Анализ сингулярного спектра в задачах обработки временных и пространственных данных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Усевич, Константин Дмитриевич

• Усевич, Константин Дмитриевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Усевич, Константин Дмитриевич

Введение

Список основных обозначений

Глава 1. Основные сведения из теории метода АСС.

1.1. Операции с матрицами.

1.2. Базовый метод АСС.

1.2.1. Этап разложения.

1.2.2. Этап восстановления.

1.2.3. Комментарии к шагу группировки.

1.3. Ряды конечного ранга и разделимость.

1.3.1. Ряды конечного ранга.

1.3.2. Точная разделимость.

1.3.3. Приближенная разделимость и полу разделимость

1.4. Ряды конечного ранга и линейные рекуррентные формулы

1.4.1. Случай конечных рядов.

1.4.2. Случай бесконечных рядов

1.5. Продолжимые ряды и прогнозирование.

1.5.1. ЛРФ прогноза в методе АСС и ее основные свойства

1.5.2. Алгоритмы прогноза в методе АСС.

1.5.3. Побочные корни ЛРФ прогноза и их свойства.

1.6. Модификации метода АСС.

1.6.1. Методы оценки параметров сигналов

1.6.2. Метод АСС для рядов над конечным полем.

1.7. Метод АСС для двумерных массивов.

1.7.1. Базовый алгоритм метода АСС для двумерных массивов

1.7.2. Частные случаи двумерного метода АСС

1.7.3. Метод АСС в анализе текстур: собственные фильтры

Глава 2. Алгебраическая теория

2.1. Структура ганкелевых матриц.

2.1.1. Поведение ранга в зависимости от Ь.

2.1.2. Структура левого ядра при <1 < Ь < N — <¿+

2.1.3. Структура левого ядра, Ь> N — <¿-1-1.

2.1.4. Поведение ранга при расширении ряда.

2.1.5. Библиографические ссылки.

2.2. Бесконечные массивы.

2.2.1. Бесконечные массивы и линейная сложность

2.2.2. Биномиальное представление и базисы пространства сдвигов

2.2.3. Биномиальное представление с одним корнем.

2.2.4. Определяющие множества и оценки сверху линейной сложности по биномиальному представлению.

2.2.5. Нижняя оценка линейной сложности.

2.2.6. Оценки линейной сложности по биномиальному представлению общего вида.

2.2.7. Граничные базисы и базисы Грсбнера.

Глава 3. Результаты для одномерного случая.

3.1. Систематизация типов рядов конечного ранга.

3.1.1. Продолжимые ряды и бесконечные ряды

3.1.2. Продолжимость и линейные рекуррентные формулы

3.1.3. Реверсивные ряды. Характеризация.

3.1.4. Теорема Бухштабера. Базис траекторного пространства

3.2. Разделимость.

3.2.1. Критерий односторонней разделимости.

3.2.2. Полуотделимость от рядов регулярной конечно-разностной размерности

3.2.3. Перечисление случаев левой отделимости для Ь < А

3.2.4. Двусторонняя разделимость.

3.3. ЛРФ прогноза и ее побочные корни.

3.3.1. Характеристический полином ЛРФ прогноза

3.3.2. Основные свойства ортогональных многочленов

3.3.3. Асимптотические свойства побочных корней

3.3.4. Некоторые приложения и замечания.

3.4. Подсчет числа матриц данного ранга в конечном поле.НО

3.4.1. Сведение задачи подсчета количества ганкелевых матриц к задаче подсчета рядов.

3.4.2. Независимость числа рядов данного ранга от длины ряда

3.4.3. Результаты о количестве матриц и рядов

3.4.4. Подсчет рангов матриц с ограничениями

3.4.5. Нахождение количества рядов данного ранга с ограничениями

Глава 4. Результаты для двумерного случая

4.1. Траекторное пространство и ранг массива.

4.1.1. Траекторное пространство и основные свойства ранга

4.1.2. Тензорное произведение рядов.

4.1.3. (Lx, £у)-траекторное пространство бесконечного массива

4.1.4. Полиномиальное представление массивов и оценка линейной сложности.

4.1.5. Оценки линейной сложности по диаграмме Ферре биномиального представления

4.2. Оценки множества допустимых размеров окна.

4.2.1. Оценка множества для бесконечного массива.

4.2.2. Переход от бесконечного массива к конечному.

4.3. Двумерная разделимость.

4.3.1. Разделимость произведений р51дов.

4.3.2. Разделимость бесконечных массивов конечного ранга

4.4. Непрерывный вариант и системы в частных производных

4.4.1. Разложение функций. Ранг функций.

4.4.2. Линейные системы уравнений в частных производных

4.4.3. Общий вид функций конечного ранга

4.4.4. Свойства системы высшего порядка

Глава 5. Численные эксперименты.

5.1. Отделимость массивов конечного ранга от шума.

5.1.1. Описание методов очистки от шума

5.1.2. Массивы конечного ранга, сравнение методов.

5.1.3. Зависимость ошибки восстановления от размеров окна и структура ошибки

5.1.4. Массивы неполного ранга.

5.2. Задачи анализа изображений.

5.2.1. Фильтрация цифровых моделей рельефа.

5.2.2. Задачи анализа текстур

5.3. Комплекс программ для АСС-разложения и обработки данных

5.3.1. АСС-разложение на основе вычисления ковариационной матрицы.

5.3.2. Быстрые вычисления с помощью БПФ.180'

5.3.3. Структура и краткое описание комплекса программ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ сингулярного спектра в задачах обработки временных и пространственных данных»

Основными объектами исследования в диссертационной работе являются временные ряды и двумерные массивы данных.

Под вещественнозначным (комплекснозначным) одномерным временным рядом длины N > 2 понимается упорядоченная последовательность вещественных (комплексных) чисел ^ = (/0,., /лг-1), /п 6 1 (/п £ С). Чаще всего временной ряд является результатом измерения некоторого показателя в равноотстоящие моменты времени с шагом Д > 0, т.е. /„ = /(Дп), где /(£) — некоторая функция, заданная при ¿ > 0; однако, переменная I не обязательно имеет смысл времени и / может быть функцией от другого физического параметра, например пространственной координаты [3, 7, 13]. Последовательности I7 = (/о,. /дг-1), 1п £ /С, где /С — конечное поле [9], описывающие изменение категориальных показателей, будем также называть временными рядами (над конечным полем). Мы будем считать временной ряд вектор-строкой, где это необходимо.

Под двумерным массивом (вещественнозначным или комплекснозначным) понимается таблица Р = (/т,п)т*п=о^"1 (/т,д е К или /т.:П е С) значений некоторой функции двух переменных /(ж,у), х,у > 0 на дискретной прямоугольной сетке с шагом Ах > 0 и Ау > 0, т.е. /т>п = /(Ахт,Ауп). Данные могут иметь разную природу: цифровые изображения [37], измерения некоторого показателя в пространстве (например высоты поверхности Земли [20]); в качестве одной из координат может выступать время, в этом случае массив можно рассматривать как совокупность рядов, или как многомерный временной ряд [7]. Двумерный массив везде далее мы считаем х А^ матрицей.

Будем говорить, что ряд ^ (массив Р) является суммой аддитивных составляющих ., (Р^., р(г) соответственно) если он является их суммой как векторов (или матриц): Р = .Р^-К . .^-Р^ или Р = Р^-К . т.е. в смысле покомпонентного сложения. Одной из основных задач анализа данных является выделение аддитивных составляющих различной структуры из наблюдаемого временного ряда или массива, что и является предметом исследования в диссертационной работе.

Актуальность темы. Во многих естественных науках сложилось представление о возможности описания природных процессов в виде суммы m = fiT)(t)+f(p\t)+f^(t) (0.1-) где f(T\t) — медленно меняющаяся составляющая, называемая трендом, которую часто описывают некоторой параметрической составляющей, например полиномами невысоких порядков или функциями с ограничениями на их гладкость [3, Гл. З]1, f(p\t) — периодическая составляющая, f^(t) — шумовая составляющая, которая обычно предполагается реализацией некоторого случайного процесса. Наиболее распространенными задачами являются: определение глобального поведения ряда (выделение тренда), обнаружение перио-дичностей или удаление их из ряда (seasonal adjustment), сглаживание (выделение низкочастотной составляющей), выделение детерминистической составляющей (отделение сигнала от шума).

Для различных частных случаев представления (0.1) разработаны мощные математические теории. Например задача f(t) — t) + f^(t) может решаться методами аппроксимации или регрессии (например, метод наименьших квадратов [31]); в случае f(t) = f^p\t) + /^(t), где шум предполагается стационарным, применимы методы спектрального анализа, основанные на теории стационарных случайных процессов и теории рядов Фурье [32, 117]. В общей постановке задачи, которая характерна для анализа реальных данных, при отсутствии априорной информации, применение параметрических методов наталкивается на ряд трудностей.

Анализ Сингулярного Спектра (.АСС'), как метод решения различных задач анализа временных рядов, независимо появился в 70х-90х годах в России и других странах [6, 51, 84]. Основой метода АСС является этап разложения, на котором построенная по временному ряду ганкелева матрица раеклады

1 существуют и другие подходы к определению тренда [48, 97, 106] вается в сумму матриц с помощью сингулярного разложения (singular value decomposition, SVD) [58]. Группам слагаемых сингулярного разложения сопоставляются восстановленные ряды и результатом метода является разложение исходного ряда на аддитивные компоненты. Метод АСС позволяет решать задачи выделения компонент временного ряда различной структуры и, кроме того, решать для выделенных компонент задачи описания их структуры, прогнозирования, оценки параметров, обнаружения разладки в структуре [66].

Существует большое количество прикладных научных исследований, использующих метод АСС, в таких областях, как экология [4, 92], геология [6, 45], метеорология и гидрология [5, 77, 94], климатология [62, 76,102], сейсмология [112], экономика [120], биология [22, 51], медицина [49, 93, 108], генетика [75] и т. д. Также существует множество методов оценки параметров комплексных экспоненциальных сигналов с высоким разрешением [43, 82, 85, 111, 117] основанных на этапе разложения метода АСС, а также близких по структуре методов пеленгации с помощью антенных решеток [86, 89, 128].

Метод АСС для двумерных массивов, основанный на сингулярном разложении двухуровневой ганкелевой матрицы, был предложен в [13]. Этап разложения двумерного АСС, также известный под названием eigenfiltering, применяется в таких задачах анализа текстур как: классификация, сегментация, обнаружение неоднородностей (в том числе и обнаружения дефектов материалов в промышленности) [39, 99, 105]. Также существуют методы оценки параметров двумерных комплексных экспоненциальных сигналов, основанные на разложении в двумерном методе АСС [42, 110, 126].

В теории методов типа АСС основными являются вопросы о нахождении условий, при которых исходные компоненты разделилш с помощью метода АСС, и об описании структуры, которой обладают разделимые компоненты [66], в частности, компоненты имеющие малый ранг разложения в АСС (так называемые ряды/массивы конечного ранга). Несмотря на большое количество приложений, данные вопросы практически не исследованы для двумерного варианта метода АСС.

К недостаткам методов, основанных на двумерном варианте АСС, традиционно относят их вычислительную сложность. В связи с отсутствием эффективных вычислительных алгоритмов для разложения в методе АСС, обычно используются лишь небольшие размеры окна. В частности поэтому практически не исследован вопрос выбора параметров метода (размеров окна) для лучшей разделимости массивов в практических задачах.

Основными целями работы являются комплексное исследование проблемы разделимости временных и пространственных данных в методе АСС, исследование свойств моделей данных конечного ранга и развитие методов обработки данных на основе метода АСС. Для достижения целей были поставлены и решены следующие задачи:

1. Систематизация и уточнение известных (для рядов) и получение новых (для массивов) результатов о структуре данных конечного ранга, определяемой линейными рекуррентными соотношениями.

2. Нахождение условий точной разделимости рядов и массивов в методе АСС.

3. Определение влияния параметров двумерного метода АСС на разделимость детерминистической и шумовой составляющих с помощью математического моделирования; разработка рекомендаций по выбору параметров метода.

4. Разработка и эффективная реализация методов обработки двумерных массивов, основанных на методе АСС, исследование свойств методов с помощью численных экспериментов.

Методы исследования. В работе используются методы алгебраической теории ганкелевых матриц; теории ортогональных многочленов; теории к-линейных рекуррентных последовательностей; теории идеалов в кольцах многочленов и их базисов Гребнера; методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Для численного исследования свойств алгоритмов обработки данных, основанных на методе АСС, применяются методы статистического моделирования. Для реализации алгоритмов используются среды программирования Visual С++, R.

Основные результаты, выносимые па защиту:

1. Для временных рядов систематизированы и уточнены соотношения между рангом рядов и свойствами линейных рекуррентных формул (ЛРФ), которым они удовлетворяют; на основе теории ортогональных многочленов систематизированы свойства побочных корней ЛРФ. [122].

2. Разработан критерий слабой полу разделимости рядов, позволяющий перечислить все возможные случаи полуразделимости для L < К и все случаи разделимости рядов [122]. Получено необходимое и достаточное условие полуразделимости массивов конечного ранга.

3. Получено распределение ранга в подмножестве множества ганкелевых матриц над конечным полем, необходимое для нахождения вероятности случайной классификации с инверсией в модификации метода АСС над конечным полем [40].

4. Описаны классы бесконечных массивов с точки зрения ранга их разложения в методе АСС [19, 68]. Описан класс функций, имеющих конечный ранг в непрерывном варианте разложения метода АСС [38].

5. Получена новая оценка ранга (линейной сложности) полиномиального массива по набору коэффициентов его биномиального представления [19, 70]. Расширена оценка множества допустимых размеров окна со случая сумм комплексных экспонент на общий случай массивов конечного ранга.

6. С помощью статистического моделирования для задачи восстановления заптумленного сигнала произведено сравнение двумерного метода АСС с другими методами обработки двумерных массивов, основанными на сингулярном разложении [19]. На основе экспериментов выработаны рекомендации по выбору параметров в задаче восстановления, в том числе и для восстановления различных областей массива.

7. Разработаны и реализованы эффективные методы вычисления разложения в методе АСС. Разработаны и реализованы алгоритмы для решения задач фильтрации цифровых моделей рельефа [20, 65] и анализа текстурных изображений.

Научная новизна Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость В диссертационной работе был предложен алгебраический подход для решения широкого класса теоретических задач в методе АСС; была продемонстрирована эффективность предложенного подхода. Также в рамках данной работы были разработаны и эффективно реализованы алгоритмы решения различных задач обработки двумерных данных на основе метода АСС. На основе численных экспериментов было показано, что разработанные алгоритмы могут быть успешно использованы для решения данных задач.

Апробация работы Основные результаты обсуждались на семинарах кафедры статистического моделирования математико-механического факультета СПбГУ, семинаре кафедры статистики в School of Mathematics, Cardiff University (Великобритания, февраль 2008, 2009) и докладывались на международных конференциях: «2nd International Conference on Matrix Methods and Operator Equations» (Москва, 23-27 июля 2007 г.), «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'OS (Москва, 28-31 января 2008 г.), «6th St.Petersburg Workshop on Simulation» (Санкт-Петербург, 28 июня - 4 июля, 2009 г.), «UK-China Workshop on singular spectrum anafysis and its applications» (Кардифф, Великобритания, 16-18 сентября 2010 г.).

Работа над диссертацией была частично поддержана стипендией Правительства Российской Федерации для аспирантов за 2009-10 годы, грантами СКОТ №№ ШШ-ШЗ-ЭТ-Об и ГШВ1-33015-8Т-09 и грантами Правительства Санкт-Петербурга №№ 2.1/30-04/27, 2.1/29-04/021, 2.1/07-06/056.

Диссертационная работа состоит из введения, списка основных обозначений, пяти глав, заключения, библиографии и приложения.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Усевич, Константин Дмитриевич

Заключение

В диссертационной работе исследовались проблемы разделимости временных и пространственных данных в методе АСС и описания структуры моделей рядов и массивов конечного ранга, порождаемых разложением в методе АСС. Были предложены новые математические методы решения данных проблем. Были построены алгоритмы для решения задач обработки двумерных данных, свойства моделей и алгоритмов были исследованы методами статистического моделирования. Алгоритмы были эффективно реализованы в виде комплекса программ. Рассмотрим подробнее основные выводы работы.

• Было установлено, что в рамках алгебраической теории ганкелевых матриц становится возможным систематизировать и установить точные связи между типами рядов: конечного ранга, реверсивными, продолжимы-ми, и т.д. (предложения 3.1.3, 3.1.4, 3.1.6 и 3.1.7; теорема 3.1.1), а также систематизировать важные для практики свойства, такие как свойства побочных корней ЛРФ прогноза (см. теорему 3.3.1, предложение 3.3.3 и раздел 3.3.3).

• Был предложен новый критерий полуразделимости (теорема 3.2.1), который позволил найти все случаи полуразделимости и разделимости» произвольных рядов (теоремы 3.2.3 и 3.2.4) и разделимости массивов конечного ранга (теорема 4.3.3). Данный критерий может быть полезен для дальнейшего исследования разделимости в АСС, например, более сложного, практически и теоретически значимого случая асимптотической разделимости.

• Был предложен способ нахождения количества ганкелевых матриц данного ранга и определенной структуры (следствие 3.4.3, предложения 3.4.3 и 3.4.5), которое необходимо для вычисления вероятностей линейной классификации с помощью ганкелевых матриц в варианте метода АСС над конечным полем. Полученные результаты в дальнейшем могут быть использованы для нахождения границ доверительных областей в соответствующих статистических тестах.

Было показано, что бесконечные массивы конечного ранга соответствуют массивам с конечной линейной сложностью (линейным рекуррентным массивам, см. предложение 4.1.1); был найден общий вид непрерывных функций, имеющих конечное АСС разложение в непрерывном варианте метода АСС (теорема 4.4.2).

В рамках исследования была получена новая оценка линейной сложности (ранга) полиномиального массива по его коэффициентам (теорема 4.1.2), которая в некоторых случаях лучше известной оценки (предложение 2.2.6). Однако и полученную оценку, возможно, можно улучшить. Оценка ранга массива важна для предварительного этапа математического моделирования в рамках метода АСС.

Был исследован вопрос о нахождении области допустимых размеров окна для массивов конечного ранга. На общий случай массивов конечного ранга расширены оценки множества допустимых размеров окна с помощью методов базисов Грёбнера (теорема 4.2.1). Знание минимально допустимых размеров окна необходимо для выбора достаточных размеров окна в практических задачах.

Была исследована зависимость разделимости сигнала и шума от размеров окна для различных массивов конечного ранга . Было продемонстрировано, что многие эффекты, известные и доказанные для одномерного случая, имеют место и для двумерного АСС, и в некоторых случаях усиливаются. Было показано, что двумерный АСС в задачах восстановления зашумленного сигнала во многих случаях предпочтительнее обычного сингулярного разложения, которое используется во многих методах обработки данных (см. раздел 5.1).

Метод АСС был применен к задаче фильтрации цифровых моделей рельефа. Были разработаны методы обработки текстурных изображений на основе введения расстояния, что упрощает процедуру классификации по сравнению с известными методами, основанными на АСС (см. раздел 5.2.2). На тестовых изображениях и базах данных изображений были продемонстрированы эффективность разработанных методов и преимущества использования больших размеров окна.

• Были разработаны и реализованы в виде комплекса программ алгоритмы для двумерного разложения в методе АСС и для решения различных задач обработки данных (см. раздел 5.3).

Таким образом, в диссертации были отражены теоретические и методологические вопросы математического моделирования и разработки устойчивых алгоритмов, реализованных в виде комплекса программ, пригодных для решения научных и практических задач.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Усевич, Константин Дмитриевич, 2011 год

1. Александров Ф. И. Выделение аддитивных компонент временного ряда при пакетной обработке методом "Гусеница"-88А // Вестник СПбГУ, Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2006. № 2. С. 71-74.

2. Алексеева Н. Комбинаторный анализ двух форм скрытой периодичности категориальных последовательностей // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика, механика, астрономия. 2007. № 3. С. 55-64.

3. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976. С. 757.

4. Бардин М. Изменчивость температуры воздуха над западными территориями России и сопредельными странами в XX веке // Метеорология и гидрология. 2002. № 8. С. 5-23.

5. Белонин М. Д., Татаринов И. В., Калинин О. М. и др. Факторный анализ в нефтяной геологии. М.: ВИЭМС, 1971. С. 56.

6. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. М.: Мир, 1980. С. 536.

7. Бухштабер В. М. Многомерные развертки временных рядов. Теоретические основы и алгоритмы // Обозрение прикл. промышл. матем., сер. Вероятн. и статист. 1997. Т. 4, № 4. С. 629-645.

8. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1976. С. 623.

9. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. С. 512.

10. И. Воеводин В., Кузнецов Ю. Матрицы и вычисления. М.:Наука, 1984. С. 320.

11. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц, 5-е изд. ФИЗМАТЛИТ, 2004. С. 576.

12. Главные компоненты временных рядов: метод «Гусеница», Под ред. Д. Л. Данилов, А. А. Жиглявский. СПб.: Пресском, 1997. С. 308.

13. Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра, Учебник. В 2-х т. Т. II. М.: Гелиос АРВ, 2003.

14. Голуб Д., Лоан Ч. В. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. С. 548.

15. Голяндина Н. Э. Метод «Гусеница»-88А: анализ временных рядов: Учеб. > пособие. СПб.: ВВМ, 2003. С. 85.

16. Голяндина Н. Э. Метод «Гусеница»-83А: прогноз временных рядов: Учеб. пособие. СПб.: ВВМ, 2004. С. 53.

17. Голяндина Н. Э., Осипов Е. В. Метод Тусеница'-ЭбА для анализа временных рядов с пропусками // Мат. модели. Теория и приложения. 2005. 6. С. 50-61.

18. Голяндина Н. Э., Усевич К. Д. Метод 20-38А для анализа двумерных полей // Труды VII Межд. конф «Идентификация систем и задачи управления» !31СР.Ю'08. Москва, 28-31 января 2008. 2008. С. 1657-1727.

19. Голяндина Н. Э., Флоринский И. В., Усевич К. Д. Анализ сингулярного спектра для фильтрации цифровых моделей рельефа // Геодезия и картография. 2008. № 5. С. 21-28.

20. Дюк В. Поиск сложных непериодических шаблонов в последовательностях числе и символов методами локальной геометрии // Тр. СПИИ РАН. 2002. Т. 2, № 1. С. 263-268.

21. Ефимов В. М., Галактионов Ю. К. О возможности прогнозирования циклических изменений численности млекопитающих // Журн. общ. биологии. 1983. Т. 44, № 3. С. 343-352.

22. Иохвидов И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Наука, М., 1974. С. 263.

23. Кислицин М. М. Многомерная статистика временных рядов наблюдений в авиационной эргономике // Вопросы кибернетики.Биотехнические системы в авиационной эргономике. 1978. № 51. С. 117-126.

24. Кокс Д., Литтл Д., О'Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. М.: Мир, 2000. С. 687.

25. Кузьмин А. С., Куракин В. Л., Нечаев А. А. Псевдослучайные и полилинейные последовательности // Труды по дискретной математике / Под ред. П. ред. В.Н. Сачкова и др. М.: ТВП, 1997. Т. 1. С. 139-202.

26. Куракин В. Л. Линейная сложность полилинейных последовательностей // Дискретная математика. 2001. Т. 13. С. 4-55.

27. Куракин В. Л. Биномиальная сложность полилинейных последовательностей // Труды по дискр. матем. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. Т. 6. С. 82-138.

28. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: в 2-х т. Государственное издание физико-математической литературы, 1988. С. 820.

29. Линник Ю. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. М.: Физматлит, 1958. С. 336.

30. Марпл-мл. С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: МИР, 1990. С. 584.

31. Муттер В. М. Основы помехюустойчивой телепередачи информации. Л.: Энергоатомиздат, 1990. С. 288.

32. Некрутк'ин В. Аппроксимирующие пространства и продолжения временных рядов // Статистическ^исе модели с приложениями в эконометрике и смежных областях / Под род. П. ред. С.М.Ермакова и Ю.Н.Каштанова. СПб.: изд-во НИИХ СПбГУ, 1999. С. 2-32.

33. Некруткин В. В. Разложения временных рядов // Главные компоненты временных рядов: метод «Гусеница» / Под ред. А. А. Ж. Под ред. Д. Л. Данилова. СПб: Пресском, 1997. С. 194-227.

34. Прасолов В. В. Многочлены. М.: МЦНМО, 2001. С. 336.

35. Прэтт У. Цифровая обработка изображений, Под ред. пер. с англ. под ред. Д. С. Лебедева. MI. : Мир, 1982. С. 310.

36. Усевич К. Д. Разложение ф>;у~шкций в двумерном варианте метода «Гусени-4a»-SSA и связанные с ним: системы уравнений в частных производных // Вестник СПбГУ, Серия 10г Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2009. К5а 3. С. 152-161.

37. Ade F. Characterization of Textures by 'Eigenfilters' // Signal Processing. 1983. Vol. 5. Pp. 451-457.

38. Alexeyeva N., Alexeyev A., Gracheva P. et al. Symptom and syndrome analysis of categorial series, logical principles and forms of logic // Proc. of the 2010 3rd Int. Conf. on BioMed. Engineering and Informatics . Vol. 6. 2010. Pp. 2603-2606.

39. Althaler J., Dur. A. Finite linear recurring sequences and homogeneous ideals // Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing. 1996. Vol. 7. Pp. 377-390.

40. Axmon J., Hansson M., Sornmo L. Partial forward-backward averaging for enhanced frequency estimation of real X-texture modes // IEEE Transactions on Signal Processing. 2005. Vol. 53, no. 7. Pp. 2550-2562.

41. Badeau R., David B., Richard G. High-Resolution Spectral Analysis of Mixtures of Complex Exponentials Modulated by Polynomials // IEEE Transactions on Signal Processing. 2006. Vol. 54, no. 4. Pp. 1341-1350.

42. Bezerra L. H., Bazan F. S. V. Eigenvalue Locations of Generalized Companion Predictor Matrices // SI AM Journal on Matrix Analysis and Applications. 1998. Vol. 19, no. 4. Pp. 886-897.

43. Biondi F., Isaacs C., Hughes M. et al. The Near-1600 Dry/wet Knock-out: Linking Terrestrial and Near-shore Ecosystems // Proc. 24th Annual Climate Diagnostics and Prediction Workshop, / US department of Commerce, Springfield, VA. 76-79.

44. Broomhead D. S., King G. P. Extracting qualitative dynamics from experimental data // Physica. 1986. Vol. 20. Pp. 217-236.

45. Buchstaber V. M. Time Series Analysis and Grassmanians // Applied problems of Radon transform / Ed. by S. Gindikin. 1994. Vol. 162 of American Mathematical Society Translations. Pp. 1-18.

46. Chatfield C. The Analysis of Time Series: An Introduction. 2nd edition. Chapman&Hall, London, 1980. P. 268.

47. Cheveigne A. D., Simon J. Z. Denoising based on time-shift PCA // Journal of Neuroscience Methods. 2007. Vol. 165. Pp. 297-305.

48. Chi-Jie L., Du-Ming T. Automatic defect inspection for LCDs usiizx^^ singular value decomposition // The International Journal of Advanced IVX^^nufactur-ing Technology. 2005. Vol. 25. Pp. 53-61.

49. Colebrook J. M. Continuous plankton records — zooplankton arxcfL environment, northeast Atlantic and North Sea // Oceanol. Acta, 1978. Vol. 1. Pp. 9-23.

50. Columbia-Utrecht Reflectance and Texture Database (CUReTT1^) 1999. URL: http: //wwwl. cs . Columbia. edu/CAVE/software/curet/ (^^гц^ата обращения: 08.09.2010).

51. Dalgaard P. Introductory Statistics with R. 2nd edition. Sprin.^er, 2008. P. 380.

52. Dana K. J., van Ginneken В., Nayar S. K., Koenderink J. J. Reflecttance and. Texture of Real World Surfaces // ACM Transactions on GraptiJL<3s. 1999. Vol. 18, no. 1. Pp. 1-34.

53. Daykin D. E. Distribution of bordered persymmetric matrices i^rx a finite field // J. Reine und Angew. Math. (Crelles Journal). 1960. "Vol. 203. Pp. 47-45.

54. Elkies N. D. On finite sequences satisfying linear recursions // INTew York Journal of Mathematics. 2002. Vol. 8. P. 85-97.

55. Feldmann S., Heinig G. Parametrization of minimal rank block Ы-eLiikel matrix extensions and minimal partial realizations // Integral Equations and Operator Theory. 1999. Vol. 33. Pp. 151-171.

56. Findley D. F. On the Early History of the Singular Value Decorrr£> <z>sition // SIAM Review. 1993. Vol. 35, no. 4. Pp. 551-566.

57. Florinsky I. Derivation of topographic variables from a digital elevation modelgiven by a spheroidal trapezoidal grid // International Journal of Geographical Information Science. 1998. Vol. 12. Pp. 829-852.

58. Florinsky I. Errors of signal processing in digital terrain modelling // International Journal of Geographical Information Science. 2002. Vol. 16, no. 5. Pp. 475-501.

59. Ghil M., Allen R., Dettinger M. et al. Advanced spectral methods for climatic time series // Rev. Geophys. 2002. Vol. 40, no. 1. Pp. 1-41.

60. Ghil M., Vautard R. Interdecadal oscillations and the warming trend in global temperature time series // Nature. 1991. Vol. 350. Pp. 324-327.

61. Golub G., Reinsch C. Singular value decomposition and least squares solutions // Numerical Mathematics. 1970. Vol. 14. Pp. 403-420.

62. Golyandina1 N. On the choice of parameters in Singular Spectrum Analysis and related subspace-based methods // Statistics and Its Interface. 2010. Vol. 3, no. 3. Pp. 259-279.

63. Golyandina N., Florinsky I., Usevich K. Filtering of Digital Terrain Models by Two Dimensional Singular Spectrum Analysis // International Journal of 1 Ecology & Development. 2007. Vol. 8, no. F07. Pp. 81-94.

64. Golyandina N., Nekrutkin V., Zhigljavsky A. A. Analysis of Time Series Structure: SSA and Related Techniques. Chapman and Hall/CRC, 2001. P. 320.

65. Golyandina N., Osipov E. The "Caterpillar'-SSA method for anatysis of time series with missing values // J. Stat. Plan. Infer. 2007. Vol. 137, no. 8. Pp. 2642-2653.

66. Golyandina N., Usevich K. An Algebraic View on Finite Rank in 2D-SSA // Proceedings of the 6th St.Petersburg Workshop on Simulation, June-July 2009 / Ed. by S. Ermakov, V. Melas, A. Pepelyshev. 2009. Pp. 308-313.

67. Golyandina N., Vlassieva E. First-order SSA-errors for long time series: model examples of simple noisy signals // Proceedings of the 6th St.Petersburg Workshop on Simulation Vol.1, June 28-July 4, 2009, St. Petersburg. 2009. Pp. 314-319.

68. Golyandina N. E., Usevich K. D. 2D-extension of Singular Spectrum Analysis: algorithm and elements of theory // Matrix methods: theory, algorithms and applications / Ed. by V. Olshevsky, E. Tyrtyshnikov. World Scientific, 2010. Pp. 449-473.

69. Govil N. K., Rahman Q. I. On the Enestrom-Kakeya theorem. // Tohoku Mathematical Journal. 1968. Vol. 20, no. 2. Pp. 126-136.

70. Hakopian H., Tonoyan M. Partial differential analogs of ordinary differential equations and systems // New York Journal of Mathematics. 2004. Vol. 10. Pp. 89-116.

71. Handbook of texture analysis, Ed. by M. Mirmehdi, X. Xie, J. Suri. Imperial College Press, 2008. P. 423.

72. Heinig G., Rost K. Algebraic methods for Toeplitz-like matrices and operators. Akademie Verlag, Berlin, 1984. P. 212.

73. Holloway D. M., Harrison L. G., Kosman D. et al. Analysis of Pattern Precision Shows That Drosophila Segmentation Develops Substantial Independence From Gradients of Maternal Gene Products // Development Dynamics. 2006. Vol. 235. Pp. 2949-2960.

74. Hsieh W. W., Hamilton K. Nonlinear singular spectrum analysis of the tropical stratospheric wind // Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society. 2003. Vol. 129. Pp. 2367-2382.

75. Jevrejeva S., Moore J. C. Singular Spectrum Analysis of Baltic Sea ice conditions and large-scale atmospheric patterns since 1708 // Geophy. Res. Lett. 2001. Vol. 28, no. 23. Pp. 4503-4506.

76. Johnson S. G., Frigo M. A modified split-radix FFT with fewer arithmetic operations // IEEE Trans. Signal Processing. 2007. Vol. 55, no. 1. Pp. 111-119.

77. Kehrein A., Kreuzer M. Computing Border Bases // Journal of Pure and Applied Algebra. 2006.-May. Vol. 205, no. 2. Pp. 279-295.

78. Konstantinides K., Natarajan B., Yovanof G. S. Noise estimation and filtering using block-based singular value decomposition // IEEE Transactions on Image Processing. 1997. Vol. 6. Pp. 479-483.

79. Korobeynikov A. Computation- and space-efficient implementation of SSA // Statistics and Its Interface. 2010. Vol. 3, no. 3. Pp. 357-368.

80. Krim H., Forster P., Proakis J. G. Operator approach to performance analysis of root-MUSIC and root-min-norm // IEEE Transactions on Signal Processing. 1992. Vol. 40, no. 7. Pp. 1687-1696.

81. Kumaresan R. On the Zeros of the Linear Prediction-Error Filter for Deterministic Signals // IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 1983. Vol. 31, no. 1. Pp. 217-220.

82. Kumaresan R., Tufts D. W. Data-adaptive principal component signal processing // Proc. of IEEE Conference On Decision and Control. Albuquerque, 1980. Pp. 949-954.

83. Kumaresan R., Tufts D. W. Estimating the Parameters of Exponentially Damped Sinusoids and Pole-Zero Modelling in Noise // IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 1982. Vol. 30, no. 6. Pp. 833-840.

84. Kumaresan R., Tufts D. VV. Estimating the Angles of Arrival of Multiple Plane Waves // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. 1983. Vol. AES-19, no. 1. Pp. 134-139.

85. Laub A. J. Matrix Analysis for Scientists and Engineers. SIAM, 2004.

86. Laws K. I. Textured image segmentation: Report 940 / Image Processing Institute, University of southern California. 1980. P. 190.

87. Li F., Liu H., Vaccaro R. J. Performance analysis for DOA estimation algorithms: unification, simplification, and observations // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. 1993. Vol. 29, no. 4. Pp. 1170-1184.

88. Loan C. F. V., Pitsianis N. P. Approximation with Kronecker products // Linear Algebra for Large Scale and Real Time Applications / Ed. by M. S. Moo-nen, e. G. H. Golub. Kluwer Publications, 1993. Pp. 293-314.

89. Magnus J. R., Neudecker H. Matrix Differential Calculus with Applications to Statistics and Econometrics. John Wiley & Sons, 2004. P. 450.

90. Mahecha M., Reichstein M., Lange H. et al. Characterizing ecosystem-atmosphere interactions from short to interannual timescales // Biogeosciences Discuss. "2007. Vol. 4. Pp. 1405-1435.

91. Mamou J., Feleppa E. J. Singular spectrum analysis applied to ultrasonic detectionand imaging of brachytherapy seeds // J. Acoust. Soc. Am. 2007. Vol. 121, no. 3. Pp. 1790-1801.

92. Markovic D., Koch M. Characteristic scales, temporal variability modes and simulation of monthly Elbe River flow time series at ungauged locations // Physics and Chemistry of the Earth. 2006. Vol. 31. Pp. 1262-1273.

93. Martinez-Finkelshtein A., McLaughlin K. T.-R., Saff E. B. Szego Orthogonal Polynomials with Respect to an Analytic Weight: Canonical Representation and Strong Asymptotics // Constr. Approx. 2006. Vol. 24, no. 3. Pp. 319-363.

94. McElroy T., Sutcliffe A. An iterated parametric approach to nonstationary signal extraction // Computational Statistics & Data Analysis. 2006. Vol. 50. Pp. 2206-2231.

95. Monadjemi A. Towards Efficient Texture Classification and Abnormality Detection: Ph. D. thesis / Department of Computer Science, University of Bristol. 2004. P. 177.

96. Monadjemi A., Mirmehdi M., Thomas B. Restructured eigenfilter matching for novelty detection in random texture // In Proceedings of the 15th British Machine Vision Conference. 2004. Pp. 637-646.

97. Mourrain B. A New Criterion for Normal Form Algorithms // Proceedings of the 13th International Symposium on Applied Algebra, Algebraic Algorithms and Error-Correcting Codes. AAECC-13. 1999. Pp. 430-443.

98. Nekrutkin V. Perturbation expansions of signal subspaces for long signals / / Statistics and Its Interface. 2010. Vol. 3, no. 3. Pp. 297-319.

99. Paegle J. N., Byerle L., Mo K. Intraseasonal Modulation of South American Summer // Monthly Weather Review. 2000. March. Vol. 128. Pp. 837-850.

100. Pakula L. Asymptotic Zero Distribution of Orthogonal Polynomials in Sinusoidal Frequency Estimation // IEEE Transactions on Information Theory. 1987. Vol. 33, no. 4. Pp. 569-576.

101. Pan V. Structured matrices and polynomials: unified superfast algorithms. Birkhauser Boston, 2001. P. 278.

102. Patel D., Davies E., Hannah I. The use of convolution-operators for detecting contaminants in food images // Pattern Recognition. 1996. Vol. 29, no. 6. Pp. 1019-1029.

103. Planas C. The Analysis of Seasonality in Economic Statistics: A Survey of Recent Developments: Tech. rep.: EUROSTAT working group document, 1997.198

104. Randen Т., Husoy J. H. Filtering for Texture Classification: A Comparative Study // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 1999. Vol. 21, no. 4. Pp. 291-310.

105. Rezek I., Roberts S. Stochastic Complexity Measures for Physiological Signal Analysis // IEEE Transactions on BME. 1998. —Sept. Vol. 25, no. 9. Pp. 1186-1191.

106. Rodriguez-Aragon L. J., Zhigljavsky A. Singular spectrum analysis for image processing // Statistics and Its Interface. 2010. Vol. 3, no. 3. Pp. 419-426.

107. Rouquette S., Najim M. Estimation of frequencies and damping factors by two-dimensional ESPRIT type methods // IEEE Transactions on Signal Processing. 2001. Vol. 49, no. 1. Pp. 237-245.

108. Roy R., Kailath T. ESPRIT: estimation of signal parameters via rotational invariance techniques // IEEE Tians. Acoust. 1989. Vol. 37. Pp. 984-995.

109. Serita A., Hattori K., Yoshino С., M. Hayakawa N. I. Principal component analysis and singular spectrum analysis of ULF geomagnetic data associated with earthquakes // Natural Hazards and Earth System Sciences. 2005. Vol. 5. Pp. 685-689.

110. Simon B. Orthogonal Polynomials on the Unit Circle, Part 1: Classical Theory. AMS Colloquium Series, AMS, Providence, RI, 2005. P. 466.

111. SRTM3 (Shuttle Radar Topographic Mission) Version 2. 2003. URL: http://dds.cr.usgs.gov/srtm/version2l/SRTM3/ (дата обращения: 08.10.2011).

112. Stepanov D., Golyandina N. SSA-based approaches to analysis and forecast of multidimensional time series // Proceedings of the 5th St.Petersburg Workshop on Simulation, St. Petersburg State University, St. Petersburg. 2005. Pp. 293-298.

113. Stetter H. J. Numerical polynomial algebra. SIAM, Philadelphia, 2004. P. 472.

114. Stoica P., Moses R. L. Introduction to spectral analysis. Prentice Hall, 1997. P. 319.

115. Strang G. Introduction to Linear Algebra. 2003. P. 568.

116. Szabados J. On some problems connected with orthogonal polynomials // Acta Mathernatica Academiae Scientarium Hungaricae. 1979. Vol. 33, no. 1-2. Pp. 197-210.

117. Thomakos D., Wanga Т., Wille L. Modeling daily realized futures volatility with singular spectrum analysis // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2002. Vol. 312, no. 3-4. Pp. 505-519.

118. Unser M., Ade F. Feature extraction and decision procedure for automated inspection of textured materials // Pattern Recognition Letters. 1984.— March. Vol. 2. Pp. 181-195.

119. Usevich K. On signal and extraneous roots in Singular Spectrum Analysis // Statistics and Its Interface. 2010. Vol. 3, no. 3. Pp. 281-295.

120. Varma M., Zisserman A. Texture Classification: Are Filter Banks Necessary? // IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, 18-20 June 2003. Proceedings. Vol. 2. 2003. Pp. 691-698.

121. Varma M., Zisserman A. A Statistical Approach to Texture Classification from Single Images // Int. J. Comput. Vision. 2005. Vol. 62, no. 1-2. Pp. 61-81.

122. Vassiliev N., Pavlov D. Strong non-Noetherity of polynomial reduction // Записки научных семинаров ПОМИ. 2009. Т. 373. С. 73-76.

123. Wang F., Wang S., Dou H. Estimating two-dimensional frequency pairs by extended Esprit-type method // Proceedings, ICCT 2003. International Conference on Communication Technology. Vol. 2. 2003. Pp. 1464-1467.

124. Yang H. H., Hua Y. On Rank of Block Hankel Matrix for 2-D Frequency Detection and Estimation // IEEE Transactions on Signal Processing. 1996. Vol. 44, no. 4. Pp. 1046-1048.

125. Yu X.-L., Buckley K. M. Bias and variance of direction-of-arrival estimates from MUSIC, MIN-NORM, and FINE // IEEE Transactions on Signal Processing. 1994. Vol. 42, no. 7. Pp. 1812-1816.