Анализ устойчивости нелинейных систем с запаздываниями и переключениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Андриянова Наталья Романовна

• Андриянова Наталья Романовна
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Андриянова Наталья Романовна

Введение

Глава 1. Основные понятия, определения и теоремы

1.1. Системы с запаздываниями

1.2. Системы с переключениями

1.3. Специальные матрицы и функции

Глава 2. Устойчивость систем Персидского с запаздыванием и переключениям

2.1. Система с непрерывным временем

2.2. Система с дискретным временем

Глава 3. Устойчивость систем Лурье с переключениями и скалярным управлением с запаздыванием

3.1. Система с непрерывным временем

3.2. Система с дискретным временем

Глава 4. Устойчивость систем Лурье с непрерывным временем и несколькими нелинейностями

4.1. Система без переключений

4.2. Система с переключениями. Общий функционал

4.3. Система с переключениями. Составной функционал

Глава 5. Диссипативность систем Лурье с непрерывным временем, несколькими нелинейностями и запаздываниями

5.1. Система без переключений

5.2. Система с переключениями

Глава 6. Мультиагентные системы с переключениями

6.1. Дискретная линейная мультиагентная система с запаздываниями

6.2. Дискретная нелинейная мультиагентная система с запаздыванием

6.3. Сверхфинитная устойчивость мультиагентной системы с непрерывным временем

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ устойчивости нелинейных систем с запаздываниями и переключениями»

Введение

Актуальность темы исследования. В условиях динамичного развития информационных технологий и усложнения технических систем, задачи эффективного управления и анализа устойчивости приобретают первостепенное значение. Актуальность данного исследования определяется потребностью в разработке новых методов и алгоритмов, обеспечивающих надежное функционирование сложных систем управления в различных областях, от автоматического регулирования до искусственного интеллекта.

Одним из ключевых подходов к анализу сложных систем является их математическое моделирование. Описание непрерывных динамических процессов, как правило, осуществляется с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений, а дискретных - разностными уравнениями. Большое значение при этом имеет такое свойство решений дифференциальных или разностных уравнений как устойчивость по Ляпунову Оно позволяет оценить, как система будет реагировать на возмущения и сохраняет ли она со временем те или иные свои свойства.

В настоящее время достаточно хорошо разработаны методы анализа устойчивости движений по линейному приближению. В критических случаях имеются результаты, когда удается судить об устойчивости по нелинейному приближению, например, однородному или обобщенно-однородному [7, 18]. Сейчас наблюдается интенсивное развитие теории для систем, в которых присутствует несколько степенных нелинейностей [22,35,38,41,42].

Представленная диссертация посвящена анализу устойчивости систем с секторными нели-нейностями, которые называют системами Персидского [30,60]. Их используют в качестве моделей межвидового взаимодействия, некоторых цифровых фильтров или нейросетей [54,58,60,68]. Частным случаем служит хорошо известная в теории автоматического регулирования система Лурье непрямого управления [24,64]. Ее также можно интерпретировать как взаимодействие линейной системы с системой Персидского.

При проведении теоретического анализа и осуществлении экспериментального исследования, касающегося функционирования различных элементов систем управления, еще одним значимым свойством системы, является диссипативность (она же предельная или финальная ограниченность всех ее решений) [17,20]. В данной работе определяются условия диссипативности системы Лурье.

В реальных технических системах действие регулятора или наблюдателя имеет запаздывания из-за конечной скорости распространения и обработки сигналов [32, 56, 62]. Кроме того, возникает задержка по состоянию, которая может быть обусловлена инерционностью деталей и узлов исполнительных механизмов [56, 62]. Анализ устойчивости таких систем требует применения специальных подходов, таких как метод функций Разумихина и функционалов Ляпунова - Красовского. В данной работе сделан акцент на последнем.

В таких областях, как механика, электродинамика и нейрофизиология встречаются математические модели, которые проявляют одновременно дискретные и непрерывные свойства. Отдельно выделим системы с переключением [65,66], которые описывают поведение непрерывных подсистем, представленных конечным набором систем дифференциальных уравнений с функцией переключения между ними. В настоящее время активно изучаются нелинейные системы с пере-

ключениями и запаздываниями [8, 37, 38,43, 59, 73, 79]. Для анализа устойчивости таких систем существуют два главных подхода, основанных на методе функционала Ляпунова-Красовского: 1) нахождение общего функционала сразу для всех подсистем, или же 2) поиск своих функционалов для каждой из подсистем, из которых затем формируется составной функционал. В зависимости от выбранного подхода будут получаться разные условия устойчивости. Так, преимущество построения общего функционала в том, что при его использовании не надо вводить ограничения на закон переключения. Однако в этом случае возникают более жесткие требования к параметрам системы, чем при применении составного функционала. Использование последнего дополнительно потребует ввести ограничения на моменты переключения.

Интересным и актуальным направлением теории управления является разработка децентрализованных протоколов управления мобильными агентами [29, 63, 72, 75, 81]. Важно учитывать задержки при обмене информацией между ними и переключения в случае нарушения связи с некоторыми агентами-информаторами. Хотя мультиагентные системы с запаздываниями активно исследуются (например, [69, 76, 78]), недостаточно изученной остается ситуация динамического изменения структуры сети из-за переключений даже в контексте равномерного размещения агентов на отрезке прямой. Подход к решению такой задачи в непрерывном времени при произвольном выборе информаторов был предложен в [39]. В той же работе рассмотрено равномерное по отношению к некоторой нелинейной функции размещение.

Таким образом, актуальность диссертационного исследования определяется потребностью в разработке новых методов и алгоритмов решения задач системного анализа, управления, принятия решений и обработки информации для сложных нелинейных систем с запаздываниями и переключениями, с целью улучшения их технико-экономических и эксплуатационных характеристик.

Цели работы. Представленная диссертация фокусируется на анализе устойчивости и дис-сипативности нелинейных систем с запаздываниями и переключениями, а также разработке алгоритмов управления мультиагентными системами. Для реализации указанных целей планируется решить следующие задачи:

1) Получить достаточные условия асимптотической, а также равномерной асимптотической устойчивости нулевых решений систем с переключениями между подсистемами типа Персидского с постоянным запаздыванием и определить класс возмущений, не нарушающих устойчивость. В этом контексте отдельно исследовать случаи синхронных и асинхронных переключений. Провести анализ устойчивости соответствующей дискретной системы.

2) Найти достаточные условия асимптотической и равномерной асимптотической устойчивости нулевого решения, а также диссипативности для систем с синхронными и асинхронными переключениями между подсистемами типа Лурье с запаздываниями.

3) Разработать методы и алгоритмы решения задач равномерного и неравномерного размещения группы агентов с дискретным временем в условиях переключающейся топологии с запаздываниями. В непрерывном случае исследовать вопрос достижения равномерного расположения за конечное время.

Научная новизна. Найдены новые достаточные условия асимптотической устойчивости для систем типа Персидского и Лурье с запаздываниями и переключениями. Получены условия равномерной диссипативности для системы Лурье с запаздываниями и переключениями. Построены протоколы управления, гарантирующие сходимость мультиагентных систем к заданным положениям при наличии переключений между агентами-информаторами.

Теоретическая и практическая значимость работы. В рамках данного диссертационного исследования развиты методы общего и составного функционала применительно к анализу некоторых классов сложных систем управления, что позволило вывести новые условия устойчивости с учетом влияния запаздываний и переключений.

Получены новые достаточные условия асимптотической и равномерной асимптотической устойчивости для нелинейных систем типа Персидского с запаздываниями и переключениями. Эти теоретические результаты имеют большое значение для инженерных приложений в области автоматического регулирования и могут быть применены при разработке и анализе нейронных сетей.

В исследовании также построены общие функционалы Ляпунова-Красовского, позволяющие анализировать устойчивость и диссипативность для систем типа Лурье при произвольных переключениях. Предложенные методы анализа устойчивости обобщены на случай дискретных систем с запаздываниями и переключениями, что расширяет возможности их применения в анализе и синтезе цифровых систем управления.

Разработаны децентрализованные протоколы управления для мультиагентных систем, которые обеспечивают достижение заданных целей размещения агентов при наличии переключающихся коммуникационных топологий и запаздываний при обмене информацией. Эти алгоритмы могут быть использованы в таких областях, как управление мобильными роботами, беспилотными летательными аппаратами и другими сложными системами.

Значимость работы также подтверждена участием в следующих научно-исследовательских проектах:

- 19-01-00146_а «Развитие методов декомпозиции, агрегирования и децентрализованного управления сложными системами», 2019-2021 гг. (РФФИ, Исполнитель);

- 24-21-00091 «Развитие методов анализа устойчивости и синтеза законов управления для нелинейных динамических систем с запаздыванием» 2024-2025 гг. (РНФ, исполнитель).

Структура работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы.

• В первой главе представлены основные понятия и теоретические результаты, используемые в работе.

• Во второй главе проводится анализ систем типа Персидского с запаздываниями и переключениями. Получены условия асимптотической и равномерной асимптотической устойчивости для случаев синхронных и асинхронных переключений параметров системы.

• В третьей главе исследуется устойчивость систем Лурье с непрерывным и дискретным временем, переключениями и запаздываниями в скалярном управлении. Найдены условия асимптотической устойчивости для указанных систем.

• В четвертой главе анализируются системы Лурье с несколькими нелинейностями, запаздываниями и переключениями. Применены методы общего и составного функционалов Ляпунова - Красовского для анализа устойчивости.

• В пятой главе исследуется диссипативность систем Лурье с запаздываниями и переключениями. Получены независящие от переключений и запаздываний условия на параметры системы, гарантирующие предельную ограниченность решений.

• В шестой главе рассматриваются некоторые мультиагентные системы с переключающимися коммуникационными топологиями. Разработаны алгоритмы децентрализованного управления, обеспечивающие достижение заданных целей размещения агентов.

Полный объем диссертации составляет 109 страниц, включая 15 рисунков. Список литературы содержит 81 наименование.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены и обсуждены на семинарах кафедры УМБС СПбГУ и на следующих конференциях:

- LIV международная научная конференции аспирантов и студентов «ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ» - Control Processes and Stability (CPS'23) (Санкт-Петербург, 3 - 7 апреля 2023 года);

- LV международная научная конференции аспирантов и студентов «ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ» - Control Processes and Stability (CPS'24) (Санкт-Петербург, 1 - 5 апреля 2024 года);

- 7th Scientific School: Dynamics of Complex Networks and their Applications, DCNA2023 (Калининград, 18 - 20 сентября 2023 года)

Основные результаты по теме диссертации изложены в 7 печатных изданиях, 1 из которых издана в журнале, рекомендованном ВАК, 6 — в периодических научных журналах, индексируемых Web of Science и Scopus.

Основные научные результаты:

1. условия, гарантирующие асимптотическую устойчивость нулевого решения системы Персидского с непрерывным временем, переключениями и запаздыванием, см. разделы 5 и 7 из работы [42] (личный вклад составляет не менее 30%);

2. условия, гарантирующие асимптотическую устойчивость нулевого решения системы Персидского с дискретным временем, переключениями и запаздыванием, см. работу [14] (все аналитические и численные вычисления проведены лично автором диссертации);

3. условия, гарантирующие асимптотическую устойчивость нулевого решения системы типа Лурье непрямого управления с переключениями и запаздыванием в скалярном управлении, см. работу [10] (все аналитические и численные вычисления проведены лично автором диссертации);

4. условия, гарантирующие асимптотическую устойчивость нулевого решения систем Лурье с несколькими управлениями и запаздыванием, см. работы [12,41] (личный вклад составляет не менее 50%);

5. условия диссипативности системы Лурье с несколькими управлениями, переключениями и запаздываниями, см. работу [47] (все аналитические и численные вычисления проведены

лично автором диссертации);

6. протоколы управления, обеспечивающие глобально асимптотически устойчивое равномерное и неравномерное размещения для мультиагентной системы с запаздываниями, см. работы [11,39,40] (личный вклад составляет не менее 50%);

7. протоколы управления, обеспечивающие сверхфинитно устойчивое равномерное размещение для мультиагентной системы с переключениями, см. работы [13,38] (личный вклад составляет не менее 50%).

Положения, выносимые на защиту:

• Для систем Персидского и Лурье с непрерывным/дискретным временем, синхронными/ асинхронными переключениями и запаздываниями на основе построения составных функционалов Ляпунова-Красовского получена асимптотическая устойчивость нулевого решения при более слабых ограничениях на параметры системы по сравнению с известными аналогами за счет введения ограничений на закон переключения;

• Для систем Лурье с несколькими степенными нелинейностями, запаздываниями и переключениями справедлив аналог робастных к запаздываниям и переключениям условий дисси-пативности, ранее установленных для случая однородных нелинейностей;

• Методы синтеза протоколов управления, разработанные для непрерывной мультиагентной системы, описанной интеграторами первого порядка, переносятся на случай дискретного времени, при обеспечении глобальной асимптотической устойчивости равномерного и неравномерного размещения агентов;

• Показано, что сверхфинитная устойчивость равномерного размещения для мультиагентной системы с переключениями, заданной интеграторами первого порядка, гарантируется в случае коммуникационных топологий более общего вида, чем рассматривалось в ранее известных результатах.

Глава 1. Основные понятия, определения и теоремы 1.1. Системы с запаздываниями

В этом параграфе приведем используемые в данной диссертации основные сведения, относящиеся к непрерывным и дискретным системам с запаздывающим аргументом.

Введем несколько стандартных обозначений: Мга — это и-мерное Евклидово пространство над полем вещественных чисел, класс С(X, У) — множество непрерывных на X С М1 функций со значениями в У С Мга. Нулевая функция с параметром т > 0 будет обозначаться 0Г : [—г; 0] м 0. Начнем с непрерывных систем общего вида

хф) = f (1,х,), (1.1)

где хф) из Кга, функционал правой части f : [0; х См М таков, что открытая область С С С ([—г; 0], Ега) и 0Г € С, при этом постоянная величина т > 0.

Состоянием системы будет сегмент траектории — функция хфв) = хф + в), определенная при в € [—т; 0]. Аргумент у состояния будем пропускать, подразумевая отрезок [—г; 0] областью задания.

В качестве нормы для вектора будем использовать евклидову норму, для матрицы — сингулярную, а для состояния р — равномерную норму: ||^||г = Бир0е[_г;0] ||^(0)||.

Для решения хф,10, ф) системы (1.1) необходимо задать неотрицательный начальный момент ¿0 € ММ1 и начальную функцию ф = х^ из С. Считаем далее, что (1.1) является системой с нулевым решением.

Приведем определения некоторых типов устойчивости, используемых в данной работе, позаимствованных из книги [56].

Определение 1.1. Нулевое решение системы (1.1) устойчиво, если для любых ¿0 ^ 0 и е > 0 найдется 8(еф0) > 0 такая, что для всех начальных функций, удовлетворяющих условию ||^||т < 8, следует, что Цхф, Ь0, ф) || < е для любых Ь ^ ¿0.

Определение 1.2. Нулевое решение системы (1.1) равномерно устойчиво, если для любого е > 0 найдется 8(е) > 0 такая, что из неравенства ||^||т < следует, что ||ж(£,£0, ^)|| < е для любых

г0 ^ 0 и г ^ г0.

Определение 1.3. Нулевое решение системы (1.1) асимптотически устойчиво, если для любых ¿0 ^ 0 и е > 0 найдется 8(еф0) > 0 такая, что для всех р, удовлетворяющих условию ||^||т < 8, следует: 1) Цхф, Ь0, ф) || < е для любых Ь ^ ¿0; 2) Цхф, Ь0, ф) || м 0 при Ь м

Определение 1.4. Нулевое решение системы (1.1) равномерно асимптотически устойчиво, если 1) есть равномерная устойчивость; 2) существует 8 > 0, такая что для любого е > 0 найдется такая Т(е) > 0, чтобы из неравенства ||^||т < 8 вытекало Цхф, Ь0, ф) || < е для любых Ь ^ ¿0 + Т и

10 > 0.

Определение 1.5. Нулевое решение системы (1.1) с правой частью { : [0; х С ([—г; 0], Ега)

м- Rra глобально асимптотически устойчиво, если 1) оно устойчиво; 2) для любых t0 ^ 0 и ip Е

С ([-г; 0], Rra) верно \\x{t,t0,p)\\ м 0 при t м +то.

Напомним, что непрерывная на \\ж\\ ^ Н, 0 < Н ^ то функция v(x) положительно определена, если ^(0) = 0 и v(x) > 0 в остальных точках n-мерного шара.

Определение 1.6. Функционал V(t, ф) положительно определен для t ^ 0 и непрерывных <р, таких что \\^\\r ^ Н, Н > 0, если

1) V(t, 0Г) = 0 при t ^ 0;

2) существует положительно определенная функция v(x), такая что w(^(0)) ^ V(t, ф) для

t ^ 0;

3) для каждого фиксированного t ^ 0 функционал V(t, ф) непрерывен по второму аргументу в точке 0Г.

Определение 1.7 [57, Def. 2.5]. Функция а Е С([0; +то), [0; +то)) принадлежит классу К, если она строго возрастает на [0; +то) и а(0) = 0.

Будем также говорить, что неубывающая функция b Е С([0; +то), [0; +то)) принадлежит классу К', если b(s) > 0 при s > 0 и 6(0) = 0.

Замечание 1.1. Известно [74, Sec. 5.2], что если b(s) Е К', то существует a(s) Е К, такая что a(s) ^ b(s); кроме того, если b(s) м то, то существует a(s) Е К, удовлетворяющее такому же свойству a(s) м то.

Способ проверки устойчивости решения системы (1.1) без его нахождения дает следующая теорема.

Теорема 1.1 (Красовский [15, 56]). Будем считать, что правая часть системы (1.1) отображает [0; +то) х (ограниченные множества из С([-т; 0], R"-)) в ограниченные множества в Rra. Если найдутся функции u,v Е К', непрерывная неубывающая функция w : [0; Н) м [0; +то) с некоторым 0 < Н ^ то и непрерывно-дифференцируемый функционал V : [0;+то) х [—г;0],

(-Н; Н) х ... х (-Н; Н) ) м R1, такие что в области \\^\\т < Н выполнено 4-v-''

п

«(М0)\\) ^ vф,ф ^ v(Mr)

и производная V вдоль решений системы (1.1) в той же области

v(t,<p) ^ — ЦМ0)\\),

тогда нулевое решение системы (1.1) равномерно устойчиво. Если при этом w Е К', то это решение равномерно асимптотически устойчиво.

Замечание 1.2 [48]. Условие того, что непрерывная функция v(t,x) положительно определена, эквивалентно существованию функции и Е К, такой что и(\\ж\\) ^ v(t,x).

Замечание 1.3. С учетом замечания 1.2 получаем, что положительная определенность функцио-

нала Vф, ф) означает наличие функции и € К, такой что и(||^(0) ||) ^ Vф, ф).

Перейдем к рассмотрению системы с дискретным временем к из множества целых неотрицательных чисел Z+:

у(к + 1) = ! (к,фк)), (1.2)

где у (к) принимает значения в Мга, г — целое неотрицательное, у(к^ — состояние системы (1.2), а именно — вектор

у(к) = (ут (к),ут (к — 1),...,УТ (к — г))Т.

Считаем, что функционал / : х Ш м Ега, где Ш С Е"-(г+1), причем область его задания содержит некоторую окрестность нулевого вектора. Для построения решения у (к, к0 ,у(ко^) необходимо выбрать первоначальный момент к0 ^ 0 и начальный вектор у(к°.

Предположим, что система (1.2) имеет нулевое решение. Выпишем аналоги определений 1.1-1.5 для дискретного случая [15, с. 61].

Определение 1.8. Нулевое решение системы (1.2) устойчиво, если для любых к0 ^ 0 и е > 0 найдется 8ф,к0) > 0 такая, что для всех начальных векторов, удовлетворяющих условию ||у^о) || <6, следует, что Цу(к, к0, у(ко^) || < е для любых к ^ к0.

Определение 1.9. Нулевое решение системы (1.2) равномерно устойчиво, если для любого е > 0 найдется 8(е) > 0 такая, что для всех начальных векторов, удовлетворяющих условию Цу(к° || < 8, следует, что Цу(к, к0, у(ко^) || < е для любых к0 ^ 0 и к ^ к0.

Определение 1.10 . Нулевое решение системы (1.2) асимптотически устойчиво, если для любых к0 ^ 0 и е > 0 найдется 8(к0, е) > 0 такая, что для всех у(ко), удовлетворяющих условию Цу(к° || < 8, следует: 1) Цу(к, к0,у(ко^)Ц < £ для любых к ^ к0; 2) Цу(к,ко,у(ко))Ц м 0 при к м то.

Определение 1.11. Нулевое решение системы (1.2) равномерно асимптотически устойчиво, если 1) есть равномерная устойчивость; 2) существует 8 > 0, такая что для любого е > 0 найдется такая Т(е) > 0, чтобы из неравенства Цу(ко)|| < 8 вытекало Цу(к, к0,у(ко^)Ц < £ для любых к ^ к0 + Т и к0 ^ 0.

Определение 1.12. Нулевое решение системы (1.2) с правой частью / : х Ега(г+1) м Ега глобально асимптотически устойчиво, если 1) оно устойчиво; 2) для любых к0 ^ 0 и у(к° € Ега(г+1) верно Цу(к, к0,у(к°)|| м 0 при к м

Аналогом производной непрерывного функционала является приращение дискретного функционала А У (к,у(к)) = V (к + 1,у(к+1)) — V (к,у(к)).

Теорема 1.2 [5, с. 36] . Считаем, что правая часть системы (1.2) непрерывна по второму аргументу и отображает Z+ х Ега(г+1) в Ега. Если найдется положительно определенный функционал (к, ф) м V(к, ф) : х Ега(г+1) м М1, непрерывный по ф, для которого АУ (к, ф) отрицательно определено и для любого а > 0 существует ^ > 0, такое что при ||^|| ^ а, верно АУ (к, ф) ^ —7 для всех к ^ 0, тогда нулевое решение системы (1.2) глобально асимптотически устойчиво.

1.2. Системы с переключениями

Гибридной системой называют математическую модель, которая проявляет непрерывные и вместе с тем дискретные свойства. К этому классу моделей относят систему с переключениями [65,66]. Выпишем общий вид системы с переключениями и запаздываниями

¿СО = fa(t){t,Xt), состоящую из N непрерывных подсистем

x(t) = fs{t,xt), S = 1,...,N,

где все fs(t,xt) обладают теми же свойствами, что и правая часть системы (1.1). Функция a(t) задает моменты переключения с одной подсистемы на другую.

Определение 1.13. Законом переключений между подсистемами будем называть кусочно-постоянную непрерывную справа функцию а = o(ï), определенную на временном промежутке [0, со значениями в множестве номеров этих подсистем {1,..., N}.

Моментами переключений будем называть точки разрыва первого рода функции a(t), т. е. моменты смены активной подсистемы.

Случай Зено [65], при котором допускается бесконечное число переключений, совершаемых за конечный промежуток времени, исключается из рассмотрения в данной работе.

В случае дискретной системы с переключениями между подсистемами вида (1.2)

y(k + 1) = Uik) (к,у(к))

законом переключений называется функция, заданная при к G Z+ с областью значений в множестве номеров подсистем.

У системы с переключениями могут возникать запаздывания как в правых частях подсистем, так и в законе переключений. При переключении между подсистемами задержки могут возникать, например, при формировании обратной связи или получении информации о моменте смены активной подсистемы для формирования управляющего воздействия (см. [46] и цитируемые там работы). Если переключения разных параметров системы происходят с одинаковой задержкой (одновременно), то в таком случае говорят о системе с синхронным законом переключений. Иначе — с асинхронным.

При анализе устойчивости систем с переключениями внимание прежде всего уделяется двум задачам. Первая — найти условия, при которых заданная система с запаздываниями и переключениями будет иметь устойчивое решение при произвольном законе переключений [37,77]. При такой постановке распространение получил метод общего функционала Ляпунова-Красовского, т. е. достаточно найти положительно определенный функционал, для которого производные вдоль решений каждой из подсистем были бы отрицательно определены.

Вторая задача заключается в поиске условий на закон переключений, которые бы обеспечи-

вали устойчивость выбранного решения гибридной системы с запаздыванием [79]. Здесь применяется метод составного функционала. Сначала строится свой функционал для каждой подсистемы. На каждом промежутке между соседними переключениями составной функционал совпадает с функционалом активной в это время подсистемы.

Здесь представим еще несколько определений и фактов, используемых в настоящей работе.

Определение 1.14. Квадратная матрица гурвицева, если все ее собственные числа находятся в левой комплексной полуплоскости.

Определение 1.15 [60]. Квадратная матрица метцлерова, если все ее внедиагональные элементы неотрицательны.

Определение 1.16 [60]. Квадратная матрица М называется диагонально устойчивой, если существует диагональная положительно определенная матрица Л такая, что матрица МТЛ + ЛМ отрицательно определена. Для краткости, будет использоваться фраза «М диагонально устойчива с матрицей Л».

Замечание 1.4. Из условий, что матрица А является метцлеровой и гурвицевой следует ее диагональная устойчивость [60].

Определение 1.17. Непрерывная векторная функция / : Ега м- Ега является функцией секторного типа, если ее компоненты /¿(ж) = /¿(ж^) и, кроме того, xifi(xi) > 0 при Xi = 0, для всех г = 1,... ,п.

Если / — функция степенного вида: /(ж) = (хф,... ,х^п )Т, причем ^ — рациональные положительные числа с нечетными знаменателями и числителями, то автоматически выполнится условие для секторных нелинейностей.

Определение 1.18 [18]. Функция / : Ега м Е1 является обобщенно-однородной функцией класса (51,..., вп) порядка где в1,... ,вп и ^ — положительные числа, если для любого с > 0 верно равенство {(с51 х1,..., свпхп) = с(ж1,..., хп) для всех х Е Ега.

Обобщенно-однородная функция класса (1,..., 1) порядка ^ > 0 называется однородной функцией.

Определим обобщенно-однородную норму [52]

1.3. Специальные матрицы и функции

(13)

Свойства обобщенно-однородных функций класса (в1,..., ,вп) порядка ^ [18].

• Для непрерывной обобщенно-однородной функции f (х) выполняются оценки

аЫ» ^ /(х) ^ /зИ

где

а = тт f(x), @ = тах f(x). 1|х||в = 1 ||х||а = 1

Для непрерывно-дифференцируемой обобщенно-однородной функции известно, что все част

д/0 дх

ные производные д/((х) также являются обобщенно-однородными функциями класса ( в 1,..., вп)

порядка ^ — 8г. Неравенство Юнга [80]. Пусть а ^ 0, Ь ^ 0 ир > 1, тогда

1 'п—1

аЬ ^-ар + --Ь^. (1.4)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Андриянова Наталья Романовна, 2026 год

- г„

< = - rmajу)т,..., а - sи)т, е)

где ^ = 1--т — компоненты вектора и — единичный столбец размерности п. Для того, чтобы

2г

компоненты вектора £ были положительными, выберем 8 достаточно малым. Проверим первые п неравенств системы условий (6.7):

V т а х

(1 - К)Еп(^ - гтах6 и) + к £ к<{) (£ - (гтах - г )8 у) < £ - гтах6 и. (6.8)

г=1

неравенство (6.8) с учетом равенства = Y1 ¿=i* Af^ примет вид

Введем матрицу А-я), для которой элементами будут а^, где г,] = 1,... ,п. При 8 = 0

М

(i - h)c + hA <е

Как было показано [39], для матриц с введенными векторами £ справедливо < £ для

всех s = 1,..., S. Тем самым, неравенство (6.8) выполнено и при малых 8 > 0. Следующие наборы по п неравенств из условия С(s\ < ( имеют вид:

С - (Гтах - j + 1)^ V < £ - (Т max - j)8 U, j = 1,... , ГтаХ

и всегда справедливы ввиду положительности 8.

Найденный вектор ( для всех s = 1,... ,S будет удовлетворять условиям (6.7), что влечет глобальную асимптотическую устойчивость системы (6.6) при любых переключениях и неотрицательных запаздываниях. ■

Пример. Продемонстрируем результат на примере четырех агентов и двух коммуникационных топологий, описанных в таблице 1. Выбран промежуток [0; 1] размещения агентов. Начальные значения xi(k0 - гтах), где г = 1,..., 4, при всех к0 = 0,..., гтах считаем постоянными, равными начальным позициям из таблицы 1.

№ агента Начальная Информаторы Информаторы

позиция а = 1 а = 2

1 0.6 {0,2} {0, 2, 4}

2 -0.1 {1,3} {0,5}

3 1.1 {2,4} {1,4}

4 0.2 {3,5} {2,3,5}

Таблица 1: Начальные положения и соседи агентов.

Запаздывания опишем матрицей Я с элементами г^, 1,] = 1,..

К

п:

0 2 3 5

1 0 1 2

0 2 0 1

4 1 3 0

= 1, , п.

Топология меняется по правилу: а(к) = 2 при к = г + 10(/ - 1), г = 0,..., 4 и а(к) = 1 при к = ] + 10(/ - 1), ] = 5,..., 9 с натуральными /.

Результат моделирования показан на рисунке 12, где по вертикальной оси отложены координаты агентов, а шаг дискретизации равен 1. Со временем наблюдается тенденция к перераспределению агентов на равноудаленные позиции согласно порядковым номерам.

0.8

0.6

0.4

0.2

с

Х1 -Х2-Х3-Х4

О О О О О О О О О О Я

О О О 8 О О О О (I

ОООффО^дрРООО |Ц—о о о о о о о о о о о

ООО

10 15 20 25 30

к

Рис. 12: Компоненты решения системы (6.6) с параметрами из примера.

1

0

0

5

6.2. Дискретная нелинейная мультиагентная система

с запаздыванием

В прошлом параграфе речь шла о равномерном расположении агентов. При покрытии мобильными датчиками некоторой кривой в соответствии с заданной целевой функцией возникает задача неравномерного размещения. Например, в работе [70] минимизируется максимальное время, необходимое сенсорной сети для достижения произвольной точки на кривой. Соответственно за целевую была принята функция

гт( Ч • d(Vi, q)

1 (qi,..., qn) = max min —--,

ges i£{1,...,n} \i

где q1,..., qn — позиции на кривой S С R, d(y, q) — расстояние между qиy,\i — максимальная скорость датчика с номером .

Теперь перейдем к задаче неравномерного размещения п агентов на отрезке [a; b] прямой. Пусть теперь точки х1,... ,xn таковы, что для некоторой строго возрастающей непрерывной функции д значения д(х1),..., g(xn) равномерно распределены на [д(а); д(Ь)], т. е.

g(Xi) = д(а) + —l— (д(Ь) - д(а)), г = 1,...,п. п + 1 V /

Такое размещение будем называть равномерным по отношению к функции .

Случай движения агентов в непрерывном времени был рассмотрен в [39], и при определенном управлении глобальная асимптотическая устойчивость равномерного по отношению к функции расположения обеспечивалась при произвольных запаздываниях и переключениях.

Будем предполагать глобальную липшицевость функции д: найдется L > 0, такая что Ig(х) — g(x)I ^ L|X — X| для всех х,х е (—го;

В данном параграфе, как и в предыдущем, динамику агентов зададим формулами (6.1). Протокол по-прежнему будет включать в себя информацию из предположений 6.2 и 6.3, а вместо 6.4 введем следующее

Предположение 6.5. Пусть каждому агенту с номером г е {1,..., п} известны величины

д^(к — г)) — д(х(к)), j е м(а(к)), к = 0,1,

где г 2 0 — постоянное целое запаздывание.

Таким образом, дискретная версия протокола из работы [39] представлена ниже:

иг(к) = к £ д(х, (к - г)) - д(хг(к}}) , г = 1,...,п, (6.9)

( )

где коэффициенты определяются по формулам (6.3), (6.4), (6.5) из предыдущего параграфа, шаг дискретизации к > 0.

С целью упрощения выкладок будет рассмотрено одинаковое для каждой связи между аген-

тами запаздывание. Тем не менее, результаты будут верными и для разных запаздываний. Система (6.1), замкнутая управлением (6.9), примет вид

хг(к + 1) = хг(к) + к Е а^з(к))( 9(хз (к - г)) - д(хг(к))), г=1,...,п. (6.10)

земф(к))

Можно убедиться, что х = (х1,..., хф) будет ее положением равновесия.

Теорема 6.2. Пусть выполнены предположения 6.1 - 6.3 и 6.5, тогда существует к > 0 такая, что положение х глобально асимптотически устойчиво для любого шага дискретизации к € (0; к), любого целого запаздывания г ^ 0 и при произвольном выборе закона смены топологии а.

Доказательство. С помощью замены г(к) = х(к) - х перейдем от (6.10) к системе

п

гг( к + 1) = гг( к) - к фг( гг( к)) + к^2^(к)) Фз ((к - г)), г = 1,...,п, (6.11)

=1

где Фг(г/) = д(Zi + х^ - д&). Ясно, что фг(0) = 0 и Хгфч(г/) > 0 для Zí = 0.

Как было показано в [39], для положительных 91,..., 9п, определенных по формулам

вг =1 - 2 , i=1,...,п,

справедливы неравенства

Е 4?вз < Ь, г=1,...,п, 8=1,...,Б. (6.12)

С такими величинами построим функционал Ляпунова - Красовского

п 1 ^,(к) г п г

V Ф(к)) = (1+1)^1 Ф! (№ + кЕЕ ¿Ш Ф1+1(^(к - *)) + к^М\Ф«к-т \!+1,

г=1 V * ™ 4=1 г=1 ъ 4=1

где — состояние системы (6.11), 7 — нечетное натуральное число, постоянные р > 0 и \а > 0, вектор Фф) = г1),..., фп(. Нетрудно проверить, что данный функционал положительно определен и V(г(к)) м при \\г(к)\\ м

Приращение функционала вдоль решений системы (6.11) имеет вид

" 1 Г^(к+1) п п

А V ( к, г(к)) = (4 +1) Е 1 ф! (№ + к Е -рт, ф!+1( ъ(к)) - к Е -¿+-1 ф!+1( * (к - Г)) + +к\\\\Ф(г(к)) \\1 - к\т \\Ф(г(к - г)) \\1 + к ^ - ^—1ШФ + 1 -

г= 1 г г=1 "г г=1 "г

\!+1

^а—1)\\ 1 1 *Л))\\ .

4=2

(6.13)

Примем \1 > ... > Хг > 0.

Первое слагаемое по теореме о среднем представим в виде

п 1 пг1(к+1) 1 п

(/У+1)Т,7Р & (№=Ь+^г(к)р1(гг(к)+игк^г(к)), (6.14)

=1 иг Зг1(к) Уг г=1

где Ахг( к) = гг(к + 1) — гг(к), шгк € (0; 1). Применим формулу конечных приращений Лагранжа

+ шгк А гг) = р7 (гг) + р7 (^ + шгк А гг) — р7 (гг) = = р7(гг) +1[рг(^г) + &гкПгк(гг, Агг)]7-1Пгк(гг, Агг),

вгк € (0; 1), а для функции Пгк(гг(к), Агг(к)) = рг(гг(к) + шгкАгг(к)) — рг(гг(к)) воспользуемся липшицевостью :

Пгк (^г (к), А %г( к)) = д( %г( к) + шгк А гг(к) + хг) — д( гг(к) + Хг) ^

п

^ шгкЦА гг(Щ = шгкЬ1г\ ^а^(к)) рз ((к — г)) — рг( Zг(к)) = &гк (<Рг( %г(к)), Ф(г(к — г

3 = 1

В итоге, правая часть равенства (6.14) имеет верхнюю оценку

, п п

(Л + 1)к Е [Е4" (ZJ(к — г)) — Рг(гг(к))

г =1 =1

(гг) +^[рг(гг) + вгкПгк(гг, Агг)]7 1Пгк(гг, Агг)) , которую в свою очередь можно ограничить сверху выражением

, ( п п ^

(4+1)к Е (Ъ(к))ъ (^ (к — г)) — £ У!+1( гг(к))\ + П (Ф(г(к)), Ф(г(к — г)))

г I г,з=1 г=1 )

где

и п п

к ^ / ^ (а(

ч_ 'гз 1рз(~з(

=1 =1

~ — 17-1—

Рг(гг(к)) + вгкПгк(фг(гг(к)), Ф(г(к — г))) Пгк(фг(гг(к)), Ф(г(к — г))).

П {Ф(г(к)), Ф(г(к — г))) = ^ + 1)к Е (Е а^(к))1'Рз((к — г))| + \рг( к)\) х

х

Теперь можно продолжить оценку приращения функционала (6.13) с учетом (6.12). При этом потребуем выполнения условий

(^ _Рг — в г_

Рг > 0г ша^ а)3->, 7 >

' ' 3г ' 'л ^-^п (в) г\

3=1 ег — шах3=1_8Т,з=1 щ/ °з

В нижней оценке на 7 знаменатель больше нуля согласно условию (6.12), однако числитель может оказаться отрицательным, поэтому сохраняем условие, что 7 нечетное и натуральное. Тогда

найдутся положительные коэффициенты К1,К2, К3, при которых справедливо

А V ^ -hK\1 Ф(г(к))\1 j+1 - hK\1 Ф(г(к - г))\\j+1 + hAd - \d-i)\Mz(k + 1

j+i

+

d=2

+к2к3(\\ФШ)\Г1 + \\Фф(к — г))\.

Таким образом заключаем, что отрицательная определенность (6.13) будет гарантирована при к < к, где к = • ш\п{К1, К2}. Выполняется оценка на приращение

А V ^ -hK \ \ Ф(г(k)) \ \j+1, К = min \ \d-i - \d,K ,К).

d=2,...,r [ 2 2 J

Наконец, можно применить теорему 1.2, которая завершает доказательство теоремы 6.2. ■

Пример. Пусть имеется 5 агентов. Задан промежуток [а;Ь] = [0; 3], шаг h = 1, запаздывание г = 2, функция g(z) = arctg(z) и начальные положения

(z1(к), z2(к), z3(к), z4(к), z5(к))1 =(4.1, -0.39, 0.4, 2.3, -0.22)

т

для к = — 2, — 1, 0. Переключения происходят между двумя топологиями, заданными матрицами смежности

М1

1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0

0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

0 0 1 0 1 0 0 , М2 = 0 1 0 0 1 0 1

0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0

0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1

при этом а(г + 10(1 — 1)) = 1 иаф + 10(1 — 1)) = 2 для всех г е {3,..., 7}ф е {0,1, 2, 8, 9}, где I пробегает все натуральные числа.

Результат моделирования представлен на рисунке 13. По поведению решения видно, что имеет место сходимость к требуемому распределению.

6.3. Сверхфинитная устойчивость мультиагентной системы

с непрерывным временем

Имеется ряд работ, где за счет специально сформированного децентрализованного управления гарантируется достижение нужных положений за конечное время [29, 38, 81]. Такого сорта управление называют сверхфинитным протоколом. Оно особенно полезно на практике. Так, проблема достижения консенсуса за конечное время для мультиагентных систем с импульсным управлением рассмотрена в статье [81].

Пусть на прямой имеется п агентов, положения которых задаются функциями хг : [0;м М1, г = 1,... ,п. Считаем теперь, что их динамика описывается скалярными дифференциальными

-

1Н-Л-

10 20 30

к

Рис. 13: Динамика агентов.

40

50

уравнениями

Х г

иг,

г = 1,

, п,

(6.15)

где децентрализованный закон управления иг : [0; м М1.

Задан кусочно-постоянный непрерывный справа закон переключений а : [0; м {1,..., 5} между Б коммуникационными топологиями. Воспользуемся обозначениями и для

множеств номеров левых и правых информаторов г-го агента в момент Ь е [0; причем

= ^ и задачей этого параграфа является достижение размещения агентов в

точки отрезка [а; Ь]

Хг

а +

п + 1

(Ь — а), 1 = 1,

п,

за конечное время.

Будем считать, что выполнены предположения 6.1 - 6.3.

Предположение 6.6. Каждый агент знает относительные расстояния до всех его текущих соседей:

Хзф) — хгф), г = 1,... ,п, где] е

- множество соседей г-ого агента в момент Ь ^ 0.

В работе [38] агенты получают информацию о расстояниях до какого-либо одного агента-информатора слева и одного - справа с возможностью переключения между коммуникационными топологиями. Построенный там сверхфинитный протокол обеспечивает равномерное размещение агентов на отрезке прямой. В отличие от [38], в данной работе количество информаторов может быть увеличено вплоть до включения всех участников в число информаторов.

Снова определим коэффициенты а^ по формулам (6.3), (6.4), (6.5) из параграфа 6.1. Пока-

х

х

х

х

х

2

3

4

5

3

2

1

0

0

жем, что в качестве протоколов щ подойдут функции щ = <(

4а)(*)= Е ^(ъ—хш

зем^

где р(г) = гр + ¿2хя, с положительными постоянными и ¿2. Показатели р е (0; 1) ид > 1 — рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями. Рассмотрим систему (6.15), замкнутую таким управлением:

Хг = <( г^), 1=1,...,п. (6.16)

Будем обозначать решение системы (6.16) с начальным условием х( 10) = х0 через х(Ь,х0, ¿0). Сформируем вектор х = (х1, ..., Хп)т. Нетрудно проверить, что х является положением равновесия системы (6.16).

Определение 6.1 [29]. Решение х(Ь) = х системы (6.16) сверхфинитно устойчиво (глобально устойчиво за фиксированное время), если 1) оно глобально асимптотически устойчиво, 2) для любой х0 существует Т(х0) 2 0, такое что х(Ь,х0, 10) = х для Ь 2 Ь + Т(х0), Ь0 2 0, 3) существует Ттах > 0 такое, что Т (х0 ) ^ Ттах для любых х0.

Пусть задана положительная строго возрастающая последовательность моментов переключений ^, 5 2,....

Теорема 6.3. Считаем, что выполнены предположения 6.1 - 6.3 и 6.6, тогда существует т > 0, такое что если длины отрезков между переключениями вз+1 — > т,] е Z+, торешение х(Ь) =х системы (6.16) сверхфинитно устойчиво.

Доказательство. Проведем замену у(Ь) = х(Ь) —х и придем к системе в отклонениях

Ф

у(*) = ф((а< — еп)у(г))

где А^» = [а^^г ,3=1,...,п, Ф( ^1,..., *п)= < ¿1),<( гп))Т. Для каждой подсистемы

^) = ф(а(^)), ве[1,...,Б}, (6.17)

матрицы А(а) = А(а) — Еп метцлеровы. Кроме того, как было показано в работе [39], существует вектор 9 с положительными компонентами 9г = 1 — 1, г = 1,... ,п, такой что А^в < в для всех 5 е [1,..., Б}. Тогда А(а) гурвицевы, а значит существуют положительные векторы г)(з\ такие что

(А(з))тг](з) < 0.

С найденными векторами г)(з\ в = 1,..., Б строятся функции Ляпунова

У3(у) = |А« У1Тп (6.18)

где модуль вектора — вектор модулей компонент. Про такие функции Ляпунова известно [38], что

они положительно определены, глобально липшицевы, и для них находится коэффициент ß ^ 1 из неравенств сравнения

Vi(y) ^ßV(у), i,3 = 1,...,S.

Достаточно рассмотреть ß > 1, т. к. при ß = 1 сверхфинитная устойчивость гарантируется при произвольном выборе закона переключений в связи с существованием общей функции Ляпунова [38].

Воспользуемся производной Дини

D+VMO) = lim + h» .

h^+0 h

Согласно теореме Иосидзавы о производной Дини [31] для функции (6.18) вдоль решений подсистемы (6.17)

n+w . V,(y(t) + h^(Ä(sy(t))) - Vs(y(t))

D+Vs(y(t)) < limn —-T---.

h^+0 h

Подробнее распишем выражение, стоящее под знаком предела:

( | Ä(s)y + hÄ(s)Ф(Ä( s) у) I т v (s) - |Ä(s) ylTV (s)) =1E I S s ) + h Т,а(?<р{&?)

=1

=1

- IS

( s ) I

где S( =Y^l=1 а((к yk. Имеет место следующее неравенство:

s(s) + h^р^ < hY^fi&f) + s(s) + hotf^&(s))

3=1 j=i

(s) + Пользуясь тем, что ауй = -1, получим оценку D+Vs:

D+Vs (у) ^ hHm0 h^^I^iSf)] + |s(s) - h^&(s))\- |S

i=1 3=i

( )

( )

( )

( s)

Заметим, что функция р секторного типа. Если значение &(3) = 0, то р(е\3') будет такого же знака, что и Иначе если б^ = 0, то и р(= 0. Тогда существует к > 0, зависящее от такое что для к е (0; к) знак б^ — кр(будет совпадать со знаком б^, откуда верно равенство

s(s) - hр(s^ - IS

(sb

( )

-hp(S(s)), если S(s) > 0

( )

hp(S( ), если S( < 0 = -hIр(S(s)) 0, если S(s) = 0

Из определения вектора rj(s\ и того, что |р(х^| = р(|х^), получим

п

d+vm ^ JE (^(ÄWy)f(Ä^y^) ^ -л=

i=1

п п п

= -л d1 \ £ äif yi Р + äif yi q) ,

i=1 3 = 1

где Л > 0. Воспользуемся свойством однородной функции

/ \ р ^ ^ £ Г^Л ^ а« £ |е^|р, а? = тах ( £ |хг|\

4 г=1 7 г=1 г=1

Аналогичное неравенство можно составить для суммы модулей в степени д из последней оценки 1)+У3(у). В итоге, с положительными коэффициентами а(я) = Хйх/а^ и ^^ = \й2/шахужу=1 1хг1^ справедливо

D+Vs(y) ^ -а<s)V?(y) -ß(S)V?(у), откуда при а = mine{1,...,s> аß = mine{1,...,s> ß^ приходим к оценке

D+Vs(y) ^ —aVg(y) -ßVt(y).

Теперь можно воспользоваться теоремой 1 из [38], которая позволяет получить т — оценку длительности переключений, гарантирующую сверхфинитную устойчивость, и, более того, оценку времени переходного процесса. ■

Результаты, изложенные в данной главе, были доложены на конференциях и опубликованы в сборниках [11,13,40].

Пример. Будем размещать четырех агентов на отрезке [0; 1]. В протоколе выберем постоянные = 1/5), d2 = 1,р = 3/5, q = 7/3. Переключения происходят в моменты 1, 2, 3,... между двумя коммуникационными топологиями с матрицами смежности

М1

начиная с первой.

Рассмотрены две ситуации, когда начальные данные а) х(0) = (0.6, -0.6, 1.1, 0.2)т; б) х(0) = (11, -3, -8, 5)т.

Графики были получены с помощью метода Рунге-Кутты 4 порядка с шагом 0.0001 и представлены на рисунках 14 и 15. Послед = 11 в обоих случаях норма разности численно полученного решения и желаемого размещения не превосходит 10-5.

/ 1 0 1 0 0 0 \ / 1 0 1 0 1 0 \

0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1

, м2 =

0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0

V 0 0 0 1 0 1 / V 0 0 1 1 0 1 /

0.5

0

-0.5

1______________

V

X У У У

Х1 2 х3 4

1

0 5 10 15

f

Рис. 14: Компоненты решения системы (6.16) в случае а).

Рис. 15: Компоненты решения системы (6.16) в случае б).

Заключение

В данной диссертации исследованы условия устойчивости для некоторых классов нелинейных систем с переключениями и сосредоточенными запаздываниями. Параллельно рассматривались две ситуации: когда переключение параметров системы происходит синхронно и асинхронно. Вместе с тем рассмотрены некоторые вопросы размещения агентов на заданном отрезке при переключающихся коммуникационных топологиях и задержках при обмене информацией. В ходе работы были получены следующие результаты:

1. Для гибридной системы, состоящей из подсистем типа Персидского найдены условия асимптотической устойчивости ее нулевого решения. Известные прежде условия в виде линейных матричных неравенств были ослаблены путем введения ограничений на закон переключения. Полученный результат остается в силе для системы, находящейся под действием нестационарных возмущений, которые удовлетворяют определенной оценке. Следует отметить, что при асинхронных переключениях параметров системы построенный функционал Ляпунова - Красовского позволяет исключить необходимость рассматривать расширенное семейство подсистем.

2. Проанализирована система Лурье с одним исполнительным органом, синхронными переключениями и запаздыванием. Получены условия на закон переключения и параметры системы, обеспечивающие асимптотическую устойчивость решений таких систем как с непрерывным, так и с дискретным временем. Важно отметить, что условия на параметры системы не зависят ни от запаздывания, ни от шага дискретизации, в то время как условия на закон переключения требуют учета этих факторов. Установлено, что шаг дискретизации должен быть достаточно мал, что необходимо учитывать при реализации систем на практике. В отличие от известных результатов, где достаточным условием было существование решений линейных матричных неравенств и не вводилось никаких ограничений на переключения, требуются менее жесткие условия на параметры системы. Кроме того, модификация составного функционала позволила сохранить форму найденных достаточных условий при наличии асинхронных переключений.

3. Функционал, представленный для системы Лурье со скалярным управлением, не удается применить в векторном случае. Эта трудность была разрешена построением нового составного функционала, который позволил вывести условия на параметры системы и закон переключения, достаточные для установления устойчивости нулевого решения. Кроме того, найдены условия на параметры системы, когда можно построить общий функционал, гарантирующий устойчивость нулевого решения при произвольных запаздываниях и переключениях. В синхронном случае эти условия оказываются более жесткими, чем в асинхронном.

4. Найдены робастные относительно запаздывания условия равномерной диссипативности систем типа Лурье без переключений. В случае возникновения переключений между системами Лурье удалось также построить общий функционал, который позволил получить достаточные условия, не зависящие ни от запаздываний, ни от переключений.

5. Предложен децентрализованный протокол управления для мультиагентной системы, задан-

ной интеграторами первого порядка, при переключающихся коммуникационных топологиях (более общего вида, чем изученные ранее). Доказано, что данный протокол обеспечивает глобальную, робастную по отношению к запаздыванию устойчивость. Решена задача как равномерного, так и неравномерного размещения агентов, заданных линейными дискретными уравнениями с запаздываниями. Для случая непрерывной мультиагентной системы с переключениями построен сверхфинитный протокол, обеспечивающий равномерное размещение за фиксированное время.

Полученные результаты могут найти свое применение в теории автоматического регулирования, при проектировании нейронных сетей или цифровых фильтров. Алгоритмы управления для мультиагентных систем, разработанные в главе 6 настоящей диссертации, могут быть использованы для эффективного координирования автономных устройств или при изучении стайного поведения.

В качестве дальнейшего теоретического исследования можно рассмотреть мультиагентную систему со вспомогательными агентами, выступающими в роли посредников при обмене информацией. Некоторые результаты также могут быть расширены на случай распределенных запаздываний. Для ослабления условий диссипативности системы Лурье можно пытаться строить составной функционал.

Автор выражает благодарность научному руководителю профессору А. Ю. Александрову за переданный ценный опыт в проведении исследований и написании научных работ.

Список литературы

[1] Александров А. Ю. Об асимптотической устойчивости и предельной ограниченности решений одного класса нелинейных систем с запаздыванием // Дифференциальные уравнения, 2023. T. 59. №4. С. 435-445.

[2] Александров А. Ю., Жабко A. П. Об устойчивости решений одного класса нелинейных разностных систем // Сибирский математический журнал, 2003. Т. 44, Вып. 6. С. 951-958.

[3] Александров А. Ю., Жабко А. П. Устойчивость разностных систем. НИИ Химии СПбГУ, 2003. 112 с.

[4] Александров А. Ю., Жабко А. П. Оценки решений нелинейных систем с запаздыванием на основе прямого метода Ляпунова / Сборник трудов VII международной конференции «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2014)». С. 3-5. Воронеж, 14-21 сентября 2014.

[5] Александров А. Ю., Жабко А. П., Платонов А. В. Устойчивость движений дискретных динамических систем. Санкт-Петербург: Издательский Дом Федоровой Г.В, 2015. 153 с.

[6] Александров А. Ю., Жан Й. Исследование условий предельной ограниченности движений механических систем на основе декомпозиции // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления, 2019. Т. 15. Вып. 2. С. 173-186.

[7] Александров А. Ю., Платонов А. В. Метод сравнения и устойчивость движений нелинейных систем. СПб.: Издательство Санкт-Петербургского униветситета, 2012. 263 с.

[8] Александров А. Ю., Семенов А. Д., Фрадков А. Л. Запаздывания и переключения не мешают размещать агентов на отрезке: дискретное время // Автоматика и телемеханика, 2020. № 4. С. 79-93.

[9] Амелин К. С., Антал Е. И., Васильев В. И., Граничина Н. О. Адаптивное управление автономной группой беспилотных летательных аппаратов // Стохастическая оптимизация в информатике. 2009. Т. 5. С. 157-166.

[10] Андриянова Н. Р. Анализ устойчивости системы Лурье со скалярным запаздывающим управлением и переключениями // Информационно-управляющие системы. 2023. Т. 127. Вып. 6. С. 2-11.

[11] Андриянова Н. Р. Задача равномерного распределения на отрезке для линейных мультиа-гентных дискретных систем с переключениями и запаздываниями // Процессы управления и устойчивость. 2023. Т. 10. № 1. С. 35-40.

[12] Андриянова Н. Р. Устойчивость системы типа Лурье с асинхронными и синхронными переключениями и постоянными запаздываниями // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2023. Т. 19. Вып. 3. С. 320-336.

[13] Андриянова Н. Р. Сверхфинитная устойчивость мультиагентной системы с переключениями //Процессы управления и устойчивость. 2024. Т. 11. № 1. С. 35-41.

[14] Андриянова Н. Р. Устойчивость дискретной системы Персидского с запаздыванием и переключениями // Системы управления и обработки информации. 2024. Т. 64. Вып. 1. C. 29-40.

[15] Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 2003. 615 c.

[16] Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.

[17] Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

[18] Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л: Судпромгиз, 1959. 324 с.

[19] Зубов В. И. Устойчивость движения. Высшая школа, 1973. 272 с.

[20] Йосидзава Т. Функция Ляпунова и ограниченность решений // Математика, 1965. Т. 9. Вып. 5. С. 95-127.

[21] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 543 с.

[22] Косов А. А., Козлов М. В. Об асимптотической устойчивости однородных сингулярных систем с переключениями // Автоматика и телемеханика, 2019. Вып. 3. С. 45-54.

[23] Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1973. 280 с.

[24] Летов А .М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М.: Физматлит, 1962. 483 с.

[25] Лефшец С. Устойчивость нелинейных систем автоматического управления. Пер. с англ. Э. Л.Наппельбаума М.: Мир, 1967. 183 с.

[26] Лурье А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М-Л: Гос. изд-во технико-теоретич. литературы, 1951. 216 с.

[27] Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. Изд. 3. М.: Наука, 1987. 304 с.

[28] Морозова Н. С. Децентрализованное управление движением строя роботов при динамически изменяющихся условиях // Искусственный интеллект и принятие решений. 2015. №. 1. С. 65-74.

[29] Парсегов С. Э., Поляков А. Е., Щербаков П. С. Достижение равноудаленного расположения агентов на отрезке за заданное время // Доклады Академии наук. Федеральное государственное бюджетное учреждение" Российская академия наук", 2013. Т. 448, № 5. С. 524-524.

[30] Персидский С. К. К вопросу об абсолютной устойчивости // Автоматика и телемеханика, 1969. Вып. 12. С. 5-11.

[31] Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. Пер. с англ. В. Н. Рубановского и др. / под ред. В. В. Румянцева. М.: Мир, 1980. 300 с.

[32] Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 с.

[33] Aleksandrov A. Y. Conditions of the Stability Preservation Under Discretization of a Class of Nonlinear Time-Delay Systems / International Conference on Numerical Computations: Theory and Algorithms. P. 271-279. Springer, Cham, 2019.

[34] Aleksandrov A. Y. On the existence of a common Lyapunov function for a family of nonlinear positive systems // Systems & Control Letters, 2021. Vol. 147.

[35] Aleksandrov A., Aleksandrova E. Asymptotic stability conditions for a class of hybrid mechanical systems with switched nonlinear positional forces // Nonlinear Dynamics, 2016. Vol. 83. P. 2427-2434.

[36] Aleksandrov A. Yu., Aleksandrova E. B. Delay-Independent Stability Conditions For a Class of Nonlinear Difference Systems // J. Frankl. Inst.-Eng. Appl. Math., 2018. Vol. 355, no. 7. P. 3367-3380.

[37] Aleksandrov A., Aleksandrova E., Zhabko A. Stability analysis of some classes of nonlinear switched systems with time delay // International Journal of Systems Science. 2017. Vol. 48, no. 10. P. 2111-2119.

[38] Aleksandrov A. Y., Andriyanova N. R. Fixed-time stability of switched systems with application to a problem of formation control //Nonlinear Analysis: Hybrid Systems, 2021. Vol. 40.

[39] Aleksandrov A. Y., Andriyanova N. R. Distributed algorithms for mobile agent deployment on a line segment under switching topology and communication delays // IEEE Control Systems Letters, 2022. Vol. 6. P. 3218-3223.

[40] Aleksandrov A., Andriyanova N. A Problem of Nonuniform Deployment for a Discrete-time Multiagent System / 2023 7th Scientific School Dynamics of Complex Networks and their Applications (DCNA). P. 7-10. IEEE, 2023.

[41] Aleksandrov A. Y., Andriyanova N. R. Stability analysis of Lur'e indirect control systems with time delay and multiple nonlinearities // Int. J. Dynam. Control, 2023. Vol. 11, no. 6. P. 3074-3083.

[42] Aleksandrov A., Andriyanova N., Efimov D. Stability analysis of Persidskii time-delay systems with synchronous and asynchronous switching // International Journal of Robust and Nonlinear Control, 2022. Vol. 32, iss. 6. P. 3266-3280.

[43] Aleksandrov A., Efimov D. Stability analysis of switched homogeneous time-delay systems under synchronous and asynchronous commutation//Nonlinear Analysis: Hybrid Systems. 2021. Vol. 42.

[44] Aleksandrov A., Fradkov A., Semenov A. Delayed and switched control of formations on a line segment: Delays and switches do not matter // IEEE Transactions on Automatic Control, 2020. Vol. 65, no. 2. P. 794-800.

[45] Aleksandrov A. Yu., Kosov A. A., Platonov A. V. On the asymptotic stability of switched homogeneous systems // Systems and Control Letters, 2012. Vol. 61. P 127-133.

[46] Aleksandrov A. Y., Stepenko N. A. Stability analysis of gyroscopic systems with delay under synchronous and asynchronous switching // Journal of Applied and Computational Mechanics, 2022. Vol. 8, no. 3. P. 1113-1119.

[47] Andriyanova N. Uniform Ultimate Boundedness of Lur'e Systems with Switchings and Delays // The Bulletin Of Irkutsk State University. Series: Mathematics, 2024. Vol. 49. P. 63-77.

[48] Athanassov Z. S. Positive definite functions in stability theory // Applicable Analysis, 1986. Vol. 23, no. 3. P. 159-164.

[49] Berlekamp E. R., Gilbert E. N., Sinden F. W. A polygon problem // The American Mathematical Monthly, 1965. Vol. 72, no. 3. P. 233-241.

[50] Branicky M. S. Multiple Lyapunov functions and other analysis tools for switched and hybrid systems // IEEE Transactions on Automatic Control, 1998. Vol. 43, no. 4., P. 475-482.

[51] Brown T. X. Neural networks for switching // IEEE Communication Magazine, 1989. P. 72-81.

[52] Efimov D., Aleksandrov A. Analysis of robustness of homogeneous systems with time delays using Lyapunov--Krasovskii functionals // International Journal of Robust and Nonlinear Control, 2021. Vol. 31, no. 9. P. 3730-3746.

[53] Efimov D., Ushirobira R., Moreno J. A., Perruquetti W. Homogeneous Lyapunov functions: from converse design to numerical implementation// SIAM Journal on Control and Optimization, 2018. Vol. 56, no. 5. P. 3454-3477.

[54] Ferreira L. V., Kaszkurewicz E., Bhaya A. Convergence analysis of neural networks that solve linear programming problems // Proceedings of the 2002 International Joint Conference on Neural Networks. IJCNN'02 (Cat. No. 02CH37290). IEEE, 2002. Vol. 3. P. 2476-2481.

[55] Gendelman O., Lamarque C. Dynamics of linear oscillator coupled to strongly nonlinear attachment with multiple states of equilibrium // Chaos, Solitons & Fractals, 2005. Vol. 24, no.

2. P. 501-509.

[56] Gu K., Kharitonov V .L., Chen J. Stability of Time-Delay Systems. Control Engineering Series. Birkhauser, Boston USA, 2003. 356 p.

[57] Hahn W. Stability of motion. Berlin : Springer, 1967. Vol. 138.

[58] Hopfield J. J., Tank D. W. Computing with neural circuits: A model // Science, 1986. Vol. 233, no. 4764. P. 625-633.

[59] Huang H., Qu Y., Li H. X. Robust stability analysis of switched Hopfield neural networks with time-varying delay under uncertainty // Physics Letters A, 2005. Vol. 345, no. 4-6. P. 345-354.

[60] Kaszkurewicz E., Bhaya A. Matrix diagonal stability in systems and computation. Boston, MA: Birkhauser, 1999. 352 p.

[61] Kolmanovsky I., McClamroch N. H. Hybrid feedback laws for a class of cascade nonlinear control systems // IEEE Transactions on Automatic Control, 1996. Vol. 41, no. 9. P. 1271-1282.

[62] Kolmanovskii V. B., Myshkis A. D. Introduction to the theory and Applications of Functional Differential Equations. Kluver, Dordrecht, 1999. 648 p.

[63] Lee D., Sanyal A. K., Butcher E. A. Asymptotic tracking control for spacecraft formation flying with decentralized collision avoidance // Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2015. Vol. 38, no. 4. P. 587-600.

[64] Liao X., Yu P. Absolute stability of nonlinear control systems. Dordrecht: Springer Netherlands, 2008. 178 p.

[65] Liberzon D. Switching in Systems and Control. Birkhauser. Boston, MA, 2003. 233 p.

[66] Liberzon D., Morse A. S. Basic problems in stability and design of switched systems // IEEE Control Syst, 1999. Vol. 19, no. 5. P. 59-70.

[67] Mei W., Efimov D., Ushirobira R., Fridman E. On Delay-Dependent Conditions of ISS for Generalized Persidskii Systems // IEEE Transactions on Automatic Control, 2023. Vol. 68, no. 7. P. 4225-4232.

[68] Mou S., Ga H., Lam J., Qiang W. A new criterion of delay-dependent asymptotic stability for Hopfield neural networks with time delay // IEEE Transactions on Neural Networks, 2008. Vol. 19, no. 3. P. 532-535.

[69] Ni J., Zhao Y., Cao J., Li W. Fixed-time practical consensus tracking of multi-agent systems with communication delay // IEEE Transactions on Network Science and Engineering, 2022. Vol. 9, no.

3. P. 1319-1334.

[70] Qu Y., Xu H., Song C., Fan Y. Coverage control for mobile sensor networks with time-varying communication delays on a closed curve // Journal of the Franklin Institute, 2020. Vol. 357, no. 17. P. 12109-12124.

[71] Rakaric Z., Kovacic I. Approximations for motion of the oscillators with a non-negative real-power restoring force // Journal of Sound and Vibration, 2011. Vol. 330, no. 2. P. 321-336.

[72] Shcherbakov P. S. Formation control: the van loan setup and other algorithms // Upravlenie Bol'shimi Sistemami, 2010. Vol. 30, no. 1. P. 681-696.

[73] Taghieh A., Mohammadzadeh A., Tavoosi J., Mobayen S., Rojsiraphisal T., Asad J. H., Zhilenkov A. Observer-based control for nonlinear time-delayed asynchronously switching systems: A new LMI approach // Mathematics, 2021. Vol. 9, no. 22.

[74] Vidyasagar M. Nonlinear systems analysis. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1993. 498 p.

[75] Wagner I. A., Bruckstein A. M. Row straightening via local interactions // Circuits, Systems and Signal Processing, 1997. Vol. 16. P. 287-305.

[76] Wang J., Ding X., Wang C., Zuo Z., Ding Z. Affine formation control of general linear multi-agent systems with delays //Unmanned Systems, 2023. Vol. 11, no. 02. P. 123-132.

[77] Xu X., Zhai G., He S. On practical asymptotic stabilizability of switched affine systems // Nonlinear Analysis: Hybrid Systems, 2008. Vol. 2, no. 1. P. 196-208.

[78] Yang J. A consensus control for a multi-agent system with unknown time-varying communication delays // IEEE Access, 2021. Vol. 9. P. 55844-55852.

[79] Yang X., Liu Y., Cao J., Rutkowski L. Synchronization of coupled time-delay neural networks with mode-dependent average dwell time switching // IEEE transactions on neural networks and learning systems, 2020. Vol. 31, no. 12. P. 5483-5496.

[80] Young W. H. On classes of summable functions and their Fourier series // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character, 1912. Vol. 87, no. 594. P. 225-229.

[81] Zhai X., Wen G., Peng Z., Zhang, X. Leaderless and leader-following fixed-time consensus for multiagent systems via impulsive control // International Journal of Robust and Nonlinear Control, 2020. Vol. 30, no. 13. P. 5253-5266.