Численно-аналитические модели массивных элементов конструкций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор наук Ширунов Гурий Николаевич

• Ширунов Гурий Николаевич
• доктор наук
• 2019

Оглавление диссертации доктор наук Ширунов Гурий Николаевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ГЛАВА I. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1.1. Краткий обзор работ, посвящённых решению задач о равновесии параллелепипеда

1.1.1. Общие решения, однородные решения

1.1.2. Метод начальных функций

1.1.3. Вариационные методы

1.2. Цель диссертации

2. ГЛАВА II. ОСНОВНОЕ СООТНОШЕНИЕ МЕТОДА НАЧАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

2.1. МНФ для бесконечного слоя

2.1.1. Операторы МНФ по переменной г

2.1.2. Значения операторов МНФ по переменной г

2.2. Постановка и решение краевых задач ТУ с помощью МНФ

3. ГЛАВА III. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ НАЧАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

3.1. Точное решение задачи изгиба толстой плиты

3.2. Вычислительная устойчивость метода начальных функций в трёхмерной задаче теории упругости

3.2.1. Экспериментальное определение необходимой длины мантиссы для обеспечения устойчивых вычислений

3.2.2. Формула определения длины мантиссы для устойчивых расчётов

3.3. Задача о нагружении параллелепипеда локальной нагрузкой

3.3.1. Модель упругого основания под действием распределённой

нагрузки, действующей на локальном участке

3.3.2. Моделирование сосредоточенной силы

3.3.3. Многослойное основание при действии нагрузки на локальном участке

3.3.4. Модель дорожной одежды в виде многослойного основания под действием нормальной локальной нагрузки, распределённой по круглой площадке

4. ГЛАВА IV. ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАМЭ В МЕТОДЕ НАЧАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

4.1. Изгиб плиты под действием сил собственного веса

4.2. Изгиб многослойной плиты под действием сил собственного веса

4.3. Решение задачи об изгибе плиты силами собственного веса с добавлением слоя внешнего армирования

5. ГЛАВА V. СУПЕРПОЗИЦИЯ РЕШЕНИЙ МНФ

5.1. МНФ по переменным х и у

5.2. Общее решение как сумма решений МНФ

5.3. Граничные условия на гранях параллелепипеда через функции трёх решений МНФ

5.4. Граничные условия на гранях параллелепипеда через общее решение

5.5. Решение однородной задачи о нагружении параллелепипеда

5.5.1. Решение задачи изгиба плиты со всеми жёстко заделанными боковыми гранями

5.5.2. Решение задачи изгиба плиты с двумя жёстко заделанными боковыми гранями

5.5.3. Решение задачи изгиба плиты с тремя жёстко заделанными боковыми гранями

5.6. Решение неоднородной задачи о параллелепипеде под действием собственного веса

5.6.1. Решение задачи изгиба свободно опёртой плиты

5.6.2. Решение задачи изгиба плиты со всеми жёстко заделанными

боковыми гранями

5.7. Комплекс программ для исследования моделей массивных

элементов

6. ГЛАВА VI. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ МЕТОДОМ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ДЕКОМПОЗИЦИИ

6.1. Построение расчётной схемы

6.2. Сжатие двухслойного куба

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численно-аналитические модели массивных элементов конструкций»

ВВЕДЕНИЕ

Напряжённо-деформированное состояние (НДС) элементов конструкций является предметом актуальных исследований их работы под действием нагрузки. Усилия исследователей направлены на совершенствование математических моделей, описывающих поведение объектов, модернизации существующих и разработке новых методов расчёта, связанных с различными аспектами работы элементов при разнообразии форм и свойств материалов. Определение полной картины НДС массивных элементов, то есть тел, габаритные размеры которых имеют один порядок, требует использования трёхмерных моделей. Частный случай массивного элемента — параллелепипед является одной из самых распространённых форм объектов, использующихся в технике: шпонки в машиностроении, плиты, балки, колонны, тело фундамента — в строительной практике. В частности, локально нагруженный массив грунта, являющийся основанием, также может рассматриваться как некий параллелепипед с габаритами, значительно превосходящими область нагружения и служить моделью для исследования многослойной конструкции, например, автомобильных дорог. Для получения полной картины НДС расчёт подобных элементов производится, как правило, с использованием численных методов (метода конечных элементов, метода граничных элементов, метода сеток) поскольку число аналитических решений, в том числе и приближённых крайне ограниченно.

Предмет исследования. Работа посвящена разработке методов расчёта различных объектов, которые при известных упрощениях могут быть сведены к такому каноническому для теории упругости (ТУ) телу, как параллелепипед. Полученное в рамках линейной ТУ на основе развития метода начальных функций (МНФ) решение задачи о равновесии изотропного параллелепипеда позволило применить его в ряде расчётов НДС классических объектов строительной механики и, в частности, теории толстых плит, стенок, грунтового многослойного основания, дорожных конструкций. Разработанные методы

открывают широкую перспективу для исследования полей напряжений различных локальных участков массивных конструкций, имеющих форму параллелепипеда, с разнообразными силовыми и кинематическими граничными условиями (ГУ).

Актуальность темы. Задаче о равновесии нагруженного упругого параллелепипеда посвящено большое количество работ, но она остаётся актуальной по настоящее время, поскольку замкнутого решения до сих пор не получено. Существующие аналитические решения для трёхмерных задач ТУ не позволяют удовлетворять произвольным ГУ на гранях параллелепипеда.

Разработка аналитических методов для расчёта массивных элементов конструкций на основе уравнений ТУ с возможностью удовлетворения произвольным ГУ позволяет, во-первых, наиболее адекватно моделировать их работу, повышать точность расчётов и, следовательно, надёжность. Во-вторых, в отличие от широко распространённых численных методов, данный подход не требует построения расчётной сетки: элемент рассматривается целиком. При этом аналитические методы обладают тем существенным преимуществом, что позволяют исследовать компоненты НДС на экстремальные значения. В-третьих, результаты расчётов на основе аналитических методов могут выступать в качестве эталонов при верификации существующих и разрабатываемых численных подходов. В-четвёртых, их можно использовать для проверки приближённых теорий, основанных на различного рода допущениях о характере распределения НДС. Элементы конструкций, имеющие форму параллелепипеда, широко используются в машиностроении, гидротехнических сооружениях, сооружениях атомной промышленности, гражданском и дорожном строительстве. Отсутствие аналитических решений для произвольной схемы ГУ параллелепипеда определяет необходимость их разработки, представляет важную научную проблему и, следовательно, разработка аналитических методов является актуальной.

Цели и задачи диссертации

Целью работы является разработка и реализация численно-аналитических моделей на основе линейной теории упругости для расчёта компонентов НДС

массивных элементов из изотропного материала, имеющих форму параллелепипеда и конструкций, составленных из них.

Поставленная цель достигнута решением следующих задач:

1.Методом начальных функций на основе подхода Агарёва В.А. построено общее решение для изотропного бесконечного периодически нагруженного слоя.

2.Определена область устойчивых вычислений МНФ для трёхмерной задачи ТУ в декартовой системе координат.

3.Построено общее решение для параллелепипеда с произвольными ГУ суперпозицией трёх решений МНФ по трём пространственным координатам.

4.Разработан и реализован алгоритм метода аналитической декомпозиции (МАД) для расчёта элементов, состоящих из нескольких соприкасающихся параллелепипедов.

5.Разработан в системе символьных вычислений Maple комплекс программ "NASMSE" для решения прикладных и тестовых задач по определению НДС массивных элементов конструкций.

Научная новизна.

Новыми полученными результатами являются:

1.Построено общее решение метода начальных функций для пространственной задачи ТУ в декартовой системе координат на основе подхода Агарёва В.А., получены операторы МНФ и значения операторов на тригонометрическиъх функциях.

2.Исследована вычислительная устойчивость МНФ и построены таблицы для областей устойчивых вычислений.

3.Получена эмпирическая формула, определяющая необходимую длину мантиссы в представлении действительных чисел в зависимости от числа удерживаемых членов в рядах Фурье представления начальных функций и заданных геометрических параметров задачи.

4.На основе МНФ решены задачи статики оснований фундаментов и дорожных конструкций, в том числе и многослойных, под действием локальной сжимающей нагрузки.

5.Разработан методом суперпозиции трех решений МНФ алгоритм расчёта упругого параллелепипеда с произвольными ГУ, программа его реализации на основе комплекса символьных вычислений Maple и решены задачи изгиба толстых плит с различными закреплениями граней под действием нормальной распределённой нагрузки, в том числе и с учётом распределённых сил собственного веса.

6.Разработан алгоритм МАД в декартовой системе координат для расчёта конструкций, состоящих из нескольких соприкасающихся параллелепипедов.

Практическая значимость. Полученные в диссертации результаты расчёта строительных конструкций имеют практическую значимость:

1.С помощью разработанного комплекса программ "NASMSE" выполнены расчёты по определению НДС многослойного основания под действием нормального сжимающего напряжения, действующего на локальном участке, которые используются в качестве эталона при выборе сетки в конечно-элементных моделях.

2.С использованием разработанной программы "MIF_ROAD" проведена серия расчётов пакетов дорожных конструкций при различных формах грузовых площадок: квадрат, круг, прямоугольник. Полученные результаты решений использованы для определения поправочных коэффициентов компонентов НДС в инженерной методике расчёта многослойных дорожных конструкций, разработанной АО "Институтом "Стройпроект" и положенной в основу проекта отраслевого методического документа.

3.С помощью МНФ решена задача об изгибе толстой свободно опёртой плиты под действием распределённых сил собственного веса, что важно для учёта всех действующих напряжений при оценке прочности массивных элементов конструкций, работающих в условиях сложного напряжённого состояния.

4.Методом суперпозиции (МС) с использованием разработанного комплекса программ "NASMSE" решены задачи расчёта об изгибе толстых плит с различными вариантами закрепления боковых граней под действием распределённой нагрузки по верхней грани, в том числе и с учётом

распределённых сил собственного веса. Такого рода объекты являются частями конструкций гидротехнических сооружений, объектов атомной энергетики, гражданской обороны: фундаментные плиты, подпорные стены, перекрытия и покрытия, массивные балки-стенки.

5.Решены задача изгиба толстой многослойной плиты под действием сил собственного веса и задача об усилении слоем внешнего армирования толстой плиты, изгибаемой распределёнными силами собственного веса

6.На основе метода аналитической декомпозиции (МАД) решена задача нагружения двухслойного параллелепипеда, моделирующего элемент заделки технологического отверстия в несущей плоской конструкции покрытий и перекрытий массивных сооружений.

Методы исследования.

В работе применены: символический способ решения дифференциальных уравнений в частных производных Лурье А.И., подход Агарёва В.А. при получении основного соотношения МНФ для трёхмерной задачи ТУ, а также идеи суперпозиции Ламе для разработки алгоритма расчёта НДС параллелепипеда с произвольными ГУ.

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Замкнутые формы операторов МНФ для пространственной задачи ТУ, полученные на основе подхода Агарёва В.А. и их значения на тригонометрических функциях.

2. Определение области устойчивых вычислений алгоритмов численно-аналитических методов МНФ, МС и МАД.

3. Численно-аналитические методы расчёта НДС пространственных изотропных элементов конструкций в декартовой системе координат МНФ, МС и МАД.

4. Алгоритм расчёта толстых плит под действием распределённых сил собственного веса, в том числе многослойных.

5. Решение задачи усиления толстых плит слоями внешнего армирования с учётом сил собственного веса.

6. Комплекс программ NASMSE для моделирования массивных элементов конструкций.

Достоверность и обоснованность полученных результатов подтверждается корректным использованием математического аппарата и совпадением полученных результатов с результатами моделирования, основанными на других подходах и методах, в том числе численных.

ГЛАВА I. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1.1. Краткий обзор работ, посвящённых решению задач о равновесии параллелепипеда

Обеспечение прочности и жёсткости трёхмерных объектов строительной механики, для которых существенны все три геометрических параметра, основывается на решении пространственной задачи ТУ. Особая сложность заключается в удовлетворении ГУ на поверхностях тела с замкнутой границей.

Решению задач ТУ о нагружении объектов с открытой границей, таких, как бесконечный слой или полупространство, моделирующие упругое основание фундаментов или параллелепипед, являющийся моделью многих элементов строительных конструкций посвящено огромное количество работ. При этом только ограниченное число решений получено в замкнутом виде. Обширный материал по данной теме предствлен в обзорной статье Сусловой Н.Н. [117].

Параллелепипед — канонический объект рассмотрения многих задач механики и является по существу моделью очень многих нагруженных элементов: призматические шпонки в машиностроении, стержни прямоугольного сечения — балки и колонны, плиты и стенки различной относительной толщины, объёмные элементы фундаментов и их оснований. Поэтому решение задачи о нагруженном параллелепипеде с произвольными ГУ является важной задачей строительной механики, которая позволяет исследовать НДС очень многих элементов строительных конструкций с разнообразными видами закреплений.

Классическая задача о нагружении параллелепипеда, представленная в виде трёх уравнений относительно неизвестных функуций перемещений, сформулирована Ламе ещё в XIX веке [158], и им же была предложена схема решения на основе принципа суперпозиции, где полученные методом Фурье решения для трёх направлений складывались и задача сводилась к бесконечной системе алгебраических уравнений. Однако в замкнутом виде задача не решена.

1.1.1. Общие решения, однородные решения

Значительным вкладом в решение пространственной задачи ТУ явилось развитие метода общих решений. Усилия исследователей при построении общих решений были направлены на получение удобного инструмента, подобного функции Эйри для плоской задачи ТУ. Общее решение представляет собой системы аналитических выражений для функций перемещений и (х, у, z), v(x, у, z) и ^(х, у, z), где каждая из них определяется через несколько общих для всей системы произвольных гармонических или бигармонических функций переменных х, у и z. То есть вместо интегрирования связанной системы относительно трёх неизвестных функций и(х, у, z), v(x, у, z) и ^(х, у, z) задача сводится к решению гармонического или бигармонического уравнения относительно нескольких произвольных функций, в чём и заключается принципиальная сущность метода.

В 1870 году Максвелл и в 1892 г. Морери [72] получили простые по своей структуре формулы, в которых компоненты напряжений выражены через три произвольные гармонические функции напряжений. Общность решений Максвелла и Морера исследована Кузьминым Р.О. [66]. Данные формулы удовлетворяют только уравнениям равновесия и не приводят к существенным упрощениям в решении пространственной задачи ТУ. Однако, в дальнейшем эти формулы были использованы при решении задачи о нагружении призмы колоколообразной нагрузкой в рамках вариационного подхода Филоненко-Бородичем М.М. [124, 125, 126].

Центральными решениями метода являются представления Галёркина Б.Г. [26, 27], в которых искомые функции перемещений отыскиваются через три произвольные бигармонические функции и Папковича—Гродского [98, 100, 52], где неизвестные компоненты перемещений уравнений Ламе находятся через четыре произвольные гармонические функции. Предложенные Галёркиным Б.Г. и Папковичем П.Ф. общие решения для пространственной задачи ТУ были применены к исследованию широкого класса прикладных задач строительной механики. Решение задач для бесконечного упругого слоя содержатся в работах

[13, 24, 50, 76, 123, 129, 147]. На основании решения Папковича П.Ф. Галёркиным Б.Г. решены задачи о равновесии толстых плит прямоугольного, треугольного очертания, а также в виде кругового сегмента [28, 29, 30]. Исследованию общности решений Галёркина и Папковича посвящены работы Колосова Г.В. [60] и Тер-Мкртичьяна Л.Н. [118]. Общие решения Галёркина и Папковича Шапиро Г.С. выразил в произвольной системе криволинейных координат [130], а Гутман С.Г. нашёл общее решение в обобщённых цилиндрических координатах [53].

В исследованиях Слободянского М.Г. [107 — 113] получены общие решения, выраженные через различное количество гармонических или бигармонических функций. При этом в статье [113] получено законченное решение по методу решения в напряжениях.

Другой подход в теории толстых плит, которая явлется частным случаем параллелепипеда, рассматривался в решениях с более точным выполнением ГУ на боковых поверхностях, чем у Галёркина (удовлетворяются до уровня полимоментов). Однако, такой подход требует накладывать дополнительные ограничения на функции нагрузки на горизонтальных гранях плиты. Подобное решение было построено Гутманом С.Г. [54] для нагрузок, удовлетворяющих плоскостному гармоническому уравнению. В работе [12] Блох В.И. рассмотрел полигармоническое загружение плиты, а Деев В.М. использовал функцию нагрузки, подчиняющуюся полигармоническому уравнению типа Гельмгольца [55].

Значительный прогресс метода общих решений получен в работах Лурье А.И. [74, 75]. Им предложены общие решения анизотропной ТУ в перемещениях через три произвольные функции, подчиняющиеся уравнению шестого порядка, полученного при раскрытии определителя, составленного из дополнений матрицы коэффициентов системы уравнений Ламэ. Им же предложен метод символического интегрирования систем дифференциальных уравнений в частных производных, что позволяет понизить мерность задачи и получить точное удовлетворение ГУ на двух противоположных плоскостях тела.

Общие решения Галёркина и их аналоги были использованы в работах Гринченко В.Т. и Улитко А.Ф. [49], Байды Э.Н. [9] — для расчёта толстых плит различного очертания в плане. ГУ на боковых гранях учитывались в данных решениях приближённо.

Решения, позволяющие удовлетворять ГУ на всех поверхностях тела, строятся с помощью метода однородных решений, основополагающими работами в котором были работы Шиффа П.А. [166], Папковича П.Ф. [99] и Лурье А.И. [76, 77]. Основная идея метода заключается в построении решений для областей, которые имеют нулевые значения компонентов на части границы, совпадающей с координатной плоскостью, сложение соответствующих решений позволяет удовлетворять произвольным ГУ. Сложность заключается в отыскании соответствующих решений. Развитие метод однородных решений получил в работах Прокопова В.К. [103], Бухаринова Г.Н. [14], Александрова В.М. [4, 5].

Другим важным методом, позволяющем решать задачи с произвольными ГУ на всей внешней поверхности тела, является метод суперпозиции, указанный Ламе. Решение краевой задачи ищется в виде суммы решения для нескольких областей, для параллелепипеда — пересечение трёх взаимно перпендикулярных слоёв конечной толщины, для прямоугольника — двух полос. Решение для каждого слоя или полосы строится для заданных ГУ на соответствующих гранях объекта. Такие решения могут быть найдены различными известными методами: методом Фурье, общих решений, однородных решений, их модификаций. Для плоской задачи ТУ значительные достижения получены в работах Гринченко В.Т. [49, 51], Улитко А.Ф. [122], Мелешко В.В. [161]. Конечным этапом в решении метода суперпозиции является отыскание неизвестных бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. Исследованиям в области подобных бесконечных систем и возможности получения решений посвящены работы Кояловича Б.М. [64], Канторовича Л.В. [58], Бондаренко П.С. [11], Гринченко В.Т. [50], Папкова С.О. [97], Байды Э.Н. [8].

Байда Э.Н. получал [10] общие решения Лурье для ортотропного тела и применял в решении различных практических задач. Им проведены исследования

полноты общего решения и рассмотрены вопросы поведения решения в угловых точках и рёбрах параллелепипеда, а также обоснованности суперпозиции в методе при разложении нагрузок в ряды Фурье. В работе [8] с помощью приемов операционого исчисления показано, что существует возможность построения замкнутых форм решений некоторых типов бесконечных систем алгебраических уравнений, к которым сводится задача ТУ при численной реализации. С одной стороны отмечается сложность такого подхода, с другой стороны — перспективность получения результатов в замкнутом виде. Приводится решение задачи об изгибе толстой свободно опёртой плиты, где ГУ на боковых гранях удовлетворялись приближённо в смысле Сен-Венана. Дано сравнение полученных автором результатов решения с решением Филоненко-Бородича М.М. [125] известной задачи о равновесии упругого изотропного параллелепипеда под действием синусоидальной нагрузки на противоположных гранях. Так как рассмотрены только решения первого и второго приближений, полученных ручным счётом, то граничные условия на боковых гранях отсутствия напряжений удовлетворяются весьма приближённо.

Метод общих решений позволил решить широкий ряд практических задач строительной механики и ТУ, однако, существенным его недостатком является выбор гармонических функций напряжений и перемещений, котороые бы удовлетворяли не только исходным уравнениям равновесия, но и заданным ГУ. Такой выбор осуществляется на основе эвристического подхода и является плодом творческого вдохновения, а не на основе какого-либо обоснованного алгоритма в реализации метода. Кроме того, сами гармонические функции общего решения, хотя и называются функциями перемещений и напряжений (по определению Галёркина), являются некими абстрактными объектами, имеющими опосредованный механический смысл, получаемый после воздействия на них тех или иных дифференциальных операторов, что дополнительно усложняет их построение. С ещё большими трудностями метод общих решений сталкивается, когда на границе заданы часть перемещений и часть напряжений, а тем более в случае разрыва ГУ на границе. Обстоятельный обзор исследований, посвящённых

бигармонической проблеме, дан в работах Мелешко В.В. [160], Галилеева С.М.

[41].

Малиев А.С. в работе [78] предложил алгоритм нахождения функций общего решения по их значениям, а также значениям их производных на границе тела — начальной плоскости при z = 0 на основании соображений, относящихся к удовлетворению ГУ конкретных задач. Для этого им введены понятия начальных данных — компонентов НДС на начальной плоскости, которые связываются специальными дифференциальными операторами Келлога [157] с начальными значениями и производными функций общего решения. Эти операторы получаются при разложении функций общего решения в ряд Маклорена, в которых удерживается то или иное количество членов. Это сразу внесло значительные удобства в построение решений конкретных задач. Как писал сам Малиев: "...вместо того, чтобы находить вообще абстрактные гармонические или бигармонические функции трёх переменных, удовлетворяющие условиям данного конкретного случая, задача сводится к отысканию просто функций (а не гармонических или бигармонических) двух переменных, имеющих к тому же наглядную физическую интерпретацию" [78]. Таким образом, Малиевым А.С. на основе метода общих решений был предложен метод решения задачи ТУ, в котором компоненты НДС в рассматриваемой области определялись через задаваемые функции компонентов на начальной плоскости — начальных данных. Такой подход предшествовал появлению алгоритмичного и удобного в инженерной практике метода начальных функций. Кроме того, в этой же статье Малиевым предложен метод неопределённого продолжения граничных условий, позволяющий удовлетворять произвольным ГУ на боковых гранях объекта. Рассматриваемая область расширялась дополнительным объёмом, границы которого "догружались" полиномиальной нагрузкой, содержащие неопределённые коэффициенты, значения которых в дальнейшем вычислялись из требуемых условий на границе основной области.

1.1.2. Метод начальных функций

В основу МНФ положено стремление унифицировать алгоритм решения линейного дифференциального уравнения в частных производных при произвольной правой части, а также облегчить решение задач таким образом, чтобы определённая часть работы была выполнена заранее и была представлена в виде готовых выражений. Это позволяет получить общее решение задачи в виде, облегчающем анализ решения с точки зрения влияния ГУ и вида нагрузки. Эффективность МНФ определяется наличием "заготовок" для широкого класса задач, однотипных по своему содержанию и отличающихся лишь ГУ, размерами области и характеристиками материала или видом функции правой части.

В работах [75, 76] Лурье А.И. был предложен способ решения дифференциальных уравнений бесконечно высокого порядка, содержащих трансцендентные операторы, относительно введённой разрешающей функции (общего решения) Y(x,y). Им были решены задачи сжатия и изгиба толстой прямоугольной или круглой плиты от статических или тепловых воздействий (ГУ удовлетворяются в смысле Сен-Венана). Эти работы послужили Власову В.З. основой для дальнейшнго развития метода, который был назван методом начальных функций. В работе [21] Власов В.З. исходил из системы уравнений ТУ, определяющих задачу в смешанной постановке. Общее решение системы уравнений для слоя, ограниченного плоскостями z = 0 и z = const получено в виде рядов Маклорена по переменной z. Используя приём символического интегрирования, Власов В.З. связывает все компоненты НДС тела с начальными функциями в виде соотношения U = LU0, которое называется основным соотношением МНФ. Операторы-функции Lik представлены бесконечными

рядами, содержащими дифференциальный оператор у =

д2 д2

н--- . Власов В.З.

dx2 dy2

дал удачное название этому методу и записал его в виде основного соотношения, дающего точное представление общего решения уравнений ТУ через начальные функции и действующие на них операторы.

Таким образом, метод начальных функций является методом приведения трёхмерной задачи ТУ для слоя, ограниченного плоскостями z = 0и z = h, к некоторой двумерной задаче. В основу метода положено выделение начальных функций, нахождение их из уравнений, полученных в результате удовлетворения ГУ на плоскостях, ограничивающих слой и использование символических операций. Обстоятельный обзор, посвящённый различным методам понижения мерности задачи ТУ, приведён в работе Станкевича А.Н. [115].

Полученное решение уравнений ТУ Власов В.З. использовал для расчёта НДС плит постоянной толщины, в том числе и многослойных, под действием сжимающих напряжений на внешней грани, отмечая, что данный подход можно использовать к расчёту плит или оболоек переменной толщины. В книге [22, 173] им с помощью МНФ решены в общем виде задачи о деформации упругого основания, а также решение задачи изгиба тонкой пластинки, лежащей на упругом основании с условиями полного контакта. В числовых примерах приведены данные расчёта толстой плиты под действием равномерно распределённой нагрузки, имеющей регулярные опры, в условиях плоского напряжённого состояния. При этом в представлении функции напгрузки удерживается до трёх членов ряда Фурье. Показано, что при удеражании в интегрирующих рядах по z основного соотношения МНФ того или иного количества членов, с помощью усечённых операторов Lik можно конструировать

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Ширунов Гурий Николаевич, 2019 год

- — - —

\-0,127 к/

2у

г=1,02

5*

3 , 5к

и

/г=12

Рисунок 3.10 Напряжения о2(5.25 ,5.25 , г): 1 —Ляв, 2 — МНФ

На рисунке (Рисунок 3.11) показаны изолинии вертикальных относительных

„ _ wE

перемещений w =-по высоте параллелепипеда.

qh

1 > 1

__—

/

1 1 1

2 /

3

Рисунок 3.11 Изолинии перемещений м : 1 — м?(х, 1у/2, 0); 2 — м?(х, 1у/2, ^100)+^100; 3 — ММ(х, 1у/2, h/10)+h/10

Максимальное значение относительных перемещений на верхней грани в центре грузовой площади равно:

_ м(б,6,0) мтах =,- 0,094. qh

Максимальное значение перемещения, вычисленное по формулам решения задачи ТУ для упругого полупространства [119], составляет

\а (1 - V2

= — 1П (V 2 + 1)—^-

к h

max

8in у2+1) aMlL0,098,

а относительная погрешность расчёта по МНФ равна 4%.

По мере удаления от центра грузовой площадки все компоненты НДС затухают. Значения вертикальных перемещений на начальной плоскости на

расстоянии от центра грузового квадрата з1 а составляют менее 10% от

максимального значения в центре.

Выполнено также сравнение результатов с МКЭ. С помощью комплекса SCAD построено два варианта моделей, построенных на основе объёмных восьмиузловых конечных элементов. В первом варианте минимальный размер конечных элементов в области грузовой площади принят 0,2*0,2*0,2 м — 1/6 размера грани площадки а. Во втором варианте сетка принята мельче: 0,1*0,1*0,1 м — а/10. По мере удаления от грузовой площадки размер конечных элементов увеличен, максимальные размеры составили 0,5*0,5*0,5 м.

Максимальное вертикальное перемещение в середине грузовой площадки в первом варианте разбивки составляет 0,094, во втором — 0,093. Отличие между вертикальными перемещениями, получаемым по конечноэлементными моделям разной разбивки, точным решением ТУ и МНФ, незначительно.

На рисунках (Рисунок 3.12), (Рисунок 3.13) и (Рисунок 3.14) показаны изополя относительных напряжений а = аг /|д|, ту2 = ту2 / q и тху = тху / q,

полученные по МНФ и МКЭ второго варианта разбивки.

Сравнивая представленные диаграммы, можно заключить, что нормальные напряжения а2 имеют наибольшие отличия в окрестности 2=0 под грузовой площадкой. При этом в решениях по МКЭ не удовлетворяются условия на границе, где а2 должно быть равно внешней нагрузке д. На расстоянии 0,2 м (а/6) от центра грузовой площадки имеется зона растяжения, тогда как МНФ и точное решение ТУ такой зоны не дают. Начиная с глубины г~0,1 м распределение напряжений становится близко к решению МНФ и формулам теории упругости.

Рисунок 3.12 Изополя нормальных напряжений а2(1Х /2,у,г)в области грузовой

площадки. а) — МКЭ, б) — МНФ

Рисунок 3.13 Изополя касательных напряжений ту2(1х /2,у,2) в области грузовой

площадки. а) — МКЭ, б) — МНФ

Рисунок 3.14 Изополя касательных напряжений тху (а1, у, 2) в области грузовой

площадки. а) — МКЭ, б) — МНФ

Касательные напряжения т у2 и т х2, действующие по площадкам

центральных плоскостей (х=1Х/2 и у=1у/2, соответственно), имеют максимальные значения на кромках грузовой площадки. Величина т у2, полученная МНФ, имеет

значение 0,291 на глубине 2=0,17 м. С помощью МКЭ для первого варианта разбивки (более грубой сетки) получено экстремальное значение напряжений 0,218 при 2=0,40 м, а для второго — 0,244 при 2=0,30 м.

Отметим, что положение точки экстремума в решении МНФ получено аналитически точно (в рамках усечённого ряда Фурье для описания д(х,у)), а в решениях МКЭ — приближённо. Хотя с измельчением сетки конечных элементов значение и положение экстремума искомой функции стремится к аналитическому решению, однако схему разбивки необходимо подбирать последовательными приближениями. При этом желательно иметь альтернативное решение, получаемое другим методом, на которое можно ориентироваться при выборе схемы разбиения. Это подтверждается и анализом значений напряжений тху .

Значения касательных напряжений тху для разбивки схемы МКЭ первого

варианта, получаются неприемлемыми — погрешность по сравнению с МНФ превышает 95%. Для более мелкой сетки второго варианта относительная погрешность снижается, но остаётся значительной. Экстремальное значение положительных касательных напряжений тху составляет 0,087 при 2=0, а значение,

получаемое по МНФ — 0,146, погрешность превышает 40%. Для напряжений отрицательного знака максимальные значения близки: МКЭ — 0,072 при 2=0,3 м, МНФ — 0,077 при 0,26 м. По этим значениям относительная погрешность не превышает 7%. Также близки и положения точек экстремумов.

Максимальные значения касательных напряжений т х2 и т у2 на

вертикальных гранях параллелепипеда по МНФ составляют менее 2% от соответствующих экстремальных значений в области грузовой площадки. Это позволяет считать, что на вертикальных гранях они затухают и не оказывают влияния на распределение компонентов НДС в области грузовой площадки.

Таким образом, неточностью граничных условий в напряжениях на боковых гранях параллелепипеда можно пренебречь.

Отметим, что касательные напряжения т^ и ту2 на боковых гранях

параллелепипеда в конечно-элементных моделях также не оказываются равными нулю. Их значения, составляют около 3 и 5% (для 1-й и 2-й схем разбивки) от экстремальных значений в области грузовой площадки и превышают соответствующую разницу в решении МНФ.

Для оценки влияния ГУ на боковых гранях рассмотрена задача, в которой размеры параллелепипеда в плане уменьшены и приняты 1Х=1У=10 м. Из-за изменения геометрических пропорций для данной задачи длина мантиссы принята равной 475.

В результате расчётов получено, что вертикальное перемещение в центре

грузовой площади изменилось незначительно и составило

_ ^(5,5,0)Е _ qh

перемещений ^ (2) и а2 (г) для МНФ и решения ТУ практически совпадают. Графики т у2 (2) и тХ2 (2) отличаются для задач с размерами в плане 12*12 м и

10*10 м незначительно ( Рисунок 3.15). Разница максимальных значений не превышает 1,5%.

0,093. Эпюры в центре грузовой площади по толщине 2 для

Рисунок 3.15 Напряжения ту2(¡х /2,Ь1,2). 1 — размеры граней 1Х,1У=12 м, 2 ■

размеры граней ¡Х,1У=10 м

Влияние боковых граней незначительно увеличилось. Величина максимальных касательных напряжений ту2 (2) на грани у=0 при х=1х/2 равна

0,0091, что составляет 2,7% от максимальных значений. Следовательно, в данной задаче также можно пренебречь влиянием граничных условий на боковых гранях на распределение компонентов НДС в окрестности грузовой площади.

Результаты полученных расчётов в рассмотренной задаче об упругом параллелепипеде [132, 146], габариты которого много больше грузового квадрата, показывают, что при использовании такого подхода значения компонентов НДС в области, удалённой от боковых граней, достаточно близки к аналитическим решениям Лява. При отношении размеров грузовой площадки к размерам граней

а 11 л,гтт^

параллелепипеда — = — ^ — получаемые на основе МНФ результаты

асимптотически приближаются к решениям ТУ.

При этом результаты, полученные с помощью численно-аналитического алгоритма МНФ, могут служить ориентиром при разработке и анализе моделей, создаваемых на основе численных методов при расчёте массивных элементов.

3.3.2.Моделирование сосредоточенной силы

Локальную нагрузку, действующую по центру верхней грани параллелепипеда, можно моделировать с помощью 5-функции и её двойнного ряда Фурье с коэффициентами:

4Р . (ткл л

2

sm

Ртп =77"

1х1у V 2 у V 2

пк ~2

(3.6)

Хотя в точке приложения силы этот ряд и расходится, но получаемые ряды компонентов НДС будут сходящимися [120]. Однако для получения достоверных результатов приходится удерживать большое количество членов этого ряда.

Применение этого подхода продемонстрировано на примере деформирования упругого параллелепипеда в авторской работе [139].

Геометрические параметры и упругие характеристики материала параллелепипеда и закрепления его граней аналогичны рассматривавшейся в предыдущем параграфе задачи (Рисунок 3.16).

Рисунок 3.16 Расчётная схема

Частичная сумма ряда для сосредоточенной силы с использованием ст-множителей Ланцоша записывается в виде:

" пп

Л П M N

y )=Тт Ъ Ъ

x y m=1 n=1

( mi

sin

sin

sin I -

V 2

sin

ni

V "2" у

V M у V N

( mi\ ( ni\

sin

M

N

mi

l

x

sin

x

ni

Vly у

■y

(3.7)

\ivi у v JV у

Было выполнено 3 варианта расчётов: 1) M = N = 71, Digits = 155; 2) M = N = 83, Digits = 170; 3) M = N = 101, Digits = 205. Графики нагрузки, соответствующие выбранным значениям M и N, показаны на рисунке (Рисунок 3.17).

2250 2000 1750 1500 1250 1000 750 500 250 0

Р(х,у), Ш

3

/

]\Л

1

X, м

2 4

1------{¿=N=11-,

2---М=ДГ=83;

э^=0,39 м

ат=0,47 м

- -

а;=0,55 м

10

12

А/=Л/=101;

2

Рисунок 3.17 Сосредоточенная сила на верхней грани параллелепипеда,

1Х,1У= 12 м при у=1у/2. 1 — ^М=71; 2— ^М=83; 3— N=№=101.

Сравнение полученных результатов для вертикальных нормальных сжимающих напряжений осуществляется на основе относительных значений

_ а.

а =

Р / а 2

где а — сторона квадрата основания под центральным пиком

функции нагрузки, графики напряжений показаны на рисунке (Рисунок 3.18). Рисунок (Рисунок 3.18) показывает напряжения под точкой приложения силы. На рисунке также представлено решение Буссинеска. Видно, что с ростом значений предельных гармоник М и N происходит приближение решения МНФ к решению Буссинеска.

Рисунок 3.18 Напряжения а2(1Х /2,I /2,2). 1,2,3 — варианты решений МНФ, при

М^=71,83,101; 4—Буссинеск

Для оценки замены равномерно распределённой нагрузки, действующей на малом квадратном участке, нагрузкой, представляемой рядом (3.7), вычислено значение интенсивности эквивалентной нагрузки из условия равенства интегрального значения сосредоточенной силы.

Рисунок (Рисунок 3.19) (приведены относительные величины =<г/(Бз/а )) позволяет сравнить полученные решения МНФ с решением Лява, моделирующим сосредоточенную силу величиной 5 = | Р(х, у, как нагрузку, равномерно

А1

рапределённую по квадратной площадке со стороной аг =

Р(1х /2,1у /2)

5,.

Из

выполненных расчётов следует, что разность между и значением заданной силы Р получаются менее 5%, и с ростом М и N постепенно снижаются. Отличия решения МНФ и точного решения задачи ТУ для упругого полупространства Лява в распределении напряжений <2 оказываются пренебрежимо малы для всей высоты параллелепипеда.

-500 -400 -300 -200 -100

1/ 2/

0,2

0,4

0,6

1,0

Рисунок 3.19 Ннапряжения о2 (1х/2, 1у/2, г). 1 —Ляв; 2 — МНФ, Ы,Ы= 101

Величины перемещений в модели МНФ также вычисляются достаточно точно и близки к решению ТУ для упругого полупространства. Из рисунка (Рисунок 3.20) следует, что вертикальные перемещения начальной плоскости

(приведены относительные величины ^ =т~~2х~) оказываются очень близки

(Р / а32 р

значениям, полученным из решения Буссинеска, отличия наблюдаются только в точке приложения сосредоточенной силы и на границах параллелепипеда, выделенного из бесконечного слоя.

0 2 4 6 8 10 12

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

1/ /

Рисунок 3.20 21 Перемещения ™ (х, 1у/2, 0). 1 — Буссинеск; 2 — МНФ, Ы,И= 101

Рассмотренная модель сосредоточенной силы может быть эффективно использована в практических расчётах НДС массивных элементов конструкций для случаев воздействия гибких штампов. Удерживая в тригонометрическом полиноме (3.7) то или иное число гармоник, можно получать решения различной точности.

3.3.3.Многослойное основание при действии нагрузки на локальном участке

В случае полного контакта на границе слоёв МНФ позволяет эффективно решать задачи равновесия многослойных элементов при действии внешних нагрузок [42, 135, 151, 153, 162]. Для элементов конструкций, для которых материалы слоёв подчиняются закону Гука и соотношениям линейной модели ТУ, данная модель может применяться в практических расчётах оснований фундаментов [128], многослойных дорожных конструкций.

Условие полного контакта на границе слоёв определяет равенство компонентов НДС, из чего следует, что функции перемещений и напряжений на границе вышележащего слоя также являются начальными функциями для нижележащего.

Рассмотрена задача о деформировании трёхслойного упругого параллелепипеда [137] под действием равномерно распределённой нагрузки, действующей на верхней грани параллелепипеда на квадратном участке малых размеров (Рисунок 3.22).

Рисунок 3.22 Расчётная схема параллелепипеда. Граничные условия.

Для трёхслойной конструкции, рассмотренной в качестве числового примера, используя основное соотношение метода начальных функций (2.14) коэффициенты разложения неизвестных начальных функций определятся из матричного соотношения:

U = ¿3 (Й3, Е3,у3 )~2 ^ Ег^г )~1 {К Е^ )U0, (3.8)

где Ъ1 — матрица значений операторов МНФ, вычисленных с параметрами ¿-го слоя.

Векторы правых частей неоднородных систем алгебраических уравнений, получаемых из (3.8) для каждой гармоники, содержат коэффициенты разложения функции нагрузки, представляемой рядом:

то то

<0 (Х У )= Ч(Х У )= Ч = ЕЕ Чтп а тХ sin Р пУ (3.9)

т=1 п=1

С учётом обозначений, приведённых на рисунке (Рисунок 3.22) коэффициенты ряда (3.9) вычисляются по формуле:

q

4q

mn 2

л mn

cos

a1m%

I

\ f cos

—

V V x у

a2 тл

l

V x yy

\V f и л Ьпл

cos —— .V ly y

cos

f i ^ Ь2пл

V y yy

(3.10)

Параметры слоёв модели указаны в таблице (Таблица 3.8):

Таблица 3.9 Характеристики слоёв

№ слоя Толщина слоя hi, см Модуль упругости Ei, МПа Коэффициент Пуассона vi

1 4 20 0,3

2 4 10 0,35

3 4 25 0,42

Размеры сторон выделенного из бесконечного слояпараллелепипеда 1Х=1У=12 м превышают размеры грузовой площадки в 10 раз.

На рисунке (Рисунок 3.23) показаны относительные перемещения =

qh

по центральной вертикали грузовой площадки. В точках, соответствующих границам слоёв, наблюдаются изломы графика функции, обусловленные изменением упругих характеристик:

Рисунок 3.23 Перемещения w (lx /2, ly / 2, z)

Для оценки полученного решения МНФ проведено сравнение с конечно-элементной моделью, построенной с помощью вычислительного комплекса SCAD. В расчётной схеме МКЭ размеры конечных элементов приняты равными

1/6 размера стороны грузовой площадки: 0,2*0,2*0,2 м. Кроме того выполнены расчёты по формулам СНиП для определения осадок грунтовых оснований, в основе которых положено решение задачи ТУ для упругого полупространства. На рисунке (Рисунок 3.24) изображены графики вертикальных перемещений начальной плоскости трёх указанных решений.

д=0Д МПа

1 И', мм

Рисунок 3.24 Перемещения ^(х, 1у/2, 0). 1 — МНФ; 2 — МКЭ; 3 — СНиП.

Напряжения ох„ вычисленные по трём моделям, имеют достаточно близкие для инженерных расчётов значения.

Нормальные напряжения ох и оу имеют более существенные, чем ох„ расхождения, особенно на границе слоёв, относительная погрешность достигает 20%. При этом в численном решении МКЭ, в отличие от модели МНФ, отсутствуют разрывы функций ох и оу, что показано на рисунке (Рисунок 3.). Данное поведение решения МКЭ свидетельствует о необходимости разработки более точной расчётной схемы.

Рисунок 3. Нормальные напряжения ах(1Х/2, I /2, z). 1 —МНФ; 2 — МКЭ

Построенное приближённое численно-аналитическое решение может эффективно применяться для расчёта многослойных массивных элементов конструкций наряду с нормативным подходом, а также служить средством, помогающим разрабатывать более точные схемы разбивки в МКЭ моделях.

3.3.4.Модель дорожной одежды в виде многослойного основания под действием нормальной локальной нагрузки, распределённой по круглой площадке

В качестве иллюстрации практического применения полученного решения на основе МНФ рассмотрена модель упругого многослойного основания, которая использовалась в качестве верификационного эталона для конечно-элементной модели при анализе НДС дорожных одежд. По действующим нормативам оценка прочности дорожной конструкции проводится определением вертикального перемещения центра круглой площадки на поверхности дорожного покрытия, нагруженной равномерно распределённой нагрузкой [5, 57, 61], получаемого из решения ТУ, основанного на интегральном преобразовании Фурье. Такое решение имеет ряд допущений и существенных недостатков [5, 61], поэтому постоянно усовершенствуется и дополняется в разных аспектах [93, 96].

Сложность задачи обусловлена необходимостью учёта целого ряда особенностей работы объекта под нагрузкой (многослойность и остаточные деформации, усталостное разрушение, динамический характер воздействия, наличие локальных включений типа трещин, граничные условия, отличные от бесконечно удалённого края, сложный характер распределения нагрузки по площадке контакта и др.) [6, 114]. В связи с этим разрабатываются всё новые методы расчёта и критериев оценки долговечности дорожных конструкций [25]. Для решения ряда указанных проблем используются численные методы, в частности МКЭ. При этом для построения конечно-элементной модели в качестве ориентира может использоваться, например, решение альтернативным аналитическим способом. Так, в отделе научно-технического сопровождения АО "Института "Стройпроект" при построении МКЭ моделей для оценки их эффективности использовались разработанное решение МНФ и данные натурного эксперимента по определению упругой осадки штампа.

В соответствии с [5] в расчётной схеме поставленной реальной задачи вертикальная нагрузка от колеса автомобиля моделировалась нагрузкой, передаваемой через круглый гибкий штамп диаметром D (Рисунок 3.25).

#1=1750 МПа. \'=0.3 „ 0 0.34м

/ £2=950 МПа, \=0,3 ^°'6МПУ 0 / / Ьр = 0. Ъх=0, Ог =</(.% уУ=С]

--- Л

\

Яз=240 МПа, \'=0.3 о ^ #4=70 МПа. \'=0,3 _ /л/2=10 м _ Е Уг, О О £ 'Г. О г 1 ■о Г 1 О II 2 0 Г1 Г 1 1 О II о" о II /л/2=1 Ом

11=0, г=0, 11=0

Рисунок 3.25 Расчётная схема многослойной дорожной конструкции.

Функция нагрузки в соответствии со схемой грузовой площадки в плане (Рисунок 3.26) описывается формулой:

/ (х, У)

ч,

0,

х

х

Ьх 2

К 2

л2 г +

У

л2 Г +

У

Ь 2

К 2

< г

> г

где г — радиус штампа.

Ьх/2-г Ьх/2 Ьх/2+г Ьх

Рисунок 3.26 Схема грузовой площадки в плане. Представляем функцию / (х, у) рядом Фурье:

г

f С^ У )=ЕЕ Чтп sin

т=1 п=1

тк

—х

V Ьх у

Sin

\

пк

гу

V ЬУ у

(3.11)

(3.12)

Коэффициенты ряда Фурье (3.12) для нагрузки, распределённой по кругу, в декартовой системе координат определены численно. Число удерживаемых членов ряда принято равным М=А=201, длина мантиссы назначена равной Digits=112. Для сглаживания колебаний применены а-множители Ланцоша. Графическое изображение функции нагрузки показано на рисунке (Рисунок 3.27).

2

2

д., МПа О.б

0.5 0.40.3 -

0.2 -

0.1-

2.5

1.5

10

Рисунок 3.27 Напряжения а2(х, Ly/2, 0) — нагрузка на верхней грани

На рисунке (Рисунок 3.28) изображена эпюра вертикальных перемещений w начальной плоскости по глубине многослойного основания (осадка).

гри х—1л/2 и у—Ьу/2-, N и М - 201, 1>1%Ие - 112

Ы ■

Ь1+Ь2 111+Ь2+ЬЗ

..........1.........1......... .....J

0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.000^>^

/

/

/

/

ы+ы+к+м

Рисунок 3.28 Перемещения w(Lx/2, Ly/2, ¿), м.

Значение вертикального перемещения в центре грузовой круглой площадки в решении МНФ составляет 0,567мм.

Проведено сравнение максимального перемещения площадки с решением МКЭ для схемы разбивки первого приближения, с решением ТУ, положенного в основу формул действующих строительных норм по определению осадок методом послойного суммирования, а также с экспериментально определённым значением. Значения осадки в решении МКЭ — 0,83 мм, послойного суммирования — 0,87 мм, экспериментальные данные — 0,76 мм, а остаточные перемещения после разгрузки — 0,28 мм.

Послойное суммирование даёт заведомо завышенный результат, так как учитываются деформации только от действия влиянием других компонентов НДС пренебрегают — не учитывается поддерживающее влияние охватывающего грунта, эффект обжатия Пуассона. При этом дополнительную неточность вносит операция пошагового приближенного суммирования вместо непрерывного интегрирования.

МКЭ даёт завышенный результат в силу: а) приближённости самого метода и недостаточно эффективной схемы разбивки первого приближения, б) приближённости граничных условий в модели.

Упругая часть перемещений по экспериментальным данным: 0,76 - 0,28 = 0,48 мм. Если принять 0,48 мм за истинное значение, то относительная погрешность составляет: для послойного суммирования — 81%, МКЭ — 71%, МНФ — 18%. Из этого сравнения видно, что решение МНФ даёт наиболее близкое значение к истинному (экспериментально определённому) и дополнительно подтверждает обоснованность применения разработанной численно-аналитической модели МНФ для проверки модели МКЭ.

Ниже приведены эпюры других компонентов НДС oz (Рисунок 3.29), т^ (Рисунок 3.30) и (Рисунок 3.31), ох (Рисунок 3.32).

Szâ) rpa x=Lx/2 и y =Ly2, NuM= 201. Lanzozh Digiis= 112

Рисунок 3.29 Напряжения az (Lx/2, Ly/2, z), Па

ТугГг) Yipu x=Lx,'2 av =Ly/2, N и M = 201, Lamosh DigiË= Di

hl+h2 hl+h2+h3

hl+h2+h3+M

Рисунок 3.30 Напряжения xyz (Lx/2, Ly/2-r, z), Па

О 2.5 5 7.5 10

1(л^л)) _

\УКУ

Рисунок 3.31 Изолинии напряжений хуг (^/2, Ly/2-r, г): 82,00 , 41,00, 20.50, 10.25, 5.00 и -82,00 , -41,00, -20.50, -10.25, -5.00, Кпа

5х(г) при х =1ос/2 и у=ЬуП, МиМ =201, Ьажоьк 112

— --- 106 -7.5 х 105 -5.» 105 -2.5 Ы+Ь2+Ь3 - *---— 105

Ы +Ь2+Й3+Ы

Рисунок 3.32 Напряжения ах (^/2, Ly/2, г), Па

В современной практике дорожного строительства всё более широкое применение находят конструкции, в составе которых применяются полужёсткие одежды, упругие свойства которых имеют промежуточное значение между материалами верхних слоёв и грунтового основания. В действующих же нормативных документах по проектированию автомобильных дорог [94]

рассматривается конструкция, в которой присутствуют верхние жёсткие слои дорожной одежды и нежёсткие слои основания. Вследствие резко отличающихся упругих свойств материалов в подобного рода системах "дорожная одежда — основание" при вычислении компонентов НДС используется приближённая двухслойная модель, в которой на упругом полупространстве расположено многослойная конструкция дорожного полотна. Нормальные изгибные напряжения по всему пакету дорожной одежды, необходимые для определения ресурса конструкции на выносливость (долговечности), по действующим нормам проектирования определяются только на нижней границе второго приведённого слоя. В связи с этим в Институте "Стройпроект" в рамках разработки Отраслевого дорожного методического документа (ОДМ) предложена приближённая методика расчёта дорожных одежд, в основу которой положена расчётная схема многослойной балки на упругом основании [95]. Корректировка значений нормальных изгибных напряжений, вычисляемых с помощью приближённого метода, производится с помощью поправочных коэффициентов, полученных на основе решения МНФ по описанному выше алгоритму.

Для получения поправочных коэффициентов были произведены расчёты НДС для серии многослойных пакетов одежд с характерной и наиболее распространённой конструкцией.

Описание конструкций приведено в таблицах 3.8 — 3.10. Размеры расчётного параллелепипеда в 8 — 10 раз превышают диаметр грузового круга, равного 0,32 м, нагрузка составляет 0,8 МПа, тригонометрический полином для функции нагрузки содержит M=N = 201 гармонику, необходимая длина мантиссы определялась по (3.2).

Ниже на рисунках приведены эпюры нормальных напряжений ах в центре грузовой площадки для трёх типов конструкций с полужёсткими одеждами. На графиках обозначены значения растягивающих напряжений в монолитных слоях, которые использовались для вычисления поправочных коэффициентов приближённой модели ОДМ.

Таблица 3.10 Конструкция дорожной одежды К-1

№ п/п Материал слоя Тип слоя Толщина слоя hi, см Модуль упругости Е, МПа Коэффициент Пуассона vi

1 Асфальтобетон Монолитный 15 4500 0,3

3 Органо-минеральная смесь (ОМС) Монолитный 17 1350 0,3

4 Щеб.-цем.-песчаная смесь (ЩЦПС) Монолитный 30 900 0,3

5 Песок средней крупности Дискретный 45 120 0,3

6 Грунт суглинок легкий Дискретный 144 24 0,3

Таблица 3.11 Конструкция дорожной одежды К-2

№ п/п Материал слоя Тип слоя Толщина слоя hi, см Модуль упругости Е, МПа Коэффициент Пуассона vi

1 Асфальтобетон Монолитный 4 4500 0,3

2 Асфальтобетон Монолитный 11 2800 0,3

3 Асфальтобетон Монолитный 12 2800 0,3

4 Щеб. - песчаная смесь (ЩПС) Дискретный 50 260 0,3

5 Песок средней крупности Дискретный 50 120 0,3

Таблица 3.12 Конструкция дорожной одежды К-3

№ п/п Материал слоя Тип слоя Толщина слоя hi, см Модуль упругости Е, МПа Коэффициент Пуассона vi

1 Асфальтобетон Монолитный 6 4500 0,3

2 Асфальтобетон Монолитный 12 2800 0,3

3 Щебень фр. 20 — 40 Дискретный 16 2800 0,3

4 Щеб.-цем.-песчаная смесь (ЩЦПС) Монолитный 30 900 0,3

5 Цементо-грунт Монолитный 30 250 0,3

а1;МПа

1 -0 75 -Ь ГИГ ^г*-л Ы+К2- 1 \л 077 чД035 ^0.094

И1+1т2+ИЗ н \o.007

\0,010

ч 11-т 1 и! |и 11.С .

г

Рисунок 3.33 Напряжения ах (Lx/2, Ly/2, ¿) пакета К-1, МПа

Ы+И2 - 0 - 5 *\0.507

Ы+Ш+ИЗ - х^ошо

Ы+ИЗ+ЬЗ+Ы-

ы ит ■ из ■ ии.и^ 1

2

Рисунок 3.34 Напряжения ах (Lx/2, Ly/2, ¿) пакета К-2, МПа

Ох; МПа

Рисунок 3.35 Напряжения ах (Е/2, Ly/2, z) пакета К-3, МПа

В таблице 3.11 приведены значения нормальных напряжений ах по толщине полужёстких монолитных слоёв, полученные по приближённой методике ОДМ и по МНФ.

Таблица 3.13. Значения нормальных напряжений ах по ОДМ и по МНФ для

конструкции типа К-2

№ слоя Координата по толщине слоя zi/hi ОДМ МНФ

ах, МПа ах МПа

Конструкция дорожной одежды К-2 1 0 -1,292 -1,285

1 -0,880 -0,654

2 0 -0,548 -0,532

1 0,157 0,027

3 0 0,157 0,027

1 0,925 0,507

Как видно из приведённой таблицы, результаты расчётов для напряжений изгиба, полученные по приближённой методике ОДМ, дают приемлемый для технической теории результат в слоях, расположенных ближе к началу координат, с увеличением удалённости от места приложения нагрузки погрешность

значительно возрастает. Однако, следует отметить, что данные расхождения оказываются меньше в сравнении с действующим нормативным расчётом. Очевидно, что для совершенствования приближённой методики требуется дальнейшие её уточнения, при этом в качестве эталонных значений НДС может использоваться разработанная модель МНФ.

ГЛАВА IV. ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАМЭ В МЕТОДЕ