Автоморфизмы расслоений на коники тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Цыганков, Владимир Игоревич

• Цыганков, Владимир Игоревич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Цыганков, Владимир Игоревич

Глава 1. Введение.

1.1. История поставленных задач.

1.2. Описание диссертации и основные результаты.

Глава 2. Предварительные (известные) результаты и метод исследования.

Глава 3. Конструкции уравнений и метод исследования.

3.1. Первая конструкция.

3.2. Вторая конструкция.

Глава 4. Случай К23 = 4.

4.1. Случай, когда —Кз обилен и выполнены условия первой конструкции.

4.2. Случай, когда — Кз обилен и выполнены условия второй конструкции.

4.3. Случай, когда дивизор — Кз не является обильным.

Глава 5. Случай К23 = 2.

5.1. Случай, когда дивизор —Кз численно эффективен и выполнены условия первой конструкции.

5.2. Случай, когда дивизор —Кз численно эффективен и выполнены условия второй конструкции

5.3. Случай, когда дивизор —Кз не является численно эффективным.

Глава 6. Случай = 1.

6.1. Случай, когда выполнены условия первой конструкции.

6.2. Случай, когда выполнены условия второй конструкции.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Автоморфизмы расслоений на коники»

1.1. История поставленных задач.

Изучение групп бирациональных автоморфизмов алгебраических многообразий является фундаментальной и наиболее важной задачей алгебраической геометрии. Эта задача на протяжении длительного времени привлекала внимание многих математиков. В настоящее время она привела к появлению программы Мори - одного из основных инструментов современной бирациональной геометрии. Исторически, изучение групп бирациональных автоморфизмов было начато с наиболее простейшего класса алгебраических многообразий, многообразий являющихся рациональными.

Рассмотрим проективное пространство Р71 над произвольным полем К. Группой Кремоны Стп(К) называется группа его бирациональных автоморфизмов. Название было дано в честь великого итальянского математика Луиджи Кремоны, который первым стал изучать эту группу.

Группа Сг1(,РС) устроена довольно просто и была изучена еще в XIX веке. Действительно, пусть X - неособая неприводимая кривая и А\гЬ(Х) - группа автоморфизмов X. Тогда любое бирациональное отображение / е ВпгрС) продолжается до автоморфизма / 6 Аи^-Х"). Таким образом,

Группы Сгп{К) при п > 2 устроены гораздо сложнее. В настоящее время наиболее полно изучен лишь случай п = 2. С этого момента в работе мы будем рассматривать только группу Сх2(К) и ее подгруппы. Историю вопроса следует начинать с работы М.Нетера [26]. Было доказано, что группа Сг2(С) порождена подгруппой Аи"Ь(Р2) ~ Р<2£(3,С) и стандартной квадратичной инволюцией т, записываемой в однородных координатах в виде

С1г{К) ~ А^(Р1) ~ РОЬ(2,К).

Идея доказательства заключается в следующем. Пусть х —* Р2 - бирациональное отображение. Изучим особенности линейное системы "Н = ~~ собственного прообраза линейной системы прямых на F2. Если X не является изоморфизмом, то И имеет степень п = п{х) — > 2, а также имеет базисные точки pi,. ,Pk (среди которых, возможно, есть бесконечно близкие). Кратности % в этих точках равны соответственно v\,. , г^. Можно считать, что v\ > . > Vk- Например, для описанного выше отображения т степень равна 2. Соответствующая линейная система имеет базисные точки (1:0:0), (0:1: 0) и (0 : 0 : 1). Все кратности равны 1. Пусть Ci,C2 £ И — общие кривые. Заметим, что вне базисного множества системы % кривые С\ и пересекаются в одной точке, так как этим свойством обладают прямые вР2. Индекс пересечения С\ и равен к

Cl.C2 = n* = 1+ ][>?. 1

Так как кривые из линейной системы И рациональны и неособы вне точек pi,. ,рк, то к ¿=1

Отсюда следует, что vi + v2 + vz > п. Если точки Р1,Р2,Рз лежат на

Р2 (то есть не являются бесконечно близкими точками), то можно рассмотреть композицию х со стандартной квадратичной инволюцией г, связанной с этими точками

X' = X о т : Р2 —» Р2.

Заметим, что степень п(х') равна количеству точек пересечения вне точек Рг,Р2,Рз общей кривой С 6 И с коникой Q, проходящей через Pi,P2iP3i то есть п(х!) — 2гг(х) -vi—v2 — v2< п(х).

Таким образом, степень х! меньше степени Продолжая таким образом разложим отображение х в композицию стандартных квадратичных инволюций. Осталось заметить, что две квадратичных инволюции с центрами в разных тройках точек на Р2 сопряжены элементом группы Aut(P2).

Однако приведенное выше доказательство не является полным, поскольку игнорируется случай бесконечно близких точек рх, рз- Эта трудность не была преодолена в работе [26]. Полное доказательство было получено только в работах Кастельнуово и Александера (см. [12], [2], [22], [23], [46], [32]). Соотношения между образующими группы Сг2(С) были получены М.Х. Гизатуллиным [34] (см. также [41], [40]).

Несмотря на то, что множество порождающих группы Сг2(С) оказалось простым, ее алгебраическая структура оказалась очень сложной. Например, только совсем недавно в работе [11] было доказано, что группа Сг2(С) не является простой, а простота группы Сг2(С), рассматриваемой как проалгебраическая группа, была доказана Д. Бланком [9].

Перейдем к рассмотрению задачи классификации конечных подгрупп (2 с Сг2(С) с точностью до сопряженности.

История задачи началась с работы Бертини [6], где были классифицированы классы сопряженности подгрупп порядка 2 в группе Сг2(С). Были выделены три класса сопряженности, в настоящее время известные как инволюции де Жонкьера, Гейзера и Бертини. Расскажем о них вкратце.

Преобразование Т 6 Ст2(К), определенное линейное системой плоских кривых Ь степени с1. проходящих через точку д с кратностью (1—1 и через точки р\,. ,р2(*-2 с кратностью 1 называется преобразованием де Жонкьера. В аффинных координатах Т можно записать в виде где аг- € С, г = 1,., 4, а п, г = 1,., 4 - многочлены от переменной х. Если Т является инволюцией, то заменой координат его можно привести к виду где /(ж) - многочлен степени 2с2 — 3 без кратных корней.

Инволюция 7 6 Сгг (К) называется инволюцией Гейзера (соответственно, инволюцией Бертини), если выполнено следующее. Существует неособая слабая поверхность Дель Пеццо в степени = 2 (соответственно, — 1), регуляризирующая действие инволюции 7 (определение смотри ниже). Причем действие инволюции 7 на поверхности 5 совпадает с действием инволюции Гейзера (соответственно, Бертини).

Т:(х,у) к* а\х + а2 п(х)у + г2(х) а$х + а4' г3(х)у + г4(х)

Доказательство классификационных результатов в работе [6] было не строгим. Только совсем недавно в работе [3] было получено полное и короткое доказательство.

В 1895 году Кантор [24] и Виман [31] привели описание конечных подгрупп в группе Сг2(С). Список был достаточно исчерпывающим. Однако он не был точным в следующих отношениях. Во-первых, для заданной конечной подгруппы по этому списку нельзя было определить содержится она в группе Кремоны или нет. Во-вторых, вопрос о сопряженности между подгруппами не рассматривался.

Современный подход к этой проблеме был начат в работе Ю.И.Манина [45]. В этой работе указывается явная связь классификации классов сопряженности конечных подгрупп в группе Кремоны с классификацией (^-минимальных рациональных многообразий (й", (2) и С-эквивариантных бирациональных отображений между ними. Расскажем об этом подробнее.

Пусть с Сгп(К) - конечная группа. Рациональное многообразие X регуляризирует действие группы С, если существует бирациональ-ный изоморфизм (р : X —Р71, такой что группа (р~г о С? о (р является подгруппой группы автоморфизмов многообразия X.

Любая конечная подгруппа (? с Стп(К) может быть регуляризирова-на. Это доказывается следующим образом. Пусть с1от(<7) с Р", д € С? -наибольшее открытое подмножество, на котором определено отображение д : Р" —->■ Рп. Возьмем множество II — Пд€<?<1от(<7). Заметим, что на и определено бирегулярное действие группы (?. Далее рассмотрим пространство V =11/О и его компактификацию V. Пусть X - нормализация V в поле рациональных функций на II. Тогда группа С совпадает с группой Галуа накрытия X —> V и действует регулярно на X.

Если СЬаг(^С) = 0 (соответственно, п = 2), то существует С-экинвариантное разрешение особенностей многообразия X (см. [1]б соответственно [25]). Таким образом, многообразие X может быть выбрано неособым.

Из вышесказанного следует, что существует взаимно однозначное соответствие между вложениями конечной группы С? в группу Сгп{К) и классами рациональных многообразий с точностью до С-эвивариантных бирациональных изоморфизмов. Пусть поле К алгебраически замкнуто характеристики 0. Возьмем неособое многообразие X, регуляризиру-ющее действие подгруппы (3 с Стп(К). Применим к паре (X, С) б?-минимальную программу Мори при п < 4 (в произвольной размерности эта программа в настоящее время доказана при некоторых дополнительных условиях [48], [20]). Получим, что действие группы С? регуляризу-ется на минимальном (^-многообразии Хт;п с (ЗО-факториальными терминальными особенностями (неособом при п = 2).

Таким образом, изучение классов бирациональных изоморфизмов рациональных многообразий X сведено к изучению классов бирациональных изоморфизмов С-минимальных рациональных многообразий Так как -Хтт ~ рациональное многообразие, то мы получаем, что -Хгшп обладает структурой расслоения Мори ф : Хт-Ш —>■ Z: сйт(.£) < сИт(Хт;п). Дивизор Вейля —Кхт1П относительно обилен и относительное G-инвapиaнтнoe число Пикара рсравно 1. Если п = 2, то имеют место следующие два случая.

• Случай Z — Брес(К) и - поверхность Дель Пеццо.

• Случай Z = Т1 и ф : -ХццП —Р1 - расслоение на коники с Р1с(Хт1п)с ~ й2.

Вернемся к случаю К = С и п = 2. Исследование конечных подгрупп

С Сгг(С) продолжилось в работах В.А.Исковских [35], [36], [38], [39], [43] и в работах М.К. Гизатуллина [33], [34]. Основными результаты работ [35], [36], [38] были вкратце следующие. Пусть Z = ¥1иS-G-минимальное расслоение коники ф : 5 —> Р1. Если < 0, то расслоение на коники ф является бирационально сверхжестким, т.е. любой бираци-ональный С-изоморфизм 5" —-> 5", где 5" - неособая (^-минимальная поверхность, является изоморфизмом. Если К| > 0, то расслоение на коники ф С-минимально только при К$ — 1,2,4. Также были изучены основные свойства (^-минимальных поверхностей Дель Пеццо. В работе [43] было получено описание разложений бирациональных отображений между (^-минимальными рациональными поверхностями на элементарные линки.

В 2000 году Л. Бэйль и А. Бовиль в статье [3] классифицировали элементы второго порядка в группе Сг2(С) с точностью до сопряженности. В этой работе впервые было получено точное и ясное описание числа классов сопряженности, параметризованных классами изоморфизмов кривых. Для заданных двух подгрупп второго порядка по этой классификации можно точно определить сопряжены они или нет.

Техника статьи [3] была обобщена де Фернексом в статье [13] на изучение циклических групп простого порядка. Классификация была достаточно точной за исключением двух случаев подгрупп пятого порядка, б для которых не был решен вопрос об их сопряженности. Полная классификация была получена в статье [5]. В частности был доказан следующий результат. Циклическая подгруппа С С Сг2(С) простого порядка сопряжена линейному автоморфизму плоскости тогда и только тогда, когда С? не фиксирует1 кривую положительного рода.

А. Бовиль в дальнейшем классифицировал р-элементарные максимальные подгруппы с точностью до сопряженности в статье [4]. В частности были получены следующие результаты.

• Пусть р - простое число и р ф 2,3. Тогда группа {Ъ/рЪ)^ не является подгруппой в Сг2(С).

• Существует бесконечное число классов сопряженности подгрупп в с Сг2(С) с условием <3 ~ {Ъ/2Ъ)А.

Отметим, что классы сопряженности подгрупп С ~ (2^/2хорошо описаны в группе де Жонкьера. Однако осталось неясным, когда две подгруппы, не сопряженные в группе де Жонкьера, сопряжены в группе

Сг2(С).

Совсем недавно И.В. Долгачев и В.А. Псковских доработали список Кантора и Вимана, используя современную теорию С-поверхностей, теорию элементарных линков В.А. Псковских и теорию классов сопряженности в группе Вейля (см. [18]). Отметим также недавнюю работу Д.Бланка статья [8], где классифицируются конечные абелевы подгруппы (7 С Сг2(С) с точностью до сопряженности.

В настоящее время известно очень мало о группах Сгп(С) при п > 2. В этом направлении следует отметить лишь работы Ю.Г. Прохорова [28] и [27], где были классифицированы простые и р-элементарные подгруппы в группе Сгз(С).

Остается также открытым вопрос о классификации конечных подгрупп в группах Кремоны Стп(К) (даже при п — 2) над полями положительной характеристики (см. [17], [16]). Наконец, очень интересная открытая проблема - классификация конечных подгрупп в группах Кремоны Сгп(^С) над алгебраически незамкнутыми полями (см. [29], [19], [30]). Отметим, что вся группа Кремоны Сг2(.ЙГ) над любым совершенным полем К полностью описана в терминах образующих и определяющих соотношений ([42], [44]).