Численное моделирование проблем пороупругости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Колесов, Александр Егорович

• Колесов, Александр Егорович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Колесов, Александр Егорович

Оглавление

Введение

Глава 1. Численное моделирование задач пороупругости

1.1. Введение

1.2. Постановка задачи

1.3. Вычислительные алгоритмы решения задачи пороупругости

1.3.1. Вариационная формулировка

1.3.2. Конечно-элементная аппроксимация

1.3.3. Дискретизация по времени

1.3.4. Вычислительная реализация

1.4. Схемы расщепления для задачи пороупругости

1.4.1. Явно-неявные схемы

1.4.2. Регуляризованные схемы

1.4.3. Схема с весами

1.5. Численные эксперименты

1.5.1. Задача с заданным давлением

1.5.2. Исследование схемы без расщепления

1.5.3. Исследование схем расщепления

1.5.4. Задача со скважинами

Глава 2. Численное моделирование задачи пороупругости для пластин

2.1. Введение

2.2. Математическая модель

2.2.1. Уравнение для перемещений

2.2.2. Уравнение для давления

2.2.3. Уравнения пороупругости

2.3. Численное решение задачи прогиба пластин

2.3.1. Общая характеристика

2.3.2. Задача Дирихле

2.3.3. Конечно-элементная аппроксимация

2.3.4. Численные эксперименты

2.4. Задача пороупругости пластин

2.4.1. Математическая модель

2.4.2. Вариационная постановка

2.4.3. Аппроксимация по пространству

2.4.4. Аппроксимация по времени

2.4.5. Численные эксперименты

Глава 3. Задачи пороупругости при разработке месторождений нефти и газа

3.1. Введение

3.2. Математическая модель

3.3. Вычислительный алгоритм

3.4. Численные эксперименты

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование проблем пороупругости»

Введение

Исследование современных научно-технических проблем базируется на проведении масштабных экспериментальных и теоретических исследований. Теоретическое исследование явлений и процессов проводится с широким использованием информационных технологий. Вычислительные методы позволяют проводить исследование сложных взаимосвязанных процессов в рамках вычислительного эксперимента [27].

Прикладное математическое моделирование течения жидкости в пористых средах играет важную роль в понимании процессов, происходящих во время добычи углеводородного сырья, и используется для исследования оптимальных способов разработки месторождений [10, 39]. С помощью моделирования выбирается оптимальное расположение скважин, тестируются различные технологии добычи и т.д.

Математические модели фильтрации базируются на фундаментальных законах механики многофазных сред [17] и включают системы уравнений с частными производными, описывающих законы сохранения массы фаз и количества движения [2, 31, 41]. Кроме того, в зависимости от особенностей пористой среды, жидкости или исследуемого процесса математическая модель дополняется различными вспомогательными уравнениями. Например, при использовании термических методов интенсификации притока к стандартной системе уравнений добавляется уравнение теплопроводности. Численное исследование проблем фильтрации проводиться во многих работах [12, 39, 54]. Основные особенности таких задач порождены нелинейностью систем уравнений, разномасштабностью рассматриваемых процессов.

Наличие движущейся жидкости в пористой горной породе оказывает существенное влияние на его механическое состояние [64, 142]. Таким образом, недооценка данного процесса может привести к разрушающим явлениям со

значительным экономическим и экологическим ущербом [33, 84, 128]. Деформации играют важную роль процессах сжатия продуктивных пластов, оседания земной поверхности и морского дна, смятия обсадных колонн скважин и т.д. [51, 60, 63, 66, 119]. Также, деформация горных пород может вызвать существенное изменение их фильтрационно-емкостных свойств [79, 127].

Совместный механизм течения жидкости и деформирования пористых сред изучает теория пороупругости (фильтрационной консолидации) [9, 11, 19, 42-48, 121, 132, 141, 146]. При этом базовые математические модели фильтрации дополняются уравнением упругости Ламе для перемещений среды. Важнейшей особенностью математических моделей пороупругости является сильная связь между уравнениями модели. Так, уравнение упругости включает объемную силу, которая пропорциональна градиенту давления, а уравнение фильтрации, в свою очередь, содержит сжимаемость среды пропорциональную дивергенции скорости перемещений.

В некоторых прикладных задачах мы имеем дело с различного рода пластинами и оболочками, когда поперечные размеры сравнительно меньше продольных [30, 57]. В этом случае мы имеем дело с упрощенными моделями упругости, когда вместо векторного уравнения Ламе используется скалярное эллиптическое уравнение четвертого порядка, описывающее прогиб пластины в поперечном направлении [52, 57, 120]. Наличие движущейся жидкости в порах пластин также приводит к задаче пороупругости. Причем могут рассматривать как двумерные [52, 95], так трехмерные уравнения фильтрации [130, 131, 134].

Математические модели пороупругости включают системы нелинейных, нестационарных завязанных систем уравнений с частными производными. Для приближенного решения соответствующих краевых задач используются численные методы [77, 93, 117]. Вычислительные методы математической физики базируются, прежде всего, на конечно-разностной [22, 25] и конечно-

элементной [15, 29] аппроксимации. При рассмотрении прикладных проблем фильтрации мы должны ориентироваться на нерегулярные расчетные сетки [135].

Для численного решения краевых задач математической физики уравнения сначала аппроксимируются по пространству. Для задач пороупругости широкое применение получили методы конечных разностей [13, 20, 68, 71, 74, 111-113]. Наиболее широко используются различные конечно-элементные аппроксимации [55, 79, 97, 126]. Особенностью рассматриваемых задач является необходимость аппроксимации как скалярных, так и векторных полей. При приближенном решении задач пороупругости приходиться применять различные аппроксимации для перемещений и давления.

Для приближенного решения краевых задач для нестационарных уравнений используются разностные аппроксимации по времени [22, 38, 78, 86]. Традиционно ориентируются на двухслойные разностные схемы первого и второго порядка аппроксимации. Исследование устойчивости проводится на основе общей теории устойчивости (корректности) операторно-разностных схем A.A. Самарского [22, 26, 124].

Вычислительная реализация традиционных неявных схем для нестационарных систем уравнений с частными производными связана с решением завязанных систем сеточных эллиптических уравнений на новом временном слое. Такие задачи требуют использования специальных итерационных методов [28, 123], которые максимально учитывают специфику рассматриваемых задач. Особого внимания заслуживают методы многосеточной технологии [80, 137]. Вопросы использования многосеточных итерационных методов для задач пороупругости рассматриваются в работах [49, 68-70, 73]. Вторая возможность приближенного решения нестационарных задач для систем уравнений связана с использованием схем расщепления, когда переход на новый временной слой связан с решением стандартных сеточных эллиптических за-

дач.

Для приближенного решения многомерных нестационарных задач математической физики широко используются различные классы аддитивных схем (схем расщепления) [14, 22]. Начиная с пионерских работ [62, 116] наиболее просто строятся аддитивные схемы при расщеплении оператора задачи на сумму двух операторов более простой структуры — схемы переменных направлений, факторизованные схемы, схемы предиктора-корректора и т.д. [23, 138].

В более общем случае многокомпонентного расщепления классы безусловно устойчивых операторно-разностных схем строятся на основе понятия суммарной аппроксимации. На этом пути строятся классические локально-одномерные схемы (схемы покомпонентного расщепления) [14, 22], аддитивно-усредненные локально-одномерные схемы [8, 23].

Активно развивается (см., например, [1,4]) новый класс безусловно устойчивых схем — векторные аддитивные схемы (многокомпонентные схемы переменных направлений). Они относятся к схемам полной аппроксимации — каждая промежуточная задача аппроксимирует исходную. Наиболее просто аддитивные схемы полной аппроксимации строятся на основе принципа регуляризации разностных схем. Улучшение качества операторно-разностных схем достигается на основе аддитивного или мультипликативного возмущения операторов схемы [21]. Построены регуляризованные аддитивные схемы для эволюционных уравнений первого и второго порядка, для систем уравнений [5, 24].

Рассматриваются как стандартные схемы расщепления по отдельным направлениям (локально-одномерные схемы), схемы расщепления по физическим процессам, так и регионально-аддитивные схемы декомпозиции области при построении параллельных алгоритмов для нестационарных задач математической физики [104, 124, 139].

Отмеченные выше различные классы аддитивных операторно-разност-ных схем для эволюционных уравнений строятся при аддитивном расщеплении основного оператора (связанного с решением) на несколько слагаемых. В некоторых прикладных задачах интерес представляют задачи при расщеплении оператора при производной по времени. В [140] предложены и исследованы векторные аддитивно-операторные схемы при расщеплении оператора при производной по времени на сумму положительно определенных самосопряженных операторов. В работе [6] выделен класс задач с расщеплением как основного оператора задачи, так и оператора при производных по времени. Для задач, которые возникают при исследовании краевых задач для псевдопараболических уравнений предложены [7] безусловно устойчивые векторные схемы расщепления по направлениям. Явно-неявные схемы для систем эволюционных уравнений рассмотрены в работе [72].

При построении схем расщепления для нестационарных задач пороупру-гости мы ориентируемся на расщепление по физическим процессам. Переход на новый временной слой в этом случае базируется на решении отдельных задач для смещений пористой среды и для давления в порах. В настоящее время некоторые схемы расщепления известны (смотри, например, работы [36, 89-91, 106].), однако их построение базируется на эвристических соображениях инженерного плана, устойчивость таких схем исследуется экспериментально, строгих математических результатов об их устойчивости практически нет. Поэтому актуальной проблемой вычислительной математики является построение абсолютно устойчивых схем расщепления по физическим процессам для задач пороупругости (фильтрационной консолидации), разработка на их основе вычислительных алгоритмов приближенного решения нестационарных задач пороупругости и их применение для решения прикладных проблем фильтрации. Отдельного внимания заслуживают задачи фильтрации для пористых пластин.

Проблемам построения, обоснования и использования схем расщепления по физическим процессам (перемещение и давление) посвящено настоящее исследование. В первой главе обсуждаются проблемы численного решения краевых задач пороупругости (фильтрационной консолидации). Аналогичные математические модели используются при исследовании термоупругости. Базовая система уравнений включает стационарные уравнения Ламе для перемещений и нестационарные уравнения для давления или температуры. Вычислительный алгоритм основан на конечно-элементной аппроксимации по пространству. Для двухслойных схем с весами формулируются стандартные условия устойчивости. Вычислительная реализация таких схем основана на решении системы связанных уравнений для перемещений и давления (температуры). Строятся схемы расщепления по физическим процессам, когда переход на новый временной слой связывается с решением отдельных эллиптических задач для искомых перемещений и давления (температуры). Безусловно устойчивые аддитивные схемы строятся на основе выбора веса трехслойной схемы. Работоспособность предложенных схем расщепления продемонстрирована на ряде модельных задач.

Задачи пороупругости для пластин рассмотрены во второй главе. Особенностью рассматриваемых математических моделей является то, что перемещения пористой среды описываются одной скалярной величиной — перемещением по нормали к срединной плоскости. В этих задачах пороупругости система состоит из эллиптического уравнения четвертого порядка для перемещений и параболического уравнения для давления. Отмечаются особенности конечно-элементной аппроксимации краевой задачи, строятся чисто неявные двухслойные схемы для системы уравнений пороупругости пластин. Основной результат состоит в построении схем расщепления по физическим процессам. Теоретическое рассмотрение дополняется результатами численных экспериментов.

В третьей главе разработанные схемы расщепления по физическим процессам применяются для численного решения задач пороупругости при разработке месторождений нефти и газа. В рамках приближения однофазной фильтрации рассматриваются задачи фильтрационной консолидации в трехмерном приближении. Вычислительный алгоритм базируется на конечно-элементной аппроксимации по пространству. Программное обеспечение для приближенного решения задач пороупругости разработано с использованием современных вычислительных технологий, свободных библиотек инженерных и научных вычислений, ориентированных на компьютеры параллельной архитектуры.

Новые научные результаты работы сформулированы в заключении.

Глава 1

Численное моделирование задач пороупругости

Прикладное математическое моделирование пороупругости играет важную роль во многих областях науки и техники [16, 18, 105, 142]. В частности, необходимость учитывать деформационные процессы появляется в разработке нефтяных и газовых месторождений, гражданском строительстве, охране окружающей среды и биоинженерии.

1.1. Введение

Математические модели пороупругости включают уравнения упругости Ламе для перемещений среды и нестационарное параболическое уравнение для давления фильтрующейся жидкости [64, 142, 146]. Заметим, что математические модели термоупругости являются аналогичными[109, 118]. Наиболее важной особенностью математических моделей пороупругости является сильная связь между уравнениями системы. С одной стороны, уравнение для перемещений включает объемную силу, которая пропорциональна градиенту давления. С другой стороны, уравнение для давления включает сжимаемость среды, которая, в свою очередь, пропорциональна дивергенции скорости перемещений.

Вычислительные алгоритмы приближенного решения задач пороупругости базируются, чаще всего, на конечно-элементной аппроксимации по пространству [35, 82, 97, 107, 108]. Для удовлетворения так называемого LBB-условия [50] мы не можем использовать конечно-элементные аппроксимации одного порядка для смещений и давления и должны ориентироваться на смешанные конечные элементы, на более низкий порядок аппроксимации для давления.

При аппроксимации по времени используются стандартные двухслойные схемы с весами. В работах [74] устойчивость и сходимость двухслойных схем для задач пороупругости при конечно-разностной аппроксимации по пространству исследуется в рамках общей теории устойчивости (корректности) операторно-разностных схем [22, 124].

Отдельного внимания заслуживают исследования по построению схем расщепления по физическим процессам, когда переход на новый временной слой осуществляется последовательным решением отдельных задач расчета перемещений и расчета давления. Различные классы таких схем строятся на основе аддитивного расщепления оператора задачи [103, 138]. Для задач пороупругости схемы расщепления строятся и используются в работах [36, 89-91, 106].

Несмотря на длительную историю и большое внимание, в настоящее время мы не имеем строгих математических результатов об устойчивости схем расщепления по физическим процессам для задач пороупругости и термоупругости. До сих пор выводы об устойчивости и работоспособности таких схем делаются не на основе их теоретического исследования, а на базе анализа вычислительных экспериментов по приближенному решению некоторых модельных задач. В нашей работе дается попытка восполнить этот пробел.

В работе на основе принципа регуляризации операторно-разностных схем A.A. Самарского [21, 22] строятся схемы расщепления по физическим процессам для задач пороупругости и термоупругости. Успех достигается за счет перехода к трехслойной разностной схеме, когда часть членов системы уравнений берется с нижнего временного слоя и выбора весового параметра (параметра регуляризации).

■1 I

1.2. Постановка задачи

Рассмотрим задачу иороупругости в ограниченной области £7 с границей Г. Математическая модель содержит уравнения для перемещения и давления, которые получаются из уравнения равновесия и неразрывности, соответственно. Обозначим вектор смещения пористой среды через и , а давление фильтрующейся жидкости через р. В квази-стационарном приближении напряженно-деформированное состояние пористой среды описывается с помощью уравнения равновесия [42]:

<Иу<г4(м,р) = 0, (1.1)

где сг£ - тензор общего напряжения, который для изотропного тела задан через обобщенный закон Гука [42, 75]:

= сг — ар1 = 2 /ие(и) + Ае^ I — ар1, (1.2)

где сг - тензор эффективного напряжения, а - коэффициент Био, характеризующий связь между смещением и давлением, I - единичный тензор, е -тензор деформации:

е(и) = ^ ^гас1и + gradг^т) , (1.3)

£

и Л - модули упругости, называемые коэффициентами Ламе. Заметим, что коэффициент ц также называется модулем сдвига. Они могут быть выражены через модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона и:

_ Е 2 уЕ

^ ~ 2(1 4- и)' А~ (1 + |/)(1-2|/)'

Модуль Юнга описывает жесткость тела, т.е. способность тела сопротивляться одноосному сжатию, а коэффициент Пуассона - продольное расширение относительно продольного сжатия.

Объемная деформация еь определяется как сумма элементов главной диагонали тензора деформаций е (1.3):

= = СИун. (1.4)

Также, определим объемное напряжение аь как

1

(Ту = -

Тогда из обобщенного закона Гука (1.2):

аь = Кеь — ар, (1.5)

где К - модуль объемного сжатия:

2 Е

К = А+ -д

3^ 3(1 — 2и)'

Заметим, что из пяти рассмотренных упругих постоянных /л, Л, Е, и и К только две являются независимыми, т.е. зная любые две упругие постоянные можно найти остальные три.

Процесс фильтрации жидкости в пористой среде описывается уравнением неразрывности, выражающего закон сохранения массы:

^ + = (1.6)

где £ - масса жидкости в единице объема, v - скорость фильтрации жидкости, / - интенсивность стока и источника.

Закон Дарси выражает связь между давлением и скоростью фильтрации

[39]:

к

v =--grad^?. (1.7)

Г]

Здесь, к - тензор проницаемости, г] - динамическая вязкость жидкости. Теперь, определим массу жидкости [42, 75]:

С = ае|> + /3р, (1.8)

■ IIII! ■■■■ 1ВВ11

где ¡3 = 1/М, М - модуль Био, характеризующий сжимаемость жидкости с учетом деформирования пористой среды.

Комбинируя (1.1)—(1.8), получим математическую модель пороупруго-

сти

(Ну <т{и) — а^гас1£> = 0, (1.9)

+ Р =/(х,0. (1.10)

Уравнения (1.9), (1.10) дополняем граничными и начальными условиями. Для простоты, будем рассматривать следующие однородные условия I и II рода

гб = о, хеги0, сгп — о, жег;, (1.11)

для смещения и

р = о, хегрв, —ип = о, х е г^, (1.12)

для давления. Здесь, п ~ единичная нормаль к границе и Г = Г^ + Г^ =

4- Тр

Кроме этого, задаем начальное условие давления

р(х,0)=р0(х), хеП. (1.13)

Начальное условие для смещения щ получается из (1.9) с учетом (1.13):

сИу<т(гА0) — а£г&6.ро = 0, х £ Г2 (1-14)

При ро — 0, начальное условие для смещения ио = 0.

1.3. Вычислительные алгоритмы решения задачи пороупругости

Для численного решения задачи (1.9)—(1.14) получим дискретную задачу. Для это методом конечных элементов проводим аппроксимацию по про-

странству. Для дискретизации по времени используем стандартную двухслойную схему с весами. Даются априорные оценки для решения задачи, обеспечивающие устойчивость по начальным данным и правой части.

1.3.1. Вариационная формулировка

Перед проведением конечно-элементной аппроксимации нам необходимо получить вариационную формулировку задачи (1.9)—(1.14). Сначала, определим стандартное гильбертово пространство для скалярных величин ¿^(П) с0 скалярным произведением и нормой в виде

(«,») = /«(» )»(*)&, 1М1 = {и,и)1'2.

О

Для векторных величин определим Ь2(Г2) = [1/2(Г2)]т, гДе тп = 2, 3 — размерность области Также определим пространства Соболева Я1(Г2) и Н1^) для скалярных и векторных величин, соответственно.

Далее, определим следующие пробные и тестовые функция для скалярных и векторных функций, соответственно:

Я = и Е Н\П) : д{х) = 0, ж € Г*}, д = {д е Н\П) : д(х) = О, Ж е г},

V = {V Е Н\П) : у(х) = 0, ж Е Г£},

V = {V € Н\П) : у(х) = 0, ж Е Г}.

Умножив (1.9) и (1.10) на г? Е V и д Е д, соответственно, и проинтегрировав полученные уравнения по частям, получим

У сг(и) е(у) йх + I Q:(gradp, у) йх = 0,

п п

/ а~^ / 1 ¿¿Ж = J 1я(1х

п о. п п

где и Е V, р £ V. Для удобства, введем следующие билинейные формы:

«(«,„) = /*(«) ем*«, 9(Р,«) = «/8 гаЛр^х,

п о

^рдйх, ¿{и^) = а J divuqdx, п о

/к

— gradp grad д ¿ж. V

п

Тогда, вариационная постановка читается: найти и Е V, р £ такие, что

a(it,v) + flf(p,u) = 0, \fveV, (1.15)

d + С (%' + = (/'Va G ^ (L16)

Рассмотрим свойства введенных билинейных форм. Так, а(-, •), &(-, ■) и с(-, •) являются симметричными и положительно определенными [138]:

a(u,v) = a(v,u), а(и,и) > 6а\\и\\2, 6а > О,

= bfop)» Ь(р,р) > бь\\р\\2: 6Ь > О,

с(р, q) = с(д,р), с(р,р) > ¿С|Ы2, > 0.

Следовательно, с данными билинейными формами связаны гильбертовы пространства Яа, Нь и Нс, соответственно. Введенные пространства характеризуются следующими скалярным произведением и нормой, например, На:

(и, v)a = а(и, v), ||w||2 = (а(и, и))1/2.

Для нормы в сопряженном к На пространстве будем использовать обозначение ||w||*ia.

Согласно формулам Грина, при рассматриваемых граничных условиях (1.11), (1.12) билинейные формы d(-, •) и д(-, •) являются кососимметричными

d(v,q) = -g(q,v). (1.17)

Начальные условия (1.13), (1.14) выражаются как

(р(0),<7) = (ро,д), qeQ. (1.18)

a(u0,v)+g(p0,v)=0, v € V. (1.19)

Приведем простейшую априорную оценку для решения задачи (1.15)—(1.19

du

Положим в (1.15) v = —- ид=рв (1.16). Сложим полученные выражения

(ЛЬ

и учитывая (1.17), получим

+ +Ь(р,р) = (/,р).

Здесь

( du\ Id, .

а{и'л) = 2 dta{U'U)-

Для правой части имеем оценку

^ 112 , II ц2\ ^ ^ и Л|2

Тогда, имеем

¿« + 1Ы©< §11/11^.

Интегрируя по времени, получим окончательную оценку

г

| «(4)112 + НрМИс < 1КН« + Ы1 + \ /11/(011?* (1-го)

о

В (1.20) оценка для и дается в На, а для р в Нс. Можно получить оценку р в более сильной норме. Из (1.15) имеем

Задавая в (1.21) v — ^ = (1-16) и складывая эти уравнения, полу-

чим

Для правой части используется неравенство

ИЖ1-! И»/«

С учетом этого от (1.22) приходим к оценке

1Ш1г<ы1г+5 / \\т\\1,с %

(1.23)

Данные оценки обеспечивают устойчивость решения задачи по начальным данным и правой части и будут ориентиром при рассмотрении дискретных задач.

1.3.2. Конечно-элементная аппроксимация

Проведем конечно-элементную аппроксимацию по пространству. Для этого, сначала построим расчетную сетку = (¿2, ■ ■ ■, шм} в области {}. Здесь, N - количество ячеек в к = тахаде^/1 где - диаметр окружности, вписанной в со.

Далее, в построенной сетке определим [85, 144] следующие конечно-размерные дискретные подпространства пробных и тестовых функций: С^п С (5, <3)1 С <5, У/1 С У и ^ С У. Чтобы получить дискретную задачу ограничим вариационную задачу (1.15), (1.16) для данных подпространств [82, 100]: найти ин Е рь Е С^н такие, что

Берем базисы и {Фк}^ 1 Для ^л» Яь и Он,

соответственно, где Л^,, АТф - размерности подпространств. Теперь, пробные

а(и]г, V) + д(рн, V) — 0, ^ Е УН:

(1.24)

функции ин и рь можно аппроксимировать как:

щ щ

= изФз > РЬ = ^'

3=1 1=1

а тестовые функции берем V = ф{, г — 1, 2,..., ТУ, д = & = 1,2,..., М. Здесь, из и р1 - векторы неизвестных, которые будут вычисляться. С учетом этого, запишем (1-24), (1.25) как

^^(ФзЛдщ + = 0, ¿ = 1,2,...

3=1 1=1

XЬ{фифк)Р1 = (/, 4), к = 1,2,..., IV

^■=1 ¿=1 г=1

Введя следующие линейные операторы (матрицы):

А = ^а{Фэ,Фг), 0 = г = 1,2,..., Л^,

.7=1 /=1

Л^ ^ л^

И = X ОД, 4), С = ^ с«*, Йь), В = Ь{фи Фк), к = 1,2,..., Щ.

3=1 1=1 1=1

перейдем к следующим дифференциально-операторной системе уравнений:

Аи + Ср = 0, (1.26)

^ + + (,27)

где вектор / = (/, т/^), А; = 1,2,..., Атф. Начальное условие возьмем в виде

р(0)=Ро- (1-28)

Операторы А, В, С являются самосопряженными и положительно определенными:

А = А* > О, В = В* > О, С = С* > О,

а операторы О и С — сопряжены друг другу с обратным знаком:

£> = -С*.

Для задачи (1.26)—(1.28) можно получить следующую априорную оценки для его решения:

г

ыт2л+ыть < \ы\2а + 1Ы2С+\ / плот-

о

г

ыт2в<\ы\ъ+1 /11/(011^.«.

Они получаются аналогично (1.20), (1.23).

Дифференцируя по времени уравнение для смещения (1.26) и обозначая т — {/и,р}, система (1.26), (1.27) может быть записана в векторной форме [138]:

В^ + А™ = /, 4 > 0, (1.29)

<п

с начальными данными

и) = г^о-

Здесь, / = {0, /} - вектор правой части. Операторы А и В определяются следующим образом:

/о о\ /а , ,

А = , В = . (1.30)

V0 в) \п с)

Умножая уравнение (1.29) скалярно на ги, после некоторых преобразований получим неравенство

(Ви),ги) < ^ (А-1/, /) ,

которое дает априорную оценку для решения уравнения

г

/ .\ I |9 . н I IО 1

гш

\ ✓ I I ш»и - II ~ » I .и-иу «1

о

ъ

>тк<\ы\к+Ц(1.31)

■ и ■■

1 ч (А (Л (Е О

В0 = -(В + В*) = , Ао = (

2 уо с) уо в

Заметим, что эта оценка также аналогична (1.20).

1.3.3. Дискретизация по времени

Для дискретизации по времени будем использовать, для простоты, равномерную сетку с шагом г > 0. Пусть ип = 11/г(гс,£п), рп = где ¿п = пт, п — 0,1,.... Для приближенного решения задачи (1.26)—(1.28) будем использовать двухслойную схему с весами:

Аип+1 + = 0, (1.32)

,71+1 „,П пП+1 тп

^и- - и : пг -р , _ ,п+1

где

В--— + С?-+ Вр2+1 = /0п+1, (1.33)

т т

рп+1 = 0рп+1 + (1 _ 9)рп^ /?+1 = ¿п+1}

и 0 < в < 1. Запишем начальное условие (1.28) как

Р°=Ро- (1-34)

Теорема 1. При 9 > 0.5 для решения (1.32), (1.33) справедливы априорные оценки

||и»+1||2 + ||рП+1ц2 < (1-35)

уИ+1 _ иП

Доказательство. Умножая (1.32) скалярно на-, с учетом линейно-

т

сти получим

+ (1-37)

= вип+1 + (1 - в)ип. Далее, умножив (1.33) скалярно на получим

НВрпв+\Ро+1) = (/?+1,Й+1)-

Складывая (1.37) и (1.38), имеем

(АЧГ\и"+1~ "") + (срП+1-рП,р^ +(ВРТ\РГ1) = (/Г'.гГ1)-

Принимая во внимание неравенство

(/Г.рГ^^ИРГЧ^ + ^И/Г1!!!-.,

получим

-1 -

(лиу+'.Н-^) + < 1ц 1ГГв

Используя равенство

..71+1 I „.П / 1 \

= + (1 _ в)уп =-+ ( 0 - ^ | (уп+1 - г/1)

и учитывая, что для самосопряженного оператора А имеем

{А(и + у),и — у) = (Аи, и) — (Аг>, г*),

получим неравенство

\ (1К+11й - 1К11У +\ - 1И12с) +

+ (е -(1К+1 - ип\\2л + 1Ь"+1 -РП\\Ь) <

При в > 0.5, отсюда следует оценка (1.35).

Аналогично доказывается оценка (1.36). Из (1.32) с учетом линейности имеем

ип+1 _ ч,п П^1 — <пп

А--— + С9--^- = 0, (1.39)

г т

23

ип+1 _ ип _ рп

Теперь, умножим (1.39) и (1.33) скалярно на-и-, соответ-

т т

ственно. Складывая полученные уравнения, имеем

/ ип+1 - ип ип+1 - гхп\ / рп+1 - рп рп+1 - рп\

+ г ; ■ -г-;+

Принимая во внимание, что

рГ1 = + \(рп+1 + Л

получим оценку (1.36). □

Оценки (1.35), (1.36) обеспечивают устойчивость решения задачи (1.32)-(1.34) по начальным данным и правой части и выступает в качестве дискретных аналогов априорных оценок (1.20), (1.23).

Двухслойная схема с весами для векторной формы задачи пороупруго-сти (1.29) имеет вид

иип+1 — гип

т

+ Аи>л+1 = (1.40)

где

и»^ = + (1 _ в)тп, /0П+1 = 9Г+1 + (1 - в)р.

1.3.4. Вычислительная реализация

Вычислительная реализация схемы с весами (1.32)—(1.34) связана с определением ип+1, рп+1 на каждом временном слое п = 0,1,..., решая систему уравнений:

Аип+1 + = 0, Иип+1 + Срп+1 + втВрп+1 = Тп, 24

Тп = уп+1 + Вип + Срп + ^ _

С учетом (1.40) получим:

Агип+1 = Ь, (1.41)

где Ь — {0, Тп}, А - блочная матрица:

(л С

А = В + втА —

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Колесов, Александр Егорович, 2014 год

Список литературы

1. Абрашин В. Н. Об одном варианте метода переменных направлений решения многомерных задач математической физики. 1 // Дифференциальные уравнения. — 1990. — Т. 26. — С. 314-323.

2. Басниев К. С., Кочина И. Н., Максимов В. М. Подземная гидромеханика. — Москва : Недра, 1993.

3. Вабищевич П.Н., Васильева М.В., Колесов А.Е. Схема расщепления для задач пороупругости и термоупругости // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2014. — Т. 54, № 8. — С. 1345-1355.

4. Вабищевич П. Н. Векторные аддитивные разностные схемы для эволюционных уравнений первого порядка // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1996. — Т. 36(3). — С. 44-51.

5. Вабищевич П. Н. Регуляризованные аддитивные операторно-разностные схемы // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2010. - Т. 50, № 3. - С. 449-457.

6. Вабищевич П. Н. Аддитивные операторно-разностные схемы (схемы расщепления).—Москва : КРАС АНД, 2013.

7. Вабищевич П. Н., Григорьев А. В. Схемы расщепления для псевдопараболических уравнений // Дифференциальные уравнения. — 2013. — Т. 49, № 7,- С. 837-843.

8. Гордезиани Д. Г., Меладзе Г. В. О моделировании третьей краевой задачи для многомерных параболических уравнений в произвольной области одномерными уравнениями // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1974. — Т. 14. — С. 246-250.

9. Дияшев Р. Н., Костерин А. В., Скворцов Э. В. Фильтрация жидкости в деформируемых нефтяных пластах. — Казань, 1999.

10. Желтов Ю. П. Разработка нефтяных месторождений. — Москва : Недра, 1986.

11. Зарецкий Ю. К. Теория консолидации грунтов, — Москва : Наука, 1967.

12. Коновалов А. Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. — Новосибирск : Наука, 1988.

13. Костерин А. В., Павлова М. Ф., Шемуранова Е. В. Численное исследование фильтрационной консолидации // Математическое моделирование. - 2001. - Т. 13, № 9. - С. 63-70.

14. Марчук Г. И. Методы расщепления. — Москва : Наука, 1989.

15. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. — Москва : Наука, 1981.

16. Механика насыщенных пористых сред / В.Н. Николаевский, К.С. Бас-ниев, А.Т. Горбунов, Г.А. Зотов. — Москва : Недра, 1970. — С. 339.

17. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. — Москва : Наука, 1987.

18. Николаевский В.Н. Геомеханика и флюидодинамика с приложениями к проблемам газовых и нефтяных пластов. — Москва : Недра, 1996. — С. 447.

19. Николаевский В. Н. Механика пористых и трещиноватых сред. — Москва : Недра, 1984.

20. Павлова М. Ф., Рунг Е. В. Исследование неявной разностной схемы для задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации // Учен. зап. Казан, гос. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. — 2012. — Т. 154, №4.-С. 33-48.

21. Самарский A.A. О регуляризации разностных схем // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1967. — Т. 7, № 1. — С. 62-93.

22. Самарский A.A. Теория разностных схем. — Москва : Наука, 1989.

23. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Аддитивные схемы для задач мате-

матической физики. — Москва : Наука, 1999.

24. Самарский А. А., Вабищевич П. Н., Матус П. П. Устойчивость векторных аддитивных схем // ДАН. — 1998. — Т. 361. — С. 746-748.

25. Самарский А. А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. — Москва : Научный мир, 2003.

26. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. — Москва : Наука, 1973.

27. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. — Москва : Физматлит, 2005.

28. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. — Москва : Наука, 1978.

29. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. — Москва : Мир, 1977.

30. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки,— Москва : Физматгиз, 1963.

31. Abou-Kassem J.H., Farouq Ali S.M., Islam M.R. Petroleum Reservoir Simulation: A Basic Approach. — Gulf Publishing Company, 2006.

32. Alexsson O., Blaheta R., Byczanski P. Stable discretization of poroelasti-icty problems and efficient preconditioners for arising saddle point type matrices // Comput. Vissualizat. in Sci. — 2013. — Vol. 15, no. 4. — P. 191-2007.

33. Allen D.R. Environmental Aspects of Oil Producing Operations- Long Beach, California // Journal of Petroleum Technology. — 1972. — Vol. 24, no. 2. —P. 125-131.

34. Alnaes M.S. . Unified Form Language: A domain-specific language for weak formulations of partial differential equations / M.S. Alnass, A. Logg, K.B. 01gaard et al. // ACM Transactions on Mathematical Software.— 2014.-Vol. 40, no. 2.

35. Armero F. Formulation and finite element implementation of a multiplicative model of coupled poro-plasticity at finite strains under fully saturated conditions // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1999. - Vol. 171, no. 3-4. — P. 205-241.

36. Armero F., Simo J. C. A new unconditionally stable fractional step method for non-linear coupled thermomechanical problems // International Journal for Numerical Methods in Engineering. — 1992. — Vol. 35, no. 4. — P. 737-766.

37. Arnold D.N., Brezzi F.,Cockburn B., Marini L. D. Unified Analysis of Discontinuous Galerkin Methods for Elliptic Problems / / SIAM Journal on Numerical Analysis. — 2002. — Vol. 39, no. 5. — P. 1749-1779.

38. Ascher U. M. Numerical methods for evolutionary differential equations. — Society for Industrial Mathematics, 2008.

39. Aziz K., Settari A. Petroleum reservoir simulation.— London : Applied Science Publishers Ltd., 1979. — P. 476.

40. Barry SI, Mercer GN. Exact solutions for two-dimensional time-dependent flow and deformation within a poroelastic medium // Journal of applied mechanics. — 1999. — Vol. 66, no. June 1999. — P. 1-5.

41. Bear J. Dynamics of Fluids in Porous Media. — New York : American Elsevier, 1972.

42. Biot M.A. General theory of three dimensional consolidation // Journal of Applied Physics. - 1941. - Vol. 12, no. 2. - P. 155-164.

43. Biot M.A. Theory of Elasticity and Consolidation for a Porous Anisotropic Solid // Journal of Applied Physics. — 1955. — Vol. 26, no. 2. — P. 182.

44. Biot M.A. General solutions of the equations of elasticity and consolidation for a porous material //J. Appl. Mech. — 1956. — Vol. 26. — P. 182-185.

45. Biot M.A. Theory of Deformation of a Porous Viscoelastic Anisotropic Solid // Journal of Applied Physics. - 1956. — Vol. 27, no. 5. — P. 459.

46. Biot M.A. Generalized theory of acoustic propagation in porous dissipative media // The Journal of the Acoustical Society of America. — 1962. — Vol. 34, no. 5. - P. 1254-1264.

47. Biot M.A. Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media // Journal of Applied Physics. — 1962. — Vol. 33, no. 4. — P. 14821498.

48. Biot M.A., Willis D.G. The elastic coefficients of the theory of consolidation // J. Appl. Mech. - 1957. — P. 594-601.

49. Boal N., Gaspar F. J. andLisbona F., Vabishchcvich P. Finite-Difference Analysis for the Linear Thermoporoelasticity Problem and Its Numerical Resolution by Multigrid Methods // Mathematical Modelling and Analysis. — 2012. - Vol. 17, no. 2. — P. 227-244.

50. Brezzi F., Fortin M. Mixed and hybrid finite element methods. — SpringerVerlag New York, Inc., 1991.

51. Bruno M.S. Geomechanical Analysis and Decision Analysis for Mitigating Compaction Related Casing Damage // SPE Annual Technical Conference and Exhibition. — 2001.

52. Cederbaum G., Li L.P., Schulgasser K. Poroelastic structures. — Elsevier, 2000.

53. Chadwick P. On the Propagation of Thermoelastic Disturbances in Thin Plates and Rods // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. — 1962. - Vol. 10.

54. Chen, Z., Huan, G., Ma Y. Computational methods for multiphase flows in porous media. — 2006.

55. Chin L.Y., Boade R.R. Full-Field, 3-D Finite Element Subsidence Model for Ekofisk // North Sea Chalk Symposium, Copenhagen, Denmark, 11-12 June. — 1990.

56. Ciarlet P. The finite element method for elliptic problems. — 1978.

57. Ciarlet P. Mathematical elasticity, vol. II: Theory of plates. — Elsevier Science, 2000.

58. Ciarlet P., Raviart P. A mixed finite element for the biharmonic equation // Symposium on Mathematical Aspects of Finite Elements in Partial Differential Equations / Ed. by C. de Boor. — New York : Academic Press, 1974. - P. 125-143.

59. Destuynder P., Salaun M. Mathematical Analysis of Thin Plate Models. — Berlin : Springer-Verlag, 1996.

60. Detournay E., Cheng A.H-D. Poroelastic response of a borehole in a non-hydrostatic stress field // International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences and Geomechanics Abstracts. — 1988. — Vol. 25, no. 3. — P. 171-182.

61. Detournay E., Cheng A.H.-D. Fundamentals of Poroelasticity // Comprehensive Rock Engineering: Principles, Practice and Projectss, Vol. II, Analysis and Design Method. — Pergamon Press, 1993. — Vol. II. — P. 113— 171.

62. Douglas Jr. J., Rachford H. H. On the numerical solution of heat conduction problems in two and three space variables // Trans. Amer. Math. Soc. - 1956. - Vol. 82. - P. 421-439.

63. Dusseault M.B., Bruno M.S., Barrera J. Casing shear: causes, cases, cures // SPE Drilling and Completion. — 2001.

64. Fjar E. Petroleum related rock mechanics / ,E Fjar, R.M. Holt, A.M. Raaen et al. — 2 edition. — 2008.

65. Fredrich J.T., Arguello J.G., Deitrick G.L.,Rouffignac E.P. Geomechan-ical Modeling of Reservoir Compaction, Surface Subsidence, and Casing Damage at the Belridge Diatomite Field // SPE Reservoir Evaluation and Engineering. — 2000. — Vol. 3, no. 4. — P. 348-359.

66. Garagash D., Detournay E. An analysis of the influence of the pressuriza-

tion rate on the borehole breakdown pressure // International Journal of Solids and Structures. — 1997. — Vol. 34, no. 24. — P. 3099-3118.

67. Gaspar F.J., Grigoriev A.V., Vabishchevich P.N. Explicit-implicit splitting schemes for some systems of evolutionary equations // Internat. J. of Num. Analys. Model. — 2014. — Vol. 11, no. 2. — P. 346-357.

68. Gaspar F.J., Lisbona F.J. An efficient multigrid solver for a reformulated version of the poroelasticity system // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2007. — Vol. 196, no. 8. — P. 1447-1457.

69. Gaspar F. J., Lisbona F. J., Oosterlee C. W. On a decoupled algorithm for poroelasticity // ... Zaragoza-Pau on____— 2006. — Vol. 424. — P. 419424.

70. Gaspar F. J., Lisbona F. J., Oosterlee C. W., Wienands R. A systematic comparison of coupled and distributive smoothing in multigrid for the poroelasticity system // Numerical Linear Algebra with Applications. — 2004. - Vol. 11, no. 23. - P. 93-113.

71. Gaspar F.J., Lisbona F.J., Vabishchevich P.N. Staggered grid discretizations for the quasi-static Biot's consolidation problem // Applied Numerical Mathematics. — 2006. — Vol. 56, no. 6. — P. 888-898.

72. Gaspar F. J., Grigoriev A., Vabishchevich P. Explicit-implicit splitting schemes for some systems of evolutionary equations // International Journal of Numerical Analysis and Modeling.— 2014.— Vol. 11, no. 2.— P. 346-357.

73. Gaspar F. J., Lisbona F. J., Oosterlee C. W. A stabilized difference scheme for deformable porous media and its numerical resolution by multigrid methods // Computing and Visualization in Science.— 2007.— Vol. 11, no. 2. — P. 67-76.

74. Gaspar F J, Lisbona F J, Vabishchevich P N. A finite difference analysis of Biot's consolidation model // Applied numerical mathematics. — 2003. —

Vol. 44, no. 4. — P. 487-506.

75. Gecrtsma J. The Effect of Fluid Pressure Decline on Volumetric Changes of Porous Rocks // Journal of Petroleum Technology. — 1957. — Vol. 210. — P. 331-340.

76. Gmsh. — URL: geuz. org/gmsh.

77. Grossmann C., Roos H. G., Stynes M. Numerical treatment of partial differential equations. — Springer Verlag, 2007.

78. Gustafsson B. High order difference methods for time dependent PDE. — Springer Verlag, 2008.

79. Gutierrez M., Lewis R.W. The Role of Geomechanics in Reservoir Simulation // SPE/ISRM Eurock, Trondheim, Norway, 8-10 July. — 1998.

80. Hackbusch W. Multi-grid methods and applications. — Springer, 1985. — Vol. 4.

81. Haga J.B., Osnes H., Langtangen H.P. A parallel block preconditioner for large-scale poroelasticity with highly heterogeneous material parameters // Computational Geosciences. — 2012. — Vol. 16, no. 3. — P. 723-734.

82. Haga J.B., Osnes H., Langtangen H.P. On the causes of pressure oscillations in low-permeable and low-compressible porous media // International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics. — 2012. — Vol. 36, no. 12. — P. 1507-1522.

83. Hart D.J., Wang H.F. Laboratory measurements of a complete set of poroelastic moduli for Berea sandstone and Indiana limestone // Journal of Geophysical Research. — 1995. — Vol. 100, no. 95. — P. 741-751.

84. Hermansen H. Twenty Five Years of Ekofisk Reservoir Management / H. Hermansen, L.K. Thomas, J.E. Sylte, B.T. Aasboe // SPE Annual Technical Conference and Exhibition, 5-8 October 1997, San Antonio, Texas. — 1997.

85. Hughes Thomas J R. The finite element method: linear static and dynamic

finite element analysis. — DoverPublications, 2012.

86. Hundsdorfer W. H., Verwer J. G. Numerical solution of time-dependent advection-diffusion-reaction equations. — Springer Verlag, 2003.

87. Jaeger J.C., Cook N.G.W., Zimmerman R. Fundamentals of rock mechanics. — 2009.

88. Jha B., Juanes R. SPE 102812 A Locally Conservative Finite Element Framework for the Simulation of Coupled Flow and Reservoir Geome-chanics // SPE Annual Technical Con- ference and Exhibition held in San Antonio, Texas, U.S.A., 24-27 September 2006. — Vol. 12,— 2006.— P. 1-11.

89. Jha Birendra, Juanes Ruben. A locally conservative finite element framework for the simulation of coupled flow and reservoir geomechanics // Acta Geotechnica. — 2007. — Vol. 2, no. 3. — P. 139-153.

90. Kim J. Sequential methods for coupled geomechanics and multiphase flow : Ph.D. thesis : February / J. Kim. — 2010.

91. Kim J., Tchelepi H., Juanes R. Stability, accuracy, and efficiency of sequential methods for coupled flow and geomechanics // SPE Journal.— 2011.-P. 2-4.

92. Kim J., Tchelepi H.a., Juanes R. Stability and convergence of sequential methods for coupled flow and geomechanics: Drained and undrained splits // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2011.-Vol. 200, no. 23-24.-P. 2094-2116.

93. Knabner P., Angermann L. Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations. — Springer Verlag, 2003.

94. Kolesov A.E., Vabishchevich P.N., Vasilyeva M.V. Splitting schemes for poroelasticity and thermoelasticity problems // Computers and Mathematics with Applications. — 2014. — Vol. 67, no. 12. — P. 2185-2198.

95. Lagnese J.E. Boundary stabilization of thin plates. — Society for Industrial

and Applied Mathematics, 1989.

96. Lagnese J, Lions J.-L. Modelling Analysis and Control of Thin Plates. — Paris : Masson, 1988.

97. Lewis R. W., Schrefler B. A. The Finite Element Method in the Static and Dynamic Deformation and Consolidation of Porous Media. — 2 edition. — Chichester : Wiley, 1998. - P. 508.

98. Li L.P., Cederbaum G., Schulgasser K. Theory of poroelastic plates with in-plane diffusion // International Journal of Solids and Structures. — 1997. - Vol. 34, no. 35-36. - P. 4515-4530.

99. Lisbona F.J., Vabishchevich P.N. Operator-splitting schemes for solving unsteady elasticity problems // Comput. Methods Appl. Math. — 200. — Vol. 1, no. 2.-P. 188-198.

100. Logg A. Automated Solution of Differential Equations by the Finite Element Method / Ed. by A. Logg, K.-A. Mardal, G.N. Wells. — Springer, 2012.

101. MPI. — URL: mpi-forum.org.

102. MTL4.—URL: simunova.com/en/node/24.

103. Marchuk G.I. Splitting and alternating direction methods // Handbook of Numerical Analysis, Vol. I~/ Ed. by / Ed. by P.G. Ciarlet, J.-L. Lions. — North-Holland, 1990. — P. 197-462.

104. Mathew T. Domain decomposition methods for the numerical solution of partial differential equations. — Springer, 2008.

105. Meirmanov A. Mathematical Models for Poroelastic Flows. — Berlin : Springer, 2014. — Vol. 1 of Atlantis Studies in Differential Equations.

106. Mikelic A., Wheeler M.F. Convergence of iterative coupling for coupled flow and geomechanics // Computational Geosciences. — 2012. — Vol. 17, no. 3. — P. 455-461.

107. Minkoff S.E, Kridler N.M. A comparison of adaptive time stepping meth-

ods for coupled flow and deformation modeling // Applied mathematical modelling. — 2006. — Vol. 30, no. 9. — P. 993-1009.

108. Murad M.A., Loula A.F.D. Improved accuracy in finite element analysis of Biot's consolidation problem // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 1992. — Vol. 95, no. 3. — P. 359-382.

109. Nowacki W. Dynamic problems of thermoelasticity. — Springer, 1975.

110. Open MPI. — URL: open-mpi. org.

111. Osorio J.G., Chen H.-Y. Numerical Simulation of Coupled Fluid-FlowGeomechanical Behavior of Tight Gas Reservoirs with Stress Sensitive Permeability // SPe Fifth Latin American and Caribbean Petroleum Engineering Conference and Exhibition. — 1997.

112. Osorio J, Chen H.-Y. , Teufel L. Numerical simulation of the impact of flow-induced geomechanical response on the productivity of stress-sensitive reservoirs // SPE Reservoir Simulation Symposium. — 1999.

113. Osorio J., Chen H.-Y., Teufel L., Schaffer S. A two-domain, 3D, fully coupled fluid-flow/geomechanical simulation model for reservoirs with stress-sensitive mechanical and fluid-flow properties // SPE/ISRM Eu-rock, Trondheim, Norway, 8-10 July. — 1998.

114. PETSc. — URL: mcs. anl. gov/petsc/.

115. ParaView. — URL: paraview.org.

116. Peaceman D. W., Rachford H. H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations //J. SIAM. — 1955. — Vol. 3. — P. 28-41.

117. Quarteroni A., Valli A. Numerical Approximation of Partial Differential Equations. — Berlin : Springer-Verlag, 1994.

118. Racke R., Jiang S. Evolution equations in thermoelasticity. — Taylor and Francis, 2000.

119. Rajapakse R.K.N.D. Stress Analysis of Borehole in Poroelastic Medium // Journal of Engineering Mechanics. — 1993.— Vol. 119, no. 6.— P. 1205-

120. Reddy J.N. Theory and analysis of elastic plates and shells. — Taylor and Francis, 2000.

121. Rendulic L. Porenziffer und Porenwasserdrunk in Tonen // Der Bauingenieur. — 1936. — no. 17. — P. 559- 564.

122. Rice J.R., Cleary M.P. Some basic stress-diffusion solutions for fluid saturated elastic porous media with compressible constituents // Rewiews of geophysics and space physics. — 1976. — Vol. 14, no. 2.

123. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. — Society for Industrial Mathematics, 2003.

124. Samarskii A.A., Matus P.P., Vabishchevich P.N. Difference schemes with operator factors. — Kluwer, 2002. .

125. Scholz R. A mixed method for 4th order problems using linear finite elements / / ES AIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis -Modélisation Mathématique et Analyse Numérique. — 1978. — Vol. 12, no. 1. —P. 85-90.

126. Settari A., Mourits F.M. A coupled reservoir and geomechanical simulation system // Spe Journal. — 1998.

127. Settari A., Sen V. Geomechanics in Integrated Reservoir Modeling // Offshore Technology Conference. — 2008. — P. 5-8.

128. Sulak A.M., Danielsen J. Reservoir Aspects of Ekofisk Subsidence // Journal of Petroleum Technology. — 1989. — Vol. 41, no. 7. — P. 709-716.

129. Siili E., Mozolevski I. hp-version interior penalty DGFEMs for the bihar-monic equation // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2007. - Vol. 196, no. 13-16. - P. 1851-1863.

130. Taber L.A. Axisymmetric deformation of poroelastic shells of revolution // International journal of solids and structures. — 1992.

131. Taber L.A., Puleo A.M. Poroelastic Plate and Shell Theories // Mechanics

of Poroelastic Media / Ed. by A. P. S. Selvadurai. — Dordrecht : Springer Netherlands, 1996. — Vol. 35 of Solid Mechanics and Its Applications. — P. 323-337.

132. Terzaghi K. Die berechnung der durchlassigkeitsziffer des tones aus dem verlauf der hydrodynamischen spannungserscheinungen. — 1923.

133. The FEniCS Project. — URL: fenicsproject.org.

134. Theodorakopoulos D.D., Beskos D.E. Flexural vibrations of poroelastic plates // Acta Mechanica. — 1994. — Vol. 203. — P. 191-203.

135. Thompson J. F., Soni B. K., Weatherill N. P. Handbook of grid generation. — CRC press, 2010.

136. Trilinos/Epetra. — URL: trilinos.sandia.gov/packages/epetra/.

137. Trottenberg U., Oosterlee C. W., Schuller A. Multigrid. — Academic press, 2000.

138. Vabishchevich P.N. Additive operator-difference schemes. Splitting schemes. — de Gruyter, 2014.

139. Vabishchevich P. N. Domain decomposition methods with overlapping subdomains for the time-dependent problems of mathematical physics. // Computational Methods in Applied Mathematics. — 2008. — Vol. 8, no. 4. — P. 393-405.

140. Vabishchevich P. N. On a new class of additive (splitting) operator-difference schemes // Mathematics of Computation.— 2012.— Vol. 81, no. 277. - P. 267-276.

141. Verruijt A. Elastic storage of aquifers // Flow through porous media.— 1969. - P. 331-376.

142. Wang H.F. Theory of Linear Poroelasticity with Applications to Geome-chanics and Hydrogeology. — Princeton University Pres, 2000.

143. Yew C.H., Jogi P.N. The Determination of Biot's Parameters for Sandstones // Experimental Mechanics. — 1978. — no. 1. — P. 167-172.

144. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Zhu J.Z. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals. — Butterworth-Heinemann, 2005.

145. Zimmerman R.W. Compressibility of sandstones. — Elsevier, 1990. — Vol. 29 of Developments in Petroleum Science.

146. Zoback M.D. Reservoir Geomechanics. — Cambridge, UK : Cambridge University Press, 2007.

147. de Marsily G. Quantitative Hydrogeology. — San Diego : Academic Press, 1986.

148. uBLAS.—URL: boost.org/doc/libs/release/libs/numeric/ublas/.