Четырёхэлементные краевые задачи типа Римана в классах метааналитических функций в круге тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Букачев, Дмитрий Сергеевич

• Букачев, Дмитрий Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Букачев, Дмитрий Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

1.1. Основные обозначения и понятия.

1.2. Один метод решения четырехэлементной краевой задачи Римана в классах аналитических функций.

1.3. Исследование картины разрешимости четырехэлементной краевой задачи Римана в классах аналитических функций.

1.4. Вспомогательная краевая задача в классах аналитических функций.

1.5. Краткий обзор литературы по краевым задачам в классах полианалитических и метааналитических функций.

ГЛАВА П. ОСНОВНЫЕ ЧЕТЫРЁХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА В КЛАССАХ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПЕРВОГО ТИПА В КРУГОВОЙ ОБЛАСТИ.

2.1. Постановка первой основной четырехэлементной краевой задачи типа Римана в классе кусочно метааналитических функций.

2.2. Решение задачи gru в классе кусочно метааналитических функций первого типа в круговой области.

2.3. Исследование картины разрешимости задачи gru в классе кусочно метааналитических функций первого типа.

2.4. Постановка второй основной четырехэлементной краевой задачи типа Римана в классе кусочно метааналитических функций.

2.5. Решение и исследование картины разрешимости задачи gr42 в классе кусочно метааналитических функций первого типа в круге.

ГЛАВА III. ОСНОВНЫЕ ЧЕТЫРЁХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА В КЛАССАХ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ВТОРОГО ТИПА В КРУГОВОЙ ОБЛАСТИ.

3.1. Исследование задачи grai в классах метааналитических функций второго типа в круге.

3.2. Один частный случай задачи gr4l в классах метааналитических функций второго типа, допускающий эффективное решение.jq^

3.3. Исследование задачи grn в классах метааналитических функций второго типа в круге.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Четырёхэлементные краевые задачи типа Римана в классах метааналитических функций в круге»

Теория краевых (граничных) задач в классах аналитических функций и различных их обобщений является важнейшей областью современного комплексного анализа.

Благодаря фундаментальным работам Б.В. Боярского [12], И.Н. Векуа [22], Н.П. Векуа [24], Ф.Д. Гахова [27], Э.И. Зверовича [33], P.C. Исаханова [34]-[35], Д.А. Квеселава [37]-[38], Г.С. Литвинчука [46], Г.Ф. Манджавидзе [47], Л.Г. Михайлова [51], С.Г.Михлина [52], Н.И. Мусхелишвили [53]-[54], Л.И. Чибриковой [77] и многих других известных математиков теория линейных краевых задач в классах аналитических функций приняла, в основном, завершенный вид.

Однако для решения ряда прикладных задач, сводящихся к уже подробно исследованным краевым задачам, классической теории последних оказывается недостаточно. Возникает необходимость в расширении классических предположений, касающихся классов заданных и искомых функций, классов рассматриваемых контуров и других параметров задачи. В соответствии с возникающими потребностями исследования ведутся в следующих направлениях: обобщаются полученные ранее результаты для более широких классов заданных и искомых функций, для более широких классов контуров; рассматриваются задачи со сдвигом, а также задачи, содержащие производные искомой функции и граничные значения функции, комплексно сопряженной с искомой.

В частности, как в России, так и за ее пределами (Беларусь, Германия, Китай, КНДР, Украина, Черногория и др.) интенсивно изучаются краевые задачи для различных обобщений аналитических функций (таких как, например, полианалитические и метааналитические функции) [11], [44], [47], [58]-[65], [68], [69], [74], [76], [79], [82], [83]. Значительный вклад в развитие данного направления внесли A.B. Бицадзе [10], И.Н. Векуа [23], В.А. Габринович [25], М.П. Ганин [26], Ф.Д. Гахов [27], В.И. Жегалов [31]

32], К.М. Расулов [58]-[60], [63]-[65], B.C. Рогожин [67], Р.С. Сакс [69], И.А. Соколов [72]-[73], Н.Т.Хоп [76], М. Canak [80], В. Damjanovich [81], C.R. Shoe [84] и другие известные математики.

Кроме того, следует отметить, что теория граничных задач в классах функций, являющихся обобщениями аналитических функций комплексного переменного, тесно связана с различными разделами современной математики и механики [1]-[2], [8], [23], [36], [40], [43], [45], [53], [55], [57], [58], [66], [74], [78], [85].

Настоящая диссертация посвящена исследованию четырёхэлементных краевых задач типа Римана (подробнее см., например, в [46], с. 220, 232) в классах метааналитических функций, т.е. в классах функций F(z), являющихся решениями дифференциального уравнения oz oz дифференциальный оператор Коши-Римана, а д 1 где —=dz 2 д^ я.,. дх ду коэффициенты ак (к- 0,1) - произвольные комплексные постоянные.

Напомним, что если а0=о,= 0, то решения уравнения (0.1) называются бианалитическими функциями.

Пусть Т+ — конечная односвязная область на плоскости комплексного переменного г = *+/>, ограниченная простым замкнутым гладким контуром I, а Т~ = С\(г+ иь), где С - расширенная комплексная плоскость. В работе рассматриваются следующие краевые задачи. Задача Сй41.

Требуется найти все кусочно метаанапитические функции Г (г) = класса М2(7,±)пЯ(П(^), исчезаюгцие на бесконечности и удовлетворяюгцие на Ь следующим краевым условиям: 4,(0^ - 0„ W^P + 0, (0.2) дх дх дх дх

0.3) где Ак](/), Ою{1), gk(0 {к = 1,2; у = 1,2) - заданные на Ь функции, удовлетворяющие условию Гёлъдера. Задача СЖ42.

Требуется найти все кусочно метааналитические функции = класса М^Т^глН^Щ, исчезаюгцие на бесконечности и удовлетворяюгцие на Ь следующим краевым условиям'. где д/дп+ (д/дп) - производная по внутренней {внешней) нормали к L, а Akj{t), Gkj(t), gk (t) (k = 1,2; y = l,2) - заданные на L функции, удовлетворяющие условию Гёлъдера.

Отметим, что при выполнении на контуре L условий An(t)^A2l(t) = l и ап (0 = а22 (?) = G12 (0 = g22 (/) = о сформулированные выше краевые задачи grai и gr42 в классах полианалитических функций были впервые поставлены в известной монографии Ф.Д. Гахова [27] и в случае, когда ¿ = {f:|i| = i}, были решены И.А. Соколовым в 60-х годах XX столетия при помощи хорошо известного в математической физике метода решения краевых задач в областях с аналитическими границами [72]-[73]. В случае произвольных конечносвязных областей с гладкими границами при выполнении указанных выше условий краевые задачи gr4l и grn в классах полианалитических функций были подробно исследованы в монографии К.М. Расулова [58].

Следуя [46], [58], краевые задачи gr4l и gr42 будем называть соответственно первой и второй основными краевыми задачами типа Римана в классах метааналитических функций.

An(t)F\t) + Ai2(t)F+{t) = Gu{t)F-{t) + Gi2(t)F-{t) + gx{t),

0.4)

0.5)

Впервые краевые задачи GR4l и GRn без дополнительных условий Au(t)sA2l(t) = l и Л]2 (0 = Л22 (0 = g',2 (/) = G22 (0 = о были сформулированы K.M. Расуловым в монографии [58] в качестве естественных обобщений краевых задач типа Римана в классах полианалитических функций.

В работах Ю.А. Медведева [49]-[50] указанные задачи были исследованы в классах бианалитических функций как в случае круговых областей, так и в случае произвольных односвязных областей с гладкими границами.

В настоящей диссертации краевые задачи GRM и GRn исследуются в классе кусочно метааналитических функций с линией скачков ¿ = {/:|/| = i}.

В силу существенного отличия качественных свойств метааналитических функций от свойств бианалитических функций (см., например, [4], [7], [21], [78], [84]) при исследовании краевых задач GRAX и GRn в классах метааналитических функций возникает необходимость разработки совершенно новых подходов к решению сформулированных выше задач и использования дополнительного математического аппарата, в частности, аналитической теории дифференциальных уравнений. Поэтому разработка методов решения краевых задач GR4l и GRn в классах метааналитических функций является на сегодняшний день актуальной проблемой.

В соответствии с этим целью настоящей работы является разработка общих подходов к решению краевых задач GR4i и GRn в классах кусочно метааналитических функций, построение теории их разрешимости и выявление частных случаев данных задач, допускающих решение в замкнутой форме (в квадратурах).

Перейдём к краткому изложению содержания работы.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Букачев, Дмитрий Сергеевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации предложены методы решения основных четырёхэлементных краевых задач типа Римана и СЯп в классах метааналитических функций в случае круговых областей, которые основаны на возможности задания окружности уравнением Шварца г = Я2 /г и на представлении метааналитических функций через их аналитические компоненты. При установлении полученных результатов существенным образом была использована теория так называемых обобщенных краевых задач Римана в классах аналитических функций, теория интегральных уравнений Фредгольма второго рода, аналитическая теория дифференциальных уравнений. В работе получены необходимые и достаточные условия разрешимости, а также условия нётеровости указанных задач.

Показано, что в классе кусочно метааналитических функций первого типа с линией скачков £ = = исследуемые задачи допускают вполне конструктивное решение; указаны случаи, в которых задачи ОЯЛ1 и ОЯп допускают решение в замкнутой форме (в квадратурах).

Кроме того, разработан общий подход к решению задач ОЯ41 и СЯп в классах кусочно метааналитических функций второго типа с линией скачков ¿ = {/:|г| = 1}5 который может быть использован при решении многоэлементных краевых задач в классах метааналитических функций, отличных от изученных (например, краевых задач со сдвигом).

Таким образом, получены следующие основные результаты:

1) разработаны методы решения краевых задач ОЯА1 и ОЯп в классах кусочно метааналитических функций первого и второго типов в случае круговых областей;

2) установлены необходимые и достаточные условия разрешимости указанных задач, а также получены условия их нётеровости;

3) выявлены частные случаи, в которых задачи ОЯи и СЯЛ2 допускают решение в замкнутой форме (в квадратурах).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Букачев, Дмитрий Сергеевич, 2010 год

1. Адуков В.М. Факторизация Винера-Хопфа мероморфиых матриц-функций / В.М. Адуков // Алгебра и анализ. 1992. - Т.4, вып. 1. - С. 54-74.

2. Адуков В.М. Задача аппроксимации Паде как краевая задача Римана / В.М. Адуков // Весщ HAH Беларусь Сер. Ф1зжо-матэм. навук. 2004. - №4. -С. 55-61.

3. Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения: пер. с англ. / Э.Л. Айне; под ред. A.M. Эфроса. Харьков: ГНТИУ, 1939. - 719 с.

4. Алексеенков В.В. Трехэлементные краевые задачи типа Римана в классах метааналитических функций в круге: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Алексеенков Владимир Витальевич. Смоленск, 2009. - 116 с.

5. Анищенкова Н.Г. Трехэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Анищенкова Надежда Геннадьевна. Смоленск, 2002. - 120 с.

6. Балк М.Б. О метааналитических функциях / М.Б. Балк, М.Ф. Зуев // Материалы научн. конф. Смоленского пед. ин-та, посвященной 50-летию инта. Смоленск, 1971. - С. 250-258.

7. Балк М.Б. Полианалитические функции и их обобщения / М.Б. Балк // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Сер. Сов. пробл. матем. фун. напр. -Т. 85.-М.: ВИНИТИ, 1991.-С. 187-246.

8. Бикчантаев И. А. Некоторые краевые задачи для одного эллиптического уравнения: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Бикчантаев Ильдар Ахмедович. Казань, 1972. - 89 с.

9. Бицадзе A.B. О единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными / A.B. Бицадзе // Успехи матем. наук. 1948. - Т. 3, Вып. 6. - С. 211-212.

10. Болотин И.Б. Кусочно непрерывные краевые задачи типа Римана в классах бианалитических функций: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Болотин Иван Борисович. Смоленск, 2004. — 110 с.

11. Боярский Б.В. Об обобщенной граничной задаче Гильберта / Б.В. Боярский // Сооб. АН Груз. ССР. Т. 25, Вып. 4. - 1960. - С. 385-390.

12. Букачев Д.С. О решении первой основной четырёхэлементной краевой задачи типа Римана для метааналитических функций в круге /

13. Д.С. Букачев // Системы компьютерной математики и их приложения: материалы международной конференции (18-20 мая 2009 г.) / Смоленский гос. ун-т. Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2009. - Вып. 10. - С. 161-163.

14. Букачев Д.С. О решении одной четырёхэлементной краевой задачи типа Римана в классах метааналитических функций / Д.С. Букачев, K.M. Расулов // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2010. - № 4. - С. 8-13.

15. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции / И.Н. Векуа. -М.: Наука, 1988.-509 с.

16. Векуа И.Н. Об одном методе решения основной бигармонической краевой задачи и задачи Дирихле / И.Н. Векуа // Некоторые пробл. мат. и мех. Л.: Наука, 1970. - С. 120-127.

17. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений / Н.П. Векуа. М.: Наука, 1970. - 379 с.

18. Габринович В.А. Краевые задачи карлемановского типа для полианалитических и метааналитических функций: дис. . д-ра физ.-мат. наук.-Минск, 1977.

19. Ганин М.П. Краевые задачи для полианалитических функций / М.П. Ганин // Докл. АН СССР. 1951. - Т. 80, №3. - С. 313-316.

20. Гахов Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. М: Наука, 1977. - 640 с.

21. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений / В.В. Голубев. М.: Наука, 1966. - 436 с.

22. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / Г.М. Голузин. М.: Наука, 1966. - 628 с.

23. Дезин A.A. Общие вопросы теории граничных задач / A.A. Дезин. -М.: Наука, 1980.-208 с.

24. Жегалов В.И. Некоторые краевые задачи для полианалитических функций / В.И. Жегалов // Тр. Семинара по краевым задачам / Казанск. ун-т. 1976. - Вып. 13. - С. 80-85.

25. Жегалов В.И. Об одном обобщении полианалитических функций /

26. B.И. Жегалов // Тр. Семинара по краевым задачам / Казанск. ун-т. 1975. -Вып. 12.-С. 50-57.

27. Зверович Э.И. Двухэлементные краевые задачи и метод локально-конформного склеивания / Э.И. Зверович // Сибирский матем. журнал. — 1973.-Т. 14, № 1.-С 64-85.

28. Исаханов P.C. Дифференциальная граничная задача линейного сопряжения и её применение к теории интегральных дифференциальных уравнений / P.C. Исаханов // Сообщ. АН Груз. ССР. 1958. - Т. 20, №6.1. C. 659-666.

29. Исаханов P.C. Линейные граничные задачи со смещениями теории функций: дис. . д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / Исаханов Рагим Сулейманович. Тбилиси, 1983.-281 с.

30. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости / А.И. Каландия. М.: Наука, 1973. - 303 с.

31. Квеселава Д.А. Решение одной граничной задачи теории функций / Д.А. Квеселава//ДАН СССР. 1946. - Т. 53, №8. - С. 683-686.

32. Квеселава Д.А. Некоторые граничные задачи теории функций / Д.А. Квеселава // Тр. Тбилисского матем. ин-та. 1948. - T. XVI. - С. 39-90.

33. Колосов Г.В. Применение комплексной переменной в теории упругости / Г.В. Колосов. М.-Л.: (ЖЩ 1935.-224 с.

34. Коэн Д.Б. Граничные задачи в теории массового обслуживания / Д.Б. Коэн. М.: Мир, 1987. - 272 с.

35. Краснов М.Л. Интегральные уравнения / М.Л. Краснов. М.: Наука, 1975.-301 с.

36. Курош А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. СПб.: Изд-во «Лань», 2005.-432 с.

37. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. М.: Наука, 1973. - 736 с.

38. Левинский C.B. Краевые задачи для функций, полианалитических в области: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Левинский Сергей Васильевич. Одесса, 1991. - 142 с.

39. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела / С.Г. Лехницкий. -М.: Наука, 1977.-415 с.

40. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом / Г.С. Литвинчук. М: Наука, 1977. - 448 с.

41. Манджавидзе Г.Ф. Граничные задачи сопряжения со смещением для аналитических и обобщенных аналитических функций / Г.Ф. Манджавидзе. -Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1990. 174 с.

42. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. В 2 т. Т. 1. / А.И. Маркушевич. М.: Наука, 1967. - 620 с.

43. Медведев Ю.А. Об одной четырехэлементной краевой задаче типа Римана для бианалитических функций / Ю.А. Медведев, K.M. Расулов // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика, физика, химия». Челябинск, 2006. -Вып. 7. - №7(62) - С. 54-58.

44. Медведев Ю.А. Четырехэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Медведев Юрий Анатольевич. Смоленск, 2007. — 115 с.

45. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его приложение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами / Л.Г. Михайлов. Душанбе, 1963. - 192 с.

46. Михлин С.Г. Интегральные уравнения и их приложения к некоторым проблемам механики, математической физики и техники / С.Г. Михлин. М.Л.: ГИТИ, 1949. - 378 с.

47. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1966. - 707 с.

48. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1968. - 511 с.

49. Насыров С.Р. Смешанная обратная краевая задача на римановых поверхностях / С.Р. Насыров // Изв. вузов. Математика. 1990. - №10. -С. 25-36.

50. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций / И.И. Привалов. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. - 337 с.

51. Прусов И.А. Двумерные краевые задачи фильтрации / И.А. Прусов. -Минск, 1987.-182 с.

52. Расулов K.M. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения / K.M. Расулов. Смоленск: СГПУ, 1998. - 343 с.

53. Расулов K.M. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторых их обобщений: дис. . д-ра физ.-мат. наук: 01.01.01 / Расулов Карим Магомедович. Минск, 1995. - 241 с.

54. Расулов K.M. Краевые задачи типа задачи Римана для полианалитических функций и некоторых их обобщений: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Расулов Карим Магомедович. Смоленск, 1980. - 125 с.

55. Расулов K.M. Об одном методе решения граничной задачи Маркушевича в классе аналитических функций / K.M. Расулов //

56. Исследования по краевым задачам комплексного анализа и дифференциальным уравнениям / Смоленский гос. пед. ун-т. Смоленск, 2001. - Вып. 3.- С. 98-109.

57. Расулов K.M. Об одном общем подходе к решению классических краевых задач для полианалитических функций и их обобщений / K.M. Расулов // Дифференц. уравнения. 1993. - Т. 29, №2. - С. 320-327.

58. Расулов K.M. О решении одной видоизмененной краевой задачи типа Рикье для метааналитических функций в круге / K.M. Расулов, В.В. Сенчилов // Дифференц. уравнения. 2005. - Т. 41, №3. - С. 415-418.

59. Рева Т.Д. Задача сопряжения для бианалитических функций и её связь с упруго-пластической задачей / Т.Д. Рева // Прикладная механика. -Киев, 1972. Т. 8, Вып. 10. - С. 65-70.

60. Рогожин B.C. Некоторые краевые задачи для полигармонического уравнения / B.C. Рогожин // Учен. зап. Казанск. ун-та. 1950. - Т. 110, кн. 4. -С. 71-93.

61. Рогожин B.C. О некоторых новых интегральных представлениях аналитической функции / B.C. Рогожин // Изв. высш. уч. завед., Математика. 1964. -№6. - С. 143-152.

62. Сакс P.C. Краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений / P.C. Сакс. Новосибирск, 1975. - 160 с.

63. Самко С.Г. О сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнениях с аналитическими ядрами / С.Г. Самко // Изв. Сев.-кавказк. науч. центра высш. школы. Сер. естеств. наук. 1974. - № 4. — С. 86-94.

64. Сенчилов В.В. Краевые задачи типа Неймана и типа Рикье для метааналитических функций в круге: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Сенчилов Владислав Владимирович. Смоленск, 2006. - 101 с.

65. Соколов И.А. Первая краевая задача типа Римана для полианалитических функций в случае произвольного контура / И.А. Соколов //Вестник Бел. гос. ун-та. Сер. 1. 1971. -№2. - С. 21-23.

66. Соколов И.А. О краевых задачах типа Римана для полианалитических функций: дис. . канд. физ.-мат. наук / Соколов И.А. -Минск, 1970.

67. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, A.A. Самарский. М: Наука, 1972. - 735 с.

68. Фатулаев Б.Ф. Краевые задачи типа Газемана и типа Карлемана для метааналитических функций: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Фатулаев Буба Фатулаевич. Смоленск, 2000. - 107 с.

69. Хоп Н.Т. О нормальной разрешимости задачи Дирихле для одной эллиптической системы / Н.Т. Хоп // Дифференц. уравнения. 1966. - Т. 2, N2.-С. 214-225.

70. Чибрикова Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций / Л.И. Чибрикова. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1977. - 302 с.

71. Balk M.B. Polyanalytic functions / M.B. Balk. Berlin: Akademie Verlag, 1991.-192 p.

72. Begehr H. Boundary value problems in complex analysis / H. Begehr // Boletín de la Asociation Matematica Venezolana. 2005. - Vol. 12, №1. - P. 65-85.

73. Canak M. Einige Ergebnisse zur Theorie polyanalytischer Differentialgleichungen / M. Canak, Lj. Protic // Matematicki vesnik (Yugoslavia). -2000.-Vol. 52.-P. 19-25.

74. Damjanovic B. The boundary value problem for polyanalytic function in multiply-connected region / B. Damjanovic // Matematicki vesnik (Yugoslavia). -1986.-Vol. 38.-P. 411-415.

75. Davis P. The Schwarz functions and its applications / P. Davis. -Washington, 1974. 219 p.

76. Rasulov K.M. About the solution in closed form of generalized Markushevich boundary value problem in the class of analytical functions / K.M. Rasulov // Mathematical modelling and analysis. 2004. Vol. 9, №3. -P. 223-228.

77. Shoe C.R. A boundary value problem of meta-analytic function in the unit circle / C.R. Shoe // Cyxak. 1986. - № 3. - P. 29-33.

78. Stein M.E. Singular integrals and differentiability properties of functions / M.E. Stein. Princeton, 1970. - 303 p.