направлении актуальны и заслуживают внимания.

При изучении особых режимов следует выделить особые режимы второго порядка. Это связано, во-первых, с вычислениями производных функции переключений до четвертого порядка включительно. Такие вычисления являются сложными и громоздкими, а потому требуют разнообразных упрощающих подходов и приемов. Во-вторых, указанные особые режимы делятся на особые режимы локального и внутреннего второго порядка. В работах М.И. Зеликина, В.Ф. Борисова и Н.Б. Мельникова ([25; 50; 51; 278]) была разработана полная и стройная теория особых режимов внутреннего второго порядка. Было подробно изучено такое явление как четтеринг, когда на релейном участке оптимального управления содержится бесконечное число переключений, накапливающихся к точке сопряжения особого и релейного участков. Для особого режима локального второго порядка явление четтеринга было обосновано лишь для ситуации, когда гамильто-нова система, отвечающая задаче минимизации, в окрестности особой траектории приводится к специальному виду ([278]). Отметим, что такое приведение является

неоднозначным и сопряжено с вычислительными сложностями. Поэтому исследования, касающиеся особых режимов локальных второго и третьего порядков также являются актуальными и заслуживающими внимания.

Дадим теперь небольшой библиографический обзор применения математической теории оптимального управления для управляемых дифференциальных систем, описывающих медико-биологические процессы. Именно, с середины прошлого века официальные лица в области здравоохранения различных стран мира стали уделять много внимания использованию различных управляемых дифференциальных систем для контроля инфекционных заболеваний ([152]). И здесь математическая теория оптимального управления является успешным инструментом для выявления способов сокращения распространения инфекционных заболеваний, благодаря разработке эффективных стратегий вмешательства. В качестве примеров выделим ВИЧ-инфекцию ([8; 13; 14; 73; 74; 78; 79; 82; 83; 86; 102; 114; 115; 131; 146; 160; 168; 174; 184; 185; 193; 220; 223; 234; 239; 273; 276; 280; 281]), малярию ([173; 198; 219; 221; 222; 228]), туберкулез ([76; 95; 211; 250; 269]), холеру ([156; 206; 213; 222; 267]), грипп ([75; 165; 167; 171; 261; 268]), эпидемию Эболы ([77; 94; 140; 141; 217; 229; 230; 247]), а также другие заболевания ([90; 100; 155; 193; 195; 249; 254]). Отдельно отметим резко возросшее в последнее время применение математическая теории оптимального управления в различных управляемых дифференциальных системах, описывающих распространение вируса SARS-CoV-2 (пандемия СОУГО-19) ([71; 103; 144; 169; 172; 197; 218; 231; 275]), а также предшествующего ему вируса MERS-CoV ([81; 128; 243; 259]). Наконец, выделим работы, связанные с изучением общих свойств управляемых дифференциальных систем в эпидемиологии ([1; 33;34;82;88;91; 101; 108; 121; 133; 148; 151; 158; 161; 188; 193; 201; 209; 248; 270; 271; 274; 277]).

Среди других заболеваний, серьезно беспокоящих людей во всем мире, отметим заболевания, относящиеся к нарушениям как деятельности иммунной системы: например, псориаз ([107; 117; 138; 142; 235; 237; 240; 241]), аллергия ([145]), различные раковые заболевания ([24; 58; 63; 72; 84; 97; 105; 106; 116; 132; 135-137; 149; 159; 170; 187; 189; 191; 192; 202; 212; 214; 226; 227; 233; 246; 255; 257; 258]), так и обмена веществ, характеризующегося повышением содержания сахара в крови. Сюда, в первую очередь, отнесем диабет ([9; 47; 80; 129; 181; 207]). Наконец, заметим, что наличие значительного количества работ, связанных с раковыми заболеваниями, объясняется не только большим разнообразием таких заболеваний, но и широким спектром методов их лечения.

Отметим еще один важный момент, связанный с использованием математической теории оптимального управления в управляемых дифференциальных системах, описывающих медико-биологические процессы. Применение принципа максимума Понтрягина для возникающих здесь задач оптимального управления является достаточно популярным способом их исследования. К сожалению, эффективность его использования зависит от конкретной задачи. Часто кажущиеся простыми нелинейные задачи оптимального управления начинают требовать больших усилий для их решения и не всегда могут быть решены только с помощью упомянутого принципа максимума Понтрягина. Тогда, могут быть привлечены некоторые другие математические методы, приемы и соображения, позволяющие изучить вызвавшую большие сложности задачу оптимального управления. Добавим к этому еще и обоснованную неоднозначность в выборе целевой функции. В результате, могут возникнуть серьезные преграды при анализе задач оптимального управления для таких управляемых дифференциальных систем. Поэтому, важна любая возможная информация о виде оптимального решения, возникающая при исследовании конкретной оптимизационной задачи в указанных областях, поскольку она упрощает и сужает поиск оптимального решения среди так называемых экстремальных решений. Благодаря этому, результаты исследований, представленные в диссертационной работе, актуальны и несомненно заслуживают внимания.

Цель и задачи диссертации. Целью диссертационной работы является разработка новых качественных подходов для анализа конкретных задач оптимального управления, возникающих при описании медико-биологических процессов. Рассматриваемые задачи оптимального управления можно условно разделить на две группы: к первой группе отнести задачи минимизации, в которых соответствующие оптимальные управления не имеют особых режимов; во вторую группу включить задачи минимизации, в которых соответствующие оптимальные управления могут иметь особые режимы различных порядков. Во всех таких задачах оптимального управления основным объектом исследований является функция переключений, от поведения которой зависит вид оптимального управления.

В первой группе задач минимизации для анализа поведения функции переключений формируется линейная неавтономная система дифференциальных уравнений. Эта функция вместе с отвечающими ей вспомогательными функциями образуют решение такой линейной системы. С помощью специальной замены переменных матрица этой линейной системы приводится к верхне-треугольному

виду. Функции, осуществляющие такую замену переменных, удовлетворяют неавтономной системе квадратичных дифференциальных уравнений. На этом направлении для достижения указанной цели в работе поставлены следующие задачи:

1. Разработать новые подходы, гарантирующие продолжимость решений неавтономной системы квадратичных дифференциальных уравнений на максимально возможные временные отрезки. Один подход опирается на применение дифференциальных неравенств и теоремы сравнения Чаплыгина. Другой подход сочетает в себе использование расщепления неавтономной системы квадратичных дифференциальных уравнений на подсистемы более низкого порядка с применением условия квазиположительности к этим подсистемам.

2. Проверить работоспособность предлагаемых подходов при анализе поведения функций переключений в конкретных задачах минимизации для управляемых дифференциальных систем, описывающих медико-биологические процессы.

3. На основе анализа поведения функций переключений установить возможный вид оптимальных управлений в некоторых конкретных задачах минимизации с прикладной интерпретацией.

Во второй группе задач минимизации существенной особенностью является эффективное вычисление производных функции переключений высоких порядков и их анализ. На этом направлении для достижения указанной цели в работе поставлены следующие задачи:

1. В задачах минимизации для управляемых дифференциальных систем с прикладным содержанием подробно изучить свойства возможных особых режимов, которые опираются на выражение скобок Ли, задающих производные функций переключений, через удобные с вычислительной точки зрения совокупности линейно независимых векторных полей. Важную роль играет представление матриц Якоби векторных полей в виде комбинаций матриц единичного ранга, содержащих упомянутые совокупности линейно независимых векторных полей.

2. Для возможного особого режима локального второго порядка у оптимального управления в задаче минимизации для управляемой дифференциальной системы с прикладным содержанием предложить новый способ изучения локальной управляемости вдоль соответству-

ющей особой траектории, который опирается на представление скобок Ли, определяющих производные функции переключений, через совокупность линейно независимых векторных полей. Наличие такой управляемости можно рассматривать как возможность сопряжения особого режима локального второго порядка с неособым релейным участком.

3. Для возможного особого режима локального второго порядка у оптимального управления в задаче минимизации для управляемой дифференциальной системы с прикладным содержанием предложить новый способ его приближения последовательностью релейных управляющих функций, которые являются оптимальными управлениями в некотором возмущенном семействе задач минимизации. Изучить сходимость последовательности оптимальных решений в этих возмущенных задачах минимизации к оптимальному решению в невозмущенной задаче минимизации в соответствующих метриках.

4. Предложить новый способ последовательного вычисления производных функции переключений в задаче минимизации для управляемой дифференциальной системы с прикладным содержанием с помощью использования специальной системы дифференциальных уравнений, в которой функция переключений и отвечающие ей некоторые вспомогательные функции являются решениями. Этот способ используется при изучении возможного особого режима локального третьего порядка и анализе его сопряжения с неособыми релейными участками соответствующего оптимального управления.

5. Для задач минимизации, возникающих в управляемых дифференциальных системах, в основе которых лежит математическая модель конкуренции Лотки-Вольтерры, подробно изучить все возможные особые режимы. Найти возможный вид соответствующих оптимальных управлений.

Методология и методы исследования. Основными методами, использованными в диссертационной работе, являются математические методы теории оптимального управления, включающие принцип максимума Понтрягина и геометрическую теорию управления. Также в работе активно использовались математический анализ, функциональный анализ, теория обыкновенных дифференциальных уравнений, а также теория многозначных отображений и

дифференциальных включений. Все полученные теоретические результаты, по необходимости, сопровождаются демонстрационными численными расчетами, выполненными в среде ВОСОР. Описание этой среды дано в приложении А.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них наиболее важные:

1. Предложены два новых подхода для анализа продолжимости решений неавтономных систем квадратичных дифференциальных уравнений. Первый подход опирается на применение дифференциальных неравенств и теоремы сравнения Чаплыгина. Второй подход сочетает в себе использование расщепления неавтономной системы квадратичных дифференциальных уравнений на подсистемы более низкого порядка с применением условия квазиположительности к этим подсистемам. Такие неавтономные системы квадратичных дифференциальных уравнений возникают при анализе неавтономных линейных систем дифференциальных уравнений для функций переключений и отвечающих им вспомогательных функций в задачах минимизации;

2. Привлекая эти подходы, впервые дан полный анализ возможного вида оптимальных управлений в некоторых конкретных задачах минимизации с прикладной интерпретацией.

3. В задачах минимизации для управляемых дифференциальных систем с прикладным содержанием впервые выполнено оригинальное исследование свойств возможных особых режимов, которые опираются на выражение скобок Ли, определяющих производные функций переключений, через удобные с вычислительной точки зрения совокупности линейно независимых векторных полей. Важную роль играет представление матриц Якоби векторных полей в виде комбинаций матриц единичного ранга, содержащих упомянутые совокупности линейно независимых векторных полей.

4. Для возможного особого режима локального второго порядка у оптимального управления в задаче минимизации для управляемой дифференциальной системы с прикладным содержанием предложен новый способ изучения локальной управляемости вдоль соответствующей особой траектории, который опирается на представление скобок Ли, задающих производные функции переключений, через совокупность линейно независимых векторных полей. Наличие такой управляемости

можно рассматривать как возможность сопряжения особого режима локального второго порядка с неособым релейным участком.

5. В задаче минимизации для управляемой дифференциальной системы с прикладным содержанием предложен новый способ приближения возможного особого режима локального второго порядка.

6. В задаче минимизации для управляемой дифференциальной системы с прикладным содержанием предложен новый способ анализа возможного особого режима локального третьего порядка, основанный на построении специальной системы дифференциальных уравнений для функции переключений и отвечающих ей вспомогательных функций, которая соответствует последовательному вычислению производных функции переключений;

7. Для различных задач минимизации, возникающих в управляемых дифференциальных системах, в основе которых лежит математическая модель конкуренции Лотки-Вольтерры, впервые выполнено оригинальное исследование по нахождению возможного вида соответствующих оптимальных управлений, а также по изучению особых режимов, которые могут возникнуть.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Основные утверждения являются новыми, сформулированными в виде лемм и теорем, сопровождаются строгими доказательствами и иллюстрирующими примерами. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории дифференциальных уравнений и динамических систем, а также могут найти применение при анализе конкретных задач из изучаемого класса задач оптимального управления, возникающих при моделировании технических, экономических, экологических и медико-биологических процессов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Два новых подхода для анализа продолжимости решений неавтономных систем квадратичных дифференциальных уравнений. Первый подход опирается на применение дифференциальных неравенств и теоремы сравнения Чаплыгина. Второй подход сочетает в себе использование расщепления неавтономной системы квадратичных дифференциальных уравнений на подсистемы более низкого порядка с применением условия квазиположительности к этим подсистемам. Такие неавтономные

системы квадратичных дифференциальных уравнений возникают при анализе неавтономных линейных систем дифференциальных уравнений для функций переключений и отвечающих им вспомогательных функций в задачах минимизации.

2. Полный анализ на основе первого подхода возможного вида оптимальных управлений в некоторых конкретных задачах минимизации с прикладной интерпретацией.

3. Полный анализ при использовании второго подхода возможного вида оптимальных управлений в некоторых конкретных задачах минимизации с прикладной интерпретацией.

4. Оригинальное исследование для задач минимизации, возникающих в управляемых дифференциальных системах с прикладным содержанием, свойств возможных особых режимов, которые опираются на выражение скобок Ли, определяющих производные функций переключений, через удобные с вычислительной точки зрения совокупности линейно независимых векторных полей. Важную роль играет представление матриц Якоби векторных полей в виде комбинаций матриц единичного ранга, содержащих упомянутые совокупности линейно независимых векторных полей.

5. Новый способ для возможного особого режима локального второго порядка у оптимального управления в задаче минимизации для управляемой дифференциальной системы с прикладным содержанием для изучения локальной управляемости вдоль соответствующей особой траектории, который опирается на представление скобок Ли, задающих производные функции переключений, через совокупность линейно независимых векторных полей. Наличие такой управляемости можно рассматривать как возможность сопряжения особого режима локального второго порядка с неособым релейным участком.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Хайлов Евгений Николаевич, 2025 год

Список литературы

1. Андреева, Е. А. Оптимальное управление биологическими сообществами / Е. А. Андреева, Н. Шилова. — Архангельск : Изд-во Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова, 2014. — 240 с.

2. Асташова, И. В. О продолжимости и качественных свойствах решений уравнения Риккати / И. В. Асташова, В. А. Никишов // Дифференц. Уравнения. — 2023. — Т. 59, № 6. — С. 856—858.

3. Асташова, И. В. О продолжаемости и асимптотике решений уравнения Риккати с вещественными корнями правой части / И. В. Асташова, В. А. Ни-кишов // Успехи Мат. Наук. — 2024. — Т. 79, № 2. — С. 2—42.

4. Афанасьев, В. Н. Математическая теория конструирования систем управления / В. Н. Афанасьев, В. Б. Колмановский, В. Р. Носов. — М. : Высшая школа, 1998.— 412 с.

5. Базыкин, А. Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций / А. Д. Базыкин. — Москва-Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2003.-368 с.

6. Барис, Я. Разрушающиеся решения квадратичных систем дифференциальных уравнений / Я. Барис, П. Барис, Б. Рухлевич // Современная Математика. Фундаментальные Направления. — 2006. — Т. 15, № 3. — С. 29-35.

7. Барис, Я. С. О взрывных решениях неавтономных квадратичных диффе-рециальных систем / Я. С. Барис, П. Я. Барис, Б. Рухлевич // Дифференц. Уравнения. — 2006. — Т. 42, № 3. — С. 302—307.

8. Болодурина, И. П. Оптимальное управление процессом применения антивирусных препаратов при лечении ВИЧ-инфекции / И. П. Болодурина, И. П. Иванова // Вестник ЮУрГУ Вычислительная математика и информатика. — 2013. — Т. 2, № 4. — С. 94—102.

9. Болодурина, И. П. Оптимальное управление динамикой регуляции гликемии у больных сахарным диабетом первого типа / И. П. Болодурина, И. П. Иванова, Л. М. Анциферова // Вестник ЮУрГУ. Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. — 2020. — Т. 20, № 4. — С. 144-154.

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

Братусь, А. С. Динамические системы и модели биологии / А. С. Братусь, А. С. Новожилов, А. П. Платонов. — М. : Физматлит, 2010. — 400 с. Брессан, А. Введение в математическую теорию управления / А. Брессан, Б. Пикколи. — Москва-Ижевск : Институт компьютерных исследований,

2016.-386 с.

Васильев, Ф. П. Методы оптимизации / Ф. П. Васильев. — М. : Факториал Пресс, 2002. — 824 с.

Величенко, В. В. Управление лечением СПИДа / В. В. Величенко, Д. А. Притыкин // Автом. и Телемех. — 2006. — № 3. — С. 166—185. Величенко, В. В. Численные методы оптимального управления динамикой ВИЧ-инфекции / В. В. Величенко, Д. А. Притыкин // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2006. — № 3. — С. 166—185.

Габасов, Р. Особые оптимальные управления / Р. Габасов, Ф. М. Кириллова. — М. : ЛИБРОКОМ, 2013. — 256 с.

Гамкрелидзе, Р. В. Скользящие режимы в теории оптимального управления/Р. В. Гамкрелидзе//Тр. МИАН СССР. — 1985.—Т. 169. —С. 180—193. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. — М. : Наука, 1988. — 552 с.

Демидович, Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович. — М. : Наука, 1967. — 472 с.

Демьянов, В. Ф. Недифференцируемая оптимизация / В. Ф. Демьянов, Л. В. Васильев. — М. : Наука, 1981. — 384 с.

Дерр, В. Я. Неосцилляция решений линейных дифференциальных уравнений / В. Я. Дерр // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. — 2009.—№1. —С. 46-89.

Дмитриев, М. Г. Использование прямой схемы для решения линейно-квадратичной задачи оптимального управления с сингулярным возмущением / М. Г. Дмитриев, Г. А. Курина, Х. А. Овезов // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 1996. — № 4. — С. 62—68.

Дроздова, М. В. Заболевания крови. Полный справочник / М. В. Дроздова, А. А. Дроздов. — М. : Эксмо, 2008. — 15 с.

Егоров, А. И. Уравнения Риккати / А. И. Егоров. — М. : СОЛОН Пресс,

2017.-448 с.

Егоров, И. Е. Оптимальное позиционное управление в математической модели терапии злокачественной опухоли с учетом реакции иммунной си-

стемы / И. Е. Егоров // Математическая Биология и Биоинформатика. — 2014. — Т. 9, № 1. — С. 257—272.

25. Зеликин, М. И. Режимы учащающихся переключений в задачах оптимального управления / М. И. Зеликин, В. Ф. Борисов // Тр. МИАН. — 1991. — Т. 197.-С. 85-166.

26. Зеликин, М. И. Асимптотика уклонения функционала от оптимального значения при замене четтеринга субоптимальным режимом / М. И. Зеликин // УМН. — 1999. — Т. 54, № 3. — С. 163—164.

27. Зеликин, М. И. Уклонение функционала от оптимального значения при чет-теринге экспоненциально убывает с ростом числа переключений / М. И. Зеликин, Л. Ф. Зеликина // Дифференц. Уравнения. — 1999. — Т. 35, № 11. — С. 1468-1472.

28. Зорич, В. А. Математический анализ. Часть 1 / В. А. Зорич. — М.: МЦНМО, 2019.-564 с.

29. Иосида, К. Функциональный анализ / К. Иосида. — М.: Мир, 1967. — 624 с.

30. Калашникова, М. А. Асимптотическое решение линейно-квадратичных задач с дешевыми управлениями разной цены / М. А. Калашникова, Г. А. Курина // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2016. — Т. 22, № 1. — С. 124-139.

31. Козинец, Г. И. Учебник по гематологии / Г. И. Козинец, Н. И. Стуклов, Н. Г. Тюрина. — М. : Практическая медицина, 2018. — 336 с.

32. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — М. : Наука, 1972. — 496 с.

33. Котин, В. В. Оптимизация программного управления процедурами вакцинации / В. В. Котин, А. С. Сычугина // Биомедицинская Радиоэлектроника. — 2016. — № 7. — С. 25—30.

34. Котин, В. В. Оптимизация последовательного режима вакцинации и оценка областей достижимости / В. В. Котин, Е. И. Литун, С. И. Литун // Биомедицинская Радиоэлектроника. — 2017. — № 9. — С. 29—34.

35. Красносельский, М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский. — М. : Наука, 1966. — 332 с.

36. Кубанова, А. А. Имунные механизмы псориаза. Новые стратегии биологической терапии / А. А. Кубанова, А. А. Кубанов, Д. Ф. Николас, Л. Пьюиг, Д. Принц, О. Р. Катунина, Л. Ф. Знаменская // Vestn. Dermatol. Venerol. — 2010.-Т. 1.-С. 35-47.

37. Кузенков, О. А. Математическое моделирование процессов отбора / О. А. Кузенков, Е. А. Рябова. —Нижний Новгород : Изд-во Нижегородского университета, 2007. — 324 с.

38. Курина, Г. А. Об одной вырожденной задаче оптимального управления и сингулярных возмущениях / Г. А. Курина // Докл. АН СССР. — 1977. — Т. 237, № 3. — С. 517—520.

39. Кучумов, А. Г. Математическое моделирование и биомеханический подход к описанию развития, диагностике и лечения онкологических заболеваний /

A. Г. Кучумов // Российский Журнал Биомеханики. — 2010. — Т. 14, № 4. — С. 42-69.

40. Лаптев, М. В. Численное моделирование взаимной синхронизации автоколебаний пролиферативной активности эпидермиса в очагах поражения кожи при псориазе / М. В. Лаптев, Н. К. Никулин // Биофизика. — 2009. — Т. 54, №4. —С. 710—717.

41. Лаптинский, В. Н. Об ограниченных на полуоси решениях нелинейных дифференциальных уравнений / В. Н. Лаптинский // Дифференц. Уравнения. - 1996. - Т. 32, № 1. - С. 131-132.

42. Лаптинский, В. Н. Об ограниченных на полуоси решениях нелинейных дифференциальных систем / В. Н. Лаптинский // Дифференц. Уравнения. — 1997. — Т. 33, № 2. — С. 275—277.

43. Лаптинский, В. Н. Об асиптотическом поведении решений нелинейных дифференциальных систем / В. Н. Лаптинский // Дифференц. Уравнения. — 2008. - Т. 44, № 2. - С. 205-210.

44. Левин, А. Ю. Неосцилляция решений уравнения х(п) + р1(1)х(п-1) + • • • + рп(г)х = 0 / А. Ю. Левин // Успехи Мат. Наук. — 1969. — Т. 24, № 2. — С. 43-96.

45. Ли, Э. Б. Основы теории оптимального управления / Э. Б. Ли, Л. Маркус. — М. : Наука, 1972. — 576 с.

46. Люстерник, Л. А. Элементы функционального анализа / Л. А. Люстерник,

B. И. Соболев. — М. : Наука, 1965. — 520 с.

47. Лябах, Н. Н. Сахарный диабет: мониторинг, моделирование, управление / Н. Н. Лябах. — Ростов на Дону, 2004. — 138 с.

48. Малтугуева, Н. С. О существовании решения задачи оптимального управления гибридной системой / Н. С. Малтугуева, Н. И. Погодаев // Известия

Иркутского государственного университета. Серия Математика. — 2017. — Т. 19.-С. 129-135.

49. Меленцова, Ю. А. К оптимальной оценке промежутка неосцилляции для линейных дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами / Ю. А. Меленцова, Г. Н. Мильштейн // Дифференц. Уравнения. — 1981. - Т. 17, № 12. - С. 2160-2175.

50. Мельников, Н. Б. Экстремали с бесконечным числом переключений в задачах стабилизации аффинных по управлению / Н. Б. Мельников, М. И. Рон-жина // Успехи Мат. Наук. — 2024. — Т. 79, № 5. — С. 187—188.

51. Мельников, Н. Б. Четтеринг-траектории в задачах стабилизации нелинейных систем аффинных по управлению / Н. Б. Мельников, М. И. Ронжина // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2025. — Т. 31, № 1. — С. 138-153.

52. Николаев, С. Ф. Структура множества управляемости линейной докрити-ческой системы / С. Ф. Николаев, Е. Л. Тонков // Дифференц. Уравнения. — 1999.-Т. 35, № 1.-С. 107-115.

53. Николаев, С. Ф. Дифференцируемость вектора быстродействия и позиционное управление линейной докритической системой / С. Ф. Николаев, Е. Л. Тонков // Дифференц. Уравнения. — 2000. — Т. 36, № 1. — С. 76—84.

54. Никольский, М. С. О сходимости оптимальных управлений в некоторых оптимизационных задачах / М. С. Никольский // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15: Вычисл. матем. и киберн. — 2004. — № 1. — С. 24—30.

55. Никольский, М. С. О линейных нестационарных управляемых процессах / М. С. Никольский // Труды МИАН. — 2008. — Т. 262. — С. 196—201.

56. Никольский, М. С. О задаче быстродействия для двумерных управляемых систем / М. С. Никольский // Дифференц. Уравнения. — 2010. — Т. 46, № 11.-С. 1631-1638.

57. Никольский, М. С. О задаче быстродействия для трехмерных и четырехмерных управляемых систем / М. С. Никольский // Труды МИАН. — 2012. — Т. 277.-С. 192-198.

58. Новоселова, Н. Г. Построение множества выживаемости в задаче химиотерапии злокачественной опухоли, растущей по закону Гомперца / Н. Г. Новоселова, Н. Н. Субботина // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. - 2020. - Т. 26, № 1. - С. 173-181.

59. Панасюк, А. И. Асимптотическая магистральная оптимизация управляемых систем / А. И. Панасюк, В. И. Панасюк. — Минск : Наука и техника, 1986.-296 с.

60. Понтрягин, Л. С. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. — М. : Наука, 1961. —392 с.

61. Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л. С. Понтрягин. — М. : Наука, 1965. — 332 с.

62. Сансоне, Д. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Том 1 / Д. Сан-соне. — М. : ИЛ, 1953. — 346 с.

63. Субботина, Н. Н. О приложениях уравнений Гамильтона-Якоби и теории оптимального управления к задачам химиотерапии злокачественных опухолей / Н. Н. Субботина, Н. Г. Новоселова // Тр. МИАН. — 2019. — Т. 304. — С. 273-284.

64. Тарасевич, Ю. Ю. Математическое и компьютерное моделирование. Вводный курс / Ю. Ю. Тарасевич. — М. : ЛИБРОКОМ, 2013. — 152 с.

65. Тихонов, А. Н. Дифференциальные уравнения / А. Н. Тихонов, А. Б. Васильева, А. Г. Свешников. — М. : Наука, 1985. — 232 с.

66. Толстоногов, А. А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве / А. А. Толстоногов. — Новосибирск : Наука, 1986. — 296 с.

67. Тонков, Е. Л. Неосцилляция и число переключений в линейной нестационарной системе, оптимальной по быстродействию / Е. Л. Тонков // Дифференц. Уравнения. — 1973. — Т. 9, № 12. — С. 2180—2185.

68. Флеминг, У Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами / У Флеминг, Р. Ришел. — М. : Мир, 1978. — 320 с.

69. Хайлов, Е. Н. Управляемые системы Лотки-Вольтерры в моделировании медико-биологических процессов / Е. Н. Хайлов, Н. Л. Григоренко, Э. В. Григорьева, А. Д. Клименкова. — М. : МАКС ПРЕСС, 2021. — 204 с.

70. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. — М. : Мир, 1970.— 720 с.

71. Abbasi, Z. Optimal control design of impulsive SQEIAR epidemic models with application to COVID-19 / Z. Abbasi, I. Zamani, A. H. A. Mehra, M. Shafieirad, A. Ibeas // Chos Soliton. Fract. — 2020. — Vol. 139. — P. 1—20. — 110054.

72. Abu-Rqayiq, A. Optimal control of a basic model of oncolytic virotherapy / A. Abu-Rqayiq, H. Alayed, M. Zannon // J. Math. Computer Sci. — 2022. — Vol. 24.-P. 119-126.

73. Adams, B. M. Dynamic multidrug therapies for HIV: optimal and STI control approaches / B. M. Adams, H. T. Banks, H. D. Kwon, H. T. Tran // Mat. Biosci. Eng. — 2004. — Vol. 1, no. 2. — P. 223—241.

74. Adams, B. M. HIV dynamics: modeling, data analysis, and optimal treatment protocols / B. M. Adams, H. T. Banks, M. Davidian, H. D. Kwon, H. T. Tran, S. N. Wynne, E. S. Rosenberg // J. Comput. Appl. Math. — 2005. — Vol. 184. — P. 10-49.

75. Agusto, F. B. Optimal isolation control strategies and cost-effectiveness analysis of a two-strain avian influenza model / F. B. Agusto // BioSystems. — 2013. — Vol. 113, no. 3. — P. 155—164.

76. Agusto, F. B. Optimal control of a two-strain tuberculosis-HIV/AIDS co-infection model / F. B. Agusto, A. I. Adekunle // BioSystems. — 2014. — Vol. 119.-P. 20-44.

77. Ahmad, M. D. Optimal control analysis of Ebola disease with control strategies of quarantine and vaccination / M. D. Ahmad, M. Usman, A. Khan, M. Imran // Infect. Dis. Poverty. — 2016. — Vol. 5. — P. 1—12. — Article 72.

78. Ahmed, S. A controlled treatment strategy applied to HIV immunology model / S. Ahmed, A. Alim, S. Rahman // Numer. Algebr. Control Optim. — 2018. — Vol. 8, no. 2. — P. 309—324.

79. Akudibillah, G. Optimal control for HIV treatment / G. Akudibillah, A. Pandey, J. Medlock // Math. Biosci. Eng. — 2018. — Vol. 16, no. 1. — P. 373—396.

80. Al Helal, Z. Modelling and optimal control of blood glucose levels in the human body / Z. Al Helal, V. Rehbock, R. Loxton // J. Ind. Manag. Optim. — 2015. — Vol. 11, no. 4.-P. 1149-1164.

81. Aldila, D. Analyzing the MERS disease control strategy through an optimal control problem / D. Aldila, H. Padma, K. Khotimah, B. Desjwiandra, H. Tasman // Int. J. Appl. Math. Comput. Sci. — 2018. — Vol. 28, no. 1. — P. 169—184.

82. Anita, S. Introduction to optimal control problems in life sciences and economics / S. Anita, V. Arnaütu, V. Capasso. — Boston : Birkhäuser, 2011. — 232 p.

83. Arruda, E. F. An optimal control approach to HIV immunology / E. F. Arruda, C. M. Dias, C. V. de Magalhaes, D. H. Pastore, R. C. A. Thome, H. M. Yang // Applied Mathematics. — 2015. — Vol. 6, no. 6. — P. 1115—1130.

84. Aspirin, A. P. Polytherapeutic strategies with oncolyticvirus-bortezomib and adjuvant NK cells in cancer treatment / A. P. Aspirin, A. A. de los Reyes, Y. Kim // J. R. Soc. Interface. — 2021. — Vol. 18. — P. 1—13. — 20200669.

85. Astacio, J. Mathematical models to study the outbreaks of Ebola : tech. rep. / J. Astacio, D. M. Briere, M. Guillen, J. Martinez, F. Rodriguez, N. Valenzuela-Campos ; Biometrics Unit Technical Reports BU-1365-M Cornell University. — 1996.-P. 1-18.

86. Ayele, T. K. Mathematical modeling of HIV/AIDS with optimal control: a case study in Ethiopia / T. K. Ayele, E. F. D. Goufo, S. Mugisha // Results Phys. — 2021.-Vol. 26.-P. 1-17.

87. Barros, L. R. C. CAR-T cell goes on a mathematical model / L. R. C. Barros, B. J. Rodrigues, R. C. Almeida // J. Cell Immunol. — 2020. — Vol. 2, no. 1. — P. 31—37.

88. Behncke, H. Optimal control of deterministic epidemics / H. Behncke // Optim. Contr. Appl. Met. — 2000. — Vol. 21, no. 6. — P. 269—285.

89. Bianchini, R. M. Local controllability along a reference trajectory / R. M. Bian-chini, G. Stefani // Lecture notes in control and information sciences. Vol. 83 / ed. by A. Bensoussan, J. L. Lions. — New York : Springer-Verlag, 1986. — P. 342—353.

90. Biswas, M. H. A. A SEIR model for control of infectious diseases with constraints / M. H. A. Biswas, L. T. Paiva, M. R. de Pinho // Math. Biosci. Eng. — 2014.— Vol. 11, no. 4.—P. 761—784.

91. Bolzoni, L. Time-optimal control strategies in SIR epidemic models / L. Bolzoni, E. Bonacini, C. Soresina, M. Groppi // Math. Biosci. — 2017. — Vol. 292. — P. 86-96.

92. Bonnans, F. BOCOP 2.2.1 — user guide [e-resource] / F. Bonnans, P. Marti-non, D. Giorgi, V. Grelard, S. Maindrault, O. Tissot, J. Liu ; INRIA. — France, 08/2019. — URL http://bocop.org.

93. Bonnard, B. Singular trajectories and their role in control theory / B. Bonnard, M. Chyba. —Berlin-Heidelberg-New York : Springer-Verlag, 2003. — 357 p.

94. Bonyah, E. Optimal control application to an Ebola model / E. Bonyah, K. Badu, S. K. Asiedu-Addo // Asian Pac. J. Trop. Biomed. — 2016. — Vol. 6, no. 4. — P. 283-289.

95. Bowong, S. Optimal intervention strategies for tuberculosis / S. Bowong, A. M. Aziz Alaoui // Commun. Nonlinear Sci. — 2013. — Vol. 18, no. 6. — P. 1441-1453.

96. Bratus, A. Solution of the feedback control problem in the mathematical model of leukemia therapy / A. Bratus, Y. Todorov, I. Yegorov, D. Yurchenko // J. Optim. Theory Appl. — 2013. — Vol. 159. — P. 590—605.

97. Bratus, A. Maximization of viability time in a mathematical model of cancer therapy / A. Bratus, I. Samokhin, I. Yegorov, D. Yurchenko // Math. Biosci. — 2017.-Vol. 294.-P. 110-119.

98. Bratus, A. S. On strategies on a mathematical model for leukemia therapy / A. S. Bratus, E. Fimmel, Y. Todorov, Y. S. Semenov, F. Nürnberg // Nonlinear Anal.-Real World Appl. — 2012. — Vol. 13. — P. 1044—1059.

99. Bratus, A. S. Optimal control in a mathematical model for leukemia therapy with phase constraints / A. S. Bratus, A. S. Goncharov, I. T. Todorov//Moscow Univ. Comput. Math. Cybernet. — 2012. — Vol. 36, no. 4. — P. 178—182.

100. Brown, V. L. The role of optimal control in assessing the most cost-effective implementation of a vaccination programme: HPV as a case study / V. L. Brown, J. K. A. White // Math. Biosci. — 2011. — Vol. 231, no. 2. — P. 126—134.

101. Buonomo, B. Qualitative analysis and optimal control of an epidemic model with vaccination and treatment / B. Buonomo, D. Lacitignola, C. Vargas-De-Leon // Math. Comput. Simulat. — 2014. — Vol. 100. — P. 88—102.

102. Butler, S. Optimal control of the chemotherapy affecting the infectivity of HIV / S. Butler, D. Kirschner, S. Lenhart // Advances in mathematical population dynamics — molecules, cells and man. Vol. 6 / ed. by O. Arino, D. Axelrod, M. Kimmel. — Singapore : World Scientific, 1997. — P. 557—569.

103. Butt, A. I. K. Optimal control strategies for the reliable and competitivemath-ematical analysis of Covid-19 pandemic model / A. I. K. Butt, M. Imran, D. B. D. Chamaleen, S. Batool // Math. Meth. Appl. Sci. — 2023. — Vol. 46. — P. 1528—1555.

104. Byun, D. J. Cancer immunotherapy — immune checkpoint blockade and associated endocrinopathies /D. J. Byun, J. D. Wolchok, L. M. Rosenberg, M. Girotra// Nat. Rev. Endocrinol. — 2017. — Vol. 13. — P. 195—207.

105. Camacho, A. Bone metastasis treatment modeling via optimal control / A. Camacho, S. Jerez // J. Math. Biol. — 2019. — Vol. 78. — P. 497—526. — 32.

106. Camacho, A. Optimal control for a bone matastasis with radiotherapy model using a linear objective functional / A. Camacho, E. Diaz-Ocampo, S. Jerez // Math. Model. Nat. Phenom. — 2022. — Vol. 17. — P. 1—17. — 32.

107. Cao, X. Fractional-order model of the disease psoriasis: a control based mathematical approach / X. Cao, A. Datta, F. Al Basir, P. K. Roy // J. Syst. Sci. Complex. — 2016. — Vol. 29. — P. 1565—1584.

108. Castilho, C. Optimal control of an epidemic through educational campaigns / C. Castilho // Electron. J. Differential Equations. — 2006. — Vol. 2006, no. 125.-P. 1—11.

109. Cesari, L. Optimization — theory and applications / L. Cesari. — New York : Springer-Verlag, 1983. — 542 p.

110. Chattopadhyay, B. Immunopathogenesis in psoriasis throuth a density-type mathematical model / B. Chattopadhyay, N. Hui // WSEAS Trans. Math. — 2012.-Vol. 11.-P. 440-450.

111. Chowell, G. The basic reproductive number of Ebola and the effects of public health measures: the cases of Congo and Uganda/ G. Chowell, N. W. Hengartner, C. Castillo-Chavez, P. W. Fenimore, J. M. Hyman // J. Theor. Biol. — 2004. — Vol. 229.-P. 119-126.

112. Chulian, S. Mathematical models of leukaemia and its treatment: a review / S. Chulian, A. Martinez-Rubio, M. Rosa, V. M. Perez-Garcia// SeMA Journal. — 2022. - Vol. 79. - P. 441-486.

113. Clapp, G. A review of mathematical models for leukemia and lymphoma / G. Clapp, D. Levy // Drug Discov. Today Dis. Models. — 2015. — Vol. 16. — P. 1-6.

114. Costanza, V. Optimizing thymic recovery in HIV patients through multidrug therapies / V. Costanza, P. S. Rivadeneira, F. L. Biafore, C. E. DAttellis // Biomed. Signal Proces. — 2013. — Vol. 8, no. 1. — P. 90—97.

115. Culshaw, R. V. Optimal HIV treatment by maximising immune response / R. V. Culshaw, S. Ruan, R. J. Spiteri // J. Math. Biol. — 2004. — Vol. 48, no. 5. — P. 545—562.

116. Das, P. Optimal control strategy for cancer remission using combinatorial therapy: a mathematical model-based approach / P. Das, S. Das, P. Das, F. A. Rihan, M. Uzuntarla, D. Ghosh // Chaos Soliton. Fract. — 2021. — Vol. 145. — P. 1-15.- 110789.

117. Datta, A. T-cell proliferation on immunopathogenic mechanism of psoriasis: a control based theoretical approach / A. Datta, P. K. Roy // Control and Cybern. — 2013. - Vol. 42, no. 3. - P. 365-386.

118. Datta, A. Drug therapy between T-cells and DCs reduces the excess production of keratinicytes: ausal effect of psoriasis / A. Datta, X.-Z. Li, P. K. Roy // Math. Sci. Int. Res. J. — 2014. — Vol. 3, no. 1. — P. 452—456.

119. Datta, A. Effect of CD4+T-cells and CD8+T-cells on psoriasis: a mathematical study / A. Datta, D. K. Kesh, P. K. Roy // Imhotep Math. Proc. — 2016. — Vol. 3, no. 1.-P. 1—11.

120. Davenport, A. J. Chimeric antigen receptor T cells form nonclassical and potent immune synapses driving rapid cytotoxicity / A. J. Davenport, R. S. Cross, K. A. Watson, Y. Liao, W. Shi, H. M. Prince, P. A. Beavis, J. A. Trapani, M. H. Kershaw, D. S. Ritchie, P. K. Darcy, P. J. Neeson, M. R. Jenkins // P. Natl. Acad. Sci. USA. — 2018. — Vol. 115. — P. 2068—2076.

121. de Pinho, M. R. On application of optimal control to SEIR normalized models: pros and cons / M. R. de Pinho, F. N. Nogueira // Math. Biosci. Eng. — 2017. — Vol. 14, no. 1.-P. 111-126.

122. Di Liddo, A. Optimal control and treatment of infectious diseases. The case of huge treatment costs / A. Di Liddo // Mathematics. — 2016. — Vol. 4, no. 3. — P. 1—27.—Article 21.

123. Diaz-Seoane, S. Controllability and accessibility analysis of nonlinear biosystems / S. Diaz-Seoane, A. B. Blas, A. F. Villaverde // Comput. Meth. Prog. Bio. — 2023.-Vol. 242.-P. 1-11.- 107837.

124. Dmitruk, A. V. A generalized estimate on the number of zeros for solutions of a class of linear differential equations / A. V. Dmitruk// SIAM J. Control Optim. — 1992.-Vol. 30, no. 5.-P. 1087-1091.

125. Dmitruk, A. V. Maximum principle for optimal control problems with intermediate constraints / A. V. Dmitruk, A. M. Koganovich // Computational Mathematics and Modeling. — 2011. — Vol. 22, no. 2. — P. 180—215.

126. Donchev, A. L. Perturbations, approximations, and sensitivity analysis of optimal control systems / A. L. Donchev. — Berlin : Springer-Verlag, 1983. — 165 p.

127. Egorov, I. E. Assessing alternative control strategies for systems with asymptotically stable equilibrium positions /1. E. Egorov // Moscow Univ. Comput. Math. Cybernet. —2013. — Vol. 37, no. 3. — P. 112—120.

128. Fatima, B. Modeling the epidemic trend of middle eastern respiratory syndrome coronavirus with optimal control / B. Fatima, M. Yavuz, M. Mati ur Rahman, F. S. Al-Duais // Math. Biosci. Eng. — 2023. — Vol. 20, no. 7. — P. 11847—11874.

129. Ferjouchia, H. Application of optimal control strategies for physiological model of type 1 diabets-T1D / H. Ferjouchia, F. Z. Iftahy, A. Chadli, S. El Aziz, A. Kouidere, A. Labzai, O. Balatif, M. Rachik // Commun. Math. Biol. Neu-rosci. — 2020. — Vol. 2020. — P. 1—11. — Article ID 35.

130. Fimmel, E. On optimal and suboptimal treatment strategies for a mathematical model of leukemia / E. Fimmel, Y. S. Semenov, A. S. Bratus // Math. Biosci. Eng.— 2013. —Vol. 10, no. 1.—P. 151—165.

131. Fister, K. R. Optimizing chemotherapy in an HIV model / K. R. Fister, S. Lenhart, J. S. McNally // Electron. J. Differentail Equations. — 1998. — Vol. 1998, no. 32.-P. 1-12.

132. Fister, K. R. Optimal control applied to competing chemotherapeutic cell-kill strategies / K. R. Fister, J. C. Panetta // SIAM J. Appl. Math. — 2003. — Vol. 63, no. 6.—P. 1954—1971.

133. Gaff, H. Optimal control applied to vaccination and treatment strategies for various epidemiological models / H. Gaff, E. Schaefer // Math. Biosci. Eng. — 2009. - Vol. 6, no. 3. - P. 469-492.

134. Gandolfi, A. An agestructured model of epidermis growth / A. Gandolfi, M. Ian-nelli, G. Marinoschi // J. Math. Biol. — 2011. — Vol. 62. — P. 111—141.

135. Garrido, M.-L. K. Modeling and numerical solution of a cancer therapy optimal control problem / M.-L. K. Garrido, T. Breitenbach, K. Chudej, A. Borzi // Applied Mathematics. — 2018. — Vol. 9, no. 8. — P. 985—1004.

136. Ghaffari, A. Optimal finite cancer treatment duration by using mixed vaccine therapy and chemotherapy: state dependent Riccati equation control / A. Ghaffari, M. Nazari, F. Arab // J. Appl. Math. — 2020. — Vol. 2020. — P. 1—11. — Article ID 35.

137. Glick, A. E. An optimal control approach for the treatment of solid tumors with angiogenesis inhibitors / A. E. Glick, A. Mastroberardino // Mathematics. — 2017. — Vol. 5, no. 4. — P. 1—14. — 49.

138. Grigorenko, N. L. Optimal control problems for a mathematical model of the treatment of psoriasis / N. L. Grigorenko, E. V. Grigorieva, P. K. Roy, E. N. Khailov // Computational Mathematics and Modeling. — 2019. — Vol. 30, no. 4.—P. 352—363.

139. Grigorieva, E. Optimal control for a Susceptible-Infected-Recovered infectious disease model / E. Grigorieva, E. Khailov, A. Korobeinikov // J. Coupled Syst. Multiscale Dyn. — 2013. — Vol. 1, no. 3. — P. 324—331.

140. Grigorieva, E. Optimal priventive strategies for SEIR type model of the 2014 Ebola epidemics / E. Grigorieva, E. Khailov // Dynam. Cont. Dis. Ser. B. — 2017.-Vol. 24.-P. 155-182.

141. Grigorieva, E. Determination of the optimal controls for an Ebola epidemic model / E. Grigorieva, E. Khailov // Discrete Cont. Dyn.-S. — 2018. — Vol. 11, no. 6.-P. 1071-1101.

142. Grigorieva, E. Investigation of singular regimens in a controlled model of psoriasis treatment / E. Grigorieva, E. Khailov // Commun. Optim. Theory. — 2022. — Vol. 2022.-P. 1-24.-10.

143. Grigorieva, E. V. Singular and non-singular optimal strategies for psoriasis control model / E. V. Grigorieva, E. N. Khailov // Pure Appl. Funct. Anal. — 2019. — Vol. 4, no. 2.—P. 219—246.

144. Grigorieva, E. V. Optimal quarantine-related strategies for COVID-19 control models / E. V. Grigorieva, E. N. Khailov, A. Korobeinikov // Stud. Appl. Math. — 2021. - Vol. 147, no. 2. - P. 622-649.

145. Grigorieva, E. V. Optimal strategies for achieving immune balance in a mathematical model of allergy treatment / E. V. Grigorieva, E. N. Khailov // Pure and Applied Functional Analysis. — 2021. — Vol. 6, no. 2. — P. 317—351.

146. Gromov, D. V. Numerical optimal control for HIV prevention with dynamic budget allocation / D. V. Gromov, I. Bulla, E. O. Romero-Severson, O. S. Serea // Math. Med. Biol. — 2016. — Vol. 35, no. 4. — P. 469—491.

147. Gudjonsson, J. E. Immunopathogenic mechanisms in psoriasis / J. E. Gudjons-son, A. Johnston, H. Sigmundsdottir, H. Valdimarsson // Clin. Exp. Immunol. — 2004.-Vol. 135.-P. 1-8.

148. Gupta, N. K. Optimal control of epidemics / N. K. Gupta, R. E. Rink // Math. Biosci. — 1973. — Vol. 18. — P. 383—396.

149. Haddad, G. Optimal control model of tumor treatment in the context of cancer stem cell / G. Haddad, A. Kebir, N. Raissi, A. Bouhali, S. B. Miled // Math. Biosci. Eng. — 2022. — Vol. 19, no. 5. — P. 4627—4642.

150. Hermes, H. On local and global controllability / H. Hermes // SIAM J. Control. — 1974. - Vol. 12, no. 2. - P. 252-261.

151. Hethcote, H. W. Optimal vaccination schedules in a deterministic epidemic model / H. W. Hethcote, P. Waltman // Math. Biosci. — 1973. — Vol. 18. — P. 365-381.

152. Hethcote, H. W. The mathematics of infectious diseases / H. W. Hethcote // SIAM Review. — 2000. — Vol. 42, no. 4. — P. 599—653.

153. Heymach, J. Clinical cancer advances 2018: annual report on progress against cancer from the American Society of Clinical Oncology / J. Heymach, L. Krilov,

A. Alberg, N. Baxter, S. M. Chang, R. B. Corcoran, W. Dale, A. DeMichele, C. S. M. Diefenbach, R. Dreicer, A. S. Epstein, M. L. Gillison, D. L. Graham, J. Jones, A. H. Ko, A. M. Lopez, R. G. Maki, C. Rodriguez-Galindo, R. L. Schilsky, M. Sznol, S. N. Westin, H. Burstein // J. Clin. Oncol. — 2018. — Vol. 36, no. 10. - P. 1020-1044.

154. Hopkins, B. A model-based investigation of cytokine storm for T-cell therapy /

B. Hopkins, M. Tucker, Y. Pan, N. Fang, Z. Huang // IFAC-PapersOnLine. — 2018.— Vol. 51, no. 19.—P. 76—79.

155. Imran, M. A model of bi-mode transmission dynamics of hepatitis C with optimal control / M. Imran, H. Rafique, A. Khan, T. Malik // Theor. Biosci. — 2014. — Vol. 133, no. 2.-P. 91-109.

156. Isere, A. O. Optimal control model for the outbreak of cholera in Nigeria / A. O. Isere, O. J. E., D. Okuonghae // African Journal of Mathematics and Computer Science Research. — 2014. — Vol. 7, no. 2. — P. 22—30.

157. Jacobson, D. H. New conditions for boundedness of the solution of a matrix Ric-cati differential equation / D. H. Jacobson // Journal of Differential Equations. — 1970. — Vol. 8, no. 2. — P. 258—263.

158. Jaquette, D. L. Mathematical models for controlling growing biological populations: a survey/D. L. Jaquette//Oper. Res. — 1972. — Vol. 20. —P. 1142—1151.

159. Jarrett, A. M. Optimal control theory for personalized therapeutic regimens in oncology: background, history, challenges, and opportunities / A. M. Jarrett,

D. Faghihi, D. A. Hormuth, E. A. B. F. Lima, J. Virostko, G. Biros, D. Patt, T. E. Yankeelov // J. Clin. Med. — 2020. — Vol. 9, no. 5. — P. 1—25. — 1314.

160. Joshi, H. R. Optimal control of an HIV immunology model / H. R. Joshi // Optim. Contr. Appl. Met. — 2002. — Vol. 23, no. 4. — P. 199—213.

161. Joshi, H. R. Optimal control methods applied to disease models / H. R. Joshi, S. Lenhart, M. Y. Li, L. Wang // AMS volume on mathematical studies on human disease dynamics: emerging paradigms and challenges. Vol. 410. — USA : AMS, 2006.—P. 187—207.

162. June, C. H. Is autoimmunity the Achilles' heel of cancer immunotherapy? / C. H. June, J. T. Warshauer, J. A. Bluestone // Nat. Med. — 2017. — Vol. 23. — P. 540—547.

163. June, C. H. Chimeric antigen receptor therapy / C. H. June, M. Sadelain // N. Engl. J. Med. — 2018. — Vol. 379, no. 1. — P. 64—73.

164. Jung, E. Optimal control of treatments in a two-strain tuberculosis model /

E. Jung, S. Lenhart, Z. Feng // Discrete Cont. Dyn.-B. — 2002. — Vol. 2, no. 4. — P. 473—482.

165. Jung, E. Optimal control strategy for prevention of avian influenza pandemic / E. Jung, S. Iwami, Y. Takeuchi, T.-C. Jo // J. Theor. Biol. — 2009. — Vol. 260, no. 2. — P. 220—229.

166. K., R. P. Mathematical modeling on immunopathogenesis in chronic plaque of psoriasis: atheoretical study /R. P. K., J. Bhadra,B. Chattopadhyay //Led Notes Eng. Comput. Sci. — 2010. — Vol. 1. — P. 550—555.

167. Kanyiri, C. W. Application of optimal control to influenza pneumonia coinfec-tion with antiviral resistance / C. W. Kanyiri, L. Luboobi, M. Kimathi // Comput. Math. Method. M. — 2020. — Vol. 2020. — P. 1—15. — Article ID 5984095.

168. Karrakchou, J. Optimal control and infectiology: application to an HIV/AIDS model / J. Karrakchou, M. Rachik, S. Gourari // Appl. Math. Comput. — 2006. — Vol. 177, no. 2. — P. 807—818.

169. Keno, T. D. Optimal control strategies of COVID-19 dynamics model / T. D. Keno, H. T. Etana // Journal of Mathematics. — 2023. — Vol. 2023. — P. 1—20. — Article ID 2050684.

170. Khalili, P. Optimal control methods for drug delivery in cancerous tumour by anti-angiogenic therapy and chemotherapy / P. Khalili, S. Zolatash, R. Vatankhah, S. Taghvaei // IET Syst Biol. — 2021. — Vol. 15, no. 1. — P. 14-25.

171. Khondaker, F. Optimal control analysis of influenza epidemic model / F. Khon-daker // Applied Mathematics. — 2022. — Vol. 13. — P. 845—857.

172. Kifle, Z. S. Optimal control analysis of a COVID-19 model / Z. S. Kifle, L. L. Obsu // Applied Mathematics in Science and Engineering. — 2023. — Vol. 31, no. 1.-P. 1-27.-2173188.

173. Kim, B. N. Optimal control strategy of plasmodium vivax malaria transmission in Korea / B. N. Kim, K. Nah, C. Chu, S. U. Ryu, Y. H. Kang, Y. Kim // Osong Public Health and Research Perspectives. —2012. — Vol. 3, no. 3. —P. 128—136.

174. Kirschner, D. Optimal control of the chemotherapy of HIV / D. Kirschner, S. Lenhart, S. Serbin // J. Math. Biol. — 1997. — Vol. 35, no. 7. — P. 775—792.

175. Konstorum, A. Addressing current challenges in cancer immunotherapy with mathematical and computational modelling / A. Konstorum, A. T. Vella, A. J. Adler, R. C. Laubenbacher // J. Roy. Soc. Interface. — 2017. — Vol. 14, no. 7.-P. 1-10.-20170150.

176. Korobeinikov, A. Nonlinear incidence and stability of infectious disease models / A. Korobeinikov, P. K. Maini // Math. Med. Biol. — 2005. — Vol. 22, no. 2. — P. 113-128.

177. Korobeinikov, A. Lyapunov functions and global stability for SIR and SIRS epi-demiological models with non-linear transmission / A. Korobeinikov // B. Math. Biol. — 2006. — Vol. 68, no. 3. — P. 615—626.

178. Korobeinikov, A. Global properties of infectious disease models with non-linear incidence / A. Korobeinikov // B. Math. Biol. — 2007. — Vol. 69, no. 6. — P. 1871-1886.

179. Korobeinikov, A. Global asymptotic properties of virus dynamics models with dose dependent parasite reproduction and virulence, and nonlinear incidence rate / A. Korobeinikov // Math. Med. Biol. — 2009. — Vol. 26, no. 3. — P. 225—239.

180. Korobeinikov, A. Stability of ecosystem: global properties of a general predator-prey model / A. Korobeinikov // Math. Med. Biol. — 2009. — Vol. 26, no. 4. — P. 309-321.

181. Kouidere, A. A new mathematical modeling with optimal control strategy for the dynamics of population of diabetics and its complications with effect of behavioral factors / A. Kouidere, A. Labzai, H. Ferjouchia, O. Balatif, M. Rachik // J. Appl. Math. — 2020. — Vol. 2020. — P. 1—12. — Article ID 1943410.

182. Kurina, G. A. Asymptotic solution of a linear-quadratic problem with discontinuous coefficients and cheap control / G. A. Kurina, T. H. Nguyen // Appl. Math. Comput. - 2014. - Vol. 232. - P. 347-364.

183. Kuznetsov, M. Improving cancer treatments via dynamical biophysical models / M. Kuznetsov, J. Clairambault, V. Volpert // Phys. Life Rev. — 2021. — Vol. 39. — P. 1-48.

184. Kwon, H. Optimal treatment strategies derived from a HIV model with drug-resistantmutants / H. Kwon // Appl. Math. Comput. — 2007. — Vol. 188, no. 2. — P. 1193-1204.

185. Kwon, H. Optimal control of an age-structured model of HIV infection / H. Kwon, J. Lee, S. Yang // Appl. Math. Comput. — 2012. — Vol. 219, no. 5. — P. 2766—2779.

186. Lamnabhi-Lagarrigue, F. Singular optimal control problems: on the order of a singular arc / F. Lamnabhi-Lagarrigue // Systems & Control Letters. — 1987. — Vol. 9.-P. 173-182.

187. Lecca, P. Control theory and cancer chemotherapy: how they interact / P. Lecca // Front. Bioeng. Biotechnol. — 2020. — Vol. 8. — P. 1—9. — 621269.

188. Ledzewicz, U. On optimal sigular controls for a general SIR-model with vaccination and treatment / U. Ledzewicz, H. Schattler // Discret. Contin. Dyn.-S. — 2011. — Vol. supplement. — P. 981—990.

189. Ledzewicz, U. Optimal combined radio- and anti-angiogenic cancer therapy / U. Ledzewicz, H. Maurer, H. Schattler // J. Optim. Theory Appl. — 2019. — Vol. 180, no. 1.-P. 321-340.

190. Ledzewicz, U. On the role of the objective in the optimization of compartmental models for biomedical therapies / U. Ledzewicz, H. Schattler // J. Optim. Theory Appl. — 2020. — Vol. 187, no. 2. — P. 305—335.

191. Ledzewicz, U. On the role of pharmacometrics in mathematical models of cancer treatments / U. Ledzewicz, H. Schattler // Discrete Cont. Dyn.-B. — 2021. — Vol. 26, no. 1. — P. 483—499.

192. Lee, J. Mathematical model of STAT signalling pathways in cancer development and optimal control approaches / J. Lee, D. Lee, Y. Kim // R. Soc. Open Sci. — 2021.-Vol. 8.-P. 1-21.-210594.

193. Lenhart, S. Optimal control applied to biological models / S. Lenhart, J. T. Workman. — London : CRC Press, Taylor&Francis Group, 2007. — 261 p.

194. Leon-Triana, O. CAR T-cell in B-cell acute lymphoblastic leukaemia: insights from mathematical models / O. Leon-Triana, S. Sabir, G. F. Calvo, J. Belmonte-Beitia, S. Chulian, A. Martinez-Rubio, M. Rosa, A. Pérez-Martinez, M. Ramirez-Orellana, V. M. Pérez-Garcia // Commun. Nonlinear Sci. — 2021. — Vol. 94. — P. 1-21.

195. Lowden, J. Optimal control of vancomycin-resistant enterococci using preventive care and treatment of infections / J. Lowden, M. R. Neilan, M. Yahdi // Math. Biosci. — 2014. — Vol. 249. — P. 8—17.

196. Lowes, M. A. Immunology of psoriasis / M. A. Lowes, M. Suarez-Farinas, J. G. Krueger // Annu. Rev. Immunol. — 2014. — Vol. 32. — P. 227—255.

197. Madubueze, C. E. Controlling the Spread of COVID-19: optimal control analysis / C. E. Madubueze, S. Dachollom, I. O. Onwubuya// Comput. Math. Method. M. — 2020. — Vol. 2020. — P. 1—14. — Article ID 6862516.

198. Makinde, O. D. Impact of chemotherapy on optimal control of malaria disease with infected immigrants / O. D. Makinde, K. O. Okosun // BioSystems. — 2011.-Vol. 104, no. 1.-P. 32—41.

199. Malinzi, J. Prospect for application of mathematical models in combination cancer treatments / J. Malinzi, K. B. Basita, S. Padidar, H. A. Adeola // Informatics in Medicine Unlocked. — 2021. — Vol. 23. — P. 1—15. — 100534.

200. Mamo, D. K. Mathematical modeling and simulation study of SEIR disease and data fitting of Ebola epidemic spreading in West Africa / D. K. Mamo, D. R. Koya // Journal of Multidisciplinary Engineering Science and Technology. — 2015. — Vol. 2.—P. 106—114.

201. Martcheva, M. An introduction to mathematical epidemiology / M. Martcheva. — New York-Heidelberg-Dordrecht-London : Springer, 2015. — 453 p.

202. Martin, R. Optimal control of drug administration in cancer chemotherapy / R. Martin, K. L. Teo. — Singapore : World Scientific, 1993. — 187 p.

203. Mateus, J. P. Optimal control of non-autonomous SEIRS models with vaccination and treatment / J. P. Mateus, P. Rebelo, S. Rosa, D. F. M. Silva C. M. Torres // Discrete Cont. Dyn.-S. — 2018. — Vol. 11, no. 6. — P. 1179—1199.

204. Mehlis, S. L. The immunology of psoriasis and biological immunitherapy / S. L. Mehlis, K. B. Gordon // J. Am. Acad. Dermatol. — 2003. — Vol. 49. — P. 44—50.

205. Miller, K. D. Cancer treatment and survivorship statistics / K. D. Miller, R. L. Siegel, C. C. Lin, A. B. Mariotto, J. L. Kramer, J. H. Rowland, K. D. Stein, R. Alteri, A. Jemal// A Cancer Journal for Clinicians. —2016. — Vol. 66, no. 4. — P. 271—289.

206. Modnak, C. A model of cholera transmission with hyper-infectivity and its optimal vaccination control / C. Modnak // Int. J. Biomath. — 2017. — Vol. 10, no. 6.—P. 1—16. — 1750084.

207. Mollah, S. Optimal control for the complication of type 2 diabetes: the role of awareness programs by media and treatment / S. Mollah, S. Biswas // Int. J. Dyn. Control. — 2023. — Vol. 11, no. 2. — P. 877—891.

208. Moore, H. How to mathematically optimize drug regimens using optimal control / H. Moore // J. Pharmacokinet. Phar. — 2018. — Vol. 45. — P. 127—137.

209. Morton, R. On the optimal control of a deterministic epidemic / R. Morton, K. H. Wickwire // Adv. Appl. Probab. — 1974. — Vol. 6, no. 4. — P. 622—635.

210. Mostolizadeh, R. Mathematical model of chimeric anti-gene receptor (CAR) T cell therapy with presence of cytokine / R. Mostolizadeh, Z. Af-sharnezhad, A. Marciniak-Czochra//Numer. Algebr. Control Optim. —2018. — Vol. 8, no. 1.—P. 63—80.

211. Moualeu, D. P. Optimal control for a tuberculosis model with undetected cases in Cameroon / D. P. Moualeu, M. Weiser, R. Ehrig, P. Deuflhard // Commun. Nonlinear Sci. — 2015. — Vol. 20, no. 3. — P. 986—1003.

212. Nanditha, C. K. An adaptive pharmacokinetic optimal control approach in chemotherapy for heterogeneous tumor / C. K. Nanditha, M. P. Rajan // J. Biol. Syst. — 2022. — Vol. 30, no. 3. — P. 529—551.

213. Neilan, R. L. M. Modeling optimal intervention strategies for cholera / R. L. M. Neilan, E. Schaefer, H. Gaff, K. R. Fister, S. Lenhart // B. Math. Biol. -2010. - Vol. 72. - P. 2004-2018.

214. Ngom, M. Chemotherapy of a tumor by optimal control approach / M. Ngom, I. Ly, D. Seck // Mathematica Aeterna. — 2012. — Vol. 2, no. 9. — P. 779—803.

215. Nichelatti, M. A mathematical model for the chimeric antigen receptor T cell (CAR-T) therapy as a Lotka-Volterra system / M. Nichelatti // J. Math. Stat. Res. — 2020. — Vol. 3, no. 3. — P. 1—4.

216. Niels, G. Simulating psoriasis by altering transit amplifying cells / G. Niels, N. Karsten // Bioinformatics. — 2007. — Vol. 23. — P. 1309—1312.

217. Njankou, S. D. D. An optimal control model for Ebola virus disease / S. D. D. Njankou, F. Nyabadza // J. Biol. Syst. — 2016. — Vol. 24, no. 1. — P. 29-49.

218. Obsu, L. L. Optimal control strategies for the transmission risk of COVID-19 / L. L. Obsu, S. F. Balcha // J. Biol. Dynam. - 2020. - Vol. 14, no. 1. -P. 590—607.

219. Okosun, K. O. Optimal control analysis of a malaria disease transmission model that includes treatment and vaccination with waning immunity / K. O. Okosun, R. Ouifki, N. Marcus//BioSystems. — 2011. — Vol. 106, no. 23.—P. 136—145.

220. Okosun, K. O. Impact of optimal control on the treatment of HIV/AIDS and screening of unaware infectives / K. O. Okosun, O. D. Makinde, I. Takaidza // Appl. Math. Model. — 2013. — Vol. 37, no. 6. — P. 3802—3820.

221. Okosun, K. O. Optimal control strategies and cost-effectiveness analysis of a malaria model / K. O. Okosun, O. Rachid, N. Marcus // BioSystems. — 2013. — Vol. 111, no. 2.-P. 83-101.

222. Okosun, K. O. A co-infection model of malaria and cholera diseases with optimal control / K. O. Okosun, O. D. Makinde // Math. Biosci. — 2014. — Vol. 258. — P. 19-32.

223. Orellana, J. M. Optimal drug scheduling for HIV therapy efficiency improvement / J. M. Orellana // Biomed. Signal Proces. — 2011. — Vol. 6, no. 4. — P. 379—386.

224. Oza, H. B. Modelling and finite-time stability analysis of psoriasis pathogenesis / H. B. Oza, R. Pandey, D. Roper, Y. Al-Nuaimi, S. K. Spurgeon, M. Goodfellow// Int. J. Control. — 2017. — Vol. 90. — P. 1664—1677.

225. Perez-Garcia, V. M. CAR T cells for T-cell leukemias: insights from mathematical models / V. M. Perez-Garcia, O. Leon-Triana, M. Rosa, A. Perez-Martinez // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. — 2021. — Vol. 96. — P. 1—13.

226. Pillis, L. G. A mathematical tumor model with immune resistance and drug therapy: an optimal control approach / L. G. Pillis, A. Radunskaya // Journal of Theoretical Medicine. — 2001. — Vol. 3. — P. 79—100.

227. Pillis, L. G. The dynamics of an optimally controlled tumor model: a case study / L. G. Pillis, A. Radunskaya // Math. Comput. Model. — 2003. — Vol. 37. — P. 1221-1244.

228. Prosper, O. Optimal vaccination and bednet maintenance for the control of malaria in a region with naturally acquired immunity / O. Prosper, N. Ruktanon-chai, M. Martcheva // J. Theor. Biol. — 2014. — Vol. 353. — P. 142—156.

229. Rachah, A. Mathematical modelling, simulation, and optimal control of the 2014 Ebola outbreak in West Africa / A. Rachah, D. F. M. Torres // Discrete Dyn. Nat. Soc. — 2015. — Vol. 2015. — P. 1—9. — Article ID 842792.

230. Rachah, A. Dynamics and optimal control of ebola transmission / A. Rachah, D. F. M. Torres // Mathematics in Computer Science. — 2016. — Vol. 10. — P. 331-342.

231. Rajput, A. Optimal control strategies on COVID-19 infection to bolster the ef-cacy of vaccination in India / A. Rajput, S. M. Tanvi, C. Shekhar, R. Aggarwal // Sci. Rep.-2021.-Vol. 11.-P. 1-18.-20124.

232. Reid, W. T. Riccati differential equations / W. T. Reid. — New York : Academic Press, 1972.— 216 p.

233. Rojas, C. Optimal control problems for differential equations applied to tumor growth: state of the art / C. Rojas, J. Belmonte-Beitia // Applied Mathematics and Nonlinear Sciences. — 2018. — Vol. 3, no. 2. — P. 375—402.

234. Roshanfekr, M. A different approach of optimal control on an HIV immunology model / M. Roshanfekr, M. H. Farahi, R. Rahbarian // Ain Shams Engineering Journal. —2014. — Vol. 5, no. 1. — P. 213—219.

235. Roy, A. K. A control-based mathematical study on psoriasis dynamics with special emphasis on IL — 21 and IFN — y interaction network / A. K. Roy, M. Nelson, P. K. Roy // Math. Method. Appl. Sci. — 2021. — Vol. 44. — P. 13403-13420.

236. Roy, P. K. Negative feedback control may regulate cytokines effect during growth of keratinocytes in the chronic plaque of psoriasis: a mathematical study / P. K. Roy, A. Datta // Int. J. Appl. Math. — 2012. — Vol. 25. — P. 233—254.

237. Roy, P. K. Impact of cytokine release in psoriasis: a control based mathematical approach / P. K. Roy, A. Datta // J. Nonlinear Evol. Eqns. Appl. — 2013. — Vol. 2013, no. 3.-P. 23-42.

238. Roy, P. K. Impact of perfect drug adherence on immunopathogenic mechanism for dynamical system of psoriasis / P. K. Roy, A. Datta // Biomath. — 2013. — Vol. 2. — P. 1—6. — Article ID 121201.

239. Roy, P. K. Mathematical models for therapeutic approaches to control HIV disease transmission / P. K. Roy. — Singapore-Heidelberg-New York-Dordrecht-London : Springer, 2015. — 213 p.

240. Roy, P. K. Mathematical models for therapeutic approaches to control psoriasis / P. K. Roy, A. Datta. — Singapore : Springer Nature, 2019. — 108 p.

241. Roy, P. K. A model of the optimal immunotherapy of psoriasis by introducing IL —10 and IL — 22 inhibitors / P. K. Roy, A. K. Roy, E. N. Khailov, F. Al Basir, E. V. Grigorieva // J. Biol. Syst. — 2020. — Vol. 28, no. 3. — P. 609—639.

242. Sahoo, P. Mathematical deconvolution of CAR T-cell proliferation and exhaustion from real-time killing assay data / P. Sahoo, X. Yang, D. Abler, D. Maestrini, V. Adhikarla, D. Frankhouser, H. Cho, V. Machuca, D. Wang, M. Barish, M. Gutova, S. Branciamore, C. E. Brown, R. C. Rockne // J. Roy. Soc. Interface. - 2019. - Vol. 17.-P. 1-10.-20190734.

243. Santoso, A. M. An optimal control analysis of the MERS-CoV outbreak in South Korea / A. M. Santoso, Mardlijah // Matematika: MJIAM. — 2021. — Vol. 37, no. 2. — P. 77—90.

244. Savill, N. J. Mathematical models of hierarchically structured cell populations under equilibrium with application to the epidermis / N. J. Savill // Cell Proliferat. — 2003. — Vol. 36. — P. 1—26.

245. Schättler, H. Geometric optimal control: theory, methods and examples / H. Schättler, U. Ledzewicz. — New York-Heidelberg-Dordrecht-London : Springer, 2012. — 640 p.

246. Schättler, H. Optimal control for mathematical models of cancer therapies: an applications of geometric methods / H. Schättler, U. Ledzewicz. — New York-Heidelberg-Dordrecht-London : Springer, 2015. —496 p.

247. Seck, R. An optimal control model to design strategies for reducing the spread of the Ebola virus disease / R. Seck, D. Ngom, B. Ivorra, A. M. Ramos // Math. Biosci. Eng. — 2022. — Vol. 19, no. 2. — P. 1746—1774.

248. Sharomi, O. Optimal control in epidemiology / O. Sharomi, T. Malik // Ann. Oper. Res. — 2017. — Vol. 251. — P. 55—71.

249. Shudo, E. Dynamic optimization of host defence, immune memory, and postinfection pathogen levels in mammals / E. Shudo, Y. Iwasa // J. Theor. Biol. — 2004. - Vol. 228. - P. 17-29.

250. Silva, C. J. Optimal control for a tuberculosis model with reinfection and postexposure interventions / C. J. Silva, D. F. M. Torres // Math. Biosci. — 2013. — Vol. 244, no. 2. — P. 154—164.

251. Smith, R. Modelling disease ecology with mathematics / R. Smith. — Springfield : AIMS, 2008. - 189 p.

252. Solé, R. V. An error catastrophe in cancer? / R. V. Solé, T. S. Deisboeck // J. Theor. Biol. — 2004. — Vol. 228. — P. 47—54.

253. Solé, R. V. Spatial dynamics in cancer / R. V. Solé, I. G. Garcia, J. Costa // Complex systems science in biomedicine / ed. by T. S. Deisboeck, J. Y. Kresh. — New York : Springer, 2006. — P. 557—572.

254. Su, Y. Optimal control of anti-hbv treatment based on combination of traditional Chinese medicine and western medicine / Y. Su, D. Sun // Biomed. Signal Proces. — 2015. — Vol. 15. — P. 41—48.

255. Subbotina, N. Optimal control theory and calculus of variations in mathematical models of chemotherapy of malignant tumors / N. Subbotina, N. Novoselova, E. Krupennikov // Mathematics. — 2023. — Vol. 11. — P. 1—20. — 4301.

256. Sussmann, H. A general theorem on local controllability / H. Sussmann // SIAM J. Control Optim. — 1987. — Vol. 25, no. 1. — P. 158—194.

257. Sweilam, N. H. Different optimization strategies for the optimal control of tumor growth / N. H. Sweilam, A. A. Tharwat, N. K. Abd El Moniem // Arch. Cancer Sci. Ther. — 2019. — Vol. 3. — P. 52—62.

258. Swiernuak, A. Modeling and optimization of radio-chemotherapy / A. Swier-nuak, J. Smieja, M. Mura, P. Bajger // Current trends in biomedical engineering and bioimages analysis / ed. by J. Korbicz, R. Maniewski, K. Patan, M. Kowal. — Switzerland AG : Springer Nature, 2019. — P. 223—233.

259. Tahir, M. Prevention strategies for mathematical model MERS-Corona virus with stability analysis and optimal control / M. Tahir, I. S. Shah Ali, G. Zaman, T. Khan // J. Nanosci. Nanotech. Applic. — 2019. — Vol. 3, no. 1. — P. 1—13.

260. Takeuchi, Y. Existence and bifurcation of stable equilibrium in two-prey, one predator communities / Y. Takeuchi, N. Adachi // B. Math. Biol. — 1983. — Vol. 45, no. 6. — P. 877—900.

261. Tchuenche, J. M. Optimal control and sensitivity analysis of an influenza model with treatment and vaccination / J. M. Tchuenche, S. A. Khamis, F. Agusto, S. C. Mpeshe // Acta Biotheor. — 2011. — Vol. 59. — P. 1—28.

262. Tian, B.-D. Equilibriums and permanence for an autonomous competitive systems with feedback control / B.-D. Tian, Y.-H. Qiu, H.-J. Wang // Applied Mathematical Sciences. — 2008. — Vol. 2. — P. 2501—2508.

263. Todorov, Y. A optimal strategies for leukemia therapy: a multi-objective approach / Y. Todorov, E. Fimmel, A. S. Bratus, Y. S. Semenov, F. Nuernberg // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. —2011. — Vol. 26, no. 6. — P. 589—604.

264. Valentinuzzi, D. Computational modelling of modern cancer immunotherapy / D. Valentinuzzi, R. Jeraj // Phys. Med. Biol. — 2020. — Vol. 65. — P. 1—22. — 24TR01.

265. Valeyev, N. V. A systems model for immune cell interactions unravels the mechanism of inflammation in human skin / N. V. Valeyev, C. Hundhausen, Y. Umezawa, N. V. Kotov, G. Williams, A. Clop, C. Ainali, G. Ouzounis, S. Tsoka, F. O. Nestle // PLoS Computational Biology. — 2010. — Vol. 6. — P. 1—22. —e1001024.

266. Visintin, A. Strong convergence results related to strict convexity / A. Visintin // Commun. Part. Diff. Eq. — 1984. — Vol. 9. — P. 439—466.

267. Wang, G. Modelling cholera dynamics with controls / G. Wang, C. Mod-nak // Canadian Applied Mathematics Quarterly. — 2011. — Vol. 19, no. 3. — P. 255—273.

268. Wang, L. Global dynamics and optimal control of an influenza model with vaccination, media coverage and treatment / L. Wang, Z. Liu, D. Xu, X. Zhang // Int. J. Biomath. — 2017. — Vol. 10, no. 5. — P. 1—25. — 1750068.

269. Whang, S. A dynamic model for tuberculosis transmission and optimal treatment strategies in South Korea / S. Whang, S. Choi, E. Jung// J. Theor. Biol. —2011. — Vol. 279, no. 1.-P. 120-131.

270. Wickwire, K. H. Mathematical models for the control of pests and infectious diseases: a survey / K. H. Wickwire // Theor. Popul. Biol. — 1977. — Vol. 11, no. 2.-P. 182-238.

271. Yan, X. Optimal and sub-optimal quarantine and isolation control in SARS epidemics / X. Yan, Y. Zou // Math. Comput. Model. — 2008. — Vol. 47, no. 12. — P. 235—245.

272. Yegorov, I. Optimal feedback strategies for bacterial growth with degradation, recycling, and effect of temperature /1. Yegorov, F. Mairet, J.-L. Gouze // Optim. Control Appl. Meth. — 2018. — Vol. 39, no. 2. — P. 1084—1109.

273. Zadeh, H. G. A new fast optimal control for HIV-infection dynamics based on AVK method and fuzzy estimator / H. G. Zadeh, H. C. Nejad, M. M. Abadi, H. M. Sani // American Journal of Scientific Research. — 2011. — Vol. 32. — P. 11-16.

274. Zaman, G. Stability analysis and optimal vaccination of an SIR epidemic model / G. Zaman, H. Y. Kang, H. I. Jung // BioSystems. — 2008. — Vol. 93, no. 3. — P. 240-249.

275. Zamir, M. Non pharmaceutical interventions for optimal control of COVID-19 / M. Zamir, Z. Shah, F. Nadeem, A. Memood, H. Alrabaiah, P. Kumam // Comput. Meth. Prog. Bio. — 2020. — Vol. 196. — P. 1—11. — 105642.

276. Zarei, H. Multi-objective optimal control of HIV dynamics / H. Zarei, V. A. Kamyad, S. Effati // Math. Probl. Eng. — 2010. — Vol. 2010. — P. 1—29. — Article ID 568315.

277. Zaric, G. S. Resource allocation for epidemic control over short time horizons /

G. S. Zaric, M. L. Brandeau // Math. Biosci. — 2001. — Vol. 171. — P. 33—58.

278. Zelikin, M. I. Theory of chattering control: with applications to astronautics, robotics, economics and engineering / M. I. Zelikin, V. F. Borisov. — Boston : Birkhäuser, 1994. — 244 p.

279. Zhang, H. Modelling epidermis homoeostasis and psoriasis pathogenesis /

H. Zhang, W. Hou, L. Henrot, S. Schnebert, M. Dumas, C. Heusèle, J. Yang // Journal of The Royal Society Interface. — 2015. — Vol. 12. — P. 1—22.

280. Zhou, Y. An optimal strategy for HIV multitherapy / Y. Zhou, Y. Liang, J. Wu // J. Comput. Appl. Math. — 2014. — Vol. 263. — P. 326—337.

281. Zhou, Y. Optimal treatment strategies for HIV with antibody response / Y. Zhou, K. Yang, K. Zhou, C. Wang // J. Appl. Math. - 2014. - Vol. 2014. -P. 1-13. -Article ID 685289.

282. Zhu, J. Planar titling maneuver of a spacecraft: singular arcs in the minimum time problem and chattering / J. Zhu, E. Trélat, M. Cerf // Discrete Cont. Dyn-B. — 2016. - Vol. 21, no. 4. - P. 1347-1388.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях определенных ВАК

283. Григоренко, Н. Л. Оптимальные стратегии лечения раковых заболеваний в математической модели конкуренции Лотки-Вольтерры / Н. Л. Григоренко, Е. Н. Хайлов, Э. В. Григорьева, А. Д. Клименкова // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2020. — Т. 26, № 1. — С. 71—88. —

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-1-71-88. — ВАК К1; WoS, Scopus, MathSciNet, RSCI. Переводная версия:

Grigorenko N. L., Khailov E. N., Grigorieva E. V., Klimenkova A. D. Optimal strategies in the treatment of cancers in the Lotka-Volterra model of competition // Proc. Steklov Inst. Math. — 2021. — Vol. 313. — p. S100—S116. — DOI: 10.1134/S0081543821030111. — WoS, Scopus, MathSciNet, zbMATH.

284. Григоренко, Н. Л. Модель конкуренции Лотки-Вольтерры с немонотонной функцией терапии для нахождения оптимальных стратегий лечения раковых заболеваний крови / Н. Л. Григоренко, Е. Н. Хайлов, Э. В. Григорьева, А. Д. Клименкова // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2021. — Т. 27, № 2. — С. 79—98. —

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-2-79-98. — ВАК К1; WoS, Scopus, MathSciNet, RSCI. Переводная версия:

Grigorenko N. L., Khailov E. N., Grigorieva E. V., Klimenkova A. D. Lotka-Volterra competition model with nonmonotone therapy function for finding optimal strategies in the treatment of blood cancers // Proc. Steklov Inst. Math. — 2022. — Vol. 317. — p. S71—S89. —

DOI: 10.1134/S0081543822030063. — WoS, Scopus, MathSciNet, zbMATH.

285. Григоренко, Н. Л. Оптимальные стратегии CAR-T терапии лечения лейкемии в модели хищник-жертва Лотки-Вольтерры / Н. Л. Григоренко, Е. Н. Хайлов, Э. В. Григорьева, А. Д. Клименкова // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2021. — Т. 27, № 3. — С. 43—58. —

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-3-43-58. — ВАК К1; WoS, Scopus, MathSciNet, RSCI.

286. Хайлов, Е. Н. О продолжимости решений неавтономных квадратичных дифференциальных систем / Е. Н. Хайлов, Э. В. Григорьева // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2013. — Т. 19, № 4. — С. 279—288. — ВАК К1; MathSciNet, RSCI.

287. Хайлов, Е. Н. Об особом участке оптимального управления третьего порядка в задаче минимизации для математической модели лечения псориаза / Е. Н. Хайлов, Э. В. Григорьева// Тр. Математического ин-та им. В.А. Стек-лова. - 2019. - Т. 304. - С. 298-308. -

DOI: 10.4213/tm3973. —ВАКК1: WoS, Scopus,MathSciNet, zbMATH,RSCI. Перводная версия:

Khailov E. N., Grigorieva E. V. On a third-order singular arc of optimal control in a minimization problem for a mathematical model of psoriasis treatment // Proc. Steklov Inst. Math. — 2019. — Vol. 304. — p. 281—291. — DOI: 10.1134/S0081543819010218. — WoS, Scopus, MathSciNet, zbMATH.

288. Хайлов, Е. Н. Соединение особого режима третьего порядка с неособыми участками оптимального управления в задаче минимизации для модели лечения псориаза / Е. Н. Хайлов, Э. В. Григорьева // Тр. Математического ин-та им. В.А. Стеклова. — 2021. — Т. 315. — С. 271—283. —

DOI: 10.4213/tm4218. — ВАК К1: WoS, Scopus, MathSciNet, zbMATH, RSCI. Переводная версия:

Khailov E. N., Grigorieva E. V. Connecting a third-order singular arc with nonsingular arcs of optimal control in a minimization problem for a psoriasis treatment model // Proc. Steklov Inst. Math. — 2021. — Vol. 315. — p. 257— 269. —

DOI: 10.1134/S0081543821050205. — WoS, Scopus, MathSciNet, zbMATH.

289. Хайлов, Е. Н. Оптимальные протоколы комбинированного лечения для управляемой модели ракового заболевания крови / Е. Н. Хайлов, Э. В. Григорьева, А. Д. Клименкова // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2022. - Т. 28, № 3. - С. 222-240. -

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-3-222-240. — ВАК К1; WoS, Scopus, MathSciNet, RSCI.

290. Хайлов, Е. Н. Задачи минимизации Больца для управляемой модели конкуренции Лотки-Вольтерры / Е. Н. Хайлов // Тр. Ин-та математики и механики

УрО РАН. — 2024. — Т. 30, № 2. — С. 259—276. —

DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-2-259-276. — ВАК К1; WoS, Scopus, MathSciNet, RSCI.

291. Хайлов, Е. Н. Продолжимость решений неавтономных систем квадратичных дифференциальных уравнений и их применение в задачах оптимального управления / Е. Н. Хайлов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2024. — Т. 30, № 1. — С. 237—248. —

DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-1-237-248. — ВАК К1; WoS, Scopus, MathSciNet, RSCI. Переводная версия:

Khailov E. N. Extensibility of solutions of nonautonomous systems of quadratic differential equations and their application in optimal control problems // Proc. Steklov Inst. Math. — 2024. — Vol. 325. — p. S123—S133. — DOI: 10.1134/S008154382403009X. — WoS, Scopus, MathSciNet, zbMATH.

292. Хайлов, Е. Н. Релейность и особые режимы оптимального управления в одной математической модели лечения псориаза / Е. Н. Хайлов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15: Вычисл. матем. и киберн. — 2025. — № 1. — С. 75—81. — DOI: 10.55959/MSU/0137-0782-15-2025-49-1-75-81. — ВАК К2; RSCI. Переводная версия:

Khailov E. N. Bang-bang property and singular regimens of optimal control in one mathematical model of treating psoriasis // Moscow Univ. Comput. Math. Cybernet. — 2025. — Vol. 49. No. 1. — p. 73—79. — DOI: 10.3103/S0278641924700353. — Scopus, ZbMATH, Springer, RSCI.

293. Grigorieva, E. Optimal control for an SEIR epidemic model with nonlinear incidence rate / E. Grigorieva, E. Khailov, A. Korobeinikov // Stud. Appl. Math. — 2018.-Vol. 141.-P. 353-398.-

DOI: 10.1111/sapm.12227. —K1: WoS, Scopus (Q1), zbMATH.

294. Grigorieva, E. Optimal strategies for psoriasis treatment / E. Grigorieva, E. Khailov // Math. Comput. Appl. — 2018. — Vol. 23, no. 3, 45. — P. 1—30. — DOI: 10.3390/mca23030045. — K1: WoS, Scopus (Q2).

295. Grigorieva, E. Chattering and its approximation in control of psoriasis treatment / E. Grigorieva, E. Khailov // Discrete Cont. Dyn-B. — 2019. — Vol. 24, no. 5. — P. 2251-2280.-

DOI: 10.3934/dcdsb2019094. — K1: WoS, Scopus, MathSciNet, zbMATH.

296. Grigorieva, E. V. Optimal intervention strategies for a SEIR control model of Ebola epidemics / E. V. Grigorieva, E. N. Khailov // Mathematics. — 2015. — Vol. 3, no. 4. — P. 961—983. —

DOI: 10.3390/math3040961. — K1: WoS, Scopus (Q1).

297. Khailov, E. Optimal CAR T-cell immunotherapy strategies for a leukemia treatment model / E. Khailov, E. Grigorieva, A. Klimenkova // Games. — 2020. — Vol. 11, no. 4, 53. — P. 1—26. —

DOI: 10.3390/g11040053. — K1: WoS, Scopus, MathSciNet, zbMATH. Другие публикации, индексируемые в международных базах данных

298. Grigorenko, N. L. Program and positional control strategies for the Lotka-Volterra competition model / N. L. Grigorenko, E. N. Khailov, A. D. Kli-menkova, A. Korobeinikov // Stability, control and differential games / ed. by A. Tarasyev, V. Maksimov, T. Filippova. — Cham, Switzerland AG : Springer Nature, 2020. — P. 39—49. —

DOI: 10.1007/978-3-030-42831-0_4. — Springer.

299. Grigorieva, E. V. Optimal vaccination, treatment, and preventive campaigns in regard to the SIR epidemic model / E. V. Grigorieva, E. N. Khailov // Math. Model. Nat. Phenom. — 2014. — Vol. 9, no. 4. — P. 105—121. —

DOI: 10.1051/mmnp/20149407. — WoS, Scopus, MathSciNet, zbMATH.

300. Grigorieva, E. V. Optimal control for a SIR epidemic model with nonlinear incidence rate / E. V. Grigorieva, E. N. Khailov, A. Korobeinikov // Math. Model. Nat. Phenom. — 2016. — Vol. 11, no. 4. — P. 90—105. —

DOI: 10.1051/mmnp/201611407. — WoS, Scopus, MathSciNet, zbMATH.

301. Grigorieva, E. V. Optimal strategies of the psoriasis treatment by suppressing the interaction between T-lymphocytes and dendritic cells / E. V. Grigorieva, E. N. Khailov // Mathematical analysis and applications in modeling / ed. by P. K. Roy, X. Cao, X.-Z. Li, P. Das, S. Deo. — Singapore : Springer Nature, 2020.-P. 1—11.—

DOI: 10.1007/978-981-15-0422-8_1. — Springer.

302. Khailov, E. N. Optimal control for anticancer therapy / E. N. Khailov, A. D. Kli-menkova, A. Korobeinikov // Extended abstracts spring 2018. Trends in mathematics. Vol. 11 / ed. by A. Korobeinikov, M. Caubergh, T. Lázaro, J. Sardanyés. — Basel: Birkhäuser, 2019. — P. 35—43. —

DOI: 10.1007/978-3-030-25261-8_6. — Springer.

Иные публикации автора по теме диссертации

303. Khailov, E. N. Comparison of the approaches of estimating the number of switchings of the optimal controls in the optimal control epidemiological problem / E. N. Khailov, E. V. Grigorieva // Динамические системы: обратные задачи, устойчивость и процессы управления: Материалы Международной конференции, посвященной 80-летию академика Ю.С. Осипова, Москва, 22-23 сентября 2016 г. — Москва : Математический интститут им. В.А. Стеклова РАН: МАКС Пресс, 2016. — С. 18—21.

304. Григоренко, Н. Л. Программные и позиционные стратегии управления для модели конкуренции Лотки-Вольтерры / Н. Л. Григоренко, А. Д. Клименко-ва, А. Коробейников, Е. Н. Хайлов // Устойчивость, управление, дифференциальные игры: Материалы Международной конференции, посвященной 95-летию со дня рождения академика Н.Н. Красовского, Екатеринбург, 1620 сентября 2019 г. — Екатеринбург : Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского Уральского отделения РАН, 2019. — С. 104—108.

305. Григоренко, Н. Л. Минимизация концентрации раковых клеток в модели конкуренции Лотки —Вольтерры с немонотонной функцией терапии / Н. Л. Григоренко, Е. Н. Хайлов, А. Д. Клименкова // Ломоносовские чтения: научная конференция, Москва, факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, 21 октября - 2 ноября 2020 г.: тезисы докладов. — Москва : МАКС Пресс, 2020. — С. 64—65.

306. Григоренко, Н. Л. Оптимальные стратегии в модели CAR-T имуннотера-пии лечения лейкемии / Н. Л. Григоренко, Э. В. Григорьева, Е. Н. Хайлов, А. Д. Клименкова // Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби: Материалы III Международного семинара, посвященного 75-летию академика А.И. Субботина, Екатеринбург, 26-30 октября 2020 г. — Екатеринбург: Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского Уральского отделения РАН, 2020. — С. 133—137.

307. Клименкова, А. Д. Оптимальные стратегии подавления клеточного деления в антираковой терапии / А. Д. Клименкова, Е. Н. Хайлов, А. Коробейников // Оптимальное управление и дифференциальные игры: Материалы Международной конференции, посвященной 110-летию со дня рождения академика Л.С. Понтрягина, Москва, 12-14 декабря 2018 г. — Москва : Математический интститут им. В.А. Стеклова РАН: МАКС Пресс, 2018. — С. 134-137.

308. Хайлов, Е. Н. Об оценивании числа переключений оптимальных управлений для модели распространения эпидемии / Е. Н. Хайлов, Э. В. Григорьева // Ломоносовские чтения: научная конференция, Москва, факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, 14-23 апреля 2014 г.: тезисы докладов. — Москва : МАКС Пресс, 2014. — С. 26—27.

309. Хайлов, Е. Н. Задача оптимального управления для математической модели псориаза / Е. Н. Хайлов, Э. В. Григорьева // Математическая теория оптимального управления: Материалы Международной конференции, посвященной 90-летию академика Р.В. Гамкрелидзе, Москва, 1-2 июня 2017 г — Москва : Математический интститут им. В.А. Стеклова РАН, 2017. — С. 72—75.

310. Хайлов, Е. Н. Исследование задачи оптимального управления для математической модели лечения псориаза / Е. Н. Хайлов, Э. В. Григорьева // Тихоновские чтения: научная конференция, Москва, факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, 23-27 октиября 2017 г.: тезисы докладов. — Москва : МАКС Пресс, 2017. — С. 85.

311. Хайлов, Е. Н. Оптимальные стратегии лечения в математической модели псориаза / Е. Н. Хайлов, Э. В. Григорьева // Ломоносовские чтения: научная конференция, Москва, факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, 17-26 апреля 2017 г.: тезисы докладов. — Москва : МАКС Пресс, 2017. — С. 53-54.

312. Хайлов, Е. Н. Оптимальные стратегии антираковой терапии в управляемых моделях конкуренции Лотки-Вольтерры / Е. Н. Хайлов, А. Д. Клименкова, А. Коробейников // Ломоносовские чтения: научная конференция, Москва, факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, 16-27 апреля 2018г.: тезисы докладов. — Москва : МАКС Пресс, 2018. — С. 118—119.

313. Хайлов, Е. Н. Оптимальные стратегии лечения псориаза путем подавления взаимодействий между Т-лимфоцитами, кератиноцитами и дендритными

клетками/Е. Н. Хайлов, Э. В. Григорьева// Системный анализ: моделирование и управление: Материалы Международной конференции, посвященной пямяти академика А.В. Кряжимского, Москва, 31 мая - 1 июня 2018 г. — Москва: Математический интститутим. В.А. СтекловаРАН: МАКС Пресс, 2018.-С. 46-50.

314. Хайлов, Е. Н. Оптимальные стратегии подавления клеточного деления в антираковой терапии для упрощенной модели конкуренции Лотки-Вольтерры / Е. Н. Хайлов, А. Д. Клименкова, Э. В. Григорьева, А. Коробейников // Тихоновские чтения: научная конференция, Москва, факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, 29 октября - 2 ноября 2018 г: тезисы докладов. — Москва : МАКС Пресс, 2018. — С. 36.

315. Хайлов, Е. Н. О двумерной модели конкуренции Лотки-Вольтерры в моделировании комбинированного лечения раковых заболеваний крови / Е. Н. Хайлов, Н. Л. Григоренко, Э. В. Григорьева // Тихоновские чтения: научная конференция, Москва, факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, 25-30 октября 2021 г.: тезисы докладов. — Москва : МАКС Пресс, 2021.-С. 96.

316. Хайлов, Е. Н. Оптимальные протоколы комбинированного лечения для управляемой модели ракового заболевания крови / Е. Н. Хайлов, Э. В. Григорьева // Теория оптимального управления и приложения: Материалы Международной конференции, Екатеринбург, 27 июня - 1 июля 2022 г — Екатеринбург : Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского Уральского отделения РАН, Издательство УМЦ УПИ, 2022. — С. 240—244.

317. Хайлов, Е. Н. О сопряжении особого режима локального второго порядка с неособым релейным участком / Е. Н. Хайлов // Тихоновские чтения: научная конференция, Москва, факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, 28 октября - 2 ноября 2024 г.: тезисы докладов. — Москва : МАКС Пресс, 2024. - С. 67.

318. Хайлов, Е. Н. Продолжимость решений неавтономных систем квадратичных дифференциальных уравнений и их применение в задачах оптимального управления / Е. Н. Хайлов // Системный анализ: моделирование и управление: Материалы Международной конференции, посвященной пя-мяти академика А.В. Кряжимского, Москва, 23-24 января 2024 г. —Москва: МАКС Пресс, 2024.— С. 115—117.

319. Grigorieva, E. Optimal treatment strategies for control model of psoriasis / E. Grigorieva, E. Khailov, P. Deignan // Intrenational SIAM conference on Control and its Applications, Pittsburg, Pennsylvania, USA, 10-12 July, 2017: proceedings. — Pittsburg, Pennsylvania, USA : SIAM, 2017. — P. 1—8.

320. Grigorieva, E. V. Optimal strategies of psoriasis treatment / E. V. Grigorieva, E. N. Khailov // New horizons in optimal control: Abstracts of the International conference, a tribute to Helmut Maurer, Urszula Ledzewicz and Heinz Schaettler, Porto, Portugal, 3-5 July, 2017. — Porto, Portugal : Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, 2017. — P. 60.

321. Khailov, E. N. On splitting quadratic system of differential equations / E. N. Khailov, E. V. Grigorieva // Systems analysis: modeling and control: Abstracts of the International conference in memory of academician Arkady Kryazhimskiy, Ekaterinburg, Russia, 3-8 October, 2016. — Ekaterinburg, Russia : Krasovskii Institute of Mathematics, Mechanics of Ural Branch of the RAS, 2016.-P. 64-66.

Приложение А Описание среды BOCOP

Теоретические результаты, представленные в данной диссертации подтверждаются многочисленными численными расчетами, выполненными с использованием среды BOCOP [92]. Она представляет собой специальную среду, реализованную в MATLAB, для решения задач оптимального управления с общими концевыми и фазовыми ограничениями со свободным или фиксированным конечным временем. После дискретизации по времени, такие задачи аппроксимируются конечномерными задачами оптимизации, которые затем решаются с помощью хорошо известного программного обеспечения IPOPT, использующего точно вычисленные производные благодаря ADOL-C. При этом, IPOPT является программным пакетом с открытым исходным кодом для решения задач нелинейной оптимизации большой размерности.

Во всех расчетах была использована временная сетка с 5000 узлами. Поскольку задачи оптимального управления, описанные в данном учебном пособии, решались прямым методом, а значит итерационно, то на каждом шаге требовалась точность £ = 10"14. Кроме того, применялось правило дискретизации Лобат-то III C шестого порядка. Такие особенности более подробно описаны в [92].

Важно отметить, что используемые в IPOPT численные методы требуют выбора начального приближения как для фазовых переменных, так и для управления. Этот факт был использован для численного обоснования оптимальности решения, полученного в результате расчетов. Такое обоснование заключается в многократном изменении начального приближения (осуществляется перебор среди узлов заданной сетки на множестве изменения фазовых переменных и управления) и последующих вычислениях для получения одного и того же решения. Кроме того, при каждом таком вычислении, среда BOCOP позволяет сочетать численные расчеты, начинающиеся из начального приближения, взятого из узла упомянутой сетки, с повторными численными расчетами, стартующими случайным образом из уже найденного решения. Смысл такого действия все тот же -вычисления для получения того же самого решения. В расчетах были использованы оба этих приема.