Численно-аналитическое исследование течений вязкой жидкости и диффузионного осаждения аэрозольных частиц в волокнистых пористых средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Марданов Ренат Фаритович

• Марданов Ренат Фаритович
• доктор наук
• 2026

Оглавление диссертации доктор наук Марданов Ренат Фаритович

Введение

Глава 1. Метод граничных элементов

1.1 Обзор методов граничных элементов

1.2 МГЭ для уравнения Лапласа и Пуассона

1.3 МГЭ для уравнения Пуассона с правой частью, содержащей искомую функцию и ее производные

1.4 МГЭ для бигармонического уравнения

1.5 МГЭ для неоднородного бигармонического уравнения с правой частью, содержащей искомую функцию и ее производные

1.6 МГЭ для уравнения Гельмгольца

1.7 МГЭ для уравнения Бринкмана

1.8 МГЭ с включением разложений искомых функций в ряды Фурье

для однородного бигармонического уравнения

Глава 2. Гидродинамика течения несущей среды в волокнистых

пористых средах

2.1 Микроскопические и макроскопические модели течения несущей среды

2.2 Микроскопическая модель Стокса для пористой среды, составленной множеством волокон

2.3 Определение параметров моделей Дарси и Бринкмана

2.4 Расчет течения в пористой среде с пространственно неоднородным распределением параметров

Глава 3. Гидродинамика течения в однородных средах с пористыми

включениями

3.1 Модели течения в однородных средах с пористыми включениями

3.2 Модифицированное граничное условие на межфазной границе модели Стокса-Дарси

3.3 Анализ граничного условия равенства давлений модели Стокса-Дарси

3.4 Модифицированные граничные условия на межфазной границе

модели Стокса-Бринкмана

Глава 4. Гидродинамика течения в пористых средах, составленных

нановолокнами или комбинацией микро- и нановолокон

4.1 Модели обтекания нановолокна

4.2 Модифицированное граничное условие скольжения модели обтекания нановолокна

4.3 Микроскопическая модель Стокса для пористой среды, составленной множеством нановолокон

4.4 Определение параметров модели Бринкмана для пористой среды, составленной из нановолокон

4.5 Микроскопическая модель гидродинамики смешанного фильтра

из микро- и нановолокон

4.6 Гибридная модель гидродинамики смешанного фильтра из

микро- и нановолокон

Глава 5. Перенос и осаждение малых аэрозольных частиц в

волокнистом фильтре

5.1 Модель конвективно диффузионного переноса частиц

5.2 Модель периодической ячейки для уравнения конвективной диффузии

5.3 Модифицированная формула для эффективности одиночного волокна

5.4 Эффективность осаждения частиц в расширенном диапазоне

чисел Пекле

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список рисунков

Список таблиц

Приложение А. Вычисление интегралов

А.1 Вычисление интегралов по линейным граничным элементам . . . .321 А.2 Вычисление интегралов по областным элементам

A.3 Вычисление интегралов по круговым граничным элементам

Приложение Б. Расчет сил

Б.1 Расчет гидродинамических сил, действующих на произвольный

контур

Б.2 Расчет гидродинамических сил, действующих на круговой контур

Приложение В. Вспомогательные задача и лемма

B.1 Лемма

В.2 Задача о диффузионном осаждении частиц в плоском канале

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численно-аналитическое исследование течений вязкой жидкости и диффузионного осаждения аэрозольных частиц в волокнистых пористых средах»

Введение

К одному из самых важных видов многофазных течений относится течение газовзвесей. Газовзвесью называется дисперсная система, состоящая из газа (чаще всего воздуха), именуемого дисперсионной средой, и взвешенных в нем частиц - дисперсной фазы, которые могут быть твердыми, жидкими или содержать обе эти фазы. Газовзвеси при малых концентрациях дисперсной фазы называются аэрозолями.

Аэрозоли могут иметь как природное, так и техногенное происхождение. К природным аэрозолям относятся взвеси неорганических частиц, такие как дождевые облака, дым от природных пожаров, вулканические выбросы, пылевые бури и т.п., и взвеси с частицами биологического происхождения, такими как споры и пыльца растений, бактерии, вирусы, капли мокроты, образующиеся при кашле, и т.п. Аэрозоли техногенного происхождения образуются в результате промышленных выбросов на производствах добывающей, горнопере-рабатывающей, химической промышленности, на предприятиях энергетического комплекса, при работе транспорта, в результате деятельности в строительной, сельскохозяйственной и др. отраслях. Окружающие нас аэрозоли оказывают значительное воздействие на климат, экологию и чистоту окружающей среды, условия обитания флоры и фауны планеты. Взвешенные частицы влияют на самочувствие и здоровье человека, могут вызывать респираторные и сердечнососудистые заболевания, являются одним из механизмов переноса токсичных и радиоактивных веществ и распространения инфекционных заболеваний. Отметим также важность применения и учета влияния аэрозолей в различных технологических процессах, к которым относятся фильтрация частиц при очистке промышленных выбросов, нанесение покрытий и напылений, сепарация дисперсных материалов, применение аэрозольных катализаторов на химических предприятиях, распыление топлива в двигателях внутреннего сгорания, пылевая взрывобезопасность в шахтах, формирование атмосферы чистых комнат для высокотехнологичных производств и в медицине, неинвазивная доставка лекарств и др.

Одной из важнейших практических задач механики аэрозолей является очистка газов от взвешенных в нем частиц. В настоящее время наиболее эффективным способом улавливания частиц является применение волокнистых фильтров. Волокнистый фильтрующий материал представляет собой пористую

среду, образованную множеством волокон. Улавливание частиц происходит при движении газовзвеси через фильтр путем их осаждения на волокнах. При этом качество фильтра определяется соотношением двух его основных характеристик: сопротивления потоку газа и коэффициента пропуска частиц. Характерный размер сечения волокон обычно лежит в микронном диапазоне. Для фильтров тонкой очистки, так называемых HEPA-фильтров, применяют нановолокна с диаметром сечения от десятков до сотен нанометров. Для качественного улучшения характеристик волокнистых фильтров необходима разработка новых фильтрующих материалов.

Сказанное выше показывает, что аэрозоли оказывают значительное влияние на окружающую среду и играют важную роль в жизнедеятельности человека. Необходимость понимания механики движения газов со взвешенными частицами в однородных и пористых средах привела к развитию научных исследований в этой области. Первые работы по изучению взвешенных частиц появились в XIX веке. Р. Броуном [16] было сделано открытие броуновского движения. Дж.Стоксом [103] получена формула для вычисления силы, действующей со стороны жидкости на движущуюся в ней малою частицу (закон Стокса). У. Томсон (Кельвин) [108] сформулировал уравнение капиллярной конденсации, носящее его имя и характеризующее процессы испарения и конденсация жидких капель.

Теория движения газовзвесей является составной частью большого раздела механики - механики многофазных течений. Основы механики многофазных течений приведены в классических монографиях Р.И. Нигматуллина [148], С. Соу [156]. Методы расчета многофазных течений развивались в работах А.Н. Осипцова [149], Ю.М. Циркунова [150] и их учеников. Аэродинамика дисперсной частицы в потоке газа описана в монографии Д.А. Губайдуллина и П.П. Осипова [131]. Также отметим исследования Х.А. Рахматулина, С.С. Кутате-ладзе, М.Е. Дейча, В.Г. Левича, В.И. Терехова, М.А. Пахомова, Л.Е. Стернина,

A.А. Шрайбера, Л.И. Зайчика, Е.П. Медникова, А.Л. Стасенко, С.С. Сажина, Г.В. Кузнецова, П.А. Стрижака, В.Я. Рудяка, А.А. Губайдуллина, В.А. Архипо-ва, В.Г. Черняка, А.А. Аганина, А.Л. Тукмакова, П.П. Осипова, Р.С. Волкова,

B.В. Глазкова, В.Н. Киреева, О.А. Солнышкиной.

В связи с малыми концентрациями взвешенных частиц в реальных аэрозолях в механике аэрозолей пренебрегается обратным влиянием частиц на движение газа. Описание классических основ механики аэрозолей дано в мо-

нографиях Н.А. Фукса [159], В.М. Волощука [130], Л.М. Левина [144], Дж. Винсента [116], Л.С. Ивлева и Ю.А. Довгалюка [132; 133], П. Райста [152], Ю.И. Яламова и В.С. Галояна [162] и др. В основе теории фильтрации аэрозолей лежат модели механики многофазных течений в пористой среде волокнистых фильтров. Результаты теории и экспериментальных исследований фильтрации аэрозолей даются в работах Н.А. Фукса [159], А.А. Кирша и И.Б. Стечкиной [56], Ч. Дэвиса [29], Р. Брауна [15], У. Хиндса [46], И.В. Петрянова [151], П.И. Басманова [129]. Отдельно отметим большой цикл теоретических исследований по фильтрации аэрозолей В.А. Кирша, обобщенный в его докторской диссертации [138].

Задача расчета течения газовзвеси разбивается на две: моделирование течения несущей среды и решение лагранжевых или эйлеровых уравнений переноса частиц. Для расчета движения несущей среды в межпоровом пространстве принята модель вязкого течения несжимаемой жидкости. Широко используются простые аналитические ячеечные модели, например, модель круговой ячейки Кувабара [65] или прямоугольной периодической ячейки [77]. Во многих работах применяются численные модели. В зависимости от диапазона скоростей фильтрации используются приближение течения Стокса или уравнения Навье-Стокса [47; 57; 79; 122]. Основы механики сплошной среды даны в классических учебниках и монографиях А.Г. Лойцянского [145], Г. Ламба [143], Н.Е. Кочина, И.А. Кибеля, Н.В. Розе [142], Л.И. Седова [155], Г.Г. Черного [161]. Методам вычислительной гидродинамики посвящены монографии А.А. Самарского, Ю.П. Попова [154], В.М. Ковеня, Н.Н. Яненко [141], П. Роуча [153], Д. Андерсена, Дж. Таннехилла, Р. Плетчера [127] и др. Кинетическая теория газов излагается в фундаментальных книгах Дж. Ферцигера, Г. Капера [158] и С. Чепмена, Т. Каулинга [160].

Рассчитанные в рамках той или иной модели поля скоростей несущей среды в волокнистых фильтрах применяются при расчете движения и осаждения взвешенных частиц. Осаждение частиц на волокнах происходит за счет различных механизмов: в результате диффузии [36; 157], инерционного или гравитационного захвата, зацепления или в поле электростатических сил (см., напр., [15; 46; 159]). При этом применяются эйлерово-эйлеровая и эйлерово-лагранжевая постановки.

Несмотря на достаточно большое количество научных исследований течений газовзвесей в пористых средах в настоящее время остается целый

ряд теоретических и прикладных вопросов. Большинство предыдущих работ относится к случаю монодисперсных волокнистых сред с пространственно однородной пористостью. В реальности аэрозольные фильтры характеризуются как наличием волокон различных диаметров (микронного и нанометрового размеров), так и возможной пространственной неоднородностью пористой среды. Кроме того, возникают задачи, связанные с обтеканием пористых тел (например, пористых волокон или волокон с пористым осадком), когда требуется задание обоснованных условий на границе однородной и пористой сред. Сказанное выше обуславливает необходимость проведения дальнейших теоретических исследований и разработки новых математических моделей и эффективных методов расчета течений жидкости в волокнистых пористых средах и однородных средах с пористыми включениями и переноса в них взвешенных частиц. Это обосновывает актуальность темы исследований диссертационной работы.

Объектом исследования в настоящей диссертации являются стационарные течения газа в волокнистых пористых средах и однородных средах с пористыми включениями, перенос и осаждение взвешенных в газе частиц. Несущая среда в силу малых скоростей ее движения и небольших перепадов давления рассматривается как вязкая несжимаемая жидкость. Предметом исследований является гидродинамика течений жидкости в пористой среде волокнистого фильтра, распределение концентраций взвешенных частиц и эффективность их осаждения на волокнах фильтра.

В предположении малости концентраций частиц их влиянием на несущую среду пренебрегается. В этом случае задача расчета течения аэрозоля разбивается на две: задачи расчета течения несущей среды и движения взвешенных частиц. Волокна интерпретируются как неподвижные твердые включения. Гидродинамика течения несущей среды в пористой среде описывается с использованием микроскопического и макроскопического подходов. В рамках микроскопического подхода рассчитывается течение Стокса в межпоровом пространстве волокнистой среды. В рамках второго подхода для описания течения в пористой среде используются макроскопические модели Дарси и Бринкма-на. При рассмотрении обтекания пористых включений реализуются модели Стокса-Дарси и Стокса-Бринкмана с модифицированными граничными условиями (ГУ) на границе однородной и пористой сред, которую в дальнейшем будем именовать межфазной границей. Верификация макроскопических моделей осуществляется в рамках микроскопического подхода. Движение и осаждение

малых взвешенных частиц исследуется на основе уравнений конвективно диффузионного переноса на фоне микроскопического поля течения несущей среды.

Целью работы является развитие существующих и разработка новых математических моделей и методов расчета медленных стационарных плоских течений вязкой жидкости, диффузионного переноса и осаждения аэрозольных частиц в волокнистых пористых средах и однородных средах с пористыми включениями. Для достижения поставленной цели формулируются следующие задачи.

1. Постановка и разработка методов решения двумерных краевых задач для течения вязкой жидкости в волокнистой пористой среде и однородной среде с пористыми включениями в рамках микроскопической модели Стокса и макроскопических моделей Дарси, Бринкмана, Стокса-Дарси и Стокса-Бринкмана. Разработка алгоритмов и создание комплекса расчетных программ для реализации численного решения методом граничных элементов (МГЭ).

2. Определение проницаемости и эффективной вязкости, являющихся параметрами макроскопических моделей Дарси и Бринкмана для течений в волокнистых пористых средах, на основе сравнения численных и аналитических решений по микроскопической и макроскопической моделям в тестовых одномерных задачах.

3. Формулирование, обоснование и верификация новых ГУ на межфазной границе для макроскопических моделей Стокса-Дарси и Стокса-Бринкмана течений в однородных средах с пористыми включениями.

4. Разработка обобщения МГЭ, включающего введение областных элементов для решения уравнения Пуассона и неоднородного бигармоническо-го уравнения, содержащих неизвестную функцию и ее производные в правой части. Постановка и решение задачи о течении вязкой жидкости в пористой среде с пространственно неоднородным распределением параметров в рамках моделей Дарси и Бринкмана.

5. Разработка обобщения МГЭ для расчета течения Стокса в пористой среде с большим количеством твердых круговых включений на основе разложений искомых функций в ряды Фурье на их поверхности.

6. Постановка и решение задачи о течении по микроскопической модели Стокса в пористой среде, составленной нановолокнами, с учетом сколь-

жения на их поверхности при малых числах Кнудсена. Формулирование модифицированного ГУ скольжения. Разработка гидродинамической теории течения в пористой среде, составленной волокнами различного масштаба (аэрозольный фильтр смешанного типа из микро- и наново-локон).

7. Постановка и решение задачи конвективно диффузионного переноса малых аэрозольных частиц в протяженной волокнистой среде на основе новой модели периодической ячейки, учитывающей влияние диффузионного следа от волокон, лежащих выше по течению.

8. Постановка и решение задачи о диффузионном осаждении малых аэрозольных частиц в одиночном ряду волокон и в протяженной волокнистой среде в расширенном диапазоне чисел Пекле.

Методология и методы исследования. Для решения поставленных задач используются аналитические и численные методы решения краевых задач, к которым сводятся исследуемые физические проблемы. Основу аналитических исследований составляет модель периодической ячейки волокнистого фильтра, содержащей одно или множество (для смешанного фильтра) волокон. В случае круговой ячейки (так называемой ячейки Кувабары [65]) решения задач удается записать в аналитическом виде. Прямоугольная периодическая ячейка является моделью фильтра с регулярной прямоугольной и шахматной упаковками волокон. В диссертации модель периодической ячейки используется для исследования как гидродинамики несущего течения жидкости, так и переноса взвешенных частиц.

Численные методы основаны на классическом МГЭ и его обобщениях для решения краевых задач в переменных "функция тока - завихренность" для бигармонического уравнения и уравнений Лапласа, Бринкмана, к которым сводится расчет течения жидкости в рамках моделей Стокса, Дарси и Бринкмана. Обобщение этого метода с включением областных элементов, который будем называть методом граничных и областных элементов (МГОЭ), позволяет решать неоднородные гармоническое и бигармоническое уравнения, правые части которых содержат неизвестную функцию и ее производные. Необходимость решения таких уравнений возникает в задачах о расчете фильтрационных течений Дарси и Бринкмана в пористой среде с пространственно неоднородным распределением параметров, и к этому виду сводится уравнение конвективной диффузии. Обобщенный метод с введением круговых граничных элементов с разложениями

искомых функций на них в усеченные ряды Фурье, который в работе именуется методом граничных элементов Фурье (МГЭФ), используется для расчета течения Стокса в области, содержащей множество волокон кругового сечения. Для большей части интегралов по линейным и круговым граничным элементам и по треугольным и четырехугольным областным элементам, которые появляются в расчетных формулах МГЭ, МГОЭ и МГЭФ после дискретизации, получены аналитические формулы для их вычисления. Также отметим, что численные расчеты микроскопического течения Стокса рассматриваются как вычислительный эксперимент для макроскопических моделей и его результаты используются для определения их параметров и верификации проведенных по ним расчетов. Все реализации численных методов в диссертационной работе основаны на собственном программном коде.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем.

1. Разработаны методы граничных элементов расчёта течений по микроскопической модели Стокса в многосвязных областях сложной геометрии, точность и эффективность которых обеспечена выводом оригинальных аналитических формул для интегралов по линейным, круговым и областным элементам. Такой подход позволяет производить численную верификацию макроскопических моделей Дарси, Бринкмана, Стокса-Дарси и Стокса-Бринкмана. Получены зависимости проницаемости и эффективной вязкости (параметров макроскопических моделей Дарси и Бринкмана) от пористости для различных конфигураций модельных пористых сред, образованных регулярной упаковкой волокон с круговым и квадратным сечениями.

2. Сформулированы условия на произвольной криволинейной межфазной границе однородной и пористой сред в задачах обтекания пористых включений для моделей Стокса-Дарси и Стокса-Бринкмана. Для модели Стокса-Бринкмана предложенные ГУ обеспечивают равенство действующих на обтекаемое пористое тело сил, вычисленных интегрированием по поверхности тела напряжений во внешнем течении Стокса и в фильтрационном течении Бринкмана в пористом теле. Показано, что условие равенства давлений в модели Стокса-Дарси на межфазной границе дает лучшее согласие с вычислительным экспериментом по микроскопической модели по сравнению с условием равенства полных нормальных напряжений.

3. Предложено обобщение МГЭ для решения задачи о течении Стокса в пористой среде, составленной большим количеством (до нескольких тысяч) микро- и нановолокон кругового сечения, в котором используются усеченные разложения искомых функций в ряды Фурье на поверхности волокон. Показано, что предложенный приближенный метод значительно снижает трудоемкость расчетов за счет уменьшения на порядок числа неизвестных и обеспечивает высокую точность для высокопористых сред. Установлено, что гидродинамические характеристики течения Бринкмана связаны с коэффициентами введенных рядов Фурье, которые, таким образом, имеют определенный физический смысл.

4. Получено решение задач о течении Дарси и Бринкмана в пористой среде с пространственно неоднородным распределением параметров на основе обобщения МГЭ с введением областных элементов для решения уравнения Пуассона и неоднородного бигармонического уравнения с правыми частями, включающими неизвестную функцию и ее производные.

5. Для задачи обтекания нановолокон произвольного поперечного сечения при малых числах Кнудсена построено новое ГУ скольжения на поверхности нановолокна в виде линейной зависимости касательной составляющей вектора скорости от завихренности. Предложенное условие обеспечивает наблюдаемую в экспериментах линейную зависимость величины обратной к силе сопротивления нановолокна от числа Кнудсена.

6. Получены решения задач о течении вязкой жидкости в периодической ячейке пористой среды, составленной микро- и нановолокнами (модель аэрозольного фильтра смешанного типа) в микроскопическом и гибридном макроскопическом приближениях. В макроскопическом приближении микроволокно выделяется явно, а течение в пористой среде нановолокон описывается моделями Дарси или Бринкмана. Рассчитаны силы сопротивления смешанного фильтра и вклады в него гидродинамических сопротивлений микро- и нановолокон. Показано, что даже при значительном увеличении доли нановолокон вклад микроволокна в общую силу сопротивления остается существенным. На основе результатов параметрических расчетов по численной микроскопической

модели построены приближенные формулы для сил гидродинамического сопротивления. Из точных решений по гибридной макроскопической модели выведены аналитические формулы для сил гидродинамического сопротивления смешанного фильтра. Предложенные приближенные и аналитические формулы согласуются друг с другом и учитывают гидродинамическое взаимовлияние микро- и нановолокон.

7. Выявлено периодическое поведение формы распределения концентрации аэрозольных частиц в межпоровом пространстве при движении в протяженной волокнистой пористой среде. Предложена новая модель периодической ячейки для уравнения конвективно диффузионного переноса взвешенных частиц с учетом такого поведения. Модель содержит новые периодические ГУ, позволяющие учесть влияние диффузионного следа от волокон, лежащих выше по течению, при расчете диффузионного осаждения частиц. Изучено влияние диффузионного следа на эффективность осаждения.

8. Проведены параметрические расчетные исследования диффузионного осаждения частиц в ряду волокон и многослойном волокнистом фильтре и получены аппроксимационные формулы для эффективности одиночного волокна в расширенном диапазоне чисел Пекле с учетом асимптотического поведения эффективности диффузионного осаждения при малых и больших числах Пекле.

Практическая значимость результатов диссертационной работы состоит в разработанных новых моделях и методах расчета течений вязкой жидкости в волокнистых пористых средах и однородных средах с пористыми включениями и движения взвеси в пористой среде волокнистого фильтра. Полученные аналитические и аппроксимационные формулы для сил сопротивления и эффективности диффузионного осаждения частиц имеют практическое значение для проектирования и оптимизации волокнистых фильтров, в том числе из новых материалов смешанного типа, составленных из микро- и нановолокон.

Достоверность обеспечивается обоснованностью применяемых моделей и строгостью используемого математического аппарата, согласованностью полученных результатов с известными моделями, экспериментальными работами и предельными случаями, верификацией их с помощью вычислительного эксперимента.

Содержание диссертации полностью соответствует паспорту специальности 1.1.9. Механика жидкости, газа и плазмы:

- моделирование движения газовзвесей и осаждения аэрозольных частиц в фильтрах соответствует пункту 7 "Течения многофазных сред (газожидкостные потоки, пузырьковые среды, газовзвеси, аэрозоли, суспензии и эмульсии)";

- исследования течений жидкости и газовзвеси в волокнистой пористой среде и в однородной среде с пористыми включениями соответствуют пункту 8 "Течение жидкостей и газов в пористых средах".

- модифицированные условия на границе раздела однородной и пористой сред и ГУ на поверхности нановолокон, разработанные гидродинамическая теория течения жидкости в пористой среде, составленной волокнами различных масштабов (микро- и нановолокон) и новая модель периодической ячейки конвективно диффузионного переноса взвешенных частиц соответствует пункту 20 "Разработка математических методов и моделей гидромеханики".

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Методы граничных элементов расчета течений по микроскопической модели Стокса и макроскопическим моделям Дарси и Бринкмана в многосвязных областях сложной геометрии с применением оригинальных аналитических формул для интегралов по линейным граничным элементам [166; 175].

2. Зависимости проницаемости и эффективной вязкости (параметров макроскопических моделей Дарси и Бринкмана) от пористости для модельных пористых сред, образованных регулярной упаковкой волокон с круговыми и квадратными сечениями [164; 178].

3. Модифицированные условия на межфазной границе однородной и пористой сред в задачах обтекания пористых включений для моделей Стокса-Дарси и Стокса-Бринкмана. В качестве одного из условий предложена линейная зависимость завихренности однородного потока на границе от касательных составляющих скоростей однородного и фильтрационного потоков. Коэффициенты линейной зависимости для различных конфигураций модельных пористых сред найдены путем сравнения результатов по микроскопической и макроскопической моделям. Условие скачка завихренности для модели Стокса-Бринкмана. Обоснование условия равенства давлений на межфазной границе в мо-

дели Стокса-Дарси на основе вычислительного эксперимента [163; 167; 168; 176].

4. Обобщение МГЭ с введением областных элементов для решения уравнения Пуассона и неоднородного бигармонического уравнения с правыми частями, включающими неизвестную функцию и ее производные, и полученные с его помощью результаты решения задач о течении Дарси и Бринкмана в пористой среде с пространственно неоднородным распределением параметров [169; 179].

5. Высокоэффективный модифицированный МГЭ для решения задачи о течении Стокса в пористой среде, составленной большим количеством (до нескольких тысяч) микро- или нановолокон кругового сечения, на основе разложения искомых функций на поверхности волокон в ряды Фурье. Формулы зависимостей гидродинамических характеристик течения Бринкмана в окрестности волокон с коэффициентами введенных рядов Фурье. [170; 174].

6. Новая модель периодической ячейки для решения задачи конвективно диффузионного переноса и осаждения аэрозольных частиц в протяжен-

и и V/ ттт т

ной волокнистой пористой среде с периодическими ГУ, учитывающая влияние диффузионного следа от волокон, лежащих выше по течению [171].

7. Аппроксимационные формулы для эффективности одиночного волокна в расширенном диапазоне чисел Пекле для ряда волокон и многослойного волокнистого фильтра, полученные на основе результатов численно-аналитического исследования диффузионного осаждения частиц [171; 173].

8. Модифицированное ГУ скольжения на поверхности для задачи обтекания нановолокна при малых числах Кнудсена в виде линейной связи касательной составляющей вектора скорости и завихренности, обеспечивающее наблюдаемую в экспериментах линейную зависимость величины обратной к силе сопротивления нановолокна от числа Кнуд-сена. Решения краевых задач о течении жидкости в периодической ячейке пористой среды, составленной микро- и нановолокнами (модель смешанного фильтра) в микроскопическом и гибридном макроскопическом приближениях. Аналитические формулы для силы сопротивления пористой среды смешанного фильтра и вкладов в него микро- и на-

новолокон, учитывающие гидродинамическое взаимовлияние волокон различного масштаба друг на друга [165; 172; 177].

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Марданов Ренат Фаритович, 2026 год

Список литературы

1. Abramowitz, M. Handbook of mathematical functions: With formulas, graphs, and mathematical tables [Текст] / M. Abramowitz, I. A. Stegun. — Dover Publications, 1964. — 1046 p.

2. Adler, P. Porous media: Geometry and transports [Текст] / P. Adler, H. Brenner. — Elsevier Science, 2013. — 560 p.

3. Auriault, J.-L. About the Beavers and Joseph boundary condition [Текст] / J.-L. Auriault // Transport in Porous Media. — 2010. — June. — Vol. 83, no. 2. — P. 257—266. — URL: https://doi.org/10.1007/s11242-009-9435-9.

4. Banerjee, P. K. Boundary element methods in engineering science [Текст] / P. K. Banerjee, R. Butterfield. — McGraw-Hill Book Co. (UK), 1981. — 452 p.

5. Bao, L. Prediction of HEPA filter collection efficiency with a bimodal fiber size distribution [Текст] / L. Bao [et al.] // Kagaku Kogaku Ronbunshu. — 1998. — Vol. 24, no. 5. — P. 766—771. — URL: https://doi.org/10.1252/ kakoronbunshu.24.766.

6. Bao, L. Verification of slip flow in nanofiber filter media through pressure drop measurement at low-pressure conditions [Текст] / L. Bao [et al.] // Separation and Purification Technology. — 2016. — Vol. 159. — P. 100—107. — URL: https://doi.org/10.1016/j.seppur.2015.12.045.

7. Basset, A. B. A treatise on hydrodynamics [Текст] / A. B. Basset. — Com-bridge : Deighton Bell, 1888. — 296 p.

8. Bear, J. Dynamics of fluids in porous media [Текст] / J. Bear. — New York : American Elsevier Publishing Company, 1972. — 764 p.

9. Beavers, G. S. Boundary conditions at a naturally permeable wall [Текст] / G. S. Beavers, D. D. Joseph // Journal of Fluid Mechanics. — 1967. — Oct. — Vol. 30, issue 01. — P. 197—207. — URL: https://doi.org/10.1017/ S0022112067001375.

10. Blyth, M. G. A comparative study of the boundary and finite element methods for the Helmholtz equation in two dimensions [Текст] / M. G. Blyth, C. Pozrikidis // Engineering Analysis with Boundary Elements. — 2007. — Vol. 31, no. 1. — P. 35—49. — URL: https://doi.org/10.1016/j.enganabound. 2006.07.005.

11. Bodaghi, M. On the statistics of transverse permeability of randomly distributed fibers [Текст] / M. Bodaghi, G. Catalanotti, N. Correia // Composite Structures. — 2016. — Dec. — Vol. 158. — P. 323—332. — URL: https: //doi.org/10.1016/j.compstruct.2016.09.045.

12. Boumaiza, D. On the efficiency of the iterative coupling FEM-BEM for solving the elasto-plastic problems [Текст] / D. Boumaiza, B. Aour // Engineering Structures. —2014. — Vol. 72. — P. 12—25. — URL: https://doi.org/10.1016/ j.engstruct.2014.03.036.

13. Brebbia, C. A. The boundary element method for engineers [Текст] / C. A. Brebbia. — Pentech Press, 1978. — 189 p.

14. Brinkman, H. C. A calculation of the viscous force exerted by a flowing fluid on a dense swarm of particles [Текст] / H. C. Brinkman // Appl.Sci.Res. — 1949. — Vol. A1, no. 1. — P. 27—34. — URL: https://doi.org/10.1007/ BF02120313.

15. Brown, R. C. Air filtration [Текст] / R. C. Brown. — Oxford : Pergamon Press, 1993. — 408 p.

16. Brown, R. A brief account of microscopical observations made in the months of june, july and august, 1827, on the particles contained in the pollen of plants; and on the general existence of active molecules in organic and inorganic bodies [Текст] / R. Brown // The Philosophical Magazine. — 1828. — Vol. 4, no. 21. — P. 161—173. — URL: https://doi.org/10. 1080/14786442808674769.

17. Camp, C. V. Boundary element analysis of nonhomogeneous biharmonic phenomena [Текст] / C. V. Camp, G. S. Gipson. — Berlin, Heidelberg : Springer, 1992. —250 p. — URL: https://doi.org/10.1007/978-3-642-84701-1.

18. Chamsri, K. Permeability of fluid flow through a periodic array of cylinders [Текст] / K. Chamsri, L. S. Bennethum // Applied Mathematical Modelling. — 2015. — Vol. 39, no. 1. — P. 244—254. — URL: https://doi.org/10.1016/j.apm. 2014.05.024.

19. Chandesris, M. Boundary conditions at a fluid-porous interface: An a priori estimation of the stress jump coefficients [Текст] / M. Chandesris, D. Jamet // International Journal of Heat and Mass Transfer. — 2007. — Vol. 50, no. 17. — P. 3422—3436. — URL: https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2007.01. 053.

20. Chandesris, M. Jump conditions and surface-excess quantities at a fluid/ porous interface: A multi-scale approach [Текст] / M. Chandesris, D. Jamet // Transport in Porous Media. — 2009. — Vol. 78. — P. 419—438. — URL: https://doi.org/10.1007/s11242-008-9302-0.

21. Chen, H. A one-domain approach for modeling and simulation of free fluid over a porous medium [Текст] / H. Chen, X.-P. Wang // Journal of Computational Physics. — 2014. — Vol. 259. — P. 650—671. — URL: https: //doi.org/10.1016/j.jcp.2013.12.008.

22. Chen, J.-T. A new method for Stokes problems with circular boundaries using degenerate kernel and Fourier series [Текст] / J.-T. Chen, C.-C. Hsiao, S.-Y. Leu // International Journal for Numerical Methods in Engineering. — 2008. — Vol. 74, no. 13. — P. 1955—1987. — URL: https://doi.org/10.1002/ nme.2240.

23. Cho, D. Further improvement of air filtration efficiency of cellulose filters coated with nanofibers via inclusion of electrostatically active nanoparticles [Текст] / D. Cho [et al.] // Polymer. — 2013. — Vol. 54, no. 9. — P. 2364—2372. — URL: https://doi.org/10.1016/j.polymer.2013.02.034.

24. Choi, H.-J. Effect of slip flow on pressure drop of nanofiber filters [Текст] / H.-J. Choi [et al.] // Journal of Aerosol Science. — 2017. — Vol. 114. — P. 244—249. — URL: https://doi.org/10.1016/j.jaerosci.2017.09.020.

25. Choi, H.-J.Filtration properties of nanofiber/microfiber mixed filter and prediction of its performance [Текст] / H.-J. Choi [et al.] // Aerosol and Air Quality Research. — 2017. — Vol. 17, no. 4. — P. 1052—1062. — URL: https://doi.org/10.4209/aaqr.2016.06.0256.

26. Cieszko, M. Derivation of matching conditions at the contact surface between fluid-saturated porous solid and bulk fluid [Текст] / M. Cieszko, J. Kubik // Transport in Porous Media. - 1999. - Vol. 34. - P. 319-336. - URL: https://doi.org/10.1023/A:1006590215455.

27. Cortez, R. Computation of three-dimensional Brinkman flows using regularized methods [Текст] / R. Cortez [et al.] // Journal of Computational Physics. - 2010. - Vol. 229, no. 20. - P. 7609-7624. - URL: https: //doi.org/10.1016/j.jcp.2010.06.012.

28. Darcy, H. Les fontaines publiques de la ville de Dijon [Текст] / H. Darcy. -Paris : Dalmont, 1856. - 664 p.

29. Davies, C. N. Air filtration [Текст] / C. N. Davies. - London : Academic Press Inc., 1973. - 171 p.

30. de Luca Xavier Augusto, L. A simple numerical method to simulate the flow through filter media: Investigation of different fibre allocation algorithms [Текст] / L. de Luca Xavier Augusto [et al.] // The Canadian Journal of Chemical Engineering. - 2021. - Vol. 99, no. 12. - P. 2760-2770. - URL: https://doi.org/10.1002/cjce.24032.

31. Deo, S. Slow viscous flow through a membrane built up from porous cylindrical particles with an impermeable core [Текст] / S. Deo, P. K. Yadav, A. Tiwari // Applied Mathematical Modelling. - 2010. - Vol. 34, no. 5. -P. 1329-1343. - URL: https://doi.org/10.1016/j.apm.2009.08.014.

32. Deo, S. Hydrodynamic permeability of aggregates of porous particles with an impermeable core [Текст] / S. Deo [et al.] // Advances in Colloid and Interface Science. - 2011. - Vol. 164, no. 1/2. - P. 21-37. - URL: https://doi.org/10.1016/j.cis.2010.08.004.

33. Deviene, M. Frottement et exchanges termiques duns les gas rerifies [Текст] / M. Deviene. - Paris : Gausthier-Villars, 1958. - 135 p.

34. Dullien, F. A. Porous media: Fluid transport and pore structure [Текст] / F. A. Dullien. - 2nd ed. - San Diego , California : Academic Press, 1992. -416 p.

35. Dunnett, S. J. A numerical model of fibrous filters containing deposit [Текст] / S. J. Dunnett, C. F. Clement // Engineering Analysis with Boundary Elements. — 2009. — Vol. 33, no. 5. — P. 601—610. — URL: https://doi.org/10. 1016/j.enganabound.2008.10.010.

36. Dunnett, S. J.Numerical investigation into the loading behaviour of filters operating in the diffusional and interception deposition regimes [Текст] / S. J. Dunnett, C. F. Clement // Journal of Aerosol Science. — 2012. — Vol. 53. — P. 85—99. — URL: https://doi.org/10.1016/j.jaerosci.2012.06.008.

37. Durlofsky, L. Analysis of the Brinkman equation as a model for flow in porous media [Текст] / L. Durlofsky, J. F. Brady // The Physics of Fluids. — 1987. — Vol. 30, no. 11. — P. 3329—3341. — URL: https://doi.org/10.1063/1.866465.

38. Einstein, A. A new determination of molecular dimensions [Текст] / A. Einstein // Annalen der Physik. — 1906. — Vol. 19. — P. 289—306.

39. Freed, K. F. On the Stokes problem for a suspension of spheres at finite concentrations [Текст] / K. F. Freed, M. Muthukumar // J. Chem. Physics. — 1978. — Mar. — Vol. 68. — P. 2088—2096. — URL: https://doi.org/10.1063/1. 436033.

40. Ginzburg, I. Analysis and improvement of Brinkman lattice Boltzmann schemes: Bulk, boundary, interface. Similarity and distinctness with finite elements in heterogeneous porous media [Текст] / I. Ginzburg, G. Silva, L. Talon // Phys. Rev. E. — 2015. — Feb. — Vol. 91, issue 2. — P. 023307. — URL: https://doi.org/10.1103/PhysRevE.91.023307.

41. Happel, J. Low Reynolds number hydrodynamics: With special applications to particulate media [Текст] / J. Happel, H. Brenner. — Englewood Cliffs, New York : Prentice-Hall, 1965. — 553 p.

42. Hasimoto, H. On the periodic fundamental solutions of the Stokes equations and their application to viscous flow past a cubic array of spheres [Текст] / H. Hasimoto // Journal of Fluid Mechanics. — 1959. — Vol. 5, no. 2. — P. 317—328. — URL: https://doi.org/10.1017/S0022112059000222.

43. Hassan, M. A. Fabrication of nanofiber meltblown membranes and their filtration properties [Текст] / M. A. Hassan [et al.] // Journal of Membrane Science. — 2013. — Vol. 427. — P. 336—344. — URL: https://doi.org/10. 1016/j.memsci.2012.09.050.

44. Hassard, P. An efficient boundary element formulation for doubly-periodic two-dimensional Stokes flow with pressure boundary conditions [Текст] / P. Hassard [et al.] // Journal of Computational Physics. — 2018. — Vol. 365. — P. 18—36. — URL: https://doi.org/10.1016/j.jcp.2017.12.010.

45. Hill, A. A. Poiseuille flow in a fluid overlying a highly porous material [Текст] / A. A. Hill, B. Straughan // Advances in Water Resources. — 2009. — Vol. 32, no. 11. — P. 1609—1614. — URL: https://doi.org/10.1016/j.advwatres. 2009.08.007.

46. Hinds, W. Aerosol technology: Properties, behavior, and measurement of airborne particles [Текст] / W. Hinds. — 2nd ed. — New York : Wiley, 1999. — 483 p.

47. Hosseini, S. A. Modeling particle filtration in disordered 2-D domains: A comparison with cell models [Текст] / S. A. Hosseini, H. V. Tafreshi // Separation and Purification Technology. — 2010. — Vol. 74, no. 2. — P. 160—169. — URL: https://doi.org/10.1016/j.seppur.2010.06.001.

48. Hou, Y. On the solution of coupled Stokes/Darcy model with Beavers-Joseph interface condition [Текст] / Y. Hou, Y. Qin // Computers and Mathematics with Applications. — 2019. — Vol. 77, no. 1. — P. 50—65. — URL: https: //doi.org/10.1016/j.camwa.2018.09.011.

49. Huang, S.-H. Factors affecting filter penetration and quality factor of particulate respirators [Текст] / S.-H. Huang [et al.] // Aerosol and Air Quality Research. — 2013. — Vol. 13, no. 1. — P. 162—171. — URL: https: //doi.org/10.4209/aaqr.2012.07.0179.

50. Jager, W. Modeling effective interface laws for transport phenomena between an unconfined fluid and a porous medium using homogenization [Текст] / W. Jager, A. Mikelic // Transport in Porous Media. — 2009. — Vol. 78. — P. 489—508. — URL: https://doi.org/10.1007/s11242-009-9354-9.

51. James, D. F. Flow at the interface of a model fibrous porous medium [Текст] / D. F. James, A. M. J. Davis // Journal of Fluid Mechanics. — 2001. — Vol. 426. — P. 47—72. — URL: https://doi.org/10.1017/S0022112000002160.

52. Kelmanson, M. A. An integral equation method for the solution of singular slow flow problems [Текст] / M. A. Kelmanson // Journal of Computational Physics. — 1983. — Vol. 51, no. 1. — P. 139—158. — URL: https://doi.org/10. 1016/0021-9991(83)90084-0.

53. Kim, S. Modelling of porous media by renormalization of the Stokes equations [Текст] / S. Kim, W. B. Russel // Journal of Fluid Mechanics. — 1985. — Vol.154. — P. 269—286. —URL: https://doi.org/10.1017/ S0022112085001525.

54. Kirsch, A. A. Diffusion deposition of aerosol in fibrous filters at intermediate Peclet numbers [Текст] / A. A. Kirsch, P. V. Chechuev // Aerosol Science and Technology. — 1985. — Vol. 4, no. 1. — P. 11—16. — URL: https: //doi.org/10.1080/02786828508959035.

55. Kirsch, A. A. Studies on fibrous aerosol filters-III Diffusional deposition of aerosols in ibrous ilters [Текст] / A. A. Kirsch, N. A. Fuchs // The Annals of Occupational Hygiene. — 1968. — Oct. — Vol. 11, no. 4. — P. 299—304. — URL: https://doi.org/10.1093/annhyg/11.4.299.

56. Kirsch, A. A. Theory of aerosol filtration with fibrous filters [Текст] / A. A. Kirsch, I. B. Stechkina // Fundamentals of Aerosol Science / ed. by D. T. Shaw. — New York : Wiley & Sons., 1978. — P. 165—256.

57. Kirsch, V. A. Stokes flow in model fibrous filters [Текст] / V. A. Kirsch // Separation and Purification Technology. — 2007. — Vol. 58, no. 2. — P. 288—294. — URL: https://doi.org/10.1016/j.seppur.2007.07.002.

58. Kirsh, A. A. Effect of gas slip on the pressure drop in a system of parallel cylinders at small Reynolds numbers [Текст] / A. A. Kirsh, I. B. Stechkina, N. A. Fuchs // Journal of Colloid and Interface Science. — 1971. — Vol. 37, no. 2. — P. 458—461. — URL: https://doi.org/10.1016/0021-9797(71)90314-6.

59. Kirsh, A. A. Effect of gas slip on the pressure drop in fibrous filters [Текст] / A. A. Kirsh, I. B. Stechkina, N. A. Fuchs // Journal of Aerosol Science. — 1973. — Vol.4. — P. 287—293. — URL: https://doi.org/10.1016/0021-8502(73)90089-X.

60. Kirsh, V. A. Deposition of aerosol nanoparticles in fibrous filters [Текст] / V. A. Kirsh // Colloid Journal. — 2003. — Nov. — Vol. 65, no. 6. — P. 726—732. — URL: https://doi.org/10.1023/B:COLL.0000009115.07793.c9.

61. Kirsh, V. A. Simulation of nanofibrous filters produced by the electrospinning method: 2. The effect of gas slip on the pressure drop [Текст] / V. A. Kirsh, A. K. Budyka, A. A. Kirsh // Colloid Journal. — 2008. — Vol. 70, no. 5. — P. 584—588. — URL: https://doi.org/10.1134/S1061933X08050074.

62. Kirsh, V. A. Penetration of nanoparticles through screen-type diffusion batteries [Текст] / V. A. Kirsh, A. A. Kirsh // Colloid Journal. — 2010. — Vol. 72, no. 4. — P. 491—498. — URL: https://doi.org/10.1134/S1061933X10040083.

63. Kirsh, V. A. Deposition of nanoparticles in model multilayer fibrous filters with a two-dimensional flow field [Текст] / V. A. Kirsh, A. V. Shabatin // Colloid Journal. — 2015. — Vol. 77, no. 1. — P. 25—31. — URL: https: //doi.org/10.1134/S1061933X1501007X.

64. Koplik, J. Viscosity renormalization in the Brinkman equation [Текст] / J. Ko-plik, H. Levine, A. Zee // The Physics of Fluids. — 1983. — Vol. 26, no. 10. — P. 2864—2870. — URL: https://doi.org/10.1063/L864050.

65. Kuwabara, S. The forces experienced by randomly distributed parallel circular cylinders or spheres in a viscous flow at small Reynolds numbers [Текст] / S. Kuwabara // Journal of Physical Society of Japan. — 1959. — Vol. 14, no. 4. — P. 527—532. — URL: https://doi.org/10.1143/JPSJ.14.527.

66. Lauga, E. Microfluidics: The no-slip boundary condition [Текст] / E. Lauga, M. Brenner, H. Stone // Springer Handbook of Experimental Fluid Mechanics / ed. by C. Tropea, A. L. Yarin, J. F. Foss. — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2007. — P. 1219—1240. — URL: https://doi.org/10.1007/ 978-3-540-30299-5_19.

67. Layton, W. J. Coupling fluid flow with porous media flow [Текст] / W. J. Layton, F. Schieweck, I. Yotov // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 2002. — Vol. 40, no. 6. — P. 2195—2218. — URL: https://doi.org/10.1137/ S0036142901392766.

68. Lebedev, M. Viscous flow through polydisperse row of parallel fibers: Account for the slip effect [Текст] / M. Lebedev, I. Stechkina, A. Chernyakov // Colloid Journal. — 2000. — Vol. 62, no. 6. — P. 731—745. — URL: https: //doi.org/10.1023/A:1026682825933.

69. Lee, S. Modeling pressure drop values across ultra-thin nanofiber filters with various ranges of filtration parameters under an aerodynamic slip effect [Текст] / S. Lee [et al.] // Scientific Reports. - 2023. - Apr. - Vol. 13. -P. 5449. - URL: https://doi.org/10.1038/s41598-023-32765-4.

70. Leung, W. W.-F. Effect of face velocity, nanofiber packing density and thickness on filtration performance of filters with nanofibers coated on a substrate [Текст] / W. W.-F. Leung, C.-H. Hung, P.-T. Yuen // Separation and Purification Technology. - 2010. - Vol. 71, no. 1. - P. 30-37. - URL: https://doi.org/10.1016/j.seppur.2009.10.017.

71. Levenberg, K. A method for the solution of certain non-linear problems in least squares [Текст] / K. Levenberg // Quarterly of Applied Mathematics. -1944. - Vol. 2. - P. 164-168. - URL: https://doi.org/10.1090/qam/10666.

72. Li, P. Air filtration in the free molecular flow regime: A review of high-efficiency particulate air filters based on carbon nanotubes [Текст] / P. Li [et al.] // Small. - 2014. - Vol. 10, no. 22. - P. 4543-4561. - URL: https://doi.org/10.1002/smll.201401553.

73. Liu, H. On Darcy-Brinkman equation: Viscous flow between two parallel plates packed with regular square arrays of cylinders [Текст] / H. Liu, P. R. Patil, U. Narusawa // Entropy. - 2007. - Vol. 9, no. 3. - P. 118-131. -URL: https://doi.org/10.3390/e9030118.

74. Lundgren, T. S. Slow flow through stationary random beds and suspensions of spheres [Текст] / T. S. Lundgren // Journal of Fluid Mechanics. -1972. - Vol. 51, no. 2. - P. 273-299. - URL: https://doi.org/10. 1017/S002211207200120X.

75. Matulevicius, /.Design and characterization of electrospun polyamide nanofiber media for air filtration applications [Текст] / J. Matulevicius [et al.] // Journal of Nanomaterials. - 2014. - June. - Vol. 2014. -P. 1-13. - URL: https://doi.org/10.1155/2014/859656.

76. Maze, B. A simulation of unsteady-state filtration via nanofiber media at reduced operating pressures [Текст] / B. Maze [et al.] // Journal of Aerosol Science. - 2007. - Vol. 38, no. 5. - P. 550-571. - URL: https://doi.org/ 10.1016/j.jaerosci.2007.03.008.

77. Miyagi, T. Viscous flow at low Reynolds numbers past an infinite row of equal circular cylinders [Текст] / T. Miyagi // Journal of the Physical Society of Japan. — 1958. — Vol. 13, no. 5. — P. 493—496. — URL: https: //doi.org/10.1143/JPSJ.13.493.

78. More, J.User guide for MINIPACK-1. Argonne national labs report ANL-80-74 [Текст] / J. More, B. Garbow, K. Hillstrom. — Argonne, Illinois : Argonne National Laboratory, 1980. — 260 p.

79. Muller, T. Low Reynolds number drag and particle collision efficiency of a cylindrical fiber within a parallel array [Текст] / T. Muller, J. Meyer, G. Kasper // Journal of Aerosol Science. — 2014. — Vol. 77. — P. 50—66. — URL: https://doi.org/10.1016/j.jaerosci.2014.07.007.

80. Nandakumar, K. Laminar flow past a permeable sphere [Текст] / K. Nan-dakumar, J. H. Masliyah // The Canadian Journal of Chemical Engineering. — 1982. — Vol. 60, no. 2. — P. 202—211. — URL: https://doi.org/10.1002/cjce. 5450600202.

81. Neale, G. Practical significance of Brinkman's extension of Darcy's law: Coupled parallel flows within a channel and a bounding porous medium [Текст] / G. Neale, W. Nader // The Canadian Journal of Chemical Engineering. — 1974. — Vol. 52, no. 4. — P. 475—478. — URL: https://doi.org/10.1002/cjce. 5450520407.

82. Nield, D. A. The boundary correction for the Rayleigh-Darcy problem: Limitations of the Brinkman equation [Текст] / D. A. Nield // Journal of Fluid Mechanics. — 1983. — Vol. 128. — P. 37—46. — URL: https://doi.org/10. 1017/S0022112083000361.

83. Nield, D. A. Convection in porous media [Текст] / D. A. Nield, A. Bejan. — 3rd ed. — New York : Springer-Verlag, 2006. — 640 p. — URL: https: //doi.org/10.1007/0-387-33431-9.

84. Ochoa-Tapia, J. A. Momentum transfer at the boundary between a porous medium and a homogeneous fluid-I. Theoretical development [Текст] / J. A. Ochoa-Tapia, S. Whitaker // International Journal of Heat and Mass Transfer. — 1995. — Vol. 38, no. 14. — P. 2635—2646. — URL: https: //doi.org/10.1016/0017-9310(94)00346-W.

85. Ochoa-Tapia, J. A. Momentum transfer at the boundary between a porous medium and a homogeneous fluid—II. Comparison with experiment [Текст] / J. A. Ochoa-Tapia, S. Whitaker // International Journal of Heat and Mass Transfer. — 1995. — Vol. 38, no. 14. — P. 2647—2655. — URL: https: //doi.org/10.1016/0017-9310(94)00347-X.

86. Osiptsov, A. N. Lagrangian modelling of dust admixture in gas flows [Текст] / A. N. Osiptsov // Astrophysics and Space Science. — 2000. — Vol. 274, no. 1. — P. 377—386. — URL: https://doi.org/10.1023/A:1026557603451.

87. Parvazinia, M. Multi-scale finite element modelling of laminar steady flow through highly permeable porous media [Текст] / M. Parvazinia, V. Nassehi, R. J. Wakeman // Chemical Engineering Science. — 2006. — Vol. 61, no. 2. — P. 586—596. — URL: https://doi.org/10.1016/j.ces.2005.07.018.

88. Pich, J. Pressure drop of fibrous filters at small Knudsen numbers [Текст] / J. Pich // The Annals of occupational hygiene. — 1966. — Feb. — Vol. 9. — P. 23—27. — URL: https://doi.org/10.1093/annhyg/9.1.23.

89. Podgorski, A. Application of nanofibers to improve the filtration efficiency of the most penetrating aerosol particles in fibrous filters [Текст] / A. Podgorski, A. Balazy, L. Gradon // Chemical Engineering Science. — 2006. — Vol. 61, no. 20. — P. 6804—6815. — URL: https://doi.org/10.1016/j.ces.2006.07.022.

90. Podgorski, A. Penetration of monodisperse, singly charged nanoparticles through polydisperse fibrous filters [Текст] / A. Podgorski [et al.] // Aerosol Science and Technology. — 2011. — Vol. 45, no. 2. — P. 215—233. — URL: https://doi.org/10.1080/02786826.2010.531300.

91. Powell, M. J. D. Restart procedures for the conjugate gradient method [Текст] / M. J. D. Powell // Mathematical Programming. — 1977. — Dec. — Vol. 12, no. 1. — P. 241—254. — URL: https://doi.org/10.1007/BF01593790.

92. Prakash, J. Stokes flow of an assemblage of porous particles: Stress jump condition [Текст] / J. Prakash, G. P. Raja Sekhar, M. Kohr // Zeitschrift fiir angewandte Mathematik und Physik. — 2011. — Dec. — Vol. 62. — P. 1027—1046. — URL: https://doi.org/10.1007/s00033-011-0123-6.

93. Ramakrishnan, S. Numerical modeling of nanofibrous filter media and performance characteristics [Текст] / S. Ramakrishnan [et al.] // Chemical Engineering Science. — 2022. — Vol. 262. — P. 118019. — URL: https: //doi.org/10.1016/j.ces.2022.118019.

94. Roldughin, V. I. Simulation of aerosol filters at intermediate Knudsen numbers [Текст] / V. I. Roldughin, A. A. Kirsh, A. M. Emel'yanenko // Colloid Journal. — 1999. — Vol. 61, no. 4. — P. 492—504. — URL: https://elibrary.ru/ item.asp?id=13322136.

95. Rubinstein, J. Effective equations for flow in random porous media with a large number of scales [Текст] / J. Rubinstein // Journal of Fluid Mechanics. — 1986. — Vol.170. — P. 379—383. —URL: https://doi.org/10.1017/ S0022112086000939.

96. Saffman, P. G. On the boundary condition at the surface of a porous medium [Текст] / P. G. Saffman // Studies in Applied Mathematics. — 1971. — Vol. 50, no. 2. — P. 93—101. — URL: https://doi.org/10.1002/sapm197150293.

97. Sambaer, W. 3D modeling of filtration process via polyurethane nanofiber based nonwoven filters prepared by electrospinning process [Текст] / W. Sambaer, M. Zatloukal, D. Kimmer // Chemical Engineering Science. — 2011. — Vol. 66, no. 4. — P. 613—623. — URL: https://doi.org/10.1016/j.ces.2010.10. 035.

98. Sangani, A. S. Slow flow through a periodic array of spheres [Текст] / A. S. Sangani, A. Acrivos // International Journal of Multiphase Flow. — 1982. — Vol. 8, no. 4. — P. 343—360. — URL: https://doi.org/10.1016/0301-9322(82)90047-7.

99. Skerget, P. Computational fluid dynamics by the boundary-domain integral method [Текст] / P. Skerget [et al.] // Boundary Elements in Fluid Dynamics / ed. by C. A. Brebbia, P. W. Partridge. — Dordrecht : Springer Netherlands, 1992. — P. 241—261. — URL: https://doi.org/10.1007/978-94-011-2876-6_19.

100. Sobera, M. P. Hydraulic permeability of ordered and disordered single-layer arrays of cylinders [Текст] / M. P. Sobera, C. R. Kleijn // Phys. Rev. E. — 2006. — Sept. — Vol. 74, issue 3. — P. 036301. — URL: https://doi.org/10. 1103/PhysRevE.74.036301.

101. Starov, V. M. Effective viscosity and permeability of porous media [Текст] / V. M. Starov, V. G. Zhdanov // Colloids and Surfaces A: Physicochemical and Engineering Aspects. — 2001. — Vol. 192, no. 1. — P. 363—375. — URL: https://doi.org/10.1016/S0927-7757(01)00737-3.

102. Stechkina, I. B. Drag of porous cylinders in a viscous fluid at low Reynolds numbers [Текст] / I. B. Stechkina // Fluid Dyn. — 1979. — Vol. 14, no. 6. — P. 912—915. — URL: https://doi.org/10.1007/BF01051997.

103. Stokes, G. G. On the effect of the internal friction of fluids on the motion of pendulums [Текст] / G. G. Stokes // Transactions of the Cambridge Philosophical Society. — 1851. — Vol. 9. — P. 8—106.

104. Straughan, B. The energy method, stability, and nonlinear convection [Текст] / B. Straughan. — 2nd ed. — NY : Springer New York, 2004. — 450 p. — URL: https://doi.org/10.1007/978-0-387-21740-6.

105. Tam, C. K. W. The drag on a cloud of spherical particles in low Reynolds number flow [Текст] / C. K. W. Tam // Journal of Fluid Mechanics. — 1969. — Vol. 38, no. 3. — P. 537—546. — URL: https://doi.org/10.1017/ S0022112069000322.

106. Tamayol, A. Parallel flow through ordered fibers: An analytical approach [Текст] / A. Tamayol, M. Bahrami // Journal of Fluids Engineering, Transactions of the ASME. —2010. — Vol. 132, no. 11. — P. 114502-1-114502—7. — URL: https://doi.org/10.1115/L4002169.

107. Tan, H. Finite element implementation of stress-jump and stress-continuity conditions at porous-medium, clear-fluid interface [Текст] / H. Tan, K. M. Pillai // Computers & Fluids. — 2009. — Vol. 38, no. 6. — P. 1118—1131. — URL: https://doi.org/10.1016/j.compfluid.2008.11.006.

108. Thomson, W. On the equilibrium of vapour at a curved surface of liquid [Текст] / W. Thomson // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. — 1871. — Vol. 42, no. 282. — P. 448—452. — URL: https://doi.org/10.1080/14786447108640606.

109. Tuck, E. O. Calculation of unsteady flows due to small motions of cylinders in a viscous fluid [Текст] / E. O. Tuck // Journal of Engineering Mathematics. — 1969. — Vol. 3, no. 1. — P. 29—44. — URL: https://doi.org/10.1007/ BF01540828.

110. Uppal, R. Meltblown nanofiber media for enhanced quality factor [Текст] / R. Uppal [et al.] // Fibers and Polymers. — 2013. — Apr. — Vol. 14. — P. 660—668. — URL: https://doi.org/10.1007/s12221-013-0660-z.

111. Vafai, K. On the limitations of the Brinkman-Forchheimer-extended Darcy equation [Текст] / K. Vafai, S. J. Kim // International Journal of Heat and Fluid Flow. — 1995. — Vol. 16, no. 1. — P. 11—15. — URL: https: //doi.org/10.1016/0142-727X(94)00002-T.

112. Vafai, K. Handbook of porous media [Текст] / K. Vafai. — CRC Press, 2015. — 959 p.

113. Vainshtein, P. Creeping flow past and within a permeable spheroid [Текст] / P. Vainshtein, M. Shapiro, C. Gutfinger // International Journal of Multiphase Flow. — 2002. — Vol. 28, no. 12. — P. 1945—1963. — URL: https: //doi.org/10.1016/S0301-9322(02)00106-4.

114. Valdes-Parada, F. J. Velocity and stress jump conditions between a porous medium and a fluid [Текст] / F. J. Valdes-Parada [et al.] // Advances in Water Resources. — 2013. — Vol. 62. — P. 327—339. — URL: https: //doi.org/10.1016/j.advwatres.2013.08.008.

115. Vasin, S. I. Cell models for flows in concentrated media composed of rigid impenetrable cylinders covered with a porous layer [Текст] / S. I. Vasin, A. N. Filippov // Colloid Journal. — 2009. — Vol. 71, no. 2. — P. 141—155. — URL: https://doi.org/10.1134/S1061933X0902001X.

116. Vincent, J. H. Aerosol sampling: science and practice [Текст] / J. H. Vincent. — London : Wiley, Sons, 1989. — 416 p.

117. Wang, C. Y. Stokes slip flow through square and triangular arrays of circular cylinders [Текст] / C. Y. Wang // Fluid Dynamics Research. — 2003. — Vol. 32, no. 5. — P. 233—246. — URL: https://doi.org/10.1016/S0169-5983(03)00049-2.

118. Wang, J. Figure of merit of composite filters with micrometer and nanometer fibers [Текст] / J. Wang, S. C. Kim, D. Y. H. Pui // Aerosol Science and Technology. — 2008. — Vol. 42, no. 9. — P. 722—728. — URL: https: //doi.org/10.1080/02786820802249133.

119. Wang, J. Filtration of aerosol particles by elliptical fibers: A numerical study [Текст] / J. Wang, D. Y. H. Pui // Journal of Nanoparticle Research. — 2009. — Vol. 11, no. 1. — P. 185—196. — URL: https://doi.org/10.1007/s11051-008-9422-z.

120. Willot, F. The permeability of boolean sets of cylinders [Текст] / F. Willot, B. Abdallah, D. Jeulin // Oil Gas Sci. Technol. - Rev. IFP Energies nouvelles. — 2016. — Vol. 71, no. 4. — P. 52. — URL: https://doi.org/10.2516/ ogst/2016003.

121. Yu, K. H. Development and implementation of some BEM variants - A critical review [Текст] / K. H. Yu, A. H. Kadarman, H. Djojodihardjo // Engineering Analysis with Boundary Elements. — 2010. — Vol. 34, no. 10. — P. 884—899. — URL: https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2010.05.001.

122. Zaripov, S. K. Inertial deposition of aerosol particles in a periodic row of porous cylinders [Текст] / S. K. Zaripov, O. V. Solov'eva, S. A. Solov'ev // Aerosol Science and Technology. — 2015. — Vol. 49, no. 6. — P. 400—408. — URL: https://doi.org/10.1080/02786826.2015.1036834.

123. Zaripov, S. K. Inertial deposition of aerosol particles in a periodic row of porous cylinders [Текст] / S. K. Zaripov, O. V. Solov'eva, S. A. Solov'ev // Aerosol Science and Technology. — 2015. — Vol. 49, issue 06. — P. 400—408. — URL: https://doi.org/10.1080/02786826.2015.1036834.

124. Zhang, Z. Experimental study of aerosol filtration in the transition flow regime [Текст] / Z. Zhang, B. Y. H. Liu // Aerosol Science and Technology. — 1992. — Vol. 16, no. 4. — P. 227—235. — URL: https://doi.org/10.1080/ 02786829208959551.

125. Zhou, Y. Electrospun nanofiber membranes for air filtration: A review [Текст] / Y. Zhou [et al.] // Nanomaterials. — 2022. — Vol. 12, no. 7. — P. 1077. — URL: https://doi.org/10.3390/nano12071077.

126. Zhu, Z. On the examination of the Darcy permeability of soft fibrous porous media; new correlations [Текст] / Z. Zhu, Q. Wang, Q. Wu // Chemical Engineering Science. — 2017. — Vol. 173. — P. 525—536. — URL: https: //doi.org/10.1016/j.ces.2017.08.021.

127. Андерсон, Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х т. Пер. с англ. [Текст]. Т. 1 / Д. Андерсон, Д. Таннехилл, Р. Плетчер. — М. : Мир, 1990. — 384 с.

128. Баренблатт, Г. И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика [Текст] / Г. И. Баренблатт. — Ленинград : Гидрометеоиздат, 1982. — 256 с.

129. Басманов, П. И. Высокоэффективная очистка газов от аэрозолей фильтрами Петрянова [Текст] / П. И. Басманов [и др.]. — М. : Наука, 2003. — 270 с.

130. Волощук, В. М. Введение в гидродинамику грубодисперсных аэрозолей [Текст] / В. М. Волощук. — Л. : Гидрометеоиздат, 1971. — 208 с.

131. Губайдуллин, Д. А. Аэрогидродинамика дисперсной частицы [Текст] / Д. А. Губайдуллин, П. П. Осипов. — М. : Физматлит, 2020. — 176 с.

132. Довгалюк, Ю. А. Физика водных и других атмосферных аэрозолей [Текст] / Ю. А. Довгалюк, Л. С. Ивлев. — СПб. : НИИХ СПбГУ, 1998. — 324 с.

133. Ивлев, Л. С. Физика атмосферных аэрозольных систем [Текст] / Л. С. Ивлев, Ю. А. Довгалюк. — СПб. : НИИХ СПбГУ, 1999. — 258 с.

134. Кирш, В. А. Аэрозольные фильтры из пористых волокон [Текст] / В. А. Кирш // Коллоидный журнал. — 1996. — Т. 58, № 6. — С. 786—790. — URL: https://elibraryru/item.asp?id=14934765.

135. Кирш, В. А. Аэрозольные фильтры из пористых волокон. Кинетика забивки фильтров твердыми частицами [Текст] / В. А. Кирш // Коллоидный журнал. — 1998. — Т. 60, № 1. — С. 23—27. — URL: https://elibrary.ru/item. asp?id=14943929.

136. Кирш, В. А. Обтекание стоксовым потоком периодических рядов пористых цилиндров [Текст] / В. А. Кирш // Теоретические основы химической технологии. — 2006. — Т. 40, № 5. — С. 501—507. — URL: https://elibrary.ru/ item.asp?id=9293852.

137. Кирш, В. А. Стоксово течение в периодических системах параллельных цилиндров с пористыми проницаемыми оболочками [Текст] / В. А. Кирш // Коллоидный журнал. — 2006. — Т. 68, № 2. — С. 198—206. — URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=9192841.

138. Кирш, В. А. Фильтрация субмикронных аэрозолей волокнистыми фильтрами [Текст] : Дисс... докт. физ.-мат. наук. : 02.00.11, 02.00.04 / Кирш В. А. — M. : ФГБУН ИФХЭ им. А.Н. Фрумкина РАН, 2012. — 300 с.

139. Кирш, В. А. Модель запыленного фильтра с несимметричным осадком частиц на волокнах [Текст] / В. А. Кирш // Коллоидный журнал. — 2014. — Т. 76, № 4. — С. 472—476. — URL: https://doi.org/10.7868/ S0023291214040077.

140. Кирш, В. А. Улавливание наноаэрозолей фильтрами из нановолокон [Текст] / В. А. Кирш, А. А. Кирш // Коллоидный журнал. — 2021. — Т. 83, № 6. — С. 651—659. — URL: https://doi.org/10.31857/S0023291221060069.

141. Ковеня, В. М. Методы расщепления в задачах газовой динамики [Текст] / В. М. Ковеня, Н. Н. Яненко. — Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1981. — 304 с.

142. Конин, Н. Е. Теоретическая гидромеханика. Ч. 1, 2 [Текст] / Н. Е. Кочин, И. А. Кибель, Н. В. Розе. — М. : Физматгиз, 1963.

143. Ламб, Г. Гидродинамика: Пер. с 6-го англ. изд. [Текст] / Г. Ламб. — М., Л. : Гостехиздат, 1947. — 928 с.

144. Левин, Л. М. Исследования по физике грубодисперсных аэрозолей [Текст] / Л. М. Левин. — М. : Издательство Академии наук СССР, 1961. — 268 с.

145. Лойцянский, А. Г. Механика жидкости и газа [Текст] / А. Г. Лойцянский. — М. : Yferf, 1970. — 904 с.

146. Мосина, Е. В. Условие скольжения на поверхности модельной волокнистой пористой среды [Текст] / Е. В. Мосина, И. В. Чернышев // Письма в ЖТФ. — 2009. — Т. 35, № 5. — С. 103—110. — URL: https://elibrary.ru/item. asp?id=20326820.

147. Натансон, Г. Л. Диффузионное осаждение аэрозолей на обтекаемом цилиндре при малых коэффициентах захвата [Текст] / Г. Л. Натансон // Докл. АН СССР. — 1957. — Т. 112, № 1. — С. 100—103.

148. Нигматуллин, Р. И. Динамика многофазных сред. Ч. I, II [Текст] / Р. И. Нигматуллин. — М. : Наука, 1987.

149. Осипцов, А. Н. Развитие полного лагранжева подхода для моделирования течений разреженных дисперсных сред (обзор) [Текст] / А. Н. Осипцов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. — 2024. — № 1. — С. 3—51. — URL: https://doi.org/10.31857/S1024708424010012.

150. Панфилов, С. В. Обтекание тел запыленным газом при рассеянии отраженных частиц [Текст] / С. В. Панфилов, Д. А. Романюк, Ю. М. Циркунов //

Известия РАН. Механика жидкости и газа. — 2023. — № 4. — С. 64—80. — URL: https://doi.org/10.31857/S1024708423600069.

151. Петрянов, И. В. Волокнистые фильтрующие материалы ФП [Текст] / И. В. Петрянов [и др.]. — М. : Знание, 1968. — 77 с.

152. Райст, П. Аэрозоли. Введение в теорию: Пер. с англ. [Текст] / П. Райст. — М. : Мир, 1987. — 278 с.

153. Роуч, П. Вычислительная гидродинамика: Пер. с англ. [Текст] / П. Роуч. — М. : Мир, 1980. — 616 с.

154. Самарский, А. А. Разностные методы решения задач газовой динамики [Текст] / А. А. Самарский, Ю. П. Попов. — М. : Наука, 1980. — 352 с.

155. Седов, Л. И. Механика сплошной среды [Текст]. Т. 2 / Л. И. Седов. — М. : Наука, 1973. — 584 с.

156. Соу, С. Гидродинамика многофазных систем: Пер. с англ. [Текст] / С. Соу. — М. : Мир, 1971. — 536 с.

157. Стечкина, И. Б. Диффузионное осаждение аэрозолей в волокнистых фильтрах [Текст] / И. Б. Стечкина // Докл. АН СССР. — 1966. — Т. 167, №6.— С. 1327—1330.

158. Ферцигер, Д. Математическая теория процессов переноса в газах: Пер. с англ. [Текст] / Д. Ферцигер, Г. Капер. — М. : Мир, 1976. — 554 с.

159. Фукс, Н. А. Механика аэрозолей [Текст] / Н. А. Фукс. — М. : Издательство Академии наук СССР, 1955. — 352 с.

160. Чепмен, С. Математическая теория неоднородных газов: Пер. с англ. [Текст] / С. Чепмен, Т. Д. Каулинг. — М. : Изд-во иностр. лит., 1960. — 510 с.

161. Черный, Г. Г. Газовая динамика [Текст] / Г. Г. Черный. — М. : Наука, 1988. — 424 с.

162. Яламов, Ю. И. Динамика капель в неоднородных вязких средах [Текст] / Ю. И. Яламов, В. С. Галоян. — Ереван : Луйс, 1985. — 207 с.

Список публикаций автора по теме диссертации в изданиях из перечня Высшей аттестационной комиссии или приравниваемых к ним

163. Abzalilov, D. F. Modified interfacial boundary conditions for the Stokes-Brinkman flow model [Текст] / D. F. Abzalilov [et al.] // Transport in Porous Media. - 2023. - Vol. 149, no. 3. - P. 891-918. - URL: https://doi.org/10.1007/s11242-023-01994-6.

164. Mardanov, R. F. Determination of the parameters of the Brinkman model for a porous medium composed of nanofibers [Текст] / R. F. Mardanov // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2022. — Vol. 43, no. 10. — P. 2970—2976. — URL: https://doi.org/10.1134/S1995080222130303.

165. Mardanov, R. F. Theoretical study of the aerodynamic drag force of a nanofiber/microfiber mixed aerosol filter [Текст] / R. F. Mardanov // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2024. — Vol. 45, no. 8. — P. 3935—3958. — URL: https://doi.org/10.1134/S1995080224604727.

166. Mardanov, R. F. Modeling of fluid flow in periodic cell with porous cylinder using a boundary element method [Текст] / R. F. Mardanov, S. J. Dunnett, S. K. Zaripov // Engineering Analysis with Boundary Elements. — 2016. — Vol. 68. — P. 54—62. — URL: https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2016.03. 015.

167. Mardanov, R. F. Modified formulation of the interfacial boundary condition for the coupled Stokes-Darcy problem [Текст] / R. F. Mardanov, V. F. Shara-futdinov, S. K. Zaripov // Theor. Comput. Fluid Dyn. — 2021. — Vol. 35, no. 4. — P. 449—476. — URL: https://doi.org/10.1007/s00162-021-00568-w.

168. Mardanov, R. F. On the conditions at the interface between homogeneous and porous environments for the Stokes-Darcy problem [Текст] / R. F. Mardanov, V. F. Sharafutdinov, S. K. Zaripov // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2022. — Vol. 43, no. 12. — P. 3573—3582. — URL: https://doi.org/10.1134/ S1995080222150203.

169. Mardanov, R. F. Solution of nonhomogeneous Helmholtz equation with variable coefficient using boundary domain integral method [Текст] / R. F. Mardanov, S. K. Zaripov // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2018. — Aug. — Vol. 39, no. 6. — P. 783—793. — URL: https://doi.org/10. 1134/S1995080218060112.

170. Mardanov, R. F. Two-dimensional Stokes flows in porous medium composed of a large number of circular inclusions [Текст] / R. F. Mardanov, S. K. Zaripov, D. V. Maklakov // Engineering Analysis with Boundary Elements. — 2020. — Vol. 113. — P. 204—218. — URL: https://doi.org/10.1016/ j.enganabound.2019.12.010.

171. Mardanov, R. F. A new periodic cell model of aerosol diffusion deposition in a fibrous filter [Текст] / R. F. Mardanov, S. K. Zaripov, V. F. Sharafutdinov // Separation and Purification Technology. — 2021. — Vol. 257. — P. 117848. — URL: https://doi.org/10.1016/j.seppur.2020.117848.

172. Mardanov, R. F. New mathematical model of fluid flow around nanofiber in a periodic cell [Текст] / R. F. Mardanov, S. K. Zaripov, V. F. Sharafutdinov // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2022. — Vol. 43, no. 8. — P. 2206—2221. — URL: https://doi.org/10.1134/S1995080222110191.

173. Mardanov, R. F. The theoretical study of the efficiency of diffusion deposition of nanoaerosols in the extended range of the Peclet numbers [Текст] / R. F. Mardanov, S. K. Zaripov, V. F. Sharafutdinov // Particuology. — 2023. — Vol. 77. — P. 47—55. — URL: https://doi.org/10.1016/j.partic.2022.08.005.

174. Mardanov, R. F. Boundary element method for 2D Stokes slip flow in porous medium composed of a large number of circular inclusions [Текст] / R. F. Mardanov, T. S. Zaripov // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2025. — Vol. 46, no. 2. — P. 773—785. — URL: https://doi.org/10.1134/ S1995080224608725.

175. Mardanov, R. F. A Stokes-Brinkman model of the fluid flow in a periodic cell with a porous body using the boundary element method [Текст] / R. F. Mardanov [et al.] // Engineering Analysis with Boundary Elements. — 2018. — Vol. 88. — P. 54—63. — URL: https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2017.12. 006.

176. Mardanov, R. F. On boundary condition of vorticity jump for the Stokes-Brinkman model [Текст] / R. F. Mardanov [et al.] // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2024. — Vol. 45, no. 10. — P. 5141—5145. — URL: https://doi.org/10.1134/S199508022460568X.

177. Panina, E. R. Mathematical model of the flow in a nanofiber/microfiber mixed aerosol filter [Текст] / E. R. Panina, R. F. Mardanov, S. K. Zaripov // Mathematics. — 2023. — Vol. 11, no. 16. — P. 3465. — URL: https://doi.org/10. 3390/math11163465.

178. Zaripov, S. K. Determination of Brinkman model parameters using Stokes flow model [Текст] / S. K. Zaripov, R. F. Mardanov, V. F. Sharafutdinov // Transport in Porous Media. — 2019. — Nov. — Vol. 130, no. 2. — P. 529—557. — URL: https://doi.org/10.1007/s11242-019-01324-9.

179. Марданов, Р. Ф. Метод граничных элементов для решения неоднородного бигармонического уравнения с неизвестной функцией и ее производными в правой части [Текст] / Р. Ф. Марданов, А. Е. Марданова // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2021. — Т. 61, № 4. — С. 608—624. — URL: https://doi.org/10.31857/S0044466921040086.

Список рисунков

1.1 a - расчетная область ограниченная кривой Г, b - дискретизация расчетной области..............................21

1.2 Многосвязная область Q ..........................36

2.1 Квадратная периодическая ячейка.....................57

2.2 Погрешности £i(ni) (с незакрашенными символами), ^(ni) (с закрашенными символами); сплошные, штриховые и пунктирные

линии соответствуют значениям концентраций а = 0.1; 0.01; 10-4 ... 59

2.3 Изолинии функций tys(x,y) (сверху) и ш8(х,у) (снизу) и для

а = 0.1; 0.01; 10-4; штриховые линии - МГЭФ, сплошные линии -тестовое решение (2.70)...........................60

2.4 Зависимости ш5(у) (сверху) и (у) (снизу) для а = 0.1; 0.01; 10-4; точки - МГЭ, штриховая линия - МГЭФ, сплошная линия -

тестовое решение (2.70)...........................60

2.5 Погрешности е(а) (сплошные линии), £'(а) (штриховые линии), ef (а) (пунктирные линии); линии с незакрашенными символами -МГЭ, с закрашенными символами - МГЭФ ............... 61

2.6 Схема течения в пористой среде с множеством равномерно расположенных твердых включений .................... 62

2.7 Изолинии функций tys(x,y) (слева) и ш8(х,у) (справа, увеличенный фрагмент) для а = 0.1; 0.01; 10-4; штриховая линия - МГЭФ, сплошная линия - МГЭ, вектора - векторное поле скоростей ...... 64

2.8 Пористая среда со случайным распределением твердых включений . . 65

2.9 Локальная картина обтекания одного твердого включения.......69

2.10 Сравнение значений функции тока, скорости и завихренности на отдельных включениях с характеристиками модели Бринкмана для а = 0.05; 10-4; точки - значения функций на включениях, сплошная линия - осредненная кривая B-сплайна значений на включениях, штриховая линия - модель Бринкмана, пунктирная линия - течение Пуазейля ................................... 71

2.11 Кросс-плоты для величин vf,v1 (слева) и (справа) для

f (слева) и 0f ,6?

а = 0.05; 10-4 ................................72

2.12 а - область течения с кусочно однородной проницаемостью, Ь -

элементарная ячейка с круговой частицей ................73

2.13 Расчет фильтрационного течения в среде с кусочно однородной проницаемостью (сплошные линии - детальный расчет модели Стокса МГЭФ с N = 5000; штриховые линии - МГЭ, модель

Дарси); а - ах = 10-6, а2 = 10-2; Ь - ах = 10-2, а2 = 10-6.......76

2.14 Область течения в двумерном (а) и одномерном (Ь) случаях......77

2.15 Модельная пористая среда.........................81

2.16 Расчетная область О............................82

2.17 Конфигурация модельных пористых сред в вычислительном эксперименте: a -81, Ь - 82, c - 83, d - 84................85

2.18 Функции р(Н,к,Л) и точки р^ для конфигурации 81........86

2.19 Сравнение линий тока течения и профилей скоростей микроскопического и фильтрационного течений: а, Ь - т = 0.95; с, А - т = 0.999999. Сплошная линия - модель Стокса, штриховая -

модель Бринкмана, пунктирная - модель Дарси.............87

2.20 Зависимости к(т), щ(т), Л2(т), щ(к)..................89

2.21 Численные и приближенные аналитические (2.126), (2.124) зависимости к(т) и Л2(т).........................93

2.22 Область течения в задаче верификации..................94

2.23 Зависимости £^(5), ^(б1), ^ьР(к).....................100

2.24 Сравнение картин микро- и макроскопического течений для пу = 5

и т = 0.5; 0.95; 0.999999 .......................... 101

2.25 Сравнение картин микро- и макроскопического течений для

т = 0.95 и Пу = 15; 30 ...........................102

2.26 Численные зависимости щ(к) и их аналитические аппроксимации (2.154).....................................104

2.27 Расчетные области и О(Ь)......................106

2.28 График функции ср(ж) и изолинии функции к0(х,у) для р = 4.....109

2.29 Сравнение линий тока течения по модели Дарси и Бринкмана с результатами вычислительного эксперимента для пу = 5; 10: 1 -вычислительный эксперимент, 2 - изолинии осредненной функции тока в вычислительном эксперименте, 3 - модель Бринкмана, 4 -модель Дарси.................................111

3.1 Однородная область с пористым включением О = О и Ор.......114

3.2 Область течения в модельной задаче для микроскопической модели

Стокса (а) и макроскопической модели Стокса-Дарси в задаче 1 (Ь)

и задаче 2 (с).................................120

3.3 Схема пористой среды, образованной периодической структурой из

ЭЯ (а) и расчетная область (Ь).....................125

3.4 Сравнение аналитических кривых |Ур|(Н5) (3.49) и ф(Н3) (3.50), вычисленных с учетом оптимальных а( и в(, с численными значениями |У^| и Qi. 1,2 - |Ур|(Н 8) для у0 = 0 и у0 = 6 соответственно; 3 - точки (Н 5 |) из вычислительного эксперимента; 4,5 - 5) для у0 = 0 и у0 = 6 соответственно; 6 -

точки (Н в из вычислительного эксперимента............128

3.5 Численные и аналитические профили скорости для т = 0.95 и т = 0.999999. 1,2 - численные узх(у) по вертикальным линиям

х = 0 (по границе ЭЯ) и х = 0.5 (через центры ЭЯ) соответственно;

3.4 - аналитические у8х(у) (3.19), У(х(у) (3.21) для уо = 0 и уо = 6 соответственно ................................ 129

3.6 Зависимости а((т) и в((т) (линии с круглыми символами для конфигурации 81, с квадратными - для 83). 1,4 - а((т) из задачи 1;

2.5 - в((т) из задачи 1; 3,6 - у((т) = а((т)в((ш) из задачи 1; 7,8

- а((т) из задачи 2.............................130

3.7 Численные и аналитические зависимости а((т), в¿(т) и у((т). 1-3 - а((т), в^(т), У((т) из вычислительного эксперимента соответственно; 4-6 - аналитические а((т), в^(т), У((т), определенные по формулам (2.121), (3.57) соответственно.......135

3.8 Расчетные области в первой (а) и второй (Ь) задачах верификации . .136

3.9 Расчетная область в третьей задаче верификации ............ 138

3.10 Изолинии осредненной функции тока ф*(х,у) макроскопической модели (штриховые линии) и истинные линии тока (сплошные

линии, изолинии ф5(х,у)) микроскопической модели Стокса......140

3.11 Сравнение картин течения в окрестности пористого тела, построенных по модели Стокса-Дарси (С-Д), с результатом вычислительного эксперимента (ВЭ) в первой верификационной

задаче (случай у0 = 0)............................141

3.12 Сравнение картин течения в окрестности пористого тела, построенных по модели Стокса-Дарси (С-Д), с результатом вычислительного эксперимента (ВЭ) во второй верификационной задаче (случай у0 = 0).........................

3.13 Сравнение картин течения в окрестности пористого тела, построенных по модели Стокса-Дарси (С-Д), с результатом вычислительного эксперимента (ВЭ) в третьей верификационной задаче (случай у0 = 0).........................

143

3.14 Сравнение картин течения в окрестности пористого тела, построенных по модели Стокса-Дарси (С-Д), с результатом

вычислительного эксперимента (ВЭ) пля г) — 10 гт — 0 999999

144 146

147

3.17 Сравнение картин течения по модели Стокса-Дарси с ВГУ (3.13) (сплошные линии) и ВГУ Биверса-Джозефа (3.4) (штриховые линии) . 149

3.18 Профили давления р(х), рассчитанные вдоль оси симметрии ячейки (справа - увеличенный фрагмент) для Яу = 5 и значений пористости т = 0.5; 0.7; 0.9; 0.999999: С - микроскопическая модель Стокса,

С-Д - макроскопическая модель Стокса-Дарси с ВГУ (3.2) и (3.1) . . . 152

3.19 Линии тока для Яу = 5, к =10 и значений пористости

т = 0.9; 0.999999: С - микроскопическая модель Стокса, С-Д -макроскопическая модель Стокса-Дарси с ВГУ (3.2) (слева) и (3.1) (справа) .................................... 155

3.20 Область течения для модельных задач для микроскопической модели Стокса (а) и макроскопической модели Стокса-Дарси в

задаче 1 (Ь) и задаче 2 (с); область Оы (¿).................158

3.21 К расчету силы сопротивления Рх.....................164

3.22 Коэффициенты вь, Уъ = 1/ц-ь, в зависимости от т для конфигураций 81 и 83............................165

3.23 Коэффициент ^ в зависимости от т для конфигураций 81 и 83 . . . . 166

3.24 Коэффициенты вь, Уъ (символы) в задаче 1 и 4 (символы) в задаче 2 в сравнении с приближенными аналитическими формулами (3.122), (3.123) (линии) для конфигурации 83...................167

3.25 Коэффициенты а(, в( из раздела 3.2 (символы) и найденные по формулам (3.124) (линии) для конфигураций 81 и 83..........169

3.26 Сравнение картин течения в окрестности пористого тела, построенных по модели Стокса-Бринкмана (С-Б), с результатом вычислительного эксперимента (ВЭ) в первой верификационной задаче 174

3.27 Сравнение картин течения в окрестности пористого тела, построенных по модели Стокса-Бринкмана (С-Б), с результатом вычислительного эксперимента (ВЭ) во второй верификационной задаче.....................................175

3.28 Сравнение картин течения в окрестности пористого тела, построенных по модели Стокса-Бринкмана (С-Б), с результатом вычислительного эксперимента (ВЭ) в третьей верификационной

задаче.....................................176

3.29 Сравнение картин течения в окрестности пористого тела, построенных по модели Стокса-Бринкмана (С-Б) с учетом ВГУ (3.8)

и (3.10), с результатом вычислительного эксперимента (ВЭ)......179

4.1 Круговая ячейка...............................186

4.2 Зависимости Р-1(Л) для круговой ячейки: 1 - для ГУ (4.8), 2 -

(4.10), 3-(4.34)...............................189

4.3 Пористая среда с равномерной (а) и шахматной (Ь) упаковкой волокон 190

4.4 Прямоугольная периодическая ячейка...................190

4.5 Зависимости Р-1(Кп) для одиночного ряда нановолокон, расположенных поперек набегающего потока, для Яп/Н = 4.45/62.7 (а) и для различных Яп/Н (Ь). Линия 1 - расчет с новым ГУ (4.33), 2

- аналитическая зависимость (4.14), 3 - экспериментальные данные

работы [58], 4 - численное решение из работы [61]...........193

¿р-1

4.6 Величины ^0-1 (а) и —-(Ь) в зависимости от Кп/Н или £: 1 -

и Кп

численное решение с ГУ (4.33); 2 - зависимости ^0-1(£) (4.13) и ир-1 АР-1

— (*) (4.36); 3 - (4.37) и — (*) (4.38)............194

4.7 Формы сечений волокон в расчетах для прямоугольной периодической ячейки: а - круговая, Ь - квадратная, с - "трилистник" 195

4.8 Зависимости В-1(Л), рассчитанные с использованием ГУ (4.33), для равномерной (а) и шахматной (Ь) упаковок волокон для

а = 0.001; 0.01; 0.1; 0.3. 1-3- круговое, квадратное и трилистное сечения соответственно, 4 - формула (4.34)................196

4.9 Зависимости Ки(а) и &ф(а) для равномерной (а,с,ё) и шахматной (&Д/) упаковок волокон с круговой (а,Ь), квадратной (с,д) и трилистной (е,/) формой сечения. 1,2 - численные значения

(а; Ки) и (а^; кф{), 3,4 - аппроксимационные зависимости Ки(а) (4.39) и &ф(а) (4.40), 5,6 - зависимости Ки(а) (2.29) и &ф(а) (4.9)

ячеечной модели Кувабары.........................197

4.10 Расчет гидродинамических сил ....................... 200

4.11 Расчетная область..............................201

4.12 Значения компонент Рх, Ву вектора силы Р, слева для Л = 0, справа

для Л = 0.3. 1 - расчетные значения, 2 - Вх (4.48) и Ву = 0.......203

4.13 Зависимости ^хТ1(Л) для концентраций а = 0.1; 0.001; 10-6. 1 -

{¥х)-1 (МГЭФ), 2 - ^х-1(Л) (4.34)..................... 203

4.14 Зависимости к(Л) для конфигураций 81 (слева) и 83 (справа) для значений пористости

т = 0.9; 0.925; 0.95; 0.97; 0.99; 0.999; 0.9999; 0.999999. 1 - численный расчет; 2 - аппроксимационные зависимости из раздела 4.2 ...... 205

4.15 Зависимости щ(Л) для конфигураций 81 (слева) и 83 (справа) для значений пористости

т = 0.9; 0.925; 0.95; 0.97; 0.99; 0.999; 0.9999; 0.999999. 1 - численный расчет; 2 - зависимости (4.49)....................... 206

4.16 Зависимости щ(&). 1,2 - значения к и щ для Л = 0 для конфигураций 81 и 83 соответственно (из раздела 2.3), 3,4 -значения к и щ для Л ^ 0 для конфигураций 81 и 83 соответственно, 5 - зависимость (2.154) для Л2 = 0.14, В = 2.62 (раздел 2.3), 6 - зависимость (2.154) для Л* = 0.128, В = 2.09 ..... 207

4.17 Квадратная периодическая ячейка смешанного фильтра ......... 208

4.18 Линии тока для различных массовых долей нановолокон уп при

Л = 0.1, а = 0.15, кг = 0.07: а - Уп = 0.05, Ь - Уп = 0.1, с - Уп = 0.2 . 212

4.19 Кроссплоты сил сопротивления Вп, Вт, В из численной модели и аналитических формул (4.61)-(4.64) ...................214

4.20 Изолинии c нулевой ws = 0 (толстые линии) и c близкими к нулю значениями (тонкие линии) завихренности в периодической ячейке . . 216

4.21 Рассчитанные значения л/F* и Rm\/Tn (точки) и модель линейной регрессии (4.68) (линия) ..........................217

4.22 Кроссплоты сил сопротивления Fn, Fm, F из численной модели и аналитических формул (4.65)-(4.68) ................... 218

4.23 Вклады микроволокна и нановолокон в суммарную силу сопротивления при кг = 0.07, Rm = 0.215, Л = 0.2 ...........219

4.24 Круговая ячейка...............................220

4.25 Зависимость S(N) для ат ъ = 0.1, кг = 0.1, Л = 0.1...........226

4.26 Зависимости сил F, Fm, Fn от параметра S при ат ь = 0.1 (толстые линии - модель Бринкмана, тонкие линии - модель Дарси).......228

4.27 Зависимости вкладов фт и фп в сопротивление со стороны микро- и нановолокон от параметра S при ат ь = 0.1 (толстые линии - модель Бринкмана, тонкие линии - модель Дарси)................228

4.28 Зависимости сил F, Fm, Fn от концентрации атъ при S =10

(толстые линии - модель Бринкмана, тонкие линии - модель Дарси) . 230

4.29 Зависимости вкладов фт и фп в сопротивление со стороны микро- и нановолокон от концентрации атъ при S =10 (толстые линии -

модель Бринкмана, тонкие линии - модель Дарси) ............ 230

4.30 Зависимости оптимальных значений концентрации а*^ и размеров ячейки R*h от параметра S (толстые линии - модель Бринкмана,

тонкие линии - модель Дарси).......................231

4.31 Зависимости оптимальных значений полной силы сопротивления F* и вклада фП нановолокон от параметра S (толстые линии - модель Бринкмана, тонкие линии - модель Дарси) ................ 232

4.32 Прямоугольная периодическая ячейка...................233

4.33 Прямоугольная периодическая ячейка с равномерной упаковкой нановолокон ................................. 235

4.34 Значения F (a), Fm (b), Fn (c), фп (d) в зависимости от ат ь при

ап = 0.01, к =10, Л = 0.1. St - микроскопическая модель Стокса, Br - численный расчет по модели Бринкмана, Br(an) - аналитическая формула для модели Бринкмана, Da - численный расчет по модели Дарси, Da(an) - аналитическая формула для модели Дарси.......239

4.35 Значения Р (a), Рт (Ь), Рп (c), фп (() в зависимости от ап при

атъ = 0.126, к =10, Л = 0.1. 81 - микроскопическая модель Стокса, Бг - численный расчет по модели Бринкмана, Бг(ап) - аналитическая формула для модели Бринкмана, Ба - численный расчет по модели Дарси, Ба(ап) - аналитическая формула для модели Дарси.......241

4.36 Значения Р (а), Рт (Ь), Рп (с), фп (() в зависимости от к при атъ = 0.126, ап = 0.01, Л = 0.1. 81 - микроскопическая модель Стокса, Бг - численный расчет по модели Бринкмана, Бг(ап) -аналитическая формула для модели Бринкмана, Ба - численный расчет по модели Дарси, Ба(ап) - аналитическая формула для

модели Дарси ................................. 242

4.37 Значения Р (а), Рт (Ь), Рп (с), фп (() в зависимости от Л при ать = 0.126, ап = 0.01, к = 10. 81 - микроскопическая модель Стокса, Бг - численный расчет по модели Бринкмана, Бг(ап) -аналитическая формула для модели Бринкмана, Ба - численный расчет по модели Дарси, Ба(ап) - аналитическая формула для

модели Дарси ................................. 243

5.1 Модельный фильтр: а - с равномерной упаковкой волокон (81), Ь - с "шахматной" (82).............................. 248

5.2 Значения Р^ для модельного фильтра с N = 8 и коэффициенты кр для периодической модели. Значения Р^ - тонкие линии с символами (для Ре = 10 незакрашенные, для Ре = 100 закрашенные символы; соединены сплошными и штриховыми линиями для упаковок 81 и 82 соответственно). Коэффициенты кр - толстые линии 250

5.3 Профили концентрации С(х{,у) на линиях х = Х{ = 1(1\ (боковых границах ЭЯ) для упаковки 81 и числа Ре = 10. Нумерация кривых

для % = справа налево.........................251

5.4 Нормированная концентрация Сг(х,у) для шестой (г = 6, сплошные линии) и седьмой (г = 7, штриховые линии) ЭЯ для числа Ре = 10 . . 252

5.5 Периодическая ячейка............................253

5.6 Функции Ф(кр), Н(кр), Б(кр) и значение кр — к*.............

5.7 Сравнение изолиний распределений концентрации С(х,у), полученной при расчете в рамках периодической модели (сплошные линии 1), и нормированной концентрации С7(х,у), определенной формулой (5.24), для модельного фильтра с N = 8 (штриховые

линии 2) ...................................258

5.8 Зависимости кр(т) для различных значений числа Ре..........259

5.9 Зависимости Е(Ре) для т = 0.9 (сплошные линии 1,4), т = 0.97 (штриховые - 2, 5), т = 0.999 (штрихпунктирные - 3, 6). Тонкие линии с круговыми символами (линии 1-3) - по формуле (5.34) для периодической ячейки, толстые линии без символов (линии 4-6) -

по формуле Стечкиной (5.14)........................260

5.10 Сравнение Е(Ре) (5.34) для периодической модели (линия 1) с

Е(Ре) (5.22) для модельного фильтра для т = 0.97 (линии 3, 4, 5 для N = 1; 4; 16 соответственно). Светлая линия 2 - Е(Ре) по формуле Стечкиной (5.14). Квадратные символы - Е(Ре) для расчета модельного фильтра из работы [63] (6, 7 для N = 20; 100 соответственно)...............................261

5.11 Аппроксимирующие зависимости Е(Ре) (5.45) (линии) и значения ЭОВ (5.34) для периодической модели (символы). Линии и символы 1,4- для т = 0.9; 2, 5 - для т = 0.97; 3, 6 - для т = 0.999 ...... 265

5.12 Зависимости Е(Ре) (5.45) для упаковок 81 и 82 в сравнении с формулой Стечкиной (5.14) и расчетными данными работы [47] для различных значений пористости ...................... 266

5.13 Рассчитанные значения ЭОВ Е(Ре) для конфигураций 81 (сверху) и

82 (снизу)...................................268

5.14 Значения параметров А, у, Ео (круговые символы для конфигурации 81, квадратные - для 82) и аппроксимирующие зависимости /а (Ки), /у(Ки), /£0(Ки) (сплошные линии для конфигурации 81, штриховые

- для 82).................................... 272

5.15 Аппроксимационные зависимости Е(Ре) (5.51), (5.53) (сплошные линии) и Е(Ре) (5.54) (штриховые линии) и рассчитанные значения ЭОВ (символы) для значений пористости т = 0.9; 0.97; 0.995; 0.999

для конфигураций 81 (сверху) и 82 (снизу) ................ 273

5.16 Ряд круговых волокон, расчетная область.................274

5.17 Сравнение рассчитанной зависимости Е(Ре) для ряда волокон с известными расчетными и экспериментальными данными. 1 -рассчитанная зависимость, 2 - расчетные данные [60], 3 -экспериментальные данные [54], 4 - зависимость (5.11), 5 -зависимость (5.14), 6 - горизонтальная асимптота (5.56)........ 276

5.18 Рассчитанные значения ЭОВ Е(Ре) для ряда волокон для значений

Н-1 = 0.05; 0.1; 0.15; 0.2; 0.3; 0.4; 0.5....................277

5.19 Рассчитанные значения параметра х (символы) и аппроксимирующая зависимость /х (Ки) .................278

5.20 Аппроксимационные зависимости Е(Ре) (5.51) (сплошные линии), рассчитанные значения ЭОВ (символы) для значений параметра

Н-1 = 0.5; 0.3; 0.15; 0.05 и зависимость по формуле Стечкиной (5.14) . 279

А.1 Интегрирование по линейному элементу Г ...............322

А.2 Интегрирование по треугольному элементу ^..............328

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

Список таблиц

Зависимости щ(а)..............................51

А,, А0.....................................72

Относительные расходы жидкости через ЭЯ...............91

Относительные погрешности £5^, £ър , £ар...............99

Коэффициенты аппроксимационной зависимости щ(к) (2.154).....103

Погрешности £5^, ............................112

Сравнение найденных значений параметра а^ для конфигурации 81

с результатами, приведенными в работе [51]...............131

Сравнение найденных значений параметра а^ для конфигурации 83

с результатами, приведенными в работе [146] ..............132

Значения проницаемости к в верификационных задачах........144

Модуль градиента давления |Ур| в пористой области и его

погрешность £ для Яь = 5, к =10 и различных значений пористости 153

Значения сил, действующих на пористое тело: В(1) -микроскопическая модель Стокса, Р(3) - модель Стокса-Бринкмана, £ - относительная погрешность ...................... 178

Коэффициенты аппроксимационных функций (4.39) и (4.40). Форма сечения волокна (ФСВ): 1 - круговая, 2 - квадратная, 3 - "трилистник" 198

Параметры смешанных фильтров из работы [25].............209

Параметры, принятые при расчетах .................... 213