Бифуркация автоколебаний в сложных LCRG-системах с распределенными параметрами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Федотов, Николай Борисович

• Федотов, Николай Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Федотов, Николай Борисович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1.Анализ автоколебаний в ЬСЬЮ-генераторе с отрезком длинной линии в цепи обратной связи.

1.Общие свойства рассматриваемой математической модели.

1.1 .Вывод краевой адачи.

1.2.Разрешимость начальной задачи Коши.

1.3.Условия самовозбуждения автогенератора.

2.Исследование явления многоцикличности в реальном ЬС1Ш-автогенераторе.

2.1.Многоцикличность в ЬС1Ш-автогенераторе с учетом входного и выходного активных сопротивлений усилителя.

2.2.Влияние малых паразитных факторов на явление многоцикличности.

ГЛАВА 2.Анализ двух автогенераторов с распределенными параметрами.

1 .Вывод и общие свойства математической модели самогенерирующей ЬСО-линии.

1.1.Вывод краевой задачи.

1.2.Определение условий самовозбуждения линии.

2.Автоколебания в ЬСв - самогенерирующей линии.

2.1 .Гармоническая многоцикличность.

2.2.Градиентные катастрофы.

2.3 .Высокомодовая многоцикличность.

3.Автоколебания в отрезке длинной линии с активным элементом на конце, имеющим И-образную характеристику.

3.1.Вывод математической модели.

3.2.Гармоническая многоцикличность.

3.3.Высокомодовая многоцикличность.

ГЛАВА 3.Исследование автоколебательных движений в системе: ЬСЯ-генератор, цепь обратной связи которого индуктивно взаимодействует с отрезком длинной линии.

Бифуркации автоколебаний в ЬС11-системе, содержащей отрезок длинной линии с закороченными концами.

1.1.Анализ автоколебаний в рассматриваемой задаче.

1.2.Построение укороченной системы уравнений.

1.3.Исследование укороченной системы уравнений.

2.Бифуркации автоколебаний в ЬСЫ-системе, содержащей отрезок длинной линии со свободными концами.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Построение укороченной системы уравнений.

2.3. Исследование укороченной системы уравнений.

ГЛАВА 4. Экспериментальная проверка теоретических результатов ивыводов.

1 .Проведение экспериментов по обнаружению явления многоцикличности в ЬС1Ш-автогенераторах.

1.1 .Эксперимент для ЬСЬЮ-автогенератора с отрезком длинной линии в цепи обратной связи.

1.2.Эксперимент для ЬСЯО-автогенератора с отрезком длинной линии в цепи обратной связи, индуктивно взаимодействующей с дополнительной линией.

2.Постановка экспериментов по выявлению многоцикличности в ЬС-автогенераторах с внутренней обратной связью.

2.1 .Эксперимент для ЬСО-самогенерирующей линии.

2.2.Эксперимент для ЬС-линии с туннельным диодом на конце.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Бифуркация автоколебаний в сложных LCRG-системах с распределенными параметрами»

В последние годы наблюдается бурное развитие микроэлектроники, позволившее усовершенствовать радиоэлектронное оборудование: уменьшать вес, габариты, стоимость и повысить его надежность. Отметим, что данная тенденция затронула и автогенерирующие устройства. С другой стороны исследование бифуркаций автоколебаний в радиофизических системах с распределенными параметрами позволяет лучше понять физику колебательных движений, существующих в различных явлениях природы.

Современная радиоэлектронная промышленность предъявляет к автоколебательным устройствам достаточно жесткие требования, поэтому возникает необходимость их совершенствования и дальнейшего развития теории и методов анализа.

Как известно[47,61], в настоящее время не создана нелинейная теория колебаний для распределенных систем. Это связано с тем, что интерес к нелинейным колебаниям в распределенных системах значительно возрос лишь в последние десятилетия[7,10,48,69]. Поэтому методы исследования распределенных систем и в настоящее время, как правило, носят эвристический характер.

Таким образом, возникает необходимость в развитии новых направлений в математическом моделировании, в разработке модификаций классических методов исследования и в использовании новых методологических подходов при анализе автоколебаний в сложных ЬСЬЮ-системах с распределенными параметрами.

Наиболее изученной моделью системы с распределенными параметрами является модель КС-автогенератора. Для

LCRG-автогенераторов, обладающих выраженными индуктивными свойствами, подобного исчерпывающего анализа до сих пор не было, хотя и имеется рад результатов их исследования [2,5, 15, 20-24, 26-35, 41, 53, 61, 69]. Одним из таких результатов, отражающих специфические особенности LCRG-автогенераторов, является следующий: при определенных условиях в распределенной системе существует набор устойчивых периодических колебаний, причем реализация любого из них определяется заданием начальных условий [2, 21, 22, 29-35, 39]. Такие режимы можно использовать для создания устройств памяти - для запоминания частоты кратковременного внешнего воздействия [39, 69]. Отметим, что это явление присуще и некоторым автогенераторам с сосредоточенными элементами с числом степеней свободы п>2 [5, 12, 14, 16, 24, 25, 45, 50, 60]. В дальнейшем описанный выше феномен будем называть многоцикличностью.

Одними из первых работ, в которых изучалось это явление, являются классические работы A.A. Андронова [5], A.A. Витта [21,22] , В.М. Бовшеверова [12], Г.С. Горелика [23], С.П. Стрелкова [65], К.Ф. Теодорчика [66] и др. Например, в статье [21] исследовались автоколебания в лехеровой системе с неэквидистантным спектром собственных частот, когда к одному концу системы была присоединена емкость, а другой был закорочен через нелинейное знакопеременное сопротивление. Здесь было показано, что в автогенераторе возникают гармонические колебания на одной из частот, для которой выполнялись условия самовозбуждения и устойчивости стационарной амплитуды. В работе [22] анализировалась многоцикличность в распределенной автоколебательной системе с эквидистантным (резонансным) спектром собственных частот, представлявшей собой скрипичную струну, возбуждаемую смычком. Как показал анализ, колебания, возбуждаемые в таких системах, являлись негармоническими, так как происходило одновременное возбуждение нескольких мод с кратными частотами. Поэтому форма автоколебаний была сложной (вплоть до треугольной). Статьи [5, 50] были посвящены изучению автоколебательных движений в двухконтурных генераторах Ван-дер-Полевского типа, где также имела место многоцикличность. В дальнейшем явление многоцикличности было обнаружено и исследовано во многих автоколебательных системах: в автогенераторах с запаздывающей обратной связью [2,12,15,23,25,45,60,63], в КС-автогенераторах с распределенными параметрами [36], в самогенерирующих линиях и объемных структурах [21,32,39, 69], лазерах [7, 10,48] и т.д. При этом применялись как строгие [9,13,35,40-42,70-75,77,80, 81], так и эвристические методы исследований [3,4, 8, 11, 19, 20, 47, 56,61,69,79].

Отметим, что в настоящее время еще не разработана достаточно полная теория ЬС1Ш-автогенераторов с распределенными параметрами, в частности, не изучены некоторые вопросы явления многоцикличности. Не исследован ряд важных задач, связанных с динамикой этого феномена при изменении следующих параметров системы: 1) распределенных активных потерь в линии и сосредоточенных импендансов на ее концах; 2) входных и выходных "паразитных" индуктивностей и емкостей активного элемента и других его "неидеальностей" (инерционности и т.п.); и т.д. Во многом это связано с проблемой математического моделирования указанных генераторов. Именно предложение ряда новых математических постановок и определило успех качественно более глубокого исследования ЬС1Ш-автогенераторов, проведенного в настоящей работе.

Подчеркнем еще две характерные особенности проведенного в диссертации анализа. Во-первых, многоцикличность была обнаружена исключительно благодаря варьированию параметров изучаемых математических моделей. Во-вторых, в диссертационной работе исследовалось явление многоцикличности как в рамках поставленных краевых задач (модельная многоцикличность), так и экспериментально. При этом данные эксперимента качественно и количественно подтвердили результаты теории.

Как отмечалось выше, явление многоцикличности может рассматриваться как позитивный фактор и использоваться при создании ряда радиотехнических устройств. Однако в других случаях многоцикличность - нежелательное явление, которое требуется устранять. В диссертационной работе предлагаются новые способы разрушения многоцикличности в ЬСКХЗг-системах, позволившие обеспечить стабильные режимы генерации.

В качестве объектов исследования рассматривается ряд схем ЬСЬЮ-автогенераторов (ЬС1Ю-автогенератор с отрезком длинной линии в цепи обратной связи; ЬСО-самогенерирующая линия с отрицательной дифференциальной проводимостью; ЬС-линия с активным элементом на конце, имеющим М-образную характеристику), а также их математические модели.

Предмет исследования - явление многоцикличности в сложных ЬСЫв-системах с распределенными параметрами.

Целью работы является исследование общих закономерностей и динамических свойств явления многоцикличности для широкого класса сложных ЬС1Ш-систем с распределенными параметрами при "мягкой" нелинейности активного элемента.

Сформулируем основные задачи исследований.

1) Построение для широкого класса LCRG-автогенераторов новых математических моделей и формулировка новых постановок задач, которые более адекватно отражают изучаемые свойства реальных физических устройств.

2) Разработка модификаций методов малых параметров (Андронова-Хопфа, Крылова-Боголюбова-Митропольского) для расчетов многоциклических стационарных колебаний в LCRG-автогенераторов с распределенными параметрами.

3) Исследование бифуркаций многоциклических автоколебаний: a) в LCRG -автогенераторе с отрезком длинной линии в цепи обратной связи с учетом неидеальностей усилителей; b) в LCG-самогенерирующей линии с отрицательной дифференциальной проводимостью; c) в LC-линии с активным элементом на конце, имеющим N-образную характеристику.

4) Анализ сложных LCR-систем, состоящих из базового автогенератора и отрезков дополнительных LCR-линий.

5) Экспериментальное подтверждение теоретических выводов и результатов численных расчетов на макетах автогенераторов, у которых нелинейные динамические характеристики активных элементов достаточно хорошо аппроксимируются полиномами третьей степени.

Научная новизна работы заключается в том, что: 1. Впервые исследовано влияние на многоцикличность неидеальностей усилителя в LCRG-генераторе с длинной линией в цепи обратной связи.

2. Впервые изучено поведение многоцикличности в ЬСв-самогенерирующей линии с отрицательной дифференциальной проводимостью при увеличении подаваемой в систему энергии в широком диапазоне значений.

3. Впервые предсказано теоретически и подтверждено экспериментом явление высокомодовой (высокочастотной) многоцикличности в ЬСО-самогенерирующей линии с отрицательной дифференциальной проводимостью и в ЬС-линии с активным элементом на конце, имеющим ]М-образную характеристику.

4. Впервые изучено влияние на многоцикличность отрезка дополнительной линии, сильно индуктивно взаимодействующей с основной линией базового ЬСИ-автогенератора.

5. Разработаны специальные варианты асимптотических методов малых параметров (Андронова-Хопфа и Крылова-Боголюбова-Митропольского) для расчета автоколебаний в сложных распределенных автоколебательных системах.

Приведенные в диссертационной работе аналитический и численный анализы установившихся автоколебательных режимов в сложных ЬС1Ш-системах с распределенными параметрами были применены при разработке практических схем автогенераторов на кафедре радиофизики ЯрГУ, в Институте микроэлектроники РАН и на предприятиях радиоэлектронной промышленности г. Ярославля.

Однако результаты диссертационной работы носят достаточно общий характер и могут найти применение при анализе существующих и создании новых автоколебательных систем как с распределенными, так и с сосредоточенными параметрами.

Предложенные в работе методы и алгоритмы можно использовать в частности:

• при анализе автоколебательных систем с распределенными и сосредоточенными параметрами в случае одночастотных и многочастотных режимов, нелинейные характеристики которых аппроксимированы полиномами;

• при изучении автоколебаний в генераторах с сосредоточенными и распределенными параметрами в радиофизических устройствах запоминания частоты;

• при разработке новых физических принципов многоустойчивых элементов [39, 69];

• при создании стабильных ЬС1Ш-систем с распределенными параметрами.

Основные идеи математического моделирования, развитые методы анализа и предложенные алгоритмы будут полезны для исследования других автоколебательных систем в различных задачах естествознания.

Поставленные задачи в диссертации исследуются в четырех главах. В первом параграфе главы 1 приводится краевая задача, которая является математической моделью ЬС1Ю-автогенератора с отрезком длинной линии в цепи обратной связи. Анализируются условия самовозбуждения генератора. Приводится доказательство разрешимости начальной задачи Коши.

Параграф 2 посвящен анализу автоколебаний в ЬСЖО-автогенераторе с неидеальным усилителем, в котором учтены малое выходное и достаточно большое, но конечное входное активные сопротивления. Показано, что учет малых неидеальностей усилителя не влияет на динамику автоколебаний в генераторе (сохраняет многоцикличность) и приводит лишь к увеличению критического значения коэффициента усиления, необходимого для их возникновения.

В этом же параграфе изучается влияние паразитных факторов на автоколебания в ЬСС11-генераторе. Выявлено, что в отличие от входного и выходного активных сопротивлений усилителя учет малых паразитных факторов (паразитных индуктивностей, емкостей и т.д.) приводит к более существенным последствиям и может разрушить многоцикличность.

Вторая глава посвящена рассмотрению двух автоколебательных систем: ЬСО-самогенерирующей линии с отрицательной дифференциальной проводимостью и ЬС-линии с активным элементом на конце, имеющим Ы-образную характеристику.

В параграфе 1 выводится математическая модель ЬСв-линии и определяются условия самовозбуждения.

В параграфе 2 исследуются автоколебания в ЬСО-линии при малых активных потерях и при увеличении "подкачки" энергии в систему в широком диапазоне значений. Проведенный анализ задачи позволил проследить за эволюцией многоцикличности от гармонической через релакционную к высокомодовой (высокочастотной). Здесь наблюдалось новое явление - высокомодовая (высокочастотная) многоцикличность, заключавшееся в том, что автоколебания реализовывались только на высоких модах (частотах).

В параграфе 3 выводится математическая модель для ЬС-линии с активным элементом на конце, имеющим ]\Г-образную характеристику. Здесь также выявлена гармоническая многоцикличность, проводится расчет автоколебаний. При некоторых допущениях на параметры автогенератора также обнаружено явление высокомодовой (высокочастотной) многоцикличности.

В третьей главе выводится математическая модель сложной ЬС11-системы, состоящей из базового ЬСЫ-автогенератора, который индуктивно взаимодействует с отрезком дополнительной ЬСЫ-линии. На основе модифицированного метода Крылова-Боголюбова-Митропольского доказано, что включение добротной линии с закороченными концами приводит к устранению многоцикличности и реализации единственного, близкого к гармоническому, периодического автоколебания. С другой стороны, введение добротной линии со свободными концами хотя и приводит к разрушению многоцикличности, но при этом с ростом коэффициента усиления бифурцируют все более сложные периодические автоколебания.

Последняя глава посвящена экспериментальной проверке теоретических результатов. В параграфе 1 описываются эксперименты по обнаружению явления многоцикличности в ЬОЮ-автогенераторе с отрезком длинной линии в цепи обратной связи.

В параграфе 2 описываются эксперименты по выявлению многоцикличности в автогенераторах с внутренней обратной связью: ЬСО-самогенерирующей линии и ЬС-линии с туннельным диодом на конце.

В параграфе 3 представлены эксперименты, проведенные на макетах сложных ЬС11-систем, подтверждающие теоретические результаты и выводы по разрушению многоцикличности в изучаемых устройствах.

В заключение отметим, что материалы диссертационной работы опубликованы в 8 работах[37,38,70-75]. Они обсуждались на научных семинарах кафедры математической кибернетики и кафедры радиофизики, в Воронежском научно-исследоваельском институте "Вега", также докладывались :

15

1.На Всесоюзной конференции по нелинейным колебаниям и волновым процессам. Горький. 1980.

2.На межвузовских научных конференциях молодых ученых по проблемам нелинейных колебаний в естествознании. Ярославль в 1981 и 1983.

3.На Всероссийской 55-ой научной сессии, посвященной дню радио. Москва. 2000.

4.На научном семинаре в НИИ Связи. Воронеж. 2000.

5.На научном семинаре кафедры физики колебаний МГУ. 2000.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Федотов, Николай Борисович

В заключение диссертационной работы приведем основные результаты и выводы:

1. Для широкого класса ЬСОЯ-систем построены математические модели, которые представляют собой нелинейные краевые задачи с частными производными.

2. Проведено исследование математической модели ЬСОЛ-автогенератора с отрезком длинной линии в цепи обратной связи, в результате которого выявлены: a) сохранение многоцикличности с учетом малых "неидеальностей" усилителя (малого выходного и достаточно большого входного активных сопротивлений); b) разрушение многоцикличности при наличии заметных (порядка £) "паразитных" индуктивностей (емкостей) в генераторе.

3. Выведена математическая модель самогенерирующей ЬСв-линии и определены условия самовозбуждения автоколебаний в ней в локальном и нелокальном случаях.

4. Проанализирована математическая модель ЬСО-самогенерирующей линии с отрицательной дифференциальной проводимостью и обнаружено следующее: a) гармоническая многоцикличность при малых сосредоточенных активных потерях и малой "подкачке" энергии в линию; b) градиентные катастрофы (разрушение автоколебаний) при увеличении подаваемой энергии в систему; c) высокомодовая многоцикличность, т.е. реализация автоколебаний на высоких модах, следующая после градиентных катастроф.

5. Исследована бифуркация автоколебаний в ЬС-линии с активным элементом на конце, имеющим 1М-образную характеристику, и выявлено следующее: a) гармоническая многоцикличность; b) высокомодовая многоцикличность, имеющая место при уменьшении параметра автогенератора а = Сд/С .

6. Построены новые математические модели для ЬСЯ-системы, состоящей из базового автогенератора, сильно индуктивно взаимодействующего с отрезком дополнительной линии. Выявлены следующие результаты: a) устранение многоцикличности при использовании "настроенной " дополнительной линии с закороченными концами и реализация единственного, близкого к гармоническому устойчивого автоколебания; b) вырождение многоцикличности при введениии в систему "настроенной " дополнительной линии со свободными концами и бифуркации с ростом коэффициента усиления соответственно одночастотных, двухчастотных и т.д. периодических режимов.

7. Определены параметры бифурцирующих автоколебаний и решен вопрос об их устойчивости в рассмотренных выше ЬС1Ю-распределенных системах.

8. Предложены новые методологические приемы исследования автоколебательных систем с распределенными параметрами, заключающиеся в дифференцированном подходе к математической модели и методам ее анализа (постановка ряда краевых задач в зависимости от величины параметров автогенератора).

9. Разработаны специальные варианты методов малых параметров Андронова - Хопфа и Крылова - Боголюбова - Митропольского.

10. Проведены эксперименты по проверке теоретических выводов и результатов численных расчетов на четырех макетах автогенераторов, у которых нелинейные динамические характеристики активных элементов достаточно хорошо аппроксимируются полиномами третьей степени. В результате экспериментов было подтверждено, что все основные положения и

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Федотов, Николай Борисович, 2000 год

1. Аболиня В.Э., Мышкис А.Д. Смешанная задача для почти линейной гиперболической системы на плоскости // Мат. сборник. 1960. Т. 50, № 4. С. 423-442.

2. Азьян Ю.М., Мигулин В.В. Об автоколебаниях в системе с запаздывающей обратной связью// Радиотехника и электроника. 1956. Т. 1, № 4. С. 418-427.

3. Айзерман М.А. Теория автоматического регулирования. М.: Наука, 1966.-351 с.

4. Андреев B.C. Теория нелинейных электрических цепей. М: Радио и связь, 1982.-280 с.

5. Андронов A.A., Витт A.A. К математической теории автоколебательных систем с двумя степенями свободы // ЖТФ. 1934. Т. 4. Вып. 1.С. 122-134.

6. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. -М.: Наука, 1981.-568 с.

7. Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Проблемы нелинейной оптики. -М: ВИНИТИ, 1964.-295 с.

8. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Госиздат, ТТЛ, 1958.-628 с.

9. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976.-496 с.

10. Бирнбаум Дж. Оптические квантовые генераторы. М: Советское радио, 1967.-359 с.

11. Блакьер О. Анализ нелинейных цепей. М.: Мир, 1969.-400 с.

12. Бовшеверов В.M. О некоторых колебательных задачах, приводящих к функциональным уравнениям // ЖТФ. 1936. Т. 6, № 9. С. 1480-1488.

13. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.-503 с.

14. Брагинский В.Б., Митрофанов В.П., Панов В.И. Системы с малой диссипацией. М.: Наука, 1981.-144 с.

15. Brayton R.K. Nonlinear oscillations in distributed network // Quarterly of Appl. Math. 1967. V. 24, № 4. P. 289-301.

16. Бруевич A.H. Асинхронные колебания в автогенераторе с двумя степенями свободы // Радиотехника и электроника. 1960. Т. 5, № 10. С. 451-468.

17. Булгаков Б.В. Колебания. М.: Наука, 1969.-892 с.

18. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976.-384 с.

19. Ван-дер-Поль Б. Нелинейная теория электрических колебаний. -М.: Связьиздат, 1935.-289 с.

20. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. -М.: Наука, 1979.-383 с.

21. Витт А.А. Распределенные автоколебательные системы // ЖТФ. 1934. Т. 4. Вып. 1.С. 144-159.

22. Витт А.А. К теории скрипичной структуры // ЖТФ. 1936. Т. 6. Вып. 9. С. 1459-1479.

23. Горелик Г.С. К теории запаздывающей обратной связи // ЖТФ. 1939. Т. 9. №5. С. 450-466.

24. Горелик Г.С. Колебания и волны. -М.: Физматгиз, 1959.-572 с.

25. Гоноровский И.С. К теории высокочастотных автогенераторов с запаздывающей обратной связью // Радиотехника и электроника. 1958. Т. 13, №5. С. 19-36.

26. Камбулов В.Ф. Математическая модель самогенерирующей линии с LCG-распределенными параметрами // Применение математических методов в физике и вычислительных системах. Вильнюс: Пяргале, 1976. С. 36-37.

27. Камбулов В.Ф. Две задачи, связанные с самогенерирующими линиями // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрПИ, 1977. С. 33-59.

28. Камбулов В.Ф. Гармонические колебания в автогенераторе с LCRG- распределенными параметрами в цепи обратной связи // Радиотехника и электроника. 1978. Т. 23, № 11. С. 2321-2326.

29. Kambulov V.F. Bifurcation Auto-Oscillation in a Generator with a segment of a Long-Line in a Feedback Circuit // Second International Conférence on Development Direnmous of the Radiocommunication System and Means. Voronesh, 1995. C. 137-143.

30. Камбулов В.Ф., Колесов А.Ю. О явлении буферности в одной резонансной гиперболической краевой задаче из радиофизики // Мат. сборник. 1995. Т. 186, № 7. С. 77-96.

31. Камбулов В.Ф., Колесов А.Ю. Об одном модельном гиперболическом уравнении, возникающем в радиофизике // Математическое моделирование. 1996. Т. 8, № 1. С. 93-102.

32. Камбулов В.Ф., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. О явлении буферности в длинной линии с туннельным диодом // УМН. 1996. Т. 51, вып. 5. С. 146-147.

33. Камбулов В.Ф., Колесов А.Ю. О специфике генерируемых колебаний в автогенераторе с малым затуханием в цепи обратной связи // Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42, № 8. С. 1019-1024.

34. Камбулов В.Ф. Модель распределенного автогенератора Ван-Дер-Поля // Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42, № 9. С. 1121-1124.

35. Камбулов В.Ф., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Бифуркация пространственно неоднородных циклов у нелинейного волнового уравнения с малой диффузией // ТР. ММО. 1997. Т. 59. С. 124-147.

36. Камбулов В.Ф. Бифуркация автоколебаний в одном RC-генераторе с распределенными параметрами при асимметричной нелинейной характеристике // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1997. Т. 40, № 10. С. 60-67.

37. Камбулов В.Ф., Мазин A.A., Федотов Н.Б., Хрящов В.В. Бифуркация автоколебаний в одном сложной LCR-системе с распределенными параметрами // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2000. Т. 1, № 1. С. 20-25.

38. Камбулов В.Ф., Федотов Н.Б., Хрящов В.В. К вопросу о защите информации от внешних и внутренних факторов при ее передаче в отрезках длинных линий // Труды 55-ой научной сессиии, посвященной дню радио. Москва. 2000. С. 101.

39. Капранов М.В., Кулешов В.Н., Уткин Г.М. Теория колебаний в радиотехнике. М.: Наука, 1984.-320 с.

40. Колесов Ю.С. Бифуркация инвариантных торов параболических систем с малой диффузией // Мат. сборник. 1993. Т. 184, № 3. С. 121-136.

41. Колесов Ю.С., Швитра Д.Й. Автоколебания в системах с запаздыванием. Вильнюс: Мокслас, 1979.-146 с.

42. Колесов Ю.С., Майоров B.B. Новый метод исследования устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с близкими к постоянным почти периодическими коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10, № 10. С. 1778-1788.

43. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математический физики. -М.: Высшая школа, 1970.710 с.

44. Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложение в технических вопросах. М.: АН СССР, 1949.-368 с.

45. Кузнецов С.П. Сложная динамика генератора с запаздывающей обратной связью // Изв. Вузов СССР. Радиофизика. 1982. Т. 25,№ 12. С. 1410-1428.

46. Куликов А.Н. Исследование одной краевой задачи, возникающей в радиофизике // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрПИ, 1976. С. 67-85.

47. Ланда П.С. Автоколебания в распределенных системах. М.: Наука, 1983.-320 с.

48. Лэмб У. Лекции по теории оптических лазеров. В кн. Квантовая оптика и квантовая радиофизика. - М.: Мир. 1966. С. 281-376.

49. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Собр. соч. 1956. Т. 2. С. 7-263.

50. Магазаник A.A. К качественной теории асинхронных режимов с двумя степенями свободы // Радиотехника и электроника. 1959. Т. 4, №7. С. 1103-1115.

51. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. -М.: Гостехиздат, 1956.-488 с.

52. Мандельштам JI.И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука, 1972.-512 с.

53. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. М.: Наука, 1988.-391 с.

54. Минакова H.H. Неавтономные режимы автоколебательных систем. М.: МГУ, 1987.-168 с.

55. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. -М.: Наука, 1969.-379 с.

56. Нагумо Д., Шумура М. Автоколебания в длинной линии. // ТИРИ. 1961.Т. 49,№8. С. 1091-1101.

57. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.-526 с.

58. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. -М.: Наука, 1978.-336 с.

59. Пиппард А. Физика колебаний. -М.: Высшая школа, 1985.-453 с.

60. Понкратов B.C. Стационарные режимы автогенератора с запаздывающей обратной связью // Изв. вузов СССР. Радиофизика. 1958. Т.1, № 6. С. 705-714.

61. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1992-455 с.

62. Рабинович М.И., Якубович E.H. О применении метода усреднения к исследованию систем с малой нелинейностью // Изв. вузов СССР. Радиофизика. 1966. Т.9, № 5. С. 987-992.

63. Рубаник В.П., Колебания сложных квазилинейных систем с запаздыванием . -Минск: "Университетское, 1985.-143 с.

64. Самойло К.А. Метод анализа колебательных систем второго порядка. -М.: Сов. Радио, 1976.-204 с.

65. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1964.437 с.

66. Теодорчик К.Ф. Автоколебательные системы. М.: Гостехиздат, 1952.-271 с.

67. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М: Наука, 1977.-735 с.

68. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.-622 с.

69. Уткин Г.М. Автоколебательные системы и волновые усилители. -М.: Сов. Радио, 1978.-272 с.

70. Федотов Н.Б. О жестком режиме возбуждения автоколебаний в длинной линии с туннельным диодом // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1978. С. 81-99.

71. Федотов Н.Б. Влияние внешней гармонической силы на автоколебательную систему в случае основного резонанса // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1979. С. 86-110.

72. Федотов Н.Б. Полный анализ задачи об основном резонансе в нелинейной постановке. // Дифференциальные и интегральные уравнения. Горький: ГГУ, 1980. С. 120.

73. Федотов Н.Б. Бифуркационные диаграммы в задаче о влиянии внешней гармонической силы на автоколебательную систему в случае основного резонанса // Исследования по устойчивости итеории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1980. С. 61-74.

74. Федотов Н.Б. Задача о воздействии гармонической силы на нелинейную автоколебательную систему // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1982. С. 104119.127

75. Камбулов В.Ф., Колесов Ю.С., Майоров В.В., Федотов Н.Б. К вопросу о расчете энергетических характеристик квантового генератора // Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений. Ярославль: ЯрГУ, 1985. С. 6-9.

76. Камбулов В.Ф.Друдниченко A.C. Автогенераторы с распределенными параметрами и их математические модели. Книга 1.-Ярославль: ЗАО ФГИ "Содействие", 1997, С. 112.

77. Hale J. Theory of functional differential equations. N.Y. etc.: Sprindor, 1977.- 360 p.

78. Харкевич A.A. Нелинейные и параметрические явления в радиотехнике. М.: Гостехиздат, 1956.-184 с.

79. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир, 1968.-432 с.

80. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка, 1986.-279 с.

81. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифферециальные уравнения с периодическими коэффициентами. М.: Наука, 1972.718 с.