Частотные модели периодически нестационарных систем с распределенными параметрами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Ли Ен Кван

• Ли Ен Кван
• кандидат технических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат технических наук Ли Ен Кван

ВВЕДЕНИЕ.

А Глава 1. Обзор методов исследования периодически нестационарных систем и систем с распределенными параметрами.

1.1 Системы с распределенными параметрами.

1.1.1 Метод Рэлея - Ритца.

1.1.2 Методы взвешенной невязки.

1.1.3 Формулировка метода конечных элементов (МКЭ).

1.2 Методы исследования периодически нестационарных систем.

1.2.1 Спектральный метод.

1.2.2 Метод приведения.

1.3 Постановка задачи.

1.4 Выводы к главе 1.

Глава 2. Частотные модели систем с распределенными параметрами.

2.1 Введение.

2.2 Применение цифрового моделирования к системам с пространственными координатами.

2.3 Структурные модели.

2.3.1 Механическая система.

2.3.2 Электрическая система.

2.4 Частотные модели.

2.4.1 Механическая система.

2.4.2 Электрическая система.

2.5 Вычислительный эксперимент.

2.5.1 Расчет вала методом конечных элементов (МКЭ).

2.5.2 Точное решение задачи.

2.5.3 Цифровое моделирование задачи.

2.5.4 Точное решение задачи с одним защемленным концом.

2.5.5 Цифровое моделирование задачи с одним защемленным концом.

2.6 Сравнительный анализ конечномерных приближений.

2.7 Прикладная задача: расчет балки Тимошенко.

2.7.1 Окончательные уравнения отклика.

2.7.2 Проблемы собственных значений решений балки Тимошенко с различными граничными условиями.

2.7.3 Вычислительный эксперимент: балка со свободными концами.

2.7.4 Вычислительный эксперимент: балка с одним защемленным концом.

2.8 Выводы к главе 2.

Глава 3. Параметрический резонанс в системах с распределенными параметрами.

3.1 Расчет условий возбуждения параметрических колебаний в системах с сосредоточенными параметрами.

3.2 Расчет условий возбуждения параметрических колебаний в системах с распределенными параметрами.

3.2.1 Особенность параметрического возбуждения систем с распределенными параметрами. Модификация метода стационаризации.

3.2.2 Особенность численного моделирования систем с распределенными параметрами.

3.2.3 Пример расчета периодически нестационарной системы с распределенными параметрами.

3.3 Выводы к главе 3.

Глава 4. Расчет прикладных задач.

4.1 Система управления роботом-манипулятором.

4.1.1 Постановка задачи.

4.1.2 Моделирование упругого вала.

4.1.3 Расчет условий параметрического резонанса.

4.2 Электромеханический преобразователь.

4.2.1 Описание электрических машин.

4.2.2 Линеаризация и стационарное описание электрического преобразователя при малой электрической постоянной двигателя.

4.2.3 Анализ системы с учетом электрической постоянной двигателя

4.2.4 Моделирование распределенной нагрузки (длинной линии) и расчет условий возбуждения параметрического резонанса.

4.3 Выводы к главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Частотные модели периодически нестационарных систем с распределенными параметрами»

Актуальность темы. Периодически нестационарные динамические системы с распределенными параметрами широко используются в технике управления, электротехнике, электромеханике, механике, тепло-, гидро-, газодинамике, радиофизике и в других областях. Примером подобных систем служит система управления координатой робота-манипулятора, в которой периодически нестационарным звеном является МДМ (Модуляция-Демодуляция) усилитель, а звеном с распределенными параметрами служит упругий вал привода схвата. Другим примером периодически нестационарной системы с распределенными параметрами является электромашинный преобразователь энергии, содержащий двигатель постоянного тока и синхронный генератор. В этой системе периодически изменяющимся со временем звеном служит взаимная индуктивность обмоток статора и ротора синхронного генератора, а нагрузкой генератора служит — длинная линия — звено с распределенными параметрами.

Задачи тепло-, гидро-, газодинамики описываются, как правило, нелинейными уравнениями в частных производных, т.е. представляют собой сложные нелинейные динамические системы с распределенными параметрами. Как известно задача устойчивости периодических движений в подобных системах сводится к решению периодически нестационарных систем с распределенными параметрами.

Задачами расчета периодически нестационарных систем и систем с распределенными параметрами занимались крупные ученые: Г. Хилл[14], А. М.

Ляпунов [37], В.В. Болотин [10], Н. Н. Боголюбов [9], К.Г. Валеев [14], Е. Н.

Розенвассер [50], В. Н. Челомей [60], С. В. Челомей [61, 62], Л. Д. Акуленко [4, 4

5], В .А. Якубович [69-70], И. Н. Фомин [58], Ф. Д. Байрамов [7], М. Я. Израилович [27, 28], С. В. Крысов [32], А. И. Весницкий [15-21], А. П. Сейранян [39-41,51,52,95], М. Я. Леонов [34], М. Л. Левинштейн [33], Д. Ю. Скубов [55], Л. Б. Рапопорт [48], В. А. Тафт [56,57], С. А. Агафонов [1-3], Г. Шмидт [68], С.Л. Чечурин [8,24-26,29, 45-47, 49, 64-66, 96-98], С. S. Hsu [83], Т. Iwatsubo [85], К. Okumura [92], W. К. Tso [103], R. Gryhos [80], Т. A. Kotera [86] и многие другие. Процессы и решения периодически нестационарных систем с распределенными параметрами необычайно сложны, так что точные аналитические решения существуют лишь в редких простейших случаях. Таким образом, задачи исследований, поставленные в диссертационной работе, являются актуальными.

Цель исследования. Цель диссертации заключается в разработке приближенного метода расчета колебаний периодически нестационарных систем с распределенными параметрами.

Методы исследования. Поставленная цель достигается следующими путями:

1) использованием частотных характеристик для анализа периодически нестационарных систем с распределенными параметрами (ПНСРП);

2) выбором цифрового моделирования звеньев с распределенными параметрами;

3) использованием прямого и обратного Z-преобразований для получения частотных характеристик звеньев с распределенными параметрами;

4) модификацией одночастотного метода стационаризации. Основные научные результаты.

1) Разработана методика расчета частотных характеристик звеньев с распределенными параметрами.

2) Получены частотные модели и определены условия возбуждения параметрических колебаний в периодических нестационарных системах с распределенными параметрами.

3) Найдены решения прикладных задач механики, электромеханики и управления.

Достоверность результатов. Достоверность полученных в диссертации результатов подтверждается

1) рамками одночастотного приближения;

2) существующими точными решениями задач;

3) численным методом конечных элементов;

4) вычислительным экспериментом;

5) экспериментальными наблюдениями;

6) в решениях прикладных задач.

Научная новизна. В диссертации впервые сформулирована методика расчета частотных характеристик на основе цифрового моделирования. На базе модифицированного в работе известного метода одночастотной стационаризации получены новые условия возбуждения параметрических колебаний в периодических нестационарных системах с распределенными параметрами.

Практическая ценность. Практическая ценность результатов работы заключается в простоте получения решений прикладных задач. Большую практическую значимость представляет полученная в работе возможность использования в расчетах экспериментальных частотных характеристик. Наконец, самостоятельную практическую ценность составляют полученные решения прикладных задач: расчет колебаний балки Тимошенко, расчет систем управления роботом-манипулятором и электромашинного преобразователя. 6

Апробация работы. Результаты диссертационной работы опубликованы в 5 печатных трудах [35, 36, 87, 88, 98] и обсуждались на семинарах «Моделирование и управление» в СПбГПУ, на международных конференциях «АРМ-2002» (20-24 июня 2002, С-Петербург) и Physics and Control '2003 (22-24 августа 2003, С-Петербург).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и литературы из 105 наименований. Полный объем диссертации - 150 страниц, включая 71 рисунок и 7 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Ли Ен Кван

4.3 Выводы к главе 4

1. Проведен расчет условий возбуждения параметрического резонанса в системе управления одной координатой робота-манипулятора. Периодически нестационарным элементом является МДМ-усилитель, а элементом с распределенными параметрами - упругий вал схвата.

2. Показана недопустимость замены в расчетах упругого вала на жесткий, так как при этом пропускается потеря устойчивости равновесия.

3. Проведен расчет системы электромеханического преобразователя, содержащего двигатель постоянного тока и синхронный генератор, работающий на разнообразные нагрузки, включая длинную линию электроснабжения.

4. Составлены нелинейные дифференциальные уравнения поведения системы. Задача устойчивости вращения преобразователя сводится к расчету периодически нестационарной системы с распределенными параметрами, описываемой уравнениями в приращениях. Периодически нестационарным элементом в системе служит меняющаяся во времени индуктивность обмоток статора синхронного генератора.

5. Получены условия потери устойчивости вращения преобразователя за счет возбуждения параметрического резонанса. Полученные условия подтверждаются результатами численного моделирования.

6. Проведенный анализ двух практически важных технических систем подтверждает теоретические результаты диссертации.

Глава 5. Заключение

В диссертации проведены частотные модели периодически нестационарных систем с распределенными параметрами. В ходе исследования получены следующие основные результаты.

1. Предложена методика частотного анализа систем с распределенными параметрами. Суть методики заключается в использовании билинейного преобразования при переходе к описанию системы дифференциально-разностными уравнениями, с последующим использованием аппарата прямого и обратного 2-преобразования.

2. Получено новое решение задачи колебаний балки Тимошенко.

3. Проведена модификация известного метода стационаризации периодически нестационарных систем, позволяющая упростить поиск условий возбуждения параметрических колебаний в частотной области.

4. Сущность модификации состоит в переходе к эквивалентной передаточной функции стационарной части с последующим использованием равенства модулей в частотной области.

5. Предлагаемый метод построения частотных моделей периодически нестационарных систем с распределенными параметрами состоит в использовании метода частотного анализа систем с распределенными параметрами главы 2 и модифицированного метода стационаризации главы 3.

6. Проведен расчет условий возбуждения параметрического резонанса в системе управления одной координатой робота-манипулятора.

7. Показана недопустимость замены в расчетах упругого вала на жесткий, так как при этом пропускается потеря устойчивости равновесия.

8. Проведен расчет системы электромеханического преобразователя, содержащего двигатель постоянного тока и синхронный генератор, работающий на разнообразные нагрузки, включая длинную линию электроснабжения.

9. Получены условия потери устойчивости вращения преобразователя за счет возбуждения параметрического резонанса. Полученные условия подтверждаются результатами численного моделирования

10. Полученные в работе теоретические результаты подтверждаются расчетами практических задач и численным моделированием.

Глава 6. Приложение

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Ли Ен Кван, 2003 год

1. Агафонов С. А. Эффект стабилизации равновесия маятника циглера параметрическим возбуждением // МТТ. 1997. № 6. С. 36-40.

2. Агафонов С. А. Стабилизация параметрическим возбуждением упруговязкого стержня, находящегося под действием следящей силы // МТТ. 1996. №3. С. 137-141.

3. Агафонов С. А. О Стабилизации движения неконсервативных систем посредством параметрического возбуждения // МТТ. 1998. № 2. С. 199-202.

4. Акуленко Л. Д. Параметрические колебания мембраны в переменном электрическом поле / Л. Д. Акуленко, С. В. Нестеров // ПММ. 1994. Т. 58. В. 1.С. 95-102.

5. Акуленко Л. Д. Параметрические колебания цилиндрической оболочки в переменном электрическом поле / Л. Д. Акуленко, С. В. Нестеров // МТТ. 1997. №2. С. 151-160.

6. Андронов А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витг, С. Э. Хайкин. — М.: гос. изд. физ.-мат. лит., 1959. 915. с.

7. Байрамов Ф. Д. Об устойчивости систем с распределенными параметрами и сосредоточенными усилиями / Ф. Д. Байрамов, М. Ю. Сафронов // ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 3. С. 350-355.

8. Бабко Л. В. К теории цифровых автоматических интегрирующих приборов с широтно-импульсной модуляцией / Л. В. Бабко, В. И. Созипов, С. Л. Чечурин//Изв. вузов, приборостроение. 1981. Т. 23. № 1. С 14-17.

9. Боголюбов Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейныхколебаний / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский. -М.: Наука, 1974.141504. с.

10. Болотин В. В. а. Динамическая устойчивость упругих систем. — М.: гостехиздат, 1956 600. с. б. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. -М.: Физматгиз, 1961.

11. Бутенин Н. В. Введение в теорию нелинейных колебаний / Н. В. Бутенин, Ю. И. Неймарк, Н. А. Фуфаев. - М.: Наука, 1987. 382. с.

12. Вавилов А. А. Частотные методы расчета нелинейных систем. —Л.: Энергия, 1970. 323. с.

13. Важнов А. И. Электрические машины. — Л: Энергия, 1969. 768. с.

14. Валеев К. Г. Исследование устойчивости решений линейного дифференциального уравнения с периодическими коэффициентами и стационарными запаздываниями аргумента методом Хилла // ПММ. 1962. Т. 26. Вып. 4. С. 755-761.

15. Весницкий А. И. Волны в системах с движущимися границами и нагрузками. — М.: Физматлит, 2001. 320. с.

16. Весницкий А. И. Экспериментальные исследования параметрического возбуждения колебаний в одномерных механических системах / А. И. Весницкий, С. В. Крысов, А. И. Потапов // Прикл. мех. 1980. Т. 16, № 12. С. 122-125.

17. Весницкий А. И. Параметрическое возбуждение импульсов в распределенных системах с нестационарными границами / А. И.

18. Весницкий, С. В. Крысов, С. Р. Шохин // ПМТФ. 1976. № 4. С. 145-151.142

19. Весницкий А. И. Параметрическое возбуждение колебаний импульсной формы в ветвях передачи с гибкой связью / А. И. Весницкий, А. Ф. Ляхов // Машиноведение. 1981. № 5. С. 34-38.

20. Весницкий А. И. Параметрическая неустойчивость поперечных колебаний нити, параметры которой изменяются по закону бегущей волны / А. И. Весницкий, А. Ф. Ляхов // ПМТФ. 1982. № 3. С. 163-169.

21. Весницкий А. И. Параметрическое возбуждение импульсов в одномерных системах с переменной длиной / А. И. Весницкий, А. И. Потанов. В кн.: Теория дифракции и распространения волн. Т. 3. 1977. — М.: ИРЭ АН СССР, 1977. С. 113-116.

22. Вибрации в технике. Т. 1. Колебания линейных систем // Под ред. В.В. Болотина. — М.: Машиностроение, 1978. 352. е.

23. Волосов В. М. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений. Усп. мат. наук. 1962. Т. 17. вып. 6. (108). С. 3-126.

24. Григориев А. Г. Резонансный контроль цифровых систем автоматического управления / А. Г. Григориев, С. Л. Чечурин // Изв. вузов, приборостроение. 1989. Т. 32. №6. С. 11-15.

25. Долбежкин В. А. Инвариантность условий возбуждения параметрического резонанса периодически нестационарных систем / В. А. Долбежкин, И. Л. Туккель, С. Л. Чечурин // Изв. вузов. Электромеханика. 1986. Т. 7. С. 110112.

26. Ерихов М. М. Расчет линейных импульсных систем по непрерывной модели / М. М. Ерихов, М. Я. Островский, С. Л. Чечурин // Изв. вузов. Приборостроение. 1982. Т. 25. № 9. С. 20-24.

27. Израилович М. Я. Параметрическое возбуждение автоколебаний // МТТ. 1997. №3. С. 54-63.

28. Израилович М. Я. Параметрическое управление вынужденными периодическими режимами гармонически линеаризируемых механических систем // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1994. № 4. С. 15-22.

29. Карлос Р. Расчет условий возбуждения параметрических колебаний / Р. Карлос, С. JI. Чечурин // Радиотехника. 1979. Т. 34. № 8. С. 51-53.

30. Колылов И. П. Электрические машины. — М.: Логос, 2000. 607. с.

31. Конторович М. И. Нелинейные колебания в радиотехнике. — М. 1973. 288. с.

32. Крысов С. В. Параметрическое возбуждение колебаний импульсной формы в гибких элементах машин и механизмов: Дис. канд. Физ.-мат.наук. / ЛПИ. -Л. 1979.

33. Левинштейн М. Л. Явление параметрического резонанса при работе синхронной машины на емкостную нагрузку // Труды ЛПИ им. Калинина. 1948. №3. С. 13-41.

34. Леонов М. Я. Управляемый параметрический резонанс // Избр. Проблемы прикл. мех. — М.: Наука, 1974. С. 445-451.

35. Ли Е. К. Параметрический резонанс в системах электромеханического преобразования / Е. К. Ли, Л. С. Чечурин // Exponent Pro, 2003. №.3. с. 46-51.

36. Ли Е. К. Частотный анализ систем с распределенными параметрами с использованием цифрового моделирования // Инновации в науке, образовании и производстве Труды. СПбГПУ. 2002. № 484. с. 184-190.

37. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения // Собр. Соч. Т.2.- М.: Изд-во. АН СССР, 1956. С. 7-263.

38. Магнус К. Колебания: введение в исследование колебательных систем.— М.: Мир. 1982. 304. с.

39. Майлыбаев А. А. О границах области параметрического резонанса / А. А. Майлыбаев, А. П. Сейранян // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 6. С. 947-962.

40. Майлыбаев А. А. Особенности границ областей устойчивости / А. А. Майлыбаев, А. П. Сейранян // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 6. С. 984-995.

41. Майлыбаев А. А. Параметрический резонанс в системах с малой диссипацией / А. А. Майлыбаев, А. П. Сейранян // ПММ. 2001. Т. 65. Вып. 5. С. 779-792.

42. Мигулин В.В. Основы теории колебаний / В. В. Мигулин, В. И. Медведев, Е. Р. Мустель, В. Н. Парыгин. - М.: Наука, 1978. 392 с.

43. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. 2-е изд. -М.: Наука, 1980.

44. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1972.

45. Островский М. Я. Параметрические колебания и устойчивость периодического движения в первом гармоническом приближении (1. ч) / М. Я. Островский, С. JI. Чечурин // Изв. вузов, приборостроение. 1981. Т. 23. № 10. С. 20-25.

46. Островский М. Я. Параметрические колебания и устойчивость периодического движения в первом гармоническом приближении (2. ч) / М. Я. Островский, С. JI. Чечурин // Изв. вузов, приборостроение. 1982. Т. 25. № 7. С. 27-32.

47. Островский М. Я. Расчет ударных параметрических колебаний / М. Я. Островский, С. JI. Чечурин // Изв. вузов, приборостроение. 1980. Т. 23. № 12. С. 30-33.

48. Рапопорт JI. Б. Об устойчивости линейных механических систем припараметрических возмущениях // МТТ. 1997. № 5. С. 41-45.145

49. Ривольта К. К расчету условий возбуждения параметрических колебаний / К. Ривольта, С. Л. Чечурин // Изв. вузов, приборостроение. 1978. Т. 21. № 5. С.

50. Розенвассер Е. Н. Периодически нестационарные системы управления. -М.: 1973. 511. с.

51. Сейранян А. П. Об особенностях границ областей устойчивости гамильтоновых и гироскопических систем / А. П. Сейранян, А. А. Майлыбаев // Докл. РАН. 1999. Т. 365. № 6. С. 756-760.

52. Сейранян А. П. Область резонанса для уравнения Хилла с демпфированием // Докл. РАН. 2001. Т. 376. № 1. С. 44-47.

53. Солодов А.В. Линейные автоматические системы с переменными параметрами / А. В. Солодов, Ф. С. Петров. - М.,1971. 620. с.

54. Солодовников В.В. Частотные методы анализа и синтеза нестационарных линейных систем / В. В. Солодовников, Ю. М. Бородин, А. В. Ионнисян. — М., 1972. 168. с.

55. Скубов Д. Ю. Нелинейная электромеханика / Д. Ю. Скубов, К. Ш. Ходжаев. - М.: Физматлит, 2003. 360 с.

56. Тафт В. А. Спектральные методы расчета нестационарных цепей и систем. -М.: Энергия, 1978. 272. с.

57. Тафт В.А. Основы спектральной теории и расчет цепей с переменными параметрами. -М., 1964. 206. с.

58. Фомин И. Н. Математическая теория параметрического резонанса в линейных распределенных системах. - Л.: Изд-во. ЛГУ, 1972.

59. Цыпкин Я. 3. Основы теории автоматических систем. — М.: 1977. 600 с.

60. Челомей В. Н О возможности повышения устойчивости упругих системпри помощи вибрации // Докл. АН СССР. 1956. Т. 110. № 3. С. 345-347.146

61. Челомей С. В. Динамическая устойчивость при высокочастотном параметрическом возбуждении // Докл. АН СССР. 1981. Т. 257. № 4. С. 853858.

62. Челомей С. В. О динамической устойчивости упругих систем // Докл. АН СССР. 1980. Т. 252. № 2. С. 307-310.

63. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. — М.: Наука, 1990. 176. с.

64. Чечурин С. JI. О приближенном исследовании цифровых систем с обратной связью // Труды ЛПИ им. М. И. Калинина, 1965. № 256.

65. Чечурин С. Л. Параметрические колебания и устойчивость периодического движения. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1983. 220 с.

66. Чжичжэнь Л. Цифроаналоговые модели динамических систем управления / Л. Чжичжэнь, С. Л. Чечурин -СПб.: Изд. Компьютерные системы. 1993. 169. с.

67. Шильман С. В. Метод производящих функций в теории динамических систем. — М.: Наука, 1978. с.

68. Шмидт Г. Параметрические колебания. — М.: Мир, 1978. 336 с.

69. Якубович В. А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения / В. А. Якубович, В. М. Стражинский. — М.: Наука, 1972. с.

70. Якубович В. А, Параметрический резонанс в линейных системах / В. А. Якубович, В. М. Стражинский. — М.: Наука, 1987. 328 с.

71. Bathe К. J. Finite element procedures in engineering analysis. Prentice Hall, 1980.

72. Bellos J. Frequency response of nonproportionally damped lumped parameter, linear dynamic systems / J. Bellos, D. J. Inman // ASME Journal of Vibration and Acoustics, 1990.

73. Bolotin V. V. Dynamic stability of structures // Nonlinear Stability of Structures. Theory and Computational Techniques / Eds. A. N. Kounadis and W. B. Kratzig. Wien; New York: Springer, 1995. P. 3-72.

74. Cafeo J. A., et. al., Beam element structural dynamics modification using experimental modal rotational data // ASME Journal of Vibration and Acoustics, 1995. V. 117. P. 265-271.

75. Crandall C. H. An Introduction to the mechanics of solids / C. H. Crandall, N. C. Dahl, T. J. Landner. MIT press

76. Davis R., Henshell R. D. Warburton G. B., "A Timoshenko beam element / R. Davis, R. D. Henshell, G. B. Warburton // ASME Journal of Sound and Vibration, 1972. V. 22. P. 475-487.

77. Davis R. J. The prediction of instabilities of linear differential equations with periodic coefficients // Aeronaut. Res. Couns. Repts and Mem. 1970. № 3713. 32 P.

78. Eastham M. S. The spectral theory of periodic differential equations. Edinburg, Scottish Acad. Press. 1973.

79. Ehrich F. F. Handbook of rotordynamics. McGraw-Hill, 1992

80. Gryhos R. Parametric vibrations of a system with two degrees of freedom // Proc. Vibr. Probl. Pol. Acad. Sci. 1972. V. 13. № 4. P. 357-375.

81. Gupta R. S. Finite element eigenvalue analysis of tapered and twisted Timoshenko beams / R. S. Gupta, S. S. Rao // ASME Journal of Sound and Vibration. 1978. V. 56. P. 187-200.

82. Hashish E. Finite element and modal analyses of rotor-bearing systems under stochastic loading conditions / E. Hashish, T. S. Sankar // Technical conference of ASME, 1983.

83. Hsu C. S. On the parametric excitation of a dynamic system having multiple148degrees of freedom // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1963. V. 30. № 3. P. 367-372.

84. Hwang J. H. On the approximate solution of non-classically damped linear systems / J. H. Hwang, F. Ma // ASME Journal of Applied Mechanics, 1993.

85. Iwatsubo T. Simple and combination resonances of columns under periodic axial loads / T. Iwatsubo, Y. Sugiyama, S. Ogino // ASME J. Sound and Vibration. 1974. V. 33. №2. P. 211-221.

86. Kotera T. A new method of determining regions of instability of parametric excitation system // Mem. Fac. Eng. Kobe Univ. 1978. № 24. P. 41-43.

87. Lee Y. K. A new modeling technique for distributed parameter systems - digital modeling. Kumoh National University of Technology, Master's dissertation, 1995

88. Lee Y. K. A study on dynamic analysis of the continuous system by digital modeling / Y. K. Lee, I. S. Kim, S. W. Hong, S. L. Tchetchourine // Journal of KSNVE(Korea Society of Noise and Vibration Engineering), 1997. Vol. 7. № 1. P. 135-142.

89. Meirovitch L. Analytical method in vibrations. Macmillan, New York, 1967.

90. Meirovitch L. Computational methods in structural dynamics. Sijthoff & Noordhoff, 1980.

91. Ogata K., " Discrete-Time Control Systems ", Prentice Hall, 1987

92. Okumura K. A method for analysing parametrically excited system by matrix functions / K. Okumura, A. Kishima // Mem. Fac. Eng. Kyoto Univ. 1981. V. 43. № 3. p. 376-386.

93. Rao S. S. Mechanical vibrations. Addison Wesley, 1990

94. Reddy J. N. Finite element method. McGRAW-HILL, 1993

95. Seyranian A. P. Stability analysis for multiparameter linear periodic systems / A.149

96. P. Seyranian, F. Solem, P. Pedersen // Archive Appl. Mech. 1999. V. 69. № 3. P. 160-180.

97. Tchetchourine S. L. Lecture notes on parametric resonance & digital modeling. KNUT, 1994.

98. Tchetchourine S. L. Modern Automation Basics / S. L. Tchetchourine, S. H. Cheong, S. D. Kim, S. J. Lee. St.Petersburg-Kumi, 1995. 230. p.

99. Tchetchourine S. L. Frequency Analysis for dynamic systems / S. L. Tchetchourine, S. W. Hong. St. Petersburg-Kumi, 1997. 248. p. (p. 181-240, chapter 4)

100. Thomas D. L. Timoshenko beam finite elements / D. L. Thomas, J. M. Wilson, R. R. Wilson //ASME Journal of Sound and Vibration, 1973. V. 31. P. 315-330.

101. Thomas J. Finite element model for dynamic analysis of Timoshenko beam / J. Thomas, B. A. Abbas // ASME Journal of Sound and Vibration, 1975. V. 41. P. 291-299.

102. Thomas J. R. The Finite Element Method / J. R. Thomas, Hughes. Prentice Hall, 1987.

103. Timoshenko S. P. Vibration Problems in Engineering / S. P. Timoshenko, D. H. Young, W. Weaver, Jr. New York: Van Nostrand, third edition, 1975.

104. Tso W. K. Multiple parametric resonance in a nonlinear two degree of freedom system / W. K. Tso, K. G. Asmis // Int. J. Non-linear Mech. 1974. V. 9. № 4. P. 269-277.

105. Yang B. Exact receptances of nonproportionally damped dynamic systems // ASME Journal of Vibration and Acoustics, 1993.

106. Zienkiewicz O. C. The finite element method. McGraw Hill, fourth edition. 1984.