Анализ временных методов оценки спектральных характеристик широкополосных доплеровских сигналов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.04, кандидат технических наук Брыжин, Александр Алексеевич

• Брыжин, Александр Алексеевич
• кандидат технических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат технических наук Брыжин, Александр Алексеевич

Введение.

1 .Методы оценки параметров спектра широкополосных сигналов во временной области.

1.1. Модели сигналов.

1.2. Метод моментов в задачах оценки спектральных параметров сигнала.

1.2.1 .Оценка средней частоты сигнала по амплитудному спектру сигнала.

1.2.2.0ценка спектральных параметров по энергетическому спектру сигнала.

1.2.3. Точность и помехоустойчивость вычисления средней частоты сигнала методом моментов. 24.

1.3 .Методы оценки средней частоты сигнала во временной области. 1.3.1 .Оценка средней частоты сигнала методом квазичастоты.

1.4.0ценка средней частоты сигнала с использованием преобразования Гильберта.

Выводы.

2. Оценка спектральных параметров сигнала во временной области методом дробного дифференцирования.

2.1 .Оценка ширины энергетического спектра сигнала.

2.2.Метод дробного дифференцирования при оценке центра тяжести энергетического спектра сигнала.

2.2.1 .Алгоритм оценки центра тяжести энергетического спектра с вычислением дробной производной сигнала.

2.3.Математический аппарат дробного дифференцирования.

2.3.1.Обобщение операторов дифференцирования на нецелые порядки.

2.3.2.0собенности дробного дифференцирования.

2.4.Методы вычисления дробных производных электрических сигналов.

2.4.1.Частотная характеристика дробно-дифференцирующего фильтра.

2.4.2.Импульсная характеристика дробно-дифференцирующего фильтра.

Выводы.

3.Статистические исследования методов определения параметров спектра широкополосного сигнала.

3.1. Построение алгоритмов дробного дифференцирования при оценке центра тяжести спектра в частотной области.

3.2.Вычисление дробной производной сигнала на основе дифференцирующих звеньев.

3.3 .Результаты численного моделирования.

3.4. Построение алгоритмов дробного дифференцирования при оценке центра тяжести спектра во временной области.

3.4.1 .Оператор дробной производной Римана - Лиувилля.

3.4.2. Оценка центра тяжести спектра с использованием дробной производной Риммана-Лиувилля.

3.4.3.Аппроксимация дробной производной Риммана-Лиувилля методом Прони.

3.5.Построение дробно-дифференцирующего фильтра по импульсной характеристике.

3.5.1 .Измерение центра тяжести спектра с использованием импульсной характеристики дробно-дифференцирующего фильтра.

3.5.2. Оценка средней частоты дробно-дифференцирующим фильтром, аппроксимированным по методу Прони.

Выводы.

4. Практические задачи оценки спектральных параметров доплеровских сигналов.

4.1.Оценка амплитуды колебаний вибрирующей поверхности по сигналу лазерного доплеровского виброметра.

4.1.1 .Сигнал лазерного доплеровского виброметра.

4.1.2.0ценка амплитуды вибраций методом максимального правдоподобия.

4.2.Измеритель средней частоты, использующий дробное дифференцирование сигнала.

4.2.1. Дробно-дифференцирующий фильтр.

4.2.2. Схема возведения в квадрат и нормирующий усилитель.

4.2.3 .Генератор, управляемый напряжением и схема коррекции частоты.

4.2.4. Результаты практических измерений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ временных методов оценки спектральных характеристик широкополосных доплеровских сигналов»

Среди задач, связанных с радиотехническими измерениями, одной из наиболее важных является задача оценки таких параметров спектра радиосигналов, как средняя частота и ширина его спектра.

Понятие частоты строго определено только для гармонических колебаний, бесконечно протяженных во времени. При исследовании широкополосных сигналов (здесь и в дальнейшем под "широкополосными" будем подразумевать радиосигналы, ширина спектра которых соизмерима с их центральной частотой) задача определения частоты колебаний представляет собой серьезную проблему. Эта задача осложняется необходимостью оперативного оценивания данных величин на достаточно коротком (по сравнению со всей длительностью процесса) интервале наблюдения [1, 12, 22]. Кроме того, сигналы, встречающиеся на практике, всегда финитны, и в подавляющем большинстве случаев не являются гармоническими. В таких случаях целесообразно оперировать оценкой центральной ("несущей") или "средней" частоты сигнала.

Существует несколько способов определения центральной частоты радиосигналов [2, 3].

Одним из первых методов оценивания частоты колебаний является частотный детектор. Напряжение на выходе частотного детектора отражает закон изменения частоты модулированного входного колебания. Частотный детектор представляет собой сочетание двух основных частей:

1) Избирательной линейной цепи, преобразующей частотную модуляцию в амплитудную;

2) Амплитудного детектора.

В качестве избирательной линейной цепи может быть использована любая цепь, обладающая неравномерной частотной характеристикой, например, резонансный колебательный контур.

Исходя из схемотехнических особенностей частотного детектора, можно сделать вывод, что недостатком рассмотренной схемы является необходимость настройки контура на частоту, отличную от частоты входного сигнала. Кроме того, колебательный контур имеет ограниченный линейный участок на скате резонансной кривой, вследствие чего такой частотный детектор работает лишь в узком частотном диапазоне.

Представленный метод частотного детектирования сигналов получил широкое распространение. Множество схемных реализаций, например, двухконтурный частотный детектор, дискриминатор с расстроенными контурами и т.д. описаны в литературе [1, 3,4, 21].

В теоретической радиотехнике для определения спектральных параметров, в частности центральной частоты, широко используется подход, где за центральную частоту принимается центр тяжести энергетического спектра сигнала, рассчитанный по методу моментов [2, 3, 28]. Такое определение удобно в теоретических расчетах и практических приложениях. Так, например, в радиолокации значение центра тяжести энергетического спектра доплеровского сигнала определяет скорость движения центра масс объекта. Среднее значение частоты при этом соответствует средней скорости движения [5], что позволяет производить прогноз траектории цели.

В задачах радиолокационных измерений, наиболее интересны задачи, связанные с оценкой скорости движения и распознаванием целей. Эти задачи могут быть решены путем спектрального анализа сигналов и напрямую связаны с оценкой параметров их спектра: средняя скорость движения определяется средней частотой доплеровского сигнала; по ширине спектра можно судить о характере движения объекта [5]. Такая информация может быть получена при помощи спектрального анализа, что приводит к необходимости использования преобразования Фурье.

Преобразование Фурье применяют при аналитических исследованиях физических процессов [88, 6, 7]. Оно позволяет представить сложный процесс множеством гармонических колебаний с соответствующими амплитудами и фазами при выполнении условия абсолютной интегрируемости сигнала:

00

Цл;(/)|2^<оо.

00

Совокупность амплитуд и начальных фаз, привязанных к некоторому началу отсчета, называют спектром сигнала ¿"(со).

Периодический сигнал *(/)=+ тТ), где Т - период сигнала, (т = 1,2,3,.) может быть разложен в ряд Фурье по гармоническим колебаниям с кратными частотами ^ САеуШ/; О = — - основная частота сигнала. к т

Совокупность коэффициентов разложения \ск} представляет собой так называемый "дискретный" спектр сигнала д;(/). Эти коэффициенты вычисляются как проекции сигнала на базисные функции определяемые скалярным произведением:

В случае одиночных сигналов, сигнал хи его непрерывный спектр 5(со) связаны друг с другом прямым и обратным преобразованиями Фурье [1,8]. Je^'dtD dt' =

271 v -00 -00 = F-'{FW0J}.

Внутренний интеграл - комплекснозначную функцию £(о>) -называют "спектральной плотностью амплитуды" [1] или просто "спектром".

Спектральный анализ включает в себя различные средства обработки сигналов. В процессе развития методов цифровой обработки разработано множество алгоритмов анализа цифровых сигналов в скользящем режиме наблюдения ограниченных выборок на основе быстрого преобразования Фурье (БПФ) (Кули-Тьюки, Рейдера, Макклелана, Дэвиса, Тома-Кука и др.), хорошо описанных в монографиях и многих публикациях [2, 9, 10].

Впервые предложение об использовании дискретного преобразования Фурье (ДПФ) было сделано Г. Стоксом в 1879 г. [10]. Развитие теории ДПФ связано с именами Н.Винера, А.Н.Колмогорова, Грамера, Ф.К. Бартлетта, Д.У. Тьюки и др. Важное место в теории цифровой фильтрации занимают труды П.Л.Чебышева, Кайзера, Шаффера [И].

Основы БПФ, как отмечается в литературе[9, 12], впервые были сформулированы Рунге и Кенигом еще в 1924 г. В 1965 г. Дж. Кули и Д.У. Тьюки развили БПФ до практических методик цифровой обработки сигналов на ЭВМ. Методы вычисления БПФ интенсивно разрабатываются и являются предметом поисков для многих исследователей и в настоящее время [9, 13, 14, 89, 90]. К семидесятым годам XX века выделился ряд других направлений в создании процедур быстрых вычислений коэффициентов Фурье, например связанных с алгоритмами Винограда [14], однако их использование по сравнению с алгоритмом БПФ менее распространено.

Следует отметить, что алгоритмы ДПФ эффективно применяются главным образом в тех случаях, когда анализ проводится при наличии полной выборки обрабатываемого сигнала, по которой надо предельно быстро вычислить составляющие комплексных коэффициентов или другие спектральные параметры. Поэтому в большинстве случаев ДПФ описывается как "скачущий" алгоритм с шагом наблюдения сигнала равным размеру выборки [12]. Алгоритмы ДПФ теряют в быстродействии по сравнению с рекуррентными способами вычисления комплексных коэффициентов Фурье [12, 14]. Р.Д. Лейтес и В.Н. Соболев [15] впервые описали рекуррентные соотношения для ДПФ, которые составляют основу цифрового динамического спектрального анализа. Известны и другие работы [16, 17], в которых рассмотрены частные рекуррентные формулы для вычисления ДПФ. Методы, основанные на рекуррентных соотношениях, в систематизированном виде и достаточно полно, представлены в работе [12].

При практической реализации алгоритма измерения средней частоты практически всегда присутствует ограничение длины окна наблюдения (при ограничении длительности выборки говорят о применении прямоугольного окна данных).

Прямое усечение окна наблюдения сигнала функцией гес^/Т) приводит к искажению спектра сигнала. Как известно, в этом случае рассчитанный спектр будет представлять собой свертку истинного спектра сигнала со спектром функции прямоугольного временного окна - 8тс(оз7'/2) [1]. Из-за просачивания боковых лепестков функции 8тс[Г(с1) + О.)/2] возникает дополнительная погрешность в спектральных оценках. Скорость убывания спектра прямоугольного окна порядка 1/со, и поэтому результирующий спектр получается "размытым" по частоте. Точность оценки спектра можно улучшить, если использовать вместо прямоугольного другое окно с большей скоростью убывания спектра. Ниже приведено несколько примеров подобных окон (предполагается, что исходный сигнал задан на интервале наблюдения t е\-Т/2,Т/2\). Более подробно весовые окна рассмотрены в работе [8].

1) Треугольное окно - окно Бартлетта: f(t) = 1 - 2| / \/Т.

2) Окно cos2 — окно Ханна: f(t) = cos2(л • 0,5 + 0,5cos(2;u •

3) Окно Хемминга - приподнятый косинус: f{t)=0,54 + 0,46cos(2tc • j/^

Коэффициенты окна Хемминга выбраны из условия равенства нулю 2-ой (максимальной из боковых) гармоники спектра окна.

4) Окно Натолла /(/) = cos^icr • j/^ является результатом развития г=0 идеи Хемминга: коэффициенты выбираются из условия равенства нулю R ближайших боковых лепестков. Например, при R = 3: а0 =0,3635819 а2= 0,1365995 а, =0,4891775 а4 =0,0106411

5) Окно Гаусса: f(t)= ехр

-12а1 21 Т

Это окно обладает наибольшей скоростью убывания боковых лепестков при со->оо. Коэффициент а обычно выбирается из диапазона [2.3] и позволяет регулировать ширину окна во временной области, и, следовательно, скорость убывания и ширину центрального лепестка спектра.

6) Окно Дольфа - Чебышева (равноволновое), особенностью которого является равенство амплитуд всех боковых лепестков спектра окна, за счет чего достигается наибольшее подавление боковых лепестков при заданной ширине центрального лепестка, либо минимальная ширина основного лепестка при заданном уровне боковых лепестков. Это окно было сразу разработано для анализа дискретных сигналов, спектр которых обладает свойством периодичности. Непрерывный аналог данного окна не найден.

Частотная характеристика фильтра, реализующего весовую функцию Дольфа- Чебышева, описывается соотношением:

Ф)= , (го со8[СО/2СО5]), где со5— частота дискретизации, Тых{г) — полином Чебышева первого рода (А^-^-го порядка, определяемый формулой:

ТМА (г) = собрат - ОагссоБ^)], |2|<1.При заданной длине выборки N параметр г0 определяется, исходя из заданного уровня боковых лепестков к :

0 и)

Амплитуда основного лепестка равна единице, амплитуды боковых лепестков равны к. Весовые коэффициенты весовой функции Дольфа-Чебышева обычно определяют методом обратного дискретного преобразования Фурье от спектральной характеристики, однако их можно найти и непосредственно [8]:

4 ; £0(И-п-к-\).к\(п-к): По этой формуле находят коэффициенты а{п) для п от 0 до Ь, где Ь = И/2-1 при четном N и Ь = {И-1)/2 при нечетном N. Остальные коэффициенты определяются из условия четной симметрии весовой функции. Полученные коэффициенты необходимо нормировать таким образом, чтобы их сумма равнялась единице.

Применение временных окон Бартлетта, Ханна, Наттола, Хемминга и т.д. [8, 18, 19, 20] значительно уменьшает эффект просачивания боковых лепестков в область положительных частот, что, в свою очередь, приводит к увеличению точности оценки. Платой за большую скорость убывания боковых лепестков является расширение центрального лепестка спектра окна, поэтому на практике необходимо выбирать компромисс между скоростью спада боковых лепестков и шириной центрального лепестка. Такая оценка спектральной плотности является асимптотически несмещенной, однако не является состоятельной [8].

Применение методов цифровой обработки сигнала предоставляет широкие возможности при построении средств измерений. При этом достижение новых, высокоэффективных показателей, в том числе по точности, помехоустойчивости, чувствительности и быстродействию измерительных процедур, приводит к усложнению автоматизированных средств измерений [21]. Сложность создания высокоточных средств измерений, удовлетворяющих жестким требованиям к быстродействию оценки параметров спектра широкополосных сигналов и определяет актуальность настоящей работы.

Целью диссертационной работы является анализ методов и разработка алгоритмов для повышения точности и быстродействия оценки средней частоты сигналов во временной области для радиотехнических измерительных систем, а также исследование точности и помехоустойчивости работы таких систем при обработке широкополосных сигналов.

Основные задачи исследования:

1. Исследование методов оценок средней частоты широкополосных сигналов во временной области.

2. Разработка новых эффективных алгоритмов оценок средней частоты широкополосных сигналов во временной области, допускающих проведение синтеза как аналоговых, так и цифровых измерительных систем.

3. Исследование помехоустойчивости и точности разработанных методов и алгоритмов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Алгоритмическая реализация метода оценки средней частоты спектра широкополосных сигналов путем использования дробного дифференцирования сигнала.

2. Способы вычисления дробных производных электрических сигналов порядка 1/2.

3. Алгоритмы оценки средней частоты широкополосных сигналов во временной области и структуры фильтров, выполняющих операцию дробного дифференцирования.

4. Результаты численного исследования точностных характеристик разработанных алгоритмов.

Структура работы.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения , списка литературы (92 наименования) и шести приложений.

В первой главе работы описываются основные методы оценивания спектральных параметров сигналов во временной области. Методом статистического моделирования исследована точность оценки средней частоты сигнала с использованием метода моментов при различных весовых функциях. Проведен анализ метода квазичастоты и метода, основанного на использовании преобразования Гильберта при оценке средней частоты сигналов.

Вторая глава посвящена описанию метода оценки средней частоты сигнала во временной области, использующего аппарат дробного дифференцирования. Представлены частотная и импульсная характеристика фильтра, выполняющего операцию дробного дифференцирования порядка 1/2.

В третьей главе рассматриваются возможности метода оценки средней частоты сигнала с использованием операции дробного дифференцирования порядка 1/2. Приводятся варианты синтеза фильтра, выполняющего операцию дробного дифференцирования. Проводится численное моделирование, анализируются точность и помехоустойчивость алгоритмов оценки средней частоты сигнала.

В четвертой главе рассмотрены оценки средней частоты спектра сигнала в применении к практическим задачам. Описан аналоговый измеритель средней частоты широкополосного сигнала.

В заключении диссертации сформулированы основные результаты работы.

Некоторые математические выкладки, отдельные пояснения и принципиальные схемы приведены в приложениях.

Заключение диссертации по теме «Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения», Брыжин, Александр Алексеевич

Выводы и рекомендации.

1. Из представленных результатов видно, что характеристики макета измерителя центральной частоты широкополосного сигнала позволяют использовать его в качестве устройства для демонстрации метода дробного дифференцирования. Тем не менее очевидно, что большая погрешность определения частоты (порядка 10%) не дает возможности использования макета в измерительных целях.

2. Другим фактором, влияющим на качество работы прибора, является то, что точность его работы находится в сильной зависимости от частоты сигнала, что обусловлено ограниченностью частотного диапазона, в котором работает макет.

3. Для улучшения параметров устройства необходимо повысить точность преобразований сигнала, либо использовать альтернативные способы реализации данного алгоритма.

Заключение

В настоящей диссертационной работе исследован ряд важных вопросов, связанных с компьютерной обработкой сигнала при исследовании временных методов оценки спектральных характеристик широкополосных сигналов. Подводя краткий итог исследования, отметим следующие основные результаты.

1. В работе рассмотрены методы оценки средней частоты широкополосных сигналов без спектральной обработки.

2. Описан метод моментов в применении к задаче определения средней частоты широкополосного сигнала.

3. Исследован метод оценки центра тяжести спектра широкополосного колебания, использующий математический аппарат дробного дифференцирования. Проведен анализ эффективности работы метода. Отмечается, что представленный метод достаточно экономичен с точки зрения использования машинной памяти.

4. Предложен способ вычисления дробной производной сигнала с аппроксимацией оператора дробного дифференцирования порядка 1/2 дифференцирующими звеньями целочисленных порядков.

5. Разработан ряд алгоритмов построения фильтров, реализующих выполнение операции дробного дифференцирования сигнала.

6. Произведена экспериментальная проверка (численное моделирование) метода дробного дифференцирования при оценке средней частоты сигнала. Исследована помехоустойчивость ряда алгоритмов оценки спектральных характеристик широкополосных сигналов. Показано, что представленные алгоритмы могут быть применены при обработке широкополосных зашумленных сигналов.

7. Разработан и изготовлен макет измерителя средней частоты, использующий дробное дифференцирование сигнала. Проведены практические измерения по оценке средней частоты сигнала, подтверждающие работоспособность метода.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю д.т.н., профессору кафедры Радиофизики ВолГУ Владимиру Дмитриевичу Захарченко за постоянное и внимательное руководство.

Автор считает приятным долгом поблагодарить к.ф-м.н. А.Ф. Васильева за ценные советы и указания, полученные в процессе работы над диссертацией.

Автор благодарен сотрудникам кафедры Радиофизики ВолГУ за многочисленные ценные замечания и обсуждение работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Брыжин, Александр Алексеевич, 2003 год

1. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы// Учебник для вузов.- 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Радио и связь - 1986. - 512 с.

2. Френке JI. Теория сигналов// Перевод с англ. Под ред. Д.Е.Вакмана.- М.:Сов.радио. 1974.

3. Вайнштейн Л.А., Вакман Д.Е. Разделение частот в теории колебаний и волн. -М: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1983. - 288 с.

4. Левичев В.Г. Радиопередающие и радиоприемные устройства// Изд.З-е, переработ, и дополн. М.: Воениздат, 1974. - 510 с.

5. Фарина А., Студер Ф. Цифровая обработка радиолокационной информации. Сопровождение целей// Пер. с англ.- М.: Радио и связь -1993.-320 с.

6. Васильев В.Н., Гуров И.П. Компьютерная обработка сигналов в приложении к интерферометрическим системам. — СПб.: БХВ — 1998.- 240 с.

7. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях. М.: Мир - 1983 - Т. 1.- 311 с.

8. Марпл-мл. С.Л. Цифровой Спектральный анализ и его приложения// Пер.с англ. М.: Мир - 1990. - 584 с.

9. Нуссбаумер Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток. М.: Радио и связь - 1985. - 248 с.

10. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория// Пер с англ. Под ред. А.Н. Колмогорова. М.: Мир - 1980. - 536 с.

11. Толстов Г.П. Ряды Фурье. М.: Наука - 1980. - 384 с.

12. Плотников В.Н., Белинский A.B., Суханов В.А. Жигулевцев Ю.Н., Цифровые анализаторы спектра. М.: Радио и связь - 1990. - 184 с.

13. Ю.С.Каневский, С.Э. Котов, Н.Е. Куц, Б.А. Некрасов, O.A. Федотов. Устройство для выполнения БПФ// A.c. 1020833 СССР. 1983. -Бюл. №20.

14. Богомолов Ю.А., Левшин В.П., Стручев В.Ф., Вычисление свертки и дискретного преобразования Фурье методом Виноградова// Зарубежная радиоэлектроника №3. - 1984. - С. 3 - 18.

15. Лейтес Р.Д., Соболев В.Н. Цифровое моделирование систем синтетической телефонии. М.: Связь. — 1969. — 128 с.

16. Фридландер Б. Методы спектрального оценивания на основе решетчатой структуры// ТИИЭР 1982. - т.70. - №9 - С. 95-125.

17. Плотников В.Н., Суханов В.А., Жигулевцев Ю.Н. Речевой диалог в системах управления. — М: Машиностроение — 1988. 224 с.

18. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М: Мир - 1978. - 848 с.

19. Уэбстер Р.Дж. Регулирование просачивания спектральных составляющих ДПФ// ТИИЭР 1980. - Т.68. - № 10. - С.203-205.

20. Картер Дж.К., Наттол А.Х. О методе взвешенного усреднения перекрывающихся сегментов для оценивания спектра// ТИИЭР — 1980. -Т.68. -№ 10. С.216-218.

21. В.А. Кузнецов, В.А. Долгов, В.М. Коневских и др. Измерения в электронике. Справочник// Под ред. В. А. Кузнецова- М.: Энергоатомиздат 1987. - 512 с.

22. Финк Л.М. Сигналы, помехи, ошибки.// 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Радио и связь 1984. - 256 с.

23. Рытов С.М. О некоторых "парадоксах", связанных со спектральным разложением. УФН, 1946, т.11, вып.1, С. 41 - 133.

24. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника.-2-е изд., перераб. и доп. М.: Радио и связь - 1982. - 624 с.

25. Чмутин A.M. К теории лазерного доплеровского виброметра// Лазерная техника и оптоэлектроника 1993. - № 1.

26. А.Н. Моргунов. О способах оценки параметрической частоты по энергетическому спектру процесса// Радиоэлектронные устройства. Межвузовский сборник научных трудов. Выпуск I. Рязань: РРТИ — 1976-С. 25-38.

27. Гринев С.Н. Исследование спектральных методов оценивания параметров колебательных процессов// Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. — Волгоград, ВолГУ 2001. - 24 с.

28. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники//3-е изд., перераб. И доп. М.: Радио и связь — 1989. - 656 с.

29. Гречихин В.А., Ринкевичюс Б.С. Погрешности методов измерения частоты одночастотного сигнала лазерного доплеровского анемометра// Измерительная техника — 1993. — № 10. С. 43-46.

30. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.:Наука - 1970.

31. А.Н. Моргунов. О точности способов оценки параметрической частоты случайных процессов по их энергетическим спектрам. Радиоэлектронные устройства// Межвузовский сборник научных трудов. Выпуск I. Рязань: РРТИ - 1976. - С. 38-44.

32. Пестряков В.Б. Фазовые радиотехнические системы. М.: Советское радио - 1968.

33. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы// Учебник. — 2-е изд. -М.: Высш. шк. 1988. - 448 с.

34. Захарченко В.Д., Штельмах A.B. Способ оценки ширины спектра узкополосных радиосигналов// Патент на изобретение №2128845. — 1999.

35. Захарченко В.Д., Брыжин A.A. Оценка средней частоты доплеровского сигнала в реальном времени на основе использования фильтра Гильберта// Вестник ВолГУ Серия 1: Математика. Физика. Вып. 6. Волгоград: ВолГУ - 2001. - С. 184-186.

36. Захарченко В.Д., Брыжин A.A. Реализация метода дробного дифференцирования в задачах радиолокационного сопровождения// Качинские чтения (III). Сборник статей. — Волгоград: КВВАУЛ —1998.-С. 303-305.

37. Захарченко В.Д. Способ оценки средней частоты широкополосных доплеровских сигналов// Патент №2114440. РОСПАТЕНТ 1998.

38. Захарченко В.Д.Вычисление дробных производных во временной области// Вестник ВолГУ. Серия 1: Математика. Физика. — Волгоград:ВолГУ Вып.4 - 1999. - С. 125-127.

39. Захарченко В.Д., Брыжин A.A. Дробное дифференцирование при оценке средней частоты спектра доплеровских сигналов// Качинские чтения (IV). Сборник статей. Волгоград: КВВАУЛ - 1999. - С. 8789.

40. Захарченко В.Д., Брыжин A.A. Метод дробного дифференцирования при оценке параметров спектра широкополосных сигналов// Вестник ВолГУ Серия 1: Математика. Физика. Вып. 4. Волгоград: ВолГУ —1999.-С. 118-120.

41. Захарченко В.Д., Штельмах A.B. Временной подход к оценке ширины энергетического спектра узкополосных сигналов// Вестник ВолГУ, сер. Физика и математика. Волгоград: ВолГУ — 1996.

42. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск: Наука и техника 1987.

43. Брыжин А.А. Оценка средней частоты широкополосных сигналов с применением разложения оператора дробного дифференцирования// IV межвузовская конференция студентов и молодых ученых Волгограда и Волгоградской области. — Волгоград: ВолГУ 1998. — С. 136-137

44. Брыжин A.A. Оптимизация коэффициентов дробно-дифференцирующего фильтра// Материалы международной научной конференции "Динамика процессов в природе, обществе и технике: информационные аспекты" — часть 3 Таганрог: ТРТУ - 2003-С. 9— 10.

45. Куприянов М.С., Матюшкин Б.Д. Цифровая обработка сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования// 2-е изд., перераб. и доп. СПб: Политехника - 1999.

46. Захарченко В.Д., Брыжин A.A., Васильев А.Ф., Зотов Н.М. Использование лазерного доплеровского виброметра при изучении свободных колебаний// Информационный листок № 125 98. Серия 59.31.37:61.63.81 -Волгоград: ЦНТИ- 1998.

47. Захарченко В.Д., Брыжин A.A., Васильев А.Ф. Оценка параметров лазерного доплеровского виброметра//Измерительная техника — Москва. ИПК Издательство стандартов 1998. - С. 30—32.

48. Брыжин A.A. Восстановление закона движения по сигналу лазерного доплеровского виброметра// Сборник докладов по результатам II межвузовской научно-практической конференции студентов и молодых ученых Волгоградской области. Волгоград: ВолГУ — 1996.

49. Брыжин А.А Измерение закона движения малых периодических вибраций// Тезисы докладов всероссийской научной конференции студентов и аспирантов "Радиоэлектроника, микроэлектроника, системы связи и управления".— Таганрог: ТРТУ — 1997. — С. 214— 215.

50. Захарченко В.Д., Брыжин A.A. Лазерная доплеровская виброметрия периодических колебаний// Вторые Качинские чтения. Тезисы докладов Волгоград: КВВАУЛ - 1997. - С. 222-227.

51. Захарченко В.Д., Брыжин A.A. Измеритель периодического закона движения вибрирующей поверхности// Свидетельство №6244 на полезную модель. РОСПАТЕНТ 1998.

52. Захарченко В.Д., Брыжин A.A., Васильев А.Ф. Измеритель периодического закона движения вибрирующей поверхности// Волгоградский ЦНТИ. Информационный листок №138-98. Серия87.55.51.-Волгоград- 1998.

53. Захарченко В.Д., Брыжин A.A., Васильев А.Ф. Измеритель малых периодических вибраций// Свидетельство №9530 на полезную модель. РОСПАТЕНТ 1999.

54. Певнев В.И., Чмутин A.M. Методы обработки сигнала в лазерной доплеровской виброметрии// Тез. докл. II Нижне-Волжского регион, науч. сем. "Диагностические применения лазеров и волоконной оптики в народном хозяйстве". Волгоград: ВолГУ - 1989. - С. 34.

55. Певнев В.И., Чмутин A.M. Лазерный доплеровский виброметр со спектральным анализом спектра// Тез. докл. Всес. сем. "Применение лазеров в промышленности" Л.: ЛДНТП - 1989.

56. Захарченко В.Д., Штельмах A.B., Черный С.К. Лазерный доплеровский виброметр с фазовой модуляцией в одном из каналов// Тезисы докладов 13 научно-технического семинара "Статистический синтез и анализ информационных систем". -Рязань: РГРТА 1994.

57. Застрогин Ю.Ф. Прецизионные измерения параметров движения с использованием лазера. М.: Машиностроение - 1986.

58. Захарченко В.Д. Способ измерения периодического закона движения вибрирующей поверхности// Информационный листок №356-96 СерияР.59.31.31.-Волгоград: ЦНТИ- 1996.

59. Захарченко В.Д. Способ измерения периодического закона движения вибрирующей поверхности// Патент РФ № 2101686 — 1998.

60. Крамер Г. Математические методы статистики// Пер с англ. Под ред. А.Н.Колмогорова.- М: Мир — 1975. 648 с.

61. Щербак В.И. Оптимальная оценка оптических сигналов по критерию максимального правдоподобия//Измерительная техника. — 1987.- №7. -С. 25-27.

62. Тихонов В.И. Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систм// Учеб. пособие для вузов. — М.: Радио и связь 1991. - 608 с.

63. Захарченко В.Д., Игнатьев В.К., Никитин A.B. Имитатор гидроакустического преобразователя. — Изв. ВУЗов СССР. Электромеханика №8 - 1989.

64. Баскаков В.П., Игнатов А.Н., Крук Б.И. Основы теории электрических цепей и радиоэлектроники — М: Радио и связь 1989, 528 с.

65. Кобзарева Ю.Б. Современная радиолокация (анализ, расчет и проектирование систем) -М: Советское Радио — 1969. — 703 с.

66. Гутников B.C. Фильтрация измерительных сигналов. JI: Энергоатомиздат — 1990. - 192 с.

67. Справочное руководство по звуковой схемотехнике// Пер с нем. — М: Мир-1990-446 с.

68. Интегральные микросхемы ТТЛ, ТТЛШ// Справочник. — М: Машиностроение 1993 - 250 с.

69. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и математическое обеспечение. // Пер. с англ. М: Мир - 1998. - 575 с.

70. Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Основы методов оптимизации. М: Изд-воМАИ- 1998.-344 с.

71. Якубовский C.B., Барканов H.A., Ниссельсон Л.И. и др. Аналоговые и цифровые интегральные микросхемы// Справочное пособие. Под ред. C.B. Якубовского. 2-е изд., перераб. и доп. М: Радио и связь -1985.

72. Горшков Б.И. Элементы радиоэлектронных устройств// Справочник М.: Радио и связь - 1988.

73. Аванесян Г.Р., Левшин В.П. Интегральные микросхемы ТТЛ, ТТЛШ// Справочник М.: Машиностроение - 1993.

74. Кауфман М., Сидман А. Практическое руководство по расчетам схем в электронике// Том 1. Под ред. Ф.Н. Покровского. М.: Энергоатомиздат - 1993.

75. Кауфман М., Сидман А. Практическое руководство по расчетам схем в электронике// Том 2. Под ред. Ф.Н. Покровского. М.: Энергоатомиздат - 1993.

76. Харкевич A.A. Спектры и анализ. -М.: Гостехиздат, 1952.

77. Титчмарш Э.Ч. Введение в теорию интегралов Фурье// пер. с англ. -М.:ГИТТЛ, 1948.-479 с.

78. Евсиков М.Ю. Методы вычисления дискретных преобразований Фурье при распозновании многочастотных сигналов, передаваемых в цифровом виде. М.: Электросвязь. - №5 - 2000.

79. Степанов A.B., Матвеев С.А. Методы компьютерной обработки сигналов систем радиосвязи. М.: СОЛОН-Пресс. - 2003. - 208 с.

80. Мидлтон Д. Введение в статистическую теорию связи// т.1, 2. М.: Сов. Радио. - 1961.

81. Финк Л.М. Теория передачи дискретных сообщений. М.: Сов. Радио. - 1970.-728 с.

82. Аналитический сигнал и преобразование Гильберта

83. Xc(q)= Jx(i)cos(cû/)<// и ХДсо) = Jx(Osin(co/)c//.-00

84. Одно из свойств аналитического сигнала 1, 22., построенного с помощью функции у(/), позволяет вычислить этот сигнал с помощью выражения1 00г(0 = *(0 + /у(0 = (со) ехрО'соО^ю, (П1.2)71 огде ЛГ(со) спектр Фурье 1. сигнала *(/):00

85. X (со) = |х(/) ехр(-у'со/)^.-00

86. Уравнение (П2.1) решается следующим приемом. Поменяв в (П2.1) х на / и / на 5 соответственно, умножив обе части равенства нах /)~а и проинтегрировав, получим1. Л 'г Ч^ = г(«)'(П2 2)

87. Поменяв порядок интегрирования по формуле Дирихле1. Ь х Ъ Ъ

88. Лх |/(х, у)с1у = |/(х, у^х,а а о уявляющейся частным случаем теоремы Фубини придем к равенству1. Ц-Б) ¿(Х-О

89. Внутренний интеграл легко вычисляется после замены I = 5 + т(л: -5) и использования формулы выражения бэта-функции1через гамма-функцию1. Г\г +следующим образом-/)"« (/ 5)«"1 Л = |х«-1 (1 - Т)'а Л = 5 Оя(<х,1-а)=г(сх)г(1-сх)1. Поэтому1. Д(1Ш. (П2.3)

90. Отсюда после дифференцированияфМ = (П2.4)

91. Таким образом, если уравнение (П2.1) имеет решение, то это решение необходимо имеет вид (П2.4) и, следовательно, единственно.

92. Производные порядка 1/2 от некоторых функций

93. Используя интегралы Дюамеля и соотношения (2.17) и (2.18), можно вычислить производные порядка 1/2 от наиболее распространенных функций, используемых для описания сигналов 39.:1 .Степенная функция:где А -Л-УВ-'±}У-Д к +1/2'

94. Ряд Фурье в комплексной форме:И1/21. Т,Ске1.куш/1. IVк=-туШ/где ^ =Ск^Ще'^пк\1»