Аналитическое конструирование регуляторов для нелинейных объектов на основе функциональных рядов Вольтерра тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор технических наук Ловчаков, Владимир Иванович

  • Ловчаков, Владимир Иванович
  • доктор технических наукдоктор технических наук
  • 1999, Тула
  • Специальность ВАК РФ05.13.01
  • Количество страниц 436
Ловчаков, Владимир Иванович. Аналитическое конструирование регуляторов для нелинейных объектов на основе функциональных рядов Вольтерра: дис. доктор технических наук: 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям). Тула. 1999. 436 с.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитическое конструирование регуляторов для нелинейных объектов на основе функциональных рядов Вольтерра»

Технический прогресс в различных сферах народного хозяйства выдвигает высокие требования к качеству выпускаемой продукции и, соответственно, к качеству работы систем управления (СУ) производственными агрегатами и оборудованием. Так как современные производственные объекты являются, как правило, многомерными и нелинейными по своей природе, то использование их линеаризованных моделей при синтезе управляющих устройств (УУ) далеко не всегда позволяет обеспечить требуемые уровни устойчивости и точности протекания технологических процессов при изменении рабочих режимов агрегатов в широких пределах или в условиях действия возмущений значительной мощности (амплитуды). Это определяется тем, что линейные модели, для которых разработаны эффективные методы синтеза, адекватно описывают поведение объекта управления (ОУ) лишь в малой окрестности установившегося режима. Все более широкое применение нелинейных СУ, обеспечивающих высококачественное функционирование промышленных объектов при изменении их переменных состояния в широких интервалах, в том числе и в состояниях, близких к предельным, оптимальным, вызывает необходимость развития методов их анализа и синтеза.

В данном направлении к настоящему времени достигнуты значительные результаты. Это, например, работы В.В. Солодовникова, Е.П. Попова, В.А. Бессекерского, A.A. Вавилова, Е.И. Хлыпало, В.В. Яковлева, С.Е. Душина и др. в области частотных методов расчета и проектирования нелинейных систем. Это работы В.М. Матросова, В.Д. Фурасова, В.М. Кун-цевича, М.М. Лычака по синтезу нелинейных систем с применением аппарата функций Ляпунова. Широкие возможности для синтеза систем, в том числе и для нелинейных, открываются с позиций решения обратных задач динамики (А.Е. Барбашин, П.Д. Крутько, Л.М. Бойчук). Серьезные результаты получены в теории аналитического конструирования оптимальных регуляторов (теории АКОР), связанной с именами A.M. Летова, Р.

Калмана, A.A. Красовского, В.И. Зубова, А.Г. Александрова, Ю.П. Петрова и др. Новые подходы и методы синтеза нелинейных систем предлагает синергетическая теория управления A.A. Колесникова. Первый основной вывод, вытекающий из анализа указанных работ, можно сформулировать следующим образом. В настоящее время не существует законченных общетеоретических методов исследования и проектирования многомерных нелинейных систем управления. Причинами этого являются: невыполнение для них принципа суперпозиции; разнообразие классов функций, используемых для описания динамики нелинейных ОУ и УУ; разнообразие требований к качеству процессов в различных режимах функционирования СУ и при переходах с режима на режим; различные уровни сложности управляемых объектов, характеризуемые многомерностью, многосвяз-ностью, многоконтурностью и т.д.; отсутствие общего математического аппарата для аналитического решения систем нелинейных дифференциальных уравнений. Неизвестны также простые, инженерные методы проектирования систем управления для многих практически важных классов нелинейных объектов. В связи с этим задача синтеза нелинейных многомерных СУ отнесена акад. A.A. Красовским, A.A. Колесниковым к центральной проблеме современной теории управления.

Второй вывод заключается в следующем. Несмотря на развитие численных и качественных методов анализа и синтеза нелинейных систем различных классов, существовала и существует необходимость получения аналитических, пусть даже приближенных, решений задач конструирования регуляторов для нелинейных объектов, важных для приложений классов. Выделение таких классов объектов имеет большое теоретическое и практическое значение в связи с тем, что аналитические методы являются наиболее предпочтительными с точки зрения общности получаемых решений, простоты их использования, экономии машинного времени при их нахождении или анализе. Отмеченные особенности аналитических решений, позволяющих относительно легко исследовать свойства системы при изменении ее параметров в широких пределах, определяет целесообразность применения последних методов в практике проектирования и наладки систем автоматического управления.

Достаточно широкий класс нелинейных объектов, для которого в диссертационной работе удалось разработать сравнительно простые, аналитические по форме метод и методики синтеза квазиоптимальных регуляторов, образуют многомерные стационарные объекты с нелинейными характеристиками полиномиального вида от их фазовых координат, причем в нелинейные модели объектов вектор запаздывающих сигналов управления входит линейным образом. В связи с тем, что при описании нелинейных характеристик динамических объектов (систем) используются полиномы, в дальнейшем указанные объекты и системы называются полиномиальными.

Указанные динамические модели с полиномиальными нелинейностя-ми, на взгляд автора, очень широко используются для описания процессов различной природы. Для обоснования этого базового утверждения приведем примеры из разных областей науки и техники, в которых применяются полиномиальные модели динамики. 1. Устройства электромеханики: в соответствии с обобщенной теорией электрических машин (Г. Крон, Р. Парк, A.A. Горев, И.П. Копылов) динамика всех типов электрических двигателей и генераторов постоянного и переменного токов описывается дифференциальными уравнениями с квадратичными нелинейностями, причем эти нелинейности отражают физическую сущность процессов преобразования электрической энергии в механическую и наоборот. Именно эти объекты рассматриваются в прикладной главе диссертации и показывается, что учет при синтезе СУ нелинейностей характеристик электропривода приводит существенному, качественному улучшению его свойств. 2. Объекты химической технологии: для моделей динамики химических реакторов также характерны квадратичные нелинейности, определяющие в соответствии с законом действующих масс скорость химической реакции двух исходных веществ через произведение их концентраций. 3. Промышленные объекты с рециклом: шаровые мельницы, химические реакторы, объекты в металлургии, горном деле, обогащении и др. 4. Объекты биологии и экологии: большинство современных математических моделей, описывающих динамику популяций, связано с моделями, предложенными Лоткой и Воль-терра, в которых присутствуют произведения фазовых координат системы. Полиномиальные модели находят использование также и в других областях, например, при моделировании и управлении процессами в летательных аппаратах ( работы A.A. Красовского и его учеников). При этом важно подчеркнуть, что выделенный класс полиномиальных объектов можно значительно расширить, включив в него объекты с нелинейными характеристиками, являющимися непрерывными действительными функциями, после предварительной аппроксимации их полиномиальными зависимостями. Учет наличия запаздывания сигналов в каналах объектов дополнительно существенно раздвигает границы рассматриваемого класса ОУ. Явления запаздывания, в значительной степени снижающие устойчивость и качество работы автоматических систем, встречаются в объектах любой физической природы и объясняются конечной скоростью перемещения материальных и энергетических потоков.

Указанное широкое распространение полиномиальных моделей для описания процессов самой различной природы вызвало появление и становление теории полиномиальных систем, результаты которой нашли отражение во многих монографиях (Н. Винер, Г. Ван-Трис, Ю.С. Попков, К.А. Пупков, В.И. Капалин, A.C. Ющенко, Н.Д. Егупов, Л.В. Данилов). Важнейшее достижение этой теории состоит в разработке для полиномиальных систем математического описания типа "вход-выход" с помощью функциональных рядов Вольтерра (ФРВ). Ряд Вольтерра является обобщением понятия интеграла свертки, используемого для описания линейных объектов, на нелинейные динамические системы. В связи с этим данное описание позволяет с успехом применять для анализа и синтеза полиномиальных систем известные аналитические, в частности частотные, методы, разработанные для линейных систем управления. Указанный сравнительно простой и эффективный аппарат рядов Вольтерра в настоящей работе используется как основной математический аппарат решения формулируемых далее задач оптимального управления объектами выделенного класса. Здесь подчеркнем, что решение задач синтеза оптимальных регуляторов именно для полиномиальных объектов и с применением именно аппарата рядов Вольтерра, который для них развит, составляет первую характерную особенность данной диссертационной работы.

Анализ возможных постановок задач управления, вытекающих из трех основных способов формализации требований к качеству движения синтезируемых систем, привел к выводу, что первый способ, состоящий в задании первичных показателей качества переходных процессов, и второй , заключающийся в представлении желаемого движения системой дифференциальных уравнений, практически невозможно использовать при конструировании нелинейных многомерных СУ. Первый способ формализации в общем случае нельзя применять к нелинейным системам вследствие зависимости характера их переходных процессов от вида входных воздействий и начальных условий данных систем. Применение же второго способа к многомерным объектам встречает серьезные трудности, связанные с учетом имеющихся ограничений на управляющие воздействия и с заданием структуры системы дифференциальных уравнений с большим числом параметров, описывающей желаемые движения. В связи с этим наиболее припособленным к применению к сложным нелинейным многомерным ОУ является способ формализации, основанный на введении оптимизируемого функционала (критерия качества) интегрального типа. Его достоинства состоят в следующем. Во-первых, использование интегральных критериев качества, в частности квадратичных функционалов, позволяет определить требования к переходным процессам СУ заданием значений их весовых коэффициентов, число которых может быть значительно меньше числа параметров системы дифференциальных уравнений, описывающей желаемые движения синтезируемой многомерной системы, и меньше числа первичных показателей качества, определяемых для каждой координаты многомерного объекта. При этом практически произвольный выбор весовых коэффициентов обеспечивает синтезируемой системе фундаментальное свойство - свойство асимптотической устойчивости. Во-вторых, дальнейший целенаправленный перебор данных коэффициентов, как правило, удовлетворяет разумные требования к первичным показателям качества систем, к времени переходного процесса, перерегулированию и т. д. Более широкие возможности в этом направлении обеспечивают функционалы с интегрантами полиномиального вида, содержащими слагаемые четвертой степени, которые для электромеханических систем, рассматриваемых в прикладной главе диссертации, имеют большой физический смысл - смысл квадратичных отклонений соответствующих мощностей или энергий. Использование при синтезе систем критериев с такими полиномиальными интегрантами, что является второй отличительной особенностью диссертационной работы, позволяет, например, придать электроприводу повышенное быстродействие, близкое к оптимальному. И, в-третьих, главное достоинство данного способа формализации задач управления заключается в том, что он позволяет использовать для синтеза УУ сложными объектами результаты теории оптимального управления (JT.C. Понтрягин, Р. Беллман, Р. Калаба, В.М. Тихомиров, В.Ф. Кротов, В.И. Гурман, Р. Габасов, Ф.М. Кирилова и др.), и теории аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) (A.M. Летов, Р. Калман, A.A. Красовский, A.A. Колесников, А.Г. Александров, Ю.П. Петров, Р.Т. Янушевский), которые являются базовыми составляющими современной теории автоматического управления. Следует подчеркнуть, что методы АКОР находят все расширяющееся применение в прикладных задачах управления различными сложными производственными объектами. Это связано с такими достоинствами данных методов, как их общность, логическая завершенность, принципиальная математическая простота.

Таким образом, для ОУ рассматриваемого класса возникла необходимость решения задачи АКОР по интегральному критерию с интегрантом полиномиального вида, частным случаем которого является обобщенный квадратичный функционал качества. При постановке задачи АКОР учитывается, что объекты находятся под действием ограниченных по норме возмущений так называемой волновой структуры (используется терминало-гия работы К.Т. Леондеса) - в этом состоит третья характерная особенность диссертационной работы. Функции данной структуры, широко используемые в классической теории управления, математически представляются как сумма известных базисных функций, преобразуемых по Лапласу, с неизвестными коэффициентами, которые в случайные моменты времени скачком изменяют свои значения, причем соседние скачки разделены до-статачно продолжительным интервалом времени, соизмеримым со временем переходных процессов проектируемой СУ. На этом основании для синтеза регулятора, противодействующего данному возмущению, используются методы теории управления детерминированными объектами.

Решение указанной задачи, являющейся обобщением известной задачи Летова-Калмана на нелинейные объекты с запаздыванием при действии возмущений волновой структуры, как показал анализ существующих работ, представляет серьезную теоретическую проблему, а с учетом широкого распространения указанных объектов - также и практически важную проблему. Для ее решения неизвестны теоретически законченные, относительно простые методы. Так, например, широко известный метод синтеза A.A. Красовского к данным задачам неприменим, так как использует специальный критерий обобщенной работы. При использовании же метода динамического программирования мы сталкиваемся с ситуацией, которую Р. Беллман назвал "проклятием многомерности", в которой для определения коэффициентов полиномиальной ОС необходимо составлять и решать очень большое число алгебраических уравнений. В связи с этим метод динамического программирования практически невозможно применять к объектам выше третьего порядка. В то же время подчеркнем, что для решения данной задачи АКОР не использовался математический аппарат рядов Вольтерра, который, во-первых, хорошо отражает особенности движения рассматриваемых полиномиальных объектов, а, во-вторых, приспособлен к описанию движений нелинейного объекта под действием внешних возмущений. На этом основании в диссертационной работе показывается, что применение аппарата ФРВ может существенно упростить решение задач АКОР в сравнении с известными методами. Например, позволит снять остроту проблемы "проклятия многомерности" и предложить методы определения алгоритмов управления для объектов порядка 10 и выше.

Таким образом, цель работы состоит в разработке на основе математического аппарата функциональных рядов Вольтерра теоретических основ, методов и алгоритмов аналитического конструирования квазиоптимальных регуляторов для нелинейных многомерных объектов с запаздыванием; разработке методик синтеза высокоточных электромеханических систем по критериям качества с полиномиальными интегрантами.

Методы исследования. При получении теоретических результатов использовались методы функционального анализа, теории дифференциальных и интегральных уравнений, многомерного преобразования Лапласа, на которых базируются математический аппарат ФРВ, методы теории оптимального управления, теории матриц. При исследовании электромеханических систем применялись методы обобщенной теории электрических машин, цифровое моделирование и экспериментальные исследования.

Основные научные положения, защищаемые в диссертации. На защиту выносятся:

- методология получения и анализа решений в форме ряда Вольтерра двухточечной краевой задачи, отвечающей исследуемой задаче АКОР для полиномиальных объектов рассматриваемого класса, которая содержит методы и алгоритмы определения членов ряда, анализа областей сходимости функционального ряда, областей асимптотической устойчивости решений;

- методы и алгоритмы определения оптимальных интегральных многообразий (терминология К.Г. Валеева, Г.С. Финина) на основе найденных устойчивых решений краевой задачи в форме ФРВ, которые составляют базис соответствующих методов и алгоритмов синтеза законов квазиоптимального управления объектами без запаздывания;

- методология формирования алгоритмов работы в реальном времени устройств упреждения на время запаздывания значений фазовых координат нелинейных объектов с использованием их функциональных моделей в виде ряда Вольтерра и, соответственно, методология синтеза технически реализуемых квазиоптимальных алгоритмов управления нелинейными объектами с запаздыванием;

- обобщение указанных методов и алгоритмов на конструирование квазиоптимальных систем управления по критериям качества с предельным усреднением;

- распространение указанных методов и алгоритмов на синтез квазиоптимальных релейных систем управления объектами рассматриваемого класса;

- методы и способы структурной реализации квазиоптимальных нелинейных обратных связей, направленные на получение структур УУ меньшей сложности и обеспечивающие восстановление значений неизмеряемых фазовых координат объекта;

- новые алгоритмы управления электроприводами постоянного и переменного токов, квазиоптимальные по критериям качества с полиномиальными интегрантами и модульным критериям; методики расчета их параметров.

Научная новизна. Совокупность проведенных в диссертации исследований позволила на базе математического аппарата ФРВ разработать прикладную теорию аналитического синтеза квазиоптимальных регуляторов для нелинейных объектов достаточно широкого для приложений класса и его отдельных подклассов. С ее помощью получены новые алгоритмы управления электромеханическими системами, квазиоптимальными по нетрадиционным, имеющим глубокий физический смысл, критериям качества. В частности, в работе получены следующие новые результаты.

1. Для одномерных и многомерных объектов управления математически строго обоснован переход от решения нелинейной двухточечной краевой задачи, сформулированной на полубесконечном интервале времени, к решению соответствующего интегрального уравнения.

2. Установлены условия сходимости ФРВ, описывающего решения интегрального уравнения (соответствующей двухточечной краевой задачи оптимального управления), которые одновременно гарантируют экспоненциальную устойчивость этих решений в некоторой ограниченной области начальных состояний объекта.

3. Предложен метод определения желаемого дифференциального уравнения движения синтезируемой замкнутой системы управления из условий равенства его решений в форме ФРВ и найденных устойчивых решений двухточечной краевой задачи. Данный метод совместно с известными соотношениями теории обратных задач динамики (П.Д. Крутько, Л.М. Бойчук) определяет квазиоптимальные законы комбинированного управления одномерными объектами без запаздывания, частным случаем которых являются квазиоптимальные законы обратной связи.

4. Исходя из найденных устойчивых решений многомерной двухточечной краевой задачи в форме ФРВ разработан метод определения оптимального интегрального многообразия - метод восстановления функциональной зависимости вектора сопряженных координат от вектора фазовых координат ОУ и вектора возмущающих воздействий, которая определяет квазиоптимальные законы комбинированного управления многомерными объектами без запаздывания.

5. Для объектов при наличии запаздывания в канале управления разработан метод синтеза квазиоптимальных регуляторов, основанный на процедурах упреждения координат состояния нелинейного объекта с использованием его функциональной модели в форме ряда Вольтерра и аппроксимации функциональных составляющих строго оптимального закона управления. Новизна структур систем управления подтверждается авторским свидетельством № 815711.

6. Разработан метод синтеза квазиоптимальных регуляторов для объектов с множественным запаздыванием, основанный на процедуре последовательного упреждения координат состояния нелинейного объекта с использованием функциональных моделей, составляющих его каскадов.

7. Предложен подход к построению квазиоптимальных регуляторов простой структуры, основанный на использовании множественности решения задачи АКОР при действии волновых возмущений, имеющих постоянные и синусоидальные составляющие.

8. Математически доказано, что для обеспечения оптимальности релейной системы управления полиномиальным объектом, описываемым одним дифференциальным уравнением п-го порядка, по критерию минимума интегральных квадратичных отклонений не требуется применение квадратичных и кубических обратных связей. Для многомерных же оптимальных релейных СУ показано, что число используемых в них нелинейных обратных связей может быть значительно меньше числа ОС в системах оптимальных по обобщенному квадратичному функционалу качества. На этом факте основана процедура упрощения структуры управляющих устройств многомерными полиномиальными объектами.

9. Предложены подход и способы реализации квазиоптимальных законов управления, обеспечивающие меньшую сложность структур СУ, основанные на переходе от аппроксимации законов ОС в форме степенного ряда к аппроксимации функций управления по специальным системам базисных функций, в частности, к использованию аппроксимации Паде.

10. Для полиномиальных объектов определенного класса предложен метод синтеза наблюдающих устройств, обеспечивающий устойчивость их работы во всем фазовом пространстве наблюдаемого объекта.

11. Разработан метод синтеза квазиоптимальных систем управления объектами с кусочно-линейными характеристиками, в частности следящих систем при наличии люфта в исполнительном механизме. Новизна способа управления и соответствующих структур следящих систем с люфтом защищена патентом № 2114455 .

12. Предложена методика синтеза квазиоптимальных законов управления электромеханическими системами по интегральному критерию качества, содержащему слагаемое четвертой степени от выходной координаты электропривода, которые обеспечивают апериодические переходные процессы систем с практически предельным быстродействием.

13. Разработана методика синтеза квазиоптимальных регуляторов для следящих систем по модульному критерию качества, обеспечивающих повышенные точность и быстродействие процесса слежения. Новизна алгоритмов управления и схем их реализации защищена патентом .

Практическая ценность. Практическая значимость разработанной в диссертации прикладной теории конструирования квазиоптимальных регуляторов определяется такими факторами как 1) применением при синтезе СУ нелинейных моделей ОУ, учитывающих запаздывание в управлении и промежуточных координатах, которые в сравнении с линейными моделями более достоверно описывают физические процессы многих производственных объектов и существенно расширяют область использования исследуемых систем; 2) получаемые с ее помощью алгоритмы управления обеспечивают значительно лучшие показатели качества синтезируемых систем в сравнении с типовыми регуляторами и с известными линейными законами управления; 3) прикладные методики, алгоритмы и программы синтеза отличаются относительной простотой и позволяют сократить время проектирования систем управления и повысить качество проектов. Простота метода синтеза СУ связана с его аналитическим характером и определяется тем, что нахождение параметров нелинейных управлений сводится, в основном, к решению линейных алгебраических уравнений, для матриц коэффициентов которых (матриц типа Вандермонда) указан аналитический метод обращения. Объем вычислительной работы в предлагаемом методе имеет приблизительно тот же порядок, что и в методе синтеза оптимальных регуляторов по критерию обобщенной работы, развитом A.A. Красовским. Результаты диссертации могут быть использованы в различных отраслях промышленности при создании автоматизированных систем проектирования современных устройств автоматического управления.

Реализация результатов. Работа выполнена на кафедре электротехники и электрических машин (ЭиЭМ) Тульского государственного университета (ТулГУ) и связана с выполнением автором хозяйственных договоров № 86-442 (№ ГР 01860077440), 89-755,90-942 в 1986 -91 г.г. между ТулГУ, предприятием УЮ-400/2 и Всесоюзным научно-исследовательским проектно -конструкторским и технологическим институтом электротермического оборудования (ВНИИЭТО) во исполнение Постановления СМ СССР № 1107 от 01.10.87 г., а также госбюджетных НИР по программе "Университеты России", гранту № 01.9.80 005085 "Теория синтеза высокоточных следящих приводов антенн радиолокационных станций миллиметрового диапазона радиоволн", проводимого в 1993-97г.г. в соответствии с приказом Министерства науки, высшей школы и технической политики РСФСР № 43 от 13.03.92 и по научно-технической программе "Механика, машиноведение и процессы управления"^ направление "Системы идентификации, адаптивные и самообучающиеся системы управления, работающие в условиях неопределенности", проект "Разработка новой технологии создания систем оптимального управления высокоточными электроприводами, функционирующими в условиях неопределенности'^, выполняемого в 1998-2000 г.г. в соответствии с приказом Министерства общего и профессионального образования РФ от 14.04.98 № 960. Полученные результаты внедрены в практику проектирования систем управления электроприводом в НИИ СМ МГТУ им. Н.Э. Баумана и ОАО ЦКБА г. Тулы, использовались в разработках ВНИИЭТО, а также применяются в учебном процессе в ТулГУ, о чем имеются соответствующие акты.

Апробация работы. Основные положения работы докладывались и обсуждались: на Международных научных конференциах " Математические методы в химии и технологиях" (Тверь, 1995; Тула, 1996; Владимир, 1998; Новгород, 1999); на III Международной конференции "Электромеханика и электротехнологии" (Россия, Клязьма 1998); на Международной научно-технической конференции "Системные проблемы надежности, математического моделирования и информационных технологий" (Москва-Сочи, 1998); на Всесоюзной научной конференции "Декомпозиция и координация в сложных системах" (Челябинск, 1986); на III Всесоюзной конференции "Перспективы и опыт внедрения статических методов в АСУ ТП" (Тула, 1987); на IX Всероссийской научной конференции "Динамика процессов и аппаратов химической технологии"( Ярославль, 1994); на III Всероссийской научно-технической конференции "Методы и средства измерений физических величин" (Нижний Новгород, 1998); на научно-технической конференции "Электротехнические комплексы автономных объектов - ЭКАО-97" (Москва, МЭИ, 1997); на LUI научной сессии, посвященной дню радио (Москва, РНТОРЭС им. A.C. Попова, 1998); на межвузовских научно-технических конференциях в Тульском артиллерийском инженерном институте в 1997-99 гг.; на ежегодных конференциях профессорско- преподавательского состава ТулГУ в 1975 - 1999 гг. и др.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 50 печатных работ, получено 2 авторских свидетельства и 4 патента на изобретения.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, библиографического списка на 239 наименований, 7 приложений. Основная часть работы изложена на 332 страницах. Работа содержит 53 рисунка и 9 таблиц.

Похожие диссертационные работы по специальности «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», 05.13.01 шифр ВАК

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Ловчаков, Владимир Иванович

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

Диссертационные исследования были направлены на теоретическое обобщение и развитие методов аналитического конструирования оптимальных регуляторов для нелинейных объектов широкого и важного для приложений класса. Его образуют многомерные стационарные объекты с полиномиальными нелинейностями и запаздыванием в каналах управления и промежуточных координатах, подверженные действию ограниченных по амплитуде возмущений волновой структуры. Данные исследования решают научную проблему разработки методического и алгоритмического обеспечения проектирования нелинейных систем управления объектами указанного класса. Решение данной проблемы позволяет значительно расширить область применения методов оптимального управления при проектировании современных САУ техническими объектами, существенно улучшающих динамические показатели синтезируемых нелинейных систем, а также сократить сроки их проектирования.

Выполненные в диссертационной работе исследования по поставленной проблеме привели к следующей совокупности основных научных и практических результатов.

1. Выделен достаточно широкий для приложений класс нелинейных объектов, для которых сформулированы задачи оптимального управления (АКОР-1, АКОР-2), имеющие большое теоретическое и практическое значение и допускающие, в то же время, аналитическое решение с использованием математического аппарата функциональных рядов Вольтерра.

2. Установлено, что наиболее предпочтительным подходом к решению поставленных задач АКОР для объектов с полиномиальными нелинейностями является подход к синтезу систем, основанный на использовании принципа оптимального интегрального многообразия при определении интегральных многообразий с помощью аппарата ФРВ.

3. Для одномерных и многомерных объектов управления математически строго обоснован переход от решения нелинейной двухточечной краевой задачи оптимального управления, определенной на полубесконечном интервале времени, к решению соответствующего интегрального уравнения (теоремы 2.1, 3.1).

4. Установлены условия сходимости функционального ряда Воль-терра, описывающего решения указанного интегрального уравнения и, соответственно, экстремали задачи оптимального управления, которые одновременно гарантируют экспоненциальную ограниченность этих решений в некоторой ограниченной области начальных состояний управляемого объекта и, следовательно, экспоненциальную и асимптотическую устойчивость нулевого решения исследуемого интегрального уравнения (теоремы 2.2, 3.2, 3.3).

5. Предложен рекуррентный алгоритм решения интегрального уравнения в форме ФРВ, который применим к решению уравнений с полиномиальными нелинейностями общего вида от управляемой переменной, функции возмущения и их производных. С его помощью получены выражения экстремалей задач АКОР-1 и АКОР-2, лежащие в основе их решения.

6. Для одномерных объектов управления без запаздывания показана целесообразность определения оптимального интегрального многообразия в форме дифференциального уравнения, которое, как установлено, описывает движение оптимальной замкнутой системы. Предложен метод определения этого уравнения, так называемого желаемого уравнения движения (ЖУД), из условий равенства его решений в форме ФРВ и найденных устойчивых решений двухточечной краевой задачи. Данный метод (метод рядов Вольтерра) совместно с известными соотношениями теории обратных задач динамики определяет квазиоптимальные законы комбинированного управления исследуемыми одномерными объектами.

7. Для многомерных полиномиальных объектов управления установлена целесообразность определения оптимального интегрального многообразия в форме полиномиальной зависимости вектора сопряженных координат от вектора состояния управляемого объекта, записываемой с использованием понятия кронекеровского произведения векторов (матриц). На основе найденных устойчивых решений многомерной двухточечной краевой задачи в форме ФРВ разработан метод (метод рядов Вольтерра) нахождения данной зависимости, которая определяет квазиоптимальные законы ОС для исследуемых многомерных объектов с квадратичными и кубическими нелинейностями.

8. Основная особенность предложенного метода рядов Вольтерра для синтеза одномерных и многомерных СУ состоит в том, что при выбранном расположении корней линеаризованной замкнутой системы нахождение параметров нелинейного закона управления сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений, для матриц коэффициентов которых (матриц типа Вандермонда) указан простой аналитический способ обращения. Данный метод синтеза оптимальных СУ приводит к результатам, совпадающим с результатами метода динамического программирования, но в сравнении с ним многократно уменьшает объем вычислений и тем больше, чем выше порядок объекта.

9. В сравнении с методом синтеза A.A. Красовского по критерию обобщенной работы предложенный метод определяет решение также в аналитической форме и имеет приблизительно тот же порядок объема вычислений, но в отличии от первого использует определенные функционалы качества и, соответственно, применим к синтезу систем управления как для устойчивых, так и для неустойчивых объектов.

10. Метод рядов Вольтерра распространен на решение многомерных задач АКОР-1 при наличии экспоненциально ограниченных возмущений волновой структуры. На языке PASCAL 7.0 разработана соответствующая программа расчета матричных коэффициентов квазиоптимальных законов управления объектами с квадратичными не-линейностями. Неитерационный характер программы определяет относительно быстрый и без накопления ошибок расчет значений коэффициентов обратных связей для объектов до десятого порядка включительно по соответствующим аналитическим матричным выражениям. Программа вошла в состав математического обеспечения САПР высокоточных следящих электроприводов (НИИ СМ МГТУ им. Н.Э. Баумана).

11. Доказано, что метод рядов Вольтерра применим к решению задачи АКОР-2, сформулированной с применением функционала качества с предельным усреднением и при учете действия возмущений, имеющих постоянные и синусоидальные составляющие, которая в общем случае имеет неединственное решение. Предложен подход к построению квазиоптимальных регуляторов простой структуры, основанный на использовании множественности решения задачи АКОР-2. Данные результаты применялись при синтезе квазиоптимального регулятора электрического режима дуговой сталеплавильной печи ДСП-200.

12. Предельным переходом в полученном аналитическом решении задачи АКОР-1 при устремлении к нулю весового коэффициента при управлении в квадратичном функционале качества получено решение задачи АКОР-3. При этом доказано, что для обеспечения оптимальности релейной системы управления одномерным полиномиальным объектом (1.8) не требуется применение квадратичных и кубических обратных связей. Для многомерных же оптимальных релейных СУ установлено, что число используемых нелинейных обратных связей может быть значительно меньше числа ОС в системах оптимальных по обобщенному квадратичному функционалу качества. На этом факте основана процедура упрощения структур устройств управления полиномиальными объектами.

13. Решена с использованием математического аппарата рядов Вольтерра задача определения в реальном масштабе времени значений упрежденных на время запаздывания фазовых координат нелинейных объектов с запаздыванием в канале управления и для них, соответственно, найден в аналитической форме оптимальный закон обратной связи. Для его применения разработан ряд реализуемых квазиоптимальных алгоритмов управления с указанием методик расчета их параметров. Проведен анализ свойств полученных алгоритмов управления и даны рекомендации по их применению. Новизна структуры предложенных систем управления защищена авторским свидетельством № 815711.

14. Предложенная методология аналитического конструирования технически реализуемых квазиоптимальных алгоритмов управления как одномерными, так и многомерными нелинейными объектами с запаздыванием распространена на объекты с множественным запаздыванием, структура которых описывается последовательным соединением указанных объектов с запаздыванием в канале управления. Данная методология применялась при разработке структуры и настройке микропрцессорного регулятора температуры вакуумной камерной печи СНВС 5.5.5/ЗИ1.

15. Предложены подход и способы реализации квазиоптимальных законов управления, основанные на переходе от аппроксимации законов обратной связи в форме степенного ряда к аппроксимации функций управления по специальным системам базисных функций и обеспечивающие получение структур управляющих устройств меньшей сложности. Установлена целесообразность использования аппроксимации Паде для приближения законов оптимального управления.

16. Показано, что кусочно-линейная аппроксимация полиномиальной функции закона управления для многих объектов приводит к упрощению структуры квазиоптимальной СУ. В связи с этим на основе модификации метода рядов Вольтерра разработан метод синтеза оптимальных систем с кусочно-линейными характеристиками, в частности следящих систем при наличии люфта в исполнительном механизме. Новизна способа управления и соответствующих структур следящих систем с люфтом защищена патентом № 2114455 .

17. Метод рядов Вольтерра распространен на конструирование нелинейных наблюдающих устройств. Для полиномиальных одномерных объектов ТЧ-го порядка одного класса предложен метод синтеза наблюдателей, обеспечивающий устойчивость их работы во всем фазовом пространстве наблюдаемого объекта. Данный класс ОУ характеризуется стационарной полиномиальной нелинейностью от управляемой переменной и ее производных, в которой суммарный порядок производной в ее слагаемых не превосходит значения N-1. Особенность структуры синтезированного устройства состоит в использовании в цепях обратной связи не только сигнала ошибки наблюдения 2-1^) = х(0 - у(0, но и сигнала 2+1(4) = х(() + у(1).

18. С использованием метода рядов Вольтерра для электропривода постоянного тока получены квазиоптимальные законы управления по критерию качества, содержащему составляющую четвертой степени от угловой координаты привода. Показано, что в синтезированной системе управления радиолокационным координатором за счет использования соответствующих линейных и кубических обратных связей можно обеспечить апериодические переходные процессы с быстродействием, близким к предельному.

19. С целью получения высокой точности слежения метод рядов Вольтерра применен к синтезу следящей системы радиолокационного координатора оптимальной по модульному функционалу качества. Полученный квазиоптимальный закон управления, допускающий простую техническую реализацию в виде линейно-релейных обратных связей по каждой фазовой координате привода, обеспечивает заданную (0.1 мрад.) ошибку автосопровождения объекта радиолокационной станцией в заданных условиях функционирования. Новизна алгоритма управления и соответствующей структуры следящей системы защищена положительным решением от 14.01.2000 по заявке № 99106871/09 на выдачу патента.

20. Метод рядов Вольтерра использовался при синтезе квазиоп-гимальной по квадратичному функционалу качества системы регулирования скорости асинхронного привода, являющегося полиномиальным объектом с двумя управляющими воздействиями. Исследования показали, что она способна обеспечить более высокое в сравнении с линейной системой качество управления только при работе привода с большими относительными скоростями со > 0.8 . С использованием цанного результата обоснована процедура синтеза законов обратной связи для асинхронного частотно-регулируемого привода радиолокационного координатора, для которого в основном характерны малые скорости движения, на основе разделения канала регулирования магнитного потока асинхронной машины и канала регулирования скорости (положения). Конструирование регуляторов потока и положения предлагается проводить с использованием ранее разработанных

387 методик синтеза алгоритмов управления приводом постоянного тока по критерию качества с составляющей четвертого порядка и модульному критерию.

21. Разработанные с использованием математического аппарата функциональных рядов Вольтерра подходы, методы, методики, программные средства конструирования квазиоптимальных регуляторов в совокупности составляют прикладную теорию синтеза систем управления нелинейными объектами с запаздыванием достаточно широкого для приложений класса. Данная теория хорошо зарекомендавала себя при конструировании устройств управления электроприводами постоянного и переменного токов.

По мнению автора весьма перспективным является продолжение начатых в диссертации исследований в следующих направлениях:

- развитие разработанной теории синтеза применительно к задачам исчисления конечных разностей с целью создания оптимальных систем цифрового управления;

- обобщение разработанных методов синтеза нелинейных систем на случай кратных корней линеаризованной подсистемы.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Ловчаков, Владимир Иванович, 1999 год

1. Абдулаев Н.Д., Петров Ю.П. Теория и методы проектирования оптимальных регуляторов. Л.: Энергоатомиздат, 1985. - 240 с.

2. Аверина А.Д., Модяев А.Д. Исследование нелинейных систем управления на основе применения дискретных моделей // Дискрет, нелинейные системы / Под ред. Ю.И. Топчеева. М.: Машиностроение, 1982. -С. 183-206.

3. Александров А.Г. Синтез регуляторов многомерных систем. М.: Машиностроение, 1986. - 272 с.

4. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. М.: Высшая школа, 1989.-264 с.

5. Александров Е.Е., Бех М.В. Автоматизированное проектирование динамических систем с помощью функций Ляпунова. Харьков: Основа, 1993. - 112 с.

6. Алексеев В.М., Тихомиров B.C., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. - 430 с.

7. Альбрехт Э.Г. Об оптимальной стабилизации нелинейных систем // Прикл. математика и механика. -1961. -Т.25. № 5. - С. 836-844.

8. Альбрехт Э.Г. Об управлении движением нелинейных систем // Диф. уравнения. 1966. - Т. 2, 3. - С. 324-334.

9. Андреев В.А., Казаринов Ю.Ф., Якубович В.А. Синтез оптимальных управлений для линейных неоднородных систем в задаче минимизации среднего значения квадратичного функционала // Докл. АН СССР. -1972. Т. 202. - № 6. - С. 1247-1250

10. Андреев Ю.И. Управление конечномерными линейными объектами. -М.: Наука, 1976. -424 с.

11. Андреева Е.А., Колмановский В.Б., Шайхет Л.Е. Управление системами с последействием. М.: Наука, 1992. - 334 с.

12. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968.-764 с.

13. Башарин A.B., Новиков В.А., Соколовский Г.Г. Управление электроприводами. Л.: Энергия, 1982. - 392 с.

14. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. М.: Мир, 1986. -502 с.

15. Беллман Р. Динамическое программирование. M.: Изд-во иностр. лит., 1960.-232 с.

16. Белянский П.В., Сергеев Б.Г. Управление наземными антеннами и радиотелескопами. М.: Советское радио, 1980. - 279 с.

17. Бербюк В.Е. Использование первых интегралов в задачах синтеза оптимальных систем управления // Прикл. математика и механика. -1986. Т. 50. - Вып. 1. - С. 17-23.

18. Бербюк В.Е. Динамика и оптимизация робототехнических систем. -Киев: Наукова думка, 1989. 188 с.

19. Бербюк В.Е. Метод первых интегралов для оценки минимума функционала в задачах оптимального управления // Известия РАН. Сер. Техн. киберненика. 1993. - № 3. - С. 39-43.

20. Бойчук J1.M. Структурный синтез нелинейных систем управления. М.: Энергия, 1971. -113 с.

21. Бойчук J1.M. Синтез координирующих систем автоматического управления. М.: Энергоатомиздат, 1991. - 160 с.

22. Бойчук J1.M. Структурный синтез систем управления нелинейными объектами с помощью вариационного исчисления // Сложные системы управления. Киев: Наукова думка, 1965. - С. 91-96.

23. Брокетт Р. Нелинейные системы и дифференциальная геометрия // ТИИЭР. 1976. - Т. 64, 1. - С. 80 - 94.

24. Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом. М.: Наука, 1987. - 232 с.

25. Буровой И.А., Горин В.Н., Ромм Р.Ф. Построение динамической модели обратимых гетерогенных процессов // АиТ. 1968. - № 6. - С. 163178.

26. Буякос В.И. Задача быстродействия в системах с запаздыванием в управлении // АиТ. -1971. № 2. - С. 5-7.

27. Бычков Ю.А. Расчет систем управления на основе кусочно-степенных моделей. JL: Энергоатомиздат, 1991. - 130 с.

28. Валеев К.Г., Финин Г.С. Построение функций Ляпунова. Киев: Наукова думка, 1981. - 412 с.

29. Валеев К.Г., Финин Г.С. Принцип оптимального многообразия // Нелинейные колебания: Труды 9-ой Междунар. конф. Киев: 1984. - С. 46-49.

30. Валеев К.Г. Расщепление спектра матриц. Киев: Вища школа, 1986. -271 с.

31. Ван-Трис Г. Синтез оптимальных нелинейных систем. М.: Мир, 1964. - 167 с.

32. Варшавский О.Г. Оптимальное регулирование системы второго порядка с запаздыванием // Теория и применение дискретных автоматических систем: Труды конф. М.: Изд. АН СССР, 1960. - С. 36-44.

33. Веремей Е.И. Синтез оптимальных регуляторов методом построения дифференциального уравнения устойчивого подсемейства экстремалей //ЛГУ-Л., 1978.-Деп. в ВИНИТИ 31.10.78, №3413-78. 19с.

34. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1987. - 248 с.

35. Волков Е.Ф., Ершов H.H., Раженков Е.Т. Синтез многосвязных систем автоматического управления. JL: ЛЭТИ, 1982. - 65 с.

36. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. - 286 с.

37. Вольтер Б.В., Сальников И.Е. Устойчивость режимов работы химических реакторов. М.: Химия, 1972. - 160 с.

38. Воробьев H.H. Теория рядов. М.: Наука, 1975. - 368 с.

39. Габасов Р., Кирилова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971.-507 с.

40. Грановский В.А., Сирая Т.Н. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях. Л.: Энергоатомиздат, 1990. - 288 с.

41. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. М.: Наука, 1985. -288с.

42. Данилов Л.В. Ряды Вольтерра-Пикара в теории нелинейных электрических цепей. М.: Радио и связь, 1987. - 224 с.

43. Джонсон С. Теория регуляторов, приспосабливающихся к возмущениям // Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах / Под ред. К.Т. Леондеса. М.: Мир, 1980. - 407 с.

44. Догановский С.А. Параметрические системы автоматического регулирования. М.: Энергия, 1973. - 166 с.

45. Дроздов Н.В., Мирошник И.В., Скорубский В.И. Системы автоматического управления с микроЭВМ. Л.: Машиностроение, 1989. -284 с.

46. Дубальский В.Е., Ловчаков В.И. Микропроцессорная система управления тепловым объектом // Электротермич. процессы и установки. -Тула: ТулПИ, 1991. С. 77-82.

47. Дуванов С.Г., Шекиня В.Л. Корректирующие устройства с конечной памятью в системах автоматического управления. М.: Энергия, 1973. -103 с.

48. Душин C.B. Синтез структурно-сложных систем управления с полиномиальными нелинейностями: Автореф. дис. . д-ра. техн. наук. СПб: Гос. электротехнический ун-т, 1998. - 34 с.

49. Дьяконов В.П. Математическая система MAPLE V R3/R4/R5. М.: Солон, 1998. - 399 с.

50. Дэвис М.Х.А. Линейное оценивание и стохастическое управление. -М.: Наука, 1984.-206 с.

51. Емельянов C.B. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.: Наука, 1967. - 336 с.

52. Емельянов С. В. Бинарные системы автоматического управления. М.: МНИИПУД984. - 320 с.

53. Емельянов С. В., Коровин С.К. Новые типы обратных связей: управление при неопределенности. М.: Наука, Физматлит, 1997. - 352 с.

54. Заславский Б. Г., Полуэктов P.A. Управление экологическими системами. М.: Наука, 1988. - 294 с.

55. Зубов В.И. Теория оптимального управления. Л.: Судостроение, 1966.-352 с.

56. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. - 496 с.

57. Игнатенко В.И. Оптимальное управление с прогнозированием инерционными объектами при наличии запаздывания // Изв. вузов. Приборостроение. 1969. - № 12. - С. 30-33.

58. Игнатенко В.И., Коржов В.И. Прогнозирование оптимального по быстродействию управления системами n-го порядка с запаздыванием. // Вестник Киевского политех, института. Серия автоматики и электроприборостроения. Киев: КПИ, 1973. - 10. - С. 12 -14.

59. Израилович М.А. Задача управления конечным состоянием при наличии постоянно действующих возмущений // М.: Изд. Института нефтехим. и газовой промышленности, 1970. Вып. 84. - С. 52-58.

60. Икримов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука, 1984.- 190 с.

61. Ильницкий Л.Я. Применение дробно-рациональных приближений в теории функциональных преобразователей. Киев: Наукова думка, 1971.-271 с.

62. Кабанов Д.А. Функциональные устройства с распределенными параметрами. М.: Советское радио, 1979. - 336 с.

63. Казаков И.Е., Гладков Д.И. Методы оптимизации стохастических систем. М.: Наука, 1987. - 304 с.

64. Калман Р., Арбиб М., Фалб П. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. - 400 с.

65. Катулев A.B. Современный анализ критериев в задачах оптимизации. М.: Радио и связь, 1992. - 120 с.

66. Кафанов В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. -М.: Химия, 1976. -463 с.

67. Квакернак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. -М.: Мир, 1977.-650 с.

68. Клейман Е.Г., Мочалов И.А. Идентификация нестационарных объектов (обзор) // Автоматика и телемеханика. 1994. - № 2. - С. 3-22.

69. Клюев A.C., Карпов B.C. Синтез быстродействующих регуляторов для объектов с запаздыванием. М.: Энергоатомиздат, 1990. - 176 с.

70. Колесников A.A. Последовательная оптимизация нелинейных агрегированных систем управления. М.: Энергоатомиздат, 1987. - 160 с.

71. Колесников A.A., Гельфгат А.Г. Проектирование многокритериальных систем управления промышленными объектами. М.: Энергоата-миздат, 1993. - 304 с.

72. Колесников A.A. Синергетическая теория управления. М.: Энергоатомиздат, 1994. - 344 с.

73. Копылов И.П. Математическое моделирование электрических машин. -М.:ВШ, 1994.- 318 с.

74. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1974. - 832 с.

75. Красовский A.A. Аналитическое конструирование контуров управления летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1969. - 240 с.

76. Красовский A.A. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973. - 558 с.

77. Красовский A.A., Буков В.И., Шендрик B.C. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными объектами. М.: Наука, 1977.-272 с.

78. Красовский A.A. и др. Справочник по теории автоматического управления. М.: Наука, 1987.

79. Красовский A.A. Некоторые актуальные проблемы науки управления. // Известия РАН. Сер. Теория и системы управления. -1996. № 6. - С. 8-16.

80. Крутько П.Д. Вариационные методы синтеза систем с цифровыми регуляторами. М.: Советское радио, 1967. - 440 с.

81. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Линейные модели. М.: Наука, 1987. - 304 с.

82. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. М.: Наука, 1988. - 328 с.

83. Крутько П.Д., Максимов А.И., Скворцов J1.M. Алгоритмы и программы проектирования автоматических систем. М.: Радио и связь, 1988.- 304 с.

84. Ку И., Вольф А. Применение рядов Вольтерра-Винера для анализа нелинейных систем // Техническая кибернетика за рубежом. М.: Машиностроение, 1968. - С. 145-165

85. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. -М.: Машиностроение, 1976. 183 с.

86. Куликовский Р.Э. Оптимальные и адаптивные процессы в системах автоматического управления. М.: Наука, 1967. - 380 с.

87. Кухаренко И.В. Выбор коэффициентов квадратичных функционалов при аналитическом конструировании регуляторов // Изв. вузов. Электромеханика. 1978. - № 4. - С. 44-47.

88. Лазарева А.Б., Пакшин П.В. Решение матричных уравнений Лурье, Риккати, Ляпунова для дискретных систем // Автоматика и телемеханика. -1986.-№ 12. С. 17-22.

89. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982. - 270 с.

90. Лернер А.Я. Принцицы построения быстродействующих следящих систем и регуляторов. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1961. -151 с.

91. Лернер Д.Н., Лукомский Ю.А., Михайлов В.А. Управление морскими подвижными объектами. Л.: Судостроение, 1979.

92. Летов A.M. Математическая теория процессов управления. М.: Наука, 1981.-256 с.

93. Лившиц К.И. Идентификация. Томск: Томский ун-т, 1981. -132 с.

94. Ловчаков В.И., Малов Д.И. Применение интегральных уравнений в задаче оптимального управления нелинейными объектами // Автомат, системы оптимал. управл. технол. объектами. Тула: ТулПИ, 1976. - С. 52-62.

95. Ловчаков В.И., Фомичев A.A. Синтез дискретного управления нелинейным нестационарным объектом // Автоматика. 1976. - № 1. - С. 5770.

96. Ловчаков В.И., Малов Д.И. Определение ядер Вольтерра нелинейных систем управления // Автомат, системы оптимал. управл. технол. объектами. Тула: ТулПИ, 1977. - С. 32-39.

97. Ловчаков В.И., Малов Д.И. Оптимальный регулятор для одного класса неустойчивых объектов // Техн. кибернетика. Тула: ТулПИ, 1977. -С. 16-26.

98. Ловчаков В.И. Синтез систем управления для одного класса дискретных нелинейных объектов с запаздыванием в канале управления // Автомат. системы оптимал. управл. технол. процессами. -Тула: ТулПИ, 1978. С. 10-16.

99. Ловчаков В.И., Фомичев A.A. Устройство наблюдения для одного класса нелинейных объектов управления // Автоматика. 1978. - № 4. -С. 46-59.

100. Ловчаков В.И. Астатические устройства наблюдения для одного класса нелинейных объектов управления // Алгоритмы и структуры спе-циализир. вычислит, устройств. Тула: ТулПИ, 1978. - С. 105-114.

101. Ловчаков В.И., Фомичев A.A., Эдемский В.М. Синтез нелинейной системы оптимального управления электрическим режимом дуговой печи // Автомат, системы оптимал. управл. технол. процессами. Тула: ТулПИ, 1980.-С. 99-106.

102. Ловчаков В.И., Фомичев A.A. Синтез системы управления для одного класса нелинейных объектов с запаздыванием // Изв. АН СССР. Сер. Техн. кибернетика. 1980. -№ 4. - С. 157-165.

103. Ловчаков В.И., Фомичев A.A. К структуре оптимального регулятора для нелинейных объектов с запаздыванием в канале управления // Динамика электромехан. систем. Тула: ТулПИ, 1980. - С. 53-61.

104. Ловчаков В.И. Синтез нелинейного гарантирующего регулятора // Динамика электромехан. систем. Тула: ТулПИ, 1981. - С. 70-76.

105. Ловчаков В.И. Об одной задаче оптимального управления нелинейными объектами при неисчезающих возмущениях // Автомат, системы оптимал. управл. технол. процессами. Тула: ТулПИ, 1981. - С. 31-42.

106. Ловчаков В.И. Анализ дуговой сталеплавильной печи как объекта автоматического управления // Автомат, системы оптимал. управл. технол. процессами. Тула: ТулПИ, 1982. - С. 61-66.

107. Ловчаков В.И. Синтез квазиоптимальных нелинейных управлений на основе функциональных рядов Вольтерра: Дис. . канд. техн. наук. -Л.:ЛЭТИ, 1982.- 195 с.

108. Ловчаков В.И. Приближенное аналитическое решение двухточечной краевой задачи оптимального управления // Автомат, системы оптимал. управл. технол. процессами. Тула: ТулПИ, 1984. - С. 44-47.

109. Ловчаков В.И. Оптимальное управление нелинейным объектом, описываемого усеченным рядом Вольтерра // ТулПИ. Тула, 1988. - Деп. в ВИНИТИ 28.09.88, № 7792-В88. -16 с.

110. Ловчаков В.И., Горячев Г.М., Дубальский В.Е. Система оптимального управления объектом первого порядка с нелинейностью вида насыщение // Динамика электромехан. систем.- Тула: ТулПИ, 1989. С. 42-48.

111. Ловчаков В.И. К вопросу аналитического решения нелинейной задачи оптимального управления // ТулПИ. Тула, 1991. - Деп. в ВИНИТИ 29.12.91, №4885-В91,-10 с.

112. Ловчаков В.И. Дифференциально-тейлоровские преобразования в синтезе управлений по критерию обобщенной работы // ТулПИ. Тула, 1992. - Деп. в ВИНИТИ 14.09.92, № 2774-В92. -16 с.

113. Ловчаков В.И. Метод равных площадей в идентификации динамических объектов // Математ. методы в химии и хим. технологии (ММХ-8): Тез. докл. Всеросс. конф. Тула: ТулГТУ, 1993. - С. 101.

114. Ловчаков В.И., Ковешников В.А. Аппроксимация переходных функций теплоэнергетических процессов // Электротермич. процессы и установки. Тула: ТулГУ, 1994. - С. 16-24.

115. Ловчаков В.И., Сухинин Б.В. Идентификация динамических объектов методом равных площадей и аппроксимация функций в метрике пространства Ъ // Динамика ПАХТ: Тез. докл. IX Всеросс. конф.- Ярославль: ЯГТУ, 1994. Т. 2. - С. 15-16.

116. Ловчаков В.И., Сухинин Б.В. Параметрическая идентификация теплоэнергетических объектов управления // Элементы и системы оптимальной идентификации и управл. технол. объектами. Тула: ТулГУ, 1994.-С. 62-69.

117. Ловчаков В.И. Определение весовой функции метода равных площадей при идентификации динамических объектов // Элементы и системы оптимальной идентификации и управл. технол. объектами. Тула: ТулГУ, 1996. - С. 40-47.

118. Ловчаков В.И. Идентификация линейных динамических систем с запаздыванием // Диф. уравнения и их приложения. Тула: ТулГУ, 1996. . с. 37-44.

119. Ловчаков В.И. Идентификация нелинейных динамических систем методом равных площадей с применением биортогональных систем функций // Математ. методы в химии и хим. технологии (ММХ-10): Тез. докл. Международ, науч. конф. Тула: ТулГУ, 1996. - С. 88.

120. Ловчаков В.И., Сухинин Б.В., Сурков В.В., Краснов К.В. Аналитический синтез оптимального управления следящим приводом с люфтом // Электротехнические комплексы автономных объектов (ЭКАО-97): Тез. докл. науч.-техн. конф. М.: МЭИ, 1997. - С. 37-38.

121. Ловчаков В.И. К определению весовой функции метода равных площадей идентификации динамических объектов // XI межвуз. науч.-техн. конф. : Тез. докл. Тула: ТВАИУ, 1997. - С. 58.

122. Ловчаков В.И., Сухинин Б.В. Синтез системы частотного управления асинхронным двигателем.// ТулГУ- Тула, 1997. Деп. в ВИНИТИ 08.07.97, № 2264-В97. - 23 с.

123. Ловчаков В.И. Синтез оптимального управления нелинейными многомерными объектами // ТулГУ- Тула, 1997. Деп. в ВИНИТИ 08.07.97, № 2263- В97. - 30 с.

124. Ловчаков В.И. Синтез оптимальных релейных регуляторов для одного класса нелинейных объектов // Управл. электротехн. объектами. Тула: ТулГУ, 1997. - С. 46-58.

125. Ловчаков В.И. Обзор методов идентификации и обоснование метода равных площадей // ТулГУ- Тула, 1997.- Деп. в ВИНИТИ 17.02.98, № 469-В98. -31 с.

126. Ловчаков В.И. Идентификация объектов управления с полиномиальной нелинейностью методом равных площадей // Системы управл. электротехн. объектами. Тула: ТулГУ, 1997. - С. 54-67.

127. Ловчаков В.И. Синтез оптимальных управлений для многомерных объектов с полиномиальной нелинейностью // Математ. методы в химии и технологиях (ММХ-11): Тез. докл. Международ, науч. конф. -Владимир: ВГУ, 1998. С. 92.

128. Ловчаков В.И. Метод идентификации систем Винера-Гаммерштейна с применением биортогональных функций // Методы и средства измерений физических величин: Тез. докл. третей Всеросс. науч.-техн. конф. -Нижний Новгород: НГТУ, 1998. Ч. 10. - С. 14-15.

129. Ловчаков В.И., Сухинин Б.В. Многосвязная квазиоптимальная система управления скоростью асинхронного двигателя // Информатика-машиностроение. 1998. - № 4. - С. 66-69.

130. Ловчаков В.И. Применение рядов Вольтерра в решении задачи аналитического конструирования оптимального регулятора // Изв. вузов. Электромеханика. 1998. - № 5-6. - С. 80-90.

131. Ловчаков В.И. Метод синтеза квазиоптимальных регуляторов для многомерных объектов с полиномиальной нелинейностью // XII науч.-техн. конф. : Тез. докл. Тула: ТАИИ, 1999. - Кн. 1. - С. 162 - 163.

132. Ловчаков В.И. Метод синтеза квазиоптимальных комбинированных регуляторов для многомерных нелинейных объектов // Математ. методы в технике и технологиях (ММТТ-12): Труды Международ, науч. конф. Великий Новгород: НТУ, 1999. - Т. 1. - С. 218-220.

133. Ловчаков В.И. Синтез оптимальных релейных управления для линейных объектов // Информатика-машиностроение. В печати.

134. Ловчаков В.И. Синтез квазиоптимальных комбинированных управлений для нелинейных многомерных объектов // Информатика-машиностроение. В печати.

135. Ловчаков В.И. Метод аналитического конструирования квазиоптимальных нелинейных систем // Управление и информатика. Юбил. сбор. труд, кафедры "Автоматика и телемеханика" ТулГУ. М.: ООО "ИСПО-Сервис" 1999. - С. 210-220.

136. Ловчаков В.И., Сухинин Б.В., Сурков В.В. Нелинейные системы управления электроприводами и их аналитическое конструирование. -Тула: ТулГУ, 1999. 180 с.

137. Льюнг Л. Идентификация систем. М.: Наука. 1992.- 432 с.

138. Мазуров В.М., Карпов B.C. Расчет модальных цифровых регуляторов для объектов с запаздыванием. Тула: ТулГУ, 1994. - 66 с.

139. Маслов В.П., Колокольцов В.Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М.: Физико-матем. литература, 1994. - 142 с.

140. Мееров М.В. Синтез структур систем автоматического регулирования высокой точности. М.: Наука, 1967. - 424 с.

141. Мельников Г.И. Динамика нелинейных механических и электромеханических систем. Л.: Машиностроение, 1975. - 200 с.

142. Менский Б.М. Принцип инвариантности в автоматическом регулировании и управлении. М.: Машиностроение, 1972. - 248 с.

143. Методы теории чувствительности в автоматическом управлении / Под. ред. Розенвассера E.H. и Юсупова P.M. Л.: Энергия, 1971. - 334 с.

144. Мишина А.П., Проскуряков И.В. Высшая алгебра. М.: Наука, 1965. -300 с.

145. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971.-424 с.

146. Негладкие задачи теории оптимизации и управления / Под ред. проф. В.Ф. Демьянова. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1982. - 324 с.

147. Норман-Сиро Д., Шелуа А. Цифровое нелинейное управление скоростью синхронного двигателя // Автоматика и телемеханика, 1997, №6. -С. 143- 158.

148. Окороков Н.В. Дуговые сталеплавильные печи. М.: Металлургия, 1971.-343 с.

149. Олейников A.B. Оптимальное управление технологическими процессами в нефтяной и газовой промышленности. JL: Недра, 1982. - 216 с.

150. Павленко В.Д. Некоторые вопросы исследования динамики нелинейных систем во временной области на основе интегростепенных рядов. -Киев: Институт кибернетики УССР (препринт), 1974. 62 с.

151. Павлов A.A. Синтез релейных систем, оптимальных по быстродействию. М.: Наука, 1966. - 392 с.

152. Панасюк А.И., Панасюк Б.И. Асимптотическая оптимизация нелинейных систем управления. Минск: Из-во БГУ, 1977. - 208 с.

153. Петров Б.Н., Рутковский В.Ю., Земляков С.Д. Адаптивное коорди-натно-параметрическое управление нестационарными объектами. -М.: Наука, 1980. -244 с.

154. Петров Ю.П. Вариационные методы теории оптимального управления. Л.: Энергия, 1977. - 280 с.

155. Петров Ю.П. Синтез оптимальных систем при неполностью известных возмущающих силах. Л.: ЛГУ, 1987. - 290 с.

156. Петров Ю.П. Особенности задачи о вычислении экстремума для усредненных функционалов с предельным усреднением // Управление, надежность, навигация. Саранск, Мордовский ГУ, 1978. - Вып.4. - С. 166-169.

157. Петров Ю.П. Оптимальное управление движением транспортных средств. Л.: Энергия, 1969. - 96 с.

158. Петров Ю.П. Оптимизация управляемых систем, испытывающих воздействие ветра и морского волнения. Л.: Судостроение, 1973. - 216 с.

159. Пионтковский A.A. К автоматическому регулированию с последействием: Дисс. канд. техн. наук. М., 1970. - 187 с.

160. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1982. - 332 с.

161. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. -392 с.

162. Попков Ю.С., Киселев О.Н., Петров Н.П., Шмульян Б.Л. Идентификация и оптимизация нелинейных стохастических систем. М.: Энергия, 1976. - 440 с.

163. Попков Ю.С., Ашимов A.A., Асаубаев К.Ш. Статистическая теория автоматических систем с динамической частотно-импульсной модуляцией. М.: Наука, 1988. - 254 с.

164. Портер В. А. Обзор теории полиномиальных систем // ТИИЭР. 1976. -Т. 64, 1.-С. 23-30.

165. Пупков К.А., Шмыкова H.A. Анализ и расчет нелинейных систем с помощью функциональных степенных работ. М.: Машиностроение,1982.- 150 с.

166. Пупков К.А., Егупов Н.Д., Трофимов А.И. Статистические методы анализа, синтеза и идентификации нелинейных систем автоматического управления. М.: Из-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. - 562 с.

167. Пупков К.А., Капалин В.И., Ющенко A.C. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. М.: Наука, 1976. - 448 с.

168. Пухов Г.Е. Дифференциальные спектры и модели. Киев: Наукова думка, 1990. - 182 с.

169. Райбман Н.С. Идентификация объектов управления (обзор) // Автоматика и телемеханика. 1979. - № 6. - С. 80-83.

170. Рей У. Методы управления технологическими процессами. М.: Мир,1983.- 368 с.

171. Репин Ю.М., Третьяков В.Е. Решение задачи об аналитическом конструировании регуляторов на электронных моделирующих установках // Автоматика и телемеханика. 1963. - Т. 24. - № 6.

172. Розенвассер E.H., Юсупов P.M. Чувствительность систем автоматического управления. Л.: Энергия, 1969. - 208 с.

173. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978.552 с.

174. Рудаков В.В., Столяров И.М., Дартау В.А. Асинхронные электроприводы с векторным управлением. Л.: Энергоатомиздат, 1987. - 134 с.

175. Садовой A.B., Сухинин Б.В., Сохина Ю.В. Системы оптимального управления прецизионными электроприводами. Киев: ИСИМО, 1996.-298 с.

176. Садовой A.B. Синтез и исследование оптимальных по точности систем управления электроприводами с низкой чувствительностью к широкому спектру дестабилизирующих факторов: Дис. . д-ра техн. наук. -Днепродзержинск: ДГТУ, 1992. 501 с.

177. Салуквадзе М.Е. Аналитическое конструирование регуляторов. Постоянно действующие возмущения // Автоматика и телемеханика. -1961. T. XXII. - № 10. - С. 1249-1287.

178. Салуквадзе М.Е. Об аналитическом конструировании регуляторов при постоянно действующих возмущениях // Автоматика и телемеханика. 1962. - Т. XXIII. - № 6. - С. 721-731.

179. Салуквадзе М.Е. К задаче синтеза оптимального регулятора в линейных системах с запаздыванием, подверженных постоянно действующим возмущениям. // Автоматика и телемеханика. 1962. - Т. XXIII. -№ 12.

180. Свижерев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологических системах. М.: Наука, 1987. - 368 с.

181. Сейдж Э.П., Уайт Ч.С. Оптимальное управление системами. М.: Радио и связь, 1982. - 392 с.

182. Слежановский О.В., Дацковский JI.X. Кузнецов И.С. и др. Системы подчиненного регулирования электроприводов переменного тока с вентильными преобразователями. М.: Энергоатомиздат, 1983. - 256 с.

183. Смит О. Автоматическое управление. М.: Физматгиз, 1962. - 847 с.

184. Современные методы идентификации систем / Под ред. П. Эйкхоффа. -М.: Мир, 1983.-400 с.

185. Солодовников В.В., Матвеев П.С. Расчет оптимальных систем автоматического управления при наличии помех. М.: Машиностроение, 1973.-240 с.

186. Солодовников В.В., Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов методом фазового простронства. I. Объекты с одномерным управляющим входом // Изв. вузов. Приборостроение. 1982. - № 6. - С. 21 -27.

187. Солодовников В.В., Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов методом фазового простронства. II. Многосвязное регулирование // Изв. вузов. Приборостроение. 1982. - № 8. - С. 28 -32.

188. Солодовников В.В., Дмитриев А.Н., Егупов Н.Д. Спектральные методы расчетов и проектирования систем управления. М.: Машиностроение, 1986. - 440 с.

189. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1976.-328 с.

190. Сухинин Б.В., Ловчаков В.И., Сурков В.В. Высокоточный следящий привод радиолокационной станции // Оборон, техника. -1996. № 10-11.-С. 71-73.

191. Сухинин Б.В., Ловчаков В.И., Сурков В.В. Синтез и анализ оптимальных релейных регуляторов методами A.A. Красовского и динамического программирования // Управл. электротехн. объектами. -Тула: ТулГУ, 1997. С. 79-88.

192. Сухинин Б.В., Ловчаков В.И., Сурков В.В., Краснов К.В. Аналитическое конструирование регулятора для следящей системы с люфтом // Информатика-машиностроение. 1998.- № 3. - С. 66-69.

193. Уилкинсон Райнш. Справочник алгоритмов на языке Алгол (линейная алгебра) / Пер. с англ. под ред. проф. Ю.И. Топчеева. М.: Машиностроение, 1976. - 390 с.

194. Уланов Г.М. Статические и информационные вопросы управления по возмущению. М.: Энергия, 1970. - 256 с.

195. Уонем У. М. Линейные многомерные системы управления. М.: Мир, 1980.- 378 с.

196. Уонхем Д., Джонсон С. Оптимальное релейное управление при квадратичном показателе качества. Теоретические методы расчётов // Труды американского общества инженеров механиков. Серия Д. Пер. с англ. М.: Мир. - 1964. - №1. - С. 145-166.

197. Федоренко Р. П. Приближенные решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. - 486 с.

198. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. М.: Наука, 1964.-464 с.

199. Флейк Р. Теория рядов Вольтерра и ее применение к нелинейным системам с переменными параметрами // Оптимальные системы. Стохастические методы. Труды II конгресса ИФАК. М.: Наука, 1965. -432 с.

200. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981. - 448 с.

201. Формальский A.M., Гориневский Д.М. Управление манипуляцион-ными системами на основе информации об усилиях. М.: Наука, 1994. - 368 с.

202. Форрестер Дж. Динамика развития города. М.: Прогресс, 1974. -167с.

203. Фурасов В.Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация. М.: Наука, 1977.-248 с.

204. Цирлин A.M. Методы усредненной оптимизации и их приложения. -М.: Наука, Физматлит. 1997. -304 с.

205. Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1974. -576 с.

206. Чжан Жель-вей. Синтез релейных систем по минимуму интегральных квадратичных отклонений // Автоматика и телемеханика. 1961. - № 12. - С. 1601-1608.

207. Шрейнер Р.Т., Дмитренко Ю.А. Оптимальное частотное управление асинхронными электроприводами. Кишинев: Штиинца, 1982. - 224 с.

208. Эйкхофф П. Оценка параметров и структурная идентификация (обзор) // Автоматика. 1987. - № 6. - С. 21-38.

209. Яковлев В.Б., Родионов В.Д. Способы расчета дискретных нелинейных систем автоматического управления методом пространства состояний // Дискрет, нелинейные системы / Под ред. Ю.И. Топчеева. -М.: Машиностроение, 1982. С. 58-88.

210. Яковлев О.С. Синтез асимптотически устойчивых многомерных нелинейных систем // Иследования по теории многосвязных систем: Сб. науч. статей. М.: Наука, 1982. - С. 137-143.

211. Янушевский Р.Т. Теория линейных оптимальных многосвязных систем управления. М.: Наука, 1973. - 464 с.

212. Янушевский Р.Т. Управление объектами с запаздыванием. М.: Наука, 1978. -416 с.

213. Brokett R.W Volterra series and geometrik control theory // Automatica.-1976.-№12, 2.-P. 167-176.

214. Fu F.G., Farison J.B. Analysis of a class of non-linear discrete-time systems by the Volterra series // Int. J. Contr. 1973. - № 18, 3. - P. 545551.

215. Fu F.G., Farison J.B. On the Volterra functional evaluation of the response of non-linear discrete-time systems // Int. J. Contr. 1973. - № 18, 3. - P. 553-558.

216. Fuller A.T. Optimal nonlinear control of systems with puze delau // Int. J. Contr. 1968. - № 8, 2. - P. 145-168.

217. Halme A., Hamalainen R.P. On the nonlinear regulator problem // J. Optimiz Theory and Appl. 1975. - № 16, 3-4. - P. 255-275.

218. Hamalainen R.P., Halme A. A salution of nonlinear TPBVPs occuring in optimal control // Automatic. 1976. - № 12, 5. - P. 403-41.

219. Hess R.A., Hude J.G. Suboptimal control of time-delaus systems // IEEE Trans. Automat Contr. 1973. - № 18,6.

220. Leeper J.L., Mulhalland R.J. Optimal control of nonlinear singleinput systems // IEEE Trans. Automat Contr. 1972. - № 17, 3. - P. 401-408.

221. Mee D.H. An extension of predictor control for systems with control tine-delays//Int. J. Contr. 1973. -№ 18,6. - P. 1151-1168.

222. Reeve P.J. Optimal control for systems which include puze delaus // Int. J. Contr. 1970. - № 11, 4. - P. 659-681.

223. Rhoten R.P., Mulhalland R.J. Optimal regulation of nonlinear plants // Int. J. Contr. 1974. - № 19, 4. - P. 707-718.402

224. Zhang Y., Gao J. Optimal regulation of non-linear systems // Int. J. Contr 1989.-№50,3.-P. 993-1000.

225. Доказательство теоремы 2.2

226. X(t) = X,(t) + jH(t,x)Px(x), V(x).dx ,1. П1.2)обозначив1. X(t) ^ f v(t) N Ґ

227. X(t) = x(t) , V(t) = V(t) ,v(n+m)(t)J , H(t,x) = v1. H(t,x) л H(t,x)M2n-l)t,x>1. П1.3)

228. В доказательстве теоремы можно выделить три этапа: 1) доказательство принадлежности решений х^) интегрального уравнения классу функций М<2п)0,со); 2) доказательство принадлежности х(4) е МЕ(2п)[0,оо); 3) доказательство принадлежности х^) е0^2п)[0,оо).

229. Доказательство принадлежности x(t)eM(2n)0,oo).

230. A- X(t) = Xi(t) + В• PX(t), V(t)., (ПІ.5)где В есть линейный оператор1. В- z(t) — jH(t,x)z(x)dx1. ПІ.6)

231. Установим эти условия. Учитывая соотношения (П1.5), (П1.6), (1.23) и используя свойства нормы 91, 178., проведем следующие преобразования левой части неравенства (П1.7):

232. ZX az2 II = ||в. rzx, V. - В • P[Z2, v]|| < И1 - fpfZ!, V] - P[Z2, v]| <q Ц, 2n-l n-t-m1. ФІН I zx=2v=0ji.jv=0jv+j.j(I=0q ц 2n-l

233. HHIZI11 JlJ2-Jv ^2v=0j1.Jv=0bv. .1. J1J2—Jjx1. Jv+l)in)1. Xh) Jjv) Jjl) Jjv)•Zj z21. Ш Jjv) Jjl) jjv)Л1. Z- -z1. П1.8)где1. = max11 l<i<2n-l00sup jH(i)(t,T)0<t<OO Qdx1. П1.9)• = Уу + 1-Іц=0

234. Рассмотрим выражение Д) Лу) ЛІ)1. Ч "Чч -"Ч

235. Ш Ліу-і) ЛЮ „(ІУ-І)\/г,(ІУ) „СУ)1. МЇиу-и гуКІХ). „Чу-ІА^иМ 7иуП ,"Ч ~Ч Ч А21 ~Ч / + .со. .^(іу-І) .Сі). .„си) 2ау))