Асимптотика времени пребывания случайного блуждания выше удаляющейся границы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат наук Тарасенко Антон Сергеевич

• Тарасенко Антон Сергеевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Тарасенко Антон Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Неравенства для времени пребывания случайного

блуждания на полуоси

§1 Формулировка основных результатов

§2 Вспомогательные результаты

§3 Доказательства основных результатов

ГЛАВА 2. Об асимптотике среднего времени пребывания случайного блуждания на полуоси в крамеровском случае

§1 Формулировка основных результатов

§2 Доказательство теоремы

§3 Доказательство теоремы

ГЛАВА 3. Об асимптотике среднего времени пребывания случайного блуждания на полуоси в случае тяжелых хвостов

§1 Формулировка основных результатов

§2 Вспомогательные результаты

§3 Доказательства основных результатов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотика времени пребывания случайного блуждания выше удаляющейся границы»

ВВЕДЕНИЕ

Будем всюду ниже полагать, чтоХ, Xi, Х2,... — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, Sn := ^™=i Xi, а2 := DX. Для произвольного числа b определим время пребывания случайного блуждания {Si}°=1 па полуоси [b; то):

n

Tn(b) := £ I{Si>b},

i=1

где Ia — индикатор события A.

Исследованию распределения времени пребывания случайного блуждания посвящено значительное число работ. Одним из первых результатов является хорошо известный закон арксинуса [31], доказанный П. Леви в 1937 году для простейшего случайного блуждания. Позже, в 1947 году П.Эрдош и М.Кац, используя принцип инвариантности, доказали закон арксинуса для сумм независимых случайных величин с конечной дисперсией (см. [28]). В 1954 году Спарре-Андерсен (см. [32]) с помощью трудоемких комбинаторных

X

2

lim P{Tn(0) ^ nx} = — arcsin yfx, 0 ^ x ^ 1.

n—уто n

Известны также предельные теоремы о времени пребывания, основанные на использовании сходимости распределений функционалов от траекторий случайного блуждания к распределению соответствующих функционалов от предельных процессов. Функционалы, описывающие число попаданий в некоторое множество состояний, являются простейшими примерами аддитивных функционалов от случайных блужданий, имеющих вид

n

nn := f (Sk), k=i

где — последовательные положения случайного блуждания, а/(х) — некоторая функция на состояниях случайного блуждания. Они рассматривались, например, в работе Дж. Каллианпура и Г. Робинсона [30] для сумм случайных величин с распределениями, сходящимися к симметричному устойчивому закону с показателем 1 ^ а ^ 2, и функции /(х), для которой

Р.Л. Добрушин [6] рассмотрел предельные распределения величины nn, когда Xi = ±1 с вероятностями 1/2, а функция f (x) удовлетворяет условию |f (x)| < то. В результате ряда работ [19], [20], [21], [22], [23] A.B. Скороход и Н.П. Слободенюк находят достаточные условия сходимости распределений величин Пп ПРИ не очень ограничительных предположениях относительно распределения Xk и вида функции f, а также ( [21], [22]) изучают вопрос о существовании таких постоянных An и Bn, чтобы распределение величины (пп — An)/Bn сходилось при n ^ то к некоторому невырожденному распределению. В частности, ими находится предельное распределение для числа попаданий в некоторое множество точек на прямой (см. [21]).

Наиболее широкий класс функционалов от сумм случайных величин с нулевым математическим ожиданием и конечной дисперсией рассмотрен в работе М. Донскера [27], где показано, что предельное распределение функционала от последовательности сумм совпадает с распределением соответствующего функционала от винеровского процесса. Эти результаты обобщались впоследствии Ю.В. Прохоровым [14] и Скороходом [18]. Из результатов для нормированных сумм можно получить определенные следствия и для случайных блужданий. Подробнее об этих результатах и используемых для их получения методах можно прочесть в [4], [17].

Пусть Tn([a, b]) := £n=i I{SiG[a;b}} - время, проведенное блужданием {Si}TOLi в отрезке [a; b] до момента времени n. А.Т. Семенов с помощью техники производящих функций и применения метода перевала получил в [16]

асимптотические разложения вероятностей Р{Тп([а; Ь]) = к}, Р{Тп([а; Ь]) ^ к} при п ^ то, фиксированных значениях а, Ь и при различных ограничениях на скорость роста к = к(п) в следующих предположениях:

1. Хп принимает только целочисленные значения;

2. Выполнено условие Крамера: Е|£|х < то для 1 — 5 < |£| < 1 + 5, 5 > 0.

Позже В.И. Лотов, в работе [11], получил в крамеровском случае полные асимптотические разложения для

Р{Тп(Ьп) = к}

при п ^ то, Ьп/л/и ^ то, Ьп = о(п).

Отметим также результаты, касающиеся исследования времени пребывания для случайных процессов. Рассмотрим стохастический процесс {С(и), и ^ 0} с пространством состояний А и где А и В — два непересекающихся множества. Если ((и) € А, то будем говорить что процесс находится в состоянии А в момент времени и, а если ((и) € В, то будем говорить, что

В

Пусть {^(и), и ^ 0} — простейшее броуновское движение, тогда

1 [Х

Р{^(и) < х} = Ф(х/—и), Ф(х) := е-и2/2 du.

Определим также

т(а) = %«)<«} ¿и,

как время, которое процесс {^(и), и ^ 0} проводит в множестве (—то; а] за интервал времени [0; 1). Если а ^ 0, то

1 Г е—°2/(2и) Р{т(а) < х} = - , ¿и,

ПЛ \/и(1 — и)

для 0 ^ х < 1, и

Р{т (а) = 1} = 2Ф(а) — 1.

Этот результат был получен Леви [31], но в более сложном виде. Приведенный вид был получен М. Йором [33].

Позже М. Кац [29] нашел общий метод нахождения распределений случайной величины t

д(г) := [ V(£(и)) аи

Л

для броуновского блуждания (и), и ^ 0}, где V(х) — функция, па которую наложен ряд ограничений. В частности, если функция V(х) есть индикатор множества (-то; а] и £ = 1, то д(Ь) сводится к определенному выше т(а). М. Кац показал, что двойное преобразование Лапласа от д({) может быть получено как решение следующего дифференциального уравнения:

1 д 2Ф

2 дх2

— (в + uV(х))Ф = 0, х = 0,

при условии, что Ф(х) —> 0 |Ф'(х)| < М для х = 0 Ф'(+0) — Ф(—0) = —2.

Приведем теперь краткий обзор результатов, полученных в диссертации.

Главной целью данной диссертационной работы является исследование поведения моментов случайной величины Тп в случае переменного уровня Ь = Ьп, растущего со скоростью, находящейся в зоне больших уклонений.

В первой главе рассматриваются оценки сверху и снизу для моментов Тп(Ь) при целых к ^ 1. Основным инструментом для их получения, в свою очередь, являются оценки для Ед(Тп(Ь)), полученные комбинаторными методами в теореме 1 для широкого класса функций д(х), без каких-либо ограничений на распределение X.

В основных утверждениях главы (теоремы 2 - 5 и следствия 1-4) предполагается, что ЕХ = 0. Введем также используемые здесь и в дальнейших главах обозначения:

^(А) := Еелх, Л(а) = вир(аА — 1п^(А)).

ЛбМ

Кроме того, обозначим

^+(х):= Р{Х ^ х}, (х) := Р{Х < —х}, х ^ 0,

и будем говорить что an — bn, когда —n —^ 1.

n^œ bn n^œ

В теореме 2 и следствии 1 верхняя оценка для Et-(b) получена в предположении выполнения для X моментного условия Крамера, что позволяет использовать в правой части оценок функцию уклонений Л(а) для случайной X

В теореме 3 и следствии 2, с использованием оценок, полученных Нагаевым C.B. в [13], получены верхние оценки для ET^(b) в предположении E|X|m < œ для некоторого m ^ 2.

В теореме 4 вновь рассматривается выражение Eg(Tn(b)), оцениваемое в теореме 1, и устанавливается, что в ряде предположений оценка сверху в теореме 1 сближается с асимптотикой последовательности Eg(Tn(bn)) при специально подобранной последовательности границ bn —> œ. В качестве следствия из теоремы 4 (в следствии 3) найдена асимптотика дляЕ$(Тп(Ь))

bn

1. Правый хвост F+(x) является правильно меняющейся функцией.

2. Правый хвост F+(x) является семи-экспоненциальной функцией.

Здесь используется теорема, содержащаяся в результатах [3] (§4.4, §5.4.2).

Теорема А. Пусть выполнено условие [Z^]. Тогда

P{Sj > bn} - jF+(bn)

n

равномерно по всем 1 ^ ] ^ п, где 6п/л/п 1п п —> то в случае правильного

п—то

распределения X и —> то в случае семиэкспоненциалъного.

п—то

Наконец, в достаточно частном случае, когда X — целочисленная невырожденная случайная величина с симметричным распределением, в теореме 5 найдена асимптотика для ЕТП(6).

Во второй главе мы предполагаемым всюду выполненным следующее условие:

(С). ЕХ = 0 и |ЕеЛх| < то при |КеА| < в в > 0.

В теореме 6 приводится главный член асимптотики ЕТп(Ьп) в случае, когда Ьп/^П ^ то. Её доказательство основано на известных оценках вероятностей больших уклонений.

Далее рассматривается вопрос о получении полных асимптотических разложений для ЕТп(Ьп). Получить их с помощью теорем о вероятностях больших уклонений не представляется возможным. Отметим, что изучение времени пребывания, несомненно, относится к граничным задачам для случайных блужданий. Как и в других работах, посвященных исследованиям в граничных задачах, асимптотический анализ ЕТп(Ьп) может быть проведен с помощью так называемого факторизационного метода. Этот метод технически весьма сложен, однако именно он позволяет получить в ряде граничных задач полные асимптотические разложения изучаемых величин.

Факторизационный метод разбивается на несколько этапов. Исследование начинается с нахождения тождеств, связывающих двойные или даже тройные преобразования Лапласа-Стилтьеса над распределением исследуемого граничного функционала с компонентами известной факторизации Винера-Хопфа. Как правило, в общем случае эти тождества не приводят к выражениям, пригодным для дальнейшего их обращения. В связи с этим на втором этапе проводится асимптотический анализ полученных выражений при условии, что граница рассматриваемого множества удаляется. На этом пути выделяются главные части полученных на первом этапе преобразований и оценивается погрешность такого приближения; она оказывается пренебрежимо малой при выполнении условия Крамера на распределение скачков блуждания. Этот этап является достаточно сложным. Здесь в полной мере требуется использовать весьма тонкие свойства компонент факторизации. Найденные главные части преобразований имеют уже сравнительно простую структуру, доступную для последующего асимптотического обращения, что и делается на третьем этапе. Обращение может осуществляться с помощью контурно-

го интегрирования с применением метода перевала ( [1], [7]), или прямыми вычислениями ( [8]).

Применительно к исследованию времени пребывания первый этап выполнен в [9], где найдены факторизационные тождества для тройных преобразований над совместным распределением пары (Тп, 5П). Затем в [10] произведен асимптотический анализ полученных в [9] факторизационных представлений при условии, что Ь ^ то, с целью выделения более просто устроенных главных частей. Тем самым реализован второй этап исследований. В диссертации продемонстрировано одно из возможных продолжений [9] и [10], что соответствует третьему этапу, а именно, получены полные асимптотические разложения для ЕТп(Ьп) при п ^ то Ьп/д/П ^ то Ьп = о(п)

В третьей главе дополнительно вводится функционал времени пребывания случайного блуждания выше криволинейной границы, заданной последовательностью Ь =

п

тп(ь) = ^ ^^ }• к=1

Далее исследуется асимптотическое поведение ЕТп(Ьп) и ЕТп(Ь) с использованием известных результатов (опубликованных в монографии [2]) об асимптотическом поведении каждого слагаемого в представлениях

п

ЕТп(Ьп) = ^Р{Яъ ^ Ьп}, к=1

п

ЕТп(Ь) = ^Р{5к ^ Ьк}. к=1

Для получения результатов этой главы нам понадобятся результаты, описывающие асимптотическое поведение Р{5П > х} при различных ограничениях на распределение скачков блуждания. Для этого сформулируем теорему, содержащуюся в результатах, полученных в [3] (§2.6, §3.4, §4.4) и следствии 7 в [15]:

Теорема В. Пусть выполнено одно из следующих условий:

1. р > — 1 и (ж) + ^+(ж) — правильно меняющаяся функция (п.м.ф.) с

показателем — где в < 12. 1 < в < 2 ЕХ = 0 и (ж) < с^+(ж). 5. в > 2 ЕХ = 0 м ЕХ2 < то.

Тогда, для ж = в^п выполняется

вир

Р{5П > ж} п^+(ж)

1

< е(£) —> 0

Ь—усо

Если же ЕХ = 0 и Е(Х2; |Х| > ж) = о(1/ 1пж)7 то для ж = ву^ выполняется

вир

Р{5П > ж}

Ф(ж/^л/П) + п^+(ж)

1

< е(£) —> 0

Ь—т^оо

Приведем также следующую теорему (см. результаты, приведенные в [3 §5.4). Предположим, что^+(ж) = е-1(х\ где /(ж) = жвЬ(ж) — непрерывно дифференцируемая функция, 0 < в < 1 Ь(ж) — медленно меняющаяся функция м.м.ф.). Для формулировки результата понадобится следующая функция:

М(ж, п) := тт ( /(ж — ¿) + пЛЛ " ) ) ,

где к :=

1

1 — в

+ 1, а Лк(ж) := ^ а3ж3

3=2

так называемый урезанный ряд

Крамера или, что то же самое, урезанное разложение в ряд, соответствующее функции уклонений Л(ж) для Х, формально определенной лишь при выполнении условия Крамера. Коэффициенты а2,а3,... зависят только от моментов случайной величины Х. Более подробные сведения о Лк(ж) можно найти в [3], глава 5, где содержится приводимая ниже и используемая в нашей работе теорема о вероятностях больших уклонений для случайных блужданий с семиэкспоненциальным распределением приращений.

и

Теорема В. Пусть ^+(ж) = е 1(х), где /(ж) — непрерывно дифференцируемая п.м.ф с показателем 0 < в < 1 и пусть

/'(ж) - ^. (1)

х—то ж

Пусть такжеЕХ = 0 Е|Х|ь < то при Ь = . по ж и п таким, что п — то и п2(ж,п) := п(/'(ж))2 —^ 07 верно

1

+2. Тогда равномерно

п

Р{£п ^ ж} = п^+(ж)(1 + о(1)). Если дополнительно известно, что существует

(ж) - в(в " 1)/(ж), (2)

х—то ж2

то

Р{^п ^ ж} = пе"м(х'п)(1 + о(1)), жп

п

п — то, п1(ж,п) := —г/(ж) —^ 0.

ж2 п—то

Кроме того, нам понадобится следующий классический результат: Теорема Карамата. Если, п.м.ф. V(ж) = ж"7Ь(ж) имеет показатель 7 > 17 то

V1 (ж) := у V(*) ^

х

Если 7 < 17 то

жV (ж)

Гч-/

х—то ^ — 1

VI(ж) := / V- ^■

J х—)-то 1 — 7

Актуальность работы. Изучение распределения времени пребывания случайного блуждания на отрезке или на полуоси является весьма трудной задачей, и ей посвящено значительное число работ. Нахождение распределения Тп(6) в явном виде недоступно, поэтому акцент в исследованиях переместился на получение разного сорта предельных теорем и асимптотических разложений.

В работе получены как моментные неравенства, так и результаты, описывающие асимптотическое поведение ЕТп(6) при различных ограничениях. Подобные исследования являются актуальной задачей и их проведение целесообразно.

Научная новизна. Основные результаты диссертации заключаются в том, что получены главные члены асимптотики математического ожидания времени пребывания случайного блуждания на полуоси. Более того, в краме-ровском случае получены полные асимптотические разложения дляЕТп(6п). Кроме того, предложен способ построения двусторонних оценок для Ед(Тп) для широкого класса функций д, и, как следствие, получен ряд моментных неравенств для времени пребывания случайного блуждания. Приведенные результаты являются новыми.

Цель и задачи исследования. Объектом исследования является время пребывания Тп (6) траектории случайного блуждания выше уровня 6 на

1 , 2, . . . , п

теорем об асимптотических разложениях для ЕТп(6) при п — то, а также получение оценок в виде неравенств для моментов величины Тп(6) более высокого порядка.

Практическое значение полученных результатов. Диссертация носит теоретический характер.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на объединенном семинаре кафедры теории вероятностей и математической статистики НГУ и лаборатории теории вероятностей и математической ста-

тистики Института математики СО РАН под руководством академика А.А. Боровкова. Результаты работ также докладывались на XVI-th Iternational Summer Conference On Probability And Statistics, Pomorie, Bulgaria, 21-28 June 2014 и на Международной Студенческой Научной Конференции (НГУ, 2013 год).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в [12], [25] и [26].

Личный вклад соискателя. Все результаты диссертации получены автором самостоятельно и опубликованы в 3 работах. Работа [12] написана в соавторстве с Лотовым В.И. В данной работе Лотову В.И. принадлежит постановка задачи и выбор метода исследования. Соискателю принадлежат доказательства основных результатов.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Нумерация теорем, следствий, замечаний и формул сквозная. Список литературы составлен последовательно по двум алфавитам — русскому и латинскому.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю Лотову Владимиру Ивановичу за предложенную интересную тему исследования и внимание к работе.

ГЛАВА 1.

Неравенства для времени пребывания случайного блуждания на полуоси

Получены моментные неравенства для времени пребывания блуждания на полуоси при различных ограничениях на распределение скачков блуждания. В случаях, когда скачки случайного блуждания имеют правильное или семи-экспоненциальное распределение, найдена асимптотика этих моментов для растущей границы.

§1 Формулировка основных результатов

Основным инструментом нашего исследования является следующий результат, полученный комбинаторными рассуждениями и не накладывающий каких-либо ограничений на распределение X.

Теорема 1. Пусть п ^ 1 и д(х) — такая функция, что д(0) = 0 и

^ о

1х° (х) > 0 а

для всех х Е (0, п) и всех натура,л,ьных к ^ п. Тогда,

Eg(Tn(b)) ^ ^ (g(n - j + 1) - g(n - j)) P{Sj ^ b}, j=i

n

Eg(Tn(b)) ^ ^ (Eg(nn-j + 1) - Eg(nn-j)) P{Sj ^ b}, j=i

(4)

где случайные величины {ni}n=1 имеют биномиальное распределение с параметрами i и p := min P{Sj ^ 0}.

1 ^ j <n

В частности, для k Е Nu д > 0 выполняется

ЕТк(Ь) ^ ((р(п - э) + 1)к - (р(п - э))к) Рф ^ Ь},

3= „ (5)

ЕТпк(Ь) ^ ^ ((п - э + 1)к - (п - э)к) ^ Ь},

3=1

п п

1 + (е^ - 1) ^ ^-3^ Ь} ^ Ее^«(ь) ^ 1 + (е^ - 1) ^ ^-3РЙ ^ Ь}, (6)

3=1 3=1

где = (1 - р + рем)7 д2 = ем.

Замечание 1. Вместо условия (3) можно потребовать, чтобы для всех натуральных к ^ п выполнялось:

к э

Е(-1)3к>(э) ^ 0.

3=1

Эта теорема позволяет получать оценки дляЕТ^(Ь) на основе имеющихся оценок для Р{53 ^ Ь}.

Далее будем предполагать, что ЕХ = 0, ЕХ2 < то. В главе рассмотрены две ситуации. Первая из них касается случайных блужданий, у которых распределение скачков удовлетворяет правостороннему условию Крамера. Это означает, что существует такое Л > 0, что

^(Л) = ЕеЛХ < то. (7)

В другой ситуации мы требуем лишь существования Е|Х|т < то при некотором т > 2.

Напомним некоторые определения, требующиеся для формулировки полученных результатов.

Пусть выполнено условие (7). Обозначим

Л+ := вир{А > 0 : ЕеЛХ < то}, а+ := ^ (Л+ - 0).

^ (Л+ - 0)

Определим также функцию А(а) на [0; го). Пусть А(0) = 0. Известно (см. [2], стр. 230), что Л(а) аналитична на (0; а+). Положим на этом интервале А(а) = Л'(а). Если а+ = го, то мы полностью определили А(а). При а+ < го рассмотрим следующие два случая.

1. А+ = го. Тогда Л(а) = го па (а+; го). В этом случае также положим А(а) = го на (а+; го) и А(а+) = А+.

2. А+ < го Тогд а Л(а) линейна с углом на клона А+ и в граничной точке а+ сохраняется непрерывность первых производных. В этом случае положим А(а) = А+ на [а+; го).

Теорема 2. Пусть ЕХ = 0 ЕХ2 < го и выполнено уеловие (7). Положим Я = Яп(Ь) := ехр |Л(Ь/п) — "А(Ь/п)} < 1. Тогда для всех целых к ^ 1

ЕТП(Ь) ^ ^—^е—пЛ(ь/п). (8)

Кроме того, для любого д > 0 выполняется

Ее^"(ь) ^ 1 + (е — 1)

е"-^—бл(б/п)_е—пЛ(б/п)

е^я — 1

В случае, когда отношение Ь/п достаточно мало, значения-— ста-

1 — Яп(Ь)

новятся близки к 2а2п2/Ь2, что позволяет переписать перавенство (8) в более простом виде.

Следствие 1. Пусть выполнены условия, теоремы 2 и пусть для 0 < а < а* верно представление

А(а) = -а2 + Ма), |^(а)| < На2, а2

где а*, Н — некоторые константы. Тогда, для к ^ 1 и Ь/п < шт{а*, а, р} вы,полнено неравенство

ЕТк(Ь) ^ к!(е — 1) (^^П")' е—пЛ(ь/п),

Л _ 24а _ 2а2

Р = 16На3 + 11Н2а6 + 3; 7Ь'П = 1 - Ь/(рп) > °

Следующая теорема касается другой ситуации, когда мы требуем лишь Е| Х| т < то т > 2

(т + 1)т+2

Кт = 1 + ----,

ет

О(п, V) = ^+к-1В(V, к + 1)пк+"-1 + пк + ^-1(п - 1)к, где В(•, •) — бета-функция.

Теорема 3. Пусть ЕХ = 0 и ат := Е|Х|т < то для некоторого натурального т > 2. Тогда, для вся кого у, удовлетворяющего соот ношению (Ктат)1/тп1/т < у ^ Ь7 имеет место неравенство

п

ЕТк(Ь) ^ Р{Х ^ Ь}^ эк

3=1

+О(п^ехр^п^)2 + 1} (К^. (9)

Снова приведем следствие, содержащее упрощенный результат.

3

лого 8 ^ 1 и Ь > й (КтЕ|Х|т)1/т п1/т верно неравенство

п Ок (п,8)ех^2т2п^пЙ | ЕТпк (Ь) ^ Р{Х ^ Ь} ^ э к + Ат,5-Ьт-1,

3=1 Ь

где Ат,5 = е(йКтЕ|Х|т)5.

Отметим, что Ок(п, й) — полином от переменной п степени к + й - 1, чьи коэффициенты зависят только от к и й.

Замечание 2. Минимизация полученных оценок по параметрам у и в возможна, однако минимизирующие значения не выражаются в элементарных функциях.

Можно показать, что в ряде ситуаций оценка сверху в (4) будет сближаться с главным членом асимптотики Ед(Тп) при п — то.

Сначала рассмотрим случай с растущей границей Ьп, чья скорость роста соответствует области больших уклонений для случайного блуждания

Отметим также, что в приведенных ниже результатах нам более не понадобится условие (3) на функцию #(•).

Теорема 4. Пусть ЕХ = 0 ЕХ2 < то Ьп/л/П —> то и существует такая

п—то

последовательность положительных чисел ДП7 что

Ап/^п —> то, ^ Ьп + Дп} - ^ Ьп},

п—^то п—)-то

равномерно по всем 1 ^ ] ^ п. Тогда для всякой функции, д такой, что д(0) = 0, при п — то имеет место

п

Ед(Тп(Ьп)) = Е (д(п -; + 1) - д(п -;)) Рф ^ ьп}

3=1

п

+0 Е 1д(п - ^ + 1) - д(п - ^) I рЙ ^ м

\3=1

4д

монотонная функция. Тогда,

п

Ед(Тп(Ьп)) - Е (д(п - + 1) - д(п - ^)) Р{53 ^ Ьп}.

п

3=1

4

Ед(Тп(Ьп)) совпадает с верхней оценкой (4) для всех монотонных функций д.

Вычислим главный член асимптотики Ед(Тп(Ьп)) для двух частных классов распределений. Будем говорить что выполнено условие [^], если верно одно из следующих утверждений.

1. — п.м.фЕХ2 < го В этом случае будем говорить, чтоХ имеет правильное распределение.

2. = где /(ж) — непрерывно дифференцируемая п.м.ф. с показателем 0 < в < 1й /'(ж) — -, а также Е|Х|ь < го при

ж—го ж

Ь = -- + 2. При выполнении этих условий будем говорить, чтоХ

1 - в\

имеет семиэкспоненциальное распределение.

Следствие 4. Пусть ЕХ = 0, выполнено условие [^} и д монотонная функция. Тогда

п

Ед(Тп(Ьп)) - ^+(Ьп) £ д(;).

Г)—^гчп (

В частности, для в > 0

п—>оо

ЕТП5 (Ьп)---т^+(Ьп),

п—го в + 1

где Ьп/л/п 1п п —> го в случае правильного распределения Х и

п—)-го

Ьп/п1/(2-2в) —^ го б случае семиэкспоненциального.

п—го

Ь = 0 Х

распределение с целочисленными значениями. Обозначим верхнюю оценку из (5) при Ь = 0 через

п

Еп(к) := £ ((п - ; + 1)к - (п - ;)к) Р{^ ^ 0}.

Теорема 5. Пусть X — целочисленная случайная величина, имеющая невырожденное симметричное распределение. Тогда

Етп(0) - Птв (к + 1,,

п—то п \ 2 2

а также _

Еп (к) ^/л

ЕТпк(0) т—то 2

\/к + 1/2'

§2 Вспомогательные результаты

Лемма 1. Пусть выполнено условие (7). Тогда

Л(а) ^ Л(а0) + Л(а0)(а - а0), а ^ а0 ^ 0, (10)

Л(а) < аЛ(а), а ^ 0. (И)

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда а ^ а+. Известно, что Л(а)

Л(а) ^ Л(а0) + Л(а0)(а - а0). Из формулы конечных приращений следует

ЛМ-Л0) = Л(С),

а - 0 v

где с принадлежит интервалу (0; а). Так как Л(0) = Л(0) = 0 и Л(а) есть неубывающая функция, то

Л(а) ^ аЛ(а).

В случае, когда а > а+ и Л(а) = Л (а) = то неравенства очевидны. Остается рассмотреть лишь случай, когда а > а+ и функция Л(а) линейна, а Л(а) = Л+ на (а+; то). Для а0 < а+ имеем

Л(а) = (Л(а) - Л(а+)) + Л(а+) ^ Л+ (а - а+) + Л(а0) + Л(а0)(а+ - а0)

^ Л(ао) + Л(ао)(а - ао). Для а0 ^ а+ в силу линейности Л(а) на (а+; го), очевидно, выполняется

Л(а) = Л(а0) + Л(а0)(а - а0),

(10) (11)

Л(а) = Л(а+) + Л+(а - а+) ^ а+Л(а+) + Л(а)(а - а+) = аЛ(а).

□

Лемма 2. В условиях леммы, 11 для всякой функции д(ж) ^ 0 имеет, место

п п- 1

£ д(- - 3)е"3л(ь/з) ^ е-пЛ(ь/п) £ д(^у, ¿=1 ¿=0

где д = ехр {Л(Ь/п) - пЛ(Ь/-)} < 1.

Доказательство. Воспользуемся леммой 1. Неравенство д < 1 сразу следует (11) (10)

Е д(п - 3)е-зЛ(ь/з) ^ £ д(п - з) ехр { -УЛ(Ь/п) + ЬЛ(Ь/п)1

¿=1 з=1 1 4 -3 ^

п Г ь ]

= д(п - 3 )ехН -3 Л(Ь/п) - -Л(ь/п)(п - 3) ? ¿=1 п

= е"пЛ(ь/п) £ д(- - 3) ехр | (- - 3) ^Л(Ь/п) - ^Л(Ь/-)^ |

п- 1

= е-пЛ(Ь/п) £ д(3 )дз ,

з=0

что и требовалось доказать. □

д д(0) = 0

пп

£3 (д(- - 3 + 1) - д(- - 3)) = £ д(3). ¿=1 ¿=1

Если 5 ^ 17 то

п п- 1

£3* (д(- - 3 + 1) - д(- -3)) ^ д(-) + 5£(3 + 1)*-1д(- - 3). ¿=1 ¿=1

Доказательство.

п п п

£3 * (д(п - 3 +1) - д(п - 3)) = X]3 * д(п - 3 +1) - £3 * д(п - 3) ¿=1 ¿=1 ¿=1

п- 1 п- 1 п- 1

= Е(3+1)*д(--3) - £ 3*д(--3) = д(-)+£ ((3 +1)* - 3*) д(--3). (12)

з=0 з=1 з=1

Применив формулу конечных приращений для функции /(¿) = ¿*, получаем для £2 > ¿ь

¿2 - = /(¿2) - /(¿1) ^ /(^ - ¿1) = 5^2-1(^2 - ¿1). Отсюда следует

п п- 1

£3* (д(- - 3 + 1) - д(- -3)) ^ д(-) + 5£(3 + 1)*-1д(- - 3).

з=1 з=1

При 5 = 1 из (12) получаем

п п- 1 п

£3 (д(- - 3 +1) - д(- - 3)) = д(-) + £ д(- - 3) = £ д(3). з=1 ¿=1 з=1

□

Лемма 4. Пусть т ^ 17 а функци,я д(ж) такова, что д(0) = 0 и

(ж) ^ 0

для всех х Е (0; ш). Тогда

т , ч

Е(-!)т-\7)

3 . ДО) ^ 0.

з=1 ^ 7

Доказательство. Определим оператор конечной разности А и его степени:

Ад(х) := А1д(х) = д(х + 1) - д(х), Атд(х) := А (Ат-1д(х)) .

Нетрудно видеть, что

т ( \

Атд(х) = Е(-1)т-'(171 д(х + 7). (13)

з=о ^ 7 ^

Покажем это по индукции. Очевидно, что для ш = 1 формула (13) верна. Если же она верна для ш — 1, то

т1

А^АШ—1Г—-—1( ш— М д„ + з,

.3=0

= £ (( -1)т-3-2(™-*) - (-1Г—'-1(Ш— 1)) д(х + 7)

= £ (-1>т-3 ((7-1) + С™ -')) д (х+7) = £ (-1)т-3 (7)д (х+7),

что и доказывает (13) для всех натуральных ш.

Заметим, что интересующая нас сумма есть не что иное как выражение Атд(х) х = 0

з-2 / .ч 3 _ АЛ-1 . ^ 7

Ах3 = (х + 1)3 - х3 = 7х3-1 + Е

х.

т

1

Но тогда, если Рт(х) — полином степени ш со старшим коэффициентом Ах то АРт(х) — полином сте пени ш - 1 со старшим коэффициентом Ашхт-^ и

АтРт(х) = Аш! = Ц пт(х) =

т } ахт

Возьмем в качестве Рт(ж) полином, совпадающий с д(ж) в точках 0, 1,..., т. Тогда, в силу линейности оператора А, выполняется

Дтд(0) - АтРт(0) = Ат (д(ж) - Рт(ж))

/ т /

(£<-1)т"я т

т) (д(ж + 3) - Рт(ж + 3))

ж=0

= 0,

ж=0

Атд(0) = АтРт(0).

С другой стороны, д(ж) - Рт(ж) обращается в нуль в точках 0, 1,..., т. Тогда по теореме Ролля существуют т точек ж1, ж2,..., жт,

0 <ж1 < 1 <ж2 < 2 < ... < т - 1 <жт < т,

таких, что д'(ж) - Рт (ж) обращается в них в нуль. Применяя теорему Ролля ещё т - 1 раз, находим точку 0 < ж* < т, в которой

а д (ж*) = -^-т(ж*) = АтРт(0) ^ 0.

dжm dжm

Но тогда

dmо

Атд(0) = ^1^ (ж.) > 0

что и требовалось доказать. □

Лемма 5. Пусть выполняются условия теоремы 4. Тогда для 1 ^ 3 < 31 < ... < 3т ^ - равномерно по всевозможным наборам 3,3ъ ... ,3т имеет место

Р{5; ^ Ьп, % ^ Ьп, 3 ^ Ьп,..., 3 ^ Ьп} - Р{5; ^ Ьп}.

п—го

Доказательство. Фиксируем т, набор индексов 3 < < ... < 3т и обозначим

3 := {53 ^ Ьп}, В(п) := {5;- ^ Ьп + Ап}, 3 := А;,

Ям := 1п£ (Х^ + ... + XI), $ := ^,

:= {$31 ^ Ьп, $32 ^ Ьп,... , 3 ^ Ьп}, 3 := {$+1>п ^ -Ап>,

где событие ^3(п) не зависит от В3-п). Всюду ниже будем для простоты опускать верхний индекс п и писать А3, В3, С3, ^3ь...3т, ^^ 3т.

Нетрудно видеть, что имеют место следующие соотношения:

Р(А) = Р(В) + Р(С3), Р(^3) £ Р{ & > -Ап}, В3п)03(п) С В3П)Д3;1,3„.

(14)

Нам необходимо показать, что

Р(А ^31,...,3т )= Р(В3 £>¿1,3 )+ Р(С3 ) - Р(Л; ).

п—то

По условиям леммы Р(А3-) — Р(В3-) равномерно по всем 1 ^ 7 ^ п,

п—то

поэтому из первого равенства в (14) следует

Р(С3^31,...,3т) ^ Р(С3) = о(Р(А)),

причем приведенная оценка сверху равномерна по всем наборам ш,7,7ъ ...,7т-

Нам остается показать лишь равномерную эквивалентность Р(В3- Л31 ...3т) — Р(В3- ). Из (14) и независимости Л3 и В3 получаем

т п—то 3

Р(В3 ^ ,3т ) > Р(В3 Д3'1,,3« ) = Р(В3 )Р(^31.....3т ).

Заметим, что из неравенства Леви-Колмогорова, условий ЕХ2 < той Ап/л/П —> то следует

п—^то

Р{-$п > Ап} = Р{шах(-5/) > Ап} < 2Р{$п < -Ап + } —> 0,

1</<п п—то

откуда имеем

Р(^31 3т) ^ Р{$п ^ -Ап} = 1 - Р{-$п > Ап} -— 1, (15)

и^-ит, п—т>00

а значит

Р.,.,) > ......,„,) ). (16)

Очевидно, что

Р1,..,) ^ Р(В), (17)

поэтому Р(В,... ,т) ~ Р(В)• Из (15) следует, что нижняя оценка (16) сходится к верхней оценке (17) равномерно то всем наборам т, 3, 3,..., з'т. Это и завершает доказательство леммы. □

§3 Доказательства основных результатов

Доказательство теоремы 1. Обозначим /т = /{^т^ь} и покажем, что для любой функции д такой, что д(0) = 0, имеет место следующее представление:

п

д(Т„(Ь)) = £«ш £ 1,4 ...1,т, (18)

т=1 1^,1 <...<,т^п

где ат = ^т=1(- 1)т— (т)д(3)• Рассмотрим события А^ = {Тп(Ь) = г}, г = 0,... , п. Очевидно, что пространство элементарпых исходов О представимо в виде О = и„=0А^, и что (18) выполняется для каждого элементарного исхода ш Е А0. Покажем, что это равенство будет вер но и для всехш Е Ду, N ^ 1. Действительно, для любого ш Е Ау существует табор индексов г1,...,гу такой, что (ш) = 1,... , (ш) = 1 и /¿(ш) = 0 для г Е {г1,..., }• Тогда для любого фиксированного ш Е Ау имеем

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тарасенко Антон Сергеевич, 2016 год

Список литературы

[1] Боровков A.A. Новые предельные теоремы в граничных задачах для сумм независимых слагаемых // Сибирский математический журнал. - 1962. -Т. 3. - №. 5. - С. 645-694.

[2] Боровков A.A. Теория вероятностей. - M. URSS. - 2009. - 652 С.

[3] Боровков A.A. Боровков К.А. Асимптотический анализ случайных блужданий. Т. 1. Медленно убывающие распределения скачков. М.: Физмат-лит - 2008. - 652 С.

[4] Бородин А.Н. Ибрагимов И.А. Предельные теоремы для функционалов от случайных блужданий // Тр. МИАН СССР. - 1994. - Т. 195. - С. 2-285.

[5] Де Брёйн Н.Г., Асимптотические методы в анализе - М. ИЛ. - 1961.

[6] Добрушин Р.Л. Две предельные теоремы для простейшего случайного блуждания по прямой // Успехи матем. наук. - 1955. - Т. 10. Л'° 3. С. 139-146.

[7] Лотов В.И. Асимптотический анализ распределений в двуграничных задачах. II // Теория вероятностей и ее применения. - 1979. - Т. 24. - № 4. - С. 873-879.

[8] Лотов В.И. Предельные теоремы в одной граничной задаче для случайных блужданий, // Сибирский математический журнал. - 1999. - Т. 40. - № 5. - С. 1095-1108.

[9] Лотов В.И. Факторизационные тождества для времени пребывания случайного блуждания в полосе // Сибирский математический журнал. -2010. - Т. 51. ..V" 1. С. 146-155.

[10] Лотов В.И. О времени пребывания случайного блуждания в полосе // Сибирский математический журнал. - 2010. - Т. 51. - № 4. - С. 785-804.

[11] Лотов В.И. Асимптотические разложения распределения времени пребывания случайного блуждания на полуоси // Тр. МИАН. - 2013. - Т. 282. - С. 154-164.

[12] Лотов В.И. Тарасенко A.C. Об асимптотике среднего времени пребывания случайного блуждания на полуоси // Изв. РАН. Сер. матем. - 2015.

- Т. 79. Л" 3. С. 23-40.

[13] Нагаев C.B. Некоторые предельные теоремы для больших уклонений // Теория вероятностей и ее применения. - 1965. - Т. 10 - В. 2. - С. 231-254.

[14] Прохоров Ю.В. Локальная теорема для плотностей // ДАН СССР. -1952. - Т. 83. - С. 797-800.

[15] Розовский Л.В. Вероятности больших уклонений сумм независимых случайных величин с общей функцией распределения из области притяжения нормального закона // ТВП. - 1989. - Т. 34. - № 4. - С. 686-705.

[16] Семенов А.Т. Асимптотические разложения для распределения времени пребывания случайного блуждания в отрезке // Сиб. мат. журн. - 1974.

- Т. 15. - № 4. - С. 918-930.

[17] Скороход A.B. Слободенюк Н.П. Предельные теоремы для случайных блужданий - Наукова Думка. - 1970.

[18] Скороход A.B. Случайные процессы с независимыми приращениями -М. «Наука». - 1964.

[19] Скороход A.B. Некоторые предельные теоремы для аддитивных функционалов от последовательностей сумм независимых случайных величин // Укр. матем. ж. - 1961. - Т. 13. - № 4. - С. 67-78.

[20] Скороход A.B. Слободепюк Н.П. Предельные распределения аддитивных функционалов от последовательности сумм независимых одинаково распределенных решетчатых случайных величин // Укр. матем. ж. - 1965. -Т. 17. - № 2. - С. 97-105.

[21] Скороход A.B. Слободенюк Н.П. Предельные теоремы для случайных блужданий. I // ТВП. - 1965. - Т. 10. - № 4. - С. 660-671.

[22] Скороход A.B. Слободенюк Н.П. Предельные теоремы для случайных блужданий. II // ТВП. - 1966. - Т. И. Л" 1. С. 56-67.

[23] Слободенюк Н.П. Некоторые предельные теоремы для аддитивных функционалов от последовательностей сумм независимых случайных величин // Укр. матем. ж. - 1964. - Т. 16. Л'° 1. С. 41-60.

[24] Ф. Спицер, Принципы случайного блуждания - М. Мир. - 1969.

[25] Тарасенко A.C. О времени пребывания случайного блуждания выше некоторой границы // Сиб. электрон, матем. изв. - 2015. - Т. 12. - С. 406-420.

[26] Тарасенко A.C. Неравенства для времени пребывания случайного блуждания выше некоторой границы // Сиб. электрон, матем. изв. 2016. Т. 13. - С. 434-451.

[27] Donsker M. An invariance principle for certain limit theorems. // Mem. Amer. Soc. - 1951. - v. 6. - p. 1-12.

[28] Erdös P. Kac M. On the number of positive sums of independent random variables // Bull. Amer. Math. Soc. - 1947. - v. 53. - № 10. - p. 1011-1020.

[29] Kac M. On distributions of certain Wiener functionals // Trans. Amer. Math. Soc. - 1949. v. 05 p. 1-13.

[30] Kallianpur G. Robinson H. The sequence of sums of independent random variables // Duke Math. J. - 1954. - v. 21. - p. 285-307.

[31] Levy P. Sur certains processus stochastiques homogenes // Compositio Math. - 1939. - v. 7. - p. 283-339.

[32] Sparre Andersen E. On the fluctuations of sums of random variables // Math. Scand. - 1954. - v. 2. - p. 195-223.

[33] Yor M. The distribution of Brownian quantiles //J. Appl. Prob. - 1995. -v. 32. - p. 405-416.