Асимптотическая устойчивость, локальная единственность и формирование контрастных структур в нелинейных сингулярно возмущенных задачах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Неделько, Илья Витальевич

• Неделько, Илья Витальевич
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Неделько, Илья Витальевич

ВВЕДЕНИЕ.

ЧАСТЬ 1. Асимптотическая устойчивость и локальная единственность двумерных контрастных структур.

Глава 1. Теоремы существования для эллиптических и параболических задач. Достаточные условия устойчивости.

§1. Основные обозначения.

§2. Принципы максимума и сравнения.

§3. Теоремы существования решений эллиптической задачи.

§4. Теорема существования решения параболической задачи.

§5. Теорема об асимптотической устойчивости.

Глава 2. Общие теоремы о существовании, единственности и асимптотической устойчивости решений сингулярно возмущенных краевых задач.

§1. Формулировка основных результатов.

§2. Доказательство теоремы (2.1).

§3. Доказательство теоремы (2.2).

Глава 3. Асимптотическая устойчивость и локальная единственность решений двумерных сингулярно возмущенных краевых задач.

§1. Контрастная структура типа ступеньки в критическом случае.

§2. Контрастная структура типа ступеньки в некритическом случае.

§3. Контрастные структуры типа ступеньки при других условиях.

§4. Контрастные структуры типа ступеньки с несколькими переходными слоями.

Глава 4. О неустойчивости двумерных контрастных структур.

§1. О неустойчивости двумерной контрастной структуры типа ступеньки

§2. О неустойчивости двумерной контрастной структуры типа всплеска.

Глава 5. Существование и локальная единственность двухкомпонент-ной контрастной структуры типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе эллиптических уравнений с разными степенями малого параметра.

§1. Построение асимптотики.

§2. Вспомогательная задача.

§3. Теорема существования.

ЧАСТЬ 2. Формирование контрастных структур.

Глава 6. О глобальной области влияния одномерной контрастной структуры типа ступеньки.

§1. Лемма существования.

§2. Асимптотическое приближение решения на конечном промежутке времени.

§3. Метод параметрических барьеров.

§4. Поведение решения на бесконечном промежутке времени.

§5. Предельный переход к стационарному решению при t —> со.

§6. Глобальная область влияния (основной результат).

§7. Доказательство теоремы(6.2).

§8. Доказательство теоремы(б.б).

Глава 7. О глобальной области влияния двумерной контрастной структуры типа ступеньки.

§1. Лемма существования. Основные результаты для конечного промежутка времени.

§2. Поведение решения на бесконечном промежутке времени.

§3. Предельный переход к стационарному решению при t —» оо.

§4. Глобальная область влияния (основной результат).

Глава 8. Существование контрастной структуры типа ступеньки с внутренним слоем, выходящим на границу области.

§1. Доказательство существования решения.

§2. Предельный переход при е —» 0.

§3. Основной результат.

Глава 9. Формирование контрастной структуры типа ступеньки с внутренним слоем, выходящим на границу области.

§1. Лемма существования. Основные результаты для окрестности начального момента времени.

§2. Поведение решения на бесконечном промежутке времени.

§3. Основной результат.

Глава 10. Формирование двухкомпонентной контрастной структуры типа ступеньки в параболической системе с разными степенями малого параметра.

§1. Обобщенный метод дифференциальных неравенств.

§2. Поведение решения в окрестности начального момента времени.

§3. Поведение решения на полном промежутке времени.

§4. Основной результат.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотическая устойчивость, локальная единственность и формирование контрастных структур в нелинейных сингулярно возмущенных задачах»

В последние годы в теории сингулярных возмущений активно исследуются решения с внутренними переходными слоями. Такие решения получили название "контрастные структуры" [1] (далее имеются ввиду решения нелинейных эллиптических задач с малыми параметрами при старших производных, рассматриваемых в односвязной ограниченной области).

С точки зрения приложений наибольший интерес представляют контрастные структуры типа ступеньки (КСТС). Контрастная структура типа ступеньки характеризуется наличием внутренних переходных слоев (в двумерном случае это — малые окрестности некоторых замкнутых кривых, лежащих внутри области определения КСТС), в которых происходят резкие переходы решения из окрестности одного корня вырожденного уравнения (т. е. уравнения, которое получается из исходного при обращении малого параметра в нуль) в окрестность другого корня. Могут существовать также контрастные структуры типа всплеска (КСТВ), которыми принято называть решения, имеющие внутренние слои (целиком лежащие в области определения КСТВ), где решение быстро удаляется от корня вырожденного уравнения и сразу вслед за этим возвращается к этому же корню.

Впервые существование контрастных структур в рассматриваемых задачах для одномерного случая было доказано в работах A.B. Васильевой и В.Ф. Бу-тузова [1-4]. Результат по существованию двумерных контрастных структур типа ступеньки принадлежит П. Файфу (P. Fife) и У. Гринли (W. Greenlee) [5].

Асимптотическое разложение контрастной структуры по малому параметру можно построить на основе метода пограничных функций [1]. Для одномерных задач это сделано в [1-4,6] и ряде других работ, для некоторых двумерных задач — в [6,7]. Обширная библиография содержится в [6].

В работах H.H. Нефедова [7,8] предложен эффективный метод доказательства существования контрастных структур и оценки остаточных членов асимптотических разложений — так называемый асимптотический метод дифференциальных неравенств. Суть его состоит в том, что верхнее и нижнее решения конструируются путем модификации формальной асимптотики. Следует отметить, что из существования верхнего и нижнего решений вытекает существование, но не вытекает единственности (даже локальной) решения исходной задачи.

Важным вопросом как с теоретической, так и с прикладной точки зрения, является вопрос об устойчивости контрастных структур как стационарных решений соответствующих параболических задач (в смысле Ляпунова).

Для одномерных задач с краевыми условиями Неймана этот вопрос исследовался в работах A.B. Васильевой [9,11,14], В.Ф. Бутузова [10], S. Angenent [12], J.

Hale [13] и ряде других (см. библиографию, приведенную в работах [9-14] и [6]), и ответ был получен путем оценки главного (наибольшего) собственного значения соответствующего линеаризованного оператора. В частности для рассматриваемых задач было показано, что одномерные КСТС могут быть как устойчивыми так и неустойчивыми, а одномерные КСТВ всегда неустойчивы.

Методы, использованные в [9-14] не удается применить для многомерных задач, рассматриваемых в данной работе.

Таким образом, вопросы о достаточных условиях локальной единственности и устойчивости многомерных контрастных структур типа ступеньки оставались открытыми.

Эти вопросы решены в данной работе на основе нового метода.

По сути удалось указать условия на верхнее и нижнее решения сингулярно возмущенной краевой задачи, при выполнении которых наряду с существованием (точного) решения (в области между верхним и нижним решениями) рассматриваемой задачи (о чем было известно ранее) можно утверждать локальную единственность и асимптотическую устойчивость этого решения. Этот метод применим как для одномерных, так и для многомерных задач (для простоты изложения в работе рассматривается двумерный случай) и вместе с асимптотической устойчивостью и локальной единственностью позволяет получить оценки собственных значений соответствующих линеаризованных операторов.

Разработанный метод позволил обосновать (при различных условиях) асимптотическую устойчивость и локальную единственность двумерных контрастных структур типа ступеньки как с одним, так и с несколькими переходными слоями, причем как в случае краевых условий Дирихле, так и в случае краевых условий Неймана (и вне зависимости от того является ли линеаризованный на исследуемом решении оператор (JIO) рассматриваемой задачи формально самосопряженным или нет); для случаев задач с формально самосопряженными JIO получены еще и оценки собственных значений этих JIO.

Следует отметить, что в данной работе охвачены практически все основные случаи условий, при выполнении которых удается построить формальную асимптотику и доказать существование двумерных контрастных структур типа ступеньки (в рассматриваемых здесь задачах), причем доказательство асимптотической устойчивости и локальной единственности этих решений проходит без добавления каких-либо дополнительных требований.

В работе также рассмотрен случай, когда удается построить формальную асимптотику двумерной контрастной структуры типа ступеньки, но нарушаются условия соответствующей теоремы об асимптотической устойчивости. Для этого случая показано, что двумерная КСТС, если она существует, является неустойчивой.

Доказательство неустойчивости проведено с помощью нового подхода, который основан на построении в малой окрестности асимптотики контрастной структуры неупорядоченных верхнего и нижнего решений рассматриваемой задачи. Оказывается, что при определенных условиях в окрестности неупорядоченных верхнего и нижнего решений могут существовать только неустойчивые решения.

С помощью указанного подхода удалось также установить неустойчивость двумерной контрастной структуры типа всплеска.

Одной из основных и наиболее сложных в теории контрастных структур является проблема их формирования, т.е. вопрос о том, из каких начальных функций в параболических задачах формируются (в финале) такие решения или, по крайней мере, асимптотически не отличимые от них (т.е. обладающие теми же предельными свойствами при стремлении малого параметра к нулю) нестационарные КСТС, а из каких начальных функций подобного формирования не происходит.

Речь прежде всего идет о нахождении областей влияния контрастных структур типа ступеньки в случаях, когда эти решения асимптотически устойчивы. Отметим, что в работе используется термин "глобальная область влияния", отражающий тот факт, что рассматриваемые задачи содержат малый параметр. Под глобальной областью влияния асимптотически устойчивого решения понимается множество всех функций, каждая из которых, при достаточно малых значениях параметра принадлежит области влияния данного решения.

Определенные результаты по глобальной области влияния одномерной контрастной структуры типа ступеньки для некоторого частного случая были получены в работе P. Fife [16]. Но даже для рассмотренного частного случая не было ясности, насколько условия, обеспечивающие в [16] принадлежность начальной функции глобальной области влияния КСТС, близки к необходимым (более того, как следует из результатов нашей работы, указанные условия далеки от необходимых и поэтому позволяют найти лишь сравнительно небольшую часть глобальной области влияния КСТС).

Таким образом, вопрос о том, каковы глобальные области влияния асимптотически устойчивых контрастных структур типа ступеньки оставался открытым даже для одномерного случая.

В работе предложен метод параметрических барьеров, позволивший дать ответ на этот вопрос. Идея метода состоит в том, что нестационарные верхнее и нижнее решения параболической задачи конструируются путем введения зависящего от времени параметра в верхнее и нижнее решения соответствующей стационарной задачи.

С помощью метода параметрических барьеров в работе показано, какие (начальные) функции принадлежат глобальным областям влияния асимптотически устойчивых контрастных структур типа ступеньки, причем как в одномерном, так и в двумерном случае. Показано также, что найденные условия принадлежности функции глобальной области влияния в каждом случае близки к необходимым и, таким образом, достаточно полно описывают глобальную область влияния.

Заметим, что для простоты изложения результаты по глобальным областям влияния КСТС в работе представлены для задач с краевыми условиями Неймана в так называемом некритическом случае. Метод параметрических барьеров позволяет получить аналогичные результаты и для КСТС в критическом случае, а также для задач с краевыми условиями Дирихле [39].

Наряду с контрастными структурами типа ступеньки, имеющими внутренние переходные слои в окрестностях некоторых замкнутых кривых (кривых переходного слоя), целиком лежащих внутри области определения КСТС, в двумерном случае могут существовать аналогичные решения, у которых кривые переходного слоя имеют общие точки с границей области (при этом указанные кривые могут быть незамкнутыми). Будем называть такие решения контрастными структурами типа ступеньки с внутренними слоями, выходящими на границу области.

Отметим, что основная трудность при изучении решений этого типа связана с тем, что из-за выхода внутреннего слоя на границу не удается построить формальную асимптотику во всей области (а, следовательно, и соответствующих верхнего и нижнего решений достаточной точности методом из [7,8]). В случае краевых условий Дирихле ситуация сильно усложняется еще и тем, что решение имеет пограничный слой, который накладывается на внутренний слой в окрестностях общих точек кривой переходного слоя и границы области.

Отметим также, что доказательство существования КСТС с внутренними слоями, выходящими на границу области, для задач с краевыми условиями Дирихле — один из результатов данной работы. В этом доказательстве (оно пригодно и в случае краевых условий Неймана) существенно используется метод параметрических барьеров. Аналогичный результат для случая краевых условий Неймана другим методом был ранее получен в работе М. del Pino [17].

Проблема формирования КСТС с внутренними слоями, выходящими на границу области, оставалась неисследованной.

На основе метода параметрических барьеров в работе получены результаты по формированию и для двумерных КСТС с внутренними слоями, выходящими на границу области.

А именно, показано, из каких начальных функций в соответствующих параболических задачах формируются решения (нестационарные КСТС с переходными слоями, выходящими на границу области), асимптотически неотличимые при достаточно больших временах от указанных стационарных решений.

В работе получены также результаты по формированию контрастных структур типа ступеньки, возникающих в системах, состоящих из двух сингулярно возмущенных (СВ) уравнений с разными степенями малого параметра при старших производных. Будем называть их также двухкомпонентными контрастными структурами типа ступеньки.

Заметим, что алгоритмы построения асимптотики (основанные на методе пограничных функций) и методы доказательства существования двухкомпонентных КСТС хорошо разработаны для одномерного случая [18].

В двумерном случае вопрос существования таких решений оставался открытым и (положительно) решен в данной работе (доказана также локальная единственность решения); соответствующее обоснование (оно проходит и в одномерном случае) основано на оценке собственных значений ЛО некоторой вспомогательной скалярной задачи. При этом существенно использованы основные идеи метода доказательства асимптотической устойчивости решений СВ задач, о котором шла речь выше.

Проблема формирования двухкомпонентных контрастных структур типа ступеньки в системе с разными степенями малого параметра до последнего времени оставалась неизученной.

Исследование данной проблемы в работе проведено на основе предложенного обобщенного метода дифференциальных неравенств. Центральная идея этого метода состоит в построении двухкомпонентных верхнего и нижнего решений рассматриваемой задачи, таких, что одна из компонент указанных решений зависит от другой компоненты. Данный метод наиболее эффективен в тех случаях, когда не удается построить классические верхнее и нижнее решения.

Можно сказать, что с помощью обобщенного метода дифференциальных неравенств удалось распространить определенные результаты по формированию од-нокомпонентных КСТС на двухкомпонентный случай.

Более точно, в работе показано из каких начальных функций в СВ системах параболических уравнений с разными степенями малого параметра при старших производных формируются нестационарные двухкомпонентные КСТС, асимптотически неотличимые при достаточно больших временах от соответствующих стационарных решений. Для простоты изложения данный результат представлен для одномерного случая.

Краткое содержание работы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Неделько, Илья Витальевич, 2004 год

1. Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.

2. Васильева A.B. К вопросу о близких к разрывным решениях в системе с малым параметром при производных условно устойчивого типа // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8. N 9. С. 1560-1568.

3. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б. Об асимптотике решения типа контрастной структуры // Матем. заметки. 1987. Т. 42. N 6. С. 831-841.

4. Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

5. Файф П., Гринли В. Внутренние переходные слои для эллиптических краевых задач с малым параметром // Успехи мат. наук. 1974. Т. 29. N 4. С. 103-131.

6. Бутузов В.Ф., Васильева A.B., Нефедов H.H. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т.4. N 3. С. 799-851.

7. Нефедов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. N 7. С. 1132-1139.

8. Нефедов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых сингулярно возмущенных задач в частных производных // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. N 4. С. 719-722.

9. Васильева А.Б. Об устойчивости контрастных структур // Матем. моделирование. 1991. Т. 3. N 4. С. 114-123.

10. Бутузов В.Ф. О неустойчивости контрастных структур типа всплеска // Математические модели и методы в социальных науках. (Труды вторых математических чтений МГСУ 26 января 2 февраля 1994). М.: МГСУ. 1994. С. 14-18.

11. Васильева A.B., Никитин А.Г. Асимптотический метод исследования контрастных структур и его приложение к теории гидромагнитного динамо // Матем. моделирование. 1995. Т. 7. N 2. С. 61-71.

12. Angenent S., Mallet-Paret J., Peletier L. Stable transition layers in a semilinear boundary value problems //J. Diff. Equations. 1987. V. 67. N 2. P. 212-242.

13. Hale J. K., Sakamoto K. Existence and stability of transition layers // Japan J. of Appl. Math. 1988. V. 5. N 3. P. 367-405.

14. Васильева А. Б., Бутузова M. В. Об устойчивости стационарных решений с пограничными и внутренними слоями // Математические методы и их приложения. (Труды третьих математических чтений МГСУ 24-29 января 1995). М.: МГСУ. 1995. С. 81-86.

15. Васильева А. Б. Об области влияния стационарного решения сингулярно возмущенного параболического уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1993. Т. 33. N 6. С. 874-883.

16. Fife P., Hsiao L. Generation and Propagation of Internal Layers // Nonlinear Anal. 1988. V. 12. N 1. P. 19-41.

17. Del Pino M. Layers with Nonsmooth Interface in a Semilinear Elliptic Problem // Commun. in Partial Diff. Eq. 1992. V. 17. N 9. P. 1695-1708.

18. Авдеев А.С., Васильева А.Б. О контрастной структуре типа ступеньки в системе двух сингулярно возмущенных уравнений второго порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1993. Т 33. N 6. С. 874-883.

19. Fife Р. С. Semilinear elliptic boundary value problems with small parameters // Arch. Rat. Mech. Anal. 1973. V. 52. N 3. P. 205-232.

20. Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. Теория и приложения. М.: Мир, 1988.

21. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985.

22. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

23. Sattinger D.H. Monotone methods in nonlinear elliptic and parabolic boundary value problems // Indiana Univ. Math. J. 1972. V. 21. N 11. P. 979-1001.

24. Amann H. On the existence of positive solutions of nonlinear elliptic boundary value problems // Indiana Univ. Math. J. 1971 V. 21. N 2. P. 125-146.

25. Amann H. Existence and stability of solutions for semilinear parabolic systems and applications to some diffusion reaction equations // Proc. Roy. Soc. of Edinburgh. 1978. V. 81. N 1. P. 35-47.

26. Amann H. Periodic solutions of semilinear parabolic equations // Nonlinear analysis: Collections of Papers in Honor of Eric Rothe. New York: Academic Press, 1978. P. 1-29.

27. Ильин A. M., Калашников А. С. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи мат. наук. 1962. Т. 17. Вып. 3. С. 3-146.

28. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

29. Ладыженская О. А., Уральцева H. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964.

30. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966.

31. Berestycki H., Nirenberg L., Varadhan S.R.S. The Principal Eigenvalue and Maximum Principle for Second-Order Elliptic Operators in General Domains // Commun. Pure and Appl. Math. 1994. V.47. P. 47-92.

32. Нефедов H.H. Контрастные структуры типа всплеска в нелинейных сингулярно возмущенных эллиптических уравнениях // Доклады АН. 1992. Т.327. N 1. С. 16-19.

33. Бутузов В.Ф. Контрастные структуры типа всплеска в параболической системе двух сингулярно возмущенных уравнений. // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1997. Т. 37. N 4. С. 415-428.

34. Дьедонне М. Основы современного анализа. М., Мир. 1964.

35. Треногин В.А. Об асимптотике почти линейных параболических уравнений с параболическим погранслоем // Успехи мат. наук. 1961. Т. 16. N 1. С. 163-169.

36. Гудков В.В., Клоков Ю.А., Лепин А.Я., Пономарев В.Д. Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига: Зи-нанте, 1973.

37. Amann H. Invariant Sets and Existence Theorems for Semilinear Parabolic and Elliptic Systems // J. Math. Anal. Appl. 1978. V. 65. P. 432-467.

38. Butuzov V.F., Kryagimskii S.A., Nedelko I.V. Global Domain of Attraction of Step-Like Contrast Structure in The Case of Dirichlet Conditions // "V International Congress on Mathematical Modeling". (Book of Abstracts). V.2. P.45. Dubna, 2002.

39. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Устойчивость решений сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями // Успехи мат. наук. 1998. Т. 53. Вып. 4. С. 135-136.

40. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Об устойчивости контрастных структур // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. N 6. С. 852-853.

41. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Устойчивость контрастных структур типа ступеньки в двумерном случае // Доклады РАН. 1999. Т. 366. N 3. С 295-298.

42. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Существование, локальная единственность и асимптотика двумерных периодических контрастных структур типа ступеньки // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1999. Т. 39. N 5. С. 812-831.

43. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О глобальной области влияния устойчивых контрастных структур // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. N 11. С. 15761577.

44. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Об устойчивости многомерных контрастныхструктур // Математические методы и приложения. (Труды шестых математических чтений МГСУ 25-30 января 1998 года). М.: МГСУ. 1999. С. 1-6.

45. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О глобальной области влияния решений с внутренними слоями. // Доклады РАН. 2000. Т. 373. N 2. С. 155-156.

46. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Асимптотическая устойчивость решений сингулярно возмущенных краевых задач с пограничными и внутренними слоями // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. N 2. С. 198-208.

47. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе эллиптических уравнений с разными степенями малого параметра // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 2000. Т.40. N 6. С. 877-900.

48. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О глобальной области влияния устойчивых решений с внутренними слоями // Математические методы и приложения. (Труды седьмых математических чтений МГСУ 28 января-3 февраля 1999 года). М.: МГСУ. 2000. С. 1-6.

49. Неделько И.В. Асимптотическая устойчивость, локальная единственность и область влияния двумерной контрастной структуры типа ступеньки // Матем. заметки. 2001. Т. 69. N 1. С. 82-91.

50. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О глобальной области влияния устойчивых решений с внутренними слоями // Матем. сборник. 2001. Т. 192. N 5. С. 13-52.

51. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Контрастная структура типа ступеньки в системе двух сингулярно возмущенных параболических уравнений.// Матем. моделирование. 2001. Т. 13. N 5. С. 23-42.

52. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О глобальной области влияния устойчивых решений с внутренними переходными слоями // Ломоносовские чтения. Секция физики. (Сборник расширенных тезисов докладов). С. 31-32. Апрель, 2001.

53. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О глобальной области влияния устойчивых решений с внутренними слоями в двумерном случае // Известия РАН (серия математическая). 2002. Т. 66. N 1. С. 3-42.

54. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О неустойчивости многомерных контрастных структур // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. N 2. С. 222-233.

55. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О глобальной области влияния устойчивых решений в двумерном случае // Математические методы и приложения. (Труды девятых математических чтений МГСУ 26 января-31 января 2001 года). М., Союз. 2002. С. 16-20.

56. Неделько И.В. Существование решения с внутренними слоями, выходящими на границу области. // Математические методы и приложения. (Труды девятых математических чтений МГСУ 26 января-31 января 2001 года). М., Союз. 2002. С. 21-23.

57. Неделько И.В. Формирование решений с внутренними слоями, выходящими на границу. // Математические методы и приложения. (Труды десятых математических чтений МГСУ 26 января-30 января 2002 года). Москва, 2003. С. 29-32.

58. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О формировании контрастной структуры типа ступеньки в параболической системе с разными степенями малого параметра // Доклады РАН. 2003. Т. 390. N 1. С. 15-18.