Черные дыры в струнной теории возмущений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Иофа, Михаил Зиновьевич

• Иофа, Михаил Зиновьевич
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Иофа, Михаил Зиновьевич

Введение

1 Черные дыры с петлевыми поправками в четырехмерной гетеротической теории с N = 2 суперсимметрией

1.1 Введение

1.1.1 Структура И = 2 суперсимметричной четырехмерной гетеротической теории, полученной компактификацией шестимерной гетеротической теории с N — 1 суперсимметрией.

1.1.2 Формулировка задачи и результаты

1.2 Универсальный сектор четырехмерного четырехмерного эффективного действия гетеротической теории.

1.3 Стандартная форма действия универсального сектора действия N = 2 суперсимметричной теории.

1.3.1 Древесное приближение теории.

1.4 Вычисление поправок к древесному эффективному действию интегрированием по тороидальным мировым листам струны

1.5 Препотенциал и действие в одной струнной петле.

1.6 Калибровочные "константы"взаимодействия.

1.6.1 Неоднозначность препотенциала и калибровочных констант связи

1.7 Уравнения Максвелла и симплектические преобразования.

1.8 Спинорные уравнения Киллинга.

1.8.1 Преобразования суперсимметрии в N = 2 суперсимметричной теории и спинорное уравнение Киллинга.

1.8.2 Альтернативная форма спинорных уравнений Киллинга.

1.9 Дионное решение спинорных уравнений Киллинга в древесном приближении

1.9.1 Решение с постоянными модулями

1.9.2 Решение спинорных уравнений Киллинга в альтернативной форме с произвольными электрическими и магнитными зарядами.

1.9.3 Киральные нулевые модели

1.10 Решения спинорных уравнений Киллинга и уравнений Максвелла с однопетлевыми струнными поправками.

1.10.1 Напряженности поля с петлевыми поправками для дионного решения с постоянными древесными модулями

1.10.2 Решение уравнений Киллинга для дионных черных дыр с постоянными древесными модулями.

1.10.3 Спинорное уравнение Киллинга для гравитино и петлевые поправки к дилатону и метрике

1.10.4 Решение преобразованной системы уравнений Киллинга с произвольными древесными модулями.

1.10.5 Случай постоянных древесных модулей

1.11 И = 2 -суперсимметричные компактификации гетеротической теории с дополнительными векторными полями (вильсоновские линии).

1.12 Магнитные черные дыры.

1.13 ВРЯ и АБМ массы.

1.14 Уравнения для аксиопов.

1.15 Дионная черная дыра в окрестности горизонта.

1.16 Обсуждение результатов.

2 Черные дыры с петлевыми поправками в теориях замкнутых бозонных струп

2.1 Введение

2.2 Эффективное действие в струнной теории возмущений замкнутых бозонных струн

2.3 Древесные двумерные и трехмерные решения уравнений движения (черная дыра и черная струпа)

2.4 Калибровочные модели с косетом 51^(2, В) х Д^/Я

2.5 Асимптотика метрики и дилатона трехмерной черной струны.

2.5.1 Альтернативная параметризация метрики и дилатона.

2.5.2 Асимптотика метрики трехмерной черной струны с петлевыми поправками

2.6 Квазилокальная энергия.

2.6.1 Квазилокальная энергия двумерной черной дыры.

2.6.2 Квазилокальная энергия черной струны.

2.6.3 Действие в эйнштейновской форме.

2.6.4 Термодинамическое соотношение.

2.7 Четырехмерная сферически-симметричная черная дыра.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Черные дыры в струнной теории возмущений»

3.2 Четырехмерная магнитная черная дыра.101

3.2.1 Фактор BTZ в метрике магнитной черной дыры .101

3.2.2 Геометрическая и статистическая энтропии пятимерных и четырехмерных магнитных черных дыр.103

3.3 Компактификации решений одиннадцатимерной супергравитации на многообразиях Калаби-Яу и N = 2 суперсимметричные четырех и пятимерные черные дыры.105

3.3.1 Неэкстремальные четырехмерные решения.105

3.3.2 Пятимерные N = 2 суперсимметричные черные дыры.108

3.3.3 Статистическая энтропия околоэкстремальных четырехмерных черных дыр выделением части BTZ.109

3.3.4 Статистическая энтропия околоэкстремальных шестимерных и пятимерных черных дыр .111

3.4 Заключительные замечания.113

Заключение 115

Литература 118

Введение

В настоящее время теория струн представляет собой наиболее продвинутый подход, в котором унифицируются калибровочные взаимодействия, включая гравитацию. Изучение гравитации в рамках теории суперструн оказалось очень плодотворным. Гравитация входит как одно из полей в эффективное действие, описывающее динамику безмассовых мод струны. Поскольку полная теория струн ультрафиолетово конечна, то снимается одна из сложных проблем в гравитации. К достижениям гравитации в рамках теории струн следует отнести обнаружение широкого класса решений уравнений движения, следующих из эффективного действия теории, имеющих интерпретацию черных дыр, черных струн, мембран и т.п. Важным результатом исследования черных дыр (мембран) в теории струн является вычисление их геометрической и, что особенно существенно, статистической энтропии. В теории струн имеются как заряженные, так и нейтральные решения типа черных дыр; в реалистических моделях суперструн, в решениях, кроме гравитации, присутствуют также другие поля (скалярные, векторные и тензорные).

В теории струн амплитуды рассеяния струнных мод имеет вид суммы вкладов от процессов, представляющихся в виде мировых листах струны различной топологии, к которым присоединены внешние концы, соответствующие рассеивающимся модам [1]. Действие струны на мировом листе представляет собой двумерную конформную теорию и имеет следующую структуру = /(,(*) + ;£ I вдр1, где /о свободное действие, :г-поля, от которых зависит действие струны, V{ вершинные операторы размерности 2, соответствующие возбуждению безмассовых мод струны, tpl соответствующие безразмерные "константы взаимодействия". Объекты ф1 можно интерпретировать как пространственно-временные поля, соответствующие безмассовым модам. Производящий функционал корреляторов вершинных функций строится в виде суммы вкладов от интегрирования по мировым листам струны различного рода и символически может быть представлен в форме [2, 3]

00 г °° г г

2(<Р1) = £ / cKHW) = Е / / n=0J п=0 •/S" где тпа -модули, от которых зависит метрика каь на мировом листе струны £„.

Поля <pi определяются из условия вейлевской инвариантности производящего функционала вершинных функций, которое имеет вид требования, чтобы /^-функции, через которые выражается вейлевская аномалия производящего функционала, обращались на этих полях в нуль [4]

V) = 0.

Совокупность уравнений Рг((р^) = 0 (или их линейных комбинаций) возникает как уравнения движения, следующих из низкоэнергетического эффективного действия ¿"(у), определяющего динамику безмассовых мод струны. Эффективное действие строится из перенормированного производящего функционала корреляторов вершинных функций [4, 5, 6, 7, 8, 9].

Настоящая работа направлена на получение решений уравнений движения, следующих из струнного эффективного действия, с учетом струнных петлевых поправок, и на вычисление статистической энтропии ряда черных дыр.

В качестве решений уравнений движения последовательно рассматриваются заряженные черные дыры в суперсимметричной гетеротической теории с группой Е&хЕ& [1, 10, 11], компактифицированной к четырем измерениям с N = 2 суперсимметрией, и нейтральные черные дыры и струны в бозонных теориях замкнутых струн различных размерностей.

Первой возникающей задачей является построение эффективного действия теории струн с учетом петлевых поправок. Поскольку вычисление функциональных интегралов для корреляторов вершинных функций в явной форме удается произвести только в топологии сферы и тора, то для получения явных выражений для эффективного действия имеются две возможности: или рассмотреть варианты теории, в которых петлевые поправки выше первой отсутствуют, или ограничиться первой поправкой к древесному приближению теории, считая параметр разложения по струным петлям малым. В настоящей работе первая возможность реализуется в теории суперструн с расширенной суперсимметрией, второй подход используется в теории замкнутых бозонных струн.

Параметр суперсимметрии N — 1 суперсимметричной десятимернаой гетеротической теории имеет 16 компонент. При компактификации к четырехмерному пространству на не твистованном 6-торе число ненарушенных суперсимметрий равно четырем, число супер-симметрий равно двум при компактификации на многообразии КЗ х Г2 с группой голоно-мии Би(2) или на орбифолде, получающемся твистованием 4-тора и оставляющем 2-тор не твистованным, и единице при компактификации на многообразии Калаби-Яу с группой голономии ви(3) или на орбифолде, получающемся твистованием 6-тора, не оставляющим ни одну из трех комплексных гиперплоскостей 6-тора не твистованной [1]. От способа компактификации зависит также вид группы внутренних симметрий компактифицированной теории.

В теориях с ненарушенной N = 4 суперсиметрией струнные петлевые поправки к части эффективного действия с числом производных не более двух исчезают, в теориях с N = 1 суперсимметрией к членам с двумя производными возникает бесконечный ряд струнных петлевых поправок, в теориях с N = 2 суперсимметрией к членам с двумя производными может возникнуть только поправка, соответствующая одной струнной петле, т.е. от интегрирования по мировым листам струны, имеющим топологою тора [12, 13].

В работе рассматривается компактификация гетеротической теории с группой х к четырем измерениям с сохранением N = 2 суперсимметрии. Рассматривается специальный случай компактификации, сначала к шестимерной теории с N = 1 суперсимметрией, которая далее компактифицируется на нетвистованном двумерном торе к четырем измерениям с N = 2 суперсимметрией [15, 17, 18].

Эффективное действие зависит от геометрии компактификации на двумерном торе через метрику тора (7тп и антисимметричный тензор Втп, где индексы т, п = 1,2 соответствуют двумерному тору. Поля Стп и Вшп объединяютя в комплексные скаляры-модули N = 2 суперсимметричной теории

Кроме того, строится модуль Б = еф + га, где ф дилатон, и а аксион, дуальный напряженности антисиметричного тензора В

Для различных компактификаций гетеротической теории общим является универсальный сектор, в бозонную часть которого входят гравитация, три модуля и четыре векторных поля Сущ/ и Вти. Три векторных поля образуют векторные супермультиплеты с модулями 5, Т, и и одна комбинация векторных полей образует гравифотон, лежащий в гравитационном супермультиплете.

Кроме того, в эффективное действие могут также входить вильсоновские линии - векторные супермультиплеты, включающие абелевы поля А^ из картановской подгруппы группы Е& х Е& и модули у/, где I — 1,., Р, Р < 16 [20].

В общем случае N = 2 суперсимметричной компактификации гетеротической теории к четырем измерениям в произвольной точке пространства модулей безмассовыми бозон-ными полями являются метрика 2Р + 4 скаляра, локально параметризующих пространство модулей, и (Р + 3) и(1) калибровочных поля А^ [19].

Эффективное действие с учетом струнной петлевой поправки к древесному приближению может быть построено или вычислением корреляторов путем функционального интегрирования по мировым листам с топологией тора, или получено из препотепциала теории с N = 2 суперсимметрией, определяющего динамику теории. В силу симметрии Печчея-Куин препотенциал N = 2 суперсимметричной компактификации гетеротической теории имеет только однопетлевую поправку [17, 26, 27]. Однако в этих двух подходах возникают выражения различной структуры, и отсутствует способ их сравнения. Поэтому в суперсимметричной теории вычислением корреляторов устанавливается общая структура эффективного действия: отсутствие поправок к эйнштейновскому члену и квадрату напряженности антисимметричного тензора (ср. [15, 16]), а также появление поправок к части действия, описывающей динамику полей из векторных супермультиплетов. Точная форма однопетлевых поправок к древесному эффективному действию вычисляется с помощью препотенциала.

В суперсимметричных теориях решения уравнений движения с не полностью нарушенной суперсимметрией можно получить или непосредственным решением уравнений второго порядка, следующих из эффективного действия, или решением "спинорных уравнений Киллинга", представляющих собой условие равенства нулю преобразований суперсимметрии фермионных суперпартнеров бозонных полей и имеющих первый порядок по производным.

В настоящей работе последовательно используется второй способ, дающий суперсимметричные решения с не полностью нарушенной суперсимметрией. В случае магнитных черных дыр решения спинорных уравнений Киллинга с учетом петлевой поправки сравниваются с решением уравнений движения второго порядка, следующих из эффективного действия. Показано, что возникает более широкий класс решений, включающий решения спинорных уравнений Киллинга. В качестве древесного приближения решений спинорных уравнений Киллинга рассматриваются дионные черные дыры и черные дыры с вильсо-новскими линиями. Дионные черные дыры представляют собой решения типа "киральных нулевых моделей" [21, 22, 23], для которых имеется результат, что в специальной схеме перенормировок все поправки по а! исчезают и низшее приближение является точным по а' решением уравнений движения [24, 25].

Уравнения дыижения как в гетеротической теории, так и в бозонной теории, решаются по теории возмущений в первом порядке по константе разложения по струнным петлям е = ефо° где фоо асимптотическое значение дилатона на пространственной бесконечности. Струнная поправка к древесному препотенциалу имеет первый порядок по е [17, 26, 27], поэтому при решении уравнений по теории возмущений в первом порядке по е все выражения, содержащие петлевую поправку к препотенциалу, вычисляется подстановкой в качестве аргументов древесных выражений для модулей.

Экстремальным суперсимметричным решением спинорных уравнений Киллинга и уравнений Эйнштейна-Максвелла, имеющим наиболее простую форму, на котором прослеживаются основные свойства решений более общего вида, являются статические, сферически-симметричные дионные решения с постоянными вещественными древесными модулями Т и и, что соответствует диагональной метрике Ст„ и Втп = 0. В древесном приближе-иии это решение в различных подходах рассматривалось в многих работах, например в [28, 29, 30, 23, 39, 40, 41, 42], а также в цитированной в этих работах литературе.

Метрика и дилатон сферически-симметричного статического решения системы спинорных уравнений Киллинга и уравнений Максвелла с постоянными вещественными древесными модулями Т и £/, точностью до членов порядка О(е) имеют вид [45, 46, 47, 77]

Здесь Р = (Р°Р1)1/2, = (фгфз)1/2, Р°> Р1 и £¡>2, фз магнитные и электрические заряды диона. Н = 2^7, где и) однопетлевая поправка к препотенциалу, Т и и древесные модули. Петлевые поправки к метрике не твистованного тора Т2 равны

Здесь С\ произвольная постоянная, Ь2 = drReh/U and L3 = duReh/T.

В случае произвольных электрических и магнитных зарядов как древесное решение уравнений Киллинга, так и петлевые поправки к модулям имеют координатную зависимость.

В общем случае, при отличных от нуля зарядах Р и Q, в древесном приближении дилатон конечен во всей области изменения г, и петлевые поправки к метрике и дила-тону также конечны и убывают на пространственной бесконечности как Такие же свойства имеют чисто электрические черные дыры [47].

В случае чисто магнитных черных дыр в древесном приближении теории дилатон растет при г —> 0 как 1 /г, и метрика сингулярна при г = 0. В этом случае петлевые поправки к метрике и дилатону также имеют сингулярность в нуле [45, 76, 77]. Условие малости поправки по отношению к древесному приближению приводит к ограничению на допустимую область г: г > еРН.

Модули статических дионных черных дыр в древесном приближении вещественны. При учете петлевых поправок, вообще говоря, появляются мнимые добавки к модулям (аксионы) порядка 0(e), и решение перестает быть статическим и становится стационарным. При специальном выборе произвольных констант и зарядов аксионы обращаются в нуль, и решение остается стационарным [47].

Поскольку на пространственной бесконечности асимптотика поправок к метрике и модулям древесной черной дыры имеет тот же характер убывания 0(£), что и асимптотика решения в древесном приближении, то можно определить ADM и BPS массы с учетом петлевых поправок, которые сдвигаются относительно древесных значений на величину еРН и равны между собой [47].

В древесном приближении для широкого класса черных дыр в N = 2 суперсимметричной теории имеется результат, согласно которому горизонт черной дыры представляет собой аттрактор, что означает что на горизонте метрика и модули теряют зависимость от произвольных констант, фиксирующих вид теории на бесконечности. Как и в древесном приближении, петлевые поправки к метрике и модулям на горизонте не содержат произвольных констант [48], и на горизонте восстанавливается нарушенная суперсимметрия.

Уравнения движения N = 2 суперсимметричных теорий обладают инвариантностью относительно группы симплектических преобразований, которая для случая четырех векторных супермультиплетов имеет вид SP(8,Z). Симплектические преобразования связывают различные голоморфные сечения пространства модулей. Хотя все сечения эквивалентны, конкретная форма теории зависит от выбора голоморфного сечения. Физическая интерпретация полей теории имеется в голоморфном сечении, связанном с компактифи-кацией гетеротической теории. Однако в этом голоморфном сечении отсутствует препо-тенциал (см., например, [70, 17]), и калибровочные константы взаимодействия векторных компонент супермультиплетов вычисляются с помощью симплектических преобразований из констант взаимодействия, вычисленных в голоморфном сечении с препотенциалом. В древесном приближении теории имеются явные выражения как для препотенциала (в голоморфном сечении, в котором препотенциал существует), так и для калибровочных констант в гетеротическом голоморфном сечении. Это позволяет построить явную форму симплектического преобразования, связывающего два сечения. В однопетлевом приближении имеются два источника неопределенности формы симплектического преобразования, связывающего два сечения: во-первых, неопределенности, связанные с принципиально неустранимым произволом однопетлевого приближения для препотенциала [26, 17, 71], во-вторых возникающие из-за отсутстствия явного замкнутого выражения для калибровочных констант векторных компонент супермультиплетов модулей в гетеротическом сечении. Показано, что неопределенность в симплектическом преобразовании сводится к четырем вещественным константам и убирается в произвол препотенциала.

Представляет интерес сравнить вид поправок к суперсимметричным древесным решениям уравнений движения, следующих из струнного эффективного действия в суперсимметричной гетеротической теории, с не суперсимметричными решениями в бозонной теории струн. Во второй главе работы рассматривается вычисление эффектиного действия теории в однопетлевом приближении теории струн и струнные поправки к решениям уравнений движения типа черных дыр и черных струн.

В бозонной теории перенормированный производящий функционал корреляторов вершинных функций ¿ц((рц), дающий эффективное действие теории 3(<рл), строится путем обобщения пертурбативной перенормируемости производящего функционала 2?„(<£>г(е), е) в теории возмущений по параметру а' на мировой поверхности фиксированного рода п на перенормируемость как по отношению к разложению по параметру а', так и к разложению по струнным петлям. Поля <р1 представляются в виде разложения по перенормированным полям (рп <Р*е + 1п е А[(срп) + 1п2 е 4(у>д) + . и перенормированный производящий функционал ¿"„(у?^) равен п(<р*а) = гп(<р*(е),е).

В струнной теории возмущений статсумма 2 равна сумме статсумм, вычисленных интегрированием по мировым листам струны различных топологий оо оо . я = 2п = XI / Лцп{т)гп. п—0 п=0

Для -построения перенормированного эффективного действия, включающего вклады от высших топологий мирового листа струны, необходимо использовать согласованную регуляризацию ультрафиолетовых и модулярных расходимостей производящего функционала. Такая регуляризация достигается отображением мирового листа замкнутой струны, представляющего собой поверхность с п ручками, на комплексную плоскость с 2п удаленными дисками с попарной идентификацией границ [31, 32, 34]. С помощью параметризации Шоттки строится расширенное пространство модулей. На комплексной плоскости С группа Мебиуса действует как группа 51/(2, С). Поверхность с п ручками описывается 3п комплексными модулями. Для каждой пары вырезанных дисков на комплексной плоскости, соответствующих ручке на сфере, 6 вещественных модулей определяют положение центров дисков, отношение радиусов и твист в отожествлении точек границ дисков. Если мебиусовская симметрия не фиксирована, то в N > 3-точечные амплитуды объем группы 5Х(2, С) входит как универсальный расходящийся множитель. При фиксации трех комплексных параметров группы БЬ(2, С), число независимых комплексных модулей становится Зп —3. Ультрафиолетовые расходимости, возникающие при сближении точек присоединения внешних линий к мировому листу струны (пунктаций) и стягивании в точку дисков от ручек, на комплексной плоскости регуляризуются с помощью одного параметра и входят в амплитуды рассеяния безмассовых мод равноправным образом. Это позволяет произвести перенормировку производящего функционала вершинных функций с учетом как ультрафиолетовых расходимостей от слияния пунктаций, так и модулярных расхо-димостей [33, 34]. Эффективное действие получается перенормировкой суммы по родам мировой поверхности производящих функциналов, вычисленных на поверхности фиксированного рода и равно

Производная по Ine ренорминвариантным образом снимает расходимость, связанную с расходящимся объемом группы Мебиуса.

Эффективное действие замкнутой струны, включающее древесный и однопетлевой вклады, имеет вид

S = cJdDx J\G\e* где А центральный заряд, е -формальный параметр разложения по струнным петлям и последний член под интегралом возникает от интегрирования по поверхностям с топологией тора [35].

Исследуются решения уравнений движения в бозонных теориях замкнутых струн в двух, трех и четырех измерениях. В древесном приближении рассматриваемые решения представляют собой черные дыры (черные струны). Уравнения движения решаются в первом порядке по параметру е.

Свойства решений с учетом петлевых поправок в гетеротической и бозонной теориях весьма различны. В суперсимметричной гетеротической теории поправки к древесной метрике и дилатону дионного решения с отличными от нуля электрическими зарядами конечны во всем пространстве, и на пространственной бесконечности асимптотики решения с поправками ведут себя также, как асимптотики древесного решения. Поправки к древесной части имеют параметрическую малость засчет константы разложения по струнным петлям. В бозонных теориях асимптотика метрики с учетом петлевой поправки на больших расстояниях от центра черной дыры (черной струны) имеет асимптотику, отличающуюся от асимптотики древесного решения, и характеризуется более медленным убыванием, чем асимптотика древесного приближения.

В двух измерениях в древесном приближении имеется статическое решение уравнений движения имеет вид [100, 110] ds2 = g{p)dt2 + g{p)~l dp2

Ф = Фо + j(p — Po), где д(р) = 1 + Се-^р-ро). С учетом петлевой поправки в действии метрика модифицируется [35] д(р) = 1 + Се~^р-ро) - 2ееф° —е~'у(-р~р0\ 7

А + j i R ~ ^ + (Г>Ф)2) + ее'* , а дилатон сохраняет древесную форму. Отклонение асимптотики древесной метрики от плоской при р —> оо порядка е~7Р, а асимптотики решения с петлевой поправкой рё~1р.

В трехмерном случае в древесном приближении рассматриваются решения вида [111, 112] — (1 - ф-*,) a« + (1 - ¿с-*) +

Ф = с + 2р, = r+re2p,

2 2Л с произвольными г+ и г, имеющие интерпретацию бесконечной прямолинейной черной струны. При специальных значениях параметров г2 = 1 + Л, г2 = Л, 72 = 4 решение является конформной теорией, возникающей в калибровочной модели WZNW с косетом SL(2, R)/R, где одновременно калибруются одномерная подгруппа SL(2, it!) и бозон, соответствующий компоненте R [102, 103, 104, 129].

В древесном приближении теории компоненты метрики имеют асимптотику 1+0(е~2р), где р расстояние от прямолинейной бесконечной черной струны. При учете петлевой поправки, в первом порядке по е, асимптотика метрики имеет вид 1 + 0(ре~2р) [35].

Возникает вопрос о массе (энергии) черной дыры (струны). Для этого используется определение квазилокалыюй энергии системы [113, 114, 115]. Для действия, записанного в канонической нормировке эйнштейновского члена, [ (R + Lm)-2 [ (0-0о), J м J в где В граница области М, 0 и ©0 внешняя кривизна границы, вычисленная с метрикой д и фоновой метрикой д0, с одинаковыми асимптотиками на границе, квазилокальная энергия статического решения уравнений движения с метрикой ds2 = g^dx^dx" = -N2dt2 + д^хЧхк равна

E\ = -f N(k-ko). JdBt

Здесь к внешняя кривизна квазилокалыюй границы dBt, представляющей собой слоение, образуемое пересечением границы В с пространственноподобными листами слоения, параметризованными параметром t.

В то время как в древесном приближении квазилокальная энергия рассматриваемых решений конечна, при учете петлевых поправок, в рассматриваемом приближении, выражение для квазилокалыюй энергии в пределе р —> оо растет пропорционально р. Однако при учете требования малости петлевой поправки по отношению к отклонению древесного решения от плоской конфигурации возникает ограничение на допустимую область значений р, для которых применимо решение с петлевой поправкой.

Развитие методов теории струн дало возможность решить ряд вопросов теории черных дыр, в частности, вычислить статистическую энтропию ряда экстремальных и околоэкстремальных черных дыр, являющихся решеними уравнений движения, следующихи из струнного эффективного действия, путем подсчета числа микросистояний черной дыры. Имеются различные подходы к вычислению энтропии черных дыр в теории струн: использование методов конформных теорий поля [19, 142, 143], методов, основанных на D-бранном описании черных дыр, позволяющих вычислить статистическую энтропию экстремальных и околоэкстремальных решений [144,146, 148,149], а также подходы, основанные на выделении из метрики черной дыры части, представляющей собой черную дыру низшей размерности, для которой статистическую энтропию можно вычислить методами конформной теории поля (например [157, 158, 159, 168, 169] и цитированые там работы).

В третьей части настоящей работы энтропия ряда черных дыр вычисляется путем выделения из многомерной метрики в окрестности горизонта метрики трехмерной черной дыры Баньядоса-Тейтельбойма-Занелли (BTZ) [150, 151]. Этот метод, вообще говоря, требует трансформации метрики преобразованиями группы U-дуалыюсти, сохраняющими энтропию, к требуемой форме решения [166, 167].

Вычисление статистической энтропии трехмерной черной дыры основано на том, что действие трехмерной гравитации представляется в виде разности двух (право-левых) действий Черна-Саймонса для группы SL(2, R) х SL(2, R) на уровне к = ^ [155, 156]. Этот факт, в свою очередь связан с тем, что диффеоморфизмы, сохраняющие асимптотику AdSs вакуума на пространственной бесконечности, генерируются двумя копиями алгебры Вирасоро с центральными зарядами cl = сд = ^ [153]. Асимптотическая плотность состояний в этой конструкции вычисляется (см. [158, 159, 160, 168] и др.) по формуле Карди [154]

In р(А, А) ~ + где Д и Д собственные значения генераторов Вирасоро Lq Lq. Для черной дыры BTZ операторы Lq и Lq выражаются через массу и заряд черной дыры с помощью соотношений

M=Lo + Lot J = L0-Z0.

Первым примером, который обсуждается в этом разделе является четырехмерная ди-латонная гравитация, взаимодействующая с абелевым полем. Четырехмерное действие h = J <?xV=g{№ - 2(дф)2 - е-2"*?}, получается редукцией многомерной Эйнштейн-Максвелловской гравитации в высших размерностях [178]

1 = 1 F2).

В случае р = 1 метрика пятимерного решения ds\ = -(1 - r-±)dt2 + (1 - — )dy2 + (1 - - — )~Чг2 + r2dtf2, где г+ ф г, в окрестности горизонта представляется в виде суммы метрик черной дыры BTZ и двумерной сферы [161, 163]. Статистическая энтропия пятимерной черной дыры совпадает с геометрической энтропией Бекенштейна-Хоукинга ¿5 = А/4С?5, где А площадь поверхности горизонта черной дыры.

В работе вычисляется статистическая энтропия экстремальных и неэкстремальных четырехмерных и пятимерных черных дыр, являющихся решениями уравнений движения, следующих из струнных эффективных действий, полученных компактификацией М-теории, гетеротической теории и теорий типа II на торах, многообразиях КЗ и Калаби-Яу с сохранением N = 2 суперсимметрии.

Пятимерная черная дыра получается компактификацией одиннадцатимерного решения, представляющего собой неэкстремальную конфигурацию трех пятибран, каждая пара которых пересекается по трехбране с дополнительным бустом вдоль общего направления пересечения пятибран [181], являющуюся обобщением экстремального решения [182]. При дальнех!шей компактификации одного измерения, вдоль которого произведен буст, получается четырехмерное решение с одним электрическим и тремя магнитными зарядами. В окрестности горизонта пятимерной черной дыры ее метрика рспадается на сумму метрик трехмерной черной дыры ВТЕ и метрику двумерной сферы. Это позволяет вычислить статистическую энтропию пятимерной черной дыры, и при компактификации одного измерения с бустом энтропию околоэкстремальной четырехмерной черной дыры.

Пятимерное решение с электрическим и магнитным зарядами строится как пересечение М2-браны и М5-браны с бустом вдоль направления пересечения. Сначала одинпадцати-мерное решение компактифицируется к шести измерениям, результирующая шестимерная конфигурация является черной дырой, метрика которой в окрестности горизонта равна сумме метрик черной дыры ВТ2 и трехмерной сферы. Таким образом вычисляется статистическая энтропия шестимерного решения. При компактификации вдоль измерения с бустом возникает пятимерная черная дыра и определяется ее энтропия [162, 163]. Для всех рассмотренных примеров статистическая энтропия совпадает с геометрической энтропией Бекенштейна-Хоукинга.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Иофа, Михаил Зиновьевич

Заключение

В настоящй работе последовательно расматрнвались эффекты высших порядков струнной теории возмущений на примерах решений уравнений движения, следующих из эффективного действия теории. Эффективное действие определяет динамику безмассовых мод струны. Решения уравнений движения, следующих из струнного эффективного действия, определяют фоновые поля, на которых теория струн конформно инвариантна. Таким образом, конформная инвариантность теории струн, рассматриваемой на мировой поверхности фиксированного рода распространяется на струнную теорию возмущений. Эффективное действие в теории струн, в принципе, можно построить вычисляя корреляторы вершинных функций путем интегрировани по мировым листам струны различных топологий. В бозонной теории эта процедура, повидимому, является единственной. В теориях суперструн с расширенной суперсимметрией имеется также другая возможность: динамика безмассовых мод струны определяется заданием препотенциала, исходя из которого можно построить эффективное действие.

В рассматриваемой в работе гетеротической теории, компактифицированной к четырем измерениям с N = 2 суперсимметрией, эффективной четырехмерной теорией является расширенная супергравитация, взаимодействующая с векторными супермультиплетами. В этом случае динамика полей, входящих в супермультиплеты, т.е. соответствующая часть эффективного действия, может быть найдена исходя из препотенциала теории. Препотен-циал N = 2 суперсимметричной теории имеет только древесную и однопетлевую части, и высшие петлевые поправки к препотенциалу исчезают. Кроме того, в суперсимметричной теории классические решения могут быть получены не только решением уравнений движения, но подмножество решений уравнений движения с не полностью нарушенной суперсимметрией может быть найдено путем решения спинорных уравнений Киллинга, которые являются условиями суперсимметричности решения и имеют вид равенства нулю преобразований суперсимметрии спинорных суперпартнеров бозонных полей.

Целью работы являлось получение и исследование решений уравнений движения с струнными петлевыми поправками типа черных дыр (черных струн) в гетеротической и бозонной теориях струн.

В гетеротической теории был рассмотрен класс N = 2 суперсимметричных компак-тификаций десятимерной гетеротической теории с группой Е^ х получающихся в результате компактификации десятимерной теории к шести измерениям с N = 1 суперсимметрией, и компактификации шестимерной теории к четырем измерениям на двумерном торе.

В первом порядке по параметру разложения по струнным петлям е найдены дионные решения с струнными поправками с двумя электрическими и двумя магнитными полями и их расширения засчет включения супермультиплетов вильсоновских линий. Четыре векторных поля в дионном решении выражаются через смешанные компоненты метрики и антисимметричного тензора Gmv и Вт1,, где т,п = 1,2 индексы, соответствующие двумерному тору.

Поправки к древесной части решений выражаются через петлевую поправку к пре-потенциалу, вычисленную с подстановкой древесных модулей. Показано, что решение с петлевыми поправками на горизонте событий является аттрактором и и на горизонте событий восстанавливается нарушенная суперсимметрия решений.

В случае вещественных древесных модулей древесное решение статично. В следующем порядке по б могут появиться мнимые части модулей, и решение становится стационарным. Найдены условия, при которых решение остается статическим.

Поскольку как древесное, так и однопетлевое решения имеют одинаковый характер асимптотик на бесконечности, в обоих приближениях можно определить ADM массу черной дыры. С помощью конструкции Нестера показано, что ADM масса совпадает с BPS массой, вычисляемой из алгебры суперсимметрии. В рассматриваемом приближении древесная масса приобретает сдвиг, выражающийся через однопетлевую поправку к препо-тенциалу.

На примере магнитных черных дыр, для которых помимо решений системы спипорных уравнений Киллинга и Максвелла получено решение уравнений движения, следующих из струнного эффективного действия, показано, что в этом случае возникает более широкий класс решений, включающий суперсимметричные решения.

В несуперсимметричной бозонной теории замкнутых струн решения для черных дыр (струн) с петлевыми поправками ищутся как решения системы уравнений Эйнштейна в дилатонной гравитации. Чтобы построить эффективное действие, включающее вклады древесного приближения и петлевой поправки (от интегрирования по мировым листам струны с топологией сферы и тора) используется универсальная регуляризация ультрафиолетовых и модулярных расходимостей струнных амплитуд. Для этого мировой лист струны, имеющий топологию сферы с п ручками, отображается на комплексную плоскость с 2п удаленными дисками с попарным отожествлением границ. В перенормированном производящем функционале вершинных функций (в канонической нормировке эйнштейновского члена) однопетлевой вклад равен ееФ.

Уравнения движения решаются в размерностях пространства-времени D = 2,3,4. В двумерном случае имеется точное по параметру е решение вида черной дыры. В трехмерном случае рассматривается бесконечная прямолинейная черная струна, а в размерности четыре шварцшильдовская черная струна с дилатоном. В размерностях три и четыре найдены асимптотики статических решений в первом порядке по б. Во всех трех случаях асимптотики решений с петлевыми поправками на пространственной бесконечности отличаются от асимптотик древесных решений. В то время, как в древесном приближении асимптотики компонент метрики имеют вид 1 + 0(е~р), где р расстояние от центра (оси) симметрии черной дыры (струны), решение с петлевыми поправками имеет асимптотику вида 1 + 0(е~р) + 0(ере~р). В связи с этим рассматривается вопрос об определении массы черной дыры в общей постановке вопроса об определении квазилокальной энергии системы. Несмотря на то что, как в древесном приближении, так и с учетом петлевой поправки метрика асимптотически плоская, квазилокальная энергия в этих двух случаях различна: квазилокальная энергия черной дыры в древесном приближении конечна и асимптотически не зависит от расстояния до поверхности, на которой вычисляется энергия; в случае решения с петлевыми поправками энергия, вычисленная на поверхности, удаленной от центра (оси) симметрии на расстояние го, при tq —> оо растет как О(го). Отмечается, что при учете требования малости петлевой поправки по сравнению с древесной частью решения допустимая область значений г ограничена.

Рассматривается вопрос о вычислении статистической энтропии многомерных черных дыр путем сведения к задаче о вычислении статистической энтропии черных дыр в низшей размерности. Рассматриваются примеры черных дыр, для которых задачу можно свести к вычислению статистической энтропии трехмерной черной дыры BTZ. Сюда относятся четырехмерная черная дыра в дилатонной гравитации, получающаяся редукцией пятимерной эйнштейн-максвелловской гравитации, и суперсимметричные экстремальные и несуперсимметричные не экстремальные черные дыры, получающихся компактификаци-ей решений уравнений движения одиннадцатимерной супергравитации, представляющих собой пересечение нескольких р-бран с бустом вдоль направления пересечения. Рассматривается решение из трех пятибран, попарно пересекающихся по трехбране с бустом вдоль общего направления пересечения трех пятибран и решение из двухбраны и пятибраны, пересекающихся вдоль линии с бустом. Во всех рассматриваемых случаях компактифика-ция исходного решения дает конфигурацию, геометрия которой в окрестности горизонта имеет вид произведения черной дыры BTZ и метрики сферы. Поскольку статистическую энтропию черной дыры BTZ можно вычислить, опираясь на методы конформных теорий поля, и имеются соотношения между гравитационными постоянными в различных размерностях, то вычисляется статистическая энтропия многомерных черных дыр. Новым результатом является то, что для вычисления энтропии не надо требовать точного выделения из геометрии решения черной дыры BTZ во всем пространстве, но достаточно иметь это свойство в окрестности горизонта.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Иофа, Михаил Зиновьевич, 2004 год

1. M. Green, J. Schwarz and E. Witten, Superstring Theory, (Cambridge University Press, 1987).2 3 [4 [5 [6 [7 [8 [9 [10 [11 [12 [13 [14 [15 [16 [17 [18 [19 [20

2. D.H. Friedan, Ann. Phys. 163, 318 (1985).

3. E.D'Hoker and D.H. Phong, Rev. Mod. Phys. 60, 917 (1988).

4. C. Callan, D. Friedan, E. Martinez and M. Perry, Nucl. Phys. B262, 593 (1985)

5. C. Lovelace, Nucl. Phys. B273, 413 (1986).

6. A.A. Abouelsaood, C.G. Callan, C.R. Nappi and S.A. Yost, Nucl. Phys.B280, 599 (1987).

7. A.A. Tseytlin, Nucl. Phys. B294, 383 (1987).

8. H. Osborn, Nucl. Phys. B294, 595 (1987).

9. Jack and D.R.T. Jones, Nucl. Phys. B303, 260 (1988).

10. D.J. Gross, J.A. Harvey, E. Martinez and R. Rohm, Nucl. Phys. B256, 253 (1985).

11. D.J. Gross, J.A. Harvey, E. Martinez and R. Rohm, Nucl. Phys. B267, 75 (1986). I. Antoniadis, K. S. Narain and T.R. Taylor, Phys. Lett. B267, 37 (1991).

12. Antoniadis, E. Gava and K. S. Narain, Nucl. Phys. B283, 93 (1992). I. Antoniadis, E. Gava, K. S. Narain and T.R. Taylor, Nucl.Phys. B407, 706 (1993).

13. E. Kiritsis, Introduction to Superstring theory, CERN-TH/97-218, hep-th/9709062. E. Kiritsis, C. Kounnas, M. Petropoulos and J. Rizos, hep-th/9605011.

14. B. de Wit, V. Kaplunovsky, J. Louis and D. Luest, Nucl. Phys. B451, 53 (1995).

15. E. Kiritsis, C. Kounnas, P.M. Petropoulos and J. Rizos, Nucl. Phys B483, 141 (1997). A. Sen, JHEP 9802, 011 (1998).

16. K.S. Narain, M. Sarmadi and E. Witten, Nucl.Phys, B279, 369 (1987).

17. G.T. Horowitz and A.A. Tseytlin, Phys. Rev. Lett., 73, 3351 (1994).

18. G.T. Horowitz and A.A. Tseytlin, Phys. Rev., D51, 2895 (1995).

19. M. Cvetic and A.A. Tseytlin, Phys. Rev. D53, 5619 (1996).

20. P.Howe and P.Papadopoulos, Nucl. Phys. B289, 264 (1987).

21. P.Howe and P.Papadopoulos, Nucl. Phys. B381, 360 (1992).

22. I. Antoniadis, S. Ferrara, E. Gava, K. S. Narain and T. R. Taylor, Nucl. Phys. B447, 35 (1995).

23. J. P. Derendinger, S. Ferrara, C. Kounnas and F. Zwirner, Nucl. Phys. B372, 145 (1992).

24. M. CvetiC and D. Youm, Nucl. Phys. B453, 259 (1995).

25. M. Cvetic and D. Youm, Phys. Rev. D53, 584 (1996).

26. P. Fre, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 57, 52 (1997).

27. A. Allesandrini, Nuovo Cim. 2A, 321 (1971).

28. A. Allesandrini and D. Amati, Nuovo Cim. 4A, 793 (1971).

29. A.A. Tseytlin, Phys. Lett. B223, 165 (1989).

30. A.A. Tseytlin, Int. J. Mod." Phys. A5, 589 (1990).

31. M.Z. Iofa, Mod. Phys. Lett. A12, 837 (1997).

32. A.A. Tseytlin, Class. Quant. Grav. 12, 2365 (1995).

33. K. Behrndt et.al., Phys.Rev. D54, 6293 (1996).

34. K.Behrndt et.al, Nucl. Phys. B488, 236 (1997).

35. K. Behrndt, D. Lust and W. A. Sabra, Nucl. Phys. B510, 266 (1998).

36. E. Bergshoeff, R. Kallosh and T. Ortin, Nucl. Phys. B478, 156 (1996).

37. G. L. Cardoso, B. de Wit, J. Káppeli and T. Mohaupt, JHEP 0012, 019 (2000).

38. T. Mohaupt, Fortsch. Phys. 49 (2001) 3.

39. M. Bertolini and M. Trigiante, Int. J. Mod. Phys. A15, 5017 (2000).

40. M. Bertolini and M. Trigiante, Nucl. Phys., B582, 393 (2000).

41. M. Z. Iofa, JHEP 02, 025 (2002) 025.

42. M. Z. Iofa, Mod. Phys. Lett. A17, 355 (2002).

43. M. Z. Iofa, Int. J. Mod. Phys., A18, 1903 (2003).

44. M. Z. Iofa, Phys. Lett. B538, 385 (2002).

45. I. Antoniadis, H. Partouche and T.R. Taylor, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 61A, 58 (1998).

46. T. Banks and L. Dixon, Nucl. Phys., B307, 93 (1988).

47. J. Lauer, D. Lust and S. Theisen, Nucl. Phys., B309, 771 (1988).

48. S. Ferrara, D. Lust and S. Theisen, Nucl. Phys., B325, 501 (1989).

49. J.H. Schwarz, Phys.Lett. 371B, 230 (1996).

50. D.R. Morrison and C. Vafa, Nucl. Phys., B473 , 74 (1996).

51. S. Kachru and C. Vafa, Nucl. Phys., B450, 69 (1995).

52. M. Green, J. Schwarz and P. West, Nucl. Phys., B254, 327 (1985).

53. V. Kaplunovsky and J. Louis, Nucl. Phys., B444, 191 (1995).

54. G. Lopes Cardoso, D. Lüst, T. Mohaupt, Nucl. Phys. B450, 115 (1995).

55. M.Z. Iofa, in Proc. of 3rd International Sakharov Conference on Physics, eds. A. Semikhatov, M. Vasiliev and V. Zaikin Vol II, 748 (2002).

56. A. Sen, Int. J. Mod. Phys. A9, 3707 (1994).

57. L. J. Dixon, V. S. Kaplunovsky and J. Louis, Nucl. Phys. B355, 649 (1991).

58. E.Kiritsis and C.Kounnas, Nucl. Phys. B503, 117 (1997).

59. B. de Wit and A. Van Proeyen, Nucl. Phys. B245, 89 (1984).

60. B. de Wit, P. Lauwers and A. Van Proeyen, Nucl. Phys. B255, 565 (1985).

61. A.Strominger, Comm. Math. Phys. 133, 163 (1990).

62. R.D'Auria, S. Ferrar a and P.Fre, Nucl. Phys. B359, 705 (1991).

63. L. Andrianopoli et. al. , J. Geom. Phys. 23, 111 (1997).

64. B. Craps, F. Roose, W. Troost and A. VanProeyen, Nucl. Phys. B503, 565 (1997).

65. S. Ferrara and A. VanProeyen, Class.Quant. Grav., 6, 243 (1989).

66. A. Ceresole, R.D'Auria, S. Ferrara and A. VanProeyen, Nucl. Phys. B444, 92 (1995).

67. J.A. Harvey and G. Moore, Nucl. Phys. B463, 315 (1996).

68. G.L. Cardoso, D.Lust and T. Mohaupt, Phys. Lett. B388, 266 (1996).

69. W.A. Sabra, Mod. Phys. Lett. A12, 2585 (1997).

70. W.A. Sabra, Nucl. Phys. B510, 247 (1998).

71. G.L. Cardoso, D.Lust and T. Mohaupt, Nucl. Phys. . B450, 115 (1995).

72. M.Z. Iofa, in Proc. of the Int. Conf. dedicated to the memory of Professor E.Fradkin, eds. A. Semikhatov, M. Vasiliev and V. Zaikin, Vol.11, 471 (2001).

73. M.3. Hoc£>a, 5KP 66, 1 (2003).

74. M. Cvetic and A.A. Tseytlin, Nucl. Phys. B416, 137 (1994).

75. A. Dabholkar, G. Gibbons, J.A. Harvey and F. Ruiz Ruiz, Nucl. Phys. B340, 33 (1990).

76. M.J. Duff, J.T. Liu and J. Rahmfeld, Nucl. Phys. B459, 125 (1996).

77. M. CvetiC and D. Youm, Nucl. Phys. B438, 182 (1995).

78. S. Ferrara and P. van Nieuwenhuizen, Phys. Rev. Lett. 37, 1669 (1976).

79. G.W. Gibbons, in Super symmetry, Supergravity, and Related Topics, eds. F.del Aguila, J. de Azcarraga and L. Ibanez, 147, (1985).

80. R. Kallosh, Phys. Lett. B282, 80 (1992).

81. R. Kallosh and A. Peet, Phys. Rev. D46, 5223 (1992).

82. S. Ferrara and R. Kallosh, Phys. Rev. D54, 1514 (1996).

83. S. Ferrara and R. Kallosh, Phys. Rev. D54, 1525 (1996).

84. J.M. Nester, Phys. Lett. A83, 241 (1981).

85. W. Israel and J.M. Nester , Phys. Lett. A85, 259 (1981).t

86. G.W. Gibbons and C.M. Hull, Phys. Lett. B109, 190 (1982).

87. K.-L.Chan, Mod. Phys. Lett., A12, 1597 (1997).

88. M. Cvetic and C.M. Hull, Phys. Lett. B480, 296 (1996).

89. L.Andrianopoli et.al., Nucl. Phys. B509, 463 (1998).

90. M.Bertolini, P.Fre and M.Trigiante, Class. Quant. Grav. 16, 1519 (1999).

91. K.Behrndt and I.Gaida, Phys. Lett. B401, 263 (1997).

92. K.Behrndt, I.Gaida and G. Lopes Cardoso, Nucí. Phys. B416, 267 (1997).

93. J. Wess and B. Zumino, Phys. Lett. B37, 95 (1971).

94. E. Witten, Nucl. Phys. B223, 422 (1983).

95. E. Witten, Commun. Math. Phys. 92, 455 (1984).

96. E. Witten, Phys. Rev. D44, 314 (1991).

97. I. Bars and D. Nemeschansky, Nucl. Phys. B348, 89 (1991).

98. I. Bars and K. Sfetsos, Phys. Rev. D46, 4495, 4510 (1992).

99. I. Bars and K. Sfetsos, Phys. Rev. D48, 844 (1993).

100. K. Sfetsos, Nucl. Phys. B389, 424 (1993).

101. R. Dijkgraaf, H. Verlinde and E. Verlinde, Nucl. Phys. B371, 269 (1992).

102. W. Fishier and L. Susskind, Phys. Lett. B171, 383 (1986).

103. W. Fishier I. Klebanov and L. Susskind, Nucl. Phys. B306, 271 (1988).

104. P. DiVeccia, R. Nakayama, J.L. Petersen and J.R. Sidenius, Nucl. Phys. B287, 621 (1987).

105. P. DiVeccia, M. Frau, A. Lerda and S. Sciuto, Nucl. Phys. B298, 526 (1988).

106. G. Mandal, A.M. Sengupta and S.R. Wadia, Mod. Phys. Lett. A6, 1685 (1991).

107. J.H. Home and G.T. Horowitz, Nucl. Phys. B287, 621 (1987).

108. G.T. Horowitz and D.L. Welch, Phys. Rev. Lett. 71, 328 (1993).

109. J.D. Brown and J.W. York, Phys. Rev. D47, 1407, 1420 (1993).

110. J.Creighton and R.B.Mann, Phys. Rev. D52, 4569 (1995).

111. S.W. Hawking and G.T. Horowitz, Class. Quant. Grav. 13, 1487 (1996).

112. J. Liu and J. Polchinski, Phys. Lett. B203, 39 (1988).

113. A.A. Tseytlin, Phys. Lett. 208B, 221 (1988).

114. J. Scherk and J.H. Schwarz, Nucl. Phys. B81, 118 (1974).

115. T. Yoneya, Progr. Theor. Phys. 51, 1907 (1974).

116. E.S. Fradkin and A.A. Tseytlin, Phys. Lett. 158B, 316 (1985).

117. E.S. Fradkin and A.A. Tseytlin, Nucl. Phys. B261, 1 (1985).

118. A. Sen, Phys. Rev. D32, 2102 (1985).

119. S.R. Das and B.Sathiapalan, Phys. Rev. Lett. 56, 2664 (1986).

120. R. Akhoury and Y.Okada, Phys. Lett. B183, 65 (1987).

121. I. Klebanov and L.Susskind, Phys. Lett. B200, 446 (1988).

122. A.A. Tseytlin, Int. J. Mod. Phys. A4, 4249 (1989).

123. M. Rocek, K. Schoutens and A. Sevrin, Phys. Lett. B256, 303 (1991).

124. G.W. Gibbons and M.J. Perry, Int. J. Mod. Phys. Dl, 335 (1992).

125. K. Sfetsos and A.A. Tseytlin, Phys. Rev. D49, 2933 (1994).

126. O.B. Zaslavskii, Phys. Lett. A152, 463 (1991).

127. H. Buchdahl, Phys. Rev. 115, 1325 (1959).

128. A.I. Janis, D.C. Robinson and J. Winicour, Phys. Rev. 186, 1729 (1969).

129. C.P. Burgess, R.C. Myers and F. Quevedo, Nucl. Phys. B442, 75 (1995).

130. V.V. Belokurov and M.Z. Iofa, Mod. Phys. Lett. 10A, 575 (1995).

131. B.B. Белокуров и М.З. Иофа, ЯФ 59, 360 (1996).

132. M.Marcus, Phys. Lett. B219, 265 (1989).

133. E.S. Fradkin and A.A. Tseytlin, Phys. Lett. B163, 123 (1985).

134. C.G. Callan, C. Lovelace, C.R. Nappi and S.A. Yost, Nucl. Phys. B288, 525 (1987).

135. M.J. Duff, H. Lu and C.N. Pope, Phys. Lett. B382, 73 (1996).

136. T. Ortin, Phys. Lett. B422, 93 (1998).

137. A. Sen, Nucl. Phys. B440, 421 (1995).

138. F. Larsen and F. Wilczek, Phys.Lett. B375, 37 (1996).

139. F. Larsen and F. Wilczek, Nucl. Phys. B475, 627 (1996).

140. A. Strominger and C. Vafa, Phys. Lett. B379, 99 (1996).

141. C.V. Johnson, R.R. Khuri and R.C. Myers, Phys. Lett. B378, 78 (1996).

142. C.G. Callan and J. Maldacena, Nucl. Phys. B472, 591 (1996).

143. J.M. Maldacena, Nucí. Phys. Proc. Suppl. 61A, 111 (1998).

144. G. Horowitz and A. Strominger, Phys. Rev. Lett. 77, 2368 (1996).

145. C.V. Johnson, R. Khuri and R.C. Myers, Phys. Lett. B378, 78 (1996).

146. M. Bañados, C. Teitelboim and J. Zanelli, Phys. Rev. Lett. 69, 1849 (1992).

147. M. Bañados et. al., Phys. Rev. D48, 1506 (1993).

148. M. Bañados, hep-th 9901148 (1999).

149. J.D. Brown and M. Henneaux, Comm. Math. Phys. 104, 207 (1986).

150. J.A.Cardy, Nucl. Phys. B270, 186 (1986).

151. A. Achucarro and P.K. Townsend, Phys. Lett. B180, 89 (1986).

152. E. Witten, Nucl. Phys. B311, 4 (1988).

153. S. Carlip, Phys. Rev. D51, 632 (1995).

154. S. Carlip, Phys. Rev. D55, 878 (1997).

155. S. Carlip, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 57, 8 (1997).

156. S. Carlip, Class. Quant. Grav. 15, 3609 (1998).

157. M.Z. Iofa and L.A. Pando Zayas, Phys. Lett. B434, 264 (1998).

158. M.Z. Iofa and L.A. Pando Zayas, Phys. Rev. D59, 064023 (1999).

159. M.3. Hocjpa h JI.A. naiw> 3añHC, 62, 1912 (1999).

160. H.J. Boonstra, B. Peeters and K. Skenderis, Phys. Lett. B411, 59 (1997).

161. H.J. Boonstra, B. Peeters and K. Skenderis, Fortsch. Phys. 47, 109 (1999).

162. S. Huyn, J. Korean Phys. Soc. 33 , 532 (1998).

163. K. Sfetsos and K. Skenderis, Nucl. Phys. B517, 179 (1998).

164. A.Strominger JHEP 9802, 009 (1998).

165. D.Birmingham, I.Sachs and S.Sen, Phys. Lett. B424, 275 (1998).

166. V.Balasubramanian and F. Larsen, Nucl. Phys. B528, 229 (1998).

167. D.Birmingham, Phys. Lett. B428, 263 (1998).

168. E.Teo, Phys. Lett. B430, 57 (1998).

169. N.Kaloper, Phys. Lett. B434, 285 (1998).

170. G.Lopes Cardoso, Phys. Lett. B432, 65 (1998).

171. M.J. Duff, H. Lu and C.N. Pope, Nucl. Phys. B532, 181 (1998).

172. M. Cvetic, H. Lu and C.N. Pope, Nucl. Phys. B549, 194 (1999).

173. C.G. Callan and J.M. Maldacena, Nucl. Phys. B472, 591 (1996).

174. G.W. Gibbons, G.T. Horowitz and P.K. Townsend, Class. Quant. Grav. 12, 297 (1995).

175. D. Kastor. and K.Z. Win, Phys. Lett. B411, 33 (1997).

176. K. Behrndt, M. Cvetic and W. Sabra, Phys. Rev. D58, 084018 (1998).

177. M. Cvetic and A.A. Tseytlin, Nucl. Phys. B478, 181 (1996).

178. G. Papadopoulos and P.K. Townsend, Phys. Lett. B380, 273 (1996).

179. D. Klemm, Fortsch.Phys. 49, 581 (2001).

180. M.Gunaydin, G.Sierra and P.K.Townsend, Nucl. Phys. B242, 244 (1984).

181. A.A.Tseytlin, Nucl. Phys. B475, 149 (1996).