Численное моделирование динамики упругих и пороупругих трехмерных тел на основе совместного применения методов граничных элементов и Рунге-Кутты тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Ратаушко, Ян Юрьевич

• Ратаушко, Ян Юрьевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Ратаушко, Ян Юрьевич

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. Математические постановки задач, схемы численного обращения преобразования Лапласа

1.1. Математические модели

1.1.1. Упругая среда

1.1.2. Пороупругая среда

1.2. Метод квадратур свёрток и шаговая схема численного обращения преобразования Лапласа

1.2.1. Традиционный метод квадратур свёрток

1.2.2. Метод квадратур свёрток на основе методов Рунге-Кутты

1.2.3. Шаговая схема численного обращения преобразования Лапласа

1.2.4. Модификация шаговой схемы с переменным шагом интегрирования по аргументу

1.2.5. Модификация шаговой схемы на узлах методов Рунге-Кутты

1.3. Численно-аналитические результаты

1.3.1. Задача о действии осевой силы на упругий стержень

1.3.2. Задача о действии осевой силы на пороупругий стержень

1.3.3 Моделирование медленной продольной волш>1 в одномерном случае

Глава II. ГИУ и гранично-элементная методика

2.1 Граничные интегральные уравнения

2.2. Гранично-элементная дискретизация

2.3. Программное обеспечение

2.4. Задача о действии торцевой силы на упругое призматическое тело

2.5. Задача о действии торцевой силы на пороупругое призматическое тело

Глава III. Моделирование поверхностных волн на базе МГЭ

3.1. Задача о действии вертикальной силы на поверхность пороупругого полупространства

3.2. Задача о действии вертикальной силы на поверхность пороупругого полупространства, ослабленного полостью

3.3. Задача о действии вертикальной силы на поверхность двухслойного

пороупругого полупространства

3.4.Задача о действии вертикальной силы на поверхность пороупругого полупространства с выемкой

ЗАКЛЮЧЕНИЕ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование динамики упругих и пороупругих трехмерных тел на основе совместного применения методов граничных элементов и Рунге-Кутты»

Введение

Работа посвящена распространению волн в упругих и пороупругих телах. Исследования в упругой постановке имеют более долгую историю, чем в пороупругой постановке. Однако, пористые материалы широко распространены как в природе, так и в технике. Такими материалами являются насыщенные газом или жидкостью грунты, горные породы, конструкционные, строительные материалы и т.д. Как упругая, так и пороупругая модели могут быть применены для описания материалов, с которыми приходится иметь дело в различных отраслях инженерии, в строительстве, в химической и нефтехимической промышленности, в геологии, в биомеханике.

В работе разрабатывается методика моделирования с использованием шаговых по времени схем метода граничного элемента (МГЭ), создаётся соответствующее программное обеспечение, позволяющие делать выводы о распространении волн как в однородных, так и неоднородных телах. В качестве реализации модели неоднородности рассматривается кусочно-однородное тело. В рассмотрение включены конечные и полубесконечные тела, для которых рассматривается, кроме всего, влияние ослабляющих полостей.

Для моделирования волновых процессов применяется аппарат граничных интегральных уравнений (ГИУ). Компьютерное моделирование решений во времени производится с помощью шаговых схем метода граничного элемента. Выбранная модель предоставляет такие преимущества, как возможность расчёта тел с граничными поверхностями ляпуновского типа произвольной формы, автоматическое выполнение условий поведения решений на бесконечности при рассмотрении нестационарных процессов в полубесконечных телах, а также численно-аналитический характер подхода и как следствие относительно невысокие вычислительные затраты при сохранении высокой точности получаемого результата. Применение шаговой схемы на узлах методов Рунге-Куггы, усечение процедуры шага по времени за счёт введения переменного шага интегрирования и учёта симметрии подынтегральной функции, распараллеливание вычислительных потоков при компьютерном моделировании позволяют достичь большей точности, максимальной экономии времени расчётов и оптимизации использования вычислительных средств.

Для корректного исследования волновых процессов необходимы динамические формулировки исходной системы дифференциальных уравнений для рассматриваемой модели и соответствующие ей ГИУ. Использование аппарата ГИУ в динамической теории упругости берёт начало с работ Мюнца Ч.Х. 1932 г. Первая граничная интегральная формулировка для упругодинамики была опубликована Cruse Т.А. и Rizzo F.J. [106]. Эта

формулировка применялась в сочетании с преобразованием Лапласа. Соответствующая формулировка в сочетании с преобразованием Фурье была представлена Dominguez J. В 1978 г. Распространение ГИУ в преобразованиях по Лапласу на численное решение трёхмерных динамических задач теории упругости было представлено в работе Ройтфарба И.З. и Кыонга Ч.В. в 1976 г. Первая формулировка граничного элемента во временной области была представлена Mansur W.J. и использовалась для упругодинамического скалярного волнового уравнения с нулевыми начальными условиями [164]. Обобщение этой формулировки для ненулевых начальных условий было представлено в работе Antes Н., Panagiotopoulos P.D. 1992 г. Распространение гранично-элементного подхода во времени на решение трёхмерных нестационарных динамических задач теории упругости было осуществлено Хуторянским U.M. [67]. Детальный обзор по аспектам применения МГЭ в упругодинамике содержится в работах Beskos D., Maiser G. [84], Баженова В.Г. и Игумнова Л.А. [10, 11].

Началом исследования волновых процессов в насыщенных пористых средах послужила работа Френкеля Я.И. в 1944 г. В 1956 году независимая модель была построена Био М. В 1959 г. Косачевским Л.Я. было показано, что теория Био опирается на те же соотношения между напряжениями и деформациями, что и подход Френкеля, но имеет большую общность. В различное время изучением волн в пористых насыщенных средах занимались также Цвиккер К. и Костен К. (1952), Гиртсма Дж. и Смит Д. (1961), Золотарёв П.П. (1963), Николаевский В.Н. (1963), Степанов В.Г1. (1963), Дорогиницкая Л.М. (1964), МсСапп С. и МсСапп D.M. (1969) и др., но наиболее значимыми публикациями стоит считать две работы М. Био. После исследований Боуэна [94] и Вильмански (1998-2006) модель Био можно признать термодинамически адекватным способом линейного описания динамики насыщенных пористых сред. Общее состояние вопроса можно оценить по работам de Boer R. (2000), Schanz M. (2001, 2009), Николаевского В.Н. (2005).

В исследовании используется модель пороупругой среды Био. Теория Био основывается на описании взаимодействия двух фаз среды: упругого скелета и жидкого или газообразного наполнителя. Исторически на основе теории Био было предсказано существование в пористой среде, по сравнению с упругой, трёх типов волн: быстрой поперечной, быстрой и медленной продольных. Быстрые продольная и поперечные волны близки по своей природе соответствующим волнам упругой среды. Медленная продольная волна вызвана перемещением частиц наполнителя пор относительно пористого скелета и является ключевым отличием пористой среды от упругой. Игнорирование медленной волны приводит к серьёзным ошибкам при оценке затухания быстрых продольной и поперечной волн.

С помощью теории Био возможно решение широкого ряда частных задач. В [123] рассматривается задача о действии скорости в виде функции Хевисайда по времени на полубесконечный столб. Решение задачи было численно исследовано в [132] и сопоставлено с одномерным конечно-элементным решением в [131]. Решение для конечного одномерного случая с нагрузкой усилиями и норовым давлением на торце в пространстве частот присутствует в [104, 105] в сравнении с гранично-элементным. В [108-110] выведено одномерное аналитическое решение для полубесконечного случая для несжимаемого материала. В [191] на основе метода квадратур свёрток получено решение задачи о действии ударной силы в одномерном случае. Это решение распространено на поровязкоупругий случай в [193]. Отличительной чертой подхода является возможность отслеживания на его основе и быстрой, и медленной волн сжатия, в то время как другие аналитические решения [108-110, 127-129, 207-209] не позволяют обнаружить обе волны.

Задача о воздействии усилий на торец двумерной или трёхмерной консолей так или иначе стала традиционной тестовой как для пороупругих, гак и упругих моделей. В работах Chen Y.C., Hwu Ch. [103], Carrer J.A.M., Pereira W.L.A., Mansur W.J. [98] тесты проводятся в двумерной постановке; в работах Aimi A., Diligenti M., Frangí A., Guardasoni С. [71], Albers В., Savidis S.A., Tasan H.E., von Estorff О., Gehlken M. [74] приведены тесты различных методов решения и сравнение результатов в трёхмерном случае.

Губайдуллип A.A. [33], Якубов С.Х. [68, 69] в своих работах установили, что на распространение плоских линейных монохроматических волн в насыщенных пористых средах влияет не только межфазное трение, но и межзёренное трение в твёрдой фазе. В работах Галиева Ш.У., [25], Салиева A.A. [61, 62], Трофимчука A.M. [64, 65], Xie K.II., Liu G.-В., Shi Z.-Y. [213] рассматриваются закономерности взаимодействия фаз в среде и его влияние на распространение продольных и поперечных волн. В работах Келбалиева Г.И. [48], Масликовой Т.И., Поленова B.C. [50-52] дано математическое описание нестационарных процессов, протекающих в изотропных пористых средах. В работах Белянковой Т.Н., Калинчука В.В. [83], Diebels S., Ehlers W. [113] рассматриваются как теория Био, так и подходы других авторов. Из анализа различных подходов установлены соответствия между принятыми в них величинами. Дано краткое обсуждение теории динамики пористой насыщенной среды в рамках модели Био. В публикациях Бордакова Г.А., Миколаевского Э.Ю., Секерж-Зеньковича С.Я. [14], Келбалиева Г.И. [48], Масликовой Т.И., Поленова B.C. [50-52], а также в [130] проводится исследование нестационарных волн в бесконечной однородной упругой пористой среде. В публикациях Гришаева А.Г. [30], Schanz M., Cheng Alex H. [192] рассматриваются волны сжатия в пористой среде, насыщенной водой. Показано, что ступенчатое нагружение вызывает

полны сжатия двух видов. В публикациях Mayes M.J., Nagy Р.В., Adler L., Bonner В.P., Streit R. [165], Philippacopoulos A.J, [174, 175], Pride S.R., Gangi A.F., Morgan F.D. [176] пере1мещения, эффективные напряжения и поровые давления анализируются в зависимости от параметров среды с помощью расчётов на основе метода конечного элемента. В публикациях Гафурбаевой С.М., Наримова Ш. [26, 27] присутствует обзор статических и квазистатических методов определения параметров материала для среды, соответствующей модели Био. В работе Kaczmarek М., Kubik J. [143] представлены значения констант для наиболее часто применяемых пористых материалов. Применение теории Био для описания пороупругих пластин описано в [95, 100, 202, 203]. Работы Halpern M.R., Christiano P. [139], Hosten В., Deschamps M., Tittmann B.R. [133] посвящены построению матрицы Грина для динамической модели Био бесконечной пористой среды, работы [92, 93] — полубесконечной среды.

Одно из первых исследований задачи о возмущении нороупругого полупространства в двумерной постановке можно найти в [125, 126, 170, 171, 175]. Публикациями по этой задаче, но с различными нагрузками являются [137-141]. В [214] получено решение для задачи о заглублённом жёстком диске. В [153] исследованы граничные перемещения и напряжения полупространств, нагруженных падающими волнами сжатия/сдвига при условии невязкой текучей среды. Решение для слоистого полупространства с жёстким диском, подверженным нагрузке, получено в пространстве частот в цилиндрических координатах в [172, 173]. Волны в слоистом полупространстве исследовались в [111, 122, 146]. В [174] рассматривалась задача Лэмба для пороупругих материалов в пространстве частот. Оценка решения [174] приведена в [199], где отмечена необходимость задания краевых условий не только в виде напряжений, но и в виде норового давления. В статьях Артикова Т.У., Хужаева А. [6], Кузнецовой Е.Л., 'Гарлаковского Д.В. [49], Мирошникова В.В., Фатьянова А.Г. [53], Трофимчука А.II. [64, 65] задача Лэмба для упругих и пористо-упругих сред решается с применением преобразования Фурье по времени. В публикациях Halpern M.R, Christiano P. [125], Philippacopoulus A.J. [174] рассчитаны результаты теоретических сейсмограмм. Мирошников В.В., Фатьянов А.Г. [53], Трофимчук А.II. [64, 65], Carter J., Booker J.R. [99] рассматривают в своих работах плоские осесимметричные нестационарные задачи о вдавливании жёсткого штампа в пороупругую среду. Математическое описание среды осуществляется в рамках линейной модели Био. Совместное решение уравнения движения жёсткого штампа и уравнений Био в терминах интегральных преобразований приводит к парным интегральным уравнениям в области контакта. Исследованы асимптотические решения интегральных уравнений. В работах Carter J., Booker J.R. [99], Kumar R., Miglani

A., Garg N.R. [147], Van der Kogel II. [206] показано, что в начале движения напряжения не зависят от пространственной координаты и пропорциональны скорости движения штампа. В осесимметричной задаче при переходе к статике напряжения пропорциональны перемещениям, а по пространственной координате сохраняется особенность.

В статьях Масликовой Т.И., Поленова B.C. [50-52] рассматривается однородное изотропное пористое полупространство модели Био со свободной поверхностью. В работе Молоткова JI.A. [55] рассмотрено возбуждение такого полупространства четырьмя видами точечных источников, расположенных на поверхности, для каждого источника построены волновые поля. В статьях Белянковой Т.Н., Калинчука В.В. [83], Carter J.P., Booker J.R. [99] установлена связь между волновыми полями в упругой среде, а также определяются и исследуются коэффициенты отражения волн на свободной границе пороупругого полупространства модели Био. Проблема отражения волн углублениями в пороунругом полупространстве рассматривается в работе Cao Z., Caí Y. [97]. Анализ распространения поверхностных волн на свободной границе насыщенной пористой среды, а также на границе между пористой средой и жидкостью проведён в работах Edelman I., Wilmanski К. [116], Albers В. [73], Губайдуллина A.A., Болдырева О.Ю. [31, 32]. В публикации [75] предложено использовать упрощённую модель Био для описания поверхностных волн на границе пористых сред. Компьютерное моделирование динамического поведения насыщенной жидкостью пороуиругой среды можно найти в работах Л.А. Игумнова и его учеников [1, 12, 47], Мирошшпсова В.В., Фатьянова А.Г. [53].

Помимо наиболее часто цитируемых работ по распространению волн в пористых средах следует отметить публикации Губайдуллина A.A., Ватульяна А.О. [18, 19], Ерофеева В.И. [9], Игумнова Л.А., Маслова Л.Б., Николаевского В.II., Тарлаковского Д.В. [29], Antes Н., Р.Urthaler [205] и др. Комбинированные методы решения задач пороупругости были предложены Nenning М. [179, 180], Rüberg Т. [181].

Предпринимаются попытки построения моделей многофазной пористой среды (с несколькими наполнителями). Линеаризованные континуальная и макроскопическая модели, описанные в работах Wei С., Muraleetharan K.K. [210, 211], в условиях полного насыщения сводятся к пороупругой модели Био. В работах Galmiri В., Jabbari Е. [120, 121] строятся функции Грина для линейной модели ненасыщенных грунтов (в качестве наполнителя выступают как жидкость, так и воздух); полные граничные интегральные уравнения приведены в [161]. Проблема распространения волн в трёхфазной среде рассматривается в работах [149, 160, 161].

В настоящее время преобладают исследования колебаний пористых сред с использованием метода нормальных мод, лучевого метода и метода контурных

интегралов. Схемы решения задач усложняются вслед за постоянно растущими требованиями строгости и стабильности подходов. Возможности методов ГИУ и МГЭ позволяют успешно решать задачи динамического моделирования пороупругих тел.

О текущем положении дел относительно применяемого подхода можно составит!) представление по публикациям [11, 76, 84, 91, 118, 124, 177, 178, 195, 202, 203]. Роль МГЭ как численного метода решения краевых задач бесспорна [11, 70, 76, 84, 91, 118, 124, 177, 195, 204]: это самый широко распространённый метод после метода конечных разностей (МКР) и метода конечного элемента (МКЭ). Однако применение методов ГИУ и МГЭ к решению краевых задач трёхмерной пороупругости находится на стадии становления [2, 13,35, 67, 177, 188].

В моделировании динамических процессов с помощью МГЭ можно условно выделить два основных подхода: решение во времени на основе шаговой схемы [164] и решение в преобразованиях Лапласа или Фурье с последующим обращением преобразований [106]. Возможности традиционных шаговых схем по времени на основе аппроксимации сплайнами ограничены отсутствием фундаментальных решений во времени. Зачастую построение матриц фундаментальных решений возможно только в изображениях по Фурье и Лапласу. Поэтому первые формулировки метода граничных элементов для динамики пороупругих сред модели Био были опубликованы в преобразовании по Лапласу [162, 163]. Гранично-элементная формулировка в области частот, близкая к исследованиям в данной работе, была опубликована в [104, 114]. Несингулярную формулировку в области частот для исследования волнового рассеяния можно найти в [117, 119, 151, 218]. Несингулярное интегральное уравнение возникает за счёт вычитания упругостатического интегрального уравнения для внутренней части рассеивателя из пороупругого уравнения. На основе этого же приёма получена формулировка МГЭ, названная двух-с-половиной-мерной [154, 155].

Формулировка во временной области была разработана в [102] на основе аналитического обращения преобразования Лапласа для фундаментальных решений. Другие формулировки во времени были представлены в [142, 144, 212]. Главный недостаток этого подхода - необходимость нахождения фундаментальных решений во времени. Такие решения существуют для квазистатических задач поро- и вязко-упругости, но крайне сложны. Таким образом, подход имеет серьёзное ограничение. Эффекты демпфирования не могут быть учтены. Кроме этого, недостатками методики являются значительные вычислительные затраты и небольшой запас стабильности. В [182-184, 187, 190, 194] для построения шаговой гранично-элементной схемы на базе фундаментальных решений в преобразованиях по Лапласу используется метод квадратур свёрток,

предложенный Любичем в 1988 году [156, 157]. Этот метод позволяет избавиться от требования существования фундаментальных решений во времени, а также показывает гораздо лучшую стабильность, однако всё ещё требует больших вычислительных затрат. Попытки решить этот вопрос были предприняты в работах Banjai L. и Sauter S. [81], Schanz M. [185] за счёт сведения шаговой по времени процедуры к решению несвязанных задач в пространстве Лапласа. В [158] был рассмотрен вопрос использования метода квадратур свёрток совместно с методами Рунге-Кутты. Совместное применение методов Рунге-Кутты с шаговой схемой МГЭ для повышения точности результата при снижении вычислительных затрат нашло отклик в работах [78, 80, 96]. Работа [82] содержит обзор широкого спектра подходов к применению гранично-элементной схемы в связке с методом квадратур свёрток, как на основе схемы Эйлера, так и других схем семейства Рунге-Кутгы. В публикациях [79, 96] рассматриваются вопросы точности метода квадратур свёрток на базе методов Рунге-Кутты. Работы [3, 5, 10, 36, 56] используют для компьютерного моделирования динамических волновых процессов в упругих средах с сопряжёнными нолями аналогичную гранично-элементную схему на основе шагового метода численного обращения преобразования Лапласа. В данном исследовании рассматривается модификация такого шагового метода на узлах схем Рунге-Куггы и построенная на его основе шаговая по времени схема МГЭ.

Существуют приближённые гранично-элементные формулировки [200, 201] на базе подхода Пардини-Бреббия. По настоящее время этот подход использует только упрощённую модель и статический закон Дарен.

Неклассическое расширение метода ГИУ было предложено Бабешко В.А. в работах [7, 8, 24]. Рассмотренный подход с использованием конечного преобразования Фурье приводит к системе регулярных ГИУ. Для анизотропных моделей эти ГИУ являются точными, в отличие от подхода с двойным применением теоремы взаимности. Методика Бабешко была развита в работах Ватульяна А.О. и его учеников [15-23], а также Сумбатяна М.А. [63]. Публикация [34] позволяет распространить её на пороупругость.

Отметим также в ряду авторов, внесших вклад в развитие метода интегральных уравнений для решения задач о деформировании твёрдого тела, Анина Б.Д., Глушкова Е.В., Гольдштейна Р.В., Горячеву И.Г., Игумнова Л.А., Калинчука В.В., Морозова II.Ф. [54], Пряхину О.Д. [24], Соловьёва А.Н. [72].

Одно из традиционных приложений формулировки МГЭ в пространстве частот -исследование системы вида дамба-резервуар. Первые расчёты на основе двумерной модели были представлены в [115, 160]. Трёхмерная постановка вопроса присутствует в [77]. В [107] на основе МГЭ были рассмотрены отклики осесимметричных оснований в

пороупругих средах. Иное приложение гранично-элементной формулировки для пороупругой динамики - для исследования поведения свай в грунте - опубликовано в [159]. В работе Каттиса [145] для анализа бурения туннелей вместо модели Био использовано упрощение из [166, 167].

В пороупругой динамике находит применение также непрямой подход метода ГИУ [179, 180]. В [196-198] с его помощью рассматривается задача о жёстком включении в пороупругое полупространство. В [152] на базе непрямой формулировки МГЭ для пороупругости проводится исследование рассеяния сдвиговых волн.

Обзор показывает бурное развитие МГЭ для решения динамических задач как упругости, так и пороупругости. Однако гранично-элементное моделирование динамики упругих и пороупругих тел в основном сводится к случаям, где граничная поверхность состоит из участков, параллельных координатным плоскостям. Также остро стоят проблемы снижения вычислительных затрат подходов к исследованию пороупругой динамики и постоянного уточнения получаемых результатов.

Цель работы заключается в развитии методики гранично-временных элементов и создании соответствующего программного обеспечения на основе шагового метода численного обращения интегрального преобразования Лапласа совместно с семейством методов Рунге-Кутты для решения трёхмерных смешанных начально-краевых задач динамики однородных и составных упругих и пороупругих тел, а также в численном исследовании динамики однородных и составных упругих и пороупругих тел.

Методика исследований основана на граничных интегральных уравнениях прямого подхода трёхмерных изотропных линейных теорий упругости и пороупругости в преобразованиях по Лапласу; на описании пороупругой среды моделью Био с четырьмя базовыми функциями - три компоненты перемещений упругого скелета и поровое давление; на получении решений во времени на основе шагового метода численного обращения преобразования Лапласа на узлах методов Рунге-Кутты; на компьютерном моделировании искомых решений методом граничного элемептав сочетании с методом коллокации; локальной поэлементной аппроксимацией на основе согласованной модели интерполирования Гольдштейна [28].

Научную новизну работы составляют: гранично-элементное моделирование краевых задач смешанного типа динамики трёхмерных упругих и пороупругих тел в сочетании с шаговым методом численного обращения преобразования Лапласа на узлах семейства схем Рунге-Кутты; применение в компьютерном моделировании трёхмерной динамики согласованной модели аппроксимации Гольдштейна на обобщённых четырёхугольных элементах; решение на основе применения метода гранично-временных

элементов совместно с методами Рунге-Кутты волновых задач о действии силы в виде функции Хевисайда по времени на упругое и пороупругое призматические тела, пороупругое полупространство (в т.ч. с фиктивной границей) и слоистое полупространство, полупространство, ослабленное полостью, и полупространство с выемкой; исследование возбуждения медленной волны в пороупругой среде с помощью шаговой схемы МГЭ на узлах методов Рунге-Кутгы.

Достоверность исследований основана па строгом соответствии исходной краевой задачи в частных производных математических теорий упругости и пороупругости системе применяемых регуляризованных ГИУ; на корректно проведённой процедуре дискретизации ГИУ при компьютерном моделировании; на тщательно реализованных и проверенных алгоритмах программного обеспечения; па анализе сходимости полученных решений, а также их сравнении с аналитическими, численно-аналитическими решениями и результатами других авторов.

Практическая значимость результатов исследования состоит в создании методического и программного обеспечения для компьютерного моделирования динамики составных упругих и пороупругих трёхмерных тел с помощью шаговой по времени схемы МГЭ на узлах методов Рунге-Кутты; решении с помощью полученной методики динамических задач о действии силы на пороупругие призматическое тело и полупространство с демонстрацией эффекта возбуждения медленной волны, а также задач о пороупругих слоистом полупространстве, полупространстве, ослабленном полостью, и полупространстве с выемкой.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Развитие и создание методики решения краевых задач динамики трёхмерных упругих и пороупругих тел на основе совместного применения метода гранично-временных элементов с шаговой схемой на узлах методов Рунге-Кутты.

2. Развитие и создание соответствующего программного обеспечения, реализующего шаговую схему на узлах методов Рунге-Кутты с переменным шагом интегрирования при расчёте коэффициентов квадратурной формулы и возможностью учёта симметрии подынтегральной функции, с использованием алгоритма распараллеливания вычислительных потоков.

3. Моделирование эффекта возбуждения медленной продольной волны в пористых средах на динамических откликах порового давления и потока на основе шаговой схемы на узлах методов Рунге-Кутты.

4. Моделирование решений следующих волновых задач на основе шаговой схемы на узлах методов Рунге-Кутты:

- о действии силы в виде функции Хевисайда по времени на торец упругого и пороупругого призматических тел;

- о действии вертикальной силы в виде функции Хевисайда по времени на поверхность однородного и слоистого пороупругих полупространств;

- о действии вертикальной силы в виде функции Хевисайда по времени на поверхность пороупругого полупространства, ослабленного полостью, и пороупругого полупространства с выемкой.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались на X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Н.Новгород, 2011), XXV Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых сред и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2013), VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела (Ростов-на-Дону, 2013), XVIII Нижегородской сессии молодых ученых - естественные, математические пауки (II. Новгород, 2013), форуме молодых ученых (И. Новгород, 2013), XX Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Вятичи, 2014), V Международной инженерной конференции Университета Кхон Кэна KKU-IENC2014 «Engineering and Technological Responses to Global Challenges» (Кхон Кэн, Таиланд, 2014), III Международном симпозиуме «Physics and Mechanics of New Materials and Underwater Applications (PIIENMA 2014)» (Кхон Кэн, Таиланд, 2014), VIII Всероссийской молодежной научно-инновационной школе (Саров, 2014).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ратаушко, Ян Юрьевич, 2014 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аменицкий A.B. Развитие метода граничных элементов для численного моделирования динамики трехмерных однородных пороупругих тел: автореф.дис...канд.ф.-м.н.: 01.02.04 / Аменицкий Александр Владимирович. Н.Новгород, 2010. 21 с.

2. Аменицкий A.B., Белов A.A., Игумнов Л.А., Карелин И.С. Граничные интегральные уравнения для решения динамических задач трехмерной теории пороупругости // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз.сб. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 2009. Вып.71. С. 164-171.

3. Аменицкий A.B., Белов A.A., Игумнов Л.А., Литвинчук С.Ю. Гранично-элементное моделирование на основе квадратур сверток динамического состояния составных упругих тел // Вычислительная механика сплошных сред. - Пермь: Изд-во ИМСС УрО РАН. 2008. Т.1, №3. С. 5-14.

4. Аменицкий A.B., Игумнов Л.А., Карелин И.С. Гранично-элементное моделирование распространения волн в среде Био // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XII международной конф., Ростов-на-Дону, 2008. - Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР». - 2008. - С. 9-12.

5. Аменицкий A.B., Игумнов Л.А., Карелин И.С. Развитие метода граничных элементов для решения проблемы распространения волн в пористых средах // Проблемы прочности и пластичности: Межвузовский сборник. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 2008. Вып.70. С. 71-78.

6. Артиков Т.У., Хужаев А. Энергетический анализ волновых движений в задаче Лэмба для пористых сред // Изв. АН УзССР. Сер. техн. н. -1985, № 3. С. 28-33.

7. Бабешко В.А. К проблеме исследования динамических свойств трещиноподобных тел//ДАН. 1989. Т. 304, №2. С. 318-321.

8. Бабешко В.А. Новый метод решений краевых задач механики сплошной среды и математической физики для неклассических областей // ДАН. 1985. Т. 284, № 1. С.73-76.

9. Багдоев А.Г., Ерофеев В.И., Шекояи A.B. Линейные и нелинейные волны в диспергирующих сплошных средах. М.: Наука, Физматлит, 2009. 318 с.

10. Баженов В.Г., Белов A.A., Игумнов J1.A. Гранично-элементное моделирование динамики кусочно-однородных сред и конструкций. Н.Новгород: Изд-во 11ижегородского госуниверситета, 2009. 180 с.

11. Баженов В.Г., Игумнов JT.A. Методы граничных интегральных уравнений и граничных элементов в решении задач трехмерной динамической теории упругости с сопряженными полями. М.: Физматлит, 2008. 352 с.

12. Белов А.А, Игумнов JI.A., Петров А.Н. Численное моделирование динамики пористо-упругих тел и сред // Материалы XVII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова. М.: ООО «ТР-принт. 2011. Т.1. С. 30-31.

13. Белов A.A., Игумнов J1.A., Карелин И.С. Численное моделирование воли в пороупругих телах и средах // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XIII международной конференции, Ростов-па-Дону, 12-15 октября 2009г. Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР». 2009. С.27-31.

14. Бордаков Г.А., Миколаевский Э.Ю., Секерж-Зенькович С.Я. Отражение нестационарных низкочастотных волн в сжимаемой жидкости от пористой среды при нормальном падении // Вулканология и сейсмология. 2000. Т.22, №1. С.72-76.

15. Ватульян А.О. Граничные интегральные уравнения для эллиптических операторов // Известия высших учебных заведений Северо-Кавказский Регион. 2000. № 3. С.34-37.

16. Ватульян А.О. О граничных интегральных уравнениях 1-го рода в динамических задачах анизотропной теории упругости // ДАН РАН. 1993. Т. 333, № 3. С.312-314.

17. Ватульян А.О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М: Физматлит, 2007. 223 с.

18. Ватульян А.О., Ляпин A.A. Динамическая терема взаимности и фундаментальные решения для пороупругих сред // Экологический вестник Научных центров ЧЭС. 2010. №4. С. 14-20.

19. Ватульян А.О., Ляпин A.A. Об обратных коэффициентных задачах пороупругости // Изв. РАН. МТТ. 2013. № 2. С. 114-121.

20. Ватульян А.О., Садчиков E.B. О неклассической формулировке граничных интегральных уравнений в задачах о колебаниях вязкоупругих анизотропных тел // Труды V международной конференции «Современные проблемы механики сплошных сред». Ростов-на-Дону, 1999. С.53-57.

21. Ватульян А.О., Садчиков Е.В. О новой формулировке граничных интегральных уравнений в задачах о колебаниях анизотропных тел // Механика твердого тела. 1999. №2. С. 78-84.

22. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Прямые и обратные задачи для однородных и неоднородных упругих и электроупругих тел. Ростов-н/Д: Изд-во Южного федерального университета, 2008. 176 с.

23. Ватульян А.О., Шамшин В.М. Новый вариант граничных интегральных уравнений и их применение к динамическим пространственным задачам теории упругости // ПММ. 1998. Т. 62, вып. 3. С. 112-119.

24. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999. 246 с.

25. Галиев Ш.У. Динамика взаимодействие элементов конструкций с волной давления в жидкости. Киев: Наук, думка, 1977. 172 с.

26. Гафурбаева С.М., Наримов Ш. Автомодельные решения одной пространственной задачи теории насыщенных пористых сред. Ташк. хим.-технол. ин-т. Ташкент, 1992. - 12 е./Деп. в УзНИИНТИ 31.03.92, N 1597-Уз92.

27. Гафурбаева С.М., Наримов Ш. Направленное сосредоточенное воздействие в насыщенных пористых средах. Ташк. политехи, ин-т., 1990. - 9 с./ Деп. в УзНИИНТИ 29.6.90, N 1279-Уз90.

28. Гольдштейн Р.В. К вопросу о применении метода граничных интегральных уравнений для решения задач механики сплошных сред // Метод граничных интегральных уравнений: Вычислительные аспекты и приложения в механике (Механика: новое в зарубежной науке): сб. ст. М.: Мир, 1978. С. 183-209.

29. Горшков А.Г., Медведский A.JL, Рабинский Л.II., Тарлаковский Д.В. Волны в сплошных средах. Учеб. пособ. для вузов. М.: Физматлит. 2004. 472 с.

30. Гришаев А.Г. К моделированию свойств наполненных пористых сред. Упругость и неупругость. // Материалы 2 Международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 95-летию со дня рождения А.А.Илыошина, Москва, 19-20 янв. 2006. М.: Ленанд, 2006. С.124-129.

31. Губайдуллин A.A., Болдырева О.Ю. Волны на поверхности раздела насыщенной пористой среды и жидкости // ДАН. 2006, Т.409, №3. С.419-421.

32. Губайдуллин А. А., Болдырева О.Ю. Распространение волн вдоль границы насыщенной пористой среды и жидкости // Акуст. ж. 2006, Т.52, №2. С.201-211.

33. Губайдуллин A.A. Распространение линейных и нелинейных волн в насыщенных пористых средах // 4 Междунар.конф. «Лаврентьев, чтения по мат., мех. и физ.», посвящ. 95-летию со дня рожд. акад. М.А.Лаврентьева, Казань, 3-7 июля 1995: Тез. докл. Новосибирск, 1995. С.98.

34. Игумнов Л.А Граничные интегральные уравнения трехмерных задач на плоских волнах // Докл. РАН. 2006. Т. 409, №5. С. 1-3.

35. Игумнов Л.А. Применение гранично-элементного подхода к исследованию динамики трехмерных пористо-упругих тел // Развитие идей Л.А. Галина в механике. Сборник под ред. И.Г. Горячевой. - Ижевск. Регулярная и хаотическая динамика, 2012. С.387-411.

36. Игумнов Л.А., Литвинчук С.Ю., Петров А.Н. Моделирование поверхностных волн на упругих, вязко- и пористо-упругих полупространствах // Современные проблемы механики и математики / Под общ. ред. Р.М.Кушнира, Б.И.Пташника. - Львов: Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С.Подстригача HAH Украины, 2013. С.34-36.

37. Игумнов Л.А., Ратаушко Я.Ю. Метод гранично-временных элементов на основе шаговой схемы Рунге-Кутты // Материалы XX Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова. Ярополец, 17-21 февраля 2014. М.: ООО «ТР-принт». 2014. С.91.

38. Игумнов JI.А., Ратаушко Я.Ю. Применение вариантов шагового метода численного обращения преобразования Лапласа // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Сер. Механика. Н.Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета. 2014. №1(2). С.27-29.

39. Игумнов Л.А., Ратаушко Я.Ю. Применение метода Рунге-Кутты в гранично-элементном моделировании динамики трехмерных пороупругих тел // Математика и математическое моделирование: сборник материалов VIII Всероссийской молодежной научно-инновационной школы. Саров, 8-11 апреля 2014. Саров: ООО «Интерконтакт». 2014. С.35.

40. Игумнов Л.А., Ратаушко Я.Ю. Совместное применение метода гранично-временных элементов с методом Рунге-Кутты для исследования динамики трёхмерных упругих и пороупругих тел // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз.сб. Н.Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета. 2014. №76(1). С.55-64.

41. Игумнов Л.А., Ратаушко Я.Ю. Фундаментальные и сингулярные решения изотропной теории упругости и вязкоупругости. Электронное методическое пособие. Н.Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2011. 18с.

42. Игумнов Л.А., Ратаушко Я.Ю. Шаговый метод обращения преобразования Лапласа на узлах схемы Рунге-Кутты // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз.сб. Н.Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета. 2013. №75(3). С. 178-184.

43. Игумнов Л.А., Ратаушко Я.Ю. Шаговый метод численного обращения преобразования Лапласа на узлах схемы Рунге-Кутты с использованием переменного шага интегрирования // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз.сб. Н.Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета. 2013. №75(4). С.280-287.

44. Игумнов Л.А., Ратаушко Я.Ю., Аменицкий A.B., Белов A.A. Применение метода гранично-временных элементов для моделирования краевых задач динамики трехмерных упругих и пороупругих тел // Труды VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела. Ростов-на-Дону, 15-18 октября 2013. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ. 2013. T.I. С.247-250.

45. Игумнов Л.А., Ратаушко Я.Ю., Аменнцкий A.B., Белов A.A. Применение метода гранично-временных элементов для моделирования краевых задач динамики трехмерных упругих и пороупругих тел // Тезисы докладов VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела. Ростов-на-Дону, 15-18 октября 2013. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ. 2013. С.77.

46. Карелин И.С. Гранично-элементное моделирование динамики составных пороупругих тел: дис...канд.ф.-м.н.: 01.02.04: защищена 28.06.2012: утв.11.03.2013 / Карелин Иван Сергеевич. Н.Новгород, 2012. 138 с.

47. Карелии И.С. Гранично-элементное моделирование динамики составных пороупругих тел: автореф.дис...канд.ф.-м.н.: 01.02.04 / Карелин Иван Сергеевич. Н.Новгород, 2012. 19 с.

48. Келбалиев Г.И. Математическое описание нестационарных процессов, протекающих в изотропных пористых средах, квазиконтинуальными моделями // Теор. основы хим. технол.- 1985, Т. 19, № 2. -С. 199-206.

49. Кузнецова Ел.Л., Тарлаковский Д.В. Явная форма решения задачи Лэмба в произвольной точке полуплоскости // Материалы XII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». Избранные доклады. М.: Изд-во МАИ, 2006. С.104-120.

50. Масликова Т.И., Поленов B.C. Нестационарные упругие волны в пористых материалах // Изв. Инж.-технол. акад. Чуваш, респ. 1999 - С. 125130.

51. Масликова Т.И., Поленов B.C. О нестационарных упругих волнах в пористых материалах // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2001, № 6. - С. 103-107.

52. Масликова Т.И., Поленов B.C. О распространении нестационарных упругих волн в однородных пористых средах // Изв. РАН. Мех.тверд.тел а. 2005, № 1. С. 104-108.

53. Мирошников В.В., Фатьянов А.Г. Численное моделирование волновых полей в пористой среде. // Модель Био Мат. моделирование в геофиз.- Новосибирск, 1989. С.83-103.

54. Михлин С.Г., Морозов Н.Ф., Паукшто Н.В. Интегральные уравнения в теории упругости. СПб., 1994. 272 с.

55. Молотков Jl.А. Об источниках, действующих на свободной границе пористой среды Био, и об отражении волн на этой границе // Зап. науч. семи». ПОМИ. 2000. С. 21723.

56. Петров A.M. Моделирование динамики составных пороупругих тел на основе метода гранично-временных элементов: Дис... канд. физ.-мат. наук. Н.Новгород, 2013. 135 с.

57. Ратаушко Я.Ю. Анализ термоупругой динамики трехмерных тел методом граничных элементов // Вестник Нижегородского университета им. H.H. Лобачевского: Доклады X Всероссийского съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, сер. Механика. Н.Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета. 2011. №4(4). С.1736-1737.

58. Ратаушко Я.Ю. Метод квадратур сверток для решения граничных интегральных уравнений: обращение преобразования Лапласа // Форум молодых ученых: тезисы докладов. Н.Новгород 16-18 сентября 2013. Том 1. Н.Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2013. С.82-83.

59. Ратаушко Я.Ю., Игумнов Л.А., Аменицкий A.B., Белов A.A. Применение метода граничных элементов для решения трехмерных краевых задач вязко- и поровязкоупругости // Тезисы докладов XXV Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых сред и конструкций. Методы граничных и конечных элементов». Санкт-Петербург 23-26 сентября 2013г. Т. 1. С. 164-165.

60. Ратаушко Я.Ю., Литвинчук С.Ю., Пазин В.П. Численно-аналитическое построение матриц Грина и Неймана трехмерной теории термоупругости // Материалы 18 Нижегородской сессии молодых ученых. Естественные, математические науки. Н.Новгород: ПИУ РАНХиГС, 2013 г. С.267-270.

61. Салиев A.A. Взаимодействие нестационарных волн со сферическими границами раздела в упруго-пористой среде, насыщенной жидкостью. Ташкент, 1989. 126 с.

62. Салиев A.A. Движение абсолютно твердого шара в упруго-пористой среде под действием нестационарных волн // Тезисы докладов Всесоюзной конференции «Механика неоднородных структур», Т. I. Львов, 1987. С. 245.

63. Сумбагян M.А. О корректной трактовке одного граничного уравнения в акустике замкнутых областей // ЖВМ и МФ. 2001. Т. 41, № 3. С. 436-442.

64. Трофимчук A.M. Асимптотические решения нестационарных контактных задач для насыщенных жидкостью пористоупругих сред // Смешанные задачи механики деформируемого тела: 4 Всес. конф., 26-29 сент., 1989: Тезисы доклада. 4.2. Одесса, 1989. С.111.

65. Трофимчук А.Н. Численное моделирование динамического поведения пористоупругой насыщенной жидкостью среды // Доп. Нац. АН Укршни. 1998, №Ц. с. 44-48.

66. Трофимчук А.Н., Гомилко A.M., Савицкий О.А. Динамика пористо-упругих насыщенных жидкостью сред. К.: Паук, думка, 2003. 230 с.

67. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1986. 295с.

68. Якубов С.Х Исследование импульсных возмущений в насыщенных пористых средах // Сиб. физ.-техн. ж. 1992, № 5. - С. 151-154.

69. Якубов С.Х. Исследование импульсных возмущений в насыщенных пористых средах // Актуал. вопр. теплофиз. и физ. гидрогазодинам.: 4 Всес. конф. мол. исследователей, Новосибирск, 27-29 марта, 1991: Тезисы доклада. Новосибирск, 1991. - С. 82-83.

70. Achenbach J.D. Wave Propagation in Elastic Solids // North Holland. 1980.

71. Aimi A., Diligenti M., Frangi A., Guardasoni C. A stable 3D energetic Galerkin BEM approach for wave propagation interior problems // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2012. №36. P.l756-1765.

72. Akopyan V.A., Soloviev A.N., Parinov I.A., Shevtsov S.N. Definition of Constants for Piezoceramic Materials. NY, Nova Science Publishers, Inc. 2010. 205 p.

73. Albers B. Monochromatic surface waves at the interface between poroelastic and fluid halfspaces // Proc. R. Soc. A 2006. 462. P.701-723.

74. Albers В., Savidis S.A., Tasan H.E., von Estorff O., Gehlken M. BEM and FEM results of displacements in a poroelastic column // Int. J. Appl. Math. Comput. Sci. 2012. Vol.22. №4. P.883-896.

75,

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

Albers B., Wilmanski K. Monochromatic surface waves on impermeable boundaries in two-component poroelastic media // Contin. Mech. Thermodyn. 2005. №17. P.269-285. Aliabadi F. The boundary element method: applications in solids and structures. - John Wiley, 2002. 598 p.

Aznarez J.J., Maeso O., Dominguez J. BE analysis of bottom sediments in dynamic fluid-structure interaction problems // Eng. Anal. Bound. Elem. 2006. 30(2). P. 124-136. Banjai L. Multistep and multistage boundary integral methods for the wave equation // Max-Planck-Institut fuer Mathematik in den Naturwissenschaften Leipzig, preprint series. 2009. №58.

Banjai L., Lubich C., Melenk J.M. Runge-Kutta convolution quadrature for operators arising in wave propagation // Numer. Math. 2011. №119. P.1-20.

Banjai L., Messner M., Schanz M. Runge-Kutta convolution quadrature for the boundary element method // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2012. P.90-101. Banjai L., Sauter S. Rapid solution of the wave equation in unbounded domains // SIAM J. Numer. Anal. 2008. №47. P.227-249

Banjai L., Schanz M. Wave Propagation Problems treated with Convolution Quadrature and BEM // Max-Planck-Institut fuer Mathematik in den Naturwissenschaften Leipzig, preprint series. 2010. №60.

Belyankova T. I., Kalinchuk V. V. The features of the massive foundation dynamics on the surface of the fluid-saturated porous medium // Waves Saturated Porous Media, Poznan, Aug. 28-31, 1990: Summ. Poznan, 1990. - P. 17.

Beskos D., Maiser G. Boundary element advances in solid mechanics. Berlin: Springer, 2003.307 p.

Biot M.A. General theory of three-dimensional consolidation // J. Appl. Phys. 12(2). 1941. P.155-164.

Biot M.A. Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic solid // J. Appl. Phys. 26(2). 1955. P. 182-185.

Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid.I. Low-frequency range. //J. Acoust. Soc. Am. 28(2). 1956. P. 168-178.

Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid.II. Higher frequency range//J. Acoust. Soc. Am. 28(2). 1956. P. 179-191.

89. Bonnet G. Basic singular solutions for a poroelastic medium in the dynamic range // J.Acoust. Soc. Am., 82(5). 1987. P. 1758-1762.

90. Bonnet G., Auriault J.-L. Dynamics of saturated and deformable porous media: Homogenization theory and determination of the solid-liquid coupling coefficients. In N. Boccara and M. Daoud, editors, Physics of Finely Divided Matter. Springer Verlag, Berlin, 1985. P. 306-316.

91. Bonnet M, Frang A. Analyse des solides deformables par la methode des elements finis // École polytechnique campus de l'université de Montréal 2500, chemin de Polytechnique Montréal, Qc Canada, 2006. 300 p.

92. Bougacha S., Roësset J.M., Tassoulas J.T. Dynamic stiffness of foundations on fluid-filled poroelastic stratum // J. Engrg. Mech., ASCE. 1993. 119(8). P. 1649-1662.

93. Bougacha S., Tassoulas J.T., Roësset J.M. Analysis of foundations on fluid-filled poroelastic stratum//J. Engrg. Mech., ASCE. 1993. 1 19(8). P. 1632-1648.

94. Bowen R.M. Compressible porous media models by use of the theory of mixtures // Int. J. Engng. Sci. 1982. 20(6). P.697-735.

95. Busse A., Schanz M., Antes H. A poroelastic Mindlin plate // Proc. Appl. Math. Mech. 2003. 3(1). P.260-261.

96. Calvo M.P., Cuesta E., Palencia C. Runge-Kutta convolution quadrature methods for well-posed equations with memory // Numer. Math. 2007. №107. P.589-614

97. Cao Z., Cai Y. Isolation of Train-Induced Ground-Borne Vibration by Trenches on a Poroelastic Half-Space // J. Eng. Mech. Vol.139. №5. P.580-593.

98. Carrer J.A.M., Pereira W.L.A., Mansur W.J. Two-dimensional elastodynamics by the time-domain boundary element method: Lagrange interpolation strategy in time integration. // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2012. №36. P. 1164-1172.

99. Carter J.P., Booker J.R. Analysis of pumping a compressible pore fluid from a saturated elastic half space//Comput. and Geotechn. 1987, V. 4, № 1.-P. 21-42.

100. Cederbaum G., Li L., Schulgasser K. Poroelastic Structures. Elsevier. Amsterdam. 2000.

101. Chapman B., Jost G., Van Der Pas R. Using OpenMP: Portable Shared Memory Parallel Programming. MIT Press, 2007. 353p.

102. Chen J., Dargush G.F. Boundary element method for dynamic poroelastic and thermoelastic analysis // Internat. J. Solids Structures. 1995. 32(15). P.2257-2278.

103. Chen Y.C., I Ivvu Ch. Boundary element method for vibration analysis of two-dimensional anisotropic elastic solids containing holes, cracks or interfaces. // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2014. №40. P.22-35.

104. Cheng A.H.-D., Abousleiman Y. Intrinsic poroelasticity constants and a semilinear model // Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech. 2008. 32(7). P.803-831.

105. Cheng A.H.-D., Badmus T., Beskos D.E. Integral equations for dynamic poroelasticity in frequency domain with BEM solution // J.Eng.Mech., ASCE. 1991. 117(5). P. 1136-1157.

106. Cruse T.A., Rizzo F.J. A direct formulation and numerical solution of the general transient elastodynamic problem, I. Aust. // J. Math. Anal. Appl. 1968. 22(1). P.244-259.

107. Dargush G.F., Chopra M.B. Dynamic analysis of axisymmetric foundations on poroelastic media//J. Engrg. Mech., ASCE. 1996. 122(7). P.623-632.

108. de Boer R. Highlights in the historical development of the porous media theory: Toward a consistent macroscopic theory // Appl. Mech. Rev. ASME.-1996,- 49, N 4,- P. 201 -262.

109. de Boer R. Theory of porous media. Highlights in historical development and current state.- Berlin: Springer, 2000.

110. de Boer R., Ehlers W., Liu Z. One-dimensional transient wave propagation in fluidsaturated incompressible porous media // Arch. Appl. Mech. 1993. 63(1). P.59-72.

111. Degrande G., De Roeck G., Van Den Broeck P. Wave propagation in layered dry, saturated and unsaturated poroelastic media // Internat. J. Solids Structures. 1998. 35(34-35). P.4753-4778.

112. Detournay E., Cheng A.H.-D. Fundamentals of Poroelasticity // Comprehensive Rock Engineering: Principles. Vol.11. Practice & Projects, chapter 5. Pergamon Press, 1993. P.113-171.

113. Diebels S., Ehlers W. Dynamik poroser Medien. // Z. angew. Math, und Mech. 1995, B. 75, Suppl. nl.-S. 151-152.

114. Domínguez J. Boundary element approach for dynamic poroelastic problems // Int. J. Numer. Methods. Engrg. 1992. 35(2). P.307-324.

115. Domínguez J., Maeso O. Earthquake analysis of arch dams. II: Dam-water-foundation interaction//J. Engrg. Mech., ASCE. 1993. 119(3). P.513-530.

116. Edelman I., Wilmanski K. Asymptotic analysis of surface waves at vacuum/porous medium and liquid/porous medium interfaces // Continuum Mech. Thermodyn. 2002. №14. P.25-44.

117. Edelmann I. An analytical interpretation of liquid injection induced microseismicity in porous reservoirs // Soil Dyn. Earthquake Eng. J. 2006. 26(6-7). P.566-573.

118. Faraji A. Elastic and elastoplastic contact analysis: using boundary elements and mathematical programming. 2005. 121 p.

119. Galvin R.J., Gurevich B. Scattering of a longitudinal wave by a circular crack in a fluid-saturated porous media// Intcrnat. J. Solids Structures. 2007. 44(22-23). P.7389-7398.

120. Gatmiri B., Jabbari E. Time-domain Green's functions for unsaturated soils. Part I: Two-dimensional solution// Int. J. of Solids and Structures. 2005. №42. P.5971-5990.

121. Gatmiri B., Jabbari E. Time-domain Green's functions for unsaturated soils. Part II: Three-dimensional solution// Int. J. of Solids and Structures. 2005. №42. P.5991-6002.

122. Gazetas G., Petrakis E. Offshore caissons on porous saturated soil // In S. Parkash, editor, Proc. of Int. Conf. on Recent Advances in Geotechnical Earthquake Engineering and Soil Dynamics. University of Missouri-Rolla, Rolla. 1981. P.381-386.

123. Grag S.K., Nafeh A.II., Good A.J. Compressional waves in fluid-saturated elastic porous media//J. Appl. Phys. 1974. 45(5). P. 1968-1974.

124. Ila-Duong T. On Retarded Potential Boundary Integral Equations and their Discretisation // In: Topics in Computational Wave propagation (Eds. M. Ainsworth, P. Davies [et al], Berlin: Springer-Verlag. 2003. P.301-336.

125. Halpern M.R., Christiano P. Response of poroelastic halfspace to steady-state harmonic surface tractions // Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech. 1986. №10. P.609-632.

126. Halpern M.R., Christiano P. Steady-state harmonic response of a ridgid plate bearing on a liquid-saturated poroelastic halfspace // Earthq.Eng.Struct.Dyn. 1986. №14. P.439-454.

127. Hasheminejad S.M., Avazmohammadi R. Acoustic diffraction by a pair of poroelastic cylinders //Z. Angew. Math. Mech. 2006. 86(8). P.589-605.

128. Hasheminejad S.M., Ilosseini H. Nonaxisymmetric interaction of a spherical radiator in a fluid-filled permeable borehole // Internat. J. Solids Structures. 2008. 45(1). P.24-47.

129. Hasheminejad S.M., Mehdizadeh S. Acoustic radiation from a finite spherical source placed in fluid near a poroelastic sphere // Arch. Appl. Mech. 2004. 74(1-2). P.59-74.

130. Heider Y., Markcrt B, Ehlers W. Dynamic wave propagation in infinite saturated porous media half spaces // Comput. Mech. / Springer. 2012. P.319-336.

131. Hiremath M.S., Sandhu R.S., Morland L.W., and W. E. Wolfe. Analysis of onedimensional wave propagation in a fluid-saturated finite soil column // Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech. 1988. №12. P. 121-139.

132. I-Iong S.J., Sandhu R.S., Wolfe W.E. On Grag's solution of Biot's equations for wave propagation in a one-dimensional fluid-saturated elastic porous solid // Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech. 1988. №12. P.627-637.

133. Hosten B., Deschamps M., Tittmann B. R. Inhomogeneous wave generation and propagation in lossy anisotropic solids. Application to the characterization of viscoelastic composite materials // J. Acoust. Soc. Amer. 1987, V. 82, № 5. -P. 1763-1770.

134. Igumnov L.A., Ipatov A.A., Litvinchuk S.Yu., Rataushko Ya.Yu. Boundary-Element Analysis of the Dynamics of 3-D Poroelastic Bodies //2014 International Symposium on Physics and Mechanics of New Materials and Underwater Applications (PIIENMA 2014): Abstracts & schedule. Khon Kaen, Thailand, March 27-29, 2014. P.39.

135. Igumnov L.A., Rataushko Ya.Yu. Treating boundary value problems of 3d elastodynamics with conjugate fields by means of Boundary Integral Equations (BIE) method // KKU-IENC2014 "Engineering and Technological Responses to Global Challenges": abstract collection of the 5th KKU Intern. Engineering Conference 2014. Pullman Khon Kaen Raja Orchid Hotel, Khon Kaen, Thailand, March 27-29, 2014. P.29.

136. Igumnov L.A., Rataushko Ya.Yu. Treating Boundary Value Problems of 3D Elastodynamics with Conjugate Fields by Means of Boundary Integral Equations (BIE) Method // 2014 International Symposium on Physics and Mechanics of New Materials and Underwater Applications (PIIENMA 2014): Abstracts & schedule. Khon Kaen, Thailand, March 27-29, 2014. P.40.

137. Jin B., Liu H. Dynamic response of a poroelastic half space to horizontal buried loading. Internat//J. Solids Structures. 2001. 38(44-45). P.8053-8064.

138. Jin B., Liu H. Horizontal vibrations of a disk on a poroelastic half-space // Soil Dyn. Earthquake Eng. J. 2000. 19(4). P.269-275.

139. Jin B., Liu II. Rocking vibrations of rigid disk on saturated poroelastic medium // Soil Dyn. Earthquake Eng. J. 2000. 19(7). P.469-472.

140. Jin B., Liu II. Vertical dynamic response of a disk on a saturated poroelastic halfspace // Soil Dyn. Earthquake Eng. J. 1999. 18(6). P.437-443.

141. Jin B., Zhong Z. Dynamic stress intensity factor (Mode I) of a penny-shaped crack in infinite poroelastic solid // Int. J. Engng. Sci. 2002. 40(6). P.637-646.

142. Jiryaee Sharahi M., Kamalian M. Dynamic Analysis of 3D Saturated Poroelastic Media with Boundary Element Mathod // Proc. of the 12th International Conference of International Association for Computer Methods and Advances in Geomechanics (IACMAG). Goa, India, 1-6 October 2008.

143. Kaczmarek Mariusz, Kubik Jozef Wyznaczanie stalych materialowych dla fizycznych i kinematycznych skladnikow osrodka porowatego wypelnionego ciecza // Rozpr. inz. 1985, T. 33, №4. C. 589-609.

144. Kamalian M., Gatmiri B., Jiryaee Sharahi M. Time domain 3D fundamental solutions for saturated poroelastic media with incompressible constituents // Proc. of the 7 Intern. Conference on Boundary Element Techniques (BeTeq2006). Paris, France, 2006.

145. Kattis S.E., Beskos D.E., Cheng A.II.-D. 2D dynamic response of unlined andlined tunnels in poroelastic soil to harmonic body waves // Earthquake Eng. Struct. Dyn. 2003. 32(1). P.97-110.

146. Kausel E. Discussion on 'dynamic response of a multi-layered poroelastic medium' // Earthquake Eng. Struct. Dyn. 1996. 25(10). P. 1165-1167.

147. Kumar Rajneesh, Miglani Aseem, Garg N. R. Plain strain problem of poroelasticity using eigenvalue approach // Proc. Indian Acad. Sei. Earth and Planet. Sei. 2000, V. 109, № 3. -P. 371-380.

148. Li P. Boundary element method for wave propagation in partially saturated poroelastic continua // Monographic Series TU Graz. Computation in engineering and Science. Vol.15. 2012.

149. Li P., Schanz M. Time Domain Boundary Element Formulation for Partially Saturated Poroelasticity // Graz University of Technology, Institute of Applied Mechanics: Preprint series. 2013. №1. -36 p.

150. Li P., Shanz M. Wave propagation in a one dimensional partially saturated poroelastic column // Geophysical Journal International / Institute of Applied Mechanics. Preprint №4. 2010.

151. Liang J., Ba Z., Lee V.W. Diffraction of plane SV waves by a shallow ciculararc canyon in a saturated poroelastic half-space // Soil Dyn.Earthq. Eng.J. 2006. 26(6-7). P.582-610.

152. Liang J., You II., Lee V.W. Scattering of SV waves by a canyon in a fluid-saturated, poroelastic layered half-space, modeled using the indirect boundary element method // Soil Dyn. Earthquake Eng. J. 2006. 26(6-7). P.611-625.

153. Lin C.-I-I., Lee V.W., Trifunac M.D. The reflection of plane waves in a poroelastic halfspace saturated with inviscid fluid // Soil Dyn. Earthquake Eng. J. 2005. 25(3). P.205-223.

154. Lu J.-F., Jeng D.-S. Dynamic analysis of an infinite cylindrical hole in a saturated poroelastic medium // Arch. Appl. Mech. 2006. 76(5-6). P.263-276.

155. Lu J.-F., Jeng D.-S., Williams S. A 2.5-D dynamic model for a saturated porous medium: Part II. Boundary element method // Internat. J. Solids Structures. 2008. 45(2). P.359-377.

156. Lubich C. Convolution quadrature and discretized operational calculus // Numcr. Math. 1. 1988. 52(2). P.129-145.

157. Lubich C. Convolution quadrature and discretized operational calculus // Numer. Math. II. 1988. 52(4). P.413-425.

158. Lubich C., Ostermann A. Runge-Kutta methods for parabolic equations and convolution quadrature//Math. Comput. 1993. №60. P. 105-131.

159. Maeso O., Aznárez J.J., García F. Dynamic impedances of piles and group of piles in saturated soils // Comput. & Structures. 2005. 83(10-11). P.769-782.

160. Maeso O., Domínguez J. Earthquake analysis of arch dams. I: Dam-foundation interaction //J. Engrg. Mech., ASCE. 1993. 119(3). P.496-512.

161. Maghoul P., Gatmiri B., Duhamel D. Boundary integral formulation and two-dimensional fundamental solutions for dynamic behavior analysis of unsaturated soils // Soil Dynamics and Earthquake Engineering. 2011. №31. P. 1480-1495.

162. Manolis G.D., Beskos D.E. Corrections and additions to the paper "Integral formulation and fundamental solutions of dynamic poroelasticity and thermoelasticity" // Acta Mech. 1990. 83(3-4). P.223-226.

163. Manolis G.D., Beskos D.E. Integral formulation and fundamental solutions of dynamic poroelasticity and thermoelasticity // Acta Mech. 1989. 76(1-2). P.89-104.

164. Mansur W.J. A Time-Stepping Technique to Solve Wave Propagation Problems Using the Boundary Element Method // Phd thesis, University of Southampton, 1983.

165. Mayes M.J., Nagy P.B., Adler L., Bonner B.P., Streit R. Ultrasonic surface and bulk wave interaction with fluid-saturated porous solids // Rev.Progr.Quant.Nondestruct.Eval. v0i.6A: 1st half Proc. 13th Annu.Rev.Progr. Quant. Nondestruct. Eval., La Jolla, Calif., Aug. 3-8, 1986. New-York, London, 1987. P.51-57.

166. Mei C.C., Foda M.A. Wind-induced response in a fluid-filled poroelastic solid with a free surface - a boundary layer theory // Geophys.J.Roy.Astron.Soc. 1981. 66(3). P.597-631.

167. Mei C.C., Si B.I., Cai D. Scattering of simple harmonic waves by a circular cavity in a fluid-infiltrated poroelastic medium // Wave Motion. 1984. 6(3). P.265-278.

168. Nenning M. Infinite elements for elasto- and poroelastodynamics // Monographic Series TU Graz. Computation in engineering and Science. Vol.8. 2010.

169. Nenning M., Shanz M. Infinite elements in a poroelastodynamic FEM // International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics / Institute of Applied Mechanics. Preprint №2. 2010.

170. Paul S. On the displacements produced in a porous elastic half-space by an impulsive line load (non-dissipative case) // Pure and Appl. Geophysics. 1976. 114(4). P.605-614.

171. Paul S. On the disturbance produced in a semi-infinite poroelastic medium by a surface load. Pure and Appl. Geophysics. 1976. 114(4). P.615-627.

172. Philippacopoulos A.J. Axisymmetric vibrations of disk resting on saturated layered half-space//J. Engrg. Mech. ASCE. 1989. 115(10). P.2301-2322.

173. Philippacopoulos A.J. Buried point source in a poroelastic half-space // J. Engrg. Mech., ASCE. 1997. 123(8). P.860-869.

174. Philippacopoulos A.J. Lamb's problem for fluid-saturated, porous media // Bull. Seismol. Soc. Am. 1988. 78(2). P.908-923.

175. Philippacopoulos A.J. Waves in partially saturated medium due to surface loads//J. Eng. Mech.- 1988, V. 114,№ 10.-P. 1740-1759.

176. Pride Steven R., Gangi Anthony F., Morgan F. Dale Deriving the equations of motion for porous isotropic media // J. Acoust. Soc. Amer. 1992, V. 92, № 6. - P. 3278-3290.

177. Pryl D. Influences of Poroelasticity on Wave Propagation: A Time Stepping Boundary Element. Formulation Herausgegeben vom Mechanik-Zentrum der Technischen Universität Braunschweig. 2005. 128 p.

178. Qin Q.H. Green's function and Boundary elements of multifield materials. Elsevier, 2007. 254 p.

179. Rajapakse R.K.N.D., Senjuntichai T. An indirect boundary integral equation method for poroelasticity // Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech. 1995. 19(9). P.587-614.

180. Rajapakse R.K.N.D., Senjuntichai T. Dynamic response of a multi-layered poroelastic medium // Earthquake Eng. Struct. Dyn. 1995. №24. P.703-722.

181. Rüberg T. Non-conforming coupling of finite and boundary element methods in time domain // Graz. 2007.

182. Saitoh T., Chikazawa F., Iiirose S. Convolution quadrature time-domain boundary element method for 2-d fluid-saturated porous media // App. Math. Modell. 2014. http://dx.doi.ora/10.1016/i.apm.2014.02.009

183. Schanz M. Application of 3-d Boundary Element formulation to wave propagation in poroelastic solids // Eng. Anal. Bound. Elem. 2001. 25(4-5). P.363-376.

184. Schanz M. Dynamic poroelasticity treated by a time domain boundary element method. In T. Burczynski, editor, IUTAM/IACM/IABEM Symposium on Advanced Mathematical and Computational Mechanic Aspects of the Boundary Element Method // Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London. 2001. P.303-314.

185. Schanz M. On a reformulated Convolution Quadrature based Boundary Element Method // Graz University of Technology, Inst, of Appl. Mech.: Preprint series. 2009. №1. 18 p.

186. Schanz M. Poroclastodynamics: linear models, analytical solution, and numerical methods // Applied mechanics reviews. 2008. 3. 43 p.

187. Schanz M. Wave Propagation in Viscoelastic and Poroelastic Continua: A Boundary Element Approach, volume 2 of Lecture Notes in Applied Mechanics. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2001.

188. Schanz M. Wave Propagation in Viscoelastic and Poroelastic Continua // Berlin Springer, 2001.-170 p.

189. Schanz M., Antes H. Waves in poroelastic half space: Boundary element analyses -Porous media: theory, experiments, and numerical applications // Berlin. Springer. 2002. P. 383-412.

190. Schanz M., Antes II., Rueberg Т. Convolution quadrature boundary element method for quasi-static visco- and poroelastic continua // Computers and Structures. 2005. №83. P.673-684.

191. Schanz M., Cheng A. H.-D. Transient wave propagation in a one-dimensional poroelastic column // Acta Mech. 2000. 145(1-4). P.l-18.

192. Schanz M., Cheng A.H.-D. Compressional waves in a one-dimansional poroelastic column // ICTAM 2000: 20th International Congress of Theoretical and Applied Mechanics, Chicago, 27 Aug.-2 sept., 2000: Abstr. Book. Urbana-Champaign (111) -IUTAM, 2000. P.42.

193. Schanz M., Cheng A.H.-D. Dynamic analysis of a one-dimensional poroviscoelastic column//J. of Appl. Mech. 2001. 68(2). P.192-198.

194. Schanz M., Rueberg Т., Kielhorn L. Time Domain BEM: Numerical Aspects of Collocation and Galerkin Formulations // Recent Advances in Boundary Element Methods: под ред. Manolis G.D., Polyzos D. Springer Science + Business Media B.V. 2009. P.415-432.

195. Schanz M., Steinbach О. Boundary Element Analysis. Berlin: Springer, 2007. 354 p.

196. Senjuntichai Т., Mani S., Rajapakse R. K. N. D. Vertical vibration of an embedded rigid foundation in a poroelastic soil // Soil Dyn. Earthquake Eng. J. 2006. 26(6-7). P.626-636.

197. Senjuntichai Т., Rajapakse R.K.N.D. Dynamic Green's functions of homogeneous poroelastic half-plane // J. Engrg. Mech., ASCE. 1994. 120(11). P.2381-2404.

198. Senjuntichai Т., Rajapakse R.K.N.D. Transient response of a circular cavity in a poroelastic medium // Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech. 1993. 17(6). P.357-383.

199. Sharma M.D. Comments on "Lamb's problem for fluid-saturated porous media" // Bull. Seismol. Soc. Am. 1992. 82(5). P.2263-2273.

200. Soares D., Teiles J.С.F., Mansur W.J. A time-domain boundary element formulation for the dynamic analysis of non-linear porous media // Eng. Anal. Bound. Elem. 2006. 30(5). P.363-370.

201. Teiles J.С.F. The Boundary Element Method Applied to Inelastic Problems. SpringerVerlag, Berlin, 1983.

202. Theodorakopoulos D.D., Beskos D.E. Flexural vibrations of fissured poroelastic plates // Arch. Appl. Mech. 1993. 63(6). P.413-423.

203. Theodorakopoulos D.D., Beskos D.E. Flexural vibrations of poroelastic plates // Acta Mech. 1994. №103. P. 191-203.

204. Tosecky, A., Kolekova, Y., Schmid, G., Kalinchuk, V. Three-dimensional transient halfspace dynamics using the dual reciprocity boundary element method // Eng. Anal. Bound. Elem. 2008. 32(7). P. 597-618.

205. Urthaler P. Analysis of boundary element methods for wave propagation in porous media // Monographic Series TU Graz. Computation in engineering and Science. Vol.14. 2012.

206. Van der Kogel II. Wave phenomena // Comput. and Geotechn. 1987, V. 3, № l.-P. 21-28.

207. Vgenopoulou I., Beskos D.E. Dynamic behavior of saturated poroviscoelastic media // Acta Mech. 1992. 95(1-4). P. 185-195.

208. Vgenopoulou I., Beskos D.E. Dynamic poroelastic soil column and borehole problem analysis // Soil Dyn. Earthquake Eng. J. 1992. 11(6). P.335-345.

209. Vgenopoulou I., Beskos D.E. Dynamics of saturated rocks. IV: Column and borehole problems // J. Engrg. Mech., ASCE. 1992. 118(9). P. 1795-1813.

210. Wei C., Muraleetharan K.K. A continuum theory of porous media saturated by multiple immiscible fluids: I. Linear poroelasticity // International Journal of Engineering Science. 2002. №40. P. 1807-1833

211. Wei C., Muraleetharan K.K. A continuum theory of porous media saturated by multiple immiscible fluids: II. Lagrangian description and variational structure // International Journal of Engineering Science. 2002. №40. P. 1835-1854.

212. Wiebe Th., Antes IT. A time domain integral formulation of dynamic poroelasticity // Acta Mech. 1991. 90(1-4). P.25-137.

213. Xie K.I I., Liu G.-B., Shi Z.-Y. Dynamic response of partially sealed circular tunnel in viscoelastic saturated soil // Soil Dyn. Earthquake Eng. J. 2004. 24(12). P. 1003-1011.

214. Zeng X., Rajapakse R.K.N.D. Vertical vibrations of a rigid disk embedded in a poroelastic medium // Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech. 1999. 23(15). P.2075-2095.

215. Zhao X. An efficient approach for the numerical inversion of Laplace transform and its application in dynamic fracture analysis of a piezoelectric laminate. // Int. J. of Solids and Structures. 2004. V. 41. P. 3653-3674.

216. Zienkiewicz O.C., Chang C.T., Bettess P. Drained, undrained, consolidating and dynamic behaviour assumptions in soils // Geotechnique, 30(4). 1980. P.385-395.

217. Zienkiewicz O.C., Shiomi T. Dynamic behaviour of saturated porous media; the generalized Biot formulation and its numerical solution // Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech., 8. 1984. P.71-96.

218. Zimmerman D., Stern M. Boundary element solution of 3-D wave scatter problems in a poroelastic medium // Eng. Anal. Bound. Elem. 1993. 12(4). P.223-240.