Численно-аналитические методы оптимизации формы крыловых профилей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Илюхин, Алексей Эрикович

• Илюхин, Алексей Эрикович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Илюхин, Алексей Эрикович

Аббревиатуры, основные обозначения t Введение

1 Математические модели течений, постановки краевых задач и вспомогательные результаты

1.1 Крыловой профиль в стационарном потоке жидкости или газа

1.1.1 Модель идеальной несжимаемой жидкости. Постановки краевых задач.

1.1.2 Дозвуковое течение газа. Модель Чаплыгина . 35 к 1.1.3 Безотрывное обтекание профиля вязким потоком

1.2 Основные обратная и вариационная обратная краевые задачи аэрогидродинамики

1.2.1 Основная ОКЗА: условия разрешимости и квазирешения

1.2.2 Основная вариационная ОКЗА: оптимизируемые функционалы и множество допустимых решений

2 Непустота множества корректности и квазирешения с ограничением максимума скорости

2.1 Об однозначной разрешимости оптимизационных задач

2.1.1 Постановка оптимизационных задач.

2.1.2 Конечномерная аппроксимация.

2.2 Непустота множества допустимых функций.

2.2.1 Решение эквивалентной задачи.

2.2.2 Итерационные алгоритмы.

2.2.3 Анализ результатов вычислительных экспериментов

2.3 Вариационные методы в задаче о квазирешениях

2.3.1 Функции Лагранжа и двойственные задачи.

2.4 Итерационные алгоритмы.

2.5 Примеры построения квазирешений.

Численно-аналитические методы решения вариационных ОКЗА

3.1 Основная вариационная ОКЗА.

3.1.1 Эквивалентная задача.

3.1.2 Конечномерная аппроксимация и функция Лагранжа

3.2 Численная оптимизация.

3.2.1 Итерационные алгоритмы.

3.2.2 Анализ результатов вычислительных экспериментов

3.3 Максимизация аэродинамического качества.

3.3.1 Свойства оптимизируемого функционала. Точные оценки.

3.3.2 Крыловые профили с повышенным аэродинамическим качеством.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численно-аналитические методы оптимизации формы крыловых профилей»

Основным объектом исследований в настоящей диссертации являются вариационные обратные краевые задачи аэрогидродинамики (ОКЗА) — в работе развиты и практически реализованы численно-аналитические методы решения трех классов названных задач.

Первый класс составляют задачи построения квазирешений ОКЗА, учитывающих ряд физических ограничений. Последние не только связаны с обеспечением соответствия решения обратной задачи выбранной математической модели течения жидкости и газа (замкнутость контура искомого крылового профиля, совпадение получаемой величины скорости потока на бесконечности с заданным значением), но и учитывают такие свойства течения, как ограниченность максимальной величины скорости на контуре заданным значением и отсутствие отрыва потока.

Второй класс задач — это основная вариационная ОКЗА, решаемая в рамках модели идеальной несжимаемой жидкости (ИНЖ) или модели Чаплыгина дозвукового адиабатического течения газа. В этих задачах речь идет о нахождении формы крыловых профилей, обеспечивающей максимальное значение коэффициента подъемной силы при дополнительных ограничениях (в частности, при ограничении максимального значения скорости заданной величиной).

Третий класс задач — это вариационные ОКЗА, связанные с максимизацией аэродинамического качества и решаемые в приближении теории пограничного слоя и в предположении безотрывности обтекания.

Все три названных класса задач являются подмножествами класса вариационных обратных краевых задач (ОКЗ).

Как известно (например, [17]), прямыми называют краевые задачи, в которых требуется найти функцию или систему функций, удовлетворяющих в заданной области некоторому дифференциальному уравнению в частных производных или системе таких уравнений, а на границе области — заданным условиям. В отличие от прямых задач в обратных краевых задачах (ОКЗ) граница области (или отдельные ее участки) и функция (решение дифференциального уравнения) отыскиваются по двум краевым условиям на искомой границе. Поэтому ОКЗ составляют часть обширного класса краевых задач с неизвестными границами.

Следуя [28], [29] (см. также [33]), используем термин "вариационные обратные краевые задачи" для обозначения такого класса двумерных (плоских) краевых задач с неизвестными границами, в которых искомыми являются как решение дифференциального уравнения в частных производных, так и сама область его определения, причем последняя обладает некоторым экстремальным свойством, а на ее границе задается одно краевое условие (как в прямых задачах). Экстремальное свойство искомой области выражается в виде требования максимизации (минимизации) заданного функционала (обычно при дополнительных ограничениях), причем этот функционал выражает некое экстремальное свойство как искомой области, так и искомой функции. При этом сама граница (или только некоторая ее часть) остается искомым элементом решения. Поэтому такие задачи примыкают, с одной стороны, к краевым задачам с неизвестными границами. С другой стороны, по самой своей постановке названные задачи относятся как к задачам оптимального проектирования (например, [108], [116]), так и к задачам оптимизации систем с распределенными параметрами (см. [74]). Исследования вариационных ОКЗ (в том числе и вариационных ОКЗА), проведенные в [1], [2], [7] -[10], [28], [29], [39], [40], [42] - [47], [91] - [93] (см. также [33], [95], [34]), показали, что применение методов теории ОКЗ [12], [82] позволяет свести их к задачам классического вариационного исчисления. При этом наличие или отсутствие дополнительных ограничений существенно влияет на картину разрешимости задач. Естественным источником вариационных

ОКЗ являются теории, связанные с моделированием природных явлений (например, течений жидкости или газа). Одной из них является классическая аэрогидродинамика, а получающиеся при этом вариационные ОКЗА в смысле практических приложений имеют прямое отношение к проблемам оптимального проектирования инженерных объектов.

Основные заслуги в создании теории ОКЗ как раздела математического анализа и математической физики принадлежат известным казанским математикам и механикам Г. Г. Тумашеву, М. Т. Нужину, Ф. Д. Гахову, С. Н. Андрианову, а также JI. А. Аксентьеву, В. Н. Монахову, Р. Б. Са-лимову и М. И. Хайкину. Основные направления приложений методов этой теории в механике сплошных сред разработаны Г. Г. Тумашевым, М. Т. Нужиным, Н. Б. Ильинским, О. М. Киселевым, В. В. Клоковым, Р. Б. Салимовым и другими.

Исследования теоретического и прикладного характера по ОКЗ и история развития этой теории, охватывающая более семидесяти лет, отражены в ряде монографий и обзорных статей (см. [5], [6], [12], [17], [32], [33], [34], [50], [62], [65], [67], [71], [75], [82], [94], [95], [104], [111], [ИЗ], [115], [118], [119], [120]).

Обратные краевые задачи аэрогидродинамики, с одной стороны, послужили отправной точкой в создании общей теории обратных краевых задач (раздел которой они и составляют), и, с другой стороны, изучались самостоятельно в силу их специфичности и широких практических приложений. Отличительной особенностью ОКЗА, как и ОКЗ, является их конструктивный характер, так как речь идет не об изучении свойств известного объекта, а о создании инженерных аэродинамических объектов с заранее заданными свойствами. ОКЗА образуют широкий класс задач, для решения которых необходимы специальные подходы и изучению которых посвящены к настоящему времени сотни работ.

Первые постановки ОКЗА дали Вейниг [125], [126], Бетц [89] и Манглер [115], а затем Г. Г. Тумашев (см. [80], [81]). Вскоре описания этих постановок вошли в монографии по аэродинамике Бетца [90] и Прандт-ля [117], ставшие сегодня классическими и широко известными. Одновременно Глауэртом, Эпплером, Лайтхиллом, Г. Ю. Степановым, а несколько позднее Вортманном, Либеком и другими (см.- [96] - [103], [128], [129] и библиографию в [33], [75], [95], [104]) были начаты работы по практическому проектированию профилей и их решеток на основе решения ОКЗА. В этом направлении были достигнуты существенные результаты, на * базе которых впоследствии развились методы проектирования ламинарных профилей (работы Эпплера и Вортманна), гидропрофилей (статьи Эпплера и Шена), лопаток турбомашин (исследования Г. Ю. Степанова), высоконесущих профилей (работы Смита и Либека). Эти достижения продемонстрировали целый ряд преимуществ подхода при проектировании, базирующегося на решении обратной задачи, и поставили его в один ряд с классическими методами, основанными на решении прямой задачи.

Основополагающие теоретические результаты по ОКЗА получили Вейниг, Бетц, Манглер, Л. А. Симонов, Г. Г. Тумашев, Лайтхилл, В. М. Шурыгин, Вудс, Г. Ю. Степанов, М. Т. Нужин, Эпплер, Ворт-манн, Либек и многие другие ученые. Среди отечественных исследователей значительное количество работ выполнено учеными ЦАГИ им. Н. Е. Жуковского и Казанского университета. Такие важные теоретические вопросы, как корректность постановок задач, описание возможных решений и другие, были исследованы с 1980-х годов, их результаты отражены в монографиях [33], [34], [95]. Анализ выполненных работ позволил выявить общие тенденции развития теории и приложений ОКЗА, 1 подробно изложенные в [32], [33], [95], [34].

Вариационные ОКЗА реализуют один из подходов к оптимизации аэродинамических форм и в двумерном случае заключаются в построении профилей, обладающих оптимизированными характеристиками (максимальным коэффициентом подъемной силой или аэродинамическим качеством, минимальным коэффициентом сопротивлением и др.). В случае течения ИНЖ или дозвукового течения газа они сводятся к вариационным ОКЗ для аналитических функций.

Названные выше исследования по ОКЗ и ОКЗА внесли существенный вклад в развитие теории плоско-параллельных течений жидкости (прежде всего, идеальной и несжимаемой) или газа (как правило, при дозвуковых скоростях). \ Теория плоско-параллельных течений идеальной несжимаемой жидкости — наиболее развитый раздел современной гидромеханики. Основополагающие результаты современной теории плоских задач гидромеханики идеальной жидкости изложены во многих учебниках и монографиях (см., например, [24], [25], [64], [72], [73], [106]). Большинство задач гидродинамики существенно нелинейно, и точное аналитическое решение является здесь скорее исключением, чем правилом. Поэтому важное значение имеют вопросы существования и единственности решения соответствующих краевых задач. При исследовании ОКЗ и ОКЗА в этом направлении достигнуты впечатляющие результаты благодаря применению методов теории функций и функционального анализа.

Многочисленные исследования по ОКЗ, выполненные за прошедшие годы (см. обзоры [6], [12] и монографию [82]), показали, что некоторые из ОКЗ некорректны по Адамару. Однако иногда условия разрешимости этих задач удается выразить в явном виде и при их выполнении обосновать существование единственного и устойчивого решения. Сказанное относится, прежде всего, к внешним ОКЗ в постановке М. Т. Нужина (ис-* комая область содержит бесконечно-удаленную точку, причем значение искомой функции в бесконечности задано заранее) и, соответственно, к ОКЗА, которые сводятся к названным выше внешним ОКЗ. Некорректность этих задач проявляется в том, что имеются условия разрешимости, записываемые в явном виде (но не через исходные данные задачи), которые могут не выполняться. Следовательно, получаемое в аналитической форме единственное решение ОКЗ не попадает в множество допустимых решений. Поэтому для "спасения" задачи необходимо применить какой-либо метод регуляризации. Соответствующие подходы разработаны в хорошо развитой теории некорректных задач (см., например, [78]). Один из них связан с введением понятия квазирешения задачи и развитием методов построения квазирешений с обоснованием выполнения требований корректности.

Под квазирешениями некорректной задачи В. К. Иванов [48] предложил понимать всякие элементы множества U допустимых решений (множества корректности), реализующие расстояние от элемента, характеризующего решение и определенного по начальным данным задачи, до множества U. Вопрос о нахождении квазирешений ОКЗ поставили JI. А. Аксентьев и JI. Н. Журбенко [11]. Впервые определение квазирешения внешней ОКЗ, реализующее подход В. К. Иванова, дано в работе [27]. Там же доказаны теоремы существования, единственности и устойчивости квазирешений. Названный подход был перенесен на ОКЗА в [30], [31], [94] и ряде последующих работ. Теория квазирешений ОКЗА подробно изложена в монографиях [33], [95]. Там же описаны случаи, когда квазирешения могут быть построены в аналитическом виде. Квазирешения, учитывающие ограничение на максимум скорости, исследованы в недавних работах [37], [38], [41]. Ряд новых результатов в этом направлении получен в настоящей диссертации. Для них характерно, что построить квазирешения в явном виде не удается, и поэтому необходимо было разработать ряд численно-аналитических методов построения квазирешений, реализовать их численно, провести вычислительные эксперименты и проанализировать полученные в них результаты.

Далее, в диссертации численно-аналитические методы построения квазирешений ОКЗА обобщены на случай решения основной вариационной ОКЗА.

Среди множества возможных постановок вариационных ОКЗА в [29] выделена постановка (названная основной), которая содержит изопе-риметрическое условие (задание периметра контура профиля) и единственное дополнительное ограничение на значение скорости на контуре (maxi;(s) < vmax)- В рамках модели ИНЖ точное решение этой задачи при достаточно больших значениях vmax получено в [29], [45], [46]. Это решение дает экстремальное значение подъемной силы как максимизируемой характеристики и, следовательно, точную оценку подъемной силы при учете дополнительных ограничений.

Наряду с точными решениями вариационных ОКЗА, особенно в тех случаях, когда точное решение еще не найдено, важным является развитие численных методов решения названных задач. Отметим, что в этом направлении ранее был выполнен целый ряд исследований (см., например, [42], [43], [44], [47]), в том числе работы последнего времени (см. [39], [40], [53], [93]). Численные результаты по построению решений различных вариационных ОКЗА, полученные в настоящей диссертации, сравнивались с упомянутыми выше точными и численными решениями и, в частности, с данными диссертационной работы [53].

Кратко охарактеризуем содержание настоящей диссертации. Она состоит из введения, трех глав, содержащих 10 параграфов, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Илюхин, Алексей Эрикович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации развит метод квазирешений обратных краевых задач аэрогидродинамики и реализован один из подходов к аэродинамической оптимизации формы крыловых профилей, основанный на решении вариационных ОКЗА.

Исследован вопрос о непустоте допустимого множества управляющих функций (множества корректности) в задаче о квазирешениях основной ОКЗА и в основной вариационной ОКЗА.

Развиты и численно реализованы методы построения квазирешений основной ОКЗА для крыловых профилей, обтекаемых безграничным потоком ИНЖ или дозвуковым потоком газа, при ограничении на максимум скорости на их контуре.

Разработаны алгоритмы численной оптимизации и представлены результаты вычислительных экспериментов при нахождении в безграничном потоке формы крыловых профилей, имеющих максимальное значение коэффициента подъемной силы или аэродинамического качества.

Сделаны выводы о влиянии исходных физических параметров на аэродинамические и геометрические характеристики оптимальных форм, сформированные на основе анализа вычислительных экспериментов.

Все рассмотренные задачи и использованные при этом методы снабжены числовыми расчетами, представленными в виде графиков, таблиц и рисунков.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Илюхин, Алексей Эрикович, 2006 год

1. Абзалилов Д. Ф., Ильинский Н. Б. Об одной экстремальной задаче обтекания потоком идеальной несжимаемой жидкости гладкого контура со стоком//Докл. АН России. - 1997. - Т. 354. 1. -С. 43-46.

2. Абзалилов Д. Ф., Ильинский Н. Б., Марданов Р. Ф. Задача максимизации циркуляции скорости при обтекании гладкого контура с источниками и стоками//Журнал вычисл. матем. и матем. физ. -2000. Т. 40. - № 1. - С. 82-98.

3. Авхадиев Ф. Г. Оценки в классе Зигмунда й их применение к краевым задачам//Докл. АН СССР. 1989. - Т. 307. - № 6. - С. 12891292.

4. Авхадиев Ф. Г. Однолистные решения обратных краевых задач гидроаэромеханики//Тр. семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1990. - Вып. 24. - С. 3-14.

5. Авхадиев Ф. Г., Аксентьев Л. А. Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций//Успехи мат. наук. 1975. - Т. 30. - № 4. - С. 3-60.

6. Авхадиев Ф. Г., Аксентьев Л. А., Елизаров А. М. Достаточные условия конечнолистности аналитических функций и их приложения//Итоги науки и техники. Матем. анализ. М.: ВИНИТИ, 1987.- Т. 25. С. 3-121.

7. Авхадиев Ф. Г., Елизаров А. М. Оценки критического числа Маха для некоторых классов несущих крыловых профи-лей//Моделирование в механике. 1992. - Т. 6. - № 3. - С. 5-13.

8. Авхадиев Ф. Г., Елизаров А. М. Точные оценки решения одной вариационной обратной краевой задачи в счетносвязных обла-стях//Изв. вузов. Матем. 1996. - № 3. - С. 3-13.

9. Авхадиев Ф. Г., Елизаров А. М., Фокин Д. А. Максимизация критического числа Маха для несущих крыловых профилей//Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1992. - № 3. - С. 155-162.

10. Аксентъев Л. А. Об однолистной разрешимости обратных краевых задач//Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1973. - Вып. 10. - С. 11-24; 1974. - Вып. 11. - С. 9-18.

11. Аксентъев Л. А., Журбенко Л. Н. Вопросы корректности в обратных краевых задачах. Тр. семинара по краевым задачам. -Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1979. - Вып. 16. - С. 15-28.

12. Аксентъев Л. А., Ильинский Н. Б., Нуэюин М. Т., Салимое Р. Б., Тумашев Г. Г. Теория обратных краевых задач для аналитических функций и ее приложения//Итоги науки и техники. Матем. анализ.- М.: ВИНИТИ, 1980. Т. 18. - С. 67-124.

13. Аоки М. Введение в методы оптимизации. М.: Наука, 1977. - 344 с.к 14. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. М.: Радио и связь, 1987. - 400 с.

14. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: ИИЛ, 1961. - 208 с.

15. Биркгоф Г., Сараптонелло Э. Струи, следы и каверны. М.: Мир, 1964. - 466 с.

16. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. - 640 с.

17. Гловииский Р., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979. - 576 с.

18. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965. - 628 с.

19. Гонор А. Л., Черный Г. Г. Поперечный контур тела минимального волнового сопротивления//В кн. Теория оптимальных аэродинамических форм (под ред. А. Миеле). М.: Мир, 1969. - С. 292-305.

20. Гонор А. Л., Крайко А. Н. Некоторые результаты исследования оптимальных форм при сверх- и гиперзвуковых скоростях//В кн. Теория оптимальных аэродинамических форм (Под ред. А. Миеле). М.: Мир, 1969. - С. 456-492.

21. Гонор А. Л., Черный Г. Г. Форма нетонких тел минимального волнового сопротивления//В кн. Теория оптимальных аэродинамических форм (под ред. А. Миеле). М.: Мир, 1969. - С. 379-395.

22. Градштейн И. С., Рыоюик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Изд. 4-е, перераб. М.: Физматгиз, 1962. - 1100 с.

23. Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости. М.: ГИФМЛ, 1961. - 495 с.

24. Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости, 2-е изд. М.: Наука, 1979. - 536 с.

25. Домбровекий Г. А. Метод аппроксимации адиабаты в теории плоских течений газа. М.: Наука, 1964. - 158 с.

26. Елизаров А. М. О квазирешениях внешней обратной краевой зада-чи//Изв. вузов. Матем. 1984. - № 10. - С. 42-50.

27. Елизаров А. М. Некоторые экстремальные задачи теории кры-ла//Изв. вузов. Матем. 1988. - № 10. - С. 71-74.

28. Елизаров А. М., Ильинский Н. В. Метод квазирешений в обратной краевой задаче гидроаэродинамики//Изв. вузов. Матем. 1984. -№ 10. - С. 50-59.

29. Елизаров А. М., Ильинский Н. Б., Поташев А. В. Квазирешения обратной краевой задачи гидроаэродинамики //Докл. АН СССР. -1985. Т. 284. - № 2. - С. 319-322.

30. Елизаров А. М., Ильинский Н. Б., Поташев А. В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики//Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ, 1989. - Т. 23. - С. 3-115.

31. Елизаров А. М., Ильинский Н. Б., Поташев А. В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики: теория и методы проектирования и оптимизации формы крыловых профилей. М.: Физматлит, 1994. - 436 с.

32. Елизаров А. М., Ильинский Н. Б., Поташев А. В., Степанов Г. Ю. Основные методы, результаты, приложения и нерешенные проблемы теории обратных краевых задач аэрогидродинамики. Казань:

33. Изд-во "ДАС", 2001. 225 с. (Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Т. 10).

34. Казан, матем. об-ва, 2003. С. 100 - 101.

35. Елизаров А. М., Илюхин А. Э., Лапин А. В. Численное решение * некоторых вариационных обратных краевых задач аэрогидродинамики // Изв. вузов. Авиационная техника. 2005. - № 1. - С. 28-33.

36. Елизаров А. М., Ихсанова А. И., Фокин Д. А. Численная оптимизация формы крыла экраноплана методами теории вариационныхобратных краевых задач // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. - Т. 8. - № 1. - С. 165-167.

37. Елизаров А. М., Ихсанова А. Н., Фокин Д. А. Оптимальное аэродинамическое проектирование крыловых профилей при ограничении на максимум скорости// Изв. вузов. Авиац. техника. 2004. - № 3.- С. 32-36.

38. Елизаров А. М., Лапин А. В. Применение вариационных методов в обратных краевых задачах для аналитических функций// Изв. вузов. Математика. 2004. - № 7. - С. 30-46.I

39. Елизаров А. М., Федоров Е. В. Оптимизация аэродинамических форм методом обратных краевых задач//Прикл. мат. и мех. 1990.- Т. 54. № 4. - С. 571-580.

40. Елизаров А. М., Федоров Е. В. Решение вариационных обратных краевых задач аэрогидродинамики методами численной оптимизации/ /Журнал прикладной мех. и техн. физ. 1993. - № 2. - С. 7380.

41. Елизаров А. М., Федоров Е. В., Фокин Д. А. Вариационные обратные краевые задачи аэрогидродинамики для дозвукового течения газа//Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1993. - Т. 33. - № 6.- С. 958-968.

42. Елизаров А. М., Фокин Д. А. Точные решения основной вариационной обратной краевой задачи аэрогидродинамики// Докл. АН России. 2004. - Т. 399. - № 2. - С. 192-198.

43. Елизаров А. М., Фокин Д. А. Точные решения некоторых задач аэродинамической оптимизации// Прикл. мат. и мех. 2005. - Т. 69.- Вып. 5. С. 742-758.

44. Зубов В. И. К вопросу об оптимальном профиле крыла в потоке идеальной несжимаемой жидкости//Журнал вычисл. матем. и ма-тем. физ. 1980. - Т. 20. - № 1. - С. 241-245.

45. Иванов В. КВасин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задачи и ее приложения. М.: Наука, 1978. - 206 с.

46. Ильинский А. И., Ильинский Н. ВПоляков Д. В., Поташев А. В., Степанов Г. Ю. Уточнение критерия отрыва турбулентного пограничного слоя с использованием эмпирических данных// Препринт № 98-2. Казань, 1998. - 62 с.

47. Ильинский Н. В., Поташев А. В. Краевые задачи теории взрыва. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1986. - 180 с.

48. Илюхин А. Э. Численные и точные решения некоторых задач аэродинамической оптимизации// Материалы VI Всероссийского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения" Казань: Изд-во Казан, ун-та, 2005. - С. 106-109.

49. Иоффе Ф. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. - 480 с.

50. Ихсанова А. И. Численно-аналитические методы решения вариационных обратных краевых задач аэрогидродинамики. Дис. . канд. физ.-мат. н. Казань, 2004, 111 с.

51. Канторович JI. В., Крылов В. И. Приближённые методы высшего анализа. M.-JL: Физматгиз, 1962 - 708 с.

52. Каханер Д., Моулер К., Иэш С. Численные методы и математическое обеспечение. М.: Мир, 1998. - 575 с.

53. Колмогоров А. И., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. - 496 с.

54. Крайко А. Н. Вариационные задачи газовой динамики. М.: Наука, 1979. - 447 с.

55. Крайко А. Н., Пудовиков Д. Е., Якунина Г. Е. Теория аэродинамических форм, близких к оптимальным. М.: Янус-К, 2001. - 132 с.

56. Лаврентьев М. А. Об одной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана//Тр. ЦАГИ. 1934. - Вып. 155. - 41 с.

57. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. - 736 с.

58. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. -840 с.

59. Маклаков Д. В. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений со свободными границами. М:: Янус-К, 1997. - 281 с.

60. Маклаков Д. В., Елизаров А. М., Шарипов Р. Р. Препятствия наибольшего сопротивления в дозвуковом потоке газа. — Препринт-06/1. Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва, 2006. - 48 с.

61. Милн-Томпсон Л. М. Теоретическая гидродинамика. М.: Мир, 1964. - 655 с.

62. Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977. - 421 с.

63. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. - 511 с.

64. Нужи?1 М. Т., Ильинский Н. Б. Методы построения подземного контура гидротехнических сооружений. Обратные краевые задачи теории фильтрации. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1963. - 139 с.

65. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. М.: ГИТТЛ, 1950. - 336 с.

66. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. - 800 с.

67. Прудников А. П., Брычков Ю. АМаричев О. И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. Т. 3. М: Наука, 1986. - 800 с.

68. Салимое Р. Б. Некоторые основные задачи об изменении контуров теории аналитических функций и их приложения к механике жидкости. Казань: Изд-во Казан, высш. командно-инж. училища, 1970. - 364 с.

69. Седов JI. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1966. - 448 с.

70. Седов JI. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1980. - 448 с.

71. Сиразетдинов Т. К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977. - 480 с.

72. Степанов Г. Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. М.: Физ-матгиз, 1962. - 512 с.

73. Степанов Г. Ю. Об основных модельных представлениях механики жидкости и газа в теории крыла//Некоторые вопросы механ. сплош. среды. М.: Изд-во Московск. ун-та, 1978. - С. 5-28.

74. Теория оптимальных аэродинамических форм. Под ред. А. Миеле. М.: Мир, 1969. - 508 с.

75. Тихонов А. Н., Арсении В. Я. Методы решения некорректных задач, 2-е издание. М.: Наука, 1979. - 288 с.

76. Тумашев Г. Г. Нахождение формы профиля по заданному распределению скорости с учетом сжимаемости жидкости//Изв. Казан, физ.- мат. об-ва. 1945. - Т. 13. - Сер. 2. - С. 127-132.80