Численно-аналитические методы решения задач теплопроводности на основе ортогональных методов взвешенных невязок тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Антимонов, Максим Сергеевич

• Антимонов, Максим Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Антимонов, Максим Сергеевич

Введение

1. Обзор, исследование и анализ приближенных аналитических методов решения краевых задач

1.1. Метод Ритца

1.2. Метод Треффтца

1.3. Метод Л. В. Канторовича

1.4. Метод коллокаций

1.5. Метод Бубнова - Галеркина

2. Получение численно-аналитических решений задач теплопроводности на основе методов Л.В. Канторовича и Бубнова-Галеркина

2.1. Схема применения метода Л.В. Канторовича к решению нестационарных задач теплопроводности

2.2. Использование метода Л.В. Канторовича при несимметричных граничных условиях 3-го рода

2.3 Приближенные методы исследования теплопроводности в нерегулярном тепловом режиме

2.4. Схема применения метода Л.В.Канторовича к решению нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций

2.5. Применение локальных систем координат

2.6. Решение обратных задач теплопроводности применительно к снаряжению взрывчатых веществ с помощью пресс-инструмента

3. Задачи теплопроводности на основе определения фронта температурного возмущения

3.1. Бесконечно-протяженная пластина (граничные условия первого рода)

3.2. Цилиндр, шар (граничные условия первого рода)

3.3. Переменные во времени внутренние источники теплоты

3.4. Теплообмен при течении жидкости в плоскопараллельных каналах

3.5. Двумерные задачи теплопроводности с источником теплоты

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численно-аналитические методы решения задач теплопроводности на основе ортогональных методов взвешенных невязок»

Общая характеристика работы.

Актуальность проблемы

Известно, что решения задач теплопроводности, полученные с помощью классических аналитических методов, представляются в форме бесконечных рядов, плохо сходящихся в окрестностях граничных точек и при малых значениях временной координаты. Исследования, выполненные автором настоящей диссертации, показывают, что сходимость точного аналитического решения нестационарной задачи теплопроводности для бесконечной пластины при граничных условиях первого рода в диапазоне чисел Фурье 10~12 < Ро < 10~7 наблюдается лишь при использовании от 1000 ^о=10~7) до пятисот тысяч (^о = 10~12) членов ряда.

Эта проблема еще в большей степени характерна и для вариационных методов (Ритца, Треффца, Л. В. Канторовича и др.), а также методов взвешенных невязок (ортогональный метод Бубнова-Галеркина, метод моментов, коллокаций и др.). Эти методы получения решений нестационарных задач теплопроводности при малых значениях временной координаты практически неприменимы в виду того, что при большом числе приближений относительно неизвестных коэффициентов искомого решения получаются большие системы алгебраических линейных уравнений. Матрицы коэффициентов таких систем, являясь заполненными квадратными матрицами с большим разбросом коэффициентов по абсолютной величине, как правило, плохо обусловлены. В связи с чем, с увеличением числа приближений точность решения может не улучшаться, а ухудшаться.

К методам, позволяющим избежать указанные трудности, относятся интегральные методы теплового баланса. Однако их широкое применение сдерживается недостаточной точностью получаемых решений. Всякие попытки увеличения точности не приводили к существенным результатам.

В настоящей работе развивается метод, относящийся к группе интегральных методов теплового баланса, позволяющий получать аналитические решения краевых задач с заданной степенью точности во всем диапазоне времени нестационарного процесса 0 < /ч? < оо без каких-либо ограничений на величину числа Фурье в области его малых значений. Основная идея метода заключается в разделении процесса теплопроводности на две стадии по времени. Первая стадия включает отрезок времени, при котором фронт температурного возмущения, двигаясь от поверхности, достигает центра тела. Вторая стадия включает время последующего теплообмена вплоть до наступления стационарного режима.

Разделение процесса теплопроводности на два взаимосвязанных процесса позволяет существенно упростить последовательность получения решения задачи, т.к. в данном случае оказывается возможным применение метода аппроксимационного представления приближенного решения с определением любого числа его слагаемых. При определении неизвестных коэффициентов полинома возникает необходимость использования дополнительных граничных условий, физический смысл которых состоит в том, что их выполнение равносильно выполнению исходного дифференциального уравнения в граничных точках и на фронте температурного возмущения (т.е. внутри области). Причем, точность выполнения уравнения полностью определяется количеством дополнительных граничных условий, от которого, в свою очередь, зависит число членов аппроксимирующего полинома (число приближений).

При получении аналитических решений в настоящей работе удается избежать применения линейной суперпозиции частных решений с целью выполнения начального условия. Именно на этом этапе получения классического решения происходит его максимальное усложнение, приводящее к использованию бесчисленного числа членов ряда при нахождении решения при малых значениях числа Фурье. Представление исходной краевой задачи в виде двух взаимосвязанных процессов, рассматриваемых раздельно и связанных лишь условием сопряжения при Го = Рол ( где Ро1 - время окончания первой стадии процесса), позволяет избежать указанных трудностей при возможности получения решения практически с любой заданной степенью точности при использовании незначительного числа приближений (три-пять приближений).

В этой связи, тема диссертации, посвященная получению эффективных численно-аналитических решений краевых задач нестационарной теплопроводности на основе использования ортогональных методов Л. В. Канторовича и Бубнова-Галеркина, является актуальной.

Цель работы

Получение эффективных численно-аналитических решений краевых задач нестационарной теплопроводности на основе использования ортогональных методов Л. В. Канторовича и Бубнова-Галеркина, имеющих простой и удобный для инженерных приложений вид.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Развитие метода Л. В. Канторовича применительно к решению нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды.

2. Разработка общих принципов построения систем координатных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения при любом числе приближений.

3. Получение аналитических решений нестационарных задач теплопроводности на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий.

4. Разработка способа построения дополнительных граничных условий, позволяющих при незначительном числе приближений с высокой точностью получать аналитические решения во всем диапазоне изменения числа Фурье.

5. Разработка комплекса программ, реализующих методы нахождения численно-аналитических решений нестационарных задач теплопроводности на основе интегрального метода теплового баланса с привлечением дополнительных граничных условий и позволяющих для заданных краевой задачи и количества приближений получить решение в аналитической форме.

Методы исследований

В диссертации использованы следующие методы: ортогональные методы Л. В. Канторовича и Бубнова-Галеркина; интегральный метод теплового баланса; численные методы переменных направлений, расщепления и прогонки.

Научная новизна

1. Разработана методика получения аналитических решений нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды, а также с переменными во времени граничными условиями теплообмена.

2. Разработаны общие принципы построения систем координатных функций, в любом приближении точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения применительно к решению нестационарных контактных задач теплопроводности.

3. Разработаны новые подходы к получению численно-аналитических решений нестационарных задач теплопроводности на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий.

4. Разработаны основные направления получения дополнительных граничных условий применительно к решению задач теплопроводности с использованием интегральных методов теплового баланса.

5. Разработаны способы построения изотерм, движущихся по пространственной координате во времени, а также определены безразмерные скорости их движения.

Положения, выносимые на защиту

1. Результаты получения аналитических решений нестационарных контактных задач теплопроводности с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды и с переменными во времени граничными условиями теплообмена.

2. Результаты разработки принципов построения систем координатных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения, используемых для получения аналитических решений нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций.

3. Результаты разработки новых подходов к получению численно-аналитических решений нестационарных задач теплопроводности, основанных на введении фронта температурного возмущения, с использованием дополнительных граничных условий.

4. Результаты разработки общего направления получения дополнительных граничных условий, позволяющих получить высокоточные аналитические решения при использовании интегральных методов теплового баланса.

5. Результаты разработки способов построения изотерм и определения скоростей и ускорений их перемещения по пространственной координате во времени.

6. Результаты расчетов температурного состояния взрывчатого вещества в точке его касания со шнек-винтом в процессе снаряжения боеприпасов путем решения обратной задачи теплопроводности на основе использования полученных в диссертации аналитических решений.

Достоверность

Достоверность результатов работы подтверждается использованием математических моделей, адекватных реальным физическим процессам, протекающим в рассматриваемых устройствах, а также сравнениям результатов решений, полученных в диссертации, с решениями других авторов (в том числе и с точными аналитическими решениями, с результатами расчетов численными методами, с данными натурных экспериментов).

Практическая ценность работы

Представленная работа является обобщением теоретических и экспериментальных исследований, выполненных автором на кафедре «Теоретические основы теплотехники и гидромеханика» Самарского государственного технического университета. Исследования производились по планам госбюджетной тематики Минвуза РФ №551/02 «Разработка методов определения собственных значений в краевых задачах теплопроводности», а также по планам НИОКР ОАО «Самараэнерго» за 2004-2007г.г. Научные и практические результаты использованы на Самарской ТЭЦ, Безымянской ТЭЦ, Тольяттинской ТЭЦ, Самарской ГРЭС, Новокуйбышевской ТЭЦ-2, Самарских, Ульяновских, Тольяттинских и Саратовских тепловых сетях. Экономический эффект от внедрения, подтвержденный актами о внедрении, приведенными в положениях диссертации, составляет около 1 млн. рублей.

Апробация работы

Основные результаты работы были доложены и обсуждены на IV Российской научно-практической конференции «Повышение эффективности теплоэнергетического оборудования», Иваново, Ивановский государственный энергетический университет, 2005; Четвертой Российской национальной конференции по теплообмену, Москва, МЭИ, 2006; Тринадцатой

Международной научно-технической конференции студентов и аспирантов, Москва, МЭИ, 2007; Пятой Всероссийской научной конференции с международным участием, Самара, СамГТУ, 2008.

Публикации

По результатам выполненных исследований опубликовано 9 научных работ, в том числе 1 статья в издании из перечня ВАК.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов, списка используемой литературы, приложений. Работа изложена на 174 страницах основного машинописного текста, содержит 48 рисунков, 6 таблиц, 2 приложения, список используемой литературы включает 121 наименование.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Антимонов, Максим Сергеевич

Основные выводы и результаты работы

На основе использования ортогональных методов Л. В. Канторовича и Бубнова-Галеркина получены эффективные численно-аналитические решения краевых задач нестационарной теплопроводности, имеющие простой и удобный для инженерных приложений вид, в том числе:

1. На основе использования ортогонального метода Л. В. Канторовича получены численно-аналитические решения нестационарных контактных задач теплопроводности с переменными пределах каждого слоя физическими свойствами среды, а также с переменными во времени граничными условиями теплообмена и источниками теплоты. Решения, предоставляющие алгебраические полиномы с коэффициентами, экспоненциально стабилизирующимися во времени, имеют простой и удобный для инженерных приложений вид.

2. Применительно к решению нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций разработаны общие принципы построения систем координатных функций, в любом приближении точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения. В основе разработанной методики лежит ступенчатое построение координатных функций с использованием метода неопределенных коэффициентов. Особенно эффективным данный подход оказался при использовании локальных систем координат (различных для каждого отдельного слоя) ввиду того, что пространственная координата в каждом слое изменяется от нуля до безразмерной толщины /-го слоя.

3. Получены эффективные численно-аналитические решения нестационарных задач теплопроводности на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий. Благодаря разбиению процесса теплопроводности на два взаимосвязанных процесса были получены решения для всего диапазона времени изменения температуры без каких-либо ограничений на величину числа Фурье в области малых его значений. Такой подход позволяет получать достаточно простые по форме аналитические решения с любой заданной степенью точности. Так, для задачи тепловодности для бесконечно-протяженной пластины при граничных условиях первого рода уже в седьмом приближении значения температур в диапазоне чисел Фурье 5-10"9<Fo< Fo\ отличаются от точных их значений не более чем на 0,002%, а в четырнадцатом приближении - на 0,0004 %.

4. Получение высокоточных аналитических решений задач теплопроводности на основе введения фронта температурного возмущения оказалось возможным благодаря использованию дополнительных граничных условий, позволяющих увеличить степень аппроксимирующего алгебраического полинома. В диссертации предлагается способ построения дополнительных граничных условий для любого числа приближений.

5. Полученные на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий аналитические решения задачи теплообмена при ламинарном течении жидкости в плоскопараллельных каналах были использованы в компьютерных моделях теплосетей для расчета температурного состояния теплоносителя.

6. На основе использования полученных в диссертации приближенных аналитических решений путем решения обратной задачи теплопроводности найдена температура взрывчатого вещества в точке его касания со шнек-винтом в процессе снаряжения изделий. Было показано, что температура взрывчатого вещества в этой точке значительно (на 1/3) превышает температуру во всей его массе, которая ввиду низкого коэффициента теплопроводности материала незначительно изменяется в процессе шнекования. Полученные результаты были использованы для разработки безопасных по критерию воспламенения режимов шнекования.

7. На основе полученных в диссертации численно-аналитических решений задач теплопроводности разработан способ построения изотерм с последующим определением скоростей (и ускорений) их перемещения по пространственной координате во времени. Полученные результаты позволили заключить о том, что при граничных условиях первого рода (тепловой удар) начальные скорости движения изотерм при £ —> 0 и Го —> 0 устремляются к бесконечным значениям. К бесконечным значениям устремляется также скорости движения изотерм при их приближении к стенке, на которой выполняются условия отсутствия теплообмена.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Антимонов, Максим Сергеевич, 2008 год

1. Аверин Б.В., Колотилкин Д.И., Кудиное В.А. Задача Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами. ИФЖ, т. 73, №4, 2000. С.748-753.

2. Айзен A.M., Редчиц И.С. Расчет стационарной линейной теплопроводности через многослойные стенки с источниками тепла. Теплофизика и теплотехника. Ин-т Техн. Теплофизики АН УССР, 1974, Вып. 27. С. 133-138.

3. Айзен А. М., Редчиц И. С, Федоткин И. М. Инженерный метод расчета стационарной теплопроводности через многослойные стенки с источниками в случае неидеального теплового контакта//ТВТ. 1974. № 3. С. 675-680.

4. Акаев А., В., Дулънев Г. Н. К вопросу о повышении точности первых приближений вариационного метода JI. В. Канторовича в применении к краевым задачам стационарной теплороводности//Изв. АН СССР. Сер. Энергетика и транспорт. 1972. № 1. С. 154-158.

5. Алексидзе М. А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. М.: Наука, 1978. 351 с.

6. Тепловая теория воспламенения: Учеб. пособ./А. П. Амосов; Куйбыш. политехи., ин-т. Куйбышев, 1982. 94 с.

7. Алифанов О. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. 297 с.

8. Алифанов О. М., Балашова И. Е. Выбор приближенного решения обратной задачи теплопроводности//ИФЖ. 1985. Т. 48. № 5. С. 851-860.

9. Беликов В. И., Шаронова О. В., Бойко Г. П. Определение эффективного значения температуропроводности плоской сложной системы//Теплообмен и гидродинамика: Сб. науч. тр. Красноярск, 1981. С. 3543.

10. Беляев Н. М., Рядно А. А. Методы нестационарной теплопроводности. М.: Высш. школа, 1978. 328 с.

11. Био М. Варианционные принципы в теории теплообмена. М.: Энергия. 1975.

12. Беляев Н. М., Рядно А. А. Методы теории теплопроводности: Учеб. пособ. для вузов: В 2 ч. Ч. 2. М.: Высш. школа, 1982. 304 с.

13. Боли Б., Увйнер Дж. Теория температурных напряжений. М.: Мир, 1964. 517 с.

14. Инженерный расчет нагрева многослойной пластины при граничном условии 1-го рода/Л. А. Бровкин, Л. А. Гузов//Изв. вузов СССР. Сер. Энергетика. 1985. №. 9. С. 94-97.

15. Вегтик А.И. Приближенный расчет процессов теплопроводности. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1959. 184 с.

16. Теплопроводность многослойного плоского тела в стадии регулярного режима/Ю. В. Видин, Ю. А. Пшеничнов//Изв. АН СССР. Сер. Энергетика и транспорт. 1973. № 4. С. 148-151.

17. Внленский В. Д. Некоторые общие закономерности нестационарного теплообмена при ламинарном течении жидкости в канале//ТВТ. 1966. Т. 4. №5. С. 838—845.

18. Волынский Б. А., Бухман В. Е. Модели для решения краевых задач. М.: Физматгиз, 1960. 451 с.

19. Гудмен Т. Т. Применение интегральных методов в нелинейных задачах нестационарного теплообмена/Шроблемы теплообмена: Сб. тр. М.: Атомиздат, 1967. С. 41-96.

20. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и 7-преобразования. М.: Физматгиз, 1958. 286 с.

21. Дилигенский Н. В., Михеев Ю. В., Чертков Б. 3. Методы возмущений в задачах нестационарного нагрева тонких тел подвижными концентрированными источниками энергии/Теплофизика и оптимизациятепловых процессов: Сб. науч. тр. Вып. 3. Куйбышев, 1977. С. 11-16.

22. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. С. 10-90.

23. Диткин В. А., Прудников А. П. Операционное исчисление по двум переменным и его приложение. М.: Физматгиз, 1958. С. 30-80.

24. Елисеев В. Н. Обобщенное решение трехмерной задачи теплопроводности для тел с объемным поглощением лучистой энергии//Труды МВТУ. № 205. 1976. С. 5-43.

25. Елисеев В. Н., Петражицкый Б. Г. Процесс теплоотдачи в горизонтальном цилиндре, заполненном жидкостью, при косинусоидальном распределении температуры границы//Изв. вузов. Сер. Машиностроение. № 5. 1988.

26. Епифанов В. М., Ефремов Д. В., Антонов А. Н., Яновский Л. С. Создание теплообменников авиационных ГТД, использующих хладоресурс топлива//Тез. докл. XXXVII Всесоюз. науч.-техн. сессии АН СССР по проблемам газовых турбин. Николаев, 1990. С. 50-52.

27. Жук И. П. К расчету температурного поля в многослойной стен-ке//ИФЖ. 1962. № Ю. С. 100-103.

28. Зарубин В. С. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М.: Энергоатомиздат, 1983. 328 с.

29. Зарубин В. С., Осадчий Я. Г. Нестационарная теплопроводность в многослойной пластине//Изв. вузов СССР. Сер. Машиностроение. 1978. № З.С. 76-82.

30. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.541 с.

31. Камаев Ю. П., Дилигенский Н. В. Вычисление норм при оценке сингулярных приближений/Деплофизика и оптимизация тепловых процессов: Сб. науч. тр. Вып. 3. Куйбышев, 1977. С, 4-11.

32. Кайданов А. И. О выборе координатных функций при решениикраевых задач методом Галеркина//ИФЖ, 1970. Т. 18, № 2. С. 309-315.

33. Калиткин H. Н. Численные методы. М.: Наука. 1978.

34. Канторович Л. В. Использование идеи метода Галеркина в методе приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям//Прикл. мат. и мех. 1942. Т. 6, № 1. С. 31-40.

35. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. Л.: Физматгиз, 1962. 708 с.

36. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука 1964.488 с.

37. Карташов Э. М. Аналитические методы в теплопроводности твердых тел. М.: Высш. школа, 1985. 480 с.

38. Карташов Э. М. Аналитические методы решения краевых задач теплопроводности с разнородными граничными условиями на линиях: Обзор. Ч. 1//Изв. АН СССР. Сер. Энергетика и транспорт. 1986. № 5. С. 125-150.

39. Карташов Э. М. Аналитические методы решения смешанных граничных задач теории теплопроводности: Обзор. Ч. И//Изв. АН СССР. .Сер. Энергетика и транспорт. 1986. № 6. С. 116-129.

40. Карташов Э. М. Расчеты температурных полей в твёрдых телах на основе улучшенной сходимости рядов Фурье-Ханкеля: Обзор. Ч. Н//Изв. АН СССР, Сер. Энергетика и транспорт. 1993. № 3. С. 106-125.

41. Киреев В. И., Войновский А. С. Численное моделирование газодинамических течений. М.: МАИ. 1991. 391 с.

42. Численные методы решения задач математической физики: Учеб. пособ./В. И. Киреев. М.: МАИ, 1992. 52 с.

43. Коган М. Г. Нестационарная теплопроводность в слоистых средах//ЖТФ. 1957. 27, № 3. С. 522-531.

44. Коган М. Г. Решение нелинейных задач теории теплопроводности методом Канторовича//ИФЖ. 1967. Т. 12, № 1. С. 72-81.

45. Коган М. Г. Применение методов Галеркина и Канторовича втеории теплопроводности//Исследование нестационарного тепло- и массо-обмена: Сб. науч. тр. Минск: Наука и техника,. 1968. С 45-51.

46. Коздоба Л. А., Чарный Н. Д. Эквивалентность тепловых режимов и эффективные характеристики однородных и многослойных оболочек// Промышленная теплоэнергетика. 1984. Т 6.М2. С, 14-21.

47. Коздоба Л. А. Принцип эквивалентности в теории теплопроводности/ Тепломассообмен-VII. Т. 7. Минск: Ин-т тепло- и массообмена АН БССР, 1984. С. 34-39.

48. Коздоба Л. А. Вычислительная теплофизика, Киев: Наукова думка, 1992.224 с.

49. Кудинов В. А., Карташое Э. М., Калашников В. Аналитические решения задач тепло-массопереноса и термоупругости для многослойных конструкций.Учеб. пос. для вузов. М.: Высшая школа. 2005. 340 с.

50. Кудинов В. А., Аверин Б. В., Стефанюк Е. .В. Теплопроводность и термоупругость в многослойных конструкциях. Учеб. пос. для вузов. М.: Высшая школа. 2008.390 с.

51. Кудинов В. А., Метод координатных функций в нестационарых задачах теплопроводности. Изв. АН Энергетика (обзор). 2004. № 3. С. 82-104.

52. Кудинов В. А., Дикоп В. В., Назаренко С. А., Стефанюк Е. В. Об одном методе решения нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций. Инженерно-физический журнал. Т. 78. № 2.2005. С. 24-28.

53. Кудинов В. А., Аверин Б. В., Стефанюк Е. В., Назаренко С. А. Анализ нелинейной теплопроводности на основе определения фронта температурного возмущения. Теплофизика высоких температур. Т. 44. №.3.2006. С. 577-585.

54. Кудинов В. А., Аверин Б. В., Стефанюк Е. В. Аналитические решения задач теплопроводности с переменным начальным условием на основе определения фронта температурного возмущения. Инженерно-физический журнал. Т. 80, № 3.2007. С. 27-35.

55. Кудинов В. А., Стефанюк Е. В., Антимонов М. С. Аналитические решения задач теплообмена при течении жидкости в плоскопараллельных каналах нак основе определения фронта температурного возмущения. Инженерно-физический журнал. Т. 80, №5.2007. С. 176-186.

56. Кудинов В. А., Аверин Б. В., Стефанюк Е. В. Решения задач теплопроводности при переменных во времени граничных условиях на основе определения фронта температурного возмущения. Известия АН. Энергетика № 1. 2007. С. 55-68.

57. Кудршев Л. И., Меньших Н. Л. Приближенные решения нелинейных задач теплопроводности. М.: Машиностроение, 1979. 232 с.

58. Кулик М. М., Шаповалов Г. Е. Неустановившаяся теплопередача через многослойную плоскую пластину//Изв. АН СССР, Сер. Энергетика и автоматика. 1961. № 2. С. 72-77.

59. Колесников Л. М. Энергоперенос в неоднородных средах (математическая теория). Минск: Наука и техника. 1974. 302 с.

60. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М.: Высш. школа, 1967. 559с.

61. Лыков А. В., Михайлов Ю. А. Теория тепло- и массопереноса. М.: Госэнергоиздат, 1963. 535 с.

62. Мальков В. А., Фаворский О. Н., Леонтьев В.М. Контакный теплообмен в газотурбинных двигателях и энергоустановках. М.: Машиностроение, 1978. 144 с.

63. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. 536с.

64. Математическая теория горения и взрыва//Я. Б. Зельдович, Г. И. Бареяблатт, В. Б. Лнбрович, Г. М. Махвиладзе. М.: Наука, 1980. 478 с.

65. Мацееитый Ю.М., Мултановский А. В. Идентификация в задачах теплопроводности. Киев; Наукова думка, 1982. 237 с.

66. Мацееитый Ю. М., Цаканян О.С. Гибридные вычислительные системы для исследавания физических полей. Киев: Наукова думка, 1983. 295 с.

67. Меерович И. Г. Температурное поле в многослойных системах с переменными физическими свойствамй//ИФЖ. 1967. Т. 12, № 4. С. 484-490.

68. Мержанов А. Г., Дубовш}кгш Ф. И. Современное состояние теории теплового взрыва//Успехи химии. 1966. Т. 35, вып. 4. С. 656-682.

69. Мержанов А. Г., Аверин А. Э. Современное состояние тепловой теории зажигания. М., 1970. 64 с. (Препринт ин-та хим. физ. АН СССР).

70. Михлин С., Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 510 с.

71. Михлин С. Г., Смолиг(кий X. Я. Приближенные методы решения дифференциальных иинтегральных уравнений. М.: Наука, 1964. 383 с.

72. Минятов А., В. Нагревание бесконечного цилиндра, заключенного в оболочки//ИФЖ. 1960. 30, вып. 6. С. 611-615.

73. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно наставленных задач. М.: Наука. 1987. 240 с.

74. Мукоед Н. Я., Журавленко В. Я. Решение задач теплопроводности в многослойных средах методом суммарных представлений//Тепло-физика и теплотехника. Киев: Наукова думка, 1974. Вып. 26. С. 110-112.

75. Мучник Т. Ф., Рубашов И. В. Методы теории теплообмена. М.: Высш. школа, 1970. 288 с.

76. Петухов B.C. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении жидкости в трубах. М.: Энергия, 1967. 412 с.

77. Пехович А. К, Жидких В. М. Расчеты теплового режима твердых тел. JL: Энергия, 1976. 362 с.

78. Постное В. А., Хархурим И. Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. JL: Судостроение, 1974. 342 с.

79. Процессы горения в химической технологии и металлургии/ Под ред. А. Т. Мержанова. Черноголовка: ОИХФ АН СССР, 1975. 292 с.

80. Полежаев Ю. В., Юревич Ф. Б, Тепловая защита. М.: Энергия, 1976: 392 с.

81. Подстригач Я. С., Коляно Ю. М. Обобщенная термомеханнка. Киев: Наукова думка, 1975. 312 с.

82. Подстркгач Я. С.,Коляно Ю. М. Термоупругость тел при переменных коэффициентах теплоотдачи. Киев: Наукова думка, 1977.158 с.

83. Постолъник Ю. С. Метод осреднения функциональных поправок задачах теплопроводности//Тепло- и массоперенос. Т. 8. Минск, 1972. С 23-29.

84. Рвачев В. Л., Слесаренко А. П. Алгебрлогики и интегральные преобразования краевых задач. Киев: Наукова дудка, 1976. 287 с.

85. Рвачев В. Л., Слесаренко А. 77. Алгебрологэтеские и проекционные методы в задачах теплообмена. Киев: Наукова думка, 1978. 138 с.

86. Рапопорт Э. Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. М.: Металлургия, 1994. 277 с.

87. Резник С. В. Радиационно-кондуктивный теплообмен в крупногабаритных космических конструкциях//Тепломассообмен-ММФ-92: Матер. II Минск, междунар. форума. Минск: АНК ИТМО АНБ, 1992, Т. 2. С. 195-198.

88. Рутнер Я. Ф., Карташов Э. М. Решение одной обратной задачи Стефана//Теплофизика и оптимизация тепловых процессов: Сб. науч. тр. Куйбышев, 1977. С. 29- 33.

89. Рутнер Я. Ф., Хоролъский В. М. Температура от распределенных источников тепла//Новое в теории расчета и конструированиядеформирующего и формообразующего инструмента: Сб. науч. тр. Куйбышев, 1974. С. 15-20.

90. Ройзен Л. И. Приближенный метод исследования задач теплопроводности многослойных тел//Теплофизика высоких температур. 1981. Т. 19, №4. С. 821-831.

91. Самарский А. А., Тулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1979.430 с.

92. Смирнов В. И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1974, Т. 3, 4.2.672 с.

93. Саломатов В. В., Гончаров Э. И. К расчету теплопроводности при нестационарном коэффициенте теплообмена//Изв. АН СССР. Сер. Энергетика и транспорт. 1968. № 6. С. 154-159.

94. Спэрроу Е. М., Хаджи-Шейх А. Исследование нестационарного и стационарного процессов теплопроводности в телах произвольной формы с произвольно заданными начальными и граничными условиями//Теплопередача. 1968. №1. С. 109-115.

95. Самарин Ю. П., Клебанов Я. М. Обобщенные модели в теории ползучести конструкций. Самара: Поволж. отд. Инженерной академии РФ, Самарский гос. техн. ун-т, 1994. 197 с.

96. Темкин А. Г. Обратные методы теплопроводности. М.: Энергия, 1973. 464 с.

97. Приближенные методы решения задач теплопроводности: Учеб. пособ./А. В. Темников, В. И. Игонин, В. А. Кудинов; Куйбыш. политехи, ин-т. Куйбышев, 1982. 90 с.

98. Трухний А. Д. Расчет температур в лопатках турбин при импульсных режимах изменения температуры газа//Теплоэнергетика, 1972. № 2. С. 40-44.

99. Тихонов А. П., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. 724 с.

100. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркниа. М.: Мир, 1988.352 с.

101. Формалев В. Ф. О краевых условиях в сопряженных задачах пограничного слоя и теплопроводности в анизотропных телах//Математические методы механики жидкости и газа. Днепропетровск: ДГУ, 1985. С. 80.

102. Формалев В. Ф. Метод расщепления в задачах идентификации двумерных тепловых потоков в телах сложной формы//ИФЖ. 1983. Т. XLV.

103. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. 279 с.

104. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Численное решение систем алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969. С. 30-90.

105. Франс Д. М. Аналитическое решение задач о стационарной теплопроводности для тел неправильной формы//Теплопередача. 1968. № 1. С. 55-59.

106. Франк-Каменецкий Д. А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. 2-е изд. М.: Наука. 1967. 492 с.

107. Хохулин В. С. Метод исследования теплового режима конструкций сложной конфигурации//ИФЖ. 1975. Т. 29, № 1. С. 140-144.

108. Цой П. В. Методы решения отдельных задач тепломассопереноса. М.: Энергия, 1971.382 с.

109. Цой П. В. Методы расчета задач тепдомассопереноса. М.: Энергоатомиздат, 1984. 423 с.

110. Цирельман Н. М. Прямые и обратные задачи тепломассопереноса. Энергоатомиздат, 2005,392 с.

111. Шелудъко Г. А. Адаптивный метод определения вещественных корней алгебраических трансцендентных уравненнй//Журн. выч. мат. и мат. физ. 1970. 10, №4. С. 1016-1021.

112. Шиммел М. М., Бек; Доналдсон. Эффективный коэффициент теплопроводности многослойного композитного материала/Теплопередача. 1977. №3. С. 130-1136.

113. Швец M. Е. О приближенном решении некоторых задач гидродинамики пограничного слоя//Прикл. мат. и мех. 1949. Т. 13, № 3.

114. Яновский Л. С., Каменецкий Б. Я. Теплоотдача при вынужденном течении в обогреваемых трубах углеводородных топлив сверхкритического давления//ИФЖ. 1991. Т. 60, № 1. С. 45-50.

115. Яновский Л. С. Некоторые закономерности образования отложений на гладких и оребренных поверхностях нагрева, охлаждаемых органическими теплоносителями/Теплоэнергетака. 1991. № 3. С 59-60.

116. Яненко Я, Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск; Наука, 1987. 195 с.

117. FornbergB., Whitham G. В. Ргос. Roy. Soc. 1978. V. А289. P. 373-404.

118. Gottlieb D., Orszag S. A. Numerical analysis of spectral methods: theory and applications//SIAM. Philadelffa. 1977.

119. Shupp R. E., Helms H. E., Fadden P. W., Brown T. R. Evaluation of internal heat transfer coefficients for impingement cooled turbine airfoils//Journal of aircraft. 1969. Vol. 6, № 3. P. 203-208.