Численная стабилизация неустойчивых решений уравнений Навье-Стокса с границы области тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Иванчиков, Андрей Александрович

• Иванчиков, Андрей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Иванчиков, Андрей Александрович

Введение

Глава 1 Численное решение спектральных задач для уравнений Стокса

§ 1.1 Необходимые сведения о спектральных задачах для уравнений

Стокса.

1.1.1 Определение оператора.

1.1.2 Свойства спектра.

§ 1.2 Постановка спектральных задач и их дискретизация

1.2.1 Задача с краевыми условиями первого рода.

1.2.2 Дискретизация задачи.

1.2.3 Задача с периодическими условиями по одному направлению

1.2.4 Дискретизация периодической задачи.

§ 1.3 Алгоритмы и их тестирование

1.3.1 Общие замечания.

1.3.2 Решение уравнения Пуассона методом Фурье.

1.3.3 Метод сопряженных градиентов решения уравнений Стокса

1.3.4 Решение симметричной частичной проблемы собственных чисел методом Ланцоша.

§ 1.4 Решение спектральных задач.

1.4.1 Численное решение спектральной задачи с условиями первого рода

1.4.2 Аналитическое решение периодической задачи.

1.4.3 Численное решение периодической спектральной задачи

§ 1.5 Выводы.

Глава 2 Численная стабилизация решений уравнений Стокса и

Навье — Стокса

§ 2.1 Постановка модельной задачи

§ 2.2 Алгоритм стабилизации в дифференциальной форме.

§ 2.3 Дискретизация задачи по пространству и времени.

§ 2.4 Численное решение вспомогательных спектральных задач

§ 2.5 Результаты численных экспериментов.

2.5.1 "Устойчивая задача Стокса (Re = 0, 7 = 0).

2.5.2 Неустойчивая задача Стокса (Re = 0, 7 = 2).

2.5.3 Устойчивая задача Навье - Стокса (Rc = 1,7 = 0)

2.5.4 Неустойчивая задача Навье - Стокса (Re = 1,7 = 2)

2.5.5 Увеличение числа Рейнольдса в неустойчивой задаче Навье - Стокса.

§ 2.6 Выводы.

Глава 3 Исследование спектральной задачи, связанной с устойчивостью течения Куэтта

§ 3.1 Постановка задач.

3.1.1 Краевая задача для уравнений Навье - Стокса в цилиндрических координатах

3.1.2 Линеаризация уравнений Навье - Стокса и спектральная задача

§ 3.2 Дискретизация задачи.

3.2.1 Дискретизация стационарной задачи.

3.2.2 Дискретизация нестационарной задачи

§ 3.3 Алгоритм решения спектральной задачи.

3.3.1 Метод Арнольди.

3.3.2 Явный метод.

§ 3.4 Аналитическое решение спектральной задачи в некоторых частных случаях.

3.4.1 Решение спектральной задачи при Re ^ 0, ит = 0, и4' =

3.4.2 Решение спектральной задачи при Re = 0, иг = 0, uz =

3.4.3 Решение спектральной задачи при Re ^ 0, v? ^ 0, uf = О

3.4.4 Решение спектральной задачи при Re — 0, v? = 0.

§ 3.5 Численные эксперименты.

3.5.1 Решение спектральной задачи на разных сетках.

3.5.2 Решение спектральной задачи при разных числах Рейнольд

3.5.3 Решение уравнений Навье - Стокса при разных числах Рей-нольдса.

§ 3.6 Выводы.

Глава 4 Численная стабилизация неустойчивого течения Куэтта

§ 4.1 Краевая задача для уравнений Навье - Стокса.

§ 4.2 Алгоритм стабилизации в дифференциальной форме.

§ 4.3 Дискретизация задачи по пространству и времени.

§ 4.4 Спектральная задача и вопросы устойчивости.

§ 4.5 Стабилизация. Численные эксперименты.

4.5.1 Стабилизация с обратной связью.

§ 4.6 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численная стабилизация неустойчивых решений уравнений Навье-Стокса с границы области»

Уже долгое время задачи управления решениями эволюционных уравнений в частных производных являются объектом исследования математиков. В их числе рассматриваются уравнения, допускающие неустойчивые решения. В теории неустойчивых задач информации о существовании и единственности решения недостаточно для их успешного численного решения. Поэтому задачей теоретиков является также с одной стороны указание алгоритма решения, с другой стороны — исследование процесса возникновения возмущений и разработка методов их подавления.

Задачей стабилизации решения некоторого эволюционного уравнения является поиск краевого условия Дирихле при заданном начальном условии v|t=0 = vq и условии стремления решения к заданной функции v —»■ w(x) при t —» оо. Такой функцией может быть, например, стационарное решение этого уравнения. Объектом нашего исследования будет задача стабилизации неустойчивого решения системы Навье - Стокса, описывающей движение вязкой несжимаемой жидкости.

Среди работ, посвященных стабилизации уравнений математической физики, наиболее теоретически законченной и совершенной является теория А.В. Фурсикова, развитая в [34] — для квазилинейных параболических уравнений, в [35] — для двумерных уравнений Навье - Стокса и Озеена, в [32], [33] — для трехмерных уравнений Навье - Стокса. Теория А.В. Фурсикова послужила отправной точкой, базисом для настоящей работы. Сама она базируется на более общих результатах из теории банаховых пространств. Перейдем к ее краткому изложению. Рассмотрим уравнения Навье - Стокса dtv(t, х) - Av(t, х) + (v(t, х), V)v + Vp(t, х) = f (£, х), div v = 0, (1) в ограниченной области Q 6 R3 с гладкой границей dQ с начальными и краевыми условиями v(t, x)\t=0 = v0(.t), v(t, = vc. (2)

Пусть известно стационарное решение w(x), удовлетворяющее уравнениям (1) которое, возможно, является неустойчивым. Сформулируем теперь задачу стабилизации. Для начального условия vq(x) из достаточно малой окрестности w(x) и числа а > 0 найти управление vc такое, что решение v(£, х) начально-краевой задачи (1), (2) устремится к стационарному решению с показателем о":

IIv(t, •) - w||Vi(n) < С ■ епри t > 0, (3) где V*(ft) = {vG (Нк{П))3 : div v = 0}.

Вложим область Q в некоторую расширенную область G. Продолжим w(:c) до некоторого соленоидалытого векторного поля w(a;) в G. От системы (1) в D, перейдем к системе в G\ dtv(t, х) - Av(t, х) + (v(t, х), V)v + Vp(t, x) = f (t, x), div v = 0, (4) на которую наложим условия: v(i,a;)|t=0 = v0(x) = Ev0(x), v(t,x)\0G = 0, (5) где E представляет собой нелинейный оператор продолжения векторного поля из Q в G. Его определение является основной задачей.

Для заданного а определим устойчивое инвариантное многообразие M(w) как гладкое многообразие в пространстве Vq(G) = {v£ V1(G) : vj^ = 0} в окрестности w такое, что для любого vo £ M(w) решение v(i, •) начально-краевой задачи (4), (5) при t > 0 принадлежит М(w) и v(t, •) - w||vi(G) < Cllvo - w||vi(G) • е-'4 при t > 0 (6)

Другими словами, решение выпущенное в окрестности стационарного течения w экспоненциально к нему стремится с течением времени. Следующие положения являются центральными результатами теории:

1. Устойчивое инвариантное многообразие M(w) существует и имеет конечную коразмерность. Оно является отталкивающим множеством.

2. Для достаточно малого б существует оператор продолжения Е, отображающий б-окрестность стационарного решения w в многообразие M(w).

Из этих конструкций видно, что тем самым построено решение задачи стабилизации в исходной области Q, т.к. из (6) следует (3), а в качестве решения достаточно взять ограничения 70, 7on решения v(i, х) задачи (4), (5): v(*, •), vc(t, •)) = (7nv(i, •), 7env(£, •)) •

Подведем резюме алгоритма стабилизации. Все его применяемые ныне модификации так или иначе включают следующие шаги:

1) продолжение - проектирование заданного начального условия из исходной области в расширенную область на устойчивое инвариантное многообразие;

2) интегрирование нестационарной системы уравнений в расширенной области, приводящее к искомым граничным условиям;

3) стабилизация с заданной скоростью, т.е. интегрирование системы уравнений в исходной области с полученными граничными условиями.

Чтобы перенести теорию стабилизации в практическую плоскость, сделать ее пригодной для численной реализации в теории А.В. Фурсикова вводится понятие "реального процесса". Суть его в следующем. Пусть па решение v(t, х) в расширенной области G в дискретные моменты времени tj = jr действуют возмущения 4>j{x). Эти возмущения призваны моделировать ошибки округления, возникающие при вычислениях. Понятно, что возмущения выводят решение v(t,x) из инвариантного многообразия М(w), поэтому в качестве корректировки алгоритма стабилизации предлагается осуществлять проектирование решения на M(w) не только в начальный момент времени, но и в дискретные моменты tj = jr. Для стабилизированного "реального процесса" v(£, х) при малых флуктуациях ||0j(-)llv£(G) < бо справедлива оценка v(£, •) - w||Vi(n) < Ci (||v0 - w||Vi(fi) • e~at + C2e0) при t > 0.

Займемся теперь устройством устойчивого инвариантного многообразия, поскольку оно играет крайне важную роль в конструкции алгоритма стабилизации. Перенесем решение уравнений (4) в расширенной области в окрестность стационарного решения w(:c), обозначив й = v — w: dtu{t, х) - Лй + (w, V)u + (й, V)w + (й, V)u + Vp = 0, div и = 0, Запишем эту задачу в виде

С0 + Ay(t) + Чу, V)y = о, (7) где А : Ау = 7г(—Ду + (w, V)y + (у, V)w) — замкнутый линейный оператор, 7г — ортопроектор на = {v G V°(G) : (v, i/)|dG = 0}, v — поле внешних нормалей к dG. Относительно А известно, что для заданного числа сг сопряженный к нему А* (как и он сам) обладает конечной системой собственных и присоединенных векторов, соответствующих собственным числам Л с Re(A) < сг. Занумеруем их подряд: di(:c),., <1к(%) и определим L(w) как ортогональное к ним линейное пространство:

М w) = {уе V0\G) : JG (y(x),dj(x)) dx = 0,j = l,.,K}.

Пространство L+ определим как дополнение L до Vq(G). Обозначим разрешающий оператор задачи (7) S(t, уо). Это полугруппа операторов, сопоставляющая начальному условию уп решение y(t) в момент t. Для нее справедливо разложение в точке уо = 0:

S{t, уо) = e~Atyo + B{t, уо).

При этом B(t: 0) = 0, В' (t, О) = 0. В окрестности уо = 0 построим, наконец, многообразие M(w), инвариантное относительно полугруппы S(t, уо). Это многообразие можно задать в виде графика:

M(w) = {u£ Vq(G) : u = u + p(u), u G L(w)} , где д : —> L+ — оператор - функция класса причем д{0) = 0,

0) = 0. Ясно, что пространство касательно в нуле многообразию М, а для линейных уравнений Стокса М линейно и совпадает с L. Приведем теперь конструкцию оператора продолжения на L. Мы продолжаем исПв G. Обозначим ei,., ек базис для оператора А биортогональный di,., d^. Обозначим через (тгА)1е^ решение задачи Стокса в G\Q,:

-Awj + VPj = ej: div u, = 0, wi|a(GW) - 0 Тогда продолжение имеет вид

Ей = Ru + J2f= i сДтгД)"1^-, где Ru — есть некоторое соленоидальное продолжение поля и в G, а коэффициенты Cj находятся из условия ортогональности fG(Eu, dj)cfo; = 0. В случае нелинейного Л/, последняя формула дает продолжение на линейное приближение к М.

Совсем недавно в работе [30] прозвучало предложение использовать аналитическое представление многообразия i\/, а точнее — разложение функции д по полилинейным функциям, что может дать возможность строить приближения к М- более высокого порядка. Появилась также работа [15] по численной реализации точного проектирования на М для простейшего параболического уравнения. Однако тот факт, что при этом происходит экспоненциальный рост объема вычислений с увеличением порядка приближения, оставляет вопрос эффективности предложенного метода открытым.

Известно большое количество случаев, обусловленных физическими и геометрическими параметрами, при которых возникают неустойчивые течения (см., например, [11]). В настоящей работе мы сосредоточимся на одном таком случае. Рассмотрим уравнения Навье - Стокса в области между двумя бесконечными соосными цилиндрами, из которых внутренний вращается с некоторой фиксированной угловой скоростью, а внешний покоится. Мы ограничимся лишь решениями, периодическими вдоль оси цилиндра и не зависящими от угла поворота относительно оси. Хорошо известно одно стационарное решение этой задачи — это течение Куэтта. Оно имеет аналитическое выражение и лишь одну отличную от нуля угловую компоненту скорости, зависящую только от г. Известно также (см. [27]), что при фиксированном периоде и достаточно больших значениях числа Рейнольдса существует другое решение стационарной задачи, называемое вихрями Тейлора. Оно зависит от обеих независимых переменных и имеет вид наложенных друг на друга торов. Такая картина хорошо согласуется с физическими экспериментами, в которых течение Куэтта с ростом числа Рейнольдса становится неустойчивым и происходит его бифуркация в вихри Тейлора (см. [11]). Такое же поведение неустойчивого течения Куэтта установлено при численном моделировании (см. [45]), кроме того, показана связь возникновения неустойчивости с появлением отрицательных собственных чисел в спектре соответствующей спектральной задачи с ростом числа Рейнольдса. Спектральная задача в этом случае формулируется для оператора, получающегося линеаризацией уравнений Навье - Стокса в окрестности течения Куэтта. Таким образом, одним из исходных положений в формулируемой задаче стабилизации является неустойчивость течения Куэтта при некотором соотношении периода и числа Рейнольдса. Наиболее точные расчеты задачи построения нейтральных кривых, т.е. зависимостей критических чисел Рейнольдса от длины периода, при которых происходит потеря устойчивости, были проведены в [3].

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Естественным является вопрос о принципиальной возможности стабилизации неустойчивых решений уравнений Навье -Стокса при реальном компьютерном моделировании. Несмотря на все положительные предпосылки дифференциальной теории, ответ на этот вопрос оставался открытым. На момент начала исследований никакой конструктивной информации об устройстве инвариантного многообразия М известно не было, кроме, конечно, способа построения касательного пространства L. Это, в свою очередь, порождало разрыв между построенной дифференциальной теорией и практикой численного моделирования. Все теоретические оценки для реального процесса говорят о том, что сходимость к неустойчивому решению при численной стабилизации обеспечена, правда со скоростью несколько меньшей. Но это остается справедливым лишь в том случае, если в любой нужный момент времени мы умеем точно проектировать решение на устойчивое многообразие М. Такая возможность в реальной ситуации отсутствует, поэтому, в первую очередь, кажется естественным использование свойств линейного приближения многообразия — множества L.

Важным шагом в этом направлении были работы Е.В. Чижонкова (см. [36]). На основе имевшейся к тому времени дифференциальной теории в них были разработаны и успешно применены алгоритмы численной стабилизации для дискретного аналога уравнения Чафе - Инфанта. Принципиально новыми элементами в них стали: использование только линейного приближения инвариантного многообразия и применение многократного проектирования па него. Также было установлено, что численная стабилизация (в отличие от дифференциальной) с произвольной наперед заданной скоростью а > О невозможна. Причина этого в том, что алгоритм включает решение системы линейных алгебраических уравнений с матрицей проектирования, размерность которой пропорциональна задаваемой скорости стабилизации. При этом число обусловленности этой матрицы растет экспоненциально (аналогично матрице Гильберта) с увеличением ее размерности.

Кроме постоянно действующих возмущений в виде ошибок округлений в этих задачах присутствует еще предельная точность решения вспомогательных задач. А она, как правило, при использовании даже самых современных алгоритмов па несколько порядков хуже машинной точности. Одной из таких вспомогательных задач является спектральная задача, где требуется численно определить базисы корневых подпространств для всех собственных чисел Л из диапазона Re(A) < а. Другая такая задача — это решение системы линейных алгебраических уравнений с уже упоминавшейся выше матрицей проектирования. Результатом этого решения служат коэффициенты разложения по собственным и присоединенным функциям в операции проектирования, откуда следует, что при проектировании накопленные ошибки могут далеко отодвинуть решение от целевого линейного многообразия Третьим, самым наглядным, фактором роста ошибок является непосредственное интегрирование эволюционных уравнений, как в расширенной области G, так п в исходной области Q. Известно, что М является отталкивающим множеством, поэтому оказавшись за пределами М, решение совершенно не обязано возвращаться к нему с течением времени.

Из всего вышесказанного следует, что задача численной стабилизации неустойчивых решений уравнений Навье - Стокса с помощью граничных условий является важной и трудной задачей современной вычислительной математики.

Цель работы. Основная задача диссертации заключается в создании вычислительной технологии для стабилизации по граничным условиям неустойчивых решении уравнений Навье - Стокса с наперед заданной скоростью. Под вычислительной технологией здесь понимается совокупность численных методов, структур данных и программных реализаций для решения последовательности разнородных вычислительных задач на вычислительных системах. С целью разделения сложной проблемы па этапы переход к основной задаче осуществляется последовательно — от линейной к нелинейной, от устойчивой к неустойчивой, от симметричной к несимметричной. Конечной целью является стабилизация неустойчивого течения Куэтта, которое в отсутствие управления стремится к вихрям Тейлора. Выбор этих течений обусловлен тем, что такая картина неустойчивости наблюдается в природе и хорошо описывается математической моделью — теорией уравнений Навье - Стокса.

Для решения основной проблемы требуется решить несколько вспомогательных. Первая состоит в поиске и осуществлении методов решения спектральных задач. Известные методы Ланцоша и Арнольди модифицируются для наших целей: вычисления собственных функций с максимально высокой точностью, построения базиса в собственных (а при необходимости и в корневых) подпространствах, соответствующих некоторому заданному промежутку собственных чисел. В численных экспериментах задачей также является исследование поведения спектра в зависимости от числа Рейнольдса, установление сходимости к дифференциальному случаю в зависимости от сеточных параметров, для чего спектральные задачи решаются аналитически. Второй задачей является установление возникновения неустойчивости течения Куэтта в дискретном случае, а также установление связи неустойчивости с поведением спектра. Ее решение является основой для постановки целевой задачи — стабилизации неустойчивого течения Куэтта.

Кроме того, для процесса численной стабилизации важным является исследование, описание и объяснение всех качественных эффектов, связанных с влиянием погрешностей.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Разработана вычислительная технология стабилизации неустойчивых решений уравнений Навье - Стокса с помощью граничных условий. Алгоритм сформулирован и успешно применен в самом общем случае — для стабилизации неустойчивых нетривиальных стационарных течений, приводящих к несимметричным спектральным задачам. Стабилизация уравнений динамики жидкости проведена впервые и аналогов не имеет.

2. Реализованы и успешно применены алгоритмы численного решения частичных спектральных задач для линеаризованных уравнений Навье - Стокса. В случаях, необходимых для целей стабилизации, получены аналитические решения.

3. Реализован процесс возникновения и развития неустойчивости течения Куэтта в дискретном случае.

4. Описана динамика стабилизируемых течений с объяснением всех, возникающих в процессе стабилизации, численных эффектов.

Достоверность, теоретическая и практическая ценность работы.

Работа носит теоретический характер. Достоверность проведенного исследования основана па строгой математической теории стабилизации в дифференциальном случае и тщательном анализе и сравнении результатов численных экспериментов. Теоретическая ценность состоит в построении отправной точки для дальнейших исследований по разработке новых, более совершенных численных алгоритмов стабилизации уравнений математической физики. Практическая ценность работы заключается в обширном наборе формул, алгоритмов и графических представлений расчетов. Ее методы и результаты могут быть использованы учеными и инженерами различных научно-технических институтов при решении прикладных задач.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором: па конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2002), па международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" (Казань, 2004), на ежегодных научных конференциях "Ломоносовские чтения" (Москва, 2004, 2005), на 6-ом Всероссийском семинаре "Сеточные методы и приложения" (Казань, 2005), на международной научной конференции "Математическая гидродинамика" (Москва, 2006), на научно-исследовательском семинаре "Вычислительная математика, математическая физика, управление" под руководством проф. Г.М. Кобелькова, проф. В.И. Лебедева, проф. А.В. Фурсикова (ИВМ РАН, Москва, 2006).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ: 5 — в рецензируемых журналах, 3 — в материалах конференций.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографии из 48 наименований. Она изложена на 100 страницах, содержит 96 рисунков и 25 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Иванчиков, Андрей Александрович

§4.6 Выводы

Основным итогом настоящей главы является построение алгоритма численной стабилизации неустойчивого течения Куэтта. Он является обобщением алгоритма, построенного в гл. 2, на случай нетривиального неустойчивого решения, приводящего к несимметричным спектральным задачам. Алгоритм позволяет проводить стабилизацию слабо возмущенного течения Куэтта в условиях реального компьютерного моделирования. Сам алгоритм в своей формулировке, может быть применен не только к стабилизации течения Куэтта, но и любого другого стационарного течения w. Численные эксперименты демонстрируют соответствие дифференциальной теории и дискретного случая, при стабилизации в расширенной области, поскольку наблюдается выход скорости стабилизации на предсказанный уровень, определяемый некоторым собственным числом. Применение обратной связи позволяет проводить стабилизацию в исходной области с использованием стабилизирующих краевых условий.

Заключение

Практическим итогом диссертации явилось создание программного комплекса XStokes, позволяющего решать спектральные задачи для уравнений Стокса и задачи стабилизации для уравнений Навье - Стокса в прямоугольных областях в декартовых координатах. Он включает:

• решатели уравнения Пуассона методами (51?-разложения, много сеточным и Фурье;

• решатели уравнений Стокса методами Узавы и сопряженных градиентов;

• реализации алгоритмов Ланцоша и Арнольди применительно к решению частичных спектральных задач для уравнений Стокса;

• Q-R-алгоритм решения спектральных задач для симметричных матриц;

• реализацию схемы Чорнна - Темама для интегрирования нестационарных уравнений Навье - Стокса;

Для решения спектральных задач для уравнений Навье - Стокса, линеаризованных в окрестности течения Куэтта, и задач стабилизации уравнений Навье - Стокса в цилиндрических координатах была разработана вторая часть программного комплекса XStokes, которая включает:

• решатель уравнений Стокса с применением библиотеки UMFPACK [8];

• реализацию алгоритма Арнольди применительно к решению частичных спектральных задач для уравнений Стокса;

• <3/?-алгоритм с двойными шагами решения спектральных задач для хессенберговых матриц. Решатель этой же задачи с помощью библиотеки LAPACK [1];

• реализацию схемы Чорина - Темама для интегрирования нестационарных уравнений Навье - Стокса;

С помощью программного комплекса XStokes получены все результаты диссертации. Он разработан автором на С++ с использованием Fortran - библиотеки LAPACK [1] и С - библиотеки UMFPACK [8].

Визуализация результатов численных расчетов осуществлялась с помощью пакета jXViewer, разработанного автором на Java. С его помощью получены все приведенные в диссертации иллюстрации результатов. Отладка основного расчетного комплекса была бы вряд ли возможна без средств визуализации — в этом заключалась главная роль пакета jXViewer. Пакеты jXViewer и XStokes могут работать как единое сетевое клиент-серверное приложение. Это позволило в качестве конечного продукта получить видеоматериалы, иллюстрирующие эволюцию стабилизируемого процесса по времени. Эти возможности позволяют еще лучше понять внутреннее устройство процесса стабилизации.

Для решения трансцендентных уравнений, возникших при получении аналитических решений спектральных задач, была использована система символьных вычислений Maple 9.0 [20]. Вез ее использования доказательство теоремы 3.1 оказалось бы крайне затруднительным.

С помощью комплекса jXViewer - XStokes были проведены многочисленные эксперименты, основные из которых нашли отражение в диссертации, и получено исчерпывающее решение поставленных задач. Особенностью пакета XStokes является также то, что весь многошаговый процесс стабилизации, включая решение спектральных задач, может быть осуществлен однократным запуском в полностью автоматическом режиме. На используемых в гл. 4 сетках весь процесс стабилизации занимает время порядка десяти минут на современной ЭВМ (с процессором Pentium М - 2000 МГц).

Основным итогом диссертации явилось построение дискретного алгоритма стабилизации неустойчивых решений уравнений Стокса и Навье - Стокса с помощью граничных условий. Он не является простым переносом соответствующего алгоритма из дифференциальной теории, а существенно отличается способом проектирования получаемого в процессе решения на устойчивое многообразие М.

Целью гл. 2 была апробация алгоритма для стабилизации неустойчивой задачи для нелинейных уравнений, но в процессе были рассмотрены четыре типа задач, начиная с самой простейшей — линейной устойчивой. Это позволило как дифференцировать возникающие сложности, так и выявлять различия в самом процессе стабилизации разных задач. При этом сам процесс стабилизации с наперед заданной скоростью оказался вполне осуществим.

Гл. 4 является первой попыткой стабилизации неустойчивости, наблюдаемой в естественных условиях и хорошо описываемой математической моделью. Стабилизация с наперед заданной скоростью не представляется пока возможной, однако построение стабилизирующих краевых условий, дающее некоторую достаточно высокую скорость, можно считать успешным. Впервые в численной стабилизации был применен алгоритм с обратной связью.

Полученные результаты следует квалифицировать как успешные, так как их следствием является понимание не только специфически численных аспектов решаемой проблемы, но и принципиальных ограничений по применению идеи стабилизации с помощью граничных условий на практике.

Основное ограничение, при котором стабилизация вообще не будет происходить — это наличие достаточно большого числа собственных чисел с отрицательной действительной частью в спектре вспомогательной спектральной задачи. В частности, такая ситуация имеет место при больших числах Рейнольдса, если считать, что остальные параметры фиксированы. Причина невозможности стабилизации здесь двоякая. С одной стороны необходимо будет проектировать на собственное подпространство высокой размерности, что приведет к необходимости решать плохо обусловленную систему уравнений. С другой стороны скачки нормы решения в моменты проектирования станут настолько большими, что уже не будут компенсироваться падением нормы на полезных интервалах стабилизации.

Суть этих ограничений заключается непосредственно в самом предложенном подходе численной стабилизации — использовании линейного приближения к устойчивому многообразию. Поэтому перспективным направлением по их преодолению является развитие методов точного и эффективного проектирования на устойчивое многообразие. В настоящее время успешные работы в этом направлении уже ведутся: см. [30], [15], [17], [21] [18].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Иванчиков, Андрей Александрович, 2008 год

1. Иванчиков А. А. Численное решение некоторых спектральных задач для уравнений Стокса. // Вычисл. методы и программ., 2003, Т.4, No.2, 58-74.

2. Иванчиков А.А., Чижонков Е.В. Стабилизация решений уравнений Стокса и Навье - Стокса за счет граничных условий. // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского, 2004, Т.25, 128-129.

3. Иванчиков А.А. Исследование спектральной задачи, связанной с устойчивостью течения Куэтта между вращающимися цилиндрами. // Материалы шестого Всероссийского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения", 2004, 102-106.

4. Chizhonkov E.V., Ivanchikov A.A. On numerical stabilization of solutions of Stokes and Navier - Stokes equations by the boundary conditions. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 2004, Vol.19, No.6, P.477-494.

5. Иванчиков A.A. Исследование спектральной задачи, связанной с устойчивостью течения Куэтта между вращающимися цилиндрами. // Вычисл. методы и программ., 2005, Т.б, No.2, 55-70.

6. Иванчиков А.А. О численной стабилизации неустойчивого течения Куэтта по граничным условиям. // International Conference "Mathematical Hydrodynamics" Abstracts, 2006, C.92-93.

7. Ivanchikov A.A. On numerical stabilization of unstable Couette flow by the boundary conditions. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 2006, Vol.21, No.6, P.519-537.

8. Иванчиков A.A. О численной стабилизации неустойчивых решений уравнений Навье - Стокса с границы области. // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2007, No.6, 26-30.