Асимптотический анализ процессов гауссовского хаоса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат наук Жданов Александр Иванович

• Жданов Александр Иванович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Жданов Александр Иванович

1.1 Доказательство локальной леммы

1.2 Доказательство теоремы: неравенство Бонферрони

2 Асимптотическое поведение вероятностей высоких выбросов траекторий квадратичной формы от гауссовского векторного процесса

2.1 Доказательство локальной леммы

2.1.1 Случай единственного положительного собственного значения матрицы квадратичной формы (кратности 1)

2.1.2 Случай нескольких положительных собственных значений матрицы квадратичной формы (максимальное собственное значение кратности 1)

2.1.3 Гауссовские поля с локально стационарной структурой

2.2 Доказательство теоремы

3 Асимптотика вероятностей высоких выбросов траекторий процессов гауссовского хаоса. Случай зависимых компонент

3.1 Доказательство локальной леммы

3.1.1 Исследование вероятности в (3,11): переход на единичную сферу ,

3.1.2 Оценка сверху вероятности (3,8)

3.2 Доказательство теоремы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотический анализ процессов гауссовского хаоса»

Введение

Рассмотрим произвольное вероятностное пространство (П, Т, Р). Поставим задачу исследования асимптотического поведения вероятностей высоких выбросов траекторий процессов гауссовского хаоса, то есть вероятностей вида

при и ^ ж, где £(£) = (£\(Ь),..., € К^, Ь € К+, 1 > 2, - п.н. непрерывный

гауссовский векторный процесс, заданный на вероятностном пространстве (П, Т, Р) и принимающий значения в измеримом пространстве (К^,В(К^)), а д() : К ^ К - однородная функция положительного порядка в > 0, принимающая хотя бы в одной точке положительное значение. Однородность порядка в > 0 означает, что для всех а € К и всех х € К выполнено соотпошение д(ах) = |а|вд(х). Предположим, что функция д(-) является В(К^)|В(К)—измеримой. В этом случае случайный процесс д(£(Ь)) назовём процессом гауссовского хаоса. Традиционно в литературе термин гауссовский хаос порядка в € N закреплен за случаем, когда д - однородный полипом степени в. Данное понятие восходит к Винеру [2], который ввел в рассмотрение процессы полиномиального хаоса. Мы следуем более широкому толкованию понятия гауссовского хаоса. Всюду в дальнейшем будем представлять векторы, как вектор-столбцы.

Частные случаи задачи рассматривались ранее: ключевыми при этом являлись условия, накладываемые на гауссовский 1—мерный векторный процеее £(£), в частности, на поведение ковариационной матрицы данного векторного процесса, В работах [11], [12] и [13] рассмотрен случай процессов типа хи-квадрат (д(-) - положительно-определенная квадратичная форма). Случай, когда функция д(-) представляет из себя разность двух независимых хи-квадрат процессов, полученных из стационарных гауссовскнх векторных процессов, был рассмотрен в работе [14], которая была опубликована во время проведения данного исследования, В работе [17] был получен общий ответ для случая, когда компоненты п.н, непрерывного стационарного гауссовского векторного процесса с пулевым средним £(£) независимы и одинаково распределены,

В случае, когда рассматриваемый стационарный гауссовский векторный процесс является п.н, дважды непрерывно дифференцируемым в среднеквадратическом, основным методом исследования подобных вероятностей является метод моментов (или метод Райса), который подробно описан в работе [24] и монографии [15].

В данной работе рассматривается случай, когда п.н. непрерывный гауссовский векторный процесс £(£) является центрированным и стационарным, в том смысле, что ковариационная матрица рассматриваемого векторного процесса в точках Ь > 0 и в > 0 зависит от разности (Ь — в)

Кроме этого предполагается, что ковариационная матрица Я(Ь) п.н. непрерывного стационарного центрированного гауссовского векторного процесса ^ (Ь) удовлетворяет условию Пикапдса в окрестности нуля

для некоторых симметричных положительно-определённых 1 х 1 матриц Я, С. Здесь о(1) являетея 1 х 1 матрицей, компоненты которой стремятся к нулю при Ь ^ 0. Основополагающим результатом в данной области является результат Джеймса Пикандса III,

Р*(и, Т) := Р д(ф)) > и

Я(Ь, в) := Е$(г)$(в)т = Я(Ь — в).

т

Я(Ь) = Я — |Ь|аС + Щао(1), Ь ^ 0, а € (0, 2],

полученный в [10]. В работе Д. Пнкандеа изучается асимптотика вероятностей высоких выбросов траекторий п.н. непрерывного стационарного центрированного гауссовского одномерного процесса £(t), ковариационная функция которого в окрестности нуля удовлетворяет условию, названному впоследствие условием Пикандса,

r(t) := Е£(t)f (0) = 1 - c|t|a + |t|ao(1), t — 0, c > 0, а E (0, 2],

то есть вероятностей вида

P ( max £(t) > u ) , \ie[o,T] )

при u —У то. Применённый впервые в данной работе метод заключается в разбиении временного промежутка на промежутки равной длины, которая определённым образом стремится к пулю при u — то, нахождении точной асимптотики вероятностей высоких выбросов траекторий стационарного гауссовского процесса на малом временном интервале (используя локальные свойства ковариационной функции в окрестности нуля), а также применении неравества Бонферонни в ходе доказательства теоремы. Позднее данный метод был развит в [15], [16] и получил название метод двойных сумм.

Пример 1 Прим,ер п.н. непрерывного стационарного центрированного гауссовского векторного процесса, ковариационная функция которого ведёт себя описанным образом, в окрестности нуля, можно получить, рассматривая, одномерные стационарные центрированные гауссовские процессы.

Рассмотрим гауссовский d—мерный векторный процеее n(t) = (ni(t),..., nd(t))T, t E R+, состоящий из d независимых п.н, непрерывных гауссовских стационарных центрированных процессов Пг (t), ковариационная функция каждого из которых имеет вид rj(t) := En (t)n»(0) = e-bi|i|" для пекотор ых Ьг > 0, i = 1,...,d, и а E (0,2]. Диагональную матрицу с диагональными элементами Ь1,..., bd обозначим через B. Для положительно-определенных симметричных d х d матриц R, C определим гауссовский d—мерный векторный процесс £(t) равенством

£(t) = R1/2Qn(t),

где Q— некоторая ортогональная матрица. В силу свойств век торного процесса n(t) (п.н. непрерывный, стационарный, центрированный) векторный процесс £(t) обладает темп же свойствами. Для ковариационной матричной функции процесса £(t) имеем

R(t,s) := E|(t)|(s)T = R1/2QEn(t)n(s)TQTR1/2

и при (t — s) — 0 в силу поведения ковариационных функций компонент процесса n(t) в окрестности нуля

R(t, s) = R — |t — s|aR1/2QBQtR1/2 + |t — s|ao(1), а E (0, 2].

Определим матрицу B, исходя из заданной симметричной положительно-определённой матрицы C, равенством

B = QtR-1/2CR-1/2Q.

Осталось заметить, что матрица R-1/2CR-1/2 симметрична и положительно-определена, что позволяет подобрать ортогональную матрицу Q так, чтобы матрица B была диагональной. Таким образом, для произвольных симметричных положительно-определённых

матриц R, C существует диагональная матрица B с положительными элементами

Q

п.н. непрерывный стационарный векторный процесс £(t), заданный равенством £(t) = R1/2Qn(t), удовлетворяет матричному условию типа Пикандса в окрестности нуля с

R C.

Метод Лапласа асимптотической оценки интегралов и нахождение асимптотики хвостов распределений случайных величин типа гауссовского хаоса

Одним из отправных пунктов исследования поставленной задачи является метод Лапласа асимптотической оценки интегралов, используемый для нахождения точной асимптотики хвостов распределений случайных величин д(£(£0)) Для произвольного фиксированного ¿0 € [0,Т].

Естественным первым шагом в начале исследования поставленной задачи является рассмотрение случайных величин типа гауссовского хаоса вместо процессов гауссовского хаоса , то есть случайных величин д(£), где £ = ... ,^)т - стандартный гауссовский случайный вектор. Большой интерес представляет задача исследования асимптотического поведения хвоста распределения произведения случайных величин Начнём с простого примера. Для стандартной гауссовской случайной величины £, принимающей значения в (М, В(М)), при и ^ то,

Р(« > и) = 75Пиехр (-Т) I1 + 0 (и72)) = ВД (! + 0 (и1^

где здесь и всюду далее мы обозначили

1 ( и2) Ф(и) := ._ ехр--, и > 0.

Немного сложнее, используя асимптотические методы оценки интегралов типа Лапласа, описанные, в частности, в [1], [19], находится асимптотика вероятности Р (£1£2 > и) при и ^ то в случае, когда вектор £ = (£1 ,£2)т является центрированным гауссовскнм случайным вектором с ковариационной матрицей

Я := Е££т = ^ Г) , |г| < 1.

В общем случае вычисление точной асимптотики подобных вероятностей основано на применении метода Лапласа для оценки интегралов типа Лапласа и некоторых его обобщениях, для некоторых случаев детально описанных в монографиях [1], [19], Кратко опишем применение данного метода для нахождения точной асимптотики хвоста распределения случайной величины д(£), то есть точной асимптотики вероятности

(и) := Р(д(£) >и), (0.1)

при и ^ то. Применение асимптотического метода Лапласа к конкретной задаче получило большое развитие в работах [3], [4], [5], В силу значимости данных результатов для дальнейшего исследования, приведём краткое описание методов, применяемых в представленных работах. Рассмотрим интеграл Лапласа

/А = / а(х)в-А/(х)ах, (0.2)

где и - компакт в , п € N. Нас будет интересовать поведение данного интеграла при Л ^ то. Функция а(-) называется амплитудой, f (•) - фазой. Обычно предполагается,

и

общности можно считать, что штхеи f (х) = 0. Действительно,

1л = е-Ага1п*еи /(х) [ а(х)в-А(/(х)-т1пхеи /(х))ах. (0.3)

Ju

Предположим, что множество точек минимума функции / на компакте и, то есть множество {х € и: /(х) = 0} является гладким т-мерным многообразием, 0 < т < п — 1, Многочисленные учебники и монографии, рассматривающие асимптотический метод Лапласа, обычно ограничиваются случаем т = 0, то есть случаем, когда /(х) имеет изолированные точки минимума. Иногда рассматривается случай т = п — 1, в то время как многие приложения требуют рассмотрения промежуточных значений размерности множества точек минимума. Об этом говорят, в частности, приведенные ниже примеры нахождения асимптотического поведения хвоста распределения гауссовского случайного хаоса - однородной функции от значений гауссовского вектора.

Покажем, как свести задачу нахождения асимптотики хвостов распределения случайных величин типа гауссовского хаоса к изучению интегралов типа Лапласа, Используя однородность функции $(•), искомую вероятность (0,1) можно переписать в виде

р(у(0 >и) = Р(2(и-1/в> 1).

В этом случае верно следующее равенство

„л/в г

Р(£(и-1/в!) > 1) = I ехр(—и2/в|х|2/2)ах,

2 ^

{x: g(x)>1}

где |x|2 = (x, x) := ж2. В силу однородности функции $(•) интеграл (обозначим его /) можно переписать в другом виде, изменив вид области интегрирования,

I := / exp(-u2/e|x|2/2)dx = / exp(-u2/e|x|2/2)dx.

J{x: |x|eg(x"|x|)>1} J{x: |x|>g-1/e (x/|x|), g(x"|x|)>0}

В последнем интеграле перейдем к сферическим координатам x = x(r, ф) с якобианом

J(r, ф) = rd-1 sind-2 sind-3 ... sin <^d-2,

где координаты связаны друг с другом следующими равенствами

x1 = r cos x2 = r sin cos

Xd-1 = r sin sin ^2 • ... • sin cos <£"-1

Xd = r sin sin ^2 • ... • sin ^d-2 sin <£"-1 (0.4)

и ф = , ...,^d-1) G nd-1 := [0,n)d-2 x [0, 2n), r = |x|. Здесь топология множетева nd-1 индуцированна топологией единичной сферы, в частноети, все точки nd-1 внутренние, Проводя замену переменных в интеграле, можно получить (здесь и далее будем писать, если это не вызывает недопонимания, $(ф) = g(x/|x|)), что

I = í rd-1 J(1, ф) exp (-u2/er2/2) drdp

J{(r,cp): r>g-1/e g(<p)>0}

/ J(1, Ф)

'W: g(v)>0}

I rd-1 exp (-u2/er2/2) dr

_.7{r: r>g-1/e(^)}

d^,

где мы использовали теорему Фубини (см, [8]), Во внутреннем интеграле (обозначим его Д) проведем замену переменных у = г2^2/в(ф) и получим следующее представление для внутреннего интеграла

1 Г™ { ^2/в

1 / ч I I и

2'

А = 2g^""-"5/" yd/2-1 exp (-y) dy

Это одномерный интеграл Лапласа, для которого мы можем получить следующее разложение при и ^ то (равномерное по всем р, см. [1]),

и2/в и2/'5 ^ Г(й/2)' и2/в -к

к=0

11 ~ ( 0^2/Й(р) ) еХр ( 9^2/Й(р) ) X]

2-2/в(р)У V 2-2/в(р)У ^ Г(й/2 - (р)

2-^ (Р)и-2/в ех^ - 2-2^ Е

и2/в \ ^ Г(Й/2^ и2/в 4

2-2/в(р)У к=0 Г(^/2 - кП2-2/в(р)

Здесь знак ~ означает асимптотическое разложение в степенной ряд в смысле определения из [1]. При этом для четных й сумма конечна - максимальное к = й/2. Подставляя это в исходный интеграл, получаем, что для нахождения его асимптотического поведения достаточно изучить поведение следующего интеграла при всех целых к > 1

Г 2к ( и2/в \

I, := / J(1, р)- в (р)ехр -0 2/^^л ар.

J{V€Пd-í : й(,)>0} V 2-2/в (р)/

Согласно асимптотическому методу Лапласа, при и ^ то данная вероятность должна

зависеть от точек минимума функции -(р)-2/в на рассматриваемом множестве или, что

-(р),

-(р)

точек максимума. Обозначим

- := вир -(р) = вир -(е),

и

М,, := {р е П^_1: -(р) = -}, М := {е € §^-1: -(е) = -}.

Рассмотрим два типа структуры множества М:

М

Случай 2 М является гладким т-мерным многообразием, 1 < т < й - 1.

М

понент связности, что позволяет рассматривать первый случай как частный случай второго, в котором многообразие имеет размерность т = 0. Тем не менее, сохраняя терминологию работ [3], [4], [5], будем придерживаться разделения данных случаев. Рассматриваемые нами условия диктуют определенные ограничения на гладкость функции -(р) относительно которой предположим следующее.

Условие 1 Существует е > 0 такое, что функция -(р) дважды, непрерывно дифференцируема в окрестности

М,(е) := {р е П-1: -(р) > - - е}

множества М,. В случае 1 предположим, что | -"(р)| > 0 для, всех то чек р е

д 2-(р)_

М, где

9"(р)

д^д^

- Гессиан функции -(р) в точке р. В случае 2 предположим,, что ранг Гессиана д"(р) равен й - 1 - т для, всех р е М,.

Обозначим через т(ф) какую-нибудь невырожденную диагональную подматрицу размерности й — 1 — т матрицы д"(ф). Для любого фиксированного ф все определители таких подматриц равны между собой. Это легко понять, выбрав первые т координатных векторов касательными тогда в ортогональном к ним подпространстве точка ф является невырожденной точкой максимума. Ортогональное преобразование перехода к первоначальным координатам определитель не изменит.

Теорема 1 ([3], Щ, [5]) Пусть функция д(ф) удовлетворяет условию 1. Пусть существует плотность распределения, рд(£) (х) случайной вели,чины, д(£). Тогда выполнены, следующие предельные соотношения, при и ^ то:

т +1_1 2//3

Рд(£)(и) = (и^) —(1 + о(1))' (°-5)

т — 1 2//3

Р(д(£) > и) = Ло (д) ' ех^—(1 + о(1)). (0.6)

При этом

в случае 1, и

д

Ло := -=(&)-1 V /(1ф) .

J(1, ф)

(2п)(т+1)7^ 1 д^_1_т(ф)I

Ло (вд)^

е случае 2, где - элементарный объем еМ^ С П^_1.

Замечание 1 Отметим, что в [3], Щ, [5] в предположении

д(ф) е С2г+2(П^_1), г е 1+,

даны асимптотические разложения вышеприведенных плотности и хвоста, распределения.

Замечание 2 Для удобства, применений мы даем тривиальное обобщение результа,-

д

М<р .

Приведём пример, иллюстрирующий применение данного результата. Причина, по которой мы приводим данный пример, будет ясна сразу после представленного примера.

Пример 2 Пусть £ = ..., £п)т, п > 2, - гауссовский центрированный вектор с единичной ковариационной матрицей 1п. Рассмотрим еектор к = (к1,...,кп) е и пусть ЕП=1 к = к. Предполагая, что все к > 1, найдём асимптотику следующей вероятности, при и ^ то

Р (6к1 > и) .

Нахождение точной асимптотики данной вероятности при наличии зависимости у компонент вектора £ представляет из себя сложную задачу с точки зрения аналитического вычисления констант в теореме 1, В случае некоторой зависимости компонент вектора £ можно перейти к стандартному гауссовскому вектору п, т-4■ £ = Я1/2П (в

предположении положительной определенности ковариационной матрицы Я). При этом вместо монома необходимо будет рассмотреть однородный полином, степень которого, очевидно, совпадает с к, но мономы которого имеют вид

П111... Пп1п

с целочисленными показателями г = 1,..., п, такими что ^П=1^ = к. С целью аналитического вычисления точной асимптотики искомой вероятности обратимся к случаю независимых компонент вектора £. Кроме этого, без ограничения общности для упрощения вычислений будем считать, что Е£2 = 1 для всех г = 1,..., п.

Следуя теореме 1, необходимо найти максимум функции д(х) = ж^1 ... ж^Т на единичной сфере, а также определить структуру данного множества точек максимума. Используя метод множителей Лагранжа для решения экстремальной задачи, получим: множество точек максимума М состоит го направлений в §п-1, которым соответствуют наборы в Мп такие что ж = ±\/к»/к, г = 1,..., п и $(х) = ж1к1 ... жпкп > 0, Без ограничения общности будем считать, что к1,..., к, I € {0,..., п} - четные, а остальные к» -нечетные. Тогда М состоит из 2п-г-12г = 2п-1 наборов при I = п и из 2п наборов при I = п, то есть многообразие точек максимума функции $(•) на единичной сфере §п-1 нульмерно. При этом в каждой точке е бМ верно

п ( к•4 кг/2 9 = 2(е) = П (¿Т

г=1 ^

Применяя теорему 1 и производя соответствующие вычисления, получим, что в случае, когда среди к присутствуют нечётные показатели, при и ^ то (в случае, когда все показатели к чётные, соответствующая вероятность удваивается)

( \

-1/к

Р (6к1 ...^ > и) -4=

л/П

и

кг )кг/2

\ и V к ) /

\г=1 /

Пук

( \

ехр

и

2/к к

, 2 П ккг/к ,

\ г=1 /

Замечание 3 Основным членом, определяющим скорость сходимости искомой вероятности к нулю, является, экспонента, а, скорость сходимости определяется, ее показателем,. Поставим вопрос о минимальной скорости сходим,ости. А именно, нас будут интересовать наборы к = (к1,..., кп), сумма компонент которых фиксирована к,

Для этого в целых неотрицательных числах необходимо решить экстремальную задачу:

п

Пкк

^ тах .

к: п=1 кг=к

г=1

Ее решением являются следующие п наборов для век тора к = (к1,..., кп) : к» ^ к, к 1 ^ • • • ^ /с^ ^ • • • ^ кп ^ 0, г ^ 1,..., п.

Таким образом, самыми тяжелыми хвостами обладаю мономы вида , г = 1,..., п. Вместе с тем, как показывает следующий пример, в случае, когда вместо монома рассматривается их сумма, влияние на скорость сходимости искомой вероятности к нулю

оказывают оба члена, В этом смысле асимптотическое поведение хвостов распределения однородного полинома зависит как от мономов с самыми тяжелыми хвостами, так и от мономов с более лёгкими хвостами. Для гауссовского стандартного вектора £ = (£i,..., £П)Т ПРИ нечетном k > 2 (при четном k перед второй вероятностью возникнет двойка) при u ^ то

P ((6 +... + £n)fc > u) = p (б +... + Cn > uk) = P ^j

= (-£ )(1 + O (uL)) .

где С _ стандартная гауссовская случайная величина. Рассмотрим ту же самую вероятность следующим образом

p ((Ci +... + Cn)k > u) = p (Cik +... + + h(Ci,..., Cn) > u).

В соответствие с замечанием, самыми тяжелыми хвостами обладают мономы вида £ifc, i = 1,...,n. Предположим, что весь остаток, который обозначен под вероятностью как h(Ci,..., £n), не влияет па асимптотику хвостов, то есть можно рассмотреть асимптотику хвостов суммы k-ых степеней С и получить общую асимптотику искомой вероятности. Для этого рассмотрим вероятность P (^ifc + ... + £nfc > u) . Применим результат теоремы 1 к функции g(x) = xik + • • • + xnk, Очевидно, что при всех целых k>2

xik + • • • + xnk < xi2 + • • • + xn2 = l,

откуда g = l и, тем самым, для некоторых констант C > 0,7 (точное значение которых несущественно) при u ^ то

( u2/fc)

P (6fc + ... + Cnk >u = Cu"expi -u^J (1 + o(l)),

то есть показатель экспоненты в n раз отличается от точного результата. Отбрасывание однородного полинома h(Ci,..., £n), состоящего из мономов с экспоненциально более лёгкими хвостами, привело к неверным результатам. Таким образом, в общем случае нельзя пренебрегать мономами с более легкими хвостами при подсчете общей асимптотики вероятностей высоких выбросов однородных полиномов от гауссовского случайного вектора.

Вспомогательные результаты из теории гауссовских случайных процессов

Кроме результата, описывающего асимптотическое поведение хвостов распределений случайных величин типа гауссовского хаоса, в процессе решения поставленной задачи используются следующие известные результаты из теории гауссовских случайных процессов. Первый из результатов даёт удобный способ доказательства плотности семейства гауссовских распределений.

Теорема 2 ([15]) Семейство |X0(t), t е [0,1]"} , a е A, где A - произвольное множество, п.н. непрерывных гауссовских центрированных полей плотно в B(C([0,1]")), если, для некоторых G, y > 0 выполнено следующее неравенство для, всех t, s е [0,1]"

sup E (X0(t) - Xa(s))2 < G|t - s|Y.

Следующий результат позволяет получить верхнюю оценку для вероятности высоких выбросов траекторий гауссовских полей на компакте в случае, если траектории гауе-совского поля удовлетворяют условию Гёльдера.

Теорема 3 ([15]) Пусть {X(1), 1 е Е^} п.н. непрерывное гауссовское центрированное поле. Предположим, что для некоторых С, 7 > 0 и некоторого компакта Б С Е выполнено следующее неравенство для всех 1, б е Б

Е (X(1) - X(б))2 < - Б|7.

Тогда, для некоторой константы С = С (С, 7) > 0 и всех и > 0 выполнено следующее неравенство

Р ( maxX(t) > и ) < Cmes(S) ( -

Vtes J WS)

2d

и \ Y T l и Ф

^(S)y WS)

где mes(S) - мера Лебега множества S и a(S)2 := supteS EX(t)2.

Одним из ключевых результатов, используемых в доказательстве теоремы Ппкандса, является следующая лемма, в основе которой лежит неравенство Слепяна,

Лемма 1 ([16]) Рассмотрим п.н. непрерывный гауссовский стационарный центрированный процесс X (t), t е R+, ковариационная функция которого удовлетворяет условиям Пикандса

r(t) = 1 - c|t|a + o(|t|a), t ^ 0, c > 0, а е (0, 2], |r(t)| < 1 для, всex t = 0. Пусть £ е (0,1/2) такое, что для, всех t е [0,£]

c

1 - 2c|t|a < r(t) < 1 - -|t|a.

Тогда, существует константа h такая, что для, всех T > 0, to > T и и > и0, т.ч. Uo := (2(t0 + T)/£)2/a , имеет место неравенство

Р( max X(t) > и, max X(t) > и ) < hT(t0 + Т)Ф(и)ехр (-C|t0 - T

Наконец, приведём формулировку леммы Бореля,

Лемма 2 (Бореля, [15]) Пусть X(s), s е S, является, действительнозначным се-парабельным гауссовским процессом, на, произвольном, па,ра,м,етрич,еском, множестве S.

a(S)2 = sup E(X(s) - EX(s))2 < то, m = sup EX(s) < то, ses ses

и a - действительное число, т.ч.

Р (sup (X(s) - EX(s)) >a ) < 1. \ses J 2

Тогда, для всех x > 0

^ i \ T /x — m — a

p ssup x (S) >x <^(S)

Цель работы.

Целью работы является нахождения точной асимптотики вероятностей высоких выбросов траекторий процессов гауссовского хаоса в случае, когда в качестве процесса рассматривается п.н. непрерывный центрированный стационарный гауссовский векторный процесс £(£), матричная ковариационная функция которого в окрестности нуля удовлетворяет условию типа Пикандса, В частности, предполагается, что компоненты гауссовского векторного процесса могут быть зависимы между собой.

Структура и объём работы.

Диссертация состоит из введения, включающего общую постановку задачи, краткий исторический очерк и описание наиболее важных методов и результатов, применяемых в исследовании, трёх глав, заключения и списка литературы из 30 наименований. Общий объем диссертации составляет 82 страницы.

Научная новизна.

Представленные в диссертации результаты являются новыми и получены автором самостоятельно. Мотивация работы приведена выше.

Положения, выносимые на защиту.

1. Найдена точная асимптотика для вероятностей высоких выбросов траекторий произведения двух п.н, непрерывных центрированных стационарных гауссовских процессов, ковариационная функция каждого из которых удовлетворяет условию типа Пикандса в окрестности нуля с разными показателями а^, а2, то есть процесса вида Предполагается, что рассматриваемые процессы могут быть зависимы.

2. Найдена точная асимптотика для вероятностей высоких выбросов траекторий квадратичной формы от п.н. непрерывного центрированного стационарного гауссовского векторного процесса в случае, когда матричная ковариационная функция векторного процесса £(£) удовлетворяет условию типа Пикандса в окрестности нуля, то есть процесса (£(£), А£(£)). Предполагается, что максимальное собственное значение матрицы А положительно и имеет кратность 1, а компоненты рассматриваемого векторного процесса могут быть зависимы между собой.

3. Найдена точная асимптотика для вероятностей высоких выбросов траекторий процессов гауссовского хаоса, то есть однородной функции $(•) : ^ К от п.н. непрерывного центрированного стационарного гауссовского векторного процесса £(£), в случае, когда матричная ковариационная функция векторного процесса удовлетворяет условию типа Пикандса в окрестности нуля, а функция $(•) удовлетворяет условию 1, в частности является дважды непрерывно дифференцируемой в некоторой окрестности своего множества точек максимума на единичной сфере. Предполагается, что компоненты рассматриваемого векторного процесса могут быть зависимы между собой.

Методы исследования.

В диссертации используются как классические методы теории вероятностей и теории случайных процессов, такие как метод дискретной аппроксимации, техника слабой сходимости вероятностных мер, так и специальные методы из теории гауссовских случайных процессов и математического анализа, такие как метод двойных сумм, основу которого составляет доказательство теоремы Пнкандса, лемма Бореля, метод асимптотической оценки интегралов типа Лапласа, а также асимптотические оценки сверху для вероятностей высоких выбросов траекторий гауссовских случайных полей с локально-стационарной структурой.

Теоретическая и практическая значимость.

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в теории надёжности, страховании, финансовой сфере и других приложениях вероятностных методов.

Апробация работы.

Результаты диссертационной работы докладывались автором на следующих научных конференциях:

1, Научная конференция «Ломоносовские чтения», Большие выбросы процессов гауе-совского хаоса. Аппроксимация в дискретном времени, Москва, апрель 2017 года,

2, 4'th International Workshop «Analysis, Geometry and Probability», High extrema of Gaussian chaos processes (Большие выбросы процессов гауссовского хаоса), Москва, сентябрь-октябрь 2016 года,

3, XXIII Международная, молодежная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов», Вероятности высоких выбросов траекторий процессов гауссовского хаоса в случае зависимых процессов, Москва, апрель 2016 года.

По теме диссертации автором были сделаны следующие доклады на научно-исследовательских семинарах:

1, «Большой семинар кафедры, теории вероятностей МГУ имени М.В. Ломоносова» под руководством академика РАН А, Н, Ширяева, Асимптотический анализ процессов гауссовского хаоса, Москва, 21 марта 2018 года,

2, Научно-исследовательский семинар «Теория, вероятностей. Аналитические и экономические приложения», НИУ ВШЭ. Асимптотический анализ процессов гауссовского хаоса, Москва, 31 января 2019 года,

3, «Большой семинар кафедры, теории вероятностей МГУ имени М.В. Ломоносова» под руководством академика РАН А, Н, Ширяева, Вероятности высоких выбросов произведения двух гауссовских стационарных процессов, Москва, 4 марта 2015 года.

Публикации.

Основные результаты днссертацн опубликованы в 3 работах автора (см, [28], [29], [30], 2 из которых в соавторстве) в рецензируемых научных журналах, входящих в базы данных Web of Science, Scopus, а также представлены в тезисах 2 международных конференций, Список этих работ приведён в конце диссертации.

Благодарность.

Работа выполнена под руководством д,ф,-м,н,, профессора Владимира Ильича Пи-тербарга, которому автор выражает искреннюю благодарность за постановку задачи, постоянную и разностороннюю поддержку, а также многочисленные обсуждения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Жданов Александр Иванович, 2019 год

Список литературы

[1] Федорюк, М.В., Метод перевала, — Москва, Наука, 1977,

[2] Wiener N. The Homogeneous Chaos, — American Journal of Mathematics, 1938, 60:4, 897-936.

[3] Коршунов Д. A., Питербарг В. П., Хашорва Э. Об экстремальных значениях гауе-совского хаоса, — Доклады Академии наук, 2013, 452:5, 483-485,

[4] Коршунов Д. А., Питербарг В. П., Хашорва Е. Об асимптотическом методе Лапласа и его применении к случайному хаосу, — Математические заметки, 2015, 97:6, 868-883.

[5] Ha-shorva Е., Korshunov D., Piterbarg V. I. Asymptotic expansion of Gaussian chaos via probabilistic approach. — Extremes, 2015, 18:3, 315-347.

[6] В.И. Арнольд, A.H. Варченко, С.M. Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. Том II. — Монодромия и асимптотики интегралов, Наука, 1984.

[7] Е. Combet. Intégrales Exponentielles. Développements Asvmptotiques, Propriétés Lagrangiennes. — Berlin-New York Lecture Notes in Mathematics, 937, Springer-Verlag, 1982.

[8] Колмогоров, A.H., Фомин, C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. — Москва, Наука, 1976.

[9] Р. Веллман. Введение в теорию матриц. 1969.

[10] J. Pickands, III. Upcrossing probabilities for stationary Gaussian processes. — Trans. Amer. Math. Soe., 1969, 145, 51-73.

[11] Piterbarg V.I. High excursions for nonstationarv generalized chi-square processes. — Stoch. Process Appl., 1994, 51, 307-337.

[12] Piterbarg V. High deviations for multidimensional stationary Gaussian process with independent components. — Problems of Stability of Stochastic Models. Moscow-Utrehrt, TVP-VSP, 1994, 197-230.

[13] В. И. Питербарг, С. Стаматович. Предельная теорема для а-выходов траекторий Х2-процеееа за высокий уровень. — Теория вероятн, и ее примен,, 2003, 48:4, 811818.

[14] Patrik Albin, Enkelejd Hashorva, Lanpeng Ji, Chengxiu Ling. Extremes and Limit Theorems for Difference of Chi-tvpe processes, — http://arxiv.org/abs/1508/02758, 2015.

[15] Piterbarg, V.I. Asymptotic Methods in the Theory of Gaussian Processes and Fields. — Providence, E.LAmerican Mathematical Society, 2012, pp. 206.

[16] Питербарг В. И. Двадцать лекций о гауссовских процессах. — Москва, МЦНМО, 2015, с. 192.

[17] Vladimir I. Piterbarg. High extrema of Gaussian chaos processes. — Extremes, 2016, 19:2, 253-272.

[18] Питербарг В. И. Большие выброеы процессов гауееовекого хаоса, — Доклады Академии наук, 2016, 467:1, 23-25,

[19] Adler R.J., Taylor J.E. Random Fields and Geometry, — Springer Monographs in Mathematics, 2007,

[20] Adler R.J. The Geometry of Random Fields, — Wiley, London, 1981,

[21] Piterbarg V. Discrete and continuous time extremes of Gaussian processes, — Extremes, 2004, 7:2, 161-177.

[22] Berman S.M. Sojourns and extremes of stationary processes, — Ann, Probab,, 1982, 10:1, 1—46.

[23] Berman S.M. Sojourns and extremes of stochastic processes. — The Wadsworth and Brooks/Cole Statistics/ Probability Series. Wadsworth and Brooks/Cole Advanced Books and Software, Pacific Grove, CA, 1992.

[24] Rice S.O. Mathematical analysis of random noise. — Bell System Tech. J., 1994, 23, 282-332.

[25] Billingsley P. Convergence of Probability Measures. — Wiley, 1999.

[26] Albin J. M. P. On extremal theory for stationary processes. — Ann. Probab, 1990, 18, 92-128.

[27] M. R. Leadbetter, G. Lindgren, and H. Rootzen. Extremes and related properties of random sequences and processes, volume 11. — Springer Verlag, 1983.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи, опубликованные в журналах, индексируемых в международных базах

данных Web of Science, Scopus

[28] Piterbarg V.I., Zhdanov A. On probability of high extremes for product of two independent Gaussian stationary processes. — Extremes, 2015, 18:1, 99-108.

[29] A. I. Zhdanov. On probability of high extremes for product of two Gaussian stationary processes. — Theory Probab. Appl., 2015, 60:3, 520—527.

[30] A. I. Zhdanov, V. I. Piterbarg. High extremes of Gaussian chaos processes: a discrete time approximation approach. — Theory Probab. Appl., 2018, 63:1, 1—21.