Асимптотическое исследование кинетики электронов средних энергий в веществе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Бакалейников, Леонид Александрович

• Бакалейников, Леонид Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 1985

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бакалейников, Леонид Александрович

ВВЕДЕНИЕ. ' Ч

ГЛАВА I. Приближенные формы линейного кинетического уравнения и методы его решения (обзор литературы) *.

§ I. Аналитические методы исследования кинетического уравнения.

§ 2* Численные методы решения линейного кинетического уравнения.

§ 3. Расчет кинетики электронов средних энергий в веществе •

§ Цель работы.

ГЛАВА 2« Асимптотическое исследование интеграла столкновений кинетического уравнения для электронов средних энергий.

§ 5. Анализ, дифференциального сечения рассеяния электронов средних энергий и характерных длин процесса релаксации

§ б* Исследование собственных чисел упругой части интеграла столкновений

§ 7* Асимптотическое преобразование неупругой части интеграла столкновений •

§ 8. Асимптотическое преобразование интеграла столкновений с учетом динамики атома в решетке кристалла. »

ГЛАВА 3* Асимптотическое расщепление кинетического уравнения для электронов средних энергий в тяжелых мишенях.

§ 9. Разделение процессов угловой и энергетической релаксации электронов и вывод обобщенного уравнения диффузии

§ 10. Приближенное решение кинетического уравнения в области диффузии.

ГЛАВА Пограничные слои в задачах кинетики электронов средних энергий

§ П. Координатная асимптотика пограничного слоя эффективной изотропизации. .'

§ 12. Сращивание решений в пограничном слое эффективной изотропизации и в области диффузии • . $

§ 13. Пограничные слои в задаче релаксации узкого по углам и энергиям цучка электронов в полубесконечной тяжелой мишени . • • Ц

§ 14. Расчет дифференциальной плотности потока электронов в пограничном слое эффективной изотропизации.

ЗАКЛКЙЕНИЕ.'<

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотическое исследование кинетики электронов средних энергий в веществе»

Актуальность проблемы. Пучки заряженных и нейтральных частиц широко используются для решения научных и прикладных задач в области ядерной энергетики, радиационной физики, полупроводниковой технологии, В частности, разработки, предпринятые для решения таких задач физики и техники, как электронно-зондовый метод исследования вещества, генерация носителей заряда в оптических квантовых генераторах с электронной накачкой, эмиссия электронов во вторично-эмиссионных приборах стицулировали интерес к исследованию взаимодействия электронов с энергиями 10-100 кэВ с веществом. Взаимодействие электронов с веществом сопровождается генерацией электронно-дырочных пар, рентгеновского излучения , возникновением плазмонных колебаний, появлением структурных дефектов и т.д. Количественный расчет этих эффектов требует информации о пространственном и скоростном распределении электронов. Это распределение может бить получено при решении кинетического уравнения, описывающего процесс распространения электронов в веществе.

Решение кинетического уравнения вызывает большие трудности, поэтому были предложены различные упрощенные модели, позволяющие выявить основные закономерности процесса переноса электронов. Наличие большого количества этих моделей и отсутствие четких критериев их пригодности ставит вопрос о классификации приближенных моделей и определении областей их применимости.

Развитие техники повысило требования к точности количественных оценок эффектов, происходящих при взаимодействии электронов с веществом, что привело к недостаточности качественных закономерностей процесса переноса, даваемых приближенными моделями.

Особенно высоки требования к точности расчета распределения электронов в тех ситуациях, где электронный пучок используется в диагностических целях. Наряду с высокой точностью здесь требуется достаточно простое решение, которое позволило бы решать обратную задачу.

Стремление к реалистической постановке задачи, к более точному учету особенностей процесса переноса электронов в веществе заставило использовать для решения кинетического уравнения численные методы« В частности, широкое применение получил метод Монте-Кйрло, основанный на численном моделировании процесса распространения электронов в веществе. Несмотря на то, что численные методы являются весьма мощным инструментом, позволяющим находить решения широкого класса задач математической физики, их использование для расчета распределения электронов сталкиваться со значительными трудностями. Наличие большого числа характерных длин в кинетическом уравнении усложняет вычислительный алгоритм и приводит к большим затратам времени и других ресурсов даже при использовании мощных современных ЭВМ* Кроме того, численный подход не позволяет выявить зависимость распределения электронов от параметров, что резко ограничивает его применимость для решения обратных задач.

Таким образом, положение, существующее в области теоретического моделирования кинетики электронов в веществе, с одной стороны, и требования практики, с другой, обуславливают актуальность поиска эффективных методов решения кинетического уравнения, сочетающих простоту и физическую содержательность с достаточной для приложений точностью.

Цель работы. Целью настоящей диссертационной работы является разработка асимптотического подхода применительно к решению кинетического уравнения для электронов средних энергий. Для реализации этой цели следует провести анализ дифференциального сечения рассеяния электронов средних энергий, сравнить характерные длины различных процессов, происходящих при распространении электронов в веществе, и выделить малые параметры задачи; провести асимптотическое разложение упругой и неупругой частей интеграла столкновений по выделенным в дифференциальных сечениях рассеяния параметрам малости ; выявить структуру решения кинетического уравнения для электронов (типы и расположение пограничных слоев) на основе выделения разномасштабных процессов и применения методов сингулярной теории возмущений; разработать алгоритм построения асимптотических разложений для полученной цепочки задач; провести численные и аналитические расчеты распределения электронов в соответствии с выявленной структурой решения кинетического уравнения.

Научная новизна работы определяется тем, что в ней получено асимптотическое разложение неупругой части интеграла столкновений для электронов средних энергий и исследован спектр упругой части для оценки применимости дифференциальных при« ближений; разработан алгоритм построения асимптотического разложения для решения кинетического уравнения для электронов средних энергий в полубесконечных тяжелых мишенях ; установлены области применимости различных упрощенных моделей кинетического уравнения, используемых для отыскания распределения электронов, и найдены связи между ними; выявлена структура решения задачи о релаксации пучка электронов средних энергий в полубесконечных тяжелых мишенях. Практическая значимость работы заключается в использовании выявленной структуры распределения электронов средних энергий в тяжелых мишенях для разработки приближенных методов решения задач рентгеновского микроанализа ; в применении для решения задач кинетики электронов средних энергий предложенной в работе общей схемы, объединяющей различные модели кинетического уравнения и позволяющей переходить от одной из них к другой при изменении рассматриваемых масштабов длин, углов и энергий.

Поставленная цель обусловила структуру и содержание диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Бакалейников, Леонид Александрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Укажем основные новые результаты, полученные в настоящей работе:

1. Исследован спектр упругой части интеграла столкновений для электронов средних энергий, распространяющихся в веществе. Сравнение его со спектром аппроксимирующих операторов, полученных при асимптотическом преобразовании упругого столкновительно-го члена, показывает, что помимо традиционного дифференциального оператора необходимо учитывать оператор рассеяния на большие углы.

2. Проведено обобщение способа асимптотического разложения интегралов с § -образным ядром, убывающим степенным образом, на случай зависимости ядра от медленной переменной. Полученный результат использован для выполнения корректного разложения неупругой части интеграла столкновений.

3. На основе анализа характерных длин различных процессов, происходящих при распространении электронов в веществе, выявлена многомасштабность кинетического уравнения и определены малые параметры, что позволяет использовать для его исследования методы теории воз^щений. и. Проведено асимптотическое преобразование интеграла столкновений с дифференциальным сечением рассеяния, учитывающим связанность атома в решетке кристалла. Учет этого явления приводит к изменению величин среднеквадратичного угла рассеяния и средней потери энергии, и, кроме того, к диффузии частиц по энергии. Анизотропия динамики атома в решетке проявляется лишь в членах разложения второго порядка по выделенным в дифференциальном сечении рассеяния параметрам малости.

5. Построен алгоритм основного итерационного процесса для решения кинетического уравнения для электронов средних энергий в тяжелых полу бесконечных мишенях. Показано, что исходная задача расщепляется на задачу для угловой части распределения и на задачу для определения зависимости распределения от глубины и энергии. Проанализированы особенности применения общей схемы асимптотического расщепления много масштабных задач к линейному кинетическому уравнению.

6. Исследован пограничный слой эффективной изотропизации и построена координатная асимптотика его решений. На основе использования процедуры сращивания асимптотических разложений в области диффузии и в пограничном слое эффективной изотропизации указан алгоритм нахождения граничных условий для уравнений меньшей размерности, который замыкает общий процесс построения последовательных приближений равномерного асимптотического разложения.

7. Выявлена структура пограничных слоев, возникающих в задаче о взаимодействии моноэнергетического мононаправленного пучка электронов средних энергий с полубесконечной тяжелой мишенью. Применимость различных приближений, используемых в кинетике электронов средних энергий, связана с малостью безразмерных параметров задачи. Проведено объединение приближенных моделей в единую схему, описывающую процесс релаксации электронов в любых масштабах длин, углов и энергий. Взаимодействие пограничных слоев между собой и с областью диффузии определяется передаваемыми из одной области в другую граничными условиями.

8« Разработан алгоритм численного решения кинетического уравнения в пограничном слое эффективной изотропизации проекционным методом Ивона-Мертенса. Полученный алгоритм применен для расчета распределения электронов в пограничном слое мишеней из индия и золота.

В заключение считаю своим приятным долгом выразить глубокую признательность Я*С.Уфлянду за руководство, постоянное внимание и помощь в работе. Я также глубоко благодарен Э.А.Троппу за многочисленные дискуссии, способствовавшие выяснению вопросов использования асимптотического подхода в кинетике электронов в веществе как в процессе выполнения вошедших в диссертацию совместных работ, так и в повседневной деятельности. Я искренне признателен Е.В.Галактионову, Ю.А.Шиоанову, В.С.Юфереву, Н.А.Гунько, а также всем участникам семинара лаборатории прикладной математики ФТИ им.А.Ф.Иоффе Ж ССиР, руководимого Я.С.Уфляндом, за полезное обсуждение изложенных здесь результатов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бакалейников, Леонид Александрович, 1985 год

1. Аккерман А.Ф., Никитушев Ю.М., Ботвин В. А. Решение методом Монте-Карло задач переноса быстрых электронов в веществе. -Алма-Ата: Наука, 1972. 163 с.

2. Бакалейников Л.А. Исследование собственных чисел интеграла столкновений при упругом рассеянии быстрых электронов на экранированном кулоновском потенциале. Курн.техн.физ., 1982, т.52, № I, с.147-149.

3. Бакалейников Л. А. Асимптотическое преобразование неупругой части интеграла столкновений для быстрых электронов. Курн. техн.физ., 1984, т. 54, № 7, c.I241-1245.

4. Бакалейников Л. А., Тропп Э.А. Асимптотическая форма уравнения переноса для быстрых электронов с учетом динамики атома в решетке кристалла. Журн.техн.физ., 1981, т.51, № 2,с.233-238.

5. Бакалейников Л.А., Тропп Э.А. Приближенные формы уравнения переноса для электронов средних энергий в твердом теле. -Ленинград, 1982. 31 с. (Препринт / Физ.-техн.ин-т им. А.Ф.Иоффе: № 784).

6. Вавилов П.В. Ионизационные потери тяжелых частиц больших энергий. Журн.эксп. и теор.физ., 1957, т.32, № 4, с.920--923.

7. Ван-Дайк М. Методы воз^щений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. - 310 с.

8. Васильева А.Б., Бутузов В.§. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.327 с.

9. Васильева A.B., Бутузов В.ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. м.: Изд.МГУ, 1978. - 378 с.

10. Вишик М.И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. Успехи мат.наук, 1957, т.12, № 5(77), с.3-122.

11. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений. Успехи мат.наук, i960, т.15, Ш 3(93), с.3-80.

12. Вишик М.И., Люстерник Л. А. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений с большими или быстро меняющимися коэффициентами и граничными условиями. -Успехи мат.наук, i960, т.15, № 4(94), с.27-95.

13. Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. Тр.матем.ин-та АН СССР, 1961, т.61. -157 с.

14. Владимиров B.C. О некоторых вариационных методах приближенного решения уравнения переноса. Выч.мат», 1961, № 7, с.93-101.

15. Владимиров B.C. Численные методы решения кинетического уравнения для сферы. -Выч.мат., 1958, № 3, с.31-36.

16. Вычислительные методы в теории переноса / Г.И.Марчук. М.: Атомиздат, 1969. - 247 с.

17. Галактионов Е.В., Тропп Э.А. Стационарная задача термоупругости для тонкого анизотропного стержня произвольного сечения. Л.: 1977. - 25 с. (Препринт / Физ.-Техн.ин-т им. А.Ф.Иоффе: № 556).

18. Галактионов Е.В., Тропп Э.А. Асимптотическое интегрирование уравнений термоупругости для тонкой анизотропной пластины. -Л., 1977. 12 с. (Препринт / физ.-Техн.ин-т им.А.Ф.Иоффе:546..

19. Галактионов Е.В., Тропп Э.А. Пограничный слой в задаче анизотропной теплопроводности для тонкого стержня произвольного сечения. Л., 1982. - 30 с. (Препринт / Физ-Техн.ин-т им.А.Ф.Иоффе: № 786).

20. Галактионов Е.В. Метод асимптотического интегрирования в задачах теории теплопроводности и термоупругости для тонких анизотропных тел: Автореф. дисс.канд.физ.-мат.наук. -Ленинград, 1983. 184 с.

21. Галишев B.C. Вопросы теории многократного рассеяния частиц.-М.: Атомиздат, 1972. 118 с.

22. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. 2-е изд. - М.: Физматгиз, 1959. - 430 с.

23. Гермогенова Т.А. Локальные свойства решения уравнения переноса. М., 1968. - 27 с. (Препринт / Ин-т прикл.мат. им. М.В.Келдыша: № 127).

24. Гермогенова Т.А. Обобщенные решения краевых задач для уравнения переноса. IBM и МФ, 1969, т.9, № 3, с.605-616.

25. Головяшкина Л.В., Косарев Ю.Г., Находкин Н.Г. Прямое моделирование неупругого рассеяния электронов. Особенности углового распределения.- Изв.АН СССР, сер.физ., 1973, т.37, № 12, с. 1480-1487.

26. Головяшкина JI.В., Косарев Ю.Г., Находкин Н.Г. Пространственное распределение отраженных и поглощенных электронов. -Выч.системы, 1973, вып.56, с.130-135.

27. Головяшкина Л.В., Крынько Ю.Н., Мельник П.В., Находкин Н.Г. Экспериментальные и расчетные характеристики неупругого рассеяния электронов. Укр.физ.журн., 1976, т.21, № 2, с.263-276.

28. Головяшкина Л.В., Находкин Н.Г. Прямое моделирование неупругого рассеяния электронов. Выч.системы, 1972, вып.52,с.5-21.

29. Гунько H.A., Тропп Э.А. Асимптотическое преобразование упругого столкновительного члена в кинетическом уравнении для быстрых электронов. Письма в журн.техн.физ., 1980, т.6,6, с.372-375.

30. Калашников Н.П., Ремизович B.C., Рязанов М.И. Столкновения быстрых заряженных частиц в твердых телах, М.: Атомиздат, 1980. - 272 с.

31. Карлсон Б. Численное решение задач кинетической теории нейтронов. В кн.: Теория ядерных реакторов. - М.: Госатомиз-дат, 1963, с.243-258.

32. Карлсон Б., Белл Дж. Решение транспортного уравнения Sr. -методом. В кн.: Физика ядерных реакторов. - М. : Изд.иностр. лит., 1959, с.408-432.

33. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. - 740 с.42* Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1972. - 384 с.

34. Кольчужкин A.M., Учайкин В.В. Введение в теорию прохождения частиц аерез вещество. М.: Атомиздат, 1978. - 255 с.

35. Кольчужкин A.M., Шевцова И.Н. К расчету переходного эффекта для электронно-фотонного ливня. Изв. ВУЗов, физика, 1969, № 2, с.137-139.

36. Корн Г,Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970. - 720 с.

37. Косслетт В. Поглощение энергии электронов в толстых мишенях. «В кн.: физические основы рентгеноспектрального локального анализа / Боровский И.Б. М.: Наука, 1973, с.Ц-27.

38. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972. - 273 с.

39. Крупман А.И. Моделирование переноса электронных потоков через вещество. Дисс. . канд.физ.-мат.наук. - Рига, 1972« - 185 с.

40. Кузюк В.А., Рахматулина А.Х. Некоторые асимптотические задачи теории переноса электронов. IBM и Шг 1975, т.15, № 5, C.I248-I26I.

41. Лалетин Н.И. Элементарные решения односкоростного уравнения переноса нейтронов в решетках реактора / Шевелев Я.В. М.: Атомиздат, 1974, с,155-186.

42. Ландау Л.Д. О потерях энергии быстрыми частицами на ионизацию. -Собр.трудов в 2-х т., М.: Наука, 1969, т.1, с.482--494.

43. Лебедев В.И. Элементарные решения многомерных задач переноса. В кн.: Вычислительные методы в теории переноса. - М.: Атомиздат, 1969, с.71-87.

44. Лебедев В.И. О нахождении решений кинетических задач, IBM и №, 1966, т.6, )Ь 5, с.895-899.

45. Левандовский В.Г., Чайка Г.Е. Энергетический спектр оыстрых вторичных электронов, отраженных от поверхности твердого тела. Укр. физ.журн., 1974, т.19, № 6, с.976-982.

46. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. -М.: Наука, 1981. 398 с.

47. Маннинг Д. Кинетика диффузии атомов в кристаллах. М.: Мир, 1971. - 277 с.

48. Марчук Г.И., Агошков В.И. О выборе координатных функций в обобщенном методе Бубнова-Галеркина. Докл. АН СССР, 1977, т.232, № 6, с.1253-1255.

49. Мотт Н., Месси Г. Теория атомных столкновений. М.; Мир,1969. 756 с.

50. Оразов M.Б» 0 полноте собственных и присоединенных векторов самосопряженного квадратичного пучка, Функц, анализ и его приложения, 1976, т.10, № 2, с.82-83.

51. Петеркоп Р.К. Теория ионизации атомов электронным ударом. -Рига: Зинатне, 1975. 190 с.

52. Платцмаи Ф., Вольф П. Волны и взаимодействия в плазме твердого тела, М. : Мир, 1975. - 436 с.

53. Померанчук И.Я. О флуктуациях ионизационных пробегов, -Собр.научн.трудов в 3-х томах, М. : Наука, 1972, т.2, с.104--113.

54. Ремизович B.C. Угловое и энергетическое распределение тяжелых нерелятивистских частиц в плоском поглотителе на больших глубинах. Атомная энергия, 1974, т.36, № 5, с.394-395.

55. Росси Б. Частицы больших энергий. М.: ГЙТТЛ, 1955. - 636 с.

56. Смоляр В.А. Диффузионная теория обратного рассеяния и проникновения электронов в полу бесконечную мишень, не содержащая подгоночных параметров. Радиотехника и электроника, 1979, т.24, №9, с.1812-1819.

57. Струминский В.В. О методе Гильберта решения кинетического уравнения Больцмана. Докл.АН СССР, 1964, т.158, № I,с.70-73.

58. Струминский В.В. Об одном методе решения кинетического уравнения Больцмана. Докл. АН СССР, 1964, т.158, № 2, с.298--301.

59. Тихонов А.Н., Самарский A.A., Арсеньев A.A. Об одном методе асимптотических оценок интегралов. IBM и Mi, 1972, т.12, № 4, с.1005-1012.

60. Тропп Э.А. Асимптотическое расщепление многома с штабных статических и квазистационарных задач термомеханики и электродинамики сплошной среды: Автореф. дисс. . доктора физ,-мат.наук. Ленинград, 1984. - 320 с.

61. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии. М.: Изд.иностр. лит., 1953. - 432 с.

62. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.: Изд.иностр.лит., I960. - 510 с.

63. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнений Больцмана. М.: Мир, 1978. - 495 с.

64. Шихов С.Б. Вопросы математической теории реакторов. М.: Атомиздат, 1973. - 375 с.

65. Шихов С.Б. Некоторые вопросы математической теории критического состояния реактора. IBM и Ш, 1967, т.7, № I, с.ПЗ--118.

66. Щулая Д.А. Линейное уравнение многоскоростной теории переноса. IBM и MS, 1983, т.23, № 5, с.1124-1140.

67. Archard G.D. Back scattering of electrons. J.Appl.Phys., 1961, v.32, N.8, p.1505-1509.

68. Bereiss E. Decomposition of the stationary isotropic transport in three independent space variables. — Международныйконгресс математиков ( Москва, 1966): Тез. кратких научн. сообщ., т.12, М., 1966, с.З.

69. Berger М. Monte Carlo calculation of the penetration and diffusion of fast charged particles. Meth.Gomput.Phys., 1963, v.1, p.135-217.

70. Berger M. Electron multiple scattering in extended media. -Rad. Reasearch, 1960, v. 12, N.4, p.4-22-423.- 163

71. Bethe H.A. Moliere's theory of multiple scattering. Phys. Rev., 1953, v.89, N.6, p.1256-1266.

72. Bethe H.A.,Rose M.E.,Smith L.P. The multiple scattering of electrons. Proc.Amer.Phil.Soc., 1938, v.78, N.4, p.573585.

73. Bichel H. Ionization of protons near the end of their range. -Phys.Rev., 1960, v.120, N.3, p.1012-1014.

74. Birkhoff R.D. The passage of fast electrons through matter.- In book: Encyclopedia of Physics, Berlin, 1958, v.34, s.53-138.

75. Bishop H.E. Calculations of electron penetration and X-ray production in a solid target. In book: Optique des rayons X et microanalyse. - Paris, Hermann, 1966, p.112-119.

76. Bishop H.E. Electron scattering in think targets. British J.Appl.Phys., 1967, v.18, N.6, p.703-715.

77. Bishop H.E. Some electron backscattering measurements for solid targets. In book: Optique des rayons X et microanalyse. - Paris, Hermann, 1966, p.153-158.

78. Bloch P. Bremsvermögen von atomen mit mehreren elektronen.- Zeit, für Physik, 1933, Bd.81, N.6, s.363-376.

79. Brown D.B.jOgilvie R.E. An electron transport model for the prediction of X-ray production and electron backscattering in electron microanalysis. J.Appl.Phys., 1966, v.37, N.12, p.4429-4433.

80. Buslik A.L. Extremum variational principles for the mono-energetic neutron transport equation with arbitrary adjoint source. Nucl.Sci. and Eng., 1969, v.35, N.3, p.303-307.

81. Case K.M. Elementary solutions of the transport equations- 164 and their applications. Ann.Phys., 1960, v.9, N. 1, p.1-23.

82. Chapman S. On the law of distribution of molecular velocities, and on the theory of viscosity and thermal conduction, in a non-uniform simple monoatomic gas. Phil.Trans. Roy.Soc., Ser. A, 1916, v.216, N.543, p.276-348.

83. Chapman S. On the kinetic theory of a gas. Part 2. Acom-posite monatomic gas: diffusion, viscosity and thermal conduction. - Phyl. Trans.Roy.Soc., Ser. A, 1918, v.217, N.553,p.115-197.

84. Darrozes J.S. Approximate solutions of the Boltzmann equation for flows past bodies of moderate curvature. In book: Rarefied gas dynamics ( proc. of the sixth intern, symposium on rarefied gas dynamics, Massachusetts, july, 1968), 1969, v.1, p.111-120.

85. Davis J.A. Transport error bounds via ft approximations. -Nucl.Sci. and Eng,, 1968, v.31, N. 1, p.127-146.

86. De Wames R.E.,Hall W.P. Crystal binding effect on the multiple scattering of high-energy charged particles. Phys. Rev.Let., 1966, v.17, N.3, p.122-125.

87. Draper J.E. Multiple scattering a different approach for any cross section and any scatterer thickness. - Nucl.Instr. and Meth., 1981, v.190, N.1, p.181-195.

88. Duncumb P.,Da Casa C. Atomic number and absorption corrections: accuracy obtained in practice. Second National Conference on electron microprobe analysis ( 14 june, 1967, Boston), p.9.

89. Everhart T.E. Simple theory concerning the reflection of- 165 electrons from solids. J.Appl.Phys., 1960, v.31, N.8, p.1483-1490.

90. Permi E. Eine statistische methode zur bestimmung einiger eigenschaften des atoms und ihre anwendung auf die theorie des periodischen systems der elemente. Zeit.Phys., 1928, Bd.48, N.1, s.73-79.

91. Goudsmit S.,Saunderson J.L. Multiple scattering of electrons. Part 2. Phys.Rev., 1940, v.58, N. 1, p.36-52.

92. Goudsmit S.,Saunderson J.L. Multiple scattering of electrons. Part 1. Phys.Rev., 1940, v.57, N. 1, p.24-46.

93. Grad H. Asymptotic theory of the Boltzmann equation. -Phys.Fluids, 1963, v.6, N. 1, p.147-181.

94. Grad H. Singular and nonuniform limits of solutions of the Boltzmann equation. In book: Transport theory

95. SIAM-AMS proceedings ), 1969, v.1, p.269-308.

96. Gryzinski M. Two-particle collisions. 2. Coulomb collisions in laboratory system of coordinates. Phys.Rev., 1965, v.138, N.2A, p.322-335.

97. Hilbert D. Grundzüge einer allgemeinen theorie der linearen integralgleichungen. New York, Chelsea, 1953, -282 s.

98. Hilbert D. Begründung der kinetischen gastheorie. Math. Annalen, 1912, Bd.72, N. 1, s.562-577.

99. Kaplan S.,Davis J. Canonical and involutory transformators of the variational problems of transport theory. -Nucl.Sci. and Eng., 1967, v.28, N.2, p,166-179.

100. Keil E.,Zeitter E.,Zinn W. Zur einfach-und mehrfachstreuung geladener teilchen. Zeits. für Naturfors., 1960,

101. Bd.15A, N.12, s.1031-1038.

102. Landron C.,Cauchois Y. Diffusion multiple d'electrons par un milieu atomique amorphe. Phil.Mag., 1981, v.44, N.6, p.1287-1298.

103. Lewis H.W. Multiple scattering in an infinite medium. -Phys.Rev., 1950, v.78, N.5, p.526-529.

104. Marshak R. Note on the spherical harmonic method as applied to the Milne problem for a ,sphere. Phys.Rev., 1947, v.71, p.443-446.

105. Marshak R. Theory of the slowing down of neutrons by elastic collision with atomic nuclei. Rev.Mod.Phys., 1947, v.19, N.3, p.185-238.

106. Massey H.S.W. Electron scattering in solids. Advances in electronics, 1952, v.4, p.1-68.

107. Mc Gormick N. J.,Kuscer I. Bi-orthogonality relations for solving half-space transport problems. -J.Math.Phys., 1966, v.7, N. 11, p.2036-2045.

108. Meissner G. Berechnung des durchganges schneller elektronen durch materie durch eine kombination von analytischen und stochastischen methoden. Zeit, für Naturfors., 1964, Bd.19A, N.3, s.269-283.

109. Mertens R. Sur la diffusion multiple de particules chargees. Gompt.Rend., 1953, t.236, N.18, p.1753-1755.

110. Mika J.R. Neutron transport with anisotropic scattering. Nucl.Sci. and Eng., 1961, v.11, N.4, p.415-427.

111. Moliere G. Theorie der strenung schneller geladener teilchen 2. Mehrfach-und vielfachstrenung. Zeit, für Nat-turforsch., 1948, Bd.3A, N. 1, s.78-97.- 167

112. Motz J.W.,01sen H.,Koch H.W. Electron scattering without atomic or nuclear excitation. Rev.Mod.Phys., 1964, v.36, IT.4, p.881-928.

113. Murata K.,Matsukawa T.,Shimizu R. Monte Carlo calculation on electron scattering in a solid targets. Japan J.Appl. Phys., 1971, v.10, N.6, p.678-686.

114. Murata K.,Matsukawa T.,Shimizu R. Study on the resolution of the backscatterd electron image by the Monte Carlo method. Japan J.Appl.Phys., 1971, v.10, N.9, p.1290-1291.

115. Nigam B. Calaulation of the scattering constant from theory of multiple scattering. Phys.Rev., 1963, v.131, N.1, p.238-244.

116. Ogilvie R.E.,Brown D.B. Prediction of X-ray production and electron backscattering. In book: Optique des rayons X et microanalyse. - Paris, Hermann, 1966, p.139-142.

117. Placzek G. The scattering of neutrons by systems of heavy nuclei. Phys.Rev., 1952, v.86, N.3, p.377-388.

118. Scott W.,Snyder H. On scattering induced curvature for fast charged particles. Phys.Rev., 1950, v.78, N.3, p.223-229.

119. Shimizu R.,Everhart T.E. Monte Carlo simulation of the energy dissipation of an electron beam in an organic specimen. Optik, 1972, v.36, N.1, p.59-65.

120. Shimizu R.,Murata K.»Shinoda G. Depth distribution of characteristic X-ray in microanalyser target. In book: Optique des rayons X et microanalyse. - Paris, Hermann, 1966, p.127-138.

121. Sone Y. Asymptotic theory of flow of rarefied gas over a smooth boundary 1. In book: Rarefied gas dynamicsproc. of the sixth intern, symposium on rarefied gas dynamics, Massachusetts, july, 1968), 1969, v.1, p.243-254.

122. Spencer L.V. Theory of electron penetration. Phys.Rev., 1955, v.98, IT.6, p.1597-1615.

123. Thomas L.H. The calculation of atomic fields. Proc. Cambr.Phil.Soc., 1927, v.23, N.5, p.542-550.

124. Ukai S. Solution of multi-dimensional neutron transport equation by finite element method. J.Nucl.Sci. and Tech. 1972, v.9, IT.6, p.366-371.

125. Valkealahti S.,Nieminen R.M. Monte Carlo calculations of keV electron and positron slowing down in solids. Appl. Phys.A, 1983, V.A32, N.2, p.95-106.

126. Wick G. On the space distribution of slow neutrons. -Phys.Rev., 1949, v.75, N.1, p.5-21.- 169

127. Wick G. Über ebene diffusionprobleme. Zeit.Phys.,1943, Bd.121, s.702-718.

128. Wilson R.R. Range and ionization measurements on high speed protons. Phys.Rev., 1941, v.60, N. 11, p.749-753.143« Yvon I.J. La diffusion macroscopique des neutrons unemethode d'approximation. J.Nue1.Energy, 1957, v.4, N.3, p.305-318.